1585814343311_1582748895770_Matrizes e Determinantes - Alga 2020

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Alga – USTM/2020
UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE
CURSO DE: TECNOLOGIAS E SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
FICHA TEÓRICO – PRÁTICA –ALGA– 2020 
1. Matrizes
1.1.Noção de matriz
Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares.matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais).
	
	Uma matriz Am,n pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou ainda outras matrizes.
1.2.Notação de uma matriz
Usamos a letra maiúscula para denotar matrizes, Por exemplo:
1. Uma matriz de ordem 22: ou
2. Uma matriz de ordem 23: 
onde: a11 = 4, a12 = -3, a21 =, a1 3= 0, a22 = 1, 
a23 =6 
1.3.Igualdade de matrizes
Definição:Duas matrizes Am,n e Br,ssão iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são iguais, ou seja, têm o mesmo numero de linhas (m = r) e colunas (n = s)os elementos correspondentes são iguais.
Por exemplo: 
1.4.Tipos de matrizes
Matriz quadrada é aquela cujo onúmero de linhas é igual ao número de colunas (m = n) 
Exemplo:é uma matriz quadrada de ordem 22 (matriz quadrada de ordem 2).
 é uma matriz quadrada de ordem 33 (matriz quadrada de ordem 3).
 é uma matriz quadrada de ordem 11 (matriz quadrada de ordem 1).
Matriz nula é aquela em que = 0, para tudo i e j.
Exemplo:
Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplo:
Matriz linha é aquela onde (m = 1).
Exemplo:
Matriz diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde = 0, para
i ≠ j, isto é os elementos que não estão na “diagonal” são nulos.
Exemplo:; e 
Matriz Identidade ou Matriz Unidade é uma matriz quadrada em que = 1 e = 0, parai ≠ j.
Exemplo:, matriz identidade de ordem 2; 
, matriz identidade de ordem 3; 
, matriz identidade de ordem 4, e etc.
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é m = n e = 0, para i > j
Ex:
Matriz triangular inferioré aquela que m = n e = 0, parai < j.
Exemplo:
Matriz simétricaé aquela que m = n e = .
Exemplo:
1.5.Operações sobre Matrizes
1.5.1.Adição de matrizes
A soma de duas matrizes e é a matriz , ambas do mesmo tipo .
Exemplo: Dadasas matrizes e, calcular A + B.
A + B = + = 
Propriedades da Adição de Matrizes:
Sejam A , B e C matrizes de mesma ordem mn,então:
1. A adição de matrizes é comutativa: A + B = B + A
2. A adição de matrizes é associativa: (A + B) + C = A+ (B +C)
3. A matriz nula é neutra na adição: A + O = O + A = A, onde O denota a matriz nulamn.
1.5.2.Transposição de Matrizes
Quando se troca ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz, a nova matriz é chamadamatriz transposta.
Exemplo: 	 a sua transposta é .
Propriedades da Matriz Transposta
Sejam A e B matrizes mne k um escalar. Então:
1. 
2. 
3. 
Obs: Se A é simétrica então .
Matriz Anti-simétrica
Uma matriz quadrada , diz-se anti-simétrica quando para todo i,, para todo j, . 
Obs: Se A é simétrica então ; os elementos da diagonal principal são todos nulos.
Exemplo: A matriz é anti-simétrica
1.5.3.Multiplicação de uma Matriz por uma Constante
Seja a matriz Am,n e k um escalar (k IR). A matriz P = k A é uma matriz mn tal que cada elemento de P é dado por: pij= kaij.
Exemplo:
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar
Sejam A e B matrizes mne k1 e k2 escalares. Então:
1.	k1 (A + B) = k1A + k1B
2.	k2 (k1A) = (k2k1)A.
3.	k2A + k1A = (k2+ k1)A
4. Se k1A = k1B então A = B.
Matriz Oposta
Matriz oposta de uma matriz A é uma que somada com a matriz A, resulta na matriz Nula.
Exemplo: a sua oposta é: 
1.5.4.Multiplicação de Matrizes
Sejam e . Definimos , onde 
Observação: É preciso que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Caso isso não aconteça a multiplicação é impossível.
Assim, por exemplo: 
a) , isso significa que se você multiplica uma matriz de ordem 2x3 por uma matriz 3x4, o resultado, ou seja, o produto é uma matriz de ordem 2x4; 
b) 
Exemplo: 
1.	Dadas as matrizes e Calcule
Resolução:
1. Dadas as matrizes e Calcule e 
Resolução:
=	
= 
Obs. ≠ e que = O, sem que A = O ou B = O.
Propriedades de multiplicação de matrizes
1. A multiplicação de matrizes não é comutativa.
2.	A multiplicação de matrizes é associativa: (AB)C=A (BC)
 3. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição: A.(B+C)=AB+AC
4. Multiplicação de um número real por uma matriz: 
5. Multiplicaçãopelamatrizidentidade: 
6. Multiplicação pela matriz nula: 
7. , se A
8. A1=A
9. para pN
10. AP=A.A.A.….A, p fatores
11. 
1.6.Matrizes especiais 
· Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se: Ak = 0
· Uma matriz A é periódica de índice k natural, se: Ak+1= A
· Uma matriz A é idempotente, se: A2 = A 
· As matrizes A e B são comutativas, se: A B = B A
· As matrizes A e B são anti-comutativas, se: A B = - B A 
EXERCÍCIOS:
1. Seja:
	
