prova 01 calculo

Prévia do material em texto

Questão 1)
A solução numérica da integral  por trapézios, como se observa na figura (A), é obtida a partir da integração com um polinômio interpolador de ordem 1. Os pontos utilizados na determinação do polinômio interpolador foram os dos limites de integração ou subintervalos com amplitude constante entre esses limites.
 
 
Suponha agora que vamos gerar um polinômio interpolador, mas utilizando outros pontos além dos limites de integração, como mostrado na figura (B). A reta interpoladora é determinada a partir dos pontos  e . Observe que, se os pontos forem bem escolhidos, o valor de área entre os pontos  e , que se está integrando a mais, poderá compensar as áreas que se está integrando a menos entre os pontos  e  e entre os pontos  e . A questão é como pode-se definir esses pontos.
 
As fórmulas de Gauss são exatas para polinômios de grau menor ou igual a  e são escritas como
 
 
Como os polinômios de Legendre são definidos no intervalo , a fórmula de Gauss-Legendre foi desenvolvida para o mesmo intervalo. Quando a integral de interesse pertence a um intervalo  qualquer, procede-se a mudança de variável da forma
 
 e  ou 
 
em que .
 
BORTOLI, Álvaro L. de; QUADROS, Régis S. de. Fundamentos de cálculo numérico para engenheiros. Porto Alegre: Editora URGS, 2009.
 
Sabe-se que, se  for um polinômio do primeiro grau, a aproximação calculada por quadratura de Gauss será exata. Assim, considere a função , ilustrada no gráfico a seguir.
 
 
Com base nessas informações e considerando-se o triângulo  formado entre as curvas ,  e , julgue os itens a seguir.
 
I. A área do triângulo  é , podendo ser calculada pela .
 
II. Usando a quadratura de Gauss com 1 ponto, temos que .
 
III. Utilizando a quadratura de Gauss Legendre, pode-se escrever a integral como , em que  e .
 
É correto o que se afirma em
A) II e III, apenas.
B) I, apenas.
C) I, II e III.
D) I e III, apenas.
E) II, apenas.
Questão 2)
A derivada de uma função é uma das partes de grande importância no cálculo diferencial. Para facilitar e agilizar o desenvolvimento dos cálculos, utilizam-se as regras de derivação. Existem várias regras de derivação, como regra do produto, regra do quociente, derivada de uma soma, derivada de um produto, entre outras. A regra indicada para derivar a função f(x) = (x + 1)(x - 2) é a regra do produto. Utilizando essa regra, a derivada da função f será
A) f’(x) = - 2x - 1
B) f’(x) = 2x
C) f’(x) = - 2x + 1
D) f’(x) = 2x - 1
E) f’(x) = 2x + 1
Questão 3)
A integral definida de uma função nem sempre pode ser calculada de modo analítico. Uma alternativa para esses casos é recorrer a métodos numéricos. Na verdade, esses métodos podem ser utilizados para o cálculo de qualquer integral, desde que seja possível completar os passos exigidos. Um dos métodos que se pode utilizar é a Regra do Trapézio. A área é dividida em alguns trapézios, e a integral definida é dada, aproximadamente, pela soma das áreas desses trapézios. Quanto maior for o número de trapézios utilizado, maior é a precisão do cálculo.
 
Com o objetivo de calcular a integral a seguir, utilize os dados da tabela:
 
	x
	0
	0,5
	1
	1,5
	2
	f(x)
	0
	0,75
	3
	6,75
	12
 
 
 
Diante disso, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da integral apresentada segundo a regra do trapézio, com quatro trapézios.
A) 8,12
B) 8,20
C) 8,18
D) 8,25
E) 8,32
Questão 4)
Equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação em que aparece uma derivada ordinária de primeira ordem e nenhuma outra derivada. A solução geral de uma equação diferencial é o conjunto de todas as funções que a tornam uma identidade, ou seja, verdadeira para qualquer valor da variável independente, no domínio da função. Se o problema apresentar uma condição inicial, deve-se selecionar, dentre as funções da solução geral, aquela que contém o ponto dado.
 
Considere a equação diferencial
 
 
A alternativa que contém a solução particular dessa equação é
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Questão 5)
Em computadores, todas as tarefas e processos executados são realizados a partir da interpretação pela máquina de comandos e instruções escritas em códigos binários, formados por sequências de números zero (0) e um (1). Da mesma forma, todas as informações, dados, parâmetros e valores necessários para a execução dessas tarefas e processos são representados por essas sequências de elementos binários, que são a base da eletrônica digital utilizadas nos processadores.
 
