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08/03/2019 O alvorecer da teoria quântica
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CAPÍTULO 1O alvorecer da teoria quântica
No final do século XIX, muitos cientistas acreditavam que toda a diversão
descobertas fundamentais da ciência foram feitas e pouco permaneceu, mas para esclarecer um
alguns problemas menores e para melhorar os métodos experimentais para medir os resultados físicos
para um maior número de casas decimais. Esta atitude foi de certa forma justificada pela
grandes avanços que foram feitos até aquele momento. Os químicos tinham finalmente resolvido o
problema aparentemente insuperável de atribuir um conjunto auto-consistente de massas atômicas
aos elementos. O conceito da molécula de Stanislao Cannizzaro, enquanto inicialmente
versial, foi então amplamente aceito. A grande obra de Dmitri Mendeleev resultou
em uma tabela periódica dos elementos, embora as razões subjacentes que tal periódica
comportamento ocorrido na natureza não foram compreendidos. Friedrich Kekule tinha resolvido o
grande controvérsia sobre a estrutura do benzeno. Os fundamentos da química
reações haviam sido elucidadas por Svante Arrhenius, e o trabalho restante parecia
consistem principalmente em catalogar os vários tipos de reações químicas.
No campo relacionado da física, a mecânica newtoniana foi estendida por Comte
Joseph Lagrange e Sir William Hamilton. A teoria resultante foi aplicada ao planejamento
movimento etário e também poderia explicar outros fenômenos naturais complicados, como
elasticidade e hidrodinâmica. O conde Rumford e James Joule demonstraram a
equivalência de calor e trabalho, e as investigações de Sadi Camot resultaram na
mulação do que é agora a entropia e a segunda lei da termodinâmica. Este trabalho
foi seguido por Josiah Gibbs 'desenvolvimento completo do campo da termodinâmica.
Logo, os cientistas descobririam que as leis da física também eram relevantes para os
compreensão de sistemas químicos. A interface entre estes dois aparentemente não relacionados
As disciplinas formavam o campo moderno da química física, o tópico deste livro. Em
Na verdade, o tratamento da termodinâmica por Gibbs é tão importante para a química que é ensinado
em uma forma que é essencialmente inalterada da formulação original de Gibbs.
Os campos relacionados de óptica e teoria eletromagnética estavam passando por
maturação. O século XIX testemunhou uma contínua controvérsia sobre se
a luz era de ondas ou partícula. Muitas observações diversas e importantes foram
unificado por James Clerk Maxwell em uma série de equações enganosamente simples 1
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2 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
que levam seu nome. Não só as previsões de Maxwell do comportamento eletromagnético
de luz unificar os campos da óptica com eletricidade e magnetismo, mas sua subsequente
demonstração experimental por Heinrich Hertz em 1887 pareceu finalmente demonstrar
essa luz era de ondas. As implicações desses campos para a química não seriam
apreciado por várias décadas, mas agora são aspectos importantes da disciplina de
química física, particularmente em espectroscopia.
O corpo dessas realizações na física é considerado o desenvolvimento
do que hoje chamamos de física clássica. Mal os cientistas perceberam justificadamente
era inebriante de sucesso que os princípios fundamentais de como o mundo físico funciona
seriam logo derrubados. Descobertas fantásticas estavam prestes a revolucionar não
apenas física, química, biologia e engenharia, mas teria efeitos significativos
em tecnologia e política também. O início do século XX viu o nascimento do
teoria da relatividade e mecânica quântica. O primeiro, devido ao trabalho de Albert Ein-
stein sozinho, alterou completamente as idéias de espaço e tempo do cientista e foi uma extensão
das idéias clássicas para incluir altas velocidades e distâncias astronômicas. Quantum
mecânica, a extensão das idéias clássicas no comportamento das técnicas subatômicas, atômicas,
e espécies moleculares, por outro lado, resultou dos esforços de muitos criativos
cientistas ao longo de várias décadas. Até o momento, o efeito da relatividade em sistemas químicos
foi limitado. Embora seja importante compreender as propriedades eletrônicas de
átomos pesados, não desempenha um papel muito importante na estrutura molecular e na reatividade
e assim não é geralmente ensinado em química física. Mecânica quântica, no entanto,
forma a base sobre a qual toda a química é construída. Nossa compreensão atual
de estrutura atômica e ligação molecular é moldada em termos de princípios fundamentais
os princípios da mecânica quântica e nenhuma compreensão dos sistemas químicos é possível
sem conhecer os fundamentos dessa teoria atual da matéria. Por esta razão, começamos
este livro com vários capítulos que incidem sobre os princípios fundamentais do quantum
mecânica. Em seguida, seguimos com uma discussão de ligação química e espectroscopia,
que demonstram claramente a influência que a mecânica quântica teve no campo
de Química.
Grandes mudanças na ciência são estimuladas por observações e novas idéias criativas. Deixei
nós voltamos para os anos finais complacentes do século XIX para ver exatamente o que eram
os eventos que tanto abalaram o mundo da ciência.
1-1. Radiação de corpo negro não pode ser explicada
pela física clássica
A série de experimentos que revolucionou os conceitos de física tinha a ver com
a radiação emitida pelos corpos materiais quando eles são aquecidos. Nós todos sabemos, por
exemplo, que quando o queimador de um fogão elétrico é aquecido, ele primeiro fica vermelho
e progressivamente fica mais vermelho à medida que a temperatura aumenta. Nós também sabemos que
como um corpo é aquecido ainda mais, a radiação torna-se branca e, em seguida, azul como o seu
a temperatura continua a aumentar. Assim, vemos que há um deslocamento contínuo do
cor de um corpo aquecido de vermelho através de branco para azul como o corpo é aquecido a maior
Página 31-1. Radiação de corpo negro não pode ser explicada pela física clássica
temperaturas. Em termos de frequência, a radiação emitida vai de uma freqüência menor
para uma frequência mais alta à medida que a temperatura aumenta, porque o vermelho está em uma frequência mais baixa
região do espectro que é azul. O espectro de frequências exacto emitido pelo
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corpo depende do próprio corpo em si, mas um corpo ideal, que absorve e emitetodas as freqüências, é chamado de corpo negro e serve como uma idealização para qualquer
material. A radiação emitida por um corpo negro é chamada de radiação de corpo negro.
Um gráfico da intensidade da radiação de corpo negro versus frequência para vários
aturas é dada na Figura 1.1. Muitos físicos teóricos tentaram derivar expressões
consistente com estas curvas experimentais de intensidade versus frequência, mas elas foram
tudo sem sucesso. De fato, a expressão que é derivada de acordo com as leis de nove
a física do século x é
8nk T
dp (v, T) = p (T) dv = - 3Bv 2 dvv c
(1.1)
onde Pv (T) dv é a densidade de energia radiante entre as freqüências v e v + dv e
tem unidades de joules por metro cúbico (J · m - 3). Na Equação 1.1, T é a temperatura absoluta
ature, ec é a velocidade da luz. A quantidade kB é chamada de constante de Boltzmann e
é igual à constante de gás ideal R dividida pela constante de Avogadro (anteriormente chamada
Número de Avogadro). As unidades de kB são J · K - 1 · partícula - ', mas as partículas - geralmente não são
expresso. (Outro caso é a constante de Avogadro, 6,022 x 10 23 partícula · mol- 1, que
vamos escrever como 6.022 x 10 23 mol- 1; a unidade "partícula" não é expressa.) Equação 1.1
veio do trabalho de Lord Rayleigh e JH Jeans e é chamado o Rayleigh-Jeans
lei. A linha tracejada na Figura 1.1 mostra a previsão da lei de Rayleigh-Jeans.
FIGURA 1.1
VJ....
~::EU; .......ell.........
~.....ell-...
; ..
.... · - VJ
~1!)....
~......
6000 K
0 5 10 É 20
vI 10 14 s- 1
Distribuição espectral da intensidade da radiação de corpos negros em função da freqüência
várias temperaturas. A intensidade é dada em unidades arbitrárias. A linha tracejada é a previsão
da física clássica. À medida que a temperatura aumenta, o máximo muda para frequências mais altas
e a energia irradiada total (a área sob cada curva) aumenta significativamente. Note que o
eixo horizontal é rotulado por v / 10 14 s- 1. Esta notação significa que os números adimensionais
nesse eixo são freqüências divididas por 10 14 s- 1• Usaremos essa notação para rotular colunas em
tabelas e eixos em números por causa de sua natureza inequívoca e conveniência algébrica.
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4 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
Observe que a lei Rayleigh-Jeans reproduz os dados experimentais em baixas freqüências.
Em altas freqüências, no entanto, a lei Rayleigh-Jeans prevê que a energia radiante
densidade diverge como v 2• Porque a frequência aumenta à medida que a radiação entra na ul-
região de traviolet, essa divergência foi denominada catástrofe ultravioleta, um fenômeno
que a física clássica não poderia explicar teoricamente. Este foi o primeiro fracasso
para explicar um importante fenômeno natural e, portanto, é de grande
interesse teórico. Rayleigh e Jeans não cometeram um erro ou aplicaram mal alguns
das idéias da física; muitas outras pessoas reproduziram a equação de Rayleigh e
Jeans, mostrando que essa equação estava correta de acordo com a física da época. este
resultado foi um pouco desconcertante e muitas pessoas lutaram para encontrar um teórico
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explicação da radiação dos corpos negros.