	a) Qual é a ordem de M?
b) Escreva os elementos da segunda linha.
c) Escreva os elementos da quarta coluna.
d) Escreva o elemento , o elemento , e o elemento .
 a)Quantos elementos há numa matriz ?
	 b) Quantos elementos há numa matriz ?
	 c) Quantos elementos há numa matriz ?
	 d) Quantos elementos há numa matriz ?
2. Sendo as matrizes e , achar os valores de x, y, m e n para que se tenha A=B.
3. Escreva a matriz cujos elementos são a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B, onde: e .
4. Dados: 	, e .
Calcule: a) ;	b) ; c) .
5. Sejam: 
Encontre: a) A + B b) A - C c) B - C d) -2D
 e) A·C f) C·A g)D·B h) B·A
6. Se D é uma matriz diagonal então Dt = _____
7. Sendo as matrizes e , calcule x e y de modo que . 
8. Sejam as matrizes e . Se , Determine x, y, z e t.
9. Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem mxn. Demonstre que: .
10. Seja	. Determine o valor de a, b, c, d.
11. Seja ,		 e	.
	Determine o resultado das seguintes operações:
a); b); c); d).
12. Dadas as matrizes: 	e	.
Determine a matriz M tal que .
13. Dadas as matrizes:
 Calcule: 	a) A ·B + 2C	b) B·C	
14. Mostre que a equação é satisfeita por cada uma das seguintes matrizes:
 a) , b) 	, c) 
15. Dadas as matrizes: ,	 e	.
	
	Mostre que , embora .
16. Verifique que:	
17. Seja A = . Se A = A, então x = ____
18. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a)	(-At) = -( At) 
b)	(A + B)t = At + Bt
c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 
d) (-A) (-B) = - (AB) 
19. Se A2 = AA, então ________
20. Dadas matrizes:
 Mostre que AB = AC
21. Calcule:
a); b); c).
22. Determine quais das seguintes matrizes são simétricas, explique porquê:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) 
23. Seja . Mostre que .
24. Escreva a matriz tal que .
25. a)Se A é uma matriz triangular superior, qual é a transposta de A ?
	b) Se A é uma matriz triangular inferior, qual é a transposta de A?
26. Determine o número bR, para que a matriz , seja simétrica. 
27. Seja a matriz , para a qual . 
Determine A e At. A é simétrica? 
28. Se =, determine os números a, b e c. 
29. Seja a matriz A, quadrada de ordem n. Demonstre que A+At é simétrica. 
1.7.Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz a saber:
1. Permuta das i-ésima e j-ésima linhas ( Li → Lj).
	Exemplo: L2→ L3
→ 
2. Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (Li → kLi).
Exemplo: L2→ -5L2
→ 
3. Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li →Li+kLj). 
Exemplo: L3→ L3 + 2L2
→ 
1.8.Matriz Reduzida à forma Escada
Definição:Uma matriz mn é linha reduzida à forma escadase:
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus elementos iguais a zero.
3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
4. Se as linhas 1, 2, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna kientão k1<k2< ... <kr . Esta condição impõe a forma escada, isto é, o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linhaaumenta a cada linha, até que sobrem apenas linhas nulas, se houverem.
Exemplos.
a)	
	
	
Não é a forma reduzida à escada porque a 2ª condição não é satisfeita.
	 b) 
	
Não é a forma reduzida à escada pois a 1ª e 4ª condições não são satisfeita.
	c)
	
