Uma introdução a Mecanica dos Fluidos

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Impressora: opaca
Uma Introdução Matemática
Mecânica dos Fluidos
Alexandre Chorin
Departamento de Matemática
Universidade da California, Berkeley
Berkeley, Califórnia 94720-3840, EUA
Jerrold E. Marsden
Sistemas Dinâmicos de Controle, 107-81
Instituto de Tecnologia da Califórnia
Pasadena, Califórnia 91125, EUA
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Mecânica dos Fluidos
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Catalogação da Biblioteca do Congresso em Dados de Publicação
Alexandre Chorin
Uma Introdução Matemática à Mecânica dos Fluidos, Terceira Edição
(Textos em Matemática Aplicada)
Bibliografia: no frontmatter
Inclui
1. Dinâmica de fluidos (Matemática) 2. Dinâmica (Matemática)
I. Marsden, Jerrold E. II. Título. III Series.
ISBN 0-387 97300-1
Classificação da disciplina da American Mathematics Society (MOS) (1980): 76-01, 76C05,
76D05, 76N05, 76N15
Copyright 1992 da Springer-Verlag Publishing Company, Inc.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, armazenada em um
sistema de recuperação, ou transmitido, por qualquer ou por qualquer meio, eletrônico, mecânico,
fotocópia, gravação ou outros, sem a permissão prévia por escrito da
editor, Springer-Verlag Publishing Company, Inc., 175 Fifth Avenue, Nova
York, NY 10010.
Tipografia e ilustrações preparadas por June Meyermann, Gregory Kubota,
e Wendy McKay
A ilustração da capa mostra uma simulação em computador de uma difração de choque por
um par de cilindros, de John Bell, Phillip Colella, William Crutchfield, Richard
Pember e Michael Welcome.
A quarta impressão corrigida, abril de 2000.
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Prefácio
Este livro é baseado em um curso de um período em mecânica dos fluidos, originalmente ensinado
no Departamento de Matemática da Universidade da Califórnia, Berkeley,
durante a primavera de 1978. O objetivo do curso não era fornecer uma
conta exaustiva da mecânica dos fluidos, nem avaliar o valor da engenharia
de vários procedimentos de aproximação. Os objetivos foram:
• apresentar algumas das idéias básicas da mecânica dos fluidos em uma
de maneira atraente (o que não significa "totalmente rigoroso");
• apresentar os antecedentes físicos e a motivação de algumas construções
informações que foram usadas em trabalhos matemáticos e numéricos recentes
nas equações de Navier-Stokes e em sistemas hiperbólicos; e
• interessar alguns dos alunos neste assunto bonito e difícil.
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Esta terceira edição incorporou uma série de atualizações e revisões,mas o espírito e o escopo do livro original são inalterados.
O livro está dividido em três capítulos. O primeiro capítulo contém um
derivação ementária das equações; o conceito de vorticidade é introduzido
numa fase inicial. O segundo capítulo contém uma discussão sobre possíveis
camadas de fluxo, movimento de vórtice e limites. Uma construção de limites
são apresentados utilizando vórtices e passeios aleatórios. O terceiro capítulo
contém uma análise do fluxo de gás unidimensional de um sistema levemente moderno
ponto de vista. Soluções fracas, problemas de Riemann, esquema de Glimm e
ondas de combustão são discutidas.
O estilo é informal e não é feita nenhuma tentativa de ocultar a bi-
interesses e interesses pessoais. Além disso, as referências são limitadas e não são de forma alguma
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viii Prefácio
significa exaustivo. Listamos abaixo algumas referências gerais que foram
útil para nós e alguns que contêm bibliografias bastante extensas. Referir-
as relevantes para pontos específicos são feitas diretamente no texto.
R. Abraham, JE Marsden e TS Ratiu [1988] Manifolds, Tensor Analysis and
Applications , Springer-Verlag: Série de Ciências Matemáticas Aplicadas, Volume 75 .
GK Batchelor [1967] Uma Introdução à Fluid Dynamics , Cambridge Univ. Pressione.
G. Birkhoff [1960] Hidrodinâmica, um Estudo de Lógica, Fato e Similitude , Princeton
Univ. Pressione.
AJ Chorin [1976] Palestras sobre Teoria da Turbulência , Publicar ou Perecer.
AJ Chorin [1989] Computational Fluid Mechanics , Academic Press, Nova York.
AJ Chorin [1994] Vorticidade e Turbulência , Ciências Matemáticas Aplicadas, 103 ,
Springer-Verlag.
R. Courant e KO Friedrichs [1948] Fluxo supersônico e ondas de choque , Wiley-
Interscience.
P. Garabedian [1960] Equações diferenciais parciais , McGraw-Hill, reimpresso por Dover.
S. Goldstein [1965] Modern Developments in Fluid Mechanics , Dover.
K. Gustafson e J. Sethian [1991] Vortex Flows , SIAM.
OA Ladyzhenskaya [1969] A teoria matemática do fluxo viscoso e incompressível ,
Gordon e Violação.
LD Landau e EM Lifshitz [1968] Fluid Mechanics , Pergamon.
PD Lax [1972] Sistemas Hiperbólicos de Leis de Conservação e Teoria Matemática
de ondas de choque , SIAM.
AJ Majda [1986] Fluxo de Fluido Compressível e Sistemas de Leis de Conservação em
Várias variáveis espaciais , Springer-Verlag: Série de ciências matemáticas aplicadas
53 .
JE Marsden e TJR Hughes [1994] Os Fundamentos Matemáticos da Elasticidade ,
Prentice-Hall, 1983. Reproduzido com correções, Dover, 1994.
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JE Marsden e TS Ratiu [1994] Mecânica e Simetria , Textos em Aplicado
Math, 17 , Springer-Verlag.
RE Meyer [1971] Introdução à Matemática Dinâmica de Fluidos , Wiley, reimpresso por
Dover.
K. Milne – Thomson [1968] Hidrodinâmica Teórica , Macmillan.
CS Peskin [1976] Aspectos Matemáticos da Fisiologia do Coração , New York Univ. Palestra
Notas.
S. Schlichting [1960] Teoria da Camada Limite , McGraw-Hill.
LA Segel [1977] Matemática Aplicada à Mecânica Contínua, Macmillian.
J. Serrin [1959] Princípios Matemáticos da Mecânica Clássica dos Fluidos, Handbuch der
Physik , VIII / 1 , Springer-Verlag.
R. Temam [1977] Equações de Navier-Stokes , Holanda do Norte.
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Prefácio ix
Agradecemos a SS Lin e J. Sethian por preparar um esboço preliminar de
as notas do curso - uma grande ajuda na preparação da primeira edição. Agradecemos também
O. Hald e P. Arminjon pela revisão cuidadosa da primeira edição
e a muitos outros leitores, por fornecer correções e suporte, em
V. Dannon, H. Johnston, J. Larsen, M. Olufsen e T. Ratiu
e G. Rublein. Essas correções, bem como muitas outras adições, algumas
exercícios, atualizações e revisões próprios foram incorporados ao
a segunda e terceira edições. Agradecimentos especiais a Marnie McElhiney por
edição da segunda edição, a June Meyermann pela composição da
terceira edição, e a Greg Kubota e Wendy McKay pela atualização do
terceira edição com correções.
Alexandre J. Chorin
Berkeley, Califórnia
Jerrold E. Marsden
Pasadena, Califórnia
Verão, 1997
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x Prefácio
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Conteúdo
Prefácio vii
1 As Equações de Movimento 1
1.1 Equações de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Rotação e vorticidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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1.3 As equações de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Fluxo Potencial e Fluxo Ligeiramente Viscoso 47
2.1 Fluxo potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Camadas de limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Folhas de vórtice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Observações sobre estabilidade e bifurcação. . . . . . . . . . . . 95
3 Fluxo de gás em uma dimensão 101
3.1 Características. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2 Choques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3 O problema de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4 Ondas de combustão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Índice 161
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xii Conteúdo
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As Equações de Movimento
Neste capítulo, desenvolvemos as equações básicas da mecânica dos fluidos. Estes
As equações são derivadas das leis de conservação de massa, momento e
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energia. Começamos com as suposições mais simples, levando à equação de Euler
opções para um fluido perfeito. Essas suposições são relaxadas no terceiro segundo
para permitir efeitos viscosos que surgem do transporte molecular de
impulso. Ao longo do livro, enfatizamos as funções intuitivas e matemáticas.
aspectos mecânicos da vorticidade; esse trabalho é iniciado na segunda seção deste
capítulo.
1.1 Equações de Euler
Seja D uma região no espaço bidimensional ou tridimensional preenchido com um fluido.
Nosso objetivo é descrever o movimento de tal fluido. Seja x ∈ D um ponto
em D e considere a partícula de fluido que se move através de x no tempo t . Relativo
para coordenadas euclidianas padrão no espaço, escrevemos x = ( x, y, z ). Imagine
uma partícula (pense em uma partícula de poeira suspensa) no fluido; esta partícula
percorre uma trajetória bem definida. Seja u ( x , t ) denotar a velocidade do
partícula de fluido que se move através de x no tempo t . Assim, para cada fixo
time, u é um campo vetorial em D , como na Figura 1.1.1. Chamamos u a ( espacial )
campo de velocidade do fluido .
Para cada vez que t , assuma que o fluido tem uma densidade de massa bem definida
ρ ( x , t ). Assim, se W é qualquer sub-região de D , a massa de fluido em W no tempo t
Page 14
2 1 As Equações de Movimento
D
trajetória de partículas fluidas
u ( x , t )x
Figura 1.1.1. Partículas de fluido que se escoa numa região D .
É dado por
m ( W, t ) =
∫
W
ρ ( x , t ) dV,
onde dV é o elemento de volume no plano ou no espaço.
A seguir, assumiremos que as funções u e ρ (e outras para
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introduzidos mais tarde) são suaves o suficiente para que as operações padrão do
cálculo pode ser realizado sobre eles. Esta suposição está aberta a críticas
e, de fato, voltaremos e analisaremos em detalhes mais tarde.
A suposição de que ρ existe é uma suposição contínua . Claramente,
não se aplica se a estrutura molecular da matéria é levada em consideração.
Para a maioria dos fenômenos macroscópicos que ocorrem na natureza, acredita-se que
essa suposição é extremamente precisa.
Nossa derivação das equações é baseada em três princípios básicos:
a massa não é criada nem destruída ;
ii a taxa de mudança de momento de uma porção do fluido é igual à
força aplicada a ele ( segunda lei de Newton );
iii a energia não é criada nem destruída.
Vamos tratar esses três princípios por sua vez.
i Conservação de Massa
Deixe W ser uma sub-região fixa de D ( W não não muda com o tempo). A taxa
de mudança de massa em W é
d
dt
m ( W, t ) =
d
dt
∫
W
ρ ( x , t ) dV =
∫
W
∂ρ
∂t
( x , t ) dV.
Page 15
1.1 Equações de Euler 3
Vamos ∂W denotar o limite de W , assumido como suave; deixe n denotar
a unidade externa normal definida nos pontos de ∂W ; e deixe dA denotar o
elemento de área em ∂W . O caudal volúmico de areaW por unidade de área é u · n
e a vazão mássica por unidade de área é ρ u · n (veja a Figura 1.1.2).
porção do
limite de W
você
n
Figura 1.1.2. A massa que cruza o limite ∂W por unidade de tempo é igual à
integral de superfície de ρ u · n acima de ∂W.
