6o SEMESTRE - COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP
ENGENHARIA CIVIL
ANDERSON RIBEIRO DE SOUZA		T2688D8
ESTUDOS DISCIPLINARES
COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SÃO PAULO – SP
2019
UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP
ENGENHARIA CIVIL
ANDERSON RIBEIRO DE SOUZA		T2688D8
ESTUDOS DISCIPLINARES
COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Estudos disciplinares para o curso de Engenharia Civil na Universidade Paulista – UNIP, com supervisão do professor orientador Marcus dos Reis.
SÃO PAULO – SP
2019
EXERCÍCIO 01:
O valor da tensão máxima de compressão na viga prismática de concreto armado da figura após a cura do concreto, só com o peso próprio, vale:
São dados: gc=2,5tf/m³; galv=2,0tf/m³; e=0,8m
Configuração estrutural
Calculo da carga distribuída q qg=γc.Sc=2,5x1x1=2,5Tf/m qalv=γalvxexH=2x0,8x8=12,80Tf/m q=qg+qalv=2,5+12,80=15,30Tf/m
Calculo do momento fletor máximo ( viga )
Mmax=ql²/8=2,5x12²/8=45Tf.m
Calculo da Tensão máxima de compressão (cmax) cmax=Mmax/I . Ymax
I=b.h³/12=1.1³/12=0,0833m⁴
Ymax=h/2=0,5m cmax=45/0,0833.0,5
cmax=270Tf/m²
EXERCÍCIO 02:
O valor da tensão máxima de compressão na viga prismática de concreto armado da figura após a conclusão da parede de alvenaria, vale:
São dados: gc=2,5tf/m³; galv=2,0tf/m³; e=0,8m
Configuração estrutural
Calculo da carga distribuída q qg=γc.Sc=2,5x1x1=2,5Tf/m qalv=γalvxexH=2x0,8x8=12,80Tf/m q=qg+qalv=2,5+12,80=15,30Tf/m
Calculo do momento fletor máximo ( viga+parede )
Mmax=ql²/8=15,30x12²/8=275,40Tf.m
Calculo da Tensão máxima de compressão (cmax) cmax=Mmax/I . Ymax
I=b.h³/12=1.1³/12=0,0833m⁴
Ymax=h/2=1/2=0,5m cmax=275,40/0,0833.0,5
cmax=1652,40Tf/m²
EXERCÍCIO 03:
A viga de concreto armado da figura suporta duas colunas iguais de concreto, com 30cm de diâmetro e tensão de compressão de 120kgf/cm² na base, sendo a sua seção transversal retangular com 60cm de base e 90cm de altura, com peso específico gc=2,5tf/m³. O valor da tensão máxima de compressão na viga, vale:
Configuração estrutural
Calculo da carga distribuída q qg=γc.Sc=2,5x0,6x0,9=1,35Tf/m
Calculo do momento fletor máximo ( viga )
Mmax=ql²/8=1,35x10²/8=16,875Tf.m
Calculo do momento fletor máximo na viga devido às cargas das duas colunas Carga de cada coluna : δc=P/S
S=π.D²/4 P=δcxS=120xπ.30²/4=84823,2Kgf=84,82Tf Mmax=P.a=84,82x2=169,64Tf.m
Calculo do momento fletor máximo, que ocorre no meio do vão Mmax = Mmax(viga) + Mmax(colunas)
Mmax = 16,875+169,64=186,515Tf.m
Calculo da Tensão máxima de compressão (cmax) cmax=Mmax/I .Ymax I=b.h³/12=0,6.0,9³/12=0,03645m⁴ Ymax=h/2=0,9/2=0,45m
cmax=186,52/0,03645.0,45=2302,72Tf/m²=230,27cm²
cmax=230,3Kgf/cm²
EXERCÍC Uma viga de concreto armado deverá suportar uma parede de alvenaria cuja altura se deseja determinar. Sabe-se que a tensão de ruptura do concreto é σrup=30MPa e que a tensão admissível à compressão é σad=σrup/2 (coeficiente de segurança 2). Portanto, a altura da parede, vale:
São dados: gc=25KN/m³; b=1m; h=2m (Viga de Concreto)
 galv=20KN/m³; e=0,8m (Parede de Alvenaria)IO 04:
Configuração estrutural
Calculo da carga distribuída q
qg=γc.Sc=2,5x1x2=5Tf/m qalv=γalvxexH=2x0,8xH=1,6HTf/m q=qg+qalv=5+1,6HTf/m
Calculo do momento fletor máximo ( viga ) Mmax=ql²/8=(5+1,6H)x18²/8=5x18²/8+1,6x18²xH/8=202,5+64,8H
Calculo da altura máxima da parede 1Mpa=10Kgf/cm²=100Tf/m² rup=30MPa ad=rup/2=30/2=15MPa=1500Tf/m² cmax=Mmax/I .Ymax I=b.h³/12=1.2³/12=0,6667m⁴ Ymax=h/2=2/2=1m cmax=1500=(202,5+64,8H)x1/0,6667 H=(1500x0,6667-202,5)/64,8=12,30787 H = 12,3m
EXERCÍCIO 05:
Uma viga metálica, com abas largas ou perfil em W, designação W610x155, suporta uma parede de alvenaria com 50cm de espessura, triangular, conforme mostrado na figura. Conhecendo-se a tensão admissível do aço, σad=300MPa, à compressão e à tração, a altura máxima da parede, vale:
Obs.: Desprezar o peso próprio da viga.
