Problemas de Cálculo e Matemática

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1-Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente.
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
2- Um tanque contém um  líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através da modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, quando horas.
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado.
3- Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial ( e tempo final  é dada por . A derivada de uma função aplicada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade  é a derivada da função espaço em relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo. Com essas informações, considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada por 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir:
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando  e dura  é igual a -25,6 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando  é igual a .
III. O instante em que a velocidade é nula é .
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros.
4- Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial ( e tempo final  é dada por . A derivada de uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade  é a derivada da função espaço em relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo. Com essas informações, considere a seguinte situação problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de uma reta, é dado pela equação do movimento , em que t é medido em segundos.
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando  e  é igual a 40,0  m/s. 
II. A velocidade instantânea quando  é igual a .
III. A aceleração é sempre constante.
IV. A aceleração quando o tempo é  é igual a  .
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
5- Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Para  funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da  regra prática em que . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite  e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
6- Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direita, , e a derivada lateral à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I.  (  ) A função   é derivável em .
II. (  ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: .
III. (  ) A função  não é derivável em porque  não é contínua em .
IV. (  ) A função  é derivável em , porque  é contínua em .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
7- Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y  não se apresenta explicitamente como  A forma implícita pode ser representada como . Nem sempre é possível explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, deve-se derivar a função dada na forma implícita.
Nesse contexto, dada a função , definida implicitamente, assinale a alternativa que determine o valor de .
8- O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º dígito: , em que  Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
9- Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta.
10- As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções trigonométricas.
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (  ) .
II. (  ) .
III. (  ) .
IV. (  ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.