1-2. Planck Usou uma Hipótese Quântica para Derivar o Corpo Negro
Lei de Radiação
A primeira pessoa a oferecer uma explicação bem sucedida sobre a radiação dos corpos negros foi a
O físico alemão Max Planck em 1900. Como Rayleigh e Jeans antes dele, Planck
assumiu que a radiação emitida pelo corpo negro foi causada pelas oscilações
dos elétrons nas partículas constituintes do corpo material. Esses elétrons eram
retratado como oscilando em um átomo muito parecido com elétrons oscilam em uma antena para dar
fora das ondas de rádio. Nestas "antenas atômicas", no entanto, as oscilações ocorrem em
maior frequência; Portanto, encontramos freqüências no visível, infravermelho e ultravioleta
regiões e não na região das ondas de rádio do espectro. Implícito na derivação
de Rayleigh e Jeans é a suposição de que as energias dos osciladores eletrônicos
responsável pela emissão da radiação poderia ter qualquer valor. este
A suposição é uma das suposições básicas da física clássica. Na física clássica,
as variáveis que representam observáveis (como posição, momento e energia) podem
assumir um continuum de valores. Planck teve a grande visão para perceber que ele tinha que
romper com este modo de pensar para derivar uma expressão que se reproduzisse
dados experimentais como os mostrados na Figura 1.1. Ele fez o revolucionário
suposição de que as energias dos osciladores eram discretas e tinham que ser proporcionais
para um múltiplo integral da frequência ou, na forma de equação, que E = nh v, onde E é
a energia de um oscilador, n é um inteiro, h é uma constante de proporcionalidade, e v é o
freqüência. Usando esta quantização de energia e ideias termodinâmicas estatísticas que
vamos cobrir no capítulo 17, Planck derivou a equação
8nh v 3 dv
dp (v, T) = p (T) dv = - 3 h fk Tv ce "B-1
(1.2)
Todos os símbolos, exceto h na Equação 1.2, têm o mesmo significado da Equação 1.1. o
apenas constante indeterminada na Equação 1.2 ish. Planck mostrou que esta equação dá
excelente concordância com os dados experimentais para todas as freqüências e temperaturas
se h tem o valor de 6.626 x 10- 34 Joule-segundos (J ° S). Esta constante é agora uma das
Constantes mais famosas e fundamentais da física e é chamada de constante de Planck.
Página 51-2. Planck Usou uma Hipótese Quântica para Derivar a Lei de Radiação do Corpo Negro
A equação 1.2 é conhecida como a lei de distribuição de Planck para a radiação dos corpos negros. Para
pequenas freqüências, as Equações 1.1 e 1.2 tornam-se idênticas (Problema 1-4), mas a
A distribuição do Planck não diverge em grandes freqüências e, de fato, parece
curvas na Figura 1.1.
EXEMPLO 1-1
Mostre que p v ( T) dv nas Equações 1.1 e 1.2 tem unidades de energia por unidade de volume,
J -3·eu vou .
SOLUÇÃO: As unidades de T são K, de kB são JK-1, de lebre Js, ofv e dv são s-1,
e de cuidado ms-1. Portanto, para a lei Rayleigh-Jeans (Equação 1.1),
8nk T
dp (v, T) = p (T) dv = - 3 Bv 2 dv
v c
(J K- 1 ) (K)· (s-1) 2 (s-1) = Jm-3
(m · s-1) 3
Para a distribuição de Planck (Equação 1.2),
8nh v 3 dv
5
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dp (v, T) = p (T) dv = - 3 - h fk T" c e " s -1
(J · s) (s-1) 3 (s-1) -~ = J m 3(m · s-1) 3
Assim, vemos que p v ( T) dv, a densidade de energia radiante tem unidades de energia por unidade
volume.
A equação 1.2 expressa a lei de distribuição do Planck em termos de frequência. Porque
comprimento de onda (A.) e frequência (v) estão relacionados por Av = c, então dv = -cdA.jA. 2, E nós
pode expressar a lei de distribuição de Planck em termos de comprimento de onda, em vez de freqüência
(Problema 1-10):
Snhc dA.
dp (A, T) = p "A (T) d) .. = ): 5 ehc / Ak
8T _
1 (1.3)
A quantidade p '"(T) dA. É a densidade de energia radiante entre) .. e) .. + dA .. A intensidade
correspondente à Equação 1.3 é plotado na Figura 1.2 para vários valores de T.
Podemos usar a Equação 1.3 para justificar uma relação empírica conhecida como Wien
lei de deslocamento. A lei de deslocamento de Wien diz que se ) .. max é o comprimento de onda em
qual p '" (T) é um máximo, então
0 '.) .. 7J ' T; (JrFl ¥ -
AmaxT = 2:90 X 10- 3m · K
\ \ _;
Ao diferenciar p '" (T) em relação a A, podemos mostrar (Problema 1-5) que
ele
Amax T = 4,965kB
(1.4)
(1,5)
Página 6
6
" ......· - s ::
::EU
> -......Clj...........· - ..0
.....Clj......
> -.......· - ' s ::
v ......
s ::.......
0
FIGURA 1.2
'Visível:
500 1000
Alnm
Infravermelho
1500 2000
A distribuição da intensidade da radiação emitida por um corpo negro versus comprimento de onda
várias temperaturas. À medida que a temperatura aumenta, a radiação total emitida (a área sob
a curva) aumenta.
de acordo com a lei de deslocamento de Wein. Usando os valores de modem de h, c e kB
dentro da capa, obtemos 2.899 x 10- 3 m · K para o lado direito da Equação 1.5,
em excelente concordância com o valor experimental dado na Equação 1.4.
A teoria da radiação de corpo negro é usada regularmente em astronomia para estimar
temperaturas superficiais das estrelas. A figura 1.3 mostra o espectro eletromagnético do sol
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medido na atmosfera superior da Terra. Uma comparação da Figura 1.3 com a Figura 1.2sugere que o espectro solar pode ser descrito por um corpo negro em aproximadamente
6000 K. Se estimamos que A. max da Figura 1.3 seja 500 nm, então o deslocamento de Wein
lei (Equação 1.4) dá a temperatura da superfície do sol para ser
2,90 x 10 - 3 m · K
T = = 5800 K500 x 10 - 9 m
A estrela Sirius, que parece azul, tem uma temperatura superficial de cerca de 11 000 K (cf.
Problema 1-7).
Certamente a derivação de Planck da lei de distribuição de corpos negros era uma
sive feat. No entanto, a derivação de Planck e, em particular, a sua suposição de que o
energias dos osciladores tem que ser um múltiplo integral de hv não foi aceito por
a maioria dos cientistas da época e foi considerada simplesmente uma derivação arbitrária. A maioria
acreditava que com o tempo seria encontrada uma derivação satisfatória que obedecesse às leis de
física clássica. De certo modo, a derivação de Planck era poucomais que uma curiosidade. Somente
alguns anos depois, no entanto, em 1905, Einstein usou a mesma idéia para explicar a
efeito fotoelétrico.
Página 7
>,............
"' :::::
<l).......:::::.....
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'0e <l.....
.....e <l.......
0r / J
FIGURA 1.3
eu
0
! Infravermelho
(51 %)
500 1000
A / nm
O espectro eletromagnético do sol medido na atmosfera superior da terra. UMA
comparação desta figura com a Figura 1.2 mostra que a superfície do sol irradia como um corpo negro
a uma temperatura de cerca de 6000 K.
1-3. Einstein explicou o efeito fotoelétrico com
uma hipótese quântica
Em 1886 e 1887, enquanto realizava os experimentos que sustentavam a teoria de Maxwell
da natureza eletromagnética da luz, o físico alemão Heinrich Hertz descobriu
que a luz ultravioleta faz com que os elétrons sejam emitidos de uma superfície metálica. A ejeção
de elétrons da superfície de um metal por radiação é chamado de efeito fotoelétrico.
Duas observações experimentais do efeito fotoelétrico contrastam
a teoria clássica da onda da luz. De acordo com a física clássica, eletromagnética
radiação é um campo elétrico oscilante perpendicular à sua direção de propagação,
e a intensidade da radiação é proporcional ao quadrado da amplitude do
o campo elétrico. Conforme a intensidade aumenta, também aumenta a amplitude da oscilação
campo elétrico. Os elétrons na superfície do metal devem oscilar junto com o
campo e assim, à medida que a intensidade (amplitude) aumenta, os elétrons oscilam mais violentamente
e, eventualmente, romper a superfície com uma energia cinética que depende do
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amplitude (intensidade) do campo. Este belo quadro clássico está em completo desacordocom as observações experimentais. Experimentalmente, a energia cinética do ejetado
elétrons é independente da intensidade da radiação incidente. Além disso, o
quadro clássico prevê que o efeito fotoelétrico deve ocorrer para qualquer freqüência
de luz, desde que a intensidade seja suficientemente alta. O fato experimental, no entanto,
é que existe uma frequência limite, v 0 , característica da superfície metálica, abaixo
que nenhum elétron é ejetado, independentemente da intensidade da radiação. Acima v0,a energia cinética dos elétrons ejetados varia linearmente com a freqüência v.
observações serviram como uma contradição embaraçosa da teoria clássica.
Página 8
8 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
Para explicar esses resultados, Einstein usou a hipótese de Planck, mas estendeu-a
um caminho importante. Lembre-se que Planck aplicou seu conceito de quantização de energia,
E = nh v ou Ll E = hv, ao mecanismo de emissão e absorção do atômico
osciladores eletrônicos.
Planck acreditava que, uma vez que a energia luminosa fosse emitida, ela se comportavacomo uma onda clássica. Einstein propôs, em vez disso, que a radiação em si existisse como pequena
pacotes de energia, E = hv, agora conhecidos como fótons. Usando uma simples conservação de
argumento energético, Einstein mostrou que a energia cinética (KE) de um elétron ejetado
é igual à energia do fóton incidente (hv) menos a energia mínima requerida
para remover um elétron da superfície do metal particular ( <P ). Em uma equação,
1 2KE = -mv = hv- <P2
(1,6)
onde ¢, chamado de função de trabalho do metal, é análogo a uma energia de ionização
de um átomo isolado. O lado esquerdo da Equação 1.6 não pode ser negativo, portanto Equação 1.6
prevê que h v :::: ¢. A freqüência mínima que irá ejetar um elétron é apenas a
freqüência necessária para superar a função de trabalho do metal, assim, vemos que há
é uma frequência limite v 0, dado por
(1.7)
Usando as Equações 1.6 e 1.7, podemos escrever
KE = hv-hv 0 (1,8)
A equação 1.8 mostra que um gráfico de KE versus v deve ser linear e que a inclinação do
A linha deve ser h, de acordo com os dados da Figura 1.4.