É dado: galv=20KN/m³
Configuração estrutural
Calculo da carga distribuída q qalv=γalvxexH=20x0,5xH=10KN/m
Calculo do momento fletor máximo Mmax=qL²/93=10Hx6293=23,094H(KN.m)
Calculo da altura máxima da parede
cmax=Mmax/W ad=300MPa=3000Kgf/cm²=30000Tf/m²=300000KN/m²=30.10⁴KN/m²
Da tabela, para viga “deitada “, temos: W=S=667.10³mm³ W=667.10³.10¯⁹ m³=6,67.10¯⁴m³ ad=Mmax/W=23,094H/6,67.10¯⁴=30.10⁴ H=(6,67.10¯⁴.30.10⁴)/23,094=8,66m
H = 8,66m
EXERCÍCIO 06:
Um perfil metálico em W, com abas largas, designação W610x140, suporta uma coluna central de concreto, com 23cm de diâmetro. A tensão admissível (compressão ou tração) do aço utilizado é 3300kgf/cm². O valor da tensão máxima de compressão na base da coluna, vale:
Calculo do momento fletor máximo Mmax=PL/4=P.8/4=2P
Calculo da carga P da coluna central cmax=Mmax/W ad=3300Kgf/cm²=3,3Tf/m²
Da tabela, para o perfil “em pé “, temos: W=3630.10³mm³ W=3,63.10⁶.10¯⁹m³=3,63.10¯³m³ ad=3,3.10⁴=2P/3,63.10¯³ P=(3,3.10⁴x3,63.10¯³)/2=59,895Tf=59895Kgf
Calculo da compressão máxima na base da coluna
δcmax=P/S=P/πD²/4=59895/πx23²/4=144,16Kgf/cm²=1441,6Tf/m²=14,42MPa/m²=14416KN/m² cmax = 144,16Kgf/cm²
EXERCÍCIO 07:
A viga de concreto armado da figura deverá ter uma tensão admissível à compressão de 16MPa. O valor da altura H da parede triangular de alvenaria, vale aproximadamente:
São dados: gc=25KN/m³; b=0,8m; h=1,5m (Viga de Concreto)
 galv=20KN/m³; e=0,6m (Parede de Alvenaria)
Configuração estrutural
Calculo da carga distribuída q qg=γc.Sc=2,5x0,8x1,5=30KN/m qalv=γalvxexH=20x0,6x6=72KN/m q=qg+qalv=30+72=102KN/m
Calculo do momento fletor máximo devido ao peso próprio da viga + parte horizontal da parede Mmax=ql²/8=102x16²/8=3264KN.m
Calculo do momento fletor máximo devido a parte triangular da parede qalv=γalvxexH=20x0,6xH=12HKN/m Mmax=ql²/12=12Hx16²/12=256HKN.m
Calculo do momento fletor máximo total
Mmax = Mmax(viga+parte horizontal) + Mmax(parte triangular)
Mmax(total) = 3264+256H=3264+256H
Calculo da altura da parede triangular
cmax=Mmax/I . Ymax I=b.h³/12=0,8.1,5³/12=0,225m⁴
Ymax=h/2=1,5/2=0,75m δcmax=16MPa=160Kgf/cm²=1600Tf/m²=16000KN/m² cmax=16000=(3264+256H).0,75/0,225 (16000x0,225/0,75)-3264=256H
256H=1536 H=1536/256=6m H=6m
EXERCÍCIO 08:
A viga de concreto armado da figura suporta uma parede de alvenaria centralizada e dois pilares quadrados iguais e simétricos. O valor da altura da parede para tensão admissível, σad=30MPa, é:
São dados: c=2,5tf/m³; b=0,8m; h=2m (Viga de Concreto)
                 alv=2tf/m³; e=0,8m (Parede de Alvenaria)
                 Pilares quadrados, com 30cm de lado e σc=100kgf/cm²
Configuração estrutural
Calculo do momento fletor máximo devido ao peso próprio qg=γc.Sc=2,5x0,8x2=4Tf/m
Mmax=ql²/8=4x20²/8=200Tf.m
Calculo do momento fletor máximo devido às cargas das colunas δc=P/S
P=δcxS=100x30x30=90000Kgf=90Tf Mmax=P.a=90x3=270TF.m
Calculo do momento fletor máximo devido à carga da parede VA=q.b/L(a+b/2)=q.10/20(5+10/2)=5q
M(x)=VA.x-q.(x-a)²/2
M(10)=5q.10-q.(10-5)²/2=50q-12,5q
Mmax = 37,5q qalv=γalvxexH=2x0,8xH=1,6H Mmax=37,5x1,6H=60HTf.m
Calculo do momento fletor máximo total
Mmax=Mmax(peso próprio)+Mmax(carga dos pilares)+Mmax(peso da parede)
Mmax=200+270+60H=470+60H
Calculo do valor de H para tensão admissível δcad=30Mpa cad=Mmax/I . Ymax
I=b.h³/12=0,8.2³/12=0,5333m⁴
Ymax=h/2=2/2=1m cad=3000=(470+60H).1/0,5333 (3000x0,5333)-470=60H H=(3000x0,5333)-470/60=18,83m H=18,836m
H=18,83m
EXERCÍCIO 09:
Uma coluna deverá ser calculada para uma tensão admissível à compressão de 120kgf/cm². Adotando-se como carga admissível à flambagem o valor da carga admissível à compressão e utilizando um C.S.F.=3,0, o valor do diâmetro da coluna, a qual é engastada-articulada e tem 9m de altura, vale aproximadamente:
DADO: E=300tf/cm²
Calculo da carga do dimensionamento a compressão δCAD=P/S
P=δcad. A P=1200xπxD²/4
Calculo da carga critica de Flambagem para C.S.F. = 3,0 E=300Tf/cm²=3000Tf/m²
I=πD⁴/64 Le=0,7L=0,7x9=6,3m Le=6,3m
Pcr=π².E.I/Le²
Pcr=π²x3x10⁶xπD⁴/64x6,3² Pcr=36619,2799D⁴
Calculo do diâmetro da coluna C.S.F.=Pcr/P
3=Pcr/P Pcr=3P
36619,2799D⁴=3xδcadxπD²/4
36619,2799D⁴=3x1200xπxD²/4 D=√(3x1200xπ4x36619,2799=0,2779m=27,79cm
D=27,79cm 
EXERCÍCIO10:
Uma coluna deverá ser calculada para uma tensão admissível à compressão de 120kgf/cm². Adotando-se como carga admissível à flambagem o valor da carga admissível à compressão e utilizando um C.S.F.=3,0, o valor da carga crítica à flambagem, a qual é engastada-articulada e tem 9m de altura, vale aproximadamente:
DADO: E=300tf/cm²
a) Ver dados do exercício 9 Pcr=3P Pcr=3x1200xπxD²/4
Pcr=3x(1200xπx0,2779²/4)=218,36Tf Pcr=218,36Tf
Pcr=218,36Tf
EXERCÍCIO 11:
Um edifício alto terá, no térreo, uma coluna maciça de concreto armado, com 1,10 m de diâmetro, sendo sua base engastada em uma fundação profunda e articulado a uma viga na extremidade superior. A coluna foi calculada à compressão para uma tensão admissível σad=18MPa e deseja-se obter um coeficiente de segurança à flambagem igual a 2,5. Para estas condições podemos afirmar:
DADO: E=300tf/cm²
Calculo da carga do dimensionamento a compressão δcad=18MPa=180Kgf/cm²=1800Tf/m²
δcad=P/S P=δcad. A
P=1200xπx1,1²/4=1710,6Tf
Calculo da carga critica de Flambagem para C.S.F. = 2,5 C.S.F.=Pcr/P
Pcr=C.S.F.xP Pcr=2,5x1710,6=4276,5Tf Pcr=4276,5Tf
Calculo da altura da coluna para engastamento/articulação Temos:Le=0,7L
E=300Tf/cm²=3x10⁶Tf/m² I=πD⁴/64 I=πx1,1⁴/64=0,0719m⁴ Pcr=π².E.I/Le² 4276,5=π²x3x10⁶xπ0,0719/Le²
