Exercícios de Variáveis Aleatórias e Funções de Probabilidade

Prévia do material em texto

Exerćıcios: Variáveis
Aleatórias e Funções de
Probabilidade
PARTE I: Variáveis Aleatórias e funções
Exercise 1 Defina:
1. Variável aleatória
2. Variáveis aleatórias cont́ınuas
3. Função massa de probabilidade P (X = x)
4. Função acumulada de probabilidade P (X ≤ x) = F (x)
5. O que significa [X ≤ x] pela teoria da medida?
6. função densidade de probabilidade f(x)
Exercise 2 Encontre a função acumulada F(X) das densidades de probabili-
dade f(x) abaixo:
1. f(x) = e−x com x > 0
(a) Cálculo
F (X) =
∫ x
−∞
f(x)dx
F (X) =
∫ x
−∞
e−tdt
F (X) = (−e−t|x∞
A função acumulada é
F (X) = 1− e−x
1
2
(b) Prova:
lim
x→+∞
(1− e−x) → 1
X : {x ∈ ℜ/x > 0} ∴ ∄ lim
x→−∞
f(x) ⇒ lim
x→0
(1− e−x) → 0
2. f(x) = 2x com 0 < x < 1 e f(x) = 0 c.c.
3. f(x) = 1b−a com a ≤ x ≤ b.
Exercise 3 Calcule a probabilidade segundo a função Massa de probabildiade
P (X = x)
1. P (X = x) = 12x com x > 0
(a) P (X = 2) = 122 =
1
4
(b) P (X < 3) = 122 +
1
21 =
3
4
(c) P (5 ≤ X < 7) = P (X = 5) + P (X = 6) = 125 +
1
26 =
3
64
2. P (X = x) = 0.5x(1− 0.5)5−x com X : {0, 1, 2, 3, 4, 5}
(a) P (X = 5)
(b) P (2 < X < 3)
(c) P (X ≥ 1)
Exercise 4 O diâmetro X, em miĺımetros, de um cabo segue uma distribuição
f(x) = 6x(1− x) para 0 ≤ x ≤ 1 mm.
1. Esboçe o gráfico para f(x)
2. Encontre e esboçe o gráfico para F (x)
3. Calcule P (X ≤ 1/2mm)
4. Calcule probabildiade do diâmetro do cabo estar entre 0.20 e 0.25 mm.
3
Exercise 5 Dada a função de distribuição acumulada F (X) = P ([X ≤ x])
discreta, econtre aproximadamente os valores probabiĺısticos de a) P (X = −2);
b)P (X ≤ 1); c)P (−1, 5 < X ≤ 0) e d)P (X ⩾ 1) + 0.2 ∗ P (X = −1.5)
PARTE II: Probabilidade Conjunta e Marginal
Exercise 6 Com a tabela abaixo, responda o que se pede:
X/Y 0 1 2 P(X=x)
0 1/16 1/16 1/8
1 1/8 1/8 0
2 1/16 1/8 1/8
3 0 1/8 1/16
P(Y=y) 1
1. Encontre as probabilidades conjuntas:
(a) P (X = 1;Y = 2) =
(b) P (X = 0;Y = 0) =
(c) P (X = 3;Y = 2) =
2. Encontre as probabilidades condicionais:
(a) P (X = 1;Y > 0) =
(b) P (X < 2;Y = 1) =
(c) P (X ≤ 3;Y > 2) =
4
3. Encontre as probabilidades marginais e preencha a tabela:
(a) P (X = 0) =
(b) P (X = 1) =
(c) P (X = 2) =
(d) P (X = 3) =
(e) P (Y = 0) =
(f) P (Y = 1) =
(g) P (Y = 2) =
4. Mostre que:
(a) P (X = 0;Y = y) =
∑y
j=0 P (X = 0;Y = j) = P (X = 0)
(b) P (X = 1;Y = y) =
∑y
j=0 P (X = 1;Y = j) = P (X = 1)
(c) P (X = 2;Y = y) =
∑y
j=0 P (X = 2;Y = j) = P (X = 2)
(d) P (X = 3;Y = y) =
∑y
j=0 P (X = 3;Y = j) = P (X = 3)
(e) P (X = x;Y = 0) =
∑x
i=0 P (X = i;Y = 0) = P (Y = 0)
(f) P (X = x;Y = 1) =
∑x
i=0 P (X = i;Y = 1) = P (Y = 1)
(g) P (X = x;Y = 2) =
∑x
i=0 P (X = i;Y = 2) = P (Y = 2)
5. Encontre as probabilidades condicionadas (use a fórmula de Beyes):
(a) P (X = 0|Y > 0) =
(b) P (X = 0|Y = 0) =
6. Verifique se as variáveis X e Y são ou não são independentes:
5
Exercise 7 Dada a função abaixo, calcule:
f(x, y) = x2 +
xy
3
para 0 < x < 1 e 0 < y < 2
1. marginal fX(x)
2. marginal fY (y)
3. P (X > 12 ) =
4. P (Y < X) =
5. P (Y < 12 |X <
1
2 ) =
Resp. 3. 56 4.