Para que um dado fornecido pelo usuário seja recebido e utilizado pelo computador, é necessário que ele seja convertido em um valor binário equivalente. Por exemplo, quando digitamos nossa idade em um aplicativo, o valor em anos, apresentado em base decimal, é convertido para um equivalente binário.
 
Dessa forma, caso o usuário insira uma idade de 68 anos no aplicativo, este valor equivale, em código binário, ao valor
A) 1000112.
B) 10001002. 
C) 10010012.
D) 100101102.
E) 11010102.
Questão 6)
Infelizmente, os casos em que as equações diferenciais têm disponíveis soluções analíticas exatas são mais exceção do que regra. Como não podemos obter soluções exatas, somos forçados a realizar soluções aproximadas. Dos vários métodos numéricos disponíveis para a solução de equações ordinárias, o método de Euler é considerado o mais simples - embora, em alguns dos casos, não seja exato o suficiente. Já o método aprimorado de Euler é mais exato que o método de Euler - apesar de ser um pouco mais complexo. Por outro lado, o método de Runge-Kutta é bastante exato e um dos mais utilizados na prática para resolver equações diferenciais ordinárias. Outros métodos utilizam o desenvolvimento em séries de Taylor para fornecer solução para qualquer equação diferencial.  
 
ÇENGEL, Y. A.; PALM III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: AMGH, 2014 (adaptado).
 
Diante disso, considere a reação  ocorrendo em fase líquida no interior de um reator em batelada. A concentração do reagente A varia de acordo com o seguinte problema de valor inicial (PVI):
 
 
 
Assim, utilizando-se o método de Euler, é correto afirmar que o valor de , com , é
A) 1040,7277.
B) 1040,6040.
C) 1040,4001.
D) 1040,8002.
E) 1040,9401.
Questão 7)
O método de Newton-Raphson é um método iterativo para cálculos de zeros de funções, destacando-se por sua simplicidade e velocidade de convergência. As aproximações sucessivas são da forma , sendo  definida com uma função e , a sua derivada.  O procedimento iterativo inicia-se com a escolha arbitrária de um , calcula-se o próximo termo da aproximação e faz-se , repetindo-se esse processo até obter a convergência com a precisão desejada. Assim, dada a função  e considerando o ponto de partida , o valor de  na terceira iteração, com precisão de 0,1, é, aproximadamente, de
A) 0,7
B) 0,85
C) 0,9
D) 0,8
E) 0,75
Questão 8)
O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. A taxa de variação pontual ou instantânea de uma grandeza f (x) em relação a x no ponto c é f’(c).
 
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso Moderno e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
 
 
Um engenheiro estimou que daqui a x meses, em determinado bairro, será construído um quantitativo de casas representado pela expressão F(x) = x2 + 20x + 8000. Qual será a taxa de variação desse quantitativo de casas daqui a 15 meses?
A) 40 casas/mês.
B) 50 casas/mês.
C) 25 casas/mês.
D) 30 casas/mês.
E) 20 casas/mês.
Questão 9)
Os símbolos para funções “falam” sobre objetos. As funções recebem objetos e retornam objetos. A função m(Carlos) = Maria recebe o objeto Carlos e informa o objeto Maria. Os símbolos para predicados são usados para representar propriedades e relações entre objetos. Ao dizer “Carlos é estudante”, ser estudante é uma propriedade de Carlos. Podemos representar a propriedade pelo predicado E(x), que será verdadeira se x é estudante. No caso de x = Carlos, o resultado é verdadeiro. A relação “mais jovem” dada pelo predicado J(x, y)é verdadeira somente se x for mais jovem que y.
 
SILVA, R. D. da. Lógica de Predicados. Disponível em: https://pessoal.dainf.ct.utfpr.edu.br/rdsilva/courses/2014-2/logica_aulas/aula12l.pdf.  Acesso em: 15 jun. 2021.
 
Diante disso, considere o caso a seguir.
 
Maria Luiza, especialista na Web 3.0, está modelando um domínio relacionado à educação utilizando a lógica dos predicados. Nesse domínio, ela precisa representar a seguinte restrição: "Todo diretor é responsável por uma escola". Dado que:
 
diretor (x): significa que x é diretor;
escola (x):  significa que x é escola;
responsavel (x,y): significa que x é responsável pela escola y.
 