Le=π2x3x106x0,07194276,5=22,31m
Como Le=0,7L Temos:L=Le/0,7 L=22,31/0,7
L=31,9m L=31,9m
EXERCÍCIO 12:
Um pilar retangular, com 1,1m x 3,2m, foi calculado à compressão para uma tensão admissível de 18MPa e é Bi-Articulado. O valor da altura do mesmo para um fator de segurança à flambagem igual a 2,8 é:
DADO: E=260tf/cm²
Calculo da carga do dimensionamento a compressão δcad=18MPa=180Kgf/cm²=1800Tf/m²
δcad=P/S P=δcad. A
P=1800x1,1x3,2=6336Tf
Calculo da carga critica de Flambagem para FS = 2,8 Fator de Segurança=2,8=Pcr/P Pcr=2,8xP=2,8x6336=17740,8Tf
Pcr=17740,8Tf
Calculo da altura do pilar Bi-articulado Temos:Le=L E=260Tf/cm²=2600000Tf/m²=2,6x10⁶Tf/m² I=hb³/12=3,2x1,1³/12=0,3549m⁴
Pcr=π².E.I/Le² L=π2x2,6x106x0,354917740,8=22,66m L=22,66m
EXERCÍCIO 13:
Uma coluna tubular de aço será utilizada como um pontalete no cimbramento de uma estrutura e sua tensão admissível à compressão é σad=380MPa. O valor da altura da coluna, considerando-a Bi-Articulada, e sabendo-se que o diâmetro externo do tubo é 17cm e a espessura da parede do tubo é de 1cm, e considerando um coeficiente de segurança à flambagem igual à 2,5, vale aproximadamente:
DADO: E=21000KN/cm²
Calculo da carga de a compressão no tubo de aço AREA TRANSVERSAL DO TUBO:
A=π(фe²-фi²)/4 Фe=17cm
Фi=фe-2e=17-2x1=15cm
A=π(17²-15²)=50,2655cm²=50,2655.10¯⁴m² δcad=380MPa=380000KN/m²=38.10⁴KN/m²
δcad=P/S P=δcad. A
P=38.10⁴.50,2655.10¯⁴=1910,089KN
Calculo da carga critica de Flambagem C.S.F.=Pcr/P
Pcr=C.S.F.xP Pcr=2,5x11910,09=4775,22KN Pcr=4775,22KN
Calculo da altura da altura do tubo de aço Bi-articulado Temos:Le=L
E=21000KN/cm²=21x10⁷KN/m² I=π.R³.e
R=RAIO MEDIO
Re=RAIO EXTERNO=8,5m Ri=RAIO INTERNO=7,5cm R=8,5+7,5/2=8cm
R=8cm Ix=Iy=I=πR³e=πx8³x1=1608,495cm⁴=1608,4954.10¯⁸m⁴=160,84954.10¯⁷m⁴ Le=L=π2x21.107.160,84954.10¯⁷4775,22=2,6422m
L=2,6m
EXERCÍCIO 14:
Um pilar de ponte, por razões hidráulicas, tem seção transversal elíptica. O pilar está construído e você deseja saber se ele aparenta segurança à flambagem, com fator de segurança ≥ 3,0. O pilar, na sua extremidade inferior, é engastado em um bloco de fundação com 4 tubulões e, na extremidade superior, é articulado ao tabuleiro. O pilar foi calculado para uma tensão admissível à compressão de 16MPa. Verificar o fator de segurança à flambagem.
DADOS: E=2600KN/cm²; altura do pilar é 85m; seção elíptica com semi-eixos a=7m e b=3m.
Calculo da área transversal do pilar A=π.a.b=πx7x3=65,97m²
Calculo da carga P do dimensionamento a compressão δcad=16MPa=16000KN/m²
δcad=P/S P=δcad. A
P=16000.65,97=1055575,13KN
Calculo da carga critica de flambagem Pcr=π².E.I/Le² E=2600KN/cm²=2,6x10⁷KN/m² Ix=πab³/4=πx7x3³/4=148,4403m⁴
Iy=πab(b²+a²)/4=πx7x3(3²+7²)/4=956,6150m⁴
Adotaremos, no calculo de flambagem, o menor valor do momento de inercia da seção transversal do pilar, ou seja:
I=Ix=148,4403m⁴
Como o pilar da ponte e engastado na base e articulado no topo, temos: Le=0,7L
L=Le/0,7 Pcr=π².E.I/Le²=π²x2,6x10⁷x148,4403/0,7²x85²=10759472,6340KN Pcr=10759472,6340KN
Calculo do coeficiente de segurança a flambagem C.S.F.=Pcr/P C.S.F.=10759472,6340/1055575,1=10,1930 C.S.F.=10,2 > 3,0
EXERCÍCIO 15:
Um pilar de ponte, por razões hidráulicas, tem seção transversal elíptica. O pilar está construído e você deseja saber se ele aparenta segurança à flambagem, com fator de segurança ≥ 3,0. O pilar, na sua extremidade inferior, é engastado em um bloco de fundação com 4 tubulões e, na extremidade superior, é articulado ao tabuleiro. O pilar foi calculado para uma tensão admissível à compressão de 16MPa. Verificar o fator de segurança à flambagem.
DADOS: E=2600KN/cm²; altura do pilar é 85m; seção elíptica com semi-eixos a=7m e b=3m
O C.F.S. foi calculado no exercício anterior (14) que e 10,2, acredito que o que esta sendo pedido no exercício em questão e a carga critica Pcr que também foi calculada no exercício anterior e vale 10759472,63KN.
Como existem duas alternativas iguais C e D, somente por tentativa poderá se saber qual e a correta.
Pcr=10759472,63KN
EXERCÍCIO 16:
Um pilar metálico com perfil em W ou de aba larga, designação W310x129, interliga duas articulações em um galpão industrial. O pilar foi calculado à compressão para uma tensão admissível de 380MPa. Assim sendo, o valor da altura do pilar para um C.S.F. = 2,8 é:
DADOS: E=21000KN/cm²; Perfil W310x129 (Área: A=16500mm² e Momento de Inércia: I=100.106mm4)
Calculo da forca de compressão. Para o perfil escolhido obtemos da tabela, o valor da área transversal, ou seja:
A=16500mm² A=16500.10¯⁶m²=1,65.10¯²m² δcad=380MPa=380000KN/m²=3,8.10⁵KN/m²
δcad=P/S P=δcad. A
P=1,65x10¯²x3,8x10⁵=6,27.10³KN=6270KN
Calculo da carga critica em função do coeficiente de segurança adotado a flambagem C.S.F.=Pcr/P=2,8
Pcr=2,8xP Pcr=2,8x6270=17556KN
Calculo da altura do pilar
Como o pilar e articulado nas extremidades, ou seja, e Bi-articulado, temos: Le=L E=21000KN/cm²=21.10⁷KN/m²
Da tabela obtemos o menor dos dois valores de I, ou seja: Iy=100.10⁶mm⁴
I=100.10⁶.10¯¹²m⁴=1.10¯⁴m⁴ Pcr=π².E.I/Le² Le=L=π2xExIPcr=πExIPcr L=π21.107.10¯⁴17556=3,4359m L=3,44m
EXERCÍCIO 17:
Uma barra de seção circular de alumínio (1% Mg) com 120mm de diâmetro e maciça tem módulo de elasticidade transversal G=26GPa e tensão máxima de cisalhamento ζMáx=140MPa. Calcular o Máximo Torque a ser aplicado utilizando um coeficiente de segurança 2 em relação ao início do escoamento ao cisalhamento.
