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FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
O que você deve saber sobre
O conceito de função é estabelecido a partir das relações entre grandezas, tão presentes no cotidiano, sendo fundamental na modelagem matemática de fenômenos naturais, econômicos 
e sociais.
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I. Definição de função
A = {}
Sejam A e B conjuntos.
Dizemos que f é uma função se qualquer elemento de A corresponder a um, e somente um, elemento de B.
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II. Alguns conceitos básicos
a) x e y: variável independente e variável
 dependente, respectivamente
b) Domínio da função: conjunto A
c) Contradomínio da função: conjunto B
d) Imagem de x pela função: cada elemento y do contradomínio que tem algum correspondente x no domínio.
e) Conjunto imagem da função: formado por todos os valores de y que são imagens de algum valor de x. É um subconjunto do contradomínio; em alguns casos, eles podem ser iguais.
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III. Diagrama de Venn
A = {1, 2, 3, 4, 5}		B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10}
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
Representação da função f: A B
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IV. Função polinomial na variável real x
É toda função definida por uma expressão analítica do tipo:
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V. Raízes de uma função
 É(São) o(s) valor(es) de x que torna(m) f(x) nula. Também pode(m) ser chamado(s) de zero(s) da função. Para funções polinomiais, dependendo do grau da função (maior expoente de x na expressão de f(x)), pode haver mais de uma raiz. Na verdade, o número de raízes reais da função é menor ou igual ao grau da função.
 Para o cálculo da(s) raiz(ízes), conhecendo-se a expressão analítica de f(x), basta fazer f(x) = 0 e isolar x na equação. Para funções polinomiais de grau n < 5, existem fórmulas construídas a partir dos coeficientes da função que permitem a determinação de suas raízes. No caso de funções de grau n ≥ 5, devem ser aplicadas outras técnicas.
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VI. Análise do gráfico de uma função
A representação gráfica de uma função evidencia algumas
de suas características mais relevantes e auxilia na análise
do comportamento delas à medida que percorremos o domínio
e verificamos como varia a imagem da função.
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VI. Análise do gráfico de uma função
Máximo e mínimo
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
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VI. Análise do gráfico de uma função
O sinal
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Função modular 
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
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Professor: com base nessa animação, mostre aos alunos uma função alternativa de construir gráficos de forma modular, “refletindo” o gráfico em relação ao eixo x. 
VII. Funções por partes
Exemplo:
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y
x
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Função inversa
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
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Professor: esse exemplo de função por partes não consta no módulo impresso. 
Use a animação para mostrar aos alunos uma forma alternativa de construir gráficos de função inversa, “refletindo” o gráfico em relação ao gráfico da função identidade.
Dadas as funções f: A  B e g: B  C, chamamos função composta de g com f a função (g О f): A  C, tal que:
Ou seja, a composição das funções f e g se dá de tal forma que, para todo x  A, a imagem de f(x) seja tomada como valor no domínio para a função g.
VIII. Função composta
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, para todo x  A
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Para garantir a existência da função composta (g О f)(x):
• o contradomínio de f deve ser igual ao domínio de g;
numa composição de três ou mais funções, o uso de parênteses indica a ordem na composição; por exemplo, (g О f) О h indica primeiro a composição de g com f, seguida da composição com h;
• quando a composição de funções for possível, ela deve respeitar a propriedade associativa, ou seja:
VIII. Função composta
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
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IX. Função inversa
Consideremos a função f: A  B.
Função sobrejetora: o conjunto imagem de f é igual a seu contradomínio, ou seja, Im(f) = B.
Função injetora: para quaisquer valores x1 ≠ x2 no domínio, f(x1) ≠ f(x2).
Função bijetora: a sobrejetora e a injetora, simultaneamente.
Função inversa: a função f -1: B  A, tal que, para todo par de valores (x, y)  f, existe um par (y, x)  f -1.
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IX. Função inversa
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Função inversa
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
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Professor: Esse exemplo de função por partes não consta do módulo impresso.
Use a animação para mostrar aos alunos uma forma alternativa de construir gráficos de função inversa, “refletindo” o gráfico em relação ao gráfico da função identidade.
(FGV-SP) 
Considere uma função p(x), tal que 2p(x) – p(2 – x) = 3x2 – 3x – 2.
a) Calcule p(1).
b) Qual é o valor da soma p(1) + p(3)?
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
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Professor: nesse tópico, é preciso ressaltar a nomenclatura y = f(x), que a princípio parece simples, mas depende de um salto de compreensão dos alunos do ensino médio. Conceitos como raiz de uma função, análise de sinal e de crescimento também são importantes para facilitar a resolução de questões que, em um primeiro exame, parecem difíceis. A inversão e a composição de funções também são fundamentais para a solução dos problemas propostos.
(Unesp) 
Considere as funções polinomiais f(x) = x3 + x2 + 2x - 1 e g(x) = x3 + 3x + 1, 
cujos gráficos se interceptam em dois pontos, como 
esboçado na figura (não em escala).
Determine para quais valores reais f(x) g(x), isto é, determine
o conjunto S ={x  IR| f(x) g(x)}.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
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(Ufla-MG) 
 Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
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(Unesp) 
 Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A função y = f(x) = x + 320 fornece, aproximadamente,
a média de concentração de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milhão) em função de x. A média de variação do nível do mar, em cm, em função de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = 1 x. Seja h a função que fornece a média de variação do
				 5
nível do mar em função da concentração de CO2. No diagrama seguinte estão representadas as funções f, g e h. 
Determine a expressão de h em função de y e calcule quantos centímetros o nível do mar terá aumentado quando a concentração de CO2 na atmosfera for de 400 ppm.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
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(Unesp) 
É dado o polinômio cúbico P(x) = x3 + x2 - 2x, com x  IR.
a) Calcule todas as raízes de P(x).
b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano (x, P(x)), fazendo-o passar por suas raízes.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
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(UFU-MG) 
Considere as funções reais de variável real definidas por f(x) = x2  3 e g(x) = |x|. Determine quantas soluções tem a equação 
(g O f)(x) = 2, em que g O f é a função composta de g com f.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
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(UFSCar-SP) 
 Considere as funções reais f e g, definidas por:
a) Determine o domínio da função f e a imagem da função g.
b) Determine o domínio def(g(x)).
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
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(UFRRJ) 
 Considere a função f(x):
Determine os intervalos nos quais f(x) é estritamente negativa.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
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