8
6....
" Eu
0 4...._
~
::: .. :::
2
0
0 v 0 5 10 15 20
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vI 10 14 s- 1
FIGURA 1.4
A energia cinética de elétrons ejetados da superfície do metal de sódio versus a freqüência de
a radiação ultravioleta incidente. A frequência limite aqui é de 4,40 x 10 14 Hz (1Hz = 1 s- 1).
Página 91-3. Einstein explicou o efeito fotoelétrico com uma hipótese quântica
Antes de podermos discutir a Equação 1.8 numericamente, devemos considerar as unidades
envolvido. A função de trabalho é habitualmente expressa em unidades de elétron volts (eV).
Um elétron volt é a energia captada por uma partícula com a mesma carga que uma
elétron (ou um próton) quando cai através de uma queda potencial de um volt. Se você se lembra
que (1 coulomb) x (1 volt) = 1 joule e use o fato de que a carga em um próton é
1.602 X w - 19 C, então
EXEMPLO 1-2
1 eV = (1,602 X w- 19 C) (l V)
= 1,602 x w - 19 J
Dado que a função de trabalho do sódio metálico é de 1,82 eV, calcule o limiar
frequência v 0 para sódio.
S 0 L UTI 0 N: Devemos primeiro converter ¢ de elétron volts para joules.
¢ = 1,82 eV = (1,82 eV) (l, 602 x w- 19 J-eV-1)
= 2,92 x w- 19 1
Usando a Equação l.7, temos
2,92 x w- ' 91v = ---- :: -; -
0 6,626 x w- 34 j · s
= 4,40 x 10 14 Hz
\ r, lfo-: {j
EU\_, -
Na última linha aqui, introduzimos a unidade hertz (Hz) por segundo (s -I).
EXEMPLO 1-3
Quando o lítio é irradiado com luz, a energia cinética dos elétrons ejetados é
2,935 X 10-19 J para A = 300,0 nm e 1.280 X 10- 19 J para A = 400,0 nm. Calcular
(a) a constante de Planck, (b) a frequência limite, e (c) a função de trabalho do
lítio de thedata.
SOLUÇÃO:
(a) Da Equação l.8, escrevemos
(KE \ - (KE) 2 = h (v 1 -
v) = ele (:, - : Jou
(
1 eu )8 -1 - 91.655 X 10-19 J = h (2,998 x 10 m · S) 300,0 X 10-9 M 400,0 X 10 m
9
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10 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
de onde obtemos
1,655 X 10- 19 J -34h = 14 1 = 6,625x10 Js2,498 x 10 s-
(b) Usando os dados A. = 300.0 nm, temos
-19 ele2,935 x 10 J = 9 - hv 0300,0 x 10 m
a partir do qual encontramos que v0 = 5,564 x 10 14 Hz
(c) Usando a Equação 1.7, temos
<P = 3,687 X = HVO 10- 19 J = 2,301 eV
Einstein obteve um valor de h em estreita concordância com o valor de Planck deduzido de
a fórmula de radiação de corpo negro. Este certamente foi um resultado fantástico porque o conjunto
negócio de quantização de energia era bastante misterioso e não bem aceito pela
comunidade científica do dia. No entanto, em dois conjuntos muito diferentes de experimentos,
radiação de corpos negros e o efeito fotoelétrico, a mesma constante de quantificação h,
tinha surgido naturalmente. Os cientistas perceberam que talvez houvesse algo para tudo isso
depois de tudo.
250840
1-4. O Espectro Atômico do Hidrogênio Consiste em Diversas Séries
de linhas
Por algum tempo os cientistas sabiam que todo átomo, quando submetido a altas
peraturas ou uma descarga elétrica, emite radiação eletromagnética de
frequências. Em outras palavras, cada átomo possui um espectro característico de emissão. Estar-
causar o espectro de emissão de átomos consistem em apenas certas frequências discretas, eles
são chamados espectros de linha. O hidrogênio, o átomo mais leve e mais simples, tem o mais simples
espectro.
A figura 1.5 mostra a parte do espectro de emissão do átomo de hidrogênio que ocorre
a região ultravioleta visível e próxima.
Como os espectros atômicos são característicos dos átomos envolvidos, é razoável
suspeitar que o espectro depende da distribuição de elétrons no átomo. Uma detalhada
A análise do espectro atômico de hidrogênio revelou-se um grande passo na elucidação
da estrutura eletrônica dos átomos. Por muitos anos, os cientistas tentaram encontrar um padrão
nos comprimentos de onda ou frequências das linhas no espectro atômico de hidrogênio. Finalmente,
em 1885, um cientista suíço amador, Johann Balmer, mostrou que uma parcela da freqüência
das linhas versus1 / n 2 (n = 3, 4, 5, ...) é linear, como mostra a Figura 1.6. Em particular,
Página 11
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t tt t
eu eu
Eu 1111111 eu
FIGURA 1.5
Espectro de emissão do átomo de hidrogênio na região visível e próxima do ultravioleta, mostrando
que o espectro de emissão do hidrogênio atômico é um espectro de linha.
N:: t 5
..,. 40 5
...... 3
;::.
OL_ _____L ____ ------ L ------ L ---- ~ ------
0 0,04 0,08 0,12
lln 2
FIGURA 1.6
Um gráfico de frequência versus 1 / n 2 (n = 3, 4, 5, ...) para a série de linhas do átomo de hidrogênio
espectro que ocorre nas regiões visíveis e próximas do ultravioleta. O espectro real é mostrado
na Figura 1.5. A natureza linear deste gráfico leva diretamente à Equação 1.9.
Balmer mostrou que as frequências das linhas de emissão na região visível do
espectro poderia ser descrito pela equação
v = 8,2202 x 10 14( 1 : 2) Hz
onde n = 3, 4, 5, .... Esta equação é habitualmente escrita em termos da quantidade 1 / A
em vez de v. Comprimento de onda recíproco é chamado de um número de onda, cujas unidades SI são m - 1• Isso
Acontece, no entanto, que o uso da unidade não SI em - 1 é tão prevalente na espectroscopia
Página 12
12 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
que vamos usar em -I na maior parte deste livro. Assim, se dividirmos a equação anterior
por c e fator a 4 dos dois termos entre parênteses, então temos
v = 109 680 - - - em-
- (1 1) 1
22 n2 n = 3, 4, ... (1,9)
onde iJ = 1 / A. = vjc. Essa equação é chamada de fórmula de Balmer.
EXEMPLO 1-4
Usando a fórmula de Balmer, calcule os comprimentos de onda das primeiras linhas no visível
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região do espectro atômico de hidrogênio e compará-los com os valores experimentais
dado na Figura 1.5.
S 0 L UTI 0 N: A primeira linha é obtida definindo n = 3, caso em que temos
v = 109 680 - - - em-- (1 1) 122 32
= 1,523 x 10 4 cm- 1
e
A = 6,565 X 10- 5 em = 656,5 nm
A próxima linha é obtida definindo n = 4, e assim
v = 109 680 - - - em- (1 1) -122 42
= 2,056 x 10 4 cm- 1
e
A = 4,863 X w- 5 em = 486,3 nm
Assim, vemos que a concordância com os dados experimentais (Figura 1.5) é excelente.
Note que a Equação 1.9 prevê uma série de linhas à medida que n assume os valores 3, 4, 5, ....
Esta série de linhas, as que ocorrem nas regiões visíveis e próximas do ultravioleta do
espectro atômico de hidrogênio e previsto pela fórmula de Balmer, é chamado de Balmer
Series. A série Balmer é mostrada na Figura 1.5. Note também que a Equação 1.9 prevê
que as linhas no espectro atômico de hidrogênio se acumulam à medida que n aumenta. Quando n aumenta,
1jn 2 diminui e, eventualmente, podemos ignorar este termo em comparação com o termo e
então no limite n - + oo temos
IJ ~ 109 680 ( ~) cm - 1 = 2,742 x 10 4 cm - 1
ou A. = 364,7 nm, em excelente concordância com os dados da Figura 1.5. Este valor é
essencialmente que para a última linha da série Balmer e é chamado de limite de série.
Página 13
A série de Balmer ocorre nas regiões visíveis e próximas do ultravioleta. O hidrogênio
o espectro atômico possui linhas em outras regiões; na verdade, uma série de linhas semelhantes ao Balmer
séries aparecem na região ultravioleta e infravermelha (cf. Figura 1.7).
1-5. O Rydberg Formula Accounts para todas as linhas no hidrogênio
Espectro atômico
O espectroscopista suíço Johannes Rydberg foi responsável por todas as linhas do hidrogênio
espectro atômico generalizando a fórmula de Balmer para
- 1 (1 1) -1v = - = 109 680 2 -2 emUMA n 1 n 2 (n2> ni)
(1,10)
onde n 1 e n 2 são inteiros, mas n 2 é sempre maior que n 1 • A equação 1.10 é
chamou a fórmula de Rydberg. Note que a série Balmer é recuperada se deixarmos n 1= 2
As outras séries são obtidas deixando n 1 ser 1, 3, 4, .... Os nomes associados a
estas várias séries são dadas na Figura 1. 7 e na Tabela 1.1. A constante na Equação 1.10
13
08/03/2019 O alvorecer da teoria quântica
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é chamado de constante Rydberg e Equação 1.10 é comumente escrito como
v = R (2_ -2)H n2 n2Eu 2 (1,11)
onde RH é a constante de Rydberg. O valor do modem da constante de Rydberg é
109 677,57 cm- 1; é uma das constantes físicas mais precisamente conhecidas.
s sss <=
<= <= <= 0r- .,. \ 0 -, 0'<! " \ 0 0 r-
s
<=
s
<=
N \ 0-
\ 0 <r>N 00«) \ 0 00
-- 0 \ N
+ + + + + +
[EU[]
Eu
EU• • I 1-1
Lyman Balmer Paschen
Eu • • eu
Ultravioleta Infravermelho Visível
FIGURA 1.7
Uma representação esquemática das várias séries no espectro atômico de hidrogênio. O Lyman
série encontra-se na região ultravioleta; o baldor está na região visível; e o Paschen e
As séries de suporte estão na região do infravermelho (consulte a Tabela 1.1).