NOTA: 1MPa=106 Pa=106N/m²=103KN/m²
tadm=140/2 = 70Mpa J=(3.14*0.06^4)/ 2 = 2.035*10^-5m^4 T=(0.00002035*70*10^6)/0.06
=23.75KN.m
EXERCICIO 18
– Uma barra maciça de seção circular de aço inoxidável 302 temperado, raio 3,8cm, módulo de elasticidade transversal G=73GPa e tensão de cisalhamento de início de escoamento ζMáx=152MPa. A barra tem 1,60m de comprimento, sendo uma extremidade engastada e a outra livre. Calcular o Máximo Torque.
NOTA: 1GPa=109N/m²=106KN/m²
J= pi * R4 / 2 J=PI * ( 0,038 ) 4 / 2 J=3,27532397*10?6 M4 T= J* TMAX/R T=( 3,27532397*10?6 * 152 * 106) / 0,038 T= 13,10 KN
EXERCICIO 19
Uma barra maciça de seção circular de aço inoxidável 302 temperado, raio 3,8cm, módulo de elasticidade transversal G=73GPa e tensão de cisalhamento de início de escoamento ζMáx=152MPa. A barra tem 1,60m de comprimento, sendo uma extremidade engastada e a outra livre. Calcular a Tensão de Cisalhamento para uma distância de 2,2cm do eixo da barra.
NOTA: 1GPa=109N/m²=106KN/m²
1: A=PIR²/2 A=2,2682*10^-3m² T= TMAX/A T=152*10^6/2,2682*10^-3 T=67013490,87kN/m
EXERCICIO 20
Uma barra maciça de seção circular de aço inoxidável 302 temperado, raio 3,8cm, módulo de elasticidade transversal G=73GPa e tensão de cisalhamento de início de escoamento ζMáx=152MPa. A barra tem 1,60m de comprimento, sendo uma extremidade engastada e a outra livre. Calcular a Deformação de Cisalhamento Máxima (gMáx).
NOTA:1GPa=109N/m²=106KN/m²
I=n pi * d4 / 64 I= 1,63766*10¯6m4 T Max = p/a 152*106=p/4,536459*10¯³ P=698,54*10³
A= PI * d² / 4 A= 4,536459*10¯³ m² Tensão = E * e E= 152*106 / 73*10? e=2,08*10¯³ rad
EXERCICIO 21
Uma barra maciça de seção circular de aço inoxidável 302 temperado, raio 3,8cm, módulo de elasticidade transversal G=73GPa e tensão de cisalhamento de início de escoamento ζMáx=152MPa. A barra tem 1,60m de comprimento, sendo uma extremidade engastada e a outra livre. Calcular o Ângulo de Torção (Φ).
NOTA: 1GPa=109N/m²=106KN/m²
J=(pi * r4) / 2 J= pi * ( 0,038 )4 / 2 = 3,27532397 *10^6 m4 T=j * tmax/ r T= (3,27532397*10?6 * 152 * 106) / 0,038 T= 13,10 KN m ?= t* L / G*J ?=(13,10*10³*1,60) /
(3,27532397*10?6 * 73 *106) ?=0,0876 Rad Alternativa E EXERCICIO 22
I= H4 / 12 I=(0,20)4 / 12 I=(1,6*10¯³) / 12 I= 1,333*10¯4 m4 Pcrit= (pi² *E * I) / Le² 100*10³
= ((pi² )* (3*10¹° )*(1,333*10¯4)) / le² le²=39,468 Le=6,28 m Le=L Portanto L=6,28
EXERCICIO 22
Carga Crítica de Flambagem de um pilar significa a máxima carga que o pilar pode suportar sem flambar, ou seja, sem sofrer flexão devida a compressão simples. O valor desta carga crítica é obtido pela fórmula Pcr = π2.E.I / Le2, na qual, 
- E representa o Módulo de Elasticidade do material constituinte do pilar,
- I representa o menor dos Momentos de Inércia da seção transversal do pilar,
- Le representa o comprimento equivalente do pilar, considerando-se os vínculos de suas extremidades.
Analisando um pilar bi-articulado, cuja seção transversal é um quadrado com 20 cm de lado e o Módulo de Elasticidade é E = 3.000 kN/cm2, constatou-se que a sua carga crítica é Pcr = 1.000 kN.
Nestas condições, pode-se afirmar que a altura deste pilar é de:
I= H4 / 12 I=(0,20)4 / 12 I=(1,6*10¯³) / 12 I= 1,333*10¯4 m4 Pcrit= (pi² *E * I) / Le² 100*10³
= ((pi² )* (3*10¹° )*(1,333*10¯4)) / le² le²=39,468 Le=6,28 m Le=L Portanto L=6,28
EXERCICIO 23
Um conceito importante no estudo da flambagem dos pilares, é o de Coeficiente de Segurança à Flambagem (CSF), ou Fator de Segurança à Flambagem (FSF), que pode ser obtido pela equação CSF = Pcr / P, na qual, Pcr é a carga crítica de flambagem e P a máxima carga de compressão a que o pilar estará sujeito.
Uma coluna do andar térreo de um edifício alto, com Modulo de Elasticidade E = 3.000 kN/cm2 e 14 m de altura, engastada na sua extremidade inferior e articulada na superior, estará sujeita a uma compressão máxima de 1.600 kN. Para um fator de segurança à flambagem FSF = 3, o diâmetro desta coluna deve ser de:
Fs=Pcri/P Pcri=4,8.10^6 4,8.10^6= (p².(3.10^10).( p.d^4/64))9,8² Le=0,7.14 d=0,422m ou
42,2cm
EXERCICIO 24 Duas placas de concreto armado, que arrimam dois taludes verticais de terra, comprimem uma estronca de madeira, que as escora horizontalmente, com uma força de 120 kN. Considerando esta estronca bi-articulada, com 6,40 m de comprimento, seção transversal circular e módulo de elasticidade E = 700 kN/cm2. Para que o coeficiente de segurança à flambagem CSF = 2, o diâmetro desta estronca de madeira deve ter:
I=PIxD^4/64 I=0,05D^4 m^4 P=Pcr/CS 120000=Pcr/2 CS=240000 Pcr=PI^2xExI/Le^2 240000=PI^2x9.10^9x0,05D^4/6,4^2 D=23,09 cm
EXERCICIO 25
Um dos modernos Sistemas Construtivos é o Sistema “Tilt-Up”, de produção de lajes ou placas Pré-Moldadas, de concreto armado, no local da Obra, as quais, após a cura do concreto, são movimentadas por Guindastes e posicionadas na vertical, para poderem trabalhar como Painel de Vedação e também como Estrutura de Suporte. Você está analisando o projeto de uma dessas lajes de concreto armado, a qual tem 0,2m de espessura, 1m de largura e altura a definir. A tensão admissível à compressão é de 15MPa. Você considera que o Fator ou Coeficiente de Segurança à Flambagem, adequado ao projeto, é três. O valor da carga admissível à compressão é:
