Cálculo 1 - Derivadas - INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DE DERIVADAS, DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES INVERSAS, DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES COMPOSTA.

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DERIVADAS 
INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DE DERIVADAS, DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES 
INVERSAS, DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES COMPOSTA.
INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DE DERIVADAS 
(VELOCIDADE)
• Considere um móvel que percorre uma trajetória segundo esquema 
abaixo:
0 𝑆0 S
𝑡0 t
Temos que a velocidade média Vm = 
𝑠(𝑡) − 𝑠(𝑡0)
𝑡− 𝑡0
VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
• Velocidade instantânea ou escalar desse móvel é dada por:
v(t)= lim
𝑡→𝑡0
𝑉𝑚 = lim
𝑡→𝑡0
𝑠(𝑡) − 𝑠(𝑡0)
𝑡− 𝑡0
= 𝑠′(t)
A derivada do espaço percorrido por um móvel em um tempo t representa 
a velocidade escalar deste móvel no tempo t.
v(t) = 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Exemplo
• Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s(t) = 
𝑡2 − 𝑡 + 2, no SI. 
Calcular a velocidade deste ponto no instante t= 2s.
V(t) = S’(t) = 2t -1, logo v(2)= 2.2 – 1= 3m/s
INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DE DERIVADAS 
(ACELERAÇÃO)
• Considere um móvel que percorre uma trajetória segundo esquema 
abaixo:
0 v0 v
t0 t 
Temos que a aceleração média am = 
𝑣(𝑡) −𝑣(𝑡0)
𝑡− 𝑡0
ACELERAÇÃO ESCALAR
• A aceleração instantânea ou escalar desse móvel é dada por:
a(t)= lim
𝑡→𝑡0
𝑎𝑚 = lim
𝑡→𝑡0
𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡0)
𝑡− 𝑡0
= 𝑣′(t)
A derivada da velocidade no tempo t representa a aceleração escalar de um 
móvel neste tempo t.
a(t) = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Exemplo
• Um móvel em um MRU obedece a função horária da 
velocidade expressa por v(t) = 20t – 5.
Calcular a aceleração deste móvel.
a(t) = v’(t) = 20 , logo a aceleração deste móvel é de 20m/𝑠2
Exercício:
• Uma partícula executa um movimento periódico obedecendo a 
função horária s(t) = 4t2- 3cos(t).
Determine a aceleração deste partícula no instante t = 0
Solução
• Sabemos que v(t) = 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
e a(t) = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
. Observe que a(t)= 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
• Prova: a(t)= 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
= 
𝑑( 𝑑𝑠)
𝑑𝑡.𝑑𝑡
= 
𝑑(𝑣)
𝑑𝑡
.
Portanto a(t) = s’’(t). Na questão temos s(t) = 4t2- 3cos(t), logo:
s’(t)= 8t + 3sen(t) e s”(t) = 8 + 3cos(t) , para t=0 , temos a(0)= 8 + 3.1= 11m/𝑠2
DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES INVERSAS
• Definição: Se y= f(x) é uma função derivável e invertível em 
um intervalo (a, b), com f’(x) ≠ 0, para todo x ϵ (a, b). Seja x= 
g(y) = 𝑓−1(x) a inversa de f. Se g é contínua então também é 
derivável e (𝑓(𝑥)−1)′= 
1
𝑓′(𝑥)
Exemplo 1
• Dada a função y = 2x – 3, determine a derivada da função inversa desta 
função.
Calculando a inversa de y = 2x – 3: x = 2y -3 → 𝑦−1 = 
𝑥+3
2
Derivada da inversa: (𝑦−1)’= 
1
2
Aplicando a regra: (𝑦−1)’= 
1
𝑦′
= 
1
(2𝑥−3)′
=
1
2
Exemplo 2
• Encontre a derivada de y = log𝑎 𝑥, com 0 < a ≠ 1 e x > 0.
y = log𝑎 𝑥 → x = 𝑎
𝑦 , então y’ = 
1
𝑥′
= 
1
(𝑎𝑦)′
= 
1
𝑎𝑦.𝑙𝑛𝑎
= 
1
𝑥.𝑙𝑛𝑎
y = log𝑎 𝑥 → y’ = 
𝑥′
𝑥.𝑙𝑛𝑎
Exemplo 3
• Encontre a derivada da função y = arcsen(x).
y = arcsen(x) → x = seny , então y’= 
1
𝑥′
= 
1
(𝑠𝑒𝑛𝑦)′
= 
1
𝑐𝑜𝑠𝑦
e lembrando que 
𝑠𝑒𝑛(𝑦)2 + cos(𝑦)2 = 1 , temos:
y’ = 
1
𝑐𝑜𝑠𝑦
=
1
1 −𝑠𝑒𝑛(𝑦)2
= 
1
1−𝑥2
y = arcsen(x) → y’ = 
𝑥′
1−𝑥2
Exemplo 4
• Determine a derivada das funções y= arccos(x) e y= arctg(x).