Página 14
14
TABELA 1.1
As primeiras quatro séries de linhas que compõem o espectro atômico de hidrogênio.
O termo "infravermelho próximo" denota a parte da região do infravermelho do
espectro que está perto da região visível.
Nome da série nl n2 Região do Espectro
Lyman 1 2, 3, 4, Ultravioleta
Balmer 2 3, 4, 5, Visível
Paschen 3 4, 5, 6, Próximo ao infravermelho
Suporte 4 5, 6, 7, Infravermelho
EXEMPLO 1-5
Calcule o comprimento de onda da segunda linha da série Paschen e mostre que
A linha reside no infravermelho próximo, isto é, na região do infravermelho próxima ao visível.
SOLUÇÃO: Na série de Paschen, n 1 = 3 e n 2 = 4, 5, 6, ... de acordo com
Tabela 1.1. Assim, a segunda linha da série Paschen é dada pela configuração n 1 = 3 e
n 2 = 5 na Equação 1.11:
v = 109 677,57 (; 2 - ; 2) cm- 1
= 7,799 x 10 3 cm- 1
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e
A = 1,282 x 10 ~ 4 em = 1282 nm
que está na região do infravermelho próximo.
O fato de que a fórmula que descreve o espectro de hidrogênio é, de certo modo, controlada
por dois inteiros é realmente incrível.
Por que um átomo de hidrogênio deveria se importar com nossos inteiros?Veremos que os inteiros desempenham um papel especial na teoria quântica.
Também se observou que os espectros de outros átomos consistem em séries de linhas, e em
Na década de 1890, Rydberg encontrou leis empíricas aproximadas para muitos deles. O empírico
leis para outros átomos eram geralmente mais envolvidas do que a Equação 1.11, mas o
característica interessante é que todas as linhas observadas podem ser expressas como a diferença
entre termos como os da Equação 1.11. Esse recurso era conhecido como o Ritz
regra de combinação, e vamos ver que se segue imediatamente da nossa visão de modem
de estrutura atômica. Na época, porém, era apenas uma regra empírica à espera de um
explicação teórica.
Página 15
1-6. Louis de Broglie postulou que a matéria tem propriedades ondulatórias
Embora tenhamos uma intrigante percepção parcial da estrutura eletrônica dos átomos,
algo está faltando. Para explorar isso ainda mais, vamos voltar a uma discussão sobre o
natureza da luz.
Os cientistas sempre tiveram problemas para descrever a natureza da luz. Em muitos
A luz mostra um caractere de onda definido, mas em muitos outros a luz parece
comportar-se como um fluxo de fótons. A dispersão da luz branca em seu espectro por um
prisma é um exemplo do primeiro tipo de experimento, e o efeito fotoelétrico é um
exemplo do segundo. Porque a luz aparece de forma ondulada em alguns casos e
como em outros, essa disparidade é chamada de dualidade onda-partícula da luz. Em 1924,
um jovem cientista francês chamado Louis de Broglie argumentou que, se a luz pode exibir
essa dualidade onda-partícula, então a matéria, que certamente parece ser uma partícula, também pode
exibir propriedades onduladas sob certas condições. Esta proposta é bastante estranha
primeiro, mas sugere uma boa simetria na natureza. Certamente se a luz pode ser partícula como
às vezes, por quenão deveria ser uma onda às vezes?
de Broglie foi capaz de colocar sua ideia em um esquema quantitativo. Einstein tinha mostrado
da teoria da relatividade que o comprimento de onda, A, e o momento, p, de um fóton são
relacionado por
h
A = -p
(1,12)
de Broglie argumentou que tanto a luz quanto a matéria obedecem a essa equação. Porque o momento
de uma partícula é dada por mv, esta equação prevê que uma partícula de massa m se mova
com uma velocidade v terá um comprimento de onda de de Broglie dado por A = hjmv.
EXEMPLO 1-6
Calcule o comprimento de onda de Broglie para uma bola de beisebol (5,0 oz) viajando a 90 mph.
S 0 LU T I 0 N: Cinco onças corresponde a
(
lib) (0,454 kg)m = (5,0 oz) - 6- = 0,14 kg1 oz lib
15
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e 90 mph corresponde a
v = (90 mi) (1610 m) (~) = 40 m · s_ 1
1 hora 1 mi 3600 s
O momento do beisebol é
p = mv = (0,14 kg) (40 ms- 1) = 5,6 kg · m · s - 1
Página 16
16 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
O comprimento de onda de de Broglie é
h 6,626 x 10- 34 s J. -34A = - = 1 = 1,2 x 10 mp 5,6 kg · m · s-
um comprimento de onda ridiculamente pequeno.
Vemos no Exemplo 1.6 que o comprimento de onda de Broglie do beisebol é tão pequeno
como sendo completamente indetectável e sem nenhuma consequência prática. O motivo é o
grande valor de m. E se calcularmos o comprimento de onda de de Broglie de um elétron?
de uma bola de beisebol?
EXEMPLO 1-7
Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um elétron viajando a 1,00% da velocidade de
leve.
SOL U Tl 0 N: A massa de um elétron é de 9,109 x 10 a 31 kg. Um por cento da velocidade
de luz é
v = (0,0100) (2,998 x 10 8 ms- 1 ) = 2,998 x 10 6 ms - 1
O momento do elétron é dado por
p = m 0V = (9,109 X 10-3 ! kg) (2,998 x 10 6 ms- )
= 2,73 x 10 ~ 24 kg m · · Sl
O comprimento de onda de de Broglie deste elétron é
h 6,626 X 10- 34 J · SUMA-- - = 2,43 x 10 ~ 10 m- p - 2,73 X 10 - 24 kg · m · Sl
= 243 pm
Este comprimento de onda é de dimensões atômicas.
O comprimento de onda do elétron calculado no Exemplo 1-7 corresponde ao
comprimento de onda dos raios-X. Assim, embora a Equação 1.12 não tenha consequências para uma macro-
objeto scopic como uma bola de beisebol, prevê que os elétrons podem ser observados para agir como
Raios-x. Os comprimentos de onda de alguns outros objetos em movimento são dados na Tabela 1.2.
1-7. de Broglie Waves são observadas experimentalmente
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Quando um feixe de raios X é dirigido a uma substância cristalina, o feixe é espalhado
forma definida característica da estrutura atômica da substância cristalina. este
fenômeno é chamado difração de raios-X e ocorre porque os espaçamentos interatômicos em
Página 17
TABELA 1.2
Os comprimentos de onda de de Broglie de vários objetos em movimento.
Partícula Massa / kg Speedlm · s- 1 Comprimento de onda / pm
Acelerado por elétrons
através de 100 V 9,11 x 10- 31 5,9 x 10 6 120
Acelerado por elétrons
através de 10.000 V 9,29 x 10- 31 5,9 x 10 7 12
uma partícula ejetada
do rádio 6,68 x wn 1,5 x 10 7 6,6 x 10 ~ 3
Bala de fuzil 22-calibre 1,9 x 10 ~ 3 3,2 X 10 2 1.1 x 10- 21
Go1fball 0,045 30 4,9 x 10 22
o cristal é aproximadamente o mesmo que o comprimento de onda dos raios-X. A difração de raios X
O padrão da folha de alumínio é mostrado na Figura 1.8a. Os raios-X se espalham da folha
em anéis de diferentes diâmetros. As distâncias entre os anéis são determinadas pelo
espaçamento interatômico na folha metálica. A figura 1.8b mostra um padrão de difração de elétrons
de folha de alumínio que resulta quando um feixe de elétrons é direcionado de forma semelhante. o
(uma) b)
FIGURA 1.8
(a) O padrão de difração de raios X da folha de alumínio. (b) O padrão de difração de elétrons de
folha de alumínio. A similaridade desses dois padrões mostra que os elétrons podem se comportar como raios-X
e exibir propriedades ondulatórias.
17
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18 Chapter 1 I The Dawn of the Quantum Theory
similarity of the two patterns shows that both X-rays and electrons do indeed behave
analogously in these experiments.
The wavelike property of electrons is used in electron microscopes. The wave-
lengths of the electrons can be controlled through an applied voltage, and the small
de Broglie wavelengths attainable offer a more precise probe than an ordinary light
microscópio. In addition, in contrast to electromagnetic radiation of similar wavelengths
(X-rays and ultraviolet), the electron beam can be readily focused by using electric and
magnetic fields, generating sharper images. Electron microscopes are used routinely in
chemistry and biology to investigate atomic and molecular structures.
An interesting historical aside in the concept of the wave-particle duality of matter
is that the first person to show that the electron was a subatomic particle was the English
physicist Sir Joseph J. Thomson in 1895 and then his son Sir George P. Thomson was
among the first to show experimentally in 1926 that the electron could act as a wave.
The father won a Nobel Prize in 1906 for showing that the electron is a particle and the
son won a Nobel Prize in 1937 for showing that it is a wave.
1-8. The Bohr Theory of the Hydrogen Atom Can Be Used to Derive
the Rydberg Formula
In 1911, the Danish physicist Niels Bohr presented a theory of the hydrogen atom that
gave a beautifully simple explanation of the hydrogen atomic spectrum. We present
here a brief discussion of the Bohr theory.