A=B*H A=0,2 *1 = 0,2 m² Tensão = P / A 15000000 = P/ 0,2 P=300 KN
EXERCICIO 26
Um dos modernos Sistemas Construtivos é o Sistema “Tilt-Up”, de produção de lajes ou placas Pré-Moldadas, de concreto armado, no local da Obra, as quais, após a cura do concreto, são movimentadas por Guindastes e posicionadas na vertical, para poderem trabalhar como Painel de Vedação e também como Estrutura de Suporte. Você está analisando o projeto de uma dessas lajes de concreto armado, a qual tem 0,2m de espessura, 1m de largura e altura a definir. A tensão admissível à compressão é de 15MPa. Você considera que o Fator ou Coeficiente de Segurança à Flambagem (C.S.F.), adequado ao projeto, é três. O valor da carga crítica em função do C.S.F., é:
sadm=P/A P=15E6*0,2=3000KN Pcr=3*3000E3=9000KN
EXERCICIO 27
Uma viga horizontal, de concreto armado, suporta uma alvenaria com 9,00 m de altura, 0,80 m de espessura e peso específico de 20 kN/m3. Esta viga, cujo peso específico é de 25 kN/m3 e o módulo de elasticidade de 3.000 kN/cm2, tem seção transversal quadrada, com 1,00 m de lado, e se apóia nas extremidades, com vão teórico de 10,00 m, em dois pilares quadrados iguais, bi-articulados, dimensionados para uma compressão de 15 MPa. Considerando um coeficiente de segurança à flambagem CSF = 3,0, pode-se afirmar que cada pilar tem, respectivamente, lados e altura com os seguintes valores:
Pviga=25*1*1*10 Pviga=250kN Palv=20*0,8*10*9 Palv=1440kN Ptotal=250+1440 Ptotal=1690kN P por pilar Pt/2=1690/2 Ppor pilar=845KN T=P/A 15*10³=845/lado² Lado=0,24m ou lado=24cm P=Pcrit/CS Pcrit=2535kN I=L^4/12 I=0,24^4/12 I=0,000276m^4 PCRIT= (PI² * E * I) / Le² 2535=(PI²*3*10^7*0,000276)/Le² Le=5,68m Bi-articulado Le=L portanto L=5,68
EXERCICIO 28:
A progressiva industrialização da construção civil brasileira está transformando obras artesanais em linhas de montagem, empregando componentes estruturais pré-fabricados, de concreto armado e protendido, tais como lajes, pilares e vigas. Para a construção de uma grande loja de departamentos, pretende-se utilizar todos os pilares iguais, variando apenas os vínculos das extremidades, que serão bi-articulados ou bi-engastados.
Revendo os conceitos da Teoria de Eüler para a flambagem, você conclui que a carga crítica de flambagem de um pilar bi-engastado é:8
LE= L ( bi-articulado ) Engastado = le= 0,5le Bi-engastado = 2*(Le=o,5l) assim fica 2le= l O qudruplo da carga critica do pilar bi-articulado
EXERCICIO 29
Uma coluna de concreto armada de um edifício, com 0,80 m de diâmetro, foi dimensionada para uma tensão admissível à compressão de 10 MPa. Esta coluna, situada no andar térreo do edifício, terá 20,00 m de altura, pode ser considerada bi-articulada, e o seu módulo de elasticidade é de 3.000 kN/cm2. Para tais condições, o valor do coeficiente de segurança à flambagem da coluna será:
LE= L ( bi-articulado ) Engastado = le= 0,5le Bi-engastado = 2*(Le=o,5l) assim fica 2le= l O qudruplo da carga critica do pilar bi-articulado
I=PIxD^4/64 I=0,02 m^4 Pcr=PI^2xExI/Le^2 Pcr=PI^2x3.10^10x0,02/20^2 Pcr=14,88.10^6 P=Pcr/CS 10^7=14,88.10^6/CS CS=1,48 I=PIxD^4/64 I=0,02 m^4 Pcr=PI^2xExI/Le^2 Pcr=PI^2x3.10^10x0,02/20^2 Pcr=14,88.10^6 P=Pcr/CS 10^7=14,88.10^6/CS CS=1,48
I=PIxD^4/64 I=0,02 m^4 Pcr=PI^2xExI/Le^2 Pcr=PI^2x3.10^10x0,02/20^2 Pcr=14,88.10^6 P=Pcr/CS 10^7=14,88.10^6/CS CS=1,48 I=PIxD^4/64 I=0,02 m^4 Pcr=PI^2xExI/Le^2 Pcr=PI^2x3.10^10x0,02/20^2 Pcr=14,88.10^6 P=Pcr/CS 10^7=14,88.10^6/CS CS=1,48
I=PIxD^4/64 I=0,02 m^4 Pcr=PI^2xExI/Le^2 Pcr=PI^2x3.10^10x0,02/20^2 Pcr=14,88.10^6 P=Pcr/CS 10^7=14,88.10^6/CS CS=1,48 I=PIxD^4/64 I=0,02 m^4 Pcr=PI^2xExI/Le^2 Pcr=PI^2x3.10^10x0,02/20^2 Pcr=14,88.10^6 P=Pcr/CS 10^7=14,88.10^6/CS CS=1,48
I=PIxD^4/64 I=0,02 m^4 Pcr=PI^2xExI/Le^2 Pcr=PI^2x3.10^10x0,02/20^2 Pcr=14,88.10^6 P=Pcr/CS 10^7=14,88.10^6/CS CS=1,48
EXERCICIO 30
Um pilar quadrado de concreto armado é bi-engastado e foi calculado para uma força de compressão de 3.200 kN. Sabendo-se que o seu módulo de elasticidade é de 2.800 kN/cm2 e a sua altura 18,00 m, e o coeficiente de segurança à flambagem é 3,0, pode-se afirmar que cada lado da sua seção transversal tem:
I= H4 / 12 I= 0,083333H4 P=PCRIT / FS 3200*10³ = PCRIT / 3 PCRIT= 9600 *10³ PCRIT= (PI² * E * I)/ Le² 9600*10³ = (PI² * 28000000000 * 0,08333h4) / 9² h4= 0,0337667
h= 0,36 m ou h= 36,6 cm
I= H4 / 12 I= 0,083333H4 P=PCRIT / FS 3200*10³ = PCRIT / 3 PCRIT= 9600 *10³ PCRIT= (PI² * E * I) / Le² 9600*10³ = (PI² * 28000000000 * 0,08333h4) / 9² h4= 0,0337667
h= 0,36 m ou h= 36,6 cm
I= H4 / 12 I= 0,083333H4 P=PCRIT / FS 3200*10³ = PCRIT / 3 PCRIT= 9600 *10³ PCRIT= (PI² * E * I) / Le² 9600*10³ = (PI² * 28000000000 * 0,08333h4) / 9² h4= 0,0337667
h= 0,36 m ou h= 36,6 cm
I= H4 / 12 I= 0,083333H4 P=PCRIT / FS 3200*10³ = PCRIT / 3 PCRIT= 9600 *10³ PCRIT= (PI² * E * I) / Le² 9600*10³ = (PI² * 28000000000 * 0,08333h4) / 9² h4= 0,0337667
h= 0,36 m ou h= 36,6 cm
I= H4 / 12 I= 0,083333H4 P=PCRIT / FS 3200*10³ = PCRIT / 3 PCRIT= 9600 *10³ PCRIT= (PI² * E * I) / Le² 9600*10³ = (PI² * 28000000000 * 0,08333h4) / 9² h4= 0,0337667
h= 0,36 m ou h= 36,6 cm
