Revisão de Matemática Financeira - taxas equivalência - juros comercial - métodos hamburguês - sistema price - VPL - TIR - desconto

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REVISÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA
A matemática financeira necessita uma leitura atenta dos problemas e a compreensão clara das operações financeiras, bem como a familiaridade com cálculo. As calculadoras podem ser científicas ou financeiras e também cada vez mais existe o uso de programação (ex: Excel) para facilitar os cálculos.
 (
entradas
saí
das
M
C
)As operações comerciais envolvem estimativas de recebimentos e pagamentos ao longo do tempo e, por isso, definem as escolhas de pessoas e organizações visando a “saúde financeira”.
Fluxo de Caixa
								(n = unidade de tempo)
Capital (inicial) = Valor Presente -> PV			J = juros (interest)
Montante = Valor Futuro => FV				
i = J/PV (taxa de juros)					FV = PV + J
1. Taxas equivalentes e proporcionais:
a) Proporcionais:
Definição: duas taxas de juros i1 e i2 relativas aos períodos n1 e n2 são proporcionais quando observarem a relação de proporcionalidade mostrada abaixo:
Devendo os tempos n1 e n2 estarem expressos na mesma unidade de tempo.
Caso não estejam:ik= in * 
b) Equivalentes:
Duas taxas são equivalentes se, ao serem aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo tempo, gerarem o mesmo montante
Fazer o cálculo para cada uma M = C*(1+i*n)
OBS: Em regime de juros simples as taxas proporcionais são também equivalentes.
2. Juros Comercial- ano de 360 dias e mês de 30 dias
a) Juros simples: 
i= ap	sendoap = ao período (de tempo)
J= C *i		ou 	J = (C * i) * n
M = C + J	ou	C = 		ou	n = 
OBS: Regime de juros simples: a base de cálculo do juro (C) não se altera ao longo do tempo.
i) Método Hamburguês
Também chamada de conta garantida é uma forma de crédito rotativo no qual é definido um limite máximo de recursos que poderá ser sacado. Representa, em outras palavras, uma conta de saldo devedor, em que o cliente saca a descoberto e os juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado.
· Esse tipo de conta é uma forma de crédito rotativo no qual é definido um limite máximo de recursos que poderá ser sacado. Cheque especial= “conta garantida”
A determinação dos encargos financeiros sobre os valores devedores é geralmente processada por capitalização simples por meio do denominado “método hamburguês”.
Ex:
Admita uma conta garantida com limite de R$ 500.000,00, contratada por 2 meses e aberta no dia 15/01. Os encargos financeiros fixados para a operação são juros nominais de 3,9% a.m., debitados ao final de cada mês, e uma taxa de abertura de crédito (TAC) de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite.
Sabe-se que no período da operação foram realizadas as seguintes movimentações na conta garantida:
MÊS 1
Dia 15 – saque de $ 250.000,00
Dia 20 – saque de $ 100.000,00
MÊS 2
Dia 01 – saque de $ 50.000,00
Dia 10 – depósito de $ 40.000,00
Dia 18 – saque de $ 35.000,00
Dia 22 – saque de $ 50.000,00
· Construir um quadro com as várias movimentações realizadas nesta conta garantida.
	Data 
	Histórico 
	Débito (D) Crédito (C)
	Saldo Devedor
(SD)
	Número de dias
	Valor do número de dias com saldo devedor
	15 mar
	TAC
	10.000,00 (D)
	10.000
	-------------
	---------------
	15 mar
	saque
	250.000,00 (D)
	260.000
	5
	1.300.000,00
	20 mar
	saque
	100.000,00 (D)
	360.000,00
	11
	3.960.000,00
	31mar
	juros
	6.838,00 (D)
	366.838,00
	
	
	31 mar
	Total do mês 1
	5.260.000,00
	01 abr
	saque
	50.000,00 (D)
	416.838,00
	9
	3.751.542,00
	10 abr
	depósito
	40.000,00 (C)
	376.838,00
	8
	3.014.704,00
	18 abr
	saque
	35.000,00 (D)
	411.838,00
	4
	1.647.352,00
	22 abr
	saque
	50.000,00 (D)
	461.838,00
	8
	3.694.704,00
	30 abr
	Total do mês 2
	29
	12.108.302,00
	30 abr
	Total do bimestre
	45
	17.368.302,00
· Calcular os juros pelo método hamburguês.