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O princípio da conservação da massa pode ser mais precisamente declarado como
segue: A taxa de aumento da massa em W é igual à taxa na qual a massa é
cruzando ∂W na direção interna ; ou seja,
d
dt
∫
W
ρ dV = -
∫
∂W
ρ u · n dA.
Esta é a forma integral da lei de conservação de massa. Por
teorema da divergência, essa afirmação é equivalente a
∫
W
[
∂ρ
∂t
+ div ( ρ u )
]
dV = 0 .
Como isso é válido para todos os W , é equivalente a
∂ρ
∂t
+ div ( ρ u ) = 0 .
A última equação é a forma diferencial da lei da conservação
de massa , também conhecida como equação de continuidade.
Se ρ e u não forem suaves o suficiente para justificar as etapas que levam ao
forma diferencial da lei de conservação de massa, então a forma integral
é o único a usar.
Page 16
4 1 As Equações de Movimento
ii Equilíbrio de Momentum
Seja x ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) o caminho seguido por uma partícula fluida, de modo que
o campo de velocidade é dado por
u ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , t ) = (˙ x ( t ) , ˙ y ( t ) , ˙ z ( t )) ,
isso é,
u ( x ( t ) , t ) =
d x
dt
( T ) .
Este e o cálculo a seguir usam explicitamente a cooperação euclidiana padrão
ordenadas no espaço (exclua z para o fluxo plano). 1
A aceleração de uma partícula fluida é dada por
a ( t ) =
d 2
dt 2
x ( t ) =
d
dt
u ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , t ) .
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Pela regra da cadeia, isso se torna
a ( t ) =
∂ u
∂x
˙ x +
∂ u
∂y
˙ y +
∂ u
∂z
˙ z +
∂ u
∂t
.
Usando a notação
u x =
∂ u
∂x
, u t =
∂ u
∂t
, Etc ,
e
u ( x, y, z, t ) = ( u ( x, y, z, t ) , v ( x, y, z, t ) , w ( x, y, z, t )) ,
nós obtemos
a ( t ) = u u x + v u y + w u z + u t ,
que também escrevemos como
a ( t ) = ∂ t u + u · ∇ u ,
Onde
∂ t u =
∂ u
∂t
e u · ∇ = u
∂
∂x
+ v
∂
∂y
+ w
∂
∂z
.
1 Deve-se ter cuidado se outros sistemas de coordenadas (como esféricos ou cilíndricos) forem
empregado. Outros sistemas de coordenadas podem ser manipulados de duas maneiras: primeiro, pode-se prosseguir
intrinsecamente, desenvolvendo fórmulas intrínsecas (isto é, sem coordenadas) válidas em
qualquer sistema de coordenadas, ou, segundo, pode-se fazer todas as derivações nas coordenadas euclidianas
e transformar os resultados finais em outros sistemas de coordenadas no final usando a cadeia
regra. A segunda abordagem é claramente mais rápida, embora intelectualmente menos satisfatória. Vejo
Abraham, Marsden e Ratiu [1988] (listado no assunto da frente) para obter informações sobre
abordagem anterior. Por razões de economia, faremos a maioria de nossos cálculos no padrão
Coordenadas euclidianas.
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1.1 Equações de Euler 5
Nós chamamos
D
Dt
= ∂ t + u · ∇
o derivado material ; leva em consideração o fato de que o fluido é
em movimento e que as posições das partículas de fluido mudam com o tempo. De fato,
se f ( x, y, z, t ) é qualquer função da posição e do tempo (escalar ou vetor), então
pela regra da cadeia,
d
dt
f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , t ) = ∂ t f + u · ∇f =
DfDt
( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , t ) .
Para qualquer continuum, as forças que atuam em um pedaço de material são de dois tipos.
Primeiro, existem forças de estresse , nas quais a peça de material é acionada
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por forças através de sua superfície pelo resto do continuum. Segundo, existemforças externas ou corporais, como a gravidade ou um campo magnético, que exercem
uma força por unidade de volume no continuum. O claro isolamento da superfície
forças de estresse em um continuum são geralmente atribuídas a Cauchy.
Mais tarde, examinaremos as tensões de maneira mais geral, mas por enquanto vamos definir
um fluido ideal como aquele com a seguinte propriedade: Para qualquer movimento do
fluido, existe uma função p ( x , t ) chamada pressão, de modo que, se S é um
superfície no fluido com uma unidade escolhida normal n , a força do estresse exercida
através da superfície S por unidade de área em x ∈ S no momento t é p ( x , t ) n ; ou seja,
força em S por unidade de área = p ( x , t ) n .
Observe que a força está na direção n e que a força age ortogonalmente
para a superfície S ; isto é, não há forças tangenciais (veja a Figura 1.1.3).
força através de S = p n
n
S
Figura 1.1.3. Forças de pressão através de uma superfície S .
Obviamente, o conceito de fluido ideal como definição matemática é
não sujeito a disputa. No entanto, a relevância física da noção (ou
teoremas matemáticos que dele deduzimos) devem ser verificados por experimento.
Como veremos mais adiante, os fluidos ideais excluem muitos fatores físicos reais interessantes.
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6 1 As Equações de Movimento
fenômenos, mas ainda assim formam um componente crucial de uma
teoria.
Intuitivamente, a ausência de forças tangenciais implica que não há como
para que a rotação comece em um fluido, nem, se estiver lá no início, pare.
Essa ideia será ampliada na próxima seção. No entanto, mesmo aqui podemos
detectar problemas físicos para fluidos ideais por causa da abundância de rotação
em líquidos reais (perto dos remos de um barco a remos, em tornados etc.).
Se W é uma região no fluido em um determinado instante de tempo t , o total
força exercida no fluido dentro de W por meio de tensão em seu limite é
S ∂W = { força em W} = -
∫
∂W
p n dA
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(negativo porque n aponta para fora). Se e for qualquer vetor fixo no espaço, o
teorema da divergência
e · S ∂W = -
∫
∂W
p e · n dA = -
∫
W
div ( p e ) dV = -
∫
W
(grad p ) · e dV.
Portanto,
S ∂W = -
∫
W
grad p dV.
Se b ( x , t ) denota a força corporal dada por unidade de massa , o corpo total
força é
B =
∫
W
ρ b dV.
Assim, em qualquer pedaço de material fluido,
força por unidade de volume = - grad p + ρ b .
Pela segunda lei de Newton (força = massa × aceleração) somos levados ao
forma diferencial da lei do equilíbrio de momento :
ρ
D u
Dt
= - grad p + ρ b . (BM1)
Em seguida, derivaremos uma forma integral de equilíbrio de momento em dois
maneiras. Derivamos primeiro como dedução da forma diferencial e segundo
dos princípios básicos.
Do equilíbrio do momento de forma diferencial, temos
ρ
∂ u
∂t
= −ρ ( u · ∇ ) u - ∇p + ρ b
e assim, usando a equação de continuidade,
∂
∂t
( ρ u ) = - div ( ρ u ) u - ρ ( u · ∇ ) u - ∇p + ρ b .
Page 19
1.1 Equações de Euler 7
Se e é qualquer vetor fixo no espaço, verifica-se que
e ·
∂
∂t
( ρ u ) = - div ( ρ u ) u · e - ρ ( u · ∇ ) u · e - ( ∇p ) · e + ρ b · e
= - div ( p e + ρ u ( u · e )) + ρ b · e .
Portanto, se W é um volume fixo no espaço, a taxa de mudança de momento
na direção e em W é
e ·
d
dt
∫
W
ρ u dV = -
∫
∂W
( p e + ρ u ( e · u )) · n dA +
∫
W
ρ b · e dV
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pelo teorema da divergência. Assim, a forma integral do equilíbrio do momentotorna-se:
d
dt
∫
W
ρ u dV = -
∫
∂W
( p n + ρ u ( u · n )) dA +
∫
W
ρ b dV. (BM2)
A quantidade p n + ρ u ( u · n ) é o fluxo de momento por unidade de área cruzada
∂W , onde n é a unidade externa normal para ∂W .
Essa derivação da lei do saldo integral do momento prosseguiu via
a lei diferencial. Com o objetivo de assumir tão pouca diferenciabilidade quanto
possível, é útil avançar diretamente para o direito integral e, como
manutenção da massa, derivar dela a forma diferencial. Para fazer isso com cuidado
exige que introduzamos algumas noções úteis.
Como antes, deixe D denotar a região em que o fluido está se movendo. Seja x ∈ D
e vamos escrever ϕ ( x , t ) para a trajetória seguida pela partícula que está em
ponto x no tempo t = 0. Vamos assumir que ϕ é suave o suficiente para que o seguinte
manipulações são legítimas e, para t fixo , ϕ é um mapeamento invertível.
Deixe φ t denotam o mapa x ↦ → φ ( x , t ); isto é, com t fixo , este mapa avança
cada partícula de fluido de sua posição no tempo t = 0 até sua posição no tempo t .
Aqui, é claro, o subscrito não denota diferenciação. Chamamos φ o
mapa de fluxo de fluido . Se W representa uma região em D , em seguida, φ t ( W ) = W t é o volume
W movendo-se com o fluido . Veja a Figura 1.1.4.
A forma integral “primitiva” de equilíbrio do momento afirma que
d
dt
∫
W t
ρ u dV = S ∂W t +
∫
W t
ρ b dV, (BM3)
isto é, a taxa de mudança de momento de uma peça móvel de fluido é igual a
a força total (tensões superficiais mais forças corporais) atuando sobre ela.
Essas duas formas de equilíbrio de momento (BM1) e (BM3) são equivalentes
atualmente . Para provar isso, usamos o teorema da mudança de variáveis para escrever
d
dt
∫
W t
ρ u dV =
d
dt
∫
W
( ρ u ) ( ϕ ( x , t ) , t ) J ( x , t ) dV,
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8 1 As Equações de Movimento
D
W
W t
fluido em movimento
t = 0
t
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Figura 1.1.4. W t é a imagem de W na forma de partículas de fluido em W fluxo para o tempo t .
onde J ( x , t ) é o determinante jacobiano do mapa ϕ t . Porque o volume
umee é fixado em sua posição inicial, podemos diferenciar sob a integral
placa. Observe que
∂
∂t
( ρ u ) ( ϕ ( x , t ) , t ) =
(
D
Dt
ρ u
)
( ϕ ( x , t ) , t )
é o derivado do material, como foi mostrado anteriormente. (Se preferir, essa igualdade
diz que D / Dt é diferenciação após o fluido.) Em seguida, aprendemos como
para diferenciar J ( x , t ).
Lema
∂
∂t
J ( x , t ) = J ( x , t ) [div u ( ϕ ( x , t ) , t )] .
Prova Escrever os componentes de φ como Ç ( x , t ) , η ( x , t ) , e ζ ( x , t ). Primeiro, ob-
sirva isso
∂
∂t
ϕ ( x , t ) = u ( ϕ ( x , t ) , t ) ,
por definição do campo de velocidade do fluido.
