Equacoes_diferenciais_1

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Organizador 
Alexandre Rigotti Silva 
Bacharel de Mestre em Física pela Universidade de São Paulo 
Doutorando em Energia pelo Instituto de Energia e Ambiente IEE (USP) 
Professor de Física geral e experimental na Universidade Nove de Julho (UNINOVE) 
@ Pearson 
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(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Equações diferenciais/ organizador Alexandre Rigotti. - São Paulo : Pearson 
Education do Brasil, 2015. 
ISBN 978-85-430-1715-0 
1. Equações diferenciais I . Rigotti, Alexandre. 
15-05406 
Índice para catálogo sistemático: 
1. Equações diferenciais : Matemática 515.35 
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CDD-515.35 
SUMÁRIO 
Apresentação .......................................................................................... VI 1 
Prefácio ....................................................................................................... IX 
Unidade 1 Conceitos matemáticos .................................................. , 
Teoremas de Green e Stokes ................................................................. 2 
Teorema de Green ................................................................................... 2 
Teorema de Stokes ............................................................................... 12 
Séries de potências ................................................................................ 19 
Unidade 2 Equações diferenciais de primeira ordem .......... 35 
Equações diferenciais de primeira ordem: 
da teoria à prática ............................................................................... 36 
Equações diferenciais de primeira ordem ................................... 37 
Equações separáveis ........................................................................... 39 
Equações lineares ................................................................................. 42 
Equações exatas .................................................................................... 45 
Equações diferenciais de primeira ordem e suas aplicações .... .48 
Aplicações ............................................................................................... 48 
Unidade 3 Equações diferenciais lineares 
de ordem superior .............................................................................. 61 
Equações diferenciais lineares de segunda ordem .................. 62 
Introdução ao tema ............................................................................. 62 
Equações diferenciais de segunda ordem .................................. 67 
Vibrações mecânicas ........................................................................... 76 
Equações diferenciais lineares de ordens superiores ............. 85 
Introdução às equações de ordem mais alta .............................. 85 
Dependência linear e wronskiano ................................................. 86 
Equações lineares homogêneas com 
coeficientes constantes .................................................................. 87 
Unidade 4 Transformada de Laplace ........................................... 97 
Transformada de Laplace .................................................................... 98 
Definição da transformada de Laplace ....................................... 101 
Aplicações da transformada de Laplace .................................... 111 
Referências ............................................................................................. 121 
APRESENTAÇÃO 
Nos catálogos de livros universitários há vários títulos cuja pri-
meira edição saiu há 40, 50 anos, ou mais. São livros que, graças à 
identificação da edição na capa (e somente a ela), têm sua idade re-
velada. E, ao contrário do que muitos podem imaginar, isso não é um 
problema. Pelo contrário, são obras conhecidas, adotadas em diversas 
instituições de ensino, usadas por estudantes dos mais diferentes per-
fis e reverenciadas pelo que representam para o ensino. 
Qual o segredo de sucesso desses livros? O que eles têm de 
diferente de vários outros que, embora tenham tido boa aceita-
ção em um primeiro momento, não foram tão longe? Em poucas 
palavras, esses livros se adaptaram às novas realidades ao longo 
do tempo, entendendo as mudanças pelas quais a sociedade - e, 
consequentemente, as pessoas - passava e as novas necessidades 
que se apresentavam. 
Para que isso fique mais claro, vamos pensar no seguinte: a 
maneira como as pessoas aprendiam matemática na década de 
1990 é igual ao modo como elas aprendem hoje? Embora os ali-
cerces da disciplina permaneçam os mesmos, a resposta é: não! 
Nesse intervalo de tempo, ocorreram mudanças significativas - a 
Internet se consolidou, os celulares se popularizaram, as redes so-
ciais surgiram etc. E todas essas mudanças repercutiram no modo 
de vida das pessoas, que se tornou mais rápido e desafiador, trans-
formando os fundamentos do processo de ensino/aprendizagem. 
Foi com base nisso que nasceu a Bibliografia Universitária 
Pearson (BUP). Concisos sem serem rasos e simples sem serem 
simplistas, os livros que compõem esta série são baseados na 
premissa de que, para atender sob medida às necessidades tan-
to dos alunos de graduação como das instituições de ensino -
independentemente de eles estarem envolvidos com ensino presen-
cial ou a distância - , é preciso um processo amplo e flexível de 
construção do saber, que leve em conta a realidade em que vivemos. 