According to the nuclear model of the atom, the hydrogen atom can be pictured as
a central, rather massive nucleus with one associated electron. Because the nucleus is
so much more massive than the electron, we can consider the nucleus to be fixed and
the electron to be revolving about it. The force holding the electron in a circular orbit
is supplied by the coulombic force of attraction between the proton and the electron
(Coulomb's law):
where r is the radius of the orbit, e is the charge on the electron, and s 0 = 8.85419 x
10- 12 C 2 -N- 1 -m- 2 is the permittivity of free space. The occurrence of the factor 4rrs0
in Coulomb's law is a result of using SI units. The coulombic force is balanced by the
centrifugal force (see Problem 1-41)
mv 2J=-e-
r
(1.13)
where me and v are the mass and the speed of the electron, respectively. If we equate
the coulombic force and the centrifugal force, then we obtain
(1.14)r
Página 191-8. The Bohr Theory of the Hydrogen Atom Can Be Used to Derive the Rydberg Formula
We are tacitly assuming here that the electron is revolving around the fixed nucleus
in a circular orbit of radius r. Classically, however, because the electron is constantly
being accelerated according to Equation 1.13 (Problem 1-41), it should emit electro-
magnetic radiation and lose energy. Consequently, classical physics predicts that an
19
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electron revolving around a nucleus will lose energy and spiral into the nucleus, and so
a stable orbit for the electron is classically forbidden. Bohr's great contribution was to
make two nonclassical assumptions. The first was to assume t~~-~xistence of stationary
electron orbits, in defiance of classical physics. He then specified these orbits by the
equivalent of assuming that the de Broglie waves of the orbiting electron must "match"
or be in phase, as the electron makes one complete revolution. Without such matching,
cancellation of some amplitude occurs during each revolution, and the wave will dis-
appear (see Figure 1.9). For the wave pattern around an orbit to be stable, we are led
to the condition that an integral number of complete wavelengths must fit around the
circumference of the orbit. Because the circumference of a circle is 2n: r,we have the
quantum condition
2n:r = n'A n = 1, 2, 3, ... (1.15)
If we substitute the de Broglie wavelength formula (Equation 1.12) into Equation 1.15,
nós obtemos
ou
mevr = nli
nh
mevr = 2n:
n = 1, 2, 3, ... (1.16)
where we introduce the symbol 1i for h j2n:. The short -hand notation is introduced
because 1i appears in many of the equations of quantum chemistry. The quantity on
the left side of Equation 1.16 is the angular momentum of the electron. Thus, another
0
(uma) b) c) d)
FIGURE 1.9
An illustration of matching and mismatching de Broglie waves travelling in Bohr orbits. Se o
wavelengths of the de Broglie waves are such that an integral number of them fit around the
circle, then they match after a complete revolution (a). If a wave does not match after a complete
revolution (b), cancellation will result and the wave will progressively disappear (c, d).
Página 20
20 Chapter 1 I The Dawn of the Quantum Theory
interpretation of Equation 1.15, and one more commonly attributed to Bohr, is that the
angular momentum of the electron about the proton must be quantized; in other words,
it can have only certain discrete values that satisfy Equation 1.16 for n = 1, 2, 3, ....
If we solve Equation 1.16 for v and substitute it into Equation 1.14, we find that
the radii of the orbits must satisfy
(1.17)
Thus, we see that the radii of the allowed orbits, or Bohr orbits, are quantized. De acordo
to this picture, the electron can move around the nucleus in circular orbits only with
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radii given by Equation 1.17. The orbit with the smallest radius is the one with n = 1,for which
4n(8.85419 X 10- 12 C 2 ·N- 1 ·m- 2 )(1.055 X 10- 34 Js) 2
r= (9.109 x w- 31 kg)(1.6022 x w- 19 C) 2
= 5.292 X 10- 11 m = 52.92 pm (1,18)
The radius of the first Bohr orbit is often denoted by a0•
The total energy of the electron in an atom is equal to the sum of its kinetic energy
and potential energy. The potential energy of an electron and a proton separated by a
distance r is given by Coulomb's law
e2
V(r) = ---
4ns0r
(1.19)
The negative sign here indicates that the proton and electron attract each other; seus
energy is less than it is when they are infinitely separated [ V ( oo) = 0]. The total energy
of the electron in a hydrogen atom is
1 e 2
E = KE+ V(r) = -m v 2 - - -2 e 4nt:or
(1.20)
Using Equation 1.14 to eliminate the me v 2 in the kinetic energy term, Equation 1.20
torna-se
1 ( e 2 ) e
2 e2
E = 2 4ns 0r - 4ns 0r =- 8nt: 0r
(1.21)
The only allowed values of r are those given by Equation 1.17, and so if we substitute
Equation 1.17 into Equation 1.21, we find that the only allowed energies are
n = 1, 2, ... (1.22)
The negative sign in this equation indicates that the energy states are bound states; a
energies given by Equation 1.22 are less than when the proton and electron are infinitely
separated. Note that n = 1 in Equation 1.22 corresponds to the state of lowest energy.
Página 211-8. The Bohr Theory of the Hydrogen Atom Can Be Used to Derive the Rydberg Formula
This energy is called the ground-state energy. At ordinary temperatures, hydrogen
atoms, as well as most other atoms and molecules, are found almost exclusively in
their ground electronic states. The states of higher energy are called excited states and
are generally unstable with respect to the ground state. An atom or a molecule in an
excited state will usually relax back to the ground state and give off the energy as
radiação eletromagnética.
We can display the energies given by Equation 1.22 in an energy-level diagram
such as that in Figure 1.1 0. Note that the energy levels merge as n ---+ oo. Bohr assumed
that the observed spectrum of the hydrogen atom is due to transitions from one allowed
energy state to another, and using Equation 1.22, he predicted that the allowed energy
differences are given by
m e 4 ( 1
1)
~E = _e_ - - - = hv8&2h2 nz nz0 1 2
n -EI cm- 1
0
(1.23)
21
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43
2
IIIII
1111 1111
Lyman Balmer Paschen
1+----------.1 I ~I
[][]
100 130 200 300 500 1000 2000
30 24 17 10 5 2
FIGURE 1.10
685512187
27420
109680
>
<
/L/nm
v/10 14 Hz
The energy-level diagram for the hydrogen atom, showing how transitions from higher states
into some particular state lead to the observed spectral series for hydrogen.
Página 22
22 Chapter 1 I The Dawn of the Quantum Theory
The equation !1E = hv is called the Bohr frequency condition. Bohr assumed that as
the electron falls from one level to another, the energy evolved is given off as a photon
of energy E = h v. Figure 1.10 groups the various transitions that occur according to
the final state into which the electron falls. We can see, then, that the various observed
spectral series arise in a natural way from the Bohr model. The Lyman series occurs
when electrons that are excited to higher levels relax to the n = 1 state; the Balmer
series occurs when excited electrons fall back into the n = 2 state, and so on.
We can write the theoretical formula (Equation 1.23) in the form of the empirical
Rydberg formula by writing hv = hcv:
(1.24)
If we compare Equations 1.11 and 1.24, we conclude that
(1,25)
should be equal to the Rydberg constant, Equation 1.11.
EXAMPLE 1-8
Using the values of the physical constants given inside the front cover of this book,
calculate R and compare the result to its experimental value, 109 677.6 cm- 1•00
SOLUTION:
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R =00 (9.10939 x 10_ 3, kg)(l.602177 x 10- 19 C) 4
= 1.09737 x 10 7 m- 1 = 109737 cm- 1
which is within 0.05% of the experimental value of 109 677.6 cm- 1, certamente uma observação
acordo capaz.
EXEMPLO 1-9
Calcule a energia de ionização do átomo de hidrogênio.
S 0 L U TI 0 N: A energia de ionização IE é a energia necessária para levar o elétron
do estado fundamental ao primeiro estado não ligado, que é obtido deixando n 2 = oo
na equação 1.24. Assim, nós escrevemos
IE = R (2_ - - 1-)00 12 002
Página 231-9. Posição e o Momento de uma Partícula Não Podem Ser Especificados Simultaneamente
ou
IE = R 00 = 109 737 cm- 1
= 2,1787 x w- 18 1
= 13,598 eV = 1312,0 kJ · mol- 1
Note que nós expressamos a energia em unidades de números de onda (cm- 1). Esta unidade é
não estritamente uma unidade de energia, mas por causa da simples relação entre o número de ondas
e energia, E = hcv, a energia é freqüentemente expressa dessa maneira (cf. Problema 1-1).
Apesar de vários sucessos e da bela simplicidade da teoria de Bohr,
a teoria não poderia ser estendida com sucesso, mesmo para um sistema de dois elétrons, como
hélio. Além disso, mesmo para um sistema simples como o hidrogênio, não poderia explicar
os espectros que surgem quando um campo magnético é aplicado ao sistema, nem poderia prever
as intensidades das linhas espectrais.
1-9. O Princípio da Incerteza de Heisenberg afirma que a posição
e o momento de uma partícula não pode ser especificado
Simultaneamente com Precisão Ilimitada
Agora sabemos que devemos considerar a luz e a matéria como tendo as características de
ondas e partículas. Vamos considerar uma medida da posição de um elétron.