O determinante J pode ser diferenciado lembrando que a determinação
O número de matrizes é multilinear nas colunas (ou linhas). Assim, segurando x
Page 21
1.1 Equações de Euler 9
fixo por toda parte, temos
∂
∂t
J =
∂
∂t
∂ξ
∂x
∂η
∂x
∂ζ
∂x
∂
∂t
∂ξ
∂y
∂η
∂y
∂ζ
∂y
+
∂ξ
∂x
∂
∂t
∂η
∂x
∂ζ
∂x
∂ξ
∂y
∂
∂t
∂η
∂y
∂ζ
∂y
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∂
∂t
∂ξ
∂z
∂η
∂z
∂ζ
∂z
∂ξ
∂z
∂
∂t
∂η
∂z
∂ζ
∂z
+
∂ξ
∂x
∂η
∂x
∂
∂t
∂ζ
∂x
∂ξ
∂y
∂η
∂y
∂
∂t
∂ζ
∂y
∂ξ
∂z
∂η
∂z
∂
∂t
∂ζ
∂z
.
Agora escreva
∂
∂t
∂ξ
∂x
=
∂
∂x
∂ξ
∂t
=
∂
∂x
u ( ϕ ( x , t ) , t ) ,
∂
∂t
∂ξ
∂y
=
∂
∂y
∂ξ
∂t
=
∂
∂y
u ( ϕ ( x , t ) , t ) ,
...
∂
∂t
∂ζ
∂z
=
∂
∂z
∂ζ
∂t
=
∂
∂z
w ( ϕ ( x , t ) , t ) .
Os componentes u, v, e w de u nesta expressão são funções de x, y ,
e z a ϕ ( x , t ); Portanto,
∂
∂x
u ( ϕ ( x , t ) , t ) =
∂u
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂u
∂η
∂η
∂x
+
∂u
∂ζ
∂ζ
∂x
,
...
∂
∂z
w ( ϕ ( x , t ) , t ) =
∂w
∂ξ
∂ξ
∂z
+
∂w
∂η
∂η
∂z
+
∂w
∂ζ
∂ζ
∂z
.
Quando estes são substituídos na expressão acima por ∂J / ∂t , obtém-se
para os respectivostermos
∂u
∂x
J +
∂v
∂y
J +
∂w
∂z
J = (div u ) J. ■
Page 22
10 1 As Equações de Movimento
A partir deste lema, obtemos
d
dt
∫
W t
ρ u dV =
∫
W
{(
D
Dt
ρ u
)
( ϕ ( x , t ) , t ) + ( ρ u ) (div u ) ( ϕ ( x , t ) , t )
}
× J ( x , t ) dV
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=
∫
W t
{ D
Dt
( ρ u ) + ( ρ div u ) u
}
dV,
onde o teorema da mudança de variáveis foi novamente utilizado. Pela conservação de
massa,
D
Dt
ρ + ρ div u =
∂ρ
∂t
+ div ( ρ u ) = 0 ,
e assim
d
dt
∫
W t
ρ u dV =
∫
W t
ρ
D u
Dt
dV.
De fato, esse argumento prova o seguinte teorema.
Teorema de Transporte Para qualquer função f de x e t, temos
d
dt
∫
W t
ρf dV =
∫
W t
ρ
Df
Dt
dV.
De maneira semelhante, pode-se derivar uma forma do teorema do transporte sem
um fator de densidade de massa incluído, ou seja,
d
dt
∫
W t
f dV =
∫
W t
(
∂f
∂t
+ Div ( f u )
)
dV.
Se W , e, portanto, W t , é arbitrário e os integrandos são contínuos, nós
provaram que a forma integral “primitiva” de equilíbrio de momento é
equivalente à forma diferencial (BM1). Portanto, todas as três formas de equilíbrio
do momento - (BM1), (BM2) e (BM3) - são mutuamente equivalentes. Como
exercício, o leitor deve derivar as duas formas integrais de equilíbrio de
momento diretamente um do outro.
O lema ∂J / = t = (div u ) J também é útil para entender a
flexibilidade. Em termos da notação introduzida anteriormente, chamamos de fluxo incom-
pressurável se para qualquer sub-região de fluido W ,
volume ( W t ) =
∫
W t
dV = constante em t.
Page 23
1.1 Equações de Euler 11
Assim, a incompressibilidade é equivalente a
0 =
d
∫
dV =
d
∫
J dV =
∫
(div u ) J dV =
∫
(div u ) dV
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dt W t dt W W W t
para todas as regiões móveis W t . Assim, o seguinte é equivalente:
(i) o fluido é incompressível ;
(ii) div u = 0;
(iii) J ≡ 1.
A partir da equação de continuidade
∂ρ
∂t
+ div ( ρ u ) = 0 , ou seja,
Dρ
Dt
+ ρ div u = 0 ,
e o fato de que ρ> 0, vemos que um fluido é incompressível se e somente se
Dρ / Dt = 0, ou seja, a densidade de massa é constante após o fluido . Se o
fluido é homogêneo , ou seja, ρ = constante no espaço, também se segue que o
fluxo é incompressível se e somente se ρ é constante no tempo. Problemas envolvendo
fluxo incompressível não homogêneo ocorre, por exemplo, na oceanografia.
Vamos agora "resolver" a equação da continuidade, expressando ρ em termos de
de seu valor em t = 0, o mapa de fluxo ϕ ( x , t ) e seu J jacobiano ( x , t ). De fato,
defina f = 1 no teorema do transporte e conclua a condição equivalente
para conservação em massa,
d
dt
∫
W t
ρ dV = 0
e assim, ∫
W t
ρ ( x , t ) dV =
∫
W 0
ρ ( x , 0) dV.
Mudando variáveis, obtemos
∫
W 0
ρ ( ϕ ( x , t ) , t ) J ( x , t ) dV =
∫
W 0
ρ ( x , 0) dV.
Como W 0 é arbitrário, obtemos
ρ ( ϕ ( x , t ) , t ) J ( x , t ) = ρ ( x , 0)
como outra forma de conservação em massa. Como corolário, um fluido homogêneo
neous em t = 0 mas é compressível geralmente não permanecerá homogêneo.
No entanto, o fluido permanecerá homogêneo se for incompressível. o
exemplo ϕ (( x, y, z ) , t ) = ((1 + t ) x, y, z ) tem J (( x, y, z ) , t ) = 1+ t, de modo que
o fluxo não é incompressível, mas para ρ (( x, y, z ) , t ) = 1 / (1 + t ), um tem massa
conservação e homogeneidade para todos os tempos.
Page 24
12 1 As Equações de Movimento
iii Conservação de Energia
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Até agora, desenvolvemos as equações
ρ
D u
Dt
= - grad p + ρ b (balanço do momento)
e
Dρ
Dt
+ ρ div u = 0 (conservação de massa) .
Essas são quatro equações se trabalharmos no espaço tridimensional (ou n + 1 equações
se trabalharmos no espaço n- dimensional), porque a equação para D u / Dt
é uma equação vetorial composta por três equações escalares. No entanto, temos
cinco funções: u , ρ e p . Assim, pode-se suspeitar que especificar o fluido
movimento completamente, é necessária mais uma equação. Isso é de fato verdade, e
conservação de energia fornecerá a equação necessária na mecanização de fluidos
ics. Essa situação é mais complicada para contínuos gerais e questões de
termodinâmica geral precisaria ser discutida para um tratamento completo
ment. Vamos nos limitar a dois casos especiais aqui, e mais tarde
tratará outro caso para um gás ideal.
Para fluidos em movimento em um domínio D , com campo de velocidade u , a energia cinética
contido em uma região W ⊂ D é
E cinético =
1
2
∫
W
ρ u 2 dV
onde u 2 = ( u 2 + v 2 + w 2 ) é o comprimento quadrado da função de vetor u .
Assumimos que a energia total do fluido pode ser escrita como
E total = E cinético + E interno
onde E interno é a energia interna , que é energia que não podemos "ver"
em uma escala macroscópica e deriva de fontes como a intermediária
potenciais e vibrações moleculares internas. Se a energia é bombeada para o
fluido ou se permitirmos que o fluido funcione, o total E mudará.
A taxa de variação da energia cinética de uma parte móvel W t de é fluido
calculado usando o teorema do transporte da seguinte forma:
d
dt
E cinético =
d
dt
[
1
2
∫
W t
ρ u 2 dV
]
=
1
2
∫
W t
ρ
D u 2
Dt
dV
=
∫
W t
ρ
(
u ·
(
∂ u
∂t
+ ( u · ∇ ) u
)))
dV.
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1.1 Equações de Euler 13
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Aqui usamos o seguinte cálculo de coordenadas euclidianas
1
2
D
Dt
u 2 =
1
2
∂
∂t
( U 2 + v 2 + w 2 ) +
1
2
(
você
∂
∂x
( U 2 + v 2 + w 2 )
+ v
∂
∂y
( U 2 + v 2 + w 2 ) + w
∂
∂z
( U 2 + v 2 + w 2 )
)
= u
∂u
∂t
+ v
∂v
∂t
+ w
∂w
∂t
+ u
(
você
∂u
∂x
+ v
∂v
∂x
+ w
∂w
∂x
)
+ v
(
você
∂u
∂y
+ v
∂v
∂y
+ w
∂w
∂y
)
+ w
(
você
∂u
∂z
+ v
∂v
∂z
+ w
∂w
∂z
)
= u ·
∂ u
∂t
+ u · ( u · ∇ ) u ) .
Uma discussão geral sobre conservação de energia requer mais termodinâmica.
do que precisaremos. Aqui nos limitamos a dois exemplos de energia
conservação; um terço será dado no capítulo 3 .
1 Fluxos Incompressíveis
Aqui assumimos que toda a energia é cinética e que a taxa de mudança de
energia cinética em uma porção de fluido é igual à taxa na qual a pressão
e as forças do corpo funcionam :
d
dt
E cinético = -
∫
TW t
p u · n dA +
∫
W t
ρ u · b dV.
Pelo teorema da divergência e por nossas fórmulas anteriores, isso se torna
∫
W t
ρ
{
u ·
(
∂ u
∂t
+ u · u
)}
dV = -
∫
W t
(div ( p u ) - ρ u · b ) dV
= -
∫
W t
( u · ∇p - ρ u · b ) dV
porque div u = 0. A equação anterior também é uma conseqüência do equilíbrio
de momento. Este argumento, além disso, mostra que se assumirmos E =
E cinético , o fluido deve ser incompressível (a menos que p = 0). Em suma,
neste caso incompressível, as equações de Euler são:
ρ
D u
Dt
= - grad p + ρ b
Dρ
Dt
= 0
div u = 0
com as condições de contorno
u · n = 0 em ∂D.
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14 1 As Equações de Movimento
2 fluidos isentrópicos
Um fluxo compressível será chamado isentrópico se houver uma função w , chamada
a entalpia , tal que
grad w =
1
ρ
grad p.
Essa terminologia vem da termodinâmica. Não precisaremos de um detalhamento
discussão dos conceitos de termodinâmica neste livro, e por isso é omitido,
exceto por uma breve discussão sobre entropia no capítulo 3, no contexto da
gases. Para maior comodidade dos leitores, basta fazer alguns comentários gerais.
Em termodinâmica, temos as seguintes quantidades básicas, cada uma das quais
é uma função de x , t, dependendo de um determinado fluxo:
p = pressão
ρ = densidade
T = temperatura
s = entropia
w = entalpia (por unidade de massa)
ϵ = w - ( p / ρ ) = energia interna (por unidade de massa) .