O cálculo dos juros pelo “método hamburguês” envolve o produto da taxa proporcional diária (3,9/30 %a.d.= 0,13% ou 0,0013) pelo valor (SD x Nº dias). Assim
Juros no bimestre = 0,0013 x (17.368.302,00)=22.578,792
ou
Juros 1 = 0,0013 x (260.000 x 5 + 360.000 x 11) = 0,0013 x 5.260.000 = 6.838.000
Juros 2 = 0,0013 x (3.751.542 + 3.014.704 + 1.647.352 + 3.694.704) = 0,0013 x 12.108.302 = 15.740,80
Total dos juros (mês 1 + mês 2) = 6.838 + 15.740,80 = 22.578,80
- Cálculo do IOF (imposto sobre operações financeiras)
Receita federal=> Imposto sobre operações de crédito, câmbio e seguro, ou relativo a títulos mobiliários- taxa de 0,0041%
O cálculo do IOF referente a esse tipo de operação de crédito (saldo a descoberto do exemplo acima) pode ser realizado da mesma forma que o cálculo dos juros, apenas substituindo a taxa de juros (0,0013) pela alíquota diária do imposto (0,0041% ou 0,000041)
IOF 1 = 0,000041x 5.260.000 = 215,66
IOF 2 = 0,000041x 12.108.302 = 496,44
Total de IOF (mês 1 + mês 2) = 215,66 + 496,44 = 712,10
TIR= O conceito de taxa interna de retorno também é muito importante em análise de investimentos. A taxa interna de retorno (TIR ou IRR) é definida como sendo a taxa de juros que torna nulo o valor presente de um fluxo de caixa. Esse conceito será retomado no final desta revisão. 
ii) Cálculo do Custo Efetivo do Uso de Cheque Especial
Na operação de cheque especial, é geralmente cobrada uma taxa de juros, definida em bases mensais, e também umataxa de abertura de crédito(TAC). Esta taxa de crédito, cobrada no momento da liberação dos recursos, eleva o percentual de juros cobrado.
O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial) pode ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal:
Limite da conta
		(- TAC)
		1	2	3			n (meses)
	jurosjurosjurosjuros + limite da conta
O custo efetivo final será, a taxa interna de retorno deste fluxo de caixa.
Ex 1:
Uma conta garantida cobra juros de 2,6% a.m., debitados mensalmente, e uma TAC de 1,5%. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratada por:
a) 30 dias	b) 60 dias	c) 90 dias
Solução:
a.Para um prazo de 30 dias, tem-se o seguinte custo
Limite da conta: 100,00
TAC : desconto de -1,50, logo ->Crédito Liberado: 98,50		1 (mês)
Juros 100 x 2,6% = 2,60
Limite:100,00
Total: 102,60
Custo Efetivo: i == 0,0416 ou 4,16% a.m.
OBS:-A comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias de 2,6% para 4,16%
b.Para um prazo de 60 dias, tem-se:
Limite da conta: 100,00
TAC: desconto de -1,50, logo ->Crédito Liberado: 98,50			2 (meses)
Juros 100 x 2,6% = 2,60
Limite:100,00X 2,60
Total: 102,60
Custo efetivo: 98,50 =  +
Resolvendo, temos i = 3,39% a.m.
c.Para um prazo de 90 dias, tem-se
Limite da conta: 100,00
TAC: desconto de -1,50, logo ->Crédito Liberado: 98,50			3 (meses)
Juros 100 x 2,6% = 2,60
Limite:100,00X 2,60
Total: 102,60
Custo efetivo: 98,50 =+ +
Resolvendo-se:     i = 3,13% a.m.