Se quisermos localizar o elétron dentro de uma distância ~ x, então devemos usar uma medição
dispositivo que tem uma resolução espacial menor que ~ x. Uma maneira de alcançar esta resolução é
para usar a luz com um comprimento de onda na ordem de A ~ ~ x. Para o elétron ser "visto",
um fóton deve interagir ou colidir de alguma forma com o elétron, caso contrário o
O fóton passará direto e o elétron aparecerá transparente. O fóton
tem um momentum p = hj A, e durante a colisão, parte desse momento será
transferido para o elétron. O próprio ato de localizar o elétron leva a uma mudança na
seu momentum. Se quisermos localizar o elétron com mais precisão, devemos usar a luz
com um comprimentode onda menor. Conseqüentemente, os fótons no feixe de luz terão
maior momento devido à relação p = hjA. Porque alguns dos fótons são
o momento deve ser transferido para o elétron no processo de localizá-lo, o mo-
23
08/03/2019 O alvorecer da teoria quântica
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A mudança mental do elétron torna-se maior. Uma análise cuidadosa deste processo
foi realizado em meados da década de 1920 pelo físico alemão Werner Heisenberg, que
mostrou que não é possível determinar exatamente quanto momento é transferido
to the electron. This difficulty means that if we wish to locate an electron to within
a region ~x, there will be an uncertainty in the momentum of the electron. Heisen-
berg was able to show that if ~p is the uncertainty in the momentum of the electron,
então
~x~p 2: h (1.26)
Página 24
24 Chapter 1 I The Dawn of the Quantum Theory
Equation 1.26 is called Heisenberg's Uncertainty Principle and is a fundamental
principle of nature. The Uncertainty Principle states that if we wish to locate any
particle to within a distance b..x, then we automatically introduce an uncertainty in the
momentum of the particle and that the uncertainty is given by Equation 1.26. Observe que
this uncertainty does not stem from poor measurement or experimental technique but is
a fundamental property of the act of measurement itself. The following two examples
demonstrate the numerical consequences of the Uncertainty Principle.
EXAMPLE 1-10
Calculate the uncertainty in the position of a baseball thrown at 90 mph if we measure
its momentum to a millionth of 1.0%.
S 0 L UTI 0 N : According to Example 1-6, a baseball traveling at 90 mph has a
momentum of5.6 kg·m·s- 1• A millionth of 1.0% ofthis value is 5.6 x 10- 8 kg·m·s- 1 ,
assim
!:,.p = 5.6 X 10- 8 kg·m·s- 1
The minimum uncertainty in the position of the baseball is
h 6.626xl0- 34 J·s!:.x = - = ----;;---------,-
t:.p 5.6 X 10- 8 kg·m·S- 1
= 1.2 X 10- 26 m
a completely inconsequential distance.
EXAMPLE 1-11
What is the uncertainty in momentum if we wish to locate an electron within an atom,
say, so that t:.x is approximately 50 pm?
SOLUTION: h 6.626x10- 34 J·s
!:,.p = !:.x = 50 X 10- 12 m
= 1.3 X 10- 23 kg·m·s- 1
Because p = mv and the mass of an electron is 9.11 x 10- 31 kg, this value of t:.p
corresponds to
!:.p 1.3 X 10- 23 kg·m·S- 1
t:.v = - = ------'~--mim 9.11 X 10- 31 kg
= 1.4 x 10 7 ms- 1
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which is a very large uncertainty in the speed.
Página 25Problemas
These two examples show that although the Heisenberg Uncertainty Principle is of
no consequence for everyday, macroscopic bodies, it has very important consequences
in dealing with atomic and subatomic particles. This conclusion is similar to the one
that we drew for the application of the de Broglie relation between wavelength and
momentum. The Uncertainty Principle led to an awkward result. It turns out that the
Bohr theory is inconsistent with the Uncertainty Principle. Fortunately, a new, more
general quantum theory was soon presented that is consistent with the Uncertainty
Principle. We will see that this theory is applicable to all atoms and molecules and
forms the basis for our understanding of atomic and molecular structure. This theory
was formulated by the Austrian physicist Erwin Schrodinger and will be discussed in
Chapter 3. In preparation, in Chapter 2 we will discuss the classical wave equation,
which serves as a useful and informative background to the Schr6dinger equation.
Problemas
1-1. A radiação na região ultravioleta do espectro eletromagnético é usualmente descrita em
termos de comprimento de onda, A, e é dado em nanómetros oo- 9 m). Calcule os valores de V, i !,
e E para a radiação ultravioleta com A = 200 nm e comparar seus resultados com aqueles em
Figura 1.11.
vi Hz
10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 12 10 14 10 16 10 18 10 20 10 22 10 24
Microondas "E Q.) "Rádio .... ~ 0Rádio de ondas curtas "· ;;....ondas "" ' > ".5 ....televisão 5
Raios X raios y
10 6 ro 4 10 2 Eu 10-2 10-4 10 a 6 1 o- 8 10-1010 a 1210 a 14 de 10 a 16
Alvo
FIGURA 1.11
As regiões de radiação eletromagnética.
.
1-2. A radiação na região do infravermelho é frequentemente expressa em termos de números de onda, i! = 1 / A
Um valor típico de i! nesta região é 10 3 cm -1• Calcular os valores de v, A e E para
radiação com i! = 10 3 em_, e compare seus resultados com os da Figura 1.11.
1-3. Passado a região do infravermelho, na direção de energias mais baixas, está a região das microondas. Em
Nesta região, a radiação é geralmente caracterizada pela sua frequência, v, expressa em unidades de
megahertz (MHz), onde a unidade, hertz (Hz), é um ciclo por segundo. Um microondas típico
a frequência é de 2,0 x 10 4 MHz. Calcule os valores de v, A e E para esta radiação e
compare seus resultados com os da Figura 1.11.
25
08/03/2019 O alvorecer da teoria quântica
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Página 26
2 6 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
1-4. A principal suposição de Planck era de que as energias dos osciladores eletrônicos podem ter
apenas os valores E = nhv e que 1'1 £ = hv. Como v - + 0, então 1'1 £ - + 0 e E é essencialmente
contínuo. Assim, devemos esperar que a distribuição não clássica do Planck passe para
a distribuição clássica de Rayleigh-Jeans em baixas freqüências, onde 1'1 £ - + 0. Mostre que
Equação 1,2 reduz à Equação 1.1 como v - + 0. (Recorde-se que à saída = 1 + x + (x 2 ! / 2) + · · ·,
ou, em outras palavras, ex ~ 1 + x quando x é pequeno.
1-5. Antes do trabalho teórico de Planck sobre a radiação do corpo negro, Wien mostrou empiricamente que
(Equação 1.4)
Um t = 2,90 x 10 ~ 3 m.Kmáximo
onde A max é o comprimento de onda no qual o espectro do corpo negro tem seu valor máximo em um
temperatura T. Esta expressão é chamada lei do deslocamento de Wien; derivar de Planck
expressão teórica para a distribuição do corpo negro diferenciando a Equação 1.3
com relação a A. Dica: Defina he / AmaxkB T = x e obtenha o resultado intermediário ex + (x / 5) = 1.
Este problema não pode ser resolvido para x analiticamente, mas deve ser resolvido numericamente.
Resolvapor iteração em uma calculadora manual e mostre que x = 4,965 é a solução.
1-6. Em que comprimento de onda faz o máximo na função de distribuição de densidade de energia radiante
para um corpo negro ocorrer se (a) T = 300 K? (b) T = 3000 K? (c) T = 10000 K?
1-7. Sirius, uma das estrelas mais conhecidas, tem aproximadamente um espectro de corpo negro com
Um máximo = 260 nm. Calcule a temperatura da superfície do Sirius.
1-8. A bola de fogo em uma explosão termonuclear pode atingir temperaturas de aproximadamente 10 7 K.
Qual o valor de A max isso corresponde a? Em qual região do espectro é este comprimento de onda
encontrado (cf. Figura 1.11)?
1-9. Calcule a energia de um fóton para um comprimento de onda de 100 pm (cerca de um diâmetro atômico).
1-10. Expressar a lei de distribuição de Planck em termos de A (e dA) usando o relacionamento
AV = c.
1-11. Calcular o número de fótons em um pulso de luz de 2,00 mJ em (a) 1,06 JLm, (b) 537 nm e
(c) 266 nm.
1-12. A temperatura média da superfície da Terra é de 288 K. Calcule o comprimento de onda em
o máximo da radiação de corpo negro da Terra. Que parte do espectro faz isso
comprimento de onda corresponde a?
1-13. Um laser de hélio-neon (usado em scanners de supermercados) emite luz a 632,8 nm. Calcular
a freqüência dessa luz. Qual é a energia de um fóton gerado por esse laser?
1-14.A potência de saída de um laser é medida em unidades de watts (W), onde um watt é igual a
um joule por segundo. (1 W = 1 Js- 1) Que é o número de fotões emitidos por segundo
por um laser de nitrogênio de 1,00 mW? O comprimento de onda emitida por um azoto l ~ sor é 337 nm.
1-15. Uma lâmpada doméstica é um radiador de corpo negro. Muitas lâmpadas usam filamentos de tungstênio
que são aquecidos por uma corrente elétrica.Qual a temperatura necessária para que o Amax = 550 nm?
1-16. O comprimento de onda limiar para o metal de potássio é de 564 nm. Qual é a sua função de trabalho?
Qual é a energia cinética dos elétrons ejetados se a radiação de comprimento de onda de 410 nm é usada?
Página 27Problemas
1-17. Dado que a função de trabalho do cromo é 4.40 e V, calcule a energia cinética de
elétrons emitidos a partir de uma superfície de cromo que é irradiado com radiação ultravioleta de
comprimento de onda 200 nm.
1-18. Quando uma superfície limpa de prata é irradiada com luz de comprimento de onda de 230 nm, a cinética
27
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A energia dos elétrons ejetados é de 0,805 e V. Calcule a função de trabalho efreqüência de limiar de prata.
1-19. Alguns dados para a energia cinética de elétrons ejetados em função do comprimento de onda
a radiação incidente para o efeito fotoelétron de sódio metálico são
Um / nm 100 200 300 400 500
KE / eV 10,1 3,94 1,88 0,842 0,222
Plote estes dados para obter uma linha reta e calcule h a partir da inclinação da linha e
função de trabalho rp a partir de sua interceptação com o eixo horizontal.