Essas quantidades estão relacionadaspela Primeira Lei da Termodinâmica ,
que aceitamos como princípio básico: 2
dw = T ds +
1
ρ
dp (TD1)
A primeira lei é uma declaração de conservação de energia; uma declaração equivalente
emprestado a (TD1) é, como é prontamente verificado,
dϵ = T ds +
p
ρ 2
dρ. (TD2)
Se a pressão é uma função apenas de ρ , então o fluxo é claramente isentrópico
com s como uma constante (daí o nome isentrópico ) e
w =
∫ p p ( λ )
λ
dλ,
que é a versão integrada de dw = dp / ρ (consulte TD1). Como acima, o
energia interna ϵ = w - ( p / ρ ) satisfaz dϵ = ( pdρ ) / ρ 2 (ver TD2) ou, como
uma função de ρ ,
p = ρ 2 ∂ε
∂p
, Ou ε =
∫ p p ( λ )
λ 2
dλ.
2 A. Sommerfeld [1964] Termodinâmica e Mecânica Estatística, reimpresso por Aca-
demic Press, capítulos 1 e 4 .
Page 27
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1.1 Equações de Euler 15
Para fluxos isentrópicos com p em função de ρ , a forma integral de energia
equilíbrio lê da seguinte forma: A taxa de variação de energia em uma porção de fluido
é igual à taxa na qual o trabalho é feito :
d
dt
E total =
d
dt
∫
W t
( 1
2 ρ u 2 + ρϵ
)
dV
=
∫
W t
ρ u · b dV -
∫
TW t
p u · n dA.
(ESTAR)
Isso resulta do equilíbrio de momento, usando nossa expressão anterior para
( D / dt ) E cinética , o teorema de transporte, e p = ρ 2 ∂ε / ∂ρ . Alternativamente, um
pode começar com a suposição de que p é uma função de ρ e então (BE)
equilíbrio de massa e momento implica que p = ρ 2 ∂ϵ / ∂ρ , que é
equivalente a dw = dp / ρ , como vimos. 3
As equações de Euler para fluxo isentrópico são assim
∂ u
∂t
+ ( u · ∇ ) u = −∇w + b ,
∂ρ
∂t
+ div ( ρ u ) = 0
em D e
u · n = 0
em ∂D (ou u · n = V · n se ∂D estiver se movendo com a velocidade V ).
Mais adiante, veremos que, em geral, essas equações levam a uma bem posta
problema de valor inicial somente se p ( ρ ) > 0. Isso concorda com a experiência comum
É sabido que o aumento da pressão ao redor de um volume de fluido causa
uma diminuição no volume ocupado e, portanto, um aumento na densidade.
Os gases geralmente podem ser vistos como isentrópicos, com
p = Aρ γ ,
onde A e γ são constantes e γ ≥ 1. Aqui,
w =
∫ ρ γAs γ− 1
s
ds =
γAρ γ− 1
γ - 1
e ϵ =
Aρ γ− 1
γ - 1
.
Os casos 1 e 2 acima são bastante opostos. Por exemplo, se ρ = ρ 0 é um
constante para um fluido incompressível, então claramente p não pode ser um inversível
função de ρ . No entanto, o caso ρ = constante pode ser considerado um limitador
caso p ( ρ ) → ∞ . No caso 2, p é uma função explícita de ρ (e, portanto,
3 Pode-se levar isso ainda mais longe e usar o balanço de energia e sua invariância sob
Movimentos euclidianos para obter equilíbrio de momento e massa, resultado de Green e
Naghdi. Veja Marsden e Hughes [1994] para uma prova e extensões do resultado que
inclua também fórmulas como p = p 2 ∂ε / ∂p entre as consequências.
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16 1 As Equações de Movimento
depende de u através do acoplamento de ρ e u na equação de continuidade);
no caso 1, p é implicitamente determinado pela condição div u = 0. Devemos
discuta esses pontos novamente mais tarde.
Por fim, observe que em nenhum dos casos 1 ou 2 há a possibilidade de perda de
energia cinética devido ao atrito levado em consideração. Isso será discutido em
comprimento no § 1.3 .
Dado um fluxo de fluido com o campo de velocidade u ( x , t ), uma linha de corrente em um ponto fixo
o tempo é uma curva integral de u ; isto é, se x ( s ) é uma racionalização no instante
t , é uma curva parametrizada por uma variável, digamos s , que satisfaz
d x
ds
= u ( x ( s ) , t ) , t fixo .
Definimos uma trajetória fixa como a curva traçada por uma partícula
à medida que o tempo avança, conforme explicado no início desta seção. Assim, um
trajetória é uma solução da equação diferencial
d x
dt
= u ( x ( t ) , t )
com condições iniciais adequadas. Se L é independente de t (ou seja, ∂ t u = 0),
linhas de fluxo e trajetórias coincidem. Nesse caso, o fluxo é chamado de estação
missionário .
Teorema de Bernoulli Em fluxos isentrópicos estacionários e na ausência
de forças externas, a quantidade
1
2 u 2 + w
é constante ao longo das linhas de fluxo. O mesmo vale para homogêneos ( ρ = con-
constante no espaço = ρ 0 ) fluxo incompressível com w substituído por p / ρ 0 . o
as conclusões permanecem verdadeiras se uma força b está presente e é conservadora; ou seja,
b = −∇ϕ para alguma função with, com w substituído por w + ϕ.
Prova Na tabela de identidades vetoriais na parte de trás do livro, um
tem
1
2 ∇ ( u 2 ) = ( u · ∇ ) u + u × ( ∇ × u ) .
Como o fluxo é constante, as equações de movimento dão
( u · ∇ ) u = −w
e entao
∇
( 1
2 u 2 + w
)
= u × ( ∇ × u ) .
Seja x ( s ) uma simplificação. Então
1
2
(
u 2 + w
) ∣∣ x ( s 2 )
x ( s 1 ) =
∫ x ( s 2 )
x ( s 1 )
∇
( 1
2 u 2 + w
)
· X ( s ) ds
=
∫ x ( s 2 )
x ( s 1 )
( u × ( ∇ × u )) · x ( s ) ds = 0
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1.1 Equações de Euler 17
porque x ( s ) = u ( x ( s )) é ortogonal a u × ( ∇ × u ). ■
Consulte o Exercício 1.1-3 no final desta seção para obter outra visão do porquê o
combinação 1 2 u 2 + w é a quantidade correta no teorema de Bernoulli.
Concluímos esta seção com um exemplo que mostra as limitações de
as suposições que fizemos até agora.
Exemplo Considere um canal cheio de fluido, como na Figura 1.1.5.
direção do fluxo
pressão = p1 pressão = p2
canal com p1 > p2
x
y
eu0 0
Figura 1.1.5. Fluxo de fluido em um canal.
Suponha que a pressão p 1 em x = 0 seja maior que a pressão em x = L
então o fluido é empurrado da esquerda para a direita. Buscamos uma solução do Euler
equações homogêneas incompressíveis na forma
u ( x, y, t ) = ( u ( x, t ) , 0) ep ( x, y, t ) = p ( x ) .
Incompressibilidade implica ∂ x u = 0. Assim, as equações de Euler tornam-se ρ 0 ∂ t u =
-∂ x p . Isso implica que ∂ 2
x p = 0 e assim
p ( x ) = p 1 -
(
p 1 - p 2
eu
)
x.
Substituição em ρ 0 ∂ t u = −∂ x pe rendimentos da integração
u =
p 1 - p 2
ρ 0 L
t + constante .
Esta solução sugere que a velocidade no fluxo do canal com uma constante
gradiente de pressão aumenta indefinidamente. Claro, isso não pode ser o caso
em um fluxo real; No entanto, em nossa modelagem, ainda não levamos fricção
conta. A situação será remediada no § 1.3. ◆
Exercícios
Exercício 1.1-1 Prove as seguintes propriedades do derivado material
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18 1 As Equações de Movimento
(Eu)
D
Dt
( f + g ) =
Df
Dt
+
Dg
Dt
,
ii)
D
Dt
( f · g ) = f
Dg
Dt
+ g
Df
Dt
(Regra Leibniz ou produto) ,
iii)
D
Dt
( h ◦ g ) = ( h ◦ g )
Dg
Dt
(regra da cadeia) .
Exercício 1.1-2 Use o teorema do transporte para estabelecer o seguinte
fórmula de Reynolds:
d
dt
∫
W t
f ( x, t ) dV =
∫
W t
∂f
∂t
( x, t ) dV +
∫
TW t
f u · n dA.
Interprete o resultado fisicamente.
Exercício 1.1-3 Considere o fluxo isentrópico sem nenhuma força corporal. mostrar
aquele para um volume fixo W no espaço ( não se movendo com o fluxo).
d
dt
∫
W
( 1
2 ρ u 2 + ρϵ
)
dV = -
∫
∂W
ρ
( 1
2 u 2 + w
)
u · n dA.
Use isso para justificar o termo vetor de fluxo de energia para a função vetorial
ρ u
( 1
2 u 2 + w
)
e compare com o teorema de Bernoulli.
1.2 Rotação e vorticidade
Se o campo de velocidade de um fluido é u = ( u, v, w ), então sua curvatura,
ξ = ∇ × u = ( ∂ y w - ∂ z v, ∂ z u - ∂ x w, ∂ x v - ∂ y u )
é chamado campo de vorticidade do fluxo.
Vamos demonstrar agora que em um pequeno bairro de cada ponto
do fluido, u é a soma de uma translação ( rígida ) , uma deformação ( definida
posteriormente ) e uma rotação ( rígida ) com o vetor de rotação ξ / 2. Esse é, de fato, um
declaração geral sobre campos vetoriais u em R 3 ;as características específicas do fluido
mecânica é irrelevante para esta discussão. Seja x um ponto em R 3 e seja
y = x + h é um ponto próximo. O que provaremos é que
u ( y ) = u ( x ) + D ( x ) · h + 1 2 ξ ( x ) × h + O ( h 2 ) , (1.2.1)
onde D ( x ) é uma matriz simétrica 3 × 3 e h 2 = h 2 é o quadrado
comprimento de h . Discutiremos o significado dos vários termos posteriormente.
A prova da Fórmula (1.2.1) Vamos
∇ u =
∂ x u ∂ y u ∂ z u
∂ x v ∂ y v ∂ z v
∂ x w ∂ y w ∂ z w
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1.2 Rotação e vorticidade 19
denotar a matriz jacobiana de u . Pelo teorema de Taylor,
u ( y ) = u ( x ) + ∇ u ( x ) · h + S ( H 2 ) , (1.2.2)
onde ∇ u ( x ) · h é uma multiplicação de matrizes, com h considerado como uma coluna
vetor. Deixei
D = 1 2
[
∇ u + ( ∇ u ) t ] ,
onde T denota a transposição, e
S = 1 2
[
∇ u - ( ∇ u ) T ] .