Por que diminuiu?
Conclusão:  O custo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida. Este comportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada, uma única vez, no ato de liberação do crédito, pelos meses de operação.
b) Juros compostos -> SD: saldo devedor
i= 		ou J = SD * i ou M = C * (1 + ip)n
ou	
OBS 1: Regime de juros compostos: a base de cálculo do juro (SD*i) se altera período a período pela capitalização do juro do período anterior.
OBS 2: As taxas de juros de 3% am com capitalização mensal e de36% aa com capitalização anual, apesar de serem proporcionais,não são equivalentes, pois geram montantes diferentes emtempos iguais em regime de juros compostos.
Em consequência,o primeiro passo para se trabalhar em regime de juroscompostos é compatibilizar taxas de juros e períodos decapitalização.
3. Taxas de Juros Efetiva e Nominal (87)
Necessidade de calcular a taxa efetiva caso o tempo de capitalização seja diferente do período da taxa no caso de juros compostos.
Taxa nominal:Unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
- Exemplos
(I) 12% a.a capitalizados mensalmente
 (II) 24% a.a capitalizados trimestralmente
Taxa efetiva:Unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
- Exemplos
3% a.m. (capitalizados mensalmente); 
12% a.a. (capitalizados anualmente).
OBS 3: Omontante gerado numa operação financeira, em regime de juros compostos, é sempre calculado a partir da taxa de juros efetiva. Se a taxa de juros dada for nominal calcule a taxa efetiva por proporcionalidade tomando como fator de proporcionalidade o número de períodos de capitalização contido no tempo a que se refere a taxa de juros.
Ex 1:
Taxa nominal 24% a.a/mês (capitalizada mês a mês) logo a taxa real (efetiva) pode ser maior
Transformar o período da taxa para mês por equivalência
24% a.anominal -> 2% a.m/mês- taxa efetiva ao mês (pode ser representado apenas como 2% a.m.)
Quanto seria a taxa efetiva em um ano? (doze meses)
(1 + 0,02)12 = 1,2682
Para descobrir a taxa-> 1,2682 – 1 (corresponde a 100%) = 0,2682 ou 26,82% taxa efetiva corrigida
Ex 2:
Taxa nominal 36% a.s/mês (capitalizada mês a mês) logo a taxa real (efetiva) pode ser maior – Pagamento de R$ 3000,00
Transformar o período da taxa para mês por equivalência
36% a.snominal -> 6% a.m/mês- taxa efetiva ao mês 
Quanto seria a taxa efetiva em um ano? (doze meses)
(1 + 0,06)6 = 1,4185
Para descobrir a taxa-> 1,4185 – 1 (corresponde a 100%) = 0,4185 ou 41,85% taxa efetiva corrigida
4. Taxas de Juros Equivalentes
Em juros compostos também são consideradas taxas equivalentes aquelasque os montantes (FVd, FVm, FVt, FVs e FVa) sejam todos iguais. 
Ex: Calcular id (taxa diária), im(taxa mensal) e is(taxa semestral)equivalentes a 45% aa.
Solução: a partir de (3.5),
a) para taxa diária:
(1 + ia)1 = (1 + id)360		id = (1 + ia)1/360 - 1
Id = (1 + 0,45) 1/360– 1		id = 0,00103 ad ou 0,103% ad
b) para taxa mensal:
(1 + ia)1 = (1 + im)12		im = (1 + ia)1/12 - 1
Im = (1 + 0,45) 1/12– 1		im = 0,0314 am ou 3,14% am
c) para taxa semestral:
(1 + ia)1 = (1 + is)2		is = (1 + ia)1/2 - 1
Is = (1 + 0,45) 1/2– 1		is = 0,204 as ou 21,4% as
i) Taxa equivalente e taxa efetiva
Expressão matemática:Capitalização pelo uso da taxa trimestral equivalentecomposta
onde, 
iq = taxa de juros equivalente relativa a uma parte de determinado intervalo de tempo
q = número de partes do intervalo de tempo considerado
5. Taxa Real e Taxa Aparente (inflação)
Salário de R$1000,00 -> aumento de 50% em um ano = R$ 1500,00 (aparente)
Cesta básica R$100,00 -> aumento de 10% em um ano = R$110,00
Quanto foi o aumento real? (não é 40%... diferença entre as duas)
= = 1,364 ->1,364 – 1 = 36,4% de aumento real
Poder de compra: 
R$1000,00 pode comprar 10 cestas básicas
R$ 1500/110 poder de compra- apesar de 50% de aumento só pode comprar 13,64 cestas básicas.
6. Descontos - desconto racional e desconto comercial
Uma operação financeira entre dois agentes econômicos é normalmente documentada por um título de crédito comercial, devendo esse título conter todos os elementos básicos da operação correspondente. Exemplo: duplicata, nota promissória, boleto bancário
O problema do desconto surge quando o detentor de um título de crédito necessita transformá-lo em dinheiro antes da data do vencimento; nesse caso, ele poderá negociar com um agente financeiro que lhe antecipará um valor inferior ao valor nominal.
D = FV-PV
a) Desconto racional ou “por dentro” e para sua definição será adotada a seguinte nomenclatura. Desconto racional – o valor do juro gerado pelo valor PV no tempo n e a uma taxa de juros ir.
FV valor nominal;
PV valor atual ou valor descontado;
ir taxa de juros de desconto por período;
n tempo ou tempo de antecipação, em períodos (tempo que decorre entre a data do desconto e a data de vencimento do título); e
FV = PV * (1 + ir * n) ou PV =ouDr = 		Dr = Ar * i * t
OBS: Em desconto simples racional a base de cálculo é o capital inicial ou valor presente
b) Desconto comercial (desconto bancário ou por fora): definir o desconto comercial será adotada a seguintenomenclatura:
FV valor nominal;
PV valor atual ou valor descontado;
ic taxa de desconto por período;
n tempo ou tempo de antecipação, em períodos; e
Dc desconto comercial ou por fora.
Define-se o desconto comercial como o valor dos juros gerados no tempo n, à taxa de desconto ic, calculado sobre o valor nominal FV do título.
Dc = FV * ic * n		ou 	PV = FV (1 – ic * n)
OBS: Em desconto comercial ou comercial a base de cálculo é o valor nominal ou montante.
Dc = 
Relação entre os descontos
 = 
Portanto->Dc = Dr (1 + i * n)
OBS: o desconto comercial é igual ao montante gerado pelo desconto racional no tempo n para a taxa de juros e taxa de desconto utilizadas - i.
[O desconto comercial (Dc) é maior que o desconto racional (Dr) quando eles são operados com a mesma taxa: “de desconto” para o desconto comercial e “de juros” para o desconto racional.]
7. Séries de Pagamentos 
O processo de quitação de um empréstimo consiste em uma série de pagamentos periódicos (prestação) de modo a liquidar o saldo devedor.
· As prestações (R ou PMT) são formadas por dois componentes: a amortização e os juros: PMT = A + J
· Esta PMT tem relação como saldo do empréstimo ainda não amortizado.
· Os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
a) Sistema de Amortização Francês – Price
- o devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em prestações iguais e consecutivas (série uniforme de pagamentos). 
- os juros incidem sobre o saldo devedor (SD) que por sua vez decresce à medida em que as prestações são quitadas, portanto, a AMORTIZAÇÃO será crescente.
Exemplo:
Um empréstimo de R$100.000 será pago em cinco prestações mensais postecipadas com taxa de juros de 5% a.m.
	Mês (n)
	Saldo Devedor
SDn = SDn-1 - An
	Prestação (PMT)
	Juros
Jn= SDn-1 * i
	Amortização
An= PMTn - Jn
	0
	100.000,00
	-
	-
	-
	1
	81.902,52
	23.097,48
	5.000,00
	18.097,48
	2
	62.900,17
	23.097,48
	4.095,13
	19.002,35
	3
	42.947,70
	23.097,48
	3.145,01
	19.952,47
	4
	21.997,60
	23.097,48
	2.147,38
	20.950,10
	5
	0
	23.097,48
	1.099,88
	21.997,60
	∑
	-
	-
	-
	100.000,00
Tabela Price-> caso particular do sistema de amortização francês em que a taxa de juros é fornecida em termos nominais (anual) e as prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (normalmente mensais). O cálculo das prestações é feito utilizando-se a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Ex: Taxa de 72% a.a. /12 = 6% a.m.
b) Sistema de Amortização Constante (SAC)
Neste sistema, as prestações são decrescentes, as amortizações constantes e os juros decrescentes.
· Calcula-se a amortização dividindo o Principal pelo número de períodos de pagamento
Ex: Financiamento de R$100.000,00, com reembolso em cinco meses pelo sistema SAC; taxa de juros de 5% a.m.; valor da amortização = 100.000,00/5= R$20.000,00
	Mês (n)
	Saldo Devedor
SDn = SDn-1 - An
	Amortização
	Juros
Jn= SDn-1 * i
	Prestação
PMT= A + J
	0
	100.000,00
	-
	-
	-
	1
	80.000,00
	20.000,00
	5.000,00
	25.000,00
	2
	60.000,00
	20.000,00
	4.000,00
	24.000,00
	3
	40.000,00
	20.000,00
	3.000,00
	23.000,00
	4
	20.000,00
	20.000,00
	2.000,00
	22.000,00
	5
	0
	20.000,00
	1.000,00
	21.000,00
	∑
	-
	100.000,00
	-
	-
8. Valor presente de um fluxo de caixa
O valor presente de um fluxo de caixa é a soma dos valores de cada um dos seus componentes descontados para a data focal 0 (ou presente).
a) Equivalência de Fluxo de Caixa
Dois fluxos de caixa serão definidos como equivalentes quando os seus valores presentes, calculados para a mesma taxa de juros, forem iguais, ou seja:
se Fluxo de caixa 1 ≈ Fluxo de caixa 2 então,
PVFC1 = PVFC2
PV PMT1= ->PV PMTm= a mesma coisa para o FC2
PVFC1 = + ....+
PVFC2 = + ....+
b) Análise de investimentos: 
Compreende na escolha entre as alternativas possíveis de acordo com a finalidade e o cenário. Normalmente é estabelecida uma taxa de rendimento mínima: taxa de atratividade (geralmente a taxa de mercado).
b.1) Método de Valor Presente Líquido (NPV)
Calcula-se o NPV do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do investimento que está sendo analisado, usando a taxa de atratividade do investidor.
Se o valor de NPV encontrado for zero, a taxa i de renda do investimento coincide com a taxa ia (de atratividade)que foi utilizada.
Se o valor de NPV encontrado for positivo,esse valor representará quanto a renda do investimento excede a renda esperada de taxa ia (de atratividade). Isso significa que a taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa que foi utilizada ia. Neste caso o investimento analisado interessa ao investidor.
Se o valor de NPV encontrado for negativo, esse valor representará quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda desejada, significando que a taxa de renda que o investimento proporciona é menor que a taxa ia (de atratividade) que foi utilizada.Neste caso o investimento analisado NÃO interessa ao investidor.
OBS: se no caso não for renda, mas custo de empréstimo, o raciocínio é ao contrário, o interesse é no menor NPV (menor taxa de custo).
Ex: 
Uma indústria pretende adquirir equipamentos no valor de US$55000,00, que deverão proporcionar receitas líquidas a partir de 2005 conforme tabela a seguir. Sabendo-se que o valor de revenda dos equipamentos no ano 2010 é estimado em US$9000,00 e que a taxa de retorno esperada é igual a 21% a. a. , pede-se analisar se o investimento planejado é rentável.