1-20. Use a fórmula de Rydberg (Equação 1.10) para calcular os comprimentos de onda dos três primeiros
linhas da série Lyman.
1-21.Uma linha na série Lyman de hidrogénio tem um comprimento de onda de 1,03 x 10 7 m. Encontre o
nível de energia original do elétron.
1-22. Um átomo de hidrogênio no estado fundamental absorve um fóton de luz que tem um comprimento de onda de 97,2
nm.Em seguida, emite um fóton que tem um comprimento de onda de 486 nm. Qual é o estado final do
átomo de hidrogênio?
1-23. Mostre que a série de Lyman ocorre entre 91.2 nm e 121.6 nm, que o Balmer
série ocorre entre 364,7 nm e 656,5 nm, e que a série de Paschen ocorre
entre 820,6 nm e 1876 nm. Identifique as regiões espectrais às quais esses comprimentos de onda
corresponder.
1-24. Calcule o comprimento de onda e a energia de um fóton associado ao limite de série de
a série Lyman.
1-25. Calcule o comprimento de onda de de Broglie para (a) um elétron com uma energia cinética de 100 eV,
(b) um próton com uma energia cinética de 100 eV, e (c) um elétron na primeira órbita de Bohr de um
átomo de hidrogênio.
1-26. Calcule (a) o comprimento de onda e a energia cinética de um elétron em um feixe de elétrons
acelerado por um incremento de tensão de 100 V e (b) a energia cinética de um elétron que
tem um comprimento de onda de Broglie de 200 pm (1 picômetro = 10- 12 m).
1-27. Através de que potencial deve um próton inicialmente em repouso cair de forma que seu comprimento de onda de
de Broglieé 1,0 X 10-IO m?
1-28. Calcular a energia e comprimento de onda associado a uma uma partícula que tenha caído
através de uma diferença de potencial de 4,0 V. Aqui a massa de uma uma partícula para ser 6,64 x
10 a 27 kg
1-29. Uma das técnicas modernas mais poderosas para o estudo da estrutura é a difração de nêutrons.
ção. Esta técnica envolve a geração de um feixe colimado de nêutrons em um determinado
~
Página 28
28 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
temperatura de uma fonte de nêutrons de alta energia e é realizada em várias acelerações
instalações de todo o mundo. Se a velocidade de um nêutron é dada por vn = (3kBT / m) 1 1 2,
onde m é a massa de um nêutron, então qual é a temperatura necessária para que os neu-
trons tem um comprimento de onda de Broglie de 50 pm? Pegue a massa de um nêutron para ser 1,67 x
wn kg.
1-30. Mostre que uma pequena mudança na velocidade de uma partícula ! <. v, provoca uma mudança em sua
de Brogliecomprimento de onda, t <. 'A, de
onde v 0 e A são sua velocidade inicial e o comprimento de onda de Broglie, respectivamente.
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0
1-31. Derive a fórmula de Bohr para v para um núcleo do número atômico Z.
1-32. A série no espectro He + que corresponde ao conjunto de transições onde o
elétron cai de um nível mais alto para o estado n = 4 é chamado a série Pickering, um
séries importantes em astronomia solar. Derive a fórmula para os comprimentos de onda do ob-
linhas servidas nesta série. Em qual região do espectro ela ocorre? (Veja o Problema
1-31.)
1-33.Usando a teoria de Bohr, calcule a energia de ionização (em elétron volts e em kJ -mol- 1)
de hélio isoladamente ionizado.
1-34. Mostre que a velocidade de um elétron na enésima órbita de Bohr é v = e 2 / 2e 0 nh. Calcule o
valores de v para as primeiras órbitas de Bohr.
1-35. Se localizarmos um elétron dentro das 20 horas, qual é a incerteza em sua velocidade?
1-36. Qual é a incerteza do momento de um elétron se sabemos que sua posição é
em algum lugar em um intervalo de 10 horas? Como o valor se compara ao momento de um elétron
na primeira órbita de Bohr?
1-37. Há também um princípio de incerteza para energia e tempo:
t <.Et <.t ~ h
Mostre que ambos os lados desta expressão têm as mesmas unidades.
1-38. A relação introduzida no Problema 1-37 foi interpretada como significando que uma partícula
de massa m (E = mc 2 ) pode materializar a partir de nada, desde que ele retorna a nada
dentro de um tempo t <.t :::: h / mc 2• Partículas que duram pelo tempo t <.t ou mais são chamadas de partículas reais;
partículas que duram menos que o tempo t são chamadas de partículas virtuais. A massa do carregado
pion, uma partícula subatômica, é de 2,5 X w-zs kg. Qual é o tempo de vida mínimo se o pion é
ser considerado uma partícula real?
1-39. Outra aplicação da relação dada no Problema l-37 tem a ver com o
energias de estado excitado e vidas de átomos e moléculas. Se sabemos que a vida
tempo de um estado animado é 10- 9 s, então o que é a incerteza na energia deste
Estado?
Página 29Problemas
1-40. Quando um núcleo excitado decai, emite um raio y . A vida de um estado excitado de
um núcleo é da ordem de 10- 12 s. Qual é a incerteza na energia do raio-y?
produzido? (Veja o Problema 37).
1-41. Neste problema, vamos provar que a força interna necessária para manter uma massa girando
em torno de um centro fixo é f = mv 2 I r. Para provar isso, vamos olhar para a velocidade e
aceleração de uma massa rotativa. Referindo-se à Figura 1.12, vemos que
Eu L'lr R; L'e = r te (1,27)
se 1'.8 é pequeno o suficiente para que o arco ~ ength L'.s ea diferença vetor IL '> rl = lr 1- r 21 são
essencialmente o mesmo. Neste caso, então
. ts . tev = hm - = r hm - = rw
L '> t -> 0 L'.tL '> t -> 0 L'.t
(1,28)
onde w = d81dt = vir.
rir> l. : irl "" Lis "" r <i8vr2
29
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FIGURA 1.12
Diagrama para definir a velocidade angular.
Se w e r são constantes, então v = rw é constante e porque a aceleração é
lim, __. 0 (L'.v I L'.t), podemos nos perguntar se existe alguma aceleração. A resposta é definitivamente
sim porque a velocidade é uma quantidade vetorial e a direção de v, que é o mesmo que L'.r, é
mudando constantemente, embora sua magnitude não seja. Para calcular essa aceleração, desenhe
uma figura como a Figura 1.12, mas expressa em termos de v em vez de r. De sua figura, mostre
naquela
tv = IL '> vl = vt.e (1,29)
está em analogia direta com a Equação 1.27, e mostra que a partícula experimenta uma aceleração
ção dada por
televisão tea = lim - = v lim - = vw
L '> t -> 0 L'.tL '> t -> 0 L'.t
(1,30)
Página 30
30 Capítulo 1 I A Dawn of the Quantum Theory
Assim, vemos que a partícula experimenta uma aceleração e requer uma força interior igual
para ma = m vw = mv 2/ r para mantê-lo em movimento em sua órbita circular.
1-42. A lei de distribuição de Planck (Equação 1.2) fornece a densidade de energia radiante de
radiação nética emitida entre v e v + dv. Integrar a distribuição do Planck sobre todos
freqüências para obter a energia total emitida. Qual é a sua dependência de temperatura? Você
sabe de quem é essa lei? Você precisará usar a integral
1 oo x3 dx =n4
0 ex - 1 15
1-43. Você pode derivar a dependência da temperatura do resultado no Problema 1-42 sem
avaliando a integral?
1-44. Ionizar um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental eletrônico requer 2.179 X w-lS J de
energia. A superfície do sol tem uma temperatura de ~ 6000 K e é composta, em parte,
de hidrogênio atômico. O hidrogênio está presente como H (g) ou H + (g)? Qual é a temperatura
necessária para que o comprimento de onda máximo da emissão de um corpo negro ionize
hidrogênio atômico? Em que região do espectro eletromagnético é este comprimento de onda
encontrado?
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Página 31
MATHCHAPTER ANÚMEROS COMPLEXOS
Em toda a química física, freqüentemente usamos números complexos. Nesta matemática
capítulo, revisamos algumas das propriedades dos números complexos. Lembre-se que complexo
números envolvem a unidade imaginária, i, que é definida como a raiz quadrada de -1:
i = vCl (A.1)
ou
i 2 = -1 (A.2)
Números complexos surgem naturalmente ao resolver certas equações quadráticas. Para a prova-
ple, as duas soluções para
z 2 - 2z + 5 = 0
são dadas por
z = 1 ± R
ou
z = 1 ± 2i
/
~ . .-D - "''" < L.
~ - '
' \\ ' /"' ',
\ .;
EU '
~ s-- ~ 1
' \ -::::EU--'
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onde 1 é dito ser a parte real e ± 2 a parte imaginária do número complexo z.
Geralmente, escrevemos um número complexo como
Z = X + iy (A.3)
com
x = Re (z) y = Im (z) (A.4) 31
Página 32
32
Eu
Capítulo Matemático A I C 0 MPLEXNUMBERS
Adicionamos ou subtraimos números complexos adicionando ou subtraindo os valores reais e
partes imaginárias separadamente. Por exemplo, se z 1 = 2 + 3i e z 2 = 1 - 4i, então
z 1- z 2 = (2- 1) + (3 + 4) i = 1 + 7i
Além disso, podemos escrever
2z 1 + 3z 2 = 2 (2 + 3i) + 3 (1 - 4i) = 4 + 6i + 3 - 12i = 7 - 6i
Para multiplicar números complexos juntos, simplesmente multiplicamos as duas quantidades como
binômios e use o fato de que i 2 = -1. Por exemplo,
(2- i) ( -3 + 2i) = -6 + 3i + 4i-2i 2
= -4 + 7i
Para dividir números complexos, é conveniente introduzir o complexo conjugado
de z, que denotamos por z * e forma substituindo i por - i. Por exemplo, se z = x + iy,
então z * = x - iy. Note que um número complexo multiplicado por seu conjugado complexo é
uma quantidade real:
zz * = (x + iy) (x-iy) = x 2 - eu 2/ = x 2 + l (A.5)
A raiz quadrada de zz * é chamada de magnitude ou valor absoluto de z, e é denotada
por lzl.