Portanto,
∇ u = D + S . (1.2.3)
É fácil verificar se a expressão de coordenadas para S é
S =
1
2
0 0 −ξ 3 ξ 2
ξ 3 0 0 −ξ 1
−ξ 2 ξ 1 0 0
e essa
S · h = 1 2 ξ × h , (1.2.4)
onde ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ). A substituição de (1.2.3) e (1.2.4) por (1.2.2) produz
(1.2.1) ■
Como D é uma matriz simétrica,
D ( x ) · h = grad h ψ ( x , h ) ,
onde ψ é a forma quadrática associada a D ; ou seja,
ψ ( x , h ) = 1
2 〈D ( x ) · h , h 〉,
onde 〈,〉 é o produto interno de R 3 . Chamamos D do tensor deformação .
Agora discutimos sua interpretação física. Como D é simétrico, há
é, para x fixo, uma base ortonormal ~ e 1 , ~ e 2 , ~ e 3 , em que D é diagonal:
D =
d 1 0 0 0 0
0 0 d 2 0 0
0 0 0 0 d 3
 .
Mantenha x fixo e considere o campo vetorial original como uma função de y . o
movimento do fluido é descrito pelas equações
d y
dt
= u ( y ) .
Se ignorarmos todos os termos em (1.2.1), exceto D · h , encontramos
d y
dt
= D · h , ou seja,
d h
dt
= D · h .
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Page 32
20 1 As Equações de Movimento
Esta equação vetorial é equivalente a três equações diferenciais lineares que
separados na base ˜ e 1 , ˜ e 2 , ˜ e 3 :
d ˜ h i
dt
= d i ˜ h i , i = 1 , 2 , 3 .
A taxa de variação de uma unidade de comprimento ao longo da ~ e i eixo em t = 0 é, assim, de d i .
O campo vetorial D · h está, portanto, apenas expandindo ou contraindo ao longo de cada
dos eixos ~ e i -hence, o nome de “deformação”. A taxa de variação do
volume de uma caixa com lados de comprimento ~ h 1 , ~ H 2 , ~ h 3 paralelo para os ~ e 1 , ~ e 2 , ~ e 3 eixos
é
d
dt
(˜ h 1~ H dois˜ h 3 ) =
[
d ~ h 1
dt
]
~ H dois~ H 3 + ~ h 1
[
d ~ h dois
dt
]
~ H 3 + ~ h 1~ H dois
[
d ˜ h 3
dt
]
= ( d 1 + d 2 + d 3 ) (˜ h 1 ~ H dois~ H 3 ) .
Contudo, o traço de uma matriz é invariante sob transformações ortogonais.
ções. Conseqüentemente,
d 1 + d 2 + d 3 = traço de D = traço de 1 2
(
( ∇ u ) + ( ∇ L ) T ) = div u .
Isso confirma o fato provado no § 1.1 de que os elementos de volume mudam a uma taxa
proporcional a div u . Obviamente, o campo vetorial constante u ( x ) na fórmula
(1.2.1) induz um fluxo que é meramente uma tradução por u ( x ). O outro termo,
1
2 ξ ( x ) × h , induz um fluxo
d h
dt
= 1 2 ξ ( x ) × h , ( x fixo) .
A solução desta equação diferencial linear é, por vetor elementar
cálculo,
h ( t ) = R ( t, ξ ( x )) h (0) ,
onde R ( t, ξ ( x )) é a matriz que representa uma rotação através de um ângulo
t sobre o eixo ξ ( x ) (no sentido orientado). Porque o movimento rígido deixa
volumes invariantes, a divergência de 1 2 ξ ( x ) × h é zero, como também pode ser
verificado observando que S tem zero rastreio. Isso completa nossa derivação e
discussão da decomposição (1.2.1).
Observamos no parágrafo 1.1 que nossas suposições até agora impediram qualquer
forças tangenciais e, portanto, qualquer mecanismo para iniciar ou parar a rotação
ção. Assim, intuitivamente, podemos esperar que a rotação seja conservada. Porque
rotação está intimamente relacionada à vorticidade, como mostramos, podemos
espere que a vorticidade esteja envolvida. Agora provaremos que é assim.
Seja C um contorno fechado simples no fluido em t = 0. Seja C t o
contorno transportado pelo fluxo. Em outras palavras,
C t = ϕ t ( C ) ,
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Page 33
1.2 Rotação e vorticidade 21
C t
C
D
Figura 1.2.1. Teorema da circulação de Kelvin.
onde φ t é o mapa do fluxo de fluido discutido em § 1.1 (ver Figura 1.2.1).
A circulação em torno de C t é definida como a integral da linha
Γ C t =
∮
C t
u · d s .
Teorema da Circulação de Kelvin Para fluxo isentrópico sem externo
forças, a circulação, Γ C t é constante no tempo.
Por exemplo, notamos que se o fluido se move de tal maneira que C t
diminui de tamanho, então a velocidade “angular” em torno de C t aumenta. A prova
O teorema da circulação de Kelvin é baseado em uma versão da teoria dos transportes
orem para curvas.
Lema Seja u o campo de velocidade de um fluxo e C um circuito fechado, com C t
= ϕ t ( C ) o loop transportado pelo fluxo (Figura 1.2.1) . Então
d
dt
∫
C t
u · ds =
∫
C t
D u
Dt
d s . (1.2.5)
Prova Seja x ( s ) uma parametrização do loop C , 0 ≤ s ≤ 1. Então um
a parametrização de C t é ϕ ( x ( s ) , t ) , 0 ≤ s ≤ 1 . Assim, por definição do
integral de linha e derivado do material,
d
dt
∫
C t
u · d s =
d
dt
∫ 1
0 0
u ( φ ( x ( s ) , t ) , t ) ·
∂
∂s
ϕ ( x ( s ) , t ) ds
=
∫ 1
0 0
D u
Dt
( Φ ( x ( s ) , t ) , t ) ·
∂
∂s
ϕ ( x ( s ) , t ) ds
+
∫ 1
0 0
u ( φ ( x ( s ) , t ) , t ) ·
∂
∂t
∂
∂s
ϕ ( x ( s ) , t ) ds.
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Page 34
22 1 As Equações de Movimento
Como ∂ϕ / ∂t = u , o segundo termo é igual a
∫ 1
0 0
u ( φ ( x ( s ) , t ) , t ) ·
∂
∂s
u ( ϕ ( x ( s ) , t ) , t ) ds
=
1
2
∫ 1
0 0
∂
∂s
( u · u ) ( ϕ ( x ( s ) , t ) , t ) ds = 0
(uma vez que C t é fechada). O primeiro termo é igual a
∫
C t
D u
Dt
d s ,
então o lema está provado. ■
Prova do Teorema da Circulação Usando o lema e o fato de que
D u / Dt = −w (o fluxo é isentrópico e sem forças externas), encontramos
d
dt
Γ C t =
d
dt
∫
C t
u d s =
∫
C t
D u
Dt
d s
= -
∫
C t
∇w · d s = 0 (desde que C t é fechada) . ■
Agora usamos o teorema de Stokes, que trará a vorticidade. Se Σ é
uma superfície cujo limite é um contorno C orientado fechado orientado ,
Rendimento do teorema de Stokes (ver Figura 1.2.2)
Γ C =
∫
C
u · d s =
∫∫
Σ
( ∇ × u ) · n dA =
∫∫
Σ
ξ · d Uma .
d A = n dA
C
Σ
Figura 1.2.2. A circulação em torno de C é parte integrante da vorticidade sobre Σ.
Assim, como corolário do teorema da circulação, podemos concluir que o
o fluxo de vorticidade através de uma superfície que se move com o fluido é constante no tempo .
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1.2 Rotação e vorticidade 23
você
x
ξ
S
folha de vórtice
fluxo
x
ξ
eu
linha de vórtice
Figura 1.2.3. Folhas e linhas de vórtice permanecem tão abaixo do fluxo.
Por definição, uma folha de vórtice (ou linha de vórtice ) é uma superfície S (ou uma
curva L ) tangente ao vetor de vorticidade ξ em cada um de seus pontos
(Figura 1.2.3).
Proposição Se uma superfície ( ou curva ) se move com o fluxo de um isentrópico
fluido e é uma folha ( ou linha ) de vórtice em t = 0 , então permanece assim para todos
Tempo.
Prova Seja n a unidade normal para S , de modo que em t = 0 , ξ · n = 0 por
hipótese. Pelo teorema da circulação, o fluxo de ξ através de qualquer porção
˜ S ⊂ S mais tarde também é zero, ou seja,
∫∫
˜ S t
ξ · n dA = 0 .
Segue que ξ · n = 0 identicamente em S t , então S permanece uma folha de vórtice.
Pode-se mostrar (usando o teorema da função implícita) que se ξ ( x ) = 0 ,
localmente, uma linha de vórtice é a interseçãode duas folhas de vórtice. ■
A seguir, mostramos que a vorticidade (por unidade de massa), ou seja, ω = ξ / ρ , é
propagada pelo fluxo (veja a Figura 1.2.4). Esse fato também pode ser usado para
dê outra prova do teorema anterior. Assumimos que estamos em três
dimensões; o caso bidimensional será discutido mais adiante.
Proposição Para fluxo isentrópico ( na ausência de forças externas ) com
ξ = ∇ × u e ω = ξ / ρ, temos
D ω - ( ω · ∇ ) u = 0 (1.2.6)
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Dt
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24 1 As Equações de Movimento
ω no tempo 0
x
ω é arrastado pelo fluxo
ϕ ( x , t )
ω no momento t
Figura 1.2.4. A vorticidade é transportada pela matriz jacobiana do fluxo
mapa.
e
ω ( ϕ ( x , t ) , t ) = ∇ϕ t ( x ) · ω ( x , 0) , (1.2.7)
onde ϕ t é o mapa de fluxo ( ver § 1.1 ) e is t é sua matriz jacobiana.
Prova Comece com a seguinte identidade vetorial (consulte a tabela de vetores
identidades na parte de trás do livro)
1
2 ∇ ( u · u ) = u × ondula u + ( u · ∇ ) u .
Substituindo isso nas equações de movimento produz
∂ u
∂t
+ 1
2 ∇ ( u · u ) - u × ondula u = −∇w.
Pegar a onda e usar a identidade ∇ × ∇f = 0 dá
∂ Ç
∂t
- ondulação ( u × ξ ) = 0 .
Usando a identidade (também na parte de trás do livro)
ondulação ( F × G ) = F div G - G div F + ( G · ∇ ) F - ( F · ∇ ) G
para a curvatura de um produto vetorial, fornece
∂ Ç
∂t
- [( u ( ∇ · ξ ) - ξ ( ∇ · u ) + ξ · ∇ ) u - ( u · ∇ ) ξ ] = 0 ,
isso é,
D ξ
Dt
- ( ξ · ∇ ) u + ξ ( ∇ · u ) = 0 , (1.2.8)
já que ξ é livre de divergências. Além disso,
D ω
=
D
(
ξ
)
=
1 D ξ
+
ξ
( ∇ · L ) (1.2.9)
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Dt Dt ρ ρ Dt ρ
pela equação de continuidade. A substituição de (1.2.8) por (1.2.9) produz (1.2.6).
Page 37
1.2 Rotação e vorticidade 25
Para provar (1.2.7), deixe
F ( x , t ) = ω ( ϕ ( x , t ) , t ) e G ( x , t ) = ∇ϕ t ( x ) · ω ( x , 0) .