EXERCICIO 31
Um poste de concreto, destinado a iluminar a implantação do canteiro de obras de uma barragem, que será construída na Região Norte do Brasil, é maciço, tem peso específico de 25 kN/m3, e terá uma parte enterrada, correspondente ao engastamento. Para um diâmetro constante de 1,00 m e coeficiente de segurança à flambagem CSF = 3,0, pode-se afirmar que a altura livre deste poste apresenta, aproximadamente, o seguinte valor:
P =PCRIT / CFS I=Pi D^4/64 I=0,049087385 PCRIT= (PI² * E * I) / Le² Questão 32 letra B P =PCRIT / CFS 200* 3 = PCRIT 600= (PI²* 300*104*I) / (22,4) ² I= 0,101677m4 IY= (B³ * H) / 12 0,1017= b³ * 3² / 12 Le=0,70l Le= 0,70*32 Le= 22,4
EXERCICIO 32
Um pilar-parede, de uma ponte isostática, é de concreto armado, com 300 Tf/cm2 de Módulo de Elasticidade, tem 10,00 m de comprimento e pode ser considerado engastado/articulado. A altura deste pilar-parede é 32,00 m, a compressão máxima será de 2.000 Tf, e o coeficiente de segurança à flambagem adotado é CSF = 3,0. Nestas condições, o valor da espessura deste pilar-parede deve ser:
P =PCRIT / CFS 200* 3 = PCRIT 600= (PI²* 300*104*I) / (22,4) ² I= 0,101677m4 IY= (B³
* H) / 12 0,1017= b³ * 3² / 12 Le=0,70l Le= 0,70*32 Le= 22,4
P =PCRIT / CFS 200* 3 = PCRIT 600= (PI²* 300*104*I) / (22,4) ² I= 0,101677m4 IY= (B³
* H) / 12 0,1017= b³ * 3² / 12 Le=0,70l Le= 0,70*32 Le= 22,4
P =PCRIT / CFS 200* 3 = PCRIT 600= (PI²* 300*104*I) / (22,4) ² I= 0,101677m4 IY= (B³
* H) / 12 0,1017= b³ * 3² / 12 Le=0,70l Le= 0,70*32 Le= 22,4
P =PCRIT / CFS 200* 3 = PCRIT 600= (PI²* 300*104*I) / (22,4) ² I= 0,101677m4 IY= (B³
* H) / 12 0,1017= b³ * 3² / 12 Le=0,70l Le= 0,70*32 Le= 22,4
P =PCRIT / CFS 200* 3 = PCRIT 600= (PI²* 300*104*I) / (22,4) ² I= 0,101677m4 IY= (B³
* H) / 12 0,1017= b³ * 3² / 12 Le=0,70l Le= 0,70*32 Le= 22,4
EXERCICIO 33
Uma viga prismática de concreto armado e protendido,tem seção transversal retangular,com 1,2 m de base e 4,2 m de altura,com 40 m de vão.Após a retirada da fôrma e das escoras provisórias (cimbramento) a viga permanece,temporariamente,submetida apenas à carga do peso próprio.Sabendo-se que a viga está simplesmente apoiada nas extremidades,sujeita à flexão simples,e,sendo seu peso específico 25 KN/m3,pode-se afirmar que a máxima tensão de compressão,que ocorre na seção do meio do vão da viga,apresenta o seguinte valor:
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
EXERCICIO 34
As vigas de concreto armado são,na sua grande maioria,de seção quadrada ou retangular.Excepcionalmente podem ser de seção transversal circular,geralmente por razões construtivas.Você está analisando uma viga de seção circular,com 80 cm de diâmetro,submetida à flexão simples.Para calcular a máxima tensão de compressão na viga você deverá utilizar um momento de inércia da seção transversal da viga com o seguinte valor:
D= 80cm / 100 = 0,80 m I= pi * d4 / 64 I= PI * ( 0,80 ) 4 / 64 I= 0,02 m4
EXERCICIO 35
Uma coluna vertical de concreto armado foi dimensionada à compressão para uma carga de 800 KN e o seu fator de segurança (coeficiente de segurança ) à flambagem é tres.A coluna é biarticulada e seu módulo de deformação(elasticidade ) é de 3000 KN/cm2.Sabendo-se que a tensão admissível utilizada para o dimensionamento da coluna foi de 10 MPa,pode-se afirmar que a altura da coluna apresenta o seguinte valor:
10*106=800* 10³ / a A= 0,08 m² P = p crit / fs 800*10³ = pcrit / 3 Pcrit = 2,4*106 Area= 0,2828471 I= 5,333333*10¯4 Pcrit=( pi² * e * I) / le² 2,4*106= PI ² * 3*10¹° * 5,333333*10¯4
/le² Le² = (157,913670*106 )/ (2,48*106) Le= 8,11155
2: 10*106=800* 10³ / a A= 0,08 m² P = p crit / fs 800*10³ = pcrit / 3 Pcrit = 2,4*106 Area= 0,2828471 I= 5,333333*10¯4 Pcrit=( pi² * e * I) / le² 2,4*106= PI ² * 3*10¹° * 5,333333*10¯4
/le² Le² = (157,913670*106 )/ (2,48*106) Le= 8,11155
EXERCICIO 36
Uma coluna vertical de concreto armado é biarticulada e seu diâmetro tem 1,3 m.Sabe-se que a carga crítica de flambagem da coluna é de 13000 KN e o módulo de deformação do concreto da coluna,obtido através de ensaios de laboratório,apresenta o valor de 2840 KN/cm2.Para estas condições pode-se afirmar que a altura da coluna apresenta o seguinte valor:
I = PI * D4 /64 PI * (1,3)4 /64 = 0,14019848 P= P CRIT / CS P CIRT= (PI ² * E * I ) / LE ² 13000* 10³ = (PI² * 2,84*10¹° * 0,14019848 )/ LE² LE²= 3,92971804*10¹° / 13000*10³ LE=
54,98
I = PI * D4 /64 PI * (1,3)4 /64 = 0,14019848 P= P CRIT / CS P CIRT= (PI ² * E * I ) / LE ² 13000* 10³ = (PI² * 2,84*10¹° * 0,14019848 )/ LE² LE²= 3,92971804*10¹° / 13000*10³ LE=54,98
EXERCICIO 37
Um pilar-parede de concreto armado de uma ponte tem seção retangular de 1 m X 10 m ,sendo engastado na fundação e articulado no tabuleiro.A tensão de compressão admissível no pilar é de 12 MPa e o coeficiente de segurança à flambagem é 3,0.Sabendo-se que o módulo de deformação do concreto do pilar é de 3000 KN/cm2,pode-se afirmar que o pilar da ponte tem uma altura de:
I y = (b ³ *h) / 12 = (1³* 10) / 12 = 0,8333333 I x= (b * h ³) / 12 = (1* 10 ³) / 12 = 83,333333 Área = b* h + 10 Tensão = P/A 12000KN = P /10 P= 120000 KN P = P CRIT / CFS 12000 = PCRIT / 3 P CRIT = 360000 KN PCRIT = (PI ² * E * I) / LE² 360000KN = ((PI ²) * (3*10¹° )* (0,833333)) / LE² LE= 26,27993 L= LE /70 L= 37 ,39