Assim, as obras apresentam de maneira clara os principais 
conceitos dos temas propostos, trazendo exatamente aquilo que 
o estudante precisa saber, complementado com aprofundamentos 
3 ( Equações diferenciais 
e discussões para reflexão. Além disso, possuem uma estrutura didática que propõe uma 
dinâmica única, a qual convida o leitor a levar para seu dia a dia os aspectos teóricos apre-
sentados. Veja como isso funciona na prática: 
A seção "Panorama" aprofunda os tópicos abordados ao mostrar como eles funcionam 
na prática, promovendo interessantes reflexões. 
-
....:.__~ Panorama 
Aprenda a testar uma série de potências 
Para testar uma série de potências para conver-
gência, você deverá utilizar o teste da razão ou o 
teste da raiz e encontrar o intervalo em que a série 
converge absolutamente. 
para convergência ou divergência usando o tes-
te de comparação, o teste da integral ou da série 
alternada. 
Mas, se o lnteJValo de convergência absoluta é 
o R < x < a + R, a séne diverge para lx aj < R Normalmente, é um ,ntervaloaberto lx oi < R ou 
- Saiba mais ] 
Fique atento 
Introdução -------------~ 
O noS9:l estudo scbre equações diferencidis começa pelos teoremas dí::. 
Green e Stokes, que ganharam destaque em óferentes áreas do conheci 
menta, sobretudo na Matemática e na ísica. 
Além de entender que o teorema de Green é um dos mais usados para 
calcular figuras planas limitadas e fechadas, você também aprenderá a cal 
cular as integrais de linha, de uma forma mais sirT9les e rápida, e ainda irá 
recrohecer a influência do teorema de G"een para outros teoremas, como 
o de Gauss e deStokes. 
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Ao longo do livro, o leitor se depara com 
vários hipertextos. Classificados como "Saiba 
mais", "Exemplo", "Fique atento" e "Link", 
esses hipertextos permitem ao aluno ir além em 
suas pesquisas, oferecendo-lhe amplas possibi-
lidades de aprofundamento. 
A linguagem dialógica aproxima o es-
tudante dos temas abordados, eliminando 
qualquer obstáculo para seu entendimento 
e incentivando o estudo. 
A diagramação contribui para que o estu-
dante registre ideias e faça anotações, intera-
gindo com o conteúdo. 
Todas essas características deixam claro 
que os livros da Bibliografia Universitária 
Pearson constituem um importante aliado 
para estudantes conectados e professores ob-
jetivos - ou seja, para o mundo de hoje - e 
certamente serão lembrados (e usados) por 
muito tempo. 
Boa leitura! 
PREFÁCIO 
A elaboração de um livro sobre equações diferenciais é um 
desafio pelos conceitos envolvidos e pelo grande número de apli-
cações. Praticamente todos os ramos das Ciências possuem situa-
ções que podem ser resolvidas com as ferramentas dessa diciplina, 
desde circuitos elétricos à problemas de ecologia. Neste livro, o 
leitor será apresentado a várias técnicas para a resolução dessas 
equações com inúmeros exemplos e exercícios. Durante a leitura, 
muitas das aplicações atuais dos conceitos serão apresentadas de 
modo aprazível. 
Seguindo a proposta de outros livros desta coleção, o conteúdo 
divide-se em quatro unidades, todas elas enriquecidas com boxes 
de ampliação, seções especiais e exercícios de fixação. 
Na primeira unidade iremos estudar os conceitos matemáticos 
necessários para o entendimento do formalismo envolvido, inicia-
remos com o estudo dos teoremas de Green e Stokes e terminare-
mos com um estudo das séries de potência. 
Na segunda unidade serão analisadas as equações diferencias 
de primeira ordem, ao final o leitor poderá classifica-las em sepa-
ráveis, lineares e exatas, aprendendo a resolver cada uma delas. E 
serão apresentadas aplicações em vários ramos das ciências. 
Na terceira unidade o leitor será apresentado à equação diferen-
cia! linear de segunda ordem e a uma aplicação muito importante: 
resolver sistemas de massa-mola com amortecimento, subamorte-
cimento e amortecimento mais severo. Também diferenciará equa-
ções harmônicas simples e equações não homogêneas, e conhecerá 
as equações lineares de ordens superiores mais altas. 