Por (1.2.6), ∂ F / ∂t = ( F · ∇ ) u . Por outro lado, pela regra da cadeia:
∂ G
∂t
= ∇
[
∂ϕ
∂t
( x , t )
]
· Ω ( x , 0) = ∇ ( u ( ϕ ( x , t ) , t )) · ω ( x , 0)
= ( ∇ u ) · ∇ϕ t ( x ) · ω ( x , 0) = ( G · ∇ ) u
Assim, F e G satisfazem a mesma equação diferencial linear de primeira ordem.
Como eles coincidem em t = 0 e as soluções são únicas, são iguais. ■
O leitor pode querer comparar (1.2.7) com a fórmula
ρ ( x , 0) = ρ ( ϕ ( x , t ) , t ) J ( x , t ) (1.2.10)
comprovado no § 1.1 .
Como exercício, convidamos o leitor a provar a preservação do vórtice
folhas e linhas pelo fluxo usando (1.2.7) e (1.2.10).
Para fluxo bidimensional, em que u = ( u, v, 0), ξ possui apenas um componente;
ξ = (0 , 0 , ξ ). O teorema da circulação afirma agora que, se Σ t é alguma região em
o avião que está se movendo com o fluido, então
∫
Σ t
ξ dA = constante no tempo . (1.2.11)
De fato, pode-se dizer mais usando (1.2.7). Em duas dimensões, (1.2.7) é especialista
para
ξ
ρ
( ϕ ( x , t ) , t ) =
ξ
ρ
( x , 0) , (1.2.7)
isto é, ξ / ρ é propagado como um escalar pelo fluxo. Empregando (1.2.10) e
o teorema da mudança de variáveis fornece (1.2.11) como um caso especial.
Nos fluxos tridimensionais, a relação (1.2.7) permite um pouco complicado
comportamento. Vamos agora discutir a geometria tridimensional um pouco mais
ther.
Um tubo de vórtice consiste em uma superfície bidimensional S que não está em lugar algum
tangente a ξ , com linhas de vórtice desenhadas em cada ponto do contorno
curva C de S . Essas linhas de vórtice são curvas integrais de ξ e são estendidas
tanto quanto possível em cada direção. Veja a Figura 1.2.5.
Na mecânica dos fluidos, é costume ser desleixado com essa definição e
faça suposições tácitas de que o tubo realmente "se parece" com um tubo.
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Mais precisamente, assumimos que S é diffeomórfico para um disco (isto é, relacionado a um
disco por uma transformação diferenciável invertível um-para-um) e que o
O tubo resultante é diffeomórfico em relação ao produto do disco e à linha real.
Isso pressupõe tacitamente que ξ não possui zeros (é claro que ξ poderia ter zeros!).
Page 38
26 1 As Equações de Movimento
S
linha de vórtice
C
Figura 1.2.5. Um tubo de vórtice é composto por linhas de vórtice desenhadas através de pontos de C .
Teorema de Helmholtz Suponha que o fluido seja isentrópico. Então
( Um ) Se C 1 e C 2 são quaisquer duas curvas que circundam o tubo de vórtice, então
∫
C 1
u · d s =
∫
C 2
u · d s .
Esse valor comum é chamado de força do tubo de vórtice.
( b ) A força do tubo de vórtice é constante no tempo, à medida que o tubo se move
com o fluido.
Prova (a) Seja C 1 e C 2 orientado como na Figura 1.2.6.
S
C
C
S
V = região fechada
2
2
S 1
1
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Figura 1.2.6. Um tubo de vórtice fechada entre duas curvas, C 1 e C 2 .
A superfície lateral do tubo de vórtice envolvida entre C 1 e C 2 é
denotado por S , e as faces finais com os limites C 1 e C 2 são denotados
por S 1 e S 2 , respectivamente. Como ξ é tangente à superfície lateral, S é um
Page 39
1.2 Rotação e vorticidade 27
folha de vórtice. Seja V denotado a região do tubo de vórtice entre C 1 e
C 2 e Σ = S ∪ S 1 ∪ S 2 denotam o limite de V . Pelo teorema de Gauss,
0 =
∫
V
X · ξ dx =
∫
Σ
ξ · d A =
∫
S 1 ∪S 2
ξ · d A +
∫
S
ξ · d Uma .
Pelo teorema de Stokes
∫
C 1
u · d s =
∫
S 1
ξ · d A e
∫
C 2
u · d s = -
∫
S 2
ξ · d A ,
então (a) vale. A parte (b) agora segue do teorema da circulação de Kelvin. ■
Observe que se um tubo de vórtice for esticado e sua área de seção transversal
diminui, a magnitude de ξ deve aumentar. Assim, o alongamento de
tubos de vórtice podem aumentar a vorticidade, mas não podem criá-la.
Um tubo de vórtice com força diferente de zero não pode "terminar" no interior do
fluido. Ou forma um anel (como a fumaça de um cigarro), se estende até
infinito ou está anexado a um limite sólido. O argumento usual que apóia
esta afirmação é assim: suponha que o tubo terminasse em uma determinada cruz
seção S , dentro do fluido. Como o tubo não pode ser estendido, devemos
tem ξ = 0 em C 1 . Assim, a força é zero - uma contradição.
Essa "prova" é irremediavelmente incompleta. Primeiro de tudo, por que um vórtice
extremidade do tubo de maneira regular e agradável em uma superfície? Por que não pode se dividir em dois, como
na Figura 1.2.7? Não existe uma razão a priori para que esse tipo de coisa não possa
acontecer, a menos que apenas o excluamos por suposição tácita. 4 . Em particular,
note que a afirmação frequentemente fez que uma linha de vórtice não pode terminar no
o fluido é claramente falso se permitirmos que ξ tenha zeros e provavelmente seja falso mesmo
se ξ não possui zeros (a órbita de um campo vetorial pode perambular para sempre
sem acumular em um ponto final - como em uma linha com inclinação irracional
em um toro)
Assim, nossa afirmação sobre o final dos tubos de vórtice é correta se interpretarmos
"Terminando" corretamente. Mas o leitor é alertado de que isso pode não ser tudo o que
pode acontecer, e que esta declaração consagrada pelo tempo não é de todo provada
teorema.
A diferença entre a con- dição bidimensional e tridimensional
leis de servidão por vorticidade é muito importante. A conservação da vorticidade
(1 . 2 . 7) em duas dimensões é uma ferramenta útil para estabelecer uma teoria rigorosa
existência e singularidade da equação de Euler (e mais tarde Navier-Stokes)
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ções. A falta do mesmo tipo de conservação em três dimensões é uma
grande obstáculo à compreensão rigorosa das propriedades cruciais da
soluções das equações da dinâmica de fluidos. O ponto principal aqui é obter
teoremasda existência para todos os tempos . No momento, é conhecido apenas em dois
dimensão que existem sempre soluções suaves.
4 H. Lamb [1895] Teoria matemática do movimento de fluidos, Cambridge Univ.
Pressione p. 149
Page 40
28. 1 As Equações de Movimento
essa linha de vórtice termina em P
S
um zero de ξ
C 1C
C 2
P
Figura 1.2.7. Pode ser um tubo de vórtice gerado por S ? A circulação ao redor
C 1 é igual ao de C 2 ?
Nosso último objetivo principal nesta seção é desenvolver a equação de vorticidade
um pouco mais para o importante caso especial de fluxo incompressível. Para
fluxo incompressível homogêneo bidimensional, a vorticidade é
ção é
Dξ
Dt
= ∂ t ξ + ( u · ∇ ) ξ = 0 , (1.2.12)
onde ξ = ξ ( x, y, t ) = ∂ x v − ∂ y u é o campo (escalar) de vorticidade do fluxo e
u, v são os componentes de u . Suponha que o fluxo esteja contido em algumas
domínio plano D com limite fixo ∂D , com a condição de contorno
u · n = 0 em ∂D, (1.2.13)
onde n é a unidade externa normal a ∂D . Vamos assumir que D é simplesmente
conectado (ou seja, não possui “furos”). Em seguida, por incompressibilidade, ∂ x u = -∂ y v ,
e assim, a partir do cálculo vetorial, existe uma função escalar ψ ( x, y, t ) em D único
até uma constante aditiva tal que
u = ∂ y ψ e v = -∂ x ψ. (1.2.14)
A função ψ é a função de fluxo para t fixo ; linhas aerodinâmicas estão no nível
curvas de ψ . De fato, seja ( x ( s ) , y ( s )) uma linha de fluxo; portanto, x = u ( x, y ) e
y = v ( x, y ). Então
d
ψ ( x ( s ) , y ( s ) , t ) = ∂ x ψ · x + ∂ y · y = −vu + uv = 0 .
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ds
Em particular, por (1.2.13), ∂D se encontra em uma curva de nível de ψ , e podemos ajustar
a constante para que
ψ ( x, y, t ) = 0 para ( x, y ) ∂D.
Esta convenção e (1.2.14) determinam ψ exclusivamente. ( NeedD não precisa ser um
toda a linha de fluxo, mas pode ser composta por linhas de fluxo separadas por zeros
de u , isto é, por pontos de estagnação .) A vorticidade escalar é agora dada por
ξ = ∂ x v - ∂ y u = − 2
x ψ - ∂ 2 y ψ = - ∆ ψ,
Page 41
1.2 Rotação e vorticidade 29
onde ∆ = ∂ 2
x + ∂ 2 y é o operador Laplace no avião.
Podemos resumir as equações para ξ para o sistema incompressível bidimensional
fluxo da seguinte forma:
Dξ
Dt ≡ t ξ + ( u · ∇ ) ξ = 0 ,
∆ ψ = −ξ,
com
ψ = 0 em ∂D,
e com
u = ∂ y ψ e v = -∂ x ψ.
(1.2.15)
Essas equações determinam completamente o fluxo. Observe que, dado ξ , o
A função ψ é determinada por ψ ψ = −ξ e pelas condições de contorno, e
daí u pelas últimas equações em (1.2.15). Assim, ξ determina completamente
∂ t ξ e, portanto, a evolução de ξ e, através dele, ψ e u .
Outra observação é útil:
( u · ∇ ) ξ = u∂ x ξ + v∂ y ξ = ( ∂ y ψ ) ( ∂ x ξ ) - ( ∂ x ψ ) ( ∂ y ξ )
= det
[
∂ x ξ ∂ y ξ
∂ x ψ ∂ y ψ
]
= J ( ξ, ψ ) ,
o jacobiano de ξ e ψ . Assim, o fluxo é estacionário ( independente do tempo ) se
e somente se ξ e ψ forem funcionalmente dependentes. (Se dependência funcional
é mantido em um instante, como sempre.)
Exemplo Suponha que em t = 0 a função de fluxo ψ ( x, y ) seja uma função
só da distância radial r = ( x 2 + y 2 ) 1 / 2 . Assim, as linhas de fluxo são
círculos concêntricos. Escreva ψ ( x, y ) = ψ ( r ) e assuma ψ r > 0. A velocidade
vetor é dado por
u = ∂ y ψ = ∂ r ψ∂ y r =
y
r
∂ r ψ, (1.2.16)
x
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v = −∂ x ψ = −∂ r ψ∂ x r = - r ∂ r ψ, (1.2.17)
isto é, u é tangente ao círculo de raio r com magnitude | ∂ r ψ | e
no sentido horário orientada se ψ r > 0 e anti-horário, se ψ r < 0. Em seguida, observar
naquela
ξ = - ∆ ψ = -
1
r
∂
∂r
(
r
∂ψ
∂r
)
,
uma função de r sozinho. Como ψ r = 0 , r é uma função de ψ então ξ também é
uma função de ψ . Assim, J ( ξ, ψ ) = 0. Portanto, movimento em círculos concêntricos
com u definido como acima é uma solução do material estacionário bidimensional
equações incompressíveis do fluxo ideal.