I y = (b ³ *h) / 12 = (1³* 10) / 12 = 0,8333333 I x= (b * h ³) / 12 = (1* 10 ³) / 12 = 83,333333 Área = b* h + 10 Tensão = P/A 12000KN = P /10 P= 120000 KN P = P CRIT / CFS 12000 = PCRIT / 3 P CRIT = 360000 KN PCRIT = (PI ² * E * I) / LE² 360000KN = ((PI ²) * (3*10¹° )* (0,833333)) / LE² LE= 26,27993 L= LE /70 L= 37 ,39
I y = (b ³ *h) / 12 = (1³* 10) / 12 = 0,8333333 I x= (b * h ³) / 12 = (1* 10 ³) / 12 = 83,333333 Área = b* h + 10 Tensão = P/A 12000KN = P /10 P= 120000 KN P = P CRIT / CFS 12000 = PCRIT / 3 P CRIT = 360000 KN PCRIT = (PI ² * E * I) / LE² 360000KN = ((PI ²) * (3*10¹° )* (0,833333)) / LE² LE= 26,27993 L= LE /70 L= 37 ,39
I y = (b ³ *h) / 12 = (1³* 10) / 12 = 0,8333333 I x= (b * h ³) / 12 = (1* 10 ³) / 12 = 83,333333 Área = b* h + 10 Tensão = P/A 12000KN = P /10 P= 120000 KN P = P CRIT / CFS 12000 = PCRIT / 3 P CRIT = 360000 KN PCRIT = (PI ² * E * I) / LE² 360000KN = ((PI ²) * (3*10¹° )* (0,833333)) / LE² LE= 26,27993 L= LE /70 L= 37 ,39
I y = (b ³ *h) / 12 = (1³* 10) / 12 = 0,8333333 I x= (b * h ³) / 12 = (1* 10 ³) / 12 = 83,333333 Área = b* h + 10 Tensão = P/A 12000KN = P /10 P= 120000 KN P = P CRIT / CFS 12000 = PCRIT / 3 P CRIT = 360000 KN PCRIT = (PI ² * E * I) / LE² 360000KN = ((PI ²) * (3*10¹° )* (0,833333)) / LE² LE= 26,27993 L= LE /70 L= 37 ,39
EXERCICIO 38
O uso de tubos de aço como colunas na construção civil vem,progressivamente,aumentando.Atualmente são usuais a construção de estruturas mistas,nas quais o concreto e o aço integram,de forma harmoniosa,os mais diversos projetos de edificações.No cálculo das colunas de aço com paredes finas,faz-se necessária,além da resitência à compressão e à flambagem,a verificação do torque máximo que pode ser aplicado na coluna tubular de açio.Você está analisando uma coluna tubular de aço com paredesfinas e verifica que o diâmetro externo do tubo é de 40 cm e a espessura da parede do tubo é de 1 cm .Constata também que a coluna tem 6 m de altura e o módulo de elasticidade transversal do aço utilizado é de 75 GPa.Sabendo-se que a tensão de cisalhamento máxima é de 300 MPa,pode-se afirmar que o torque(torção ) aplicao na coluna tubular apresenta o seguinte valor:
J=PI*(R^4-r^4)/2 J=PI*(0,20^4-0,195^4)/2=2,420587322E-4m^4 T=J*Tmáx/C=2,420587322E-4*300E6/0,2 T=363 KN
EXERCICIO 39
O módulo de deformação transversal do concreto é um parâmetro fundamental para o cálculo da torção em colunas de concreto armado com seção circular,tanto maciças,como vazadas. Sendo 0,2 o coeficiente ou módulo de Poisson de um concreto que tem módulo de deformação longitudinal de 3000 KN/cm2,pode-se afirmar que o módulo de deformação transversal G do concreto apresenta o seguinte valor:
v=0,2 E=3000kn/cm² E=2G(1+v) G=1250 KN/cm² v=0,2 E=3000kn/cm² E=2G(1+v) G=1250 KN/cm² v=0,2 E=3000kn/cm² E=2G(1+v) G=1250 KN/cm² v=0,2 E=3000kn/cm² E=2G(1+v) G=1250 KN/cm²
EXERCICIO 40
Uma coluna maciça de concreto armado , com 1 m de diâmetroi,está submetida a um momento de torção de 2000 KN.m , aplicado na sua seção superior.Considerando-se que a máxima tensão tangencial é a relação entre o torque aplicado e o momento resistente à torção,pode-se afirmar que a máxima tensão tangencial na coluna apresenta o seguinte valor:
j=pixR^4/2=0.98 t=jxtmax/c=2000x10^3=0.098xtmax/0.5 tmx=10,2mpa
EXERCICIO 41
Uma viga em balanço , de concreto armado , prismática e horizontal , tem seção transversal quadrada , com 1 m de lado e seu peso específico é de 25 KN/m3. A viga tem 10 m de comprimento e seu módulo de deformação é E = 3000 KN/cm2. Nessas condições pode-se afirmar que a flecha na metade do balanço apresenta o seguinte valor:
J=PI*(R^4-r^4)/2 J=PI*(0,20^4-0,195^4)/2=2,420587322E-4m^4 T=J*Tmáx/C=2,420587322E-4*300E6/0,2 T=363 KN
EXERCICIO 42
Uma viga em balanço , de concreto armado , prismática e horizontal , tem 8 m de comprimento e sua seção transversal é retangular , com 0,8 m de base e 1,2 m de altura e peso específico de 25 KN/m3.Após a retirada do escoramento ,apenas com a carga do peso próprio , pode-se afirmar que a máxima tensão de compressão ,que ocorre no engastamento , apresenta o seguinte valor:
I = PI * D4 /64 PI * (1,3)4 /64 = 0,14019848 P= P CRIT / CS P CIRT= (PI ² * E * I ) / LE ² 13000* 10³ = (PI² * 2,84*10¹° * 0,14019848 )/ LE² LE²= 3,92971804*10¹° / 13000*10³ LE=
54,98 Questão 37 letra a I y = (b ³ *h) / 12 = (1³* 10) / 12 = 0,8333333 I x= (b * h ³) / 12 = (1*
10 ³) / 12 = 83,333333 Área = b* h + 10 Tensão = P/A 12000KN = P /10 P= 120000 KN P = P CRIT / CFS 12000 = PCRIT / 3 P CRIT = 360000 KN PCRIT = (PI ² * E * I) / LE² 360000KN
= ((PI ²) * (3*10¹° )* (0,833333)) / LE² LE= 26,27993 L= LE /70 L= 37 ,39
I = PI * D4 /64 PI * (1,3)4 /64 = 0,14019848 P= P CRIT / CS P CIRT= (PI ² * E * I ) / LE ² 13000* 10³ = (PI² * 2,84*10¹° * 0,14019848 )/ LE² LE²= 3,92971804*10¹° / 13000*10³ LE=
54,98 Questão 37 letra a I y = (b ³ *h) / 12 = (1³* 10) / 12 = 0,8333333 I x= (b * h ³) / 12 = (1*
10 ³) / 12 = 83,333333 Área = b* h + 10 Tensão = P/A 12000KN = P /10 P= 120000 KN P = P CRIT / CFS 12000 = PCRIT / 3 P CRIT = 360000 KN PCRIT = (PI ² * E * I) / LE² 360000KN