Finalmente, a última apresenta ao leitor o conceito da Transforma-
da de Laplace e seu uso para a resolução das Equações Diferenciais. 
Esperamos que esse livro seja de grande importância para o 
leitor e crie nele a curiosidade científica para buscar outros con-
ceitos e aplicações. 
Bons estudos! 
Prof. Alexandre Rigotti Silva 
UNIDADE 
Conceitos matemáticos 
-------- Objetivos de aprendizagem 
• Entender e comparar os teoremas de Green e Stokes. 
• Introduzir e analisar as ideias de divergência e densidade de circulação. 
• Reconhecer as duas formas assumidas pelo teorema de Green. 
• Definir e entender a partir de exemplos práticos as séries de potências. 
------------------ Temas 
• 1 - Teoremas de Green e Stokes 
Neste tema, serão apresentados os teoremas de Green e de Stokes, 
que têm grande importância na Matemática, Engenharia, Física, 
Geologia, Química, entre outras áreas. Você terá a oportunidade de 
conhecer não só a teoria, mas as aplicações práticas, além de rever 
conceitos como integral de linha e campo vetorial. 
• 2 - Séries de potências 
No segundo tema, vamos conhecer um pouco mais sobre as séries 
de potências, que muito se parecem com "polinômios infinitos" e 
também podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, derivadas 
e integradas, resultando em novas séries de potências. 
Introdução 
O nosso estudo sobre equações diferenciais começa pelos teoremas de 
Green e Stokes, que ganharam destaque em diferentes áreas do conheci-
mento, sobretudo na Matemática e na Física. 
Além de entender que o teorema de Green é um dos mais usados para 
calcular figuras planas limitadas e fechadas, você também aprenderá a cal-
cular as integrais de linha, de uma forma mais simples e rápida, e ainda irá 
reconhecer a influência do teorema de Green para outros teoremas, como 
o de Gauss e de Stokes. 
=3 ( Equações diferenciais 
Este livro também será uma oportunidade para rever conceitos, como 
o campo vetorial e a integral de linha, e assimilar novas informações, 
por exemplo as ideias de divergência e de densidade de circulação. 
Depois, vamos aprofundar os nossos conhecimentos sobre o teorema 
de Stokes, que é uma espécie de generalização do teorema de Green 
para o espaço t ridimensional e pode ser usado para t ransformar inte-
grais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa. 
Outro tema importante que será abordado nesta primeira unidade 
são as séries de potências. 
Teoremas de Green e Stokes 
Teorema de Green 
Nesta primeira unidade, vamos conhecer o teorema de Green 
e o teorema de Stokes, ambos com grande importância para a 
Matemática, sobretudo no estudo do cálculo vetorial e das equa-
ções diferenciais. 
Elaborado pelo matemático e físico inglês George Green, 
esse teorema é um dos mais utilizados para calcular áreas de fi-
guras planas limitadas e fechadas. Vale lembrar que o princípio 
do teorema de Green foi usado para formular outros teoremas 
essenciais, como o de Gauss e o de Stokes. E suas aplicações 
foram úteis não somente para a Matemática, mas também ga-
nharam destaque nas áreas da Física, Engenharia, Geologia, 
Química, entre outras. 
Sobre o teorema de Green, Flemming e Gonçalves (2007, 
p. 348) observaram que: 
Esse teorema expressa uma integral curvilínea ao longo de uma 
curva fechada no plano como uma integral dupla sobre a região 
delimitada pela curva. 
Mas, antes de demonstrarmos o teorema de Green, vamos re-
ver conceitos importantes, como o campo vetorial e a integral de 
linha, já que esse teorema também é usado para calcular a integral 
de uma maneira mais simples e rápida. 
Com ampla aplicação na Física, o campo vetorial associa um 
vetor a um ponto no espaço, por exemplo: indica a velocidade e a 
direção de um fluido que se movimenta pelo espaço, ou ainda, a 
intensidade e a direção de uma força. 
Na prática, se Fé um campo conseivativo, logo F = v'f para 
uma função derivável f Assim é possível calcular a integral de 
linha de F sobre qualquer caminho C ligando o ponto A ao ponto 
B por Íc F ·dr = f(B) - f(A). 