Page 42
30 1 As Equações de Movimento
Para um fluxo ideal incompressível tridimensional, o análogo de (1.2.15)
é
D ξ
Dt
- ( ξ · ∇ ) u = 0 ,
Δ A = - ξ , div A = 0 ,
u = ∇ × A .
(1.2.18)
Aqui usamos u · u = 0 para escrever u = ∇ × A , onde div A = 0. (Isso requer
não que D seja simplesmente conectado, mas que ele não tenha nenhum “buraco sólido”
isto; por exemplo, se D for convexo, isso será válido.)
ξ = onda L = onda (onda A ) = - Δ Uma + ∇ (div A ) = - Δ Uma .
Um dos problemas com (1.2.18) é que, dado ξ , o campo vetorial A não é
determinado exclusivamente (não podemos impor condições de contorno como A = 0
em ∂D porque A não precisa ser constante em ∂D, como foi o caso com ψ ). ◆
Exercícios
Exercício 1.2-1 Derive uma fórmula semelhante ao teorema do transporte e
Teorema da circulação de Kelvin para
d
dt
∫
S t
v · n dA,
onde S t é uma superfície em movimento e v é um campo de vectores.
Exercício 1.2-2 Fluxo de couette . Seja a região entre duas concentrações
tric cilindros de raios R 1 e R 2 , onde R 1 <R 2 . Definir v em cilíndrico
coordenadas por
v r = 0 , v z = 0 ,
e
v θ =
UMA
+ Br,
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r
Onde
A = -
R 2
1 R 22 ( ω 2 - ω 1 )
R 2
2 - R 1 2
e B = -
R 2
1 ω 1 - R 2 2 ω 2
R 2
2 - R 2 1
.
Mostre que
(i) v é uma solução estacionária das equações de Euler com ρ = 1;
(ii) ω = ∇ × v = (0 , 0 , 2 B );
iii) o tensor de deformação é
D = -
UMA
r 2
[
0 1
1 0
]
e discuta seu significado físico;
Page 43
1.3 As equações de Navier-Stokes 31
(iv) a velocidade angular do fluxo nos dois cilindros é ω 1 e ω 2 .
1.3 As equações de Navier-Stokes
No § 1.1 , definimos um fluido ideal como aquele no qual forças através de uma superfície eram
normal a essa superfície. Agora consideramos fluidos mais gerais. Para entender
a necessidade de generalização além dos exemplos já dados, considere
a situação mostrada na Figura 1.3.1. Aqui o campo de velocidade u é paralelo ao
uma superfície S, mas salta em magnitude repentina ou rapidamente quando atravessamos
S . Se todas as forças forem normais a S , não haverá transferência de momento
entre os volumes de fluido indicados por B e B na Figura 1.3.1. No entanto, se
lembramos da teoria cinética da matéria, vemos que isso é realmente
razoável. Moléculas mais rápidas acima de S difundem-se em S e conferem
impulso ao fluido abaixo e, da mesma forma, moléculas mais lentas a partir de baixo
S irá difundir através S para retardar o fluido acima de S . Para razoavelmente rápido
mudanças de velocidade em curta distância, esse efeito é importante. 5
B
B '
S
você
você
Figura 1.3.1. Moléculas mais rápidas em B podem difundir-se em S e dar impulso
para B .
Assim, mudamos nossa definição anterior. Em vez de assumir que
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força em S por unidade de área = −p ( x , t ) n ,
onde n é o normal para S , assumimos agora que
força em S por unidade de área = −p ( x , t ) n + σ ( x , t ) · n , (1.3.1)
onde σ é uma matriz chamada tensor de tensão , sobre a qual alguns pressupostos
terão que ser feitas. O novo recurso é que σ · n não precisa ser paralelo
para n . A separação das forças em pressão e outras forças em (1.3.1)
é um tanto ambíguo porque σ · n pode conter um componente paralelo ao
n . Esse problema será resolvido mais tarde quando fornecermos uma funcionalidade funcional mais definida
forma para σ .
5 Para mais informações, consulte J. Jeans [1867] Uma Introdução à Teoria Cinética de
Gases , Cambridge Univ. Pressione.
Page 44
32. 1 As Equações de Movimento
Como antes, a segunda lei de Newton afirma que a taxa de variação de qualquer
porção móvel do fluido W t é igual à força que atua sobre ele (balanço de
mentum):
d
dt
∫
W t
ρ u dV = -
∫
TW t
( p · n - σ · n ) dA
(compare (BM3) no § 1.1 ). Assim, vemos que σ modifica o transporte
demomento através da fronteira de W t . Vamos escolher σ para que
aproxima de maneira razoável o transporte do momento por moléculas
movimento.
Pode-se legitimamente perguntar por que a força (1.3.1) atuando em S deve ser uma
função linear de n . De fato, se alguém apenas assume que a força é um contínuo
função de n , então, usando o equilíbrio do momento, pode-se provar que é linear
no n . Esse resultado é chamado de Teorema de Cauchy . 6
Nossas suposições sobre σ são as seguintes:
1. σ depende linearmente dos gradientes de velocidade ∇ u, ou seja, σ está relacionado
para ∇ u por alguma transformação linear em cada ponto.
2. σ é invariável sob rotações rígidas do corpo , isto é, se U for um ortogonal
matriz,
σ ( U · ∇ u · U - 1 ) = L · σ ( ∇ u ) · L - 1 .
Isso é razoável, porque quando um fluido sofre um corpo rígido
ção, não deve haver difusão de momento.
3. σ é simétrico . Essa propriedade pode ser deduzida como consequência de
equilíbrio do momento angular. 7
Como σ é simétrico, se segue das propriedades 1 e 2 que σ pode depender
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somente na parte simétrica de ∇ u ; isto é, na deformação D . Porque
σ é uma função linear de D , σ e D comutar e, portanto, pode ser simultaneamente
diagonalizado. Assim, os valores próprios de σ são funções lineares daqueles de D .
Pela propriedade 2, eles também devem ser simétricos, porque podemos escolher U para
permutar dois autovalores de D (girando através de um ângulo π / 2 em torno de um
vetor próprio) e isso deve permutar os valores próprios correspondentes de σ .
As únicas funções lineares simétricas nesse sentido são da forma
σ i = λ ( d 1 + d 2 + d 3 ) +2 µd i , i = 1 , 2 , 3 ,
onde σ i são os valores próprios de σ , e de d i são aqueles de D . Isso define o
constantes λ e µ . Lembrando que d 1 + d 2 + d 3 = div u , podemos usar a propriedade
2 para transformar σ i de volta à base usual e deduzir que
σ = λ (div u ) I + 2 µ D , (1.3.2)
6 Para uma prova e outras referências, veja, por exemplo, Marsden e Hughes [1994].
7 op. cit.
Page 45
1.3 As equações de Navier-Stokes 33
onde eu sou a identidade. Podemos reescrever isso colocando todo o rastreamento em um
prazo:
σ = 2 µ [ D - 1 3 (div u ) I ] + ζ (div u ) I (1.3.2)
onde µ é o primeiro coeficiente de viscosidade e ζ = λ + 2 3 µ é o
segundo coeficiente de viscosidade .
Se empregarmos o teorema do transporte e o teorema da divergência, como
em relação a (BM3), o equilíbrio do momento produz o Navier-
Equações de Stokes ,
ρ
D u
Dt
= −∇p + ( λ + µ ) ∇ (div u ) + µ ∆ u (1.3.3)
Onde
∆ u =
(
∂ 2
2x 2
+
∂ 2
Ano 2
+
∂ 2
§ 2
)
você
é o Laplaciano de você . Juntamente com a equação de continuidade e um
equação da energia, (1.3.3) descreve completamente o fluxo de um
líquido viscoso.
No caso de fluxo homogêneo incompressível ρ = ρ 0 = constante, a
conjunto completo de equações se torna as equações de Navier-Stokes para
fluxo incompressível ,
D u
Dt
= - grad p + vmax ô u
(1.3.4)
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div u = 0
onde ν = μ / ρ 0 é o coeficiente de viscosidade cinemática , e p = p / ρ 0 .
Essas equações são complementadas por condições de contorno. Para Euler
equações para o fluxo ideal, usamos u · n = 0, ou seja, o fluido não atravessa a
limite, mas pode mover-se tangencialmente para o limite. Para o Navier–
Stokes, o termo extra vmax ô u aumenta o número de derivados
de você envolvido de um a dois. Para experimentos e matemáticos
razões, isso é acompanhado por um aumento no número de fronteiras
condições. Por exemplo, em uma parede sólida em repouso, adicionamos a condição de
a velocidade tangencial também é zero (a "condição de escorregamento"), portanto, a velocidade total
condições de contorno são simplesmente
u = 0 em paredes sólidas em repouso .
A necessidade matemática de condições de contorno extras depende de sua
papel em provar que as equações estão bem colocadas; isto é, que um único
existe e depende continuamente dos dados iniciais. Em três di-
mensurações, sabe-se que soluções suaves para as equações incompressíveis
Page 46
34 1 As Equações de Movimento
existe por um curto período de tempo e depende continuamente dos dados iniciais. 8 é um
grande problema em aberto na mecânica dos fluidos para provar ou refutar que soluções
das equações incompressíveis existem para sempre. Em duas dimensões, solução
sabe-se que existem sempre, tanto para o fluxo viscoso quanto para o inviscido 9 . Em
Em qualquer caso, adicionar a condição de contorno tangencial é crucial para viscosos
fluxo.
A necessidade física de condições adicionais de contorno vem de
experimentos envolvendo fluxo passando por uma parede sólida. Por exemplo, se o corante é
injetado no escoamento de um cano e é cuidadosamente observado perto da
pode-se observar que a velocidade se aproxima de zero no limite de uma
grau de precisão. A condição de escorregamento também é razoável se alguém considerar
chapeia o mecanismo físico responsável pelos termos viscosos, a saber,
difusão molecular. Nosso exemplo inicial indica que a interação molecular
ação entre a parede sólida com velocidade tangencial zero (ou média zero
velocidade no nível molecular) deve transmitir a mesma condição ao
fluido imediatamente adjacente.
Outra característica crucial da condição de contorno u = 0 é que ela pro-
fornece um mecanismo pelo qual um limite pode produzir vorticidade no fluido.
Descreveremos isso com mais detalhes no capítulo 2 .
A seguir, discutiremos algumas propriedades de escala da equação de Navier-Stokes
com o objetivo de introduzir um parâmetro (o número de Reynolds) que
mede o efeito da viscosidade no fluxo.
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Para um dado problema, seja L um comprimento característico e U um caracterevelocidade acterística . Esses números são escolhidos de uma maneira um tanto arbitrária
caminho. Por exemplo, se considerarmos o fluxo além de uma esfera, L poderia ser o
raio ou o diâmetro da esfera, e U pode ser a magnitude da
velocidade do fluido no infinito. L e U são meramente comprimento e velocidade razoáveis
escalas típicas do fluxo em questão. A escolha deles determina uma escala de tempo
por T = L / L .