7
24 5.
5
32
Exercise 8 Dada a função
f(x, y) = kx(x− y)
para 0 < x < 2 e −x < y < x
1. Encontre a constante k para que a f(x, y) seja uma função densidade de
probabilidade
2. Encontre as marginais fX(x) e fY (y)
3. Encontre a função de distribuição acumulada FXY (x, y)
4. Verifique se FXY (x, y) = FX(x) · FY (y)
5. Verifique se as variáveis X e Y são ou não são independentes
6
PARTE III: Esperança Matemática
Exercise 9 Prove as propriedades abaixo:
1. Prove que o segundo momento centrado é a variância
2. Prove que: V AR(
∑
i aiXi) = a
2
i
∑
i V AR(Xi) + 2aiaj
∑
i<j cov(Xi, Xj)
3. Prove que E(X − E(X)) = 0. O que isto significa?
4. Prove que cov(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )
Exercise 10 Calcule as esperança Matemáticas pedidas para a tabela abaixo
Y/X 1 2 3 P(X=x)
1 1/12 1/6 0
2 0 1/9 1/5
3 1/18 1/4 2/15
P(Y=y) 1
1. E(X)
2. E(Y )
3. E(XY )
4. Calcule E(XY ) − E(X)E(Y ). O que foi calculado? (Sugest. Veja o
exerćıcio 4.4 acima)
5. O segundo momento para X → E(X2)
6. O segundo momento para Y → E(Y 2)
7
7. O terceiro momento para X → E(X3)
8. O terceiro momento para Y → E(Y 3)
9. Verifique se E(XY ) = E(X) · E(Y )
10. Verifique se as variáveis X e Y são ou não são independentes
11. Se P (X = x, Y = y) = P (X = x) ·P (Y = y) são va’s independentes então
é verdade que E(XY ) = E(X) · E(Y ) ?
Exercise 11 Calcule E(X) e V AR(X) = E(X2)− E(X)2 para
1. f(z) = 1√
2π
e
−z2
2 Resp. µ = E(X) = 0 e σ2 = V AR(X) = 1
2. f(x) = λe−λx Resp. µ = E(X) = 1λ e σ
2 = V AR(X) = 1λ2
3. P (X = x|θ) = θx(1− θ)1−x Resp. E(X) = θ e V AR(X) = θ(1− θ)
Exercise 12 Calcule E(X) para a distribuição de Weibull
1. f(x) = λαxα−1e−λx
α
, x > 0
Exercise 13 Sabemos que a média, a variância, os coeficientes de assimetria
(SKW ) e a curtose (γ) são dados por:
1. µ = E(X)
2. σ2 = E(x2)− E(X)2
3. SKW = E(X−E(X))
3
(σ2)3/2
(razão entre o terceiro momento certado e a variância
elevada a 3/2)
4. γ = E(X−E(X))
4
(σ2)2 (razão entre o quarto momento certado e a variância
elevada ao quadrado)
encontre através do momento gerador E(etX) os valores de µ, σ2, SKW e γ:
1. E(etX) = (1− θ) + θet (momento gerador Bernouli)
2. E(etX) = eλ(e
t−1) (momento gerador Poisson)
3. E(etX) = eµt+
1
2σ
2t2 (momento gerador Gaussiano)
REF.
1. BARRY, R JAMES 1981. Probabildiade: um curso em nivel intermedi-
ario. Rio de Janeiro. Instituto de Matematica Pura e Aplicada
2. MOOD, A.M.; GRAYBILL, F.A.; BOES, D.C. Introduction to the theory
of Statistics. 3 ed. New York: McGraw Hill, 1974
3. MEYER, PAUL L. Probabilidade: Aplicacoes a Estatistica.