= ((PI ²) * (3*10¹° )* (0,833333)) / LE² LE= 26,27993 L= LE /70 L= 37 ,39
I = PI * D4 /64 PI * (1,3)4 /64 = 0,14019848 P= P CRIT / CS P CIRT= (PI ² * E * I ) / LE ² 13000* 10³ = (PI² * 2,84*10¹° * 0,14019848 )/ LE² LE²= 3,92971804*10¹° / 13000*10³ LE=
54,98 Questão 37 letra a I y = (b ³ *h) / 12 = (1³* 10) / 12 = 0,8333333 I x= (b * h ³) / 12 = (1*
10 ³) / 12 = 83,333333 Área = b* h + 10 Tensão = P/A 12000KN = P /10 P= 120000 KN P = P CRIT / CFS 12000 = PCRIT / 3 P CRIT = 360000 KN PCRIT = (PI ² * E * I) / LE² 360000KN
= ((PI ²) * (3*10¹° )* (0,833333)) / LE² LE= 26,27993 L= LE /70 L= 37 ,39
EXERCICIO 43
Uma indústria de pré-fabricados de concreto armado e protendido tem um sistema de fôrmas de aço para a produção de vigas prismáticas , com seção retangular , com 1 m de base e 2 m de altura. A indústria pretende fabricar vigas com a mesma base , porém com o dobro do momento de inércia. Para tanto, a altura da nova viga deverá ser:
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
2: Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
EXERCICIO 44
Uma viga de concreto armado , em balanço , tem seção transversal quadrada , e seu comprimento é de 6 m ,com módulo de deformação E = 3000 KN/cm2 . Após a retirada do cimbramento ou escoramento , a viga apresentou uma flecha máxima de de 5 mm . Com estes dados , pode-se afirmar que que o lado da seção transversal da viga apresenta o seguinte valor:
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8
Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
EXERCICIO 45
Uma viga em balanço de concreto armado tem 9 m de comprimento , peso específico de 25 KN/m3 , e sua seção transversal é circular , com diâmetro de 1 m. A extremidade livre da viga suporta um fio de aço que causou uma flecha máxima de 2 cm na viga em balanço. Sabendo-se que o módulo de deformação do concreto da viga é de 2800 KN/cm2 , pode-se afirmar que a força de tração no fio de aço apresenta o seguinte valor:
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
Qviga = ¥ * A Qviga = 25* 4,2 * 1,2 Qviga= 126 kn Mx= q *l / 8 Mx 126*10³ * ( 40 ) ² )/ 8 Mx=25,2*106 Ix= b*h³ /12 Ix= (1,2) * ( 4,2) ³ / 12 Ix= 7,4088 m4 Tensao adm 25,2 *106 *2,1 )
/ 7,4088 = 7,14 mpa Tensão adm = 7,14 mpa
EXERCICIO 46
Uma viga prismática horizontal de concreto armado , com seção transversal quadrada , tem 20 m de vão e é apoiada nas suas extremidades.O peso específico do concreto armado da viga é 25 KN/m3 e sua flecha máxima devida ao seu peso próprio é de 3 cm.Sendo o módulo de deformação da viga E = 3000 KN/cm2 pode-se afirmar que os lados da seção transversal da viga tem o seguinte valor:
Achei a carga da viga q=2,5tf/m³ achei o momento Maximo Mmáx=45tf*m achei o momento de inercia I=0,0833m^4 o ymáx=1/2 ou 0,5m e joguei na formula de tensão maximaTmáx= (Mmáx/I)*ymáx portanto: Tmáx=270,1tf/m²
EXERCICIO 47
Uma viga primática horizontal , de concreto armado e protendido ,com 30 m de vão , tem seção transversal retangular , com 1 m de base e 3 m de altura . O concreto da viga tem módulo de deformação de 3000 KN/cm2 e seu peso específico é de 25 KN/m3. A viga suporta uma parede de alvenaria com 12 m de altura , 0,8 m de espessura , e peso específico de 20 KN/m3 . Nestas condições pode-se afirmar que a flecha máxima da viga apresenta o seguinte valor:
achei a carga da viga q=2,5tf/m³ e a carga da alvenaria qalv=12,8tf/m³ e ai a carga total qtotal=15,3tf/m³ achei o momento Maximo Mmáx=275,4tf*m achei o momento de inercia I=0,0833m^4 o ymáx=1/2 ou 0,5m e joguei na formula de tensão maxima Tmáx= (Mmáx/I)*ymáx portanto: Tmáx=1653,06tf/m²
achei a carga da viga q=2,5tf/m³ e a carga da alvenaria qalv=12,8tf/m³ e ai a carga total qtotal=15,3tf/m³ achei o momento Maximo Mmáx=275,4tf*m achei o momento de inercia I=0,0833m^4 o ymáx=1/2 ou 0,5m e joguei na formula de tensão maxima Tmáx= (Mmáx/I)*ymáx portanto: Tmáx=1653,06tf/m²
achei a carga da viga q=2,5tf/m³ e a carga da alvenaria qalv=12,8tf/m³ e ai a carga total qtotal=15,3tf/m³ achei o momento Maximo Mmáx=275,4tf*m achei o momento de inercia I=0,0833m^4 o ymáx=1/2 ou 0,5m e joguei na formula de tensão maxima Tmáx= (Mmáx/I)*ymáx portanto: Tmáx=1653,06tf/m²
achei a carga da viga q=2,5tf/m³ e a carga da alvenaria qalv=12,8tf/m³ e ai a carga total qtotal=15,3tf/m³ achei o momento Maximo Mmáx=275,4tf*m achei o momento de inercia I=0,0833m^4 o ymáx=1/2 ou 0,5m e joguei na formula de tensão maxima Tmáx= (Mmáx/I)*ymáx portanto: Tmáx=1653,06tf/m²
Achei a carga da viga q=2,5tf/m³ e a carga da alvenaria qalv=12,8tf/m³ e ai a carga total qtotal=15,3tf/m³ achei o momento Maximo Mmáx=275,4tf*m achei o momento de inercia I=0,0833m^4 o ymáx=1/2 ou 0,5m e joguei na formula de tensão maxima Tmáx= (Mmáx/I)*ymáx portanto: Tmáx=1653,06tf/ m²
EXERCICIO 48
A viga mostrada na figura abaixo é fabricada em madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento vertical interna resultante V=3 kN. Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P.
EXERCICIO 49
O elemento mostrado na figura abaixo tem seção transversal retangular. Determine o estado de tensão que a carga produz no ponto C.