Podemos medir x , u e t como frações dessas escalas, alterando
variáveis e introdução das seguintes quantidades adimensionais
u =
você
você
, x =
x
eu
, E t =
t
T
.
O componente x do Navier-Stokes incompressível (homogêneo)
equação é
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
= -
1
ρ 0
∂p
∂x
+ ν
[
∂ 2 u
2x 2
+
∂ 2 u
Ano 2
+
∂ 2 u
§ 2
]
.
8 Para uma revisão de muito do que se sabe, ver OA Ladyzhenskaya [1969] The Mathe-
teoria matical do fluxo viscoso e incompressível , Gordon e Breach. Veja também R. Temam
[1977] Equações de Navier-Stokes , Holanda do Norte.
9 op. cit. e W. Wolibner, Math. Zeit. 37 [1933], 698-726; V. Judovich, Mat. Sb.
NS 64 [1964], 562-588; e T. Kato, Arch. Rational Mech. Anal. 25 [1967], 188-200.
Page 47
1.3 As equações de Navier-Stokes 35
A mudança de variáveis produz
∂ ( u U )
∂t
∂t
∂t
+ Uu
∂ ( u U )
∂x
∂x
∂x
+ Uv
∂ ( u U )
∂y
∂y
∂y
+ Uw
∂ ( u U )
∂z
∂w
∂z
= -
1
ρ 0
∂p
∂x
∂x
∂x
+ ν
[
∂ 2 ( u U )
∂ ( Lx ) 2
+
∂ 2 ( u U )
∂ ( Ly ) 2
+
∂ 2 ( u U )
∂ ( Lz ) 2
]
,
[
U 2
eu
] [
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
]
= -
[
U 2
eu
]
∂ ( p / ( ρ 0 U 2 ))
∂x
+
[
você
L 2
]
ν
[
∂ 2 u
2x 2
+
∂ 2 u
Ano 2
+
∂ 2 u
§ 2
]
.
Equações semelhantes são válidas para os componentes y e z . Se combinarmos tudo
três componentes e divididos por U 2 / L , obtemos
∂ u
∂t
+ ( u · ∇ ) u = - grad p +
ν
LU
Δ u , (1.3.5)
onde p = p / ( ρ 0 U 2 ). Incompressibilidade ainda lê
div u = 0 .
21/04/2020 Uma Introdução Matemática à Mecânica dos Fluidos
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 49/187As equações (1.3.5) são as equações de Navier-Stokes em dimensões
variáveis. Definimos o número R de Reynolds como o sem dimensão
número
R =
LU
ν
.
Por exemplo, considere dois fluxos além de duas esferas centradas na origem
mas com raios diferentes, um com um fluido em que U ∞ = 10 km / h após um
esfera de raio de 10 me outra com o mesmo fluido, mas com U ∞ =
100 km / h e raio = 1 m. Se escolhermos L para ser o raio e U para
seja a velocidade U ∞ no infinito, o número de Reynolds é o mesmo para
cada fluxo. As equações satisfeitas pelas variáveis adimensionais são assim
idêntico para os dois fluxos.
Dois fluxos com a mesma geometria e o mesmo número de Reynolds são
chamado similar . Mais precisamente, sejam u 1 e u 2 dois fluxos nas regiões D 1
e D 2 que estão relacionados por um factor de escala λ modo que G 1 = λL 2 . Deixe escolhas
de U 1 e U 2 para cada fluxo, e as viscosidades sejam v 1 e v 2
respectivamente. E se
R 1 = R 2 , isto é,
L 1 U 1
ν 1
=
L 2 U 2
ν 2
,
então os campos de velocidade adimensional u 1 e u 2 satisfazem exatamente o mesmo
equação na mesma região. Assim, podemos concluir que u 1 pode ser ob-
tained a partir de uma solução apropriadamente rescaled u 2 ; em outras palavras, u 1 e u 2 são
semelhante.
Page 48
36. 1 As Equações de Movimento
Esta idéia da semelhança dos fluxos é usada no projeto de experimentos
modelos. Por exemplo, suponha que estamos contemplando um novo design para um
asa da aeronave e queremos saber o comportamento de um fluxo de fluido em torno dela.
Em vez de construir a asa propriamente dita, pode ser mais rápido e econômico
execute os testes iniciais em uma versão reduzida. Nós projetamos nosso modelo para
que tem a mesma geometria da asa em escala real e escolhemos valores
para a velocidade não perturbada, coeficiente de viscosidade e assim por diante, de modo que
o número de Reynolds para o fluxo em nosso experimento corresponde ao do
fluxo real. Podemos então esperar que os resultados de nosso experimento sejam relevantes
ao fluxo real sobre a asa em grande escala.
Estaremos especialmente interessados nos casos em que R é grande. Nós enfatizamos
que não se pode dizer que, se ν é pequeno, efeitos viscosos não são importantes,
porque esse comentário falha ao considerar as outras dimensões do problema
ou seja, “ ν é pequeno” não é uma declaração fisicamente significativa, a menos que
alguma escala é escolhida, mas “1 / R é pequeno” é uma declaração significativa.
Como no fluxo ideal incompressível, a pressão p na pressão incompressível
o fluxo cuscuz é determinado através da equação div u = 0. Vamos agora
explore o papel da pressão no fluxo incompressível com mais profundidade. Deixei
D é uma região no espaço (ou no plano) com limite suave ∂D .
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Usaremos o seguinte teorema da decomposição.
Teorema da decomposição de Helmholtz – Hodge Um campo vetorial w em D
pode ser decomposto exclusivamente na forma
w = u + grad p, (1.3.6)
onde u tem divergência zero e é paralelo a ∂D; isto é, u · n = 0 em ∂D.
Prova Antes de tudo, estabelecemos a relação de ortogonalidade
∫
D
u · grad p dV = 0 .
De fato, pela identidade
div ( p u ) = (div u ) p + u · grad p,
teorema da divergência, e div u = 0, obtemos
∫
D
u · grad p dV =
∫
D
div ( p u ) dV =
∫
∂D
p u · n dA = 0 ,
porque u · n = 0 em ∂D . Usamos essa ortogonalidade para provar a singularidade.
Suponha que w = u 1 + grad p 1 = u 2 + grad p 2 . Então
0 = u 1 - u 2 + grad ( p 1 - p 2 ) .
Page 49
1.3 As equações de Navier-Stokes 37.
Tomando o produto interno com u 1 - u 2 e integrando, obtemos
0 =
∫
D
{
u 1 - u 2 2 + ( u 1 - u 2 ) · grad ( p 1 - p 2 )
}
dV =
∫
D
u 1 - u 2 2 dV
pela relação de ortogonalidade. Segue-se que u 1 = u 2 e, portanto, grad p 1 =
grad p 2 (que é a mesma coisa que p 1 = p 2 + constante).
Se w = u + grad p , observe que div w = div grad p = ∆ p e que w · n =
n · grad p . Usamos essa observação para provar a existência. Na verdade, dada w , deixe p ser
definido pela solução para o problema de Neumann
∆ p = div w em D, com
∂p
∂n
= w · n em ∂D.
Sabe-se 10 que a solução para esse problema existe e é única até
a adição de uma constante a p . Com esta opção de p , defina u = w - grad p .
Então, claramente u tem as propriedades desejadas div u = 0 e também u · n = 0 por
construção de p . ■
A situação é mostrada esquematicamente na Figura 1.3.2.
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campos de gradiente
campos vetoriais que são divergências
livre e paralelo ao limite
Figura 1.3.2. Decomposição de um campo vetorial em um gradiente livre de divergência
parte.
É natural introduzir o operador P, uma projeção ortogonal
, que mapeia w para sua parte livre de divergência u . Pelo precedente
teorema, P está bem definido. Observe que, pela construção P, é uma operação linear
tor e que
w = P w + grad p. (1.3.7)
Observe também que
P u = u
10 Ver R. Courant e D. Hilbert [1953], Methods of Mathematics Physics, Wiley.
A equação ∆ p = f, ∂p / ∂n = g tem uma solução única até uma constante se e somente se∫
D fdV =
∫
D g dA . O teorema da divergência garante que essa condição seja satisfeita
nosso caso.
Page 50
38. 1 As Equações de Movimento
fornecido div u = 0 e u · n = 0 , e que
P (grad p ) = 0 .
Agora, aplicamos essas idéias às equações incompressíveis de Navier-Stokes
(1.3.5) Se aplicarmos o operador P nos dois lados, obteremos
P ( ∂ t u + grad p ) = P
(
- ( u · ∇ ) u + 1
R
Δ u
)
.
Como u é livre de divergências e desaparece no limite, o mesmo é
verdadeiro de ∂ t u (se u for suave o suficiente). Assim, por (1.3.7), P ∂ t u = ∂ t u . Porque
P (grad p ) = 0, obtemos
∂ t u = P
(
- u · ∇ u + 1
R
Δ u
)
. (1.3.8)
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Embora você seja livre de divergências, ele não precisa ser paralelo ao limitee por isso não pode simplesmente escrever PΔ u = 0 . Este formulário (1.3.8) do Navier–
Stokes elimina a pressão e expressa ∂ t u em termos de u
sozinho. A pressão pode então ser recuperada como parte gradiente da
- u · ∇ u + 1
R
Δ u .
Esta forma (1.3.8) das equações não é apenas de interesse teórico,
esclarecer o papel da pressão, mas é de interesse prático para numerosos
algoritmos clínicos. 11
A pressão nos fluxos compressíveis é conceitualmente diferente da pressão
fluxos compressíveis exatamente como no fluxo ideal. Se pensarmos no fluxo viscoso como
fluxo ideal com efeitos viscosos adicionados, não é irracional assumir
que p ainda é uma função de ρ .
Uma nota de cautela é apropriada aqui. As expressões para p ( ρ ) usadas
em situações práticas, muitas vezes são emprestadas da ciência do equilíbrio
termodinâmica. Não é óbvio que p como definido aqui (através da equação
(1.3.1)) é idêntico a p, conforme definido nessa outra ciência. Nem todas as quantidades
chamado p são iguais. O uso de expressões da termodinâmica de equilíbrio
requer uma justificativa física adicional, que de fato está frequentemente disponível,
mas que não deve ser esquecido.
De acordo com a análise dada anteriormente, a pressão p no sistema incompressível
o fluxo é determinado pela equação da continuidade div u = 0. Para ver por que
11 Ver, por exemplo, AJ Chorin, Math. Comp. 23 [1969], 341-353 para algoritmos,
e D. Ebin e JE Marsden, Ann. de matemática. 92 [1970], 102-163, para uma análise teórica
investigação do operador de projeção e uso de coordenadas de material.
Page 51
1.3 As equações de Navier-Stokes 39.
for fisicamente razoável, considere um fluxo compressível com p = p ( ρ ) , onde
p ( ρ ) > 0 . Se o fluido fluir para um determinado volume fixo V , a densidade em V será
aumentar, e se p ( ρ ) > 0, então p em V também aumentará. Se a mudança
em ρ é grande o suficiente ou p ( ρ ) é grande o suficiente, - grad p no limite de
V começará a apontar