• y= arccos(x) → y’ = 
−𝑥′
1−𝑥2
• y= arctg(x) → x= tgy, então y’= 
1
𝑥′
= 
1
(𝑡𝑔𝑦)′
= 
1
𝑠𝑒𝑐(𝑦)2
e lembrando 
que 𝑡𝑔(𝑦)2 + 1 = 𝑠𝑒𝑐(𝑦)2 , temos:
y= arctg(x) → y’ = 
𝑥′
1+𝑥2
Exercício:
Calcule as derivadas das funções abaixo:
a) y = log2 𝑥
2
b) y = arcsen(2x)
c) y= arctg(𝑒𝑥)
Solução
a)y’ = 
(𝑥2)′
𝑥2.𝑙𝑛2
= 
2𝑥
𝑥2.𝑙𝑛2
= 
2
𝑥.𝑙𝑛2
b) y’ = 
(2𝑥)′
1− 2𝑥 2
= 
2
1−4𝑥2
c) y’ = 
(𝑒𝑥)′
1+ 𝑒𝑥 2
= 
𝑒𝑥
1+𝑒2𝑥
DERIVAÇÃO DE FUNÇÃO COMPOSTA(REGRA DA 
CADEIA)
• Se y = h(u) e u = g(x) são funções deriváveis então a função composta 
f(x)= h(g(x)) é também derivável e sua derivada é dada por:
f ’(x) = h’(g(x)). g’(x)
Exemplo
• Determine as funções derivada das funções abaixo:
a) y = sen(2x+3)
b) Y = 𝑒3𝑥
c) y= tg (
𝑥2
3𝑥
)
Solução:
a) y = sen(2x+3) → y’ = cos(2x+3). (2x+3)’= cos(2x+3). 2= 2cos(2x+3)
b) Y = 𝑒3𝑥 → y’ = 𝑒3𝑥 . (3x)’ = 3𝑒3𝑥
c) y= tg (
𝑥2
3𝑥
) → y’= 𝑠𝑒𝑐2(
𝑥2
3𝑥
) . (
𝑥2
3𝑥
)’ = 𝑠𝑒𝑐2(
𝑥2
3𝑥
) .[
2𝑥.3𝑥−𝑥2.3𝑥.𝑙𝑛3
3𝑥 2
] = 
= 𝑠𝑒𝑐2(
𝑥2
3𝑥
) . 3𝑥[ 
2𝑥−𝑥2.𝑙𝑛3
32𝑥
] = 𝑠𝑒𝑐2(
𝑥2
3𝑥
) . [
2𝑥−𝑥2.𝑙𝑛3
3𝑥
]
COROLÁRIO DO TEOREMA DA REGRA DA CADEIA
• Definição: Se f(x) é uma função derivável e n um número racional não 
nulo, então a função g(x) = 𝑓(𝑥) 𝑛 é derivável e sua derivada é dada 
por:
g’(x) = n. 𝑓(𝑥) 𝑛−1. f ’(x)
Exemplo
• Encontre a derivada de y = 3𝑥2 + 1 3. 𝑠𝑒𝑛2(2𝑥).
• y’ = 3. 3𝑥2 + 1 2. 3𝑥2 + 1 ′. 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 + 3𝑥2 + 1 3. 2 sen(2x) . [sen(2x)]’
y’ = 3. 6x. 3𝑥2 + 1 2. 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 + 3𝑥2 + 1 3. 2 sen(2x) . cos(2x). 2
y’ = 18x. 3𝑥2 + 1 2. 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 + 4.sen(2x). cos(2x). 3𝑥2 + 1 3
Exemplo
• Derive as funções:
a) y= 2𝑥
2+1
b) y= 𝑙𝑛2
𝑒−𝑥
𝑥
Solução:
a) y= 2(𝑥
2+1) → y’ = 2𝑥
2+1. ln2 . (𝑥2 +1)’ = 2.ln2. x.2𝑥
2+1
b) y= 𝑙𝑛2
𝑒−𝑥
𝑥
→ y’ = 2ln 
𝑒−𝑥
𝑥
. 𝑙𝑛
𝑒−𝑥
𝑥
′
= 2ln 
𝑒−𝑥
𝑥
. 
𝑥
𝑒−𝑥
. 
𝑒−𝑥
𝑥
′
= 2ln 
𝑒−𝑥
𝑥
. 
𝑥
𝑒−𝑥
.
𝑒−𝑥 ′. 𝑥 −𝑒−𝑥. 𝑥′
𝑥2
= 2ln 
𝑒−𝑥
𝑥
. 
𝑥
𝑒−𝑥
. 
−𝑒−𝑥. 𝑥 −𝑒−𝑥
𝑥2
= 2ln 
𝑒−𝑥
𝑥
. 
𝑥
𝑒−𝑥
. (- 𝑒−𝑥). 
𝑥+1
𝑥2
= -2x. ln
𝑒−𝑥
𝑥
.
𝑥+1
𝑥2
.
Exercícios de fixação
1) A equação do movimento de um corpo de uma partícula e s(t)= 
3
𝑡 + 2.
Determine o instante em que a velocidade desta partícula é igual a 
1
6
m/s.
Solução
• v(t) = s’(t) = 
𝑡+2 ′
3
3
𝑡+2 2
=
1
3
3
𝑡+2 2
Como v = 
1
6
m/s → 
1
3
3
𝑡+2 2
= 
1
6
→ 3
3
𝑡 + 2 2 = 6 → 
3
𝑡 + 2 2= 2 →
𝑡 + 2 2= 8 → t+2 = ± 8 → t = (2 2 - 2)s
Exercício de fixação
2) Derive a função y = arcsen((ln(3x))) em seguida determine y’(
1
3
)
Solução
→ 𝑦 ′ = 
(ln(3𝑥) ′
1− ln(3𝑥) 2
=
3𝑥 ′
3𝑥
1− ln(3𝑥) 2
= 
1
𝑥 1− ln(3𝑥) 2
→ y’(
1
3
) = 
1
1
3
1− ln(3.
1
3
)
2
= 
1
1
3
= 3