Considere agora o quociente de dois números complexos
2 + i
z = 1 + 2i
This ratio can be written in the form x + iy if we multiply both the numerator and the
denominator by 1 - 2i, the complex conjugate of the denominator:
EXAMPLE A-1
Show that
z = 2 + i ( 1 - 2i) = 4- 3i = ~ - ~i
1 + 2i 1 - 2i 5 5 5
_1 X iyz --------
- x2 + y2 xz + l
SOLUTION: _ 1 1 1 1 (x-iy) x-iyz = ~ = X + iy = X + iy X - iy = x2 + y2
X iy
x2 + y2- xz + l
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Because complex numbers consist of two parts, a real part and an imaginary part,
we can represent a complex number by a point in a two-dimensional coordinate system
Página 33MathChapter A I C 0 MPL EX NUMBERS
where the real part is plotted along the horizontal (x) axes and the imaginary part is
plotted along the vertical (y) axis, as in Figure Al The plane of such a figure is called
the complex plane. If we draw a vector r from the origin of this figure to the point
z = (x, y), then the length ofthe vector, r = (x 2 + l) 112 , is lzl, the magnitude or the
absolute value of z. The angle e that the vector r makes with the x-axis is the phase
angle of z.
EXAMPLE A-2
Given z = 1 + i, determine the magnitude, lzl, and the phase angle, 8, of z.
S 0 L UTI 0 N : The magnitude of z is given by the square root of
zz* = (1 + i)(l - i) = 2
or lzl = 2 1/2• Figure A.1 shows that the tangent of the phase angle is given by
tan8=~=1
X
or() = 45°, or n/4 radians. (Recall that 1 radian= 180° jn, or l a = n /180 radian.)
We can always express z = x + iy in terms of rand e by using Euler's formula
eie = cos e + i sine (A.6)
which is derived in Problem A-10. Referring to Figure Al, we see that
e entao
Im(z)
r
e
X = r COS e and y = r sine
Z = X + i y = r COS e + ir sine
= r(cose + i sine)= re;e (A.7)
• (x,y)
Re (z)
FIGURE A.1
Representation of a complex number
z = x + iy as a point in a two-dimensional
coordinate system. The plane of this figure
is called the complex plane.
33
08/03/2019 O alvorecer da teoria quântica
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Página 34
34
Eu
Math Chapter A I C 0 MPL EX NUMBERS
Onde
e
y
tan()=-
X
(A.8)
(A.9)
Equation A.7, the polar representation of z, is often more convenient to use than
Equation A.3, the Cartesian representation of z.
Observe que
(A.lO)
and that
(A.ll)
or r = (zz*) 112 • Also note that z = e;e is a unit vector in the complex plane because
r 2 = (e; 8 )(ei 8 ) = 1. The following example proves this result in another way.
EXAMPLE A-3
Show that e-ie = cos e - i sine and use this result and the polar representation of z
para mostrar que le; e I = 1.
S 0 L UTI 0 N: Para provar que e-ie = cos 8 - i sin 8, usamos a Equação A.6 e o fato
que cos e é uma função par de e [cos ( -8) = cos 8] e que seno é uma função ímpar
de 8 [sin ( -8) = -sin 8]. Assim sendo,
Além disso,
e-ie = cose + i sin (-8) = cose- i seno
le; el = [(cose + i sin8) (cose- i sin8)] 1 1 2
= (cos 2 8 + sin 2 8) 1 12 = eu
Página 35
Problemas
A-1 Encontre as partes reais e imaginárias das seguintes quantidades:
uma. (2- i) 3 b. e "i / 2 c. e-2 + in / 2 d.( .J2 + 2i) e-in / l
35
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A-2 Se z = x + 2iy, então encontre
uma. Re (z *) b. Re (z 2 ) c. lm (z 2) d. Re (zz *)
e. Im (zz *)
A-3 Expresse os seguintes números complexos no formulário re: e:
uma. 6i b. 4- .J2i c. -1- 2i d. n + ei
A-4 Expresse os seguintes números complexos no formato x + iy:
uma. e "f4i b. 6e2ni / 3 c. e- (rr / 4) i + ln 2 d. e-2ni + e4ni
A-5. Prove que e; " = -1. Comente a natureza dos números nessa relação.
A-6 Mostre isso
e essa
cos e = ei8 + e-i8
2
seno = e; e- e-; e
2i
A-7 Use a Equação A.7 para derivar
zn = rn (cose + i seno) "= r" (cosne + i sinne)
e a partir disso, a fórmula de De Moivre:
(caso + eu seno) "= cosne + i sinne
A-8 Use a fórmula de De Moivre, que é dada no Problema A-7, para derivar os dados trigonométricos.
identidades
cos 2e = cos 2 e - sin 2 e
sin 2e = 2 sin e cos e
cos 3e = cos 3 e - 3 cos e sin 2 e
= 4 cos 3 e - 3 cos e
sin 3e = 3 cos 2 e seno-sin 3 e
= 3 seno-4sin 3 e
Página 36
36 MatemáticaCapítulo A I C 0 MPL EX NÚMERO 5
A-9 Considere o conjunto de funções
1 . UMA.<t> (¢) = -e'm "'
m ~
Primeiro mostre que
Agora mostre isso
m = 0, ± 1, ± 2,
para todo o valor de m = I = 0
m = O
m = i = n
08/03/2019 O alvorecer da teoria quântica
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m = n
A-1 0. Esse problema oferece uma derivação da fórmula de Euler. Começar com
j (e) = ln (cose + i seno)
Mostre isso
df .
- = lde
Agora, integre ambos os lados da Equação 2 para obter
j (e) = ln (cose + i seno) = ie + c
(1)
(2)
(3)
onde c é uma constante de integração. Mostre que c = 0 e depois exponencial a Equação 3 para
obter a fórmula de Euler.
A-11 Vimos que tanto o logaritmo exponencial quanto o natural funcionam (Problema
A-10) pode ser estendido para incluir argumentos complexos. Isso geralmente é verdade para a maioria
funções. Usando a fórmula de Euler e assumindo que x representa um número real, mostre que
cos ix e -i sin ix são equivalentes a funções reais da variável real x. Estas funções
são definidos como as funções de cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, cosh x e sinh x,
respectivamente. Esboce essas funções. Eles oscilam como sin xe cos x? Agora mostreisso
sinh ix = i sin x e que cosx ix = cos x.
A-12. Avalie i ;.
A-13 A equação x2 = 1 tem duas raízes distintas, x = ± 1. A equação xN = l tem N distintas
raízes, chamadas as N raízes da unidade. Este problema mostra como encontrar as N raízes da unidade. Nós
Veremos que algumas das raízes se tornam complexas, então vamos escrever a equação como zN = 1.
Agora vamos z = re; e obter rN e; Ne = 1. Mostre que isso deve ser equivalente a eiNB = 1, ou
cos N e + i sin N e = 1
Agora, argumente que Ne = 2: n: n, onde n tem os valores N distintos 0, 1, 2, ..., N- 1 ou que
as N raízes das unidades são dadas por
z = e2rrin / N n = 0, 1, 2, ..., N- 1
Página 37Problemas
Mostram que obtemos z = 1 e z = ± 1, para N = 1 e N = 2, respectivamente. Agora mostre
naquela
z = 1 _1. .J3-2 -1 - 2 ' e
1 0 e 3--- 1 -2 2
para N = 3. Mostre que cada uma dessas raízes é de magnitude unitária. Trace essas três raízes no
plano complexo. Agora mostre que z = 1, i, -1 e -i para N = 4 e que
1 y3z = 1, -1, - ± i- e
2 2
_! .J3
2 1 - 2
para N = 6. Plote as quatro raízes para N = 4 e as seis raízes para N = 6 no plano complexo.
Compare as parcelas para N = 3, N = 4 e N = 6. Você vê um padrão?
A-14. Usando os resultados do Problema A-13, encontre as três raízes distintas de x 3 = 8.
37
Eu
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Página 38
Louis de Broglie nasceu em 15 de agosto de 1892 em Dieppe, França, em uma família aristocrática
08/03/2019 O alvorecer da teoria quântica
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e morreu em 1987. Ele estudou história como um estudante de graduação no início de 1910, mas seu interesse
virou-se para a ciência como resultado de seu trabalho com seu irmão mais velho, Maurice, que havia construído
seu próprio laboratório particular para pesquisa de raios-X. de Broglie assumiu seus estudos formais em física
depois da Primeira Guerra Mundial, recebendo seu Dr. Sc. da Universidade de Paris em 1924. Sua dissertação
estava nas propriedades ondulatórias da matéria, uma proposta altamente controversa e original
esse tempo. Usando a teoria da relatividade especial, de Broglie postulou que as partículas materiais
deve exibir propriedades ondulatórias sob certas condições, assim como a radiação era conhecida
para exibir propriedades de partículas. Depois de receber seu Ph.D., ele permaneceu como professor livre
na Sorbonne e mais tarde foi nomeado professor de física teórica no novo Henri
Instituto de Poincaré. Ele foi professor de física teórica na Universidade de Paris de 1937
até sua aposentadoria em 1962. As propriedades ondulatórias que ele postulou foram posteriormente demonstradas
experimentalmente e agora são exploradas como base do microscópio eletrônico. de Broglie passou
a parte posterior de sua carreira tentando obter uma interpretação causal da mecânica das ondas para
substituir as teorias probabilísticas. Ele recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1929 "por sua
descoberta da natureza das ondas dos elétrons ".