	Ano
	Receitas líquidas (US$)
	2005
	15500
	2006
	18800
	2007
	17200
	2008
	17200
	2009
	17200
	2010
	13500
Investimento inicial = Co = 55000
Receitas: C1 = 15500, C2 = 18800, C3 = C4 = C5 = 17200; no sexto ano a receita será C3 = 13500 + 9000 = 22500, pois teremos 13500 do ano mais o preço de revenda 9000.
Teremos então:
NPV para uma taxa de juros i = 21 % a. a. = 21 /100 = 0,21 a. a. \ 1 + i = 1 + 0,21 = 1,21
Substituindo na fórmula do VPL vem:
NPV = VP - Co = 
= 15500 / 1,211 + 18800 / 1,21 2 + 17200 / 1,21 3 + 17200 / 1,214 + 17200 / 1,215 + 22500 / 1,21 6 - 55000 
Usando uma calculadora científica:
VPL = 12809,92 + 12840,65 + 9708,95 + 8023,93 + 6631,34 + 7169,19 - 55000 = + 2183,98
Como o Valor Presente Líquido - NPV é um valor positivo, infere-se que o investimento é rentável e poderá ser feito, pois, a taxa efetiva de retorno será certamente superior aos 21% a. a. (21% ao ano) esperados pela indústria.
Usando a calculadora financeira HP 12C :
f CLEAR reg
55000 CHS g Cfo
15500 g CFj
18800 g Cfj
17200 g Cfj
17200 g Cfj
17200 g CFj
22500 g Cfj
RCL n (aqui vai aparecer no visor o número 6, pois são 6 valores no fluxo de caixa)
21 i (lembre-se que a taxa i é 21%)
f NPV (teclar f e em seguida NPV) visor da calculadora - 2.183,9868
b.2) Taxa interna de Retorno (TIR)
É o valor da taxa que anula o NVP do fluxo de caixa do investimento analisado, em inglês é a IRR (taxa interna de retorno do investimento).
Será atrativo o investimento cuja taxa interna de retorno for maior que ou igual à taxa de atratividade do investidor ia.Se vários investimentos forem comparados, o melhor é o que tem a maior taxa interna de retorno (caso contrário no caso de empréstimos). 
 (
Na HP 12 C
f CLEAR reg
100.000 CHS g Cfo
60.0
00 g CFj
60.0
00 g Cfj
RCL n (aqui vai aparecer no visor o número 
2
)
TESTAR
 i 
(tentar valores entre 10 e 15%)
f NPV (teclar f e em seguida NPV)
 visor ZERO
)Ex: Um investimento de R$ 100 mil inicial, que terá R$ 60 mil de retorno no primeiro ano e mais R$ 60 mil no ano seguinte. Como não sabemos a Taxa Interna de Retorno desse negócio, fazemos os seguintes cálculos, iniciando por igualar o VPL a zero.Para calcular a TIR, a única maneira será por tentativa e erro, usando uma calculadora ou Excel.
NPV=0 = -R$100+R$60/ (1+TIR) + R$60/(1+TIR)²
Na tentativa a uma taxa de 10%, o cálculo seria:
NPV=0 = -R$100+R$60/ 1,1 + R$60/ 1,10² = R$ 4,13.
A tentativa a uma taxa de 15% seria:
NPV=0 = -R$100+R$60/ 1,15 + R$60/ 1,15² = - R$ 2,46.
Ou seja, para um Valor Presente Líquido equivalente a zero, a taxa deverá ficar entre 10% e 15%, assim a taxa de retorno desse projeto deve estar entre algum ponto desse intervalo. Fazendo os cálculos, chega-se a uma TIR de 13,1%, ou seja, se o retorno exigido do projeto for inferior a 13,1, o projeto deve ser aceito; caso seja maior, o projeto deve ser rejeitado.
10
(
)
n
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