Durante a demonstração do teorema de Green, vamos in-
troduzir e analisar duas ideias importantes que o envolvem: 
divergência e densidade de circulação ao redor de um eixo per-
pendicular ao plano. 
Saiba mais 
O termo teorema foi usado pela primeira vez por Euclides, em Os Elementos. 
O autor adotou a palavra para representar uma afirmação que poderia ser 
provada. E por falar em prova, o teorema de Green aplica-se a qualquer cam-
po vetorial desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas. 
Divergência 
Para entender a divergência, imagine que F(x, y) = M(x, y)i + 
N(x,y)j seja o campo de velocidade de um fluido escoando no pla-
no e que as derivadas parciais de primeira ordem de Me N sejam 
contínuas em cada ponto de uma região R. Podemos definir (x, y) 
como um ponto qualquer em R, e A como um pequeno retângulo 
com vértice em (x, y) que esteja contidointeiramente em R. 
Nesse caso, os lados do retângulo, que são paralelos aos ei-
xos coordenados têm comprimentos de Lhe Áy. Os componen-
tes Me N não mudam de sinal em uma pequena região contendo 
o retângulo A e a taxa na qual o fluido deixa o retângulo atra-
vés da aresta inferior é de aproximadamente F(x, y) · ( -j)Llx = 
- N(x, y)Áx. 
Se a ideia é aproximar a taxa de escoamento no ponto (x, y), 
você deverá calcular por meio de cada aresta na direção das setas 
cinza, conforme mostra a Figura 1.1 , e depois somar essas taxas e 
dividir o resultado pela área de A. 
Assim, ao tomar o limite quando Áx ___, O e Áy ___, O terá a taxa 
de escoamento por unidade de área. 
Nesse caso, se a velocidade estiver em metros por segundo, a 
taxa de escoamento deverá ser calculada em metros por segundo 
multiplicada por metros ou metros quadrados por segundo. Note 
Conceitos matemáticos) e 
=3 ( Equações diferenciais 
Figura 1.1 Taxa de escoamento. 
(X + !!. X, y + !!.y) 
f. (- j)<Ü 
(x, y) 
------!!.x------
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 393). 
que as taxas nas quais o fluido cruza com os demais lados nas dire-
ções de suas normais exteriores podem ser obtidas da mesma forma. 
É importante entender que as taxas de escoamento poderão ser 
negativas ou positivas e isso dependerá dos sinais dos componentes 
de F Acompanhe, a seguir, a taxa de escoamento líquido através 
da fronteira retangular de A, somando as taxas de escoamento das 
quatro arestas, de acordo com o definido pelos produtos escalares: 
Topo: 
Fundo: 
Direita: 
Esquerda: 
F(x,y + Liy) -j Lix = N(x,y + Liy)Lix 
F(x, y) · ( -j) Lix = - N(x, y)Lix 
F(x + Lix,y) · i Liy = M(x + Lix,y)Liy 
F (x, y) · ( - i) Liy = - M(x, y )Liy 
Assim, somando pares opostos, teremos: 
Topo e Fundo N(x,y + ~ y) - N(x,y))fu:::::,; ( :: ~ y )fu 
Direita e esquerda: M (x + &,y)- M (x, y ))~ y ::::::; [: fu)~y 
Se somarmos as equações, teremos o efeito líquido das ta-
xas de escoamento ou o fluxo através da fronteira retangular 
:::::,; [8M + 8N ) fu~y 
8x 8y 
Mas, para calcular o fluxo total por unidade de área ou densi-
dade de fluxo para o retângulo, temos que dividir fu:Ây: 
Fluxo através de umafronteira retangular [âM âN ) ' ~ -+-
Area retangular âx ây 
Por último, também podemos fazer fu: e Ây se aproximarem 
de zero para definir a densidade de fluxo de Fno ponto (x, y). Por-
tanto, definimos a divergência ou densidade de fluxo de um campo 
vetorial F =Mi+ Nj no ponto (x, y) como: 
div F= âM + âN 
âx ây 
Exemplo: 
O campo vetorial (b) (Figura 12) representa a velocidade de 
um gás escoando no plano .xy. A divergência desse campo vetorial 
com rotação uniforme F (x, y) = -cyi + ex} é div F = .!!_ ( - cy) + 
â âx 
- (ex) = O. Nesse caso, ogásnão estáemexpansãooucompreensão. 