Não é a forma reduzida à escada porque não satisfaz a 1ª nem a 3ª condição.
d) 
	
	
É forma reduzida à escada porque todas as condições são satisfeitas.
Teorema2: Toda matriz A mn é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida a forma escada.
Definição: Dada matriz A mn, seja B mna matriz-linha reduzida a forma escada linha equivalente de A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B.A nulidade de Aé o número n - p.
Observação: Para achar o posto de uma matriz dada é necessário primeiro encontrar a sua matriz-linha reduzida a forma escada, e depois contar suas linhas não nulas. E a nulidade é a diferença entre colunas de A e o posto.
Exemplo:
Encontre o posto da matriz.
Resolução:
Reduzindo à forma escada temos:
pc =2e pa =3, isto é pc≠ paO sistema é impossível.
EXERCÍCIOS:
	
30. Descreva todas as possíveis matrizes 22, que estão na forma escada reduzida por linhas.
31. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas:
32. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3.
33. Reduzir cada matriz seguinte à forma escalonada e depois à sua forma canônica por linhas. Calcule também o posto de cada uma
a) ; b) ; c) ; d) ;
34. Determine o posto das seguintes matrizes para os diferentes valores do parâmetro .
 a) ; b) 
2. Determinantes
A toda matriz quadradaA = [aij] está associado um número real chamado determinante. E denota-se por detA ou |A| ou det[aij].
Então:
det (a) = |a| = a
	
det = 
Para facilitar o cálculo do determinate de 2ª ordem podemos usar o esquema ao lado apresentado.
	
Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes:
a) b) 
Resolução:
a) detA= 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 =40
b) detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2 
2.1.Regra de Sarrus
Para facilitar o cálculo do determinate de 3ª ordem podemos formar um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus
	
	A regra de Sarrus consiste em:
· Repetir ao lado do determinante as duas primeiras colunas.
· Obter o produto como mostra ao esquema
131 + 1(-2) 3 + (-1) 2(-2) – (-1) 33 - 1(-2)(-2)- 121= 4
Definição: 
onde é o número de inversões da permutação e indica que a soma é estendida a todas as n! Permutações de (1,2, ...,n).
Em relação a esta definição podemos fazer três observações:
i) Se a permutação tem um número par de inversões, o coeficiente (-1)J do termo correspondente na somatória terá sinal positivo; caso contrário, terá sinal negativo.
ii) Em cada termo da somatória, existe um e apenas um elemento de cada linha , e um e apenas um elemento de cada coluna da matriz.
	Propriedades dos determinantes
Sejam A, B, Ine N matrizes quadradas e k um escalar:
1. Se In é a matriz identidade, então: det(In) = 1
2. Se N é uma matriz nula, então: det(N) =0
3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: det(A) =0
4. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é: det(At) = det(A)
5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então: det(B) = k det(A)
6. Se B=kA, onde k é um escalar, então: det(B) = kn det(A)
7. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então: det(B) = - det(A)
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: det(A) = 0
9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então: det(A) = 0 
10. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então: det(A) = 0 
11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz excepto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.
12. O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante. Esta propriedade é válida para as colunas.
13. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.
2.2.Desenvolvimento de Laplace
Vimos que: 
Podemos escrever esta soma como:
Ouainda:
Observe que o determinate da matriz inicial 33 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes 22 , isto é,
Onde Aij é a submatríz da inicial, de onde a i-ésima linha e a j-ésima coluna foram retiradas. Além disso, se considerarmos obtemos a seguinte expressão:
Esta propriedade continua a ser válida para matrizes de ordem n, e assim podemos expressar.
ou ainda:
Ao número (que é o determinante afectado pelo sinal (-1)i+j da submatriz Aij, obtida de A retirando a i-ésima linha e a j-ésima coluna) chamamos de cofactor ou complemento algébrico do elemento aij
Observe que na fórmula dada, o determinante foi desenvolvido pela i-ésima linha. Uma fórmula análoga é valida para as colunas.
Exemplo1:
= 1 + 4 + 0 = 5
Poderiamos também fazer o desenvolvimento para uma coluna. Vejamos:
= 4 + 8 -7 = 5
O desenvolvimento de Laplace é um fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1. O procedimento fica simplificado se for aplicado as outras propridades dos determinantes.
Por exemplo no exercício anterior poderiamos aplicar a propriedade 12, isto é, o determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante.
Neste caso L3 → L2 + L3
Exemplo 2
Aplicando a propriedade 12, isto é, C1→ C1-2C2 podemos criar mais um zero na 2ªlinha. 
Aplicando a propriedade 13 (ao multiplicar a 1ªcoluna por -1 a matriz fica também multiplicada por -1).
aplicando a propriedade 12, isto é, L1→ L1+4L3 podemos criar mais um zero na 3ªColuna.
Exercícios
35. Dadas as matrizes , Calcule
a) detA + detB b) det(A + B) 
36. Resolva a equação .
37. Calcule o determinante.
38. Mostre que .
39. Calcule os seguintes determinantes aplicando a regra de Sarrus:
a) b) c)
40. Resolva a equação .
41. Aplicando o teorema de Laplace, calcule o valor dos seguintes determinantes :
a) b) c)d)
e) 
42. Dada a matriz A:
	
	a) Determine k e w de modo que o determinante de A seja nulo.
b) Calcule o determinante de a se k = 1 e w = 0
3. Matriz inversa
5.1.Matriz Adjunta
Dada uma matriz A. Com os cofactores dos elementos aijda matriz A podemos formar uma nova matriz A, denominada matriz dos cofactores de A, .
Exemplo: Determinar a matriz dos cofactores da Matriz 
Resolução: ; ; 
 ; ; 
Então, 
Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de matriz adjunta de A à transposta da matriz dos cofactores de A, isto é .
No Exemplo anterior 
Teorema:
Vamos verificar este teorema a partir do exemplo anterior.
= det A= 1·
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = I, onde I é a matriz identidade. Denomidamos A-1 para inversa de A.
Suponhamos agora que Ann tenha inversa, isto é, existe A-1 tal queA · A-1 = I. Usando o determinande temos, det(A · A-1) = det I detA · detA-1 = 1.
Da última relação concluimos que se A tem inversa então.
1. detA ≠ 0
2. 
Ou seja detA ≠ 0, é condição necessária para que A tenha inversa.
Vamos de seguida que esta condição é também suficiente: 
Sabemosque . Considerando detA ≠ 0 podemos afirmar que , então.
Teorema: uma matriz quadrada A admite uma inversa se , e somente sedetA ≠ 0.
Exemplo: Determine a inversa da matriz 
Resolução: ; ; 
 ; ; 
Então, A matriz dos cofactores é e a Adjunta é 
Sabendo que o , logo 
	Propriedades das matrizes inversas
Sejam A e B matrizes inversíveis então:
1. (A–1)–1 = A
2. (A–1)t = (At)–1
3. (AB)–1 = B–1 · A–1
4. 
3.2.Método de Jordan para a inversão de Matrizes
Teorema: Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por sequência de operações elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações.
Na prática, operamos simultaneamente com matrizes A e I, através de operações elementares, até chegarmos à matriz identidade I na posição correspondente à matriz A. A matriz obtida no lugar correspondente à matriz I será a inversa de A:
Exemplo:
Determinar a inversa de A= .
Resolução:
Coloquemos a matriz junto com a Identidade e apliquemos as operações com linhas, para reduzir a parte esquerda (que corresponde a A) à forma escada linha reduzida e efectuando simultaneamente cada operação na parte direita.
	
	
Trocando a 1ª linha e 2ª linha obtemos
	
	Agora, Somando à 4ª a 1ª , e à segunda, a 1ª multiplicada por -2. 
	
	Subtraindo a 2ª linha da 3ª obtemos
	
	Trocando o sinal da 3ª linha e, subsequentemente, anulamos o resto da 3ª coluna
	
	Finalmente, obtemos a identidade à esquerda e a inversa de A à direita.
 Portanto A -1 = 
Exemplo: Seja Determine B-1
	
Partimos de 
	
	e de seguida fazemos operações com linhas, para converter a parte esquerda á forma escada linha reduzida.
	
Como a forma escada não é a identidade, a matriz B não tem inversa.
EXERCÍCIOS:
43. Dada a matriz . Obtenha a matriz C dos cofactores
44. Dada amatriz Calcule: a) ; b) ; c) .
45. Dada a matriz A = Calcule: a) Adj A b)Det A c)A-1
46. Em cada caso determinar a inversa da matriz dada e verificar o resultado
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;
f) ; g) ; g) ; h) ; i) ;
j) ; l) m) ; n) 
47. Verifique se são inversas uma da outra as matrizes é . Caso não sejam, determine a inversa da matriz A. 
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1
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5
3
A