Considerando as informações anteriores, a fórmula da lógica de predicados que expressa a restrição: “Todo diretor é responsável por uma escola” é
A) x diretor(x)  y( escola(x)  responsavel(x,y))
B) x diretor(x)  y( escola(y)  responsavel(x,y))
C) diretor(x)  escola(y)   responsavel(x,y)
D) diretor(x)  escola(x)  responsavel(x,y)
E) responsavel(diretor(x),escola(x)) responsavel(diretor(y),escola(y))
Questão 10)
No Cálculo Diferencial e Integral estuda-se o conceito de integral definida e como calculá-la por meio de processos analíticos. Os resultados obtidos correspondem a áreas ou volumes de figuras geométricas, dependendo do tipo de integral. Existem diversos métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas próprias, ou seja, dada uma função , é possível avaliar 
 
Sabe-se, pelo Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e Integral, que:  onde  é a primitiva de , isto é, .
 
A Física está repleta de conceitos definidos por meio de integração. Por exemplo, os movimentos unidimensionais, isto é, movimentos num espaço cuja posição possa ser determinada por apenas uma coordenada. Pode ser o movimento de uma partícula numa reta, um carro numa estrada, um pêndulo simples.
Outro exemplo são os casos em que há a necessidade de se trabalhar com dados experimentais. Nesta situação, não há funções matemáticas que descrevem um fenômeno físico, mas apenas tabelas de dados que devem ser integradas para se analisar o problema. O tratamento é feito, essencialmente, de forma numérica.
 
UFOP. Cálculo Numérico. Disponível em: http://www.decom.ufop.br/gustavo/bcc760/notas_integracao.pdf. Acesso em: 30 nov. 2020 (adaptado).
 
 
A integração numérica utilizando o Método  de Simpson consiste em integrar a função  em um intervalo  a partir de uma aproximação polinomial de segundo grau de Lagrange, com pontos espaçados igualmente, assim,  a integral desejada será:
 
 
com erro , sendo .
 
Com base nessas informações, sobre integração numérica, considere a função , explicitada no gráfico a seguir.
 
 
Utilizando o Método de Simpson e considerando o resultado com precisão de duas casas decimais após a vírgula, pode-se afirmar que o valor da área , destacada no gráfico, será aproximadamente
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Questão 11)
Os métodos numéricos acarretam o surgimento de erros. Estes podem ser minimizados tomando-se algumas medidas que devem ser definidas de acordo com o problema em estudo. Na regra do trapézio, o erro é minimizado com o aumento do número de trapézios utilizados. Além de ser possível diminuir o erro, pode-se também calcular o valor máximo desse. Dessa maneira, obtém-se um valor tão próximo do resultado exato quanto for necessário. O surgimento de erros não é desejável, mas é o preço a ser pago pela não existência de um método analítico que forneça o valor exato.
 
Considere a seguinte integral:
 
 
Esta integral foi calculada pela regra do trapézio, utilizando-se seis trapézios.
 
Foram considerados os seguintes valores:
	x
	0,0
	0,5
	1,0
	1,5
	2,0
	2,5
	3,0
	f(x)
	0
	0,125
	1,0
	3,375
	8
	15,625
	27
 
De acordo com os cálculos utilizados, assinale a alternativa que apresenta o valor encontrado para a integral.
A) 20,8125
B) 20,6395
C) 20,1235
D) 20,3685
E) 20,4875
Questão 12)
Durante o desenvolvimento de um programa, é possível ter vários comandos de entrada e de saída de dados em lugares diferentes. É possível ainda visualizar as formas dos blocos que representam esses comandos e os pontos de interação do programa com o usuário no fluxograma. O comando de atribuição é representado por meio de um retângulo, dentro do qual são escritos o nome da variável, o símbolo que representa a atribuição (=) e a expressão em sua forma matemática, ou seja, sem necessidade de representá-la em uma só linha. 
 
Considere o fluxograma abaixo sobre o desenvolvimento de um algoritmo para calcular o consumo médio com base nas variáveis distância e litros.
 
 
Com base no exposto, julgue os itens a seguir sobre os blocos presentes no fluxograma.
 
I. O fluxograma possui blocos de entrada, processamento e saída.
II. É possível criar um algoritmo para cálculo do consumo médio com base no fluxograma.
III. As variáveis presentes no fluxograma são somente distância e litros e devem ser declaradas no algoritmo.
IV. O símbolo (=) indica que o bloco do qual faz parte é responsável por executar tarefas de processamento.
 
É correto o que se afirma em
A) II, III e IV apenas.
B) I e II, apenas.
C) I, II e IV, apenas.
D) I, II, III e IV.
E) II e IV, apenas.