ây 
Figura 1.2 Campo vetorial (b). 
(b) 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 394). 
Exemplo: 
Nesse outro caso, o campo vetorial (d) (Figura 1.3) também re-
presenta a velocidade de um gás escoando no plano .xy. A divergência 
F ( ) 
- y . X • 
desse campo vetorial x,y = 
2 2 
z + 
2 2 
J com efeito 
x + y x + y 
Conceitos matemáticos) e 
~ ( Equações diferenciais 
Saiba mais 
Em dinâmica de flu idos, 
quando o campo de 
velocidade de um 
líquido em escoamento 
tem divergência igual 
a zero é denominado 
líquido incompreensível. 
redemoinho é div F = ~r - y )+~( x )= 2-XY 
2 âx x 2+ y 2 ây x2 + y2 (x2+ y 2)2 
- .xy = 0 
(x2 + y2)2 
Figura 1.3 Campo vetorial (d). 
y 
~ 
,, 
" • 
I / ' X "' / .. - ,,, • . • 
(d) 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 394). 
Exemplo: 
Diferentemente dos dois casos anteriores, o campo vetorial (a) (Fi-
gura 1.4) F(x, y) = e.xi + cyj em expansão ou compreensão uniforme 
não apresenta divergência igual a zero e seu líquido não é considera-
. ô ô 
do incompreensível. Nesse caso, d1v F =-(cx)+-(cy) = 2c. 
âx ây 
Figura 1.4 Campo vetorial (a). 
y 
(a) 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 394). 
X 
Sendo assim, se c > O, o gás está submetido à expansão uniforme. 
Já se c < O, o gás está submetido à compreensão uniforme. 
Exemplo: 
Já no campo vetorial F(x, y) = yi (Figura 1.5), que está em 
escoamento ou cisalhamento, div F = !!_(y) = O. Nesse caso, o 
âx 
gás não está em expansão ou compreensão. 
Figura 1.5 Campo vetorial (c). 
y 
- -- --,-----,,--+--,,------,,--• X 
(c) 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 394). 
Densidade de circulação 
Para entender a densidade de circulação de um campo vetorial 
F em um ponto, vamos imaginar uma roda de pás flutuando, com 
eixo perpendicular ao plano, girando em um ponto com um fluido 
escoando em uma região plana. Essa imagem nos dá uma ideia de 
como o fluido circula ao redor dos eixos localiz.ados em diferentes 
pontos e perpendiculares à região. 
Para encontrar a densidade da circulação, temos que voltar ao 
campo de velocidade F(x, y) = M(x, y )i + N (x, y)j e considerar o 
retângulo A, representado na Figura 1. 6. 
Observe que consideramos os componentes de Fpositivos e a 
taxa na qual o fluido escoa ao longo da aresta inferior de uma re-
gião retangular na direção i é aproximadamente F(x, y ) · i Lix que 
é positiva para o campo vetorial F. 
Já para aproximar a taxa de circulação no ponto (x, y ), você 
deverá calcular as taxas de escoamento ao longo de cada aresta na 
direção das setas cinza, conforme mostra a Figura 1.6. 
Conceitos matemáticos) e 
=3 ( Equações diferenciais 
Figura 1 .6 Taxa de escoamento. 
(X + Í'!. X, y + f'i.y) 
F · (- i) < O 
F• (- j)<O A !'i.y 
(x, y) 
Fonte· Thomas, Weir e Hass (2013, p. 395). 
Para tanto, é preciso somar as taxas e depois dividir o valor pela 
área de A. Ao determinar o limite quando àx--, O e Áy--, O temos 
a taxa de escoamento por unidade de área. Para a aresta inferior, a 
taxa de escoamento é F(x, y) · i Áx = M(x, y) Áx. 
É importante lembrar que as taxas de escoamento podem ser 
positivas ou negativas, dependendo dos componentes de F. 
Acompanhe, a seguir, a taxa de circulação líquida ao redor da 
fronteira retangular de A , somando as taxas de escoamento ao lon-
go das quatro extremidades: 
Topo: 
Fundo: 
Direita: 
Esquerda: 
F(x,y + Áy) · (-i) Áx = -M(x,y + Áy)àx 
F(x,y) · i Áx =M(x, y)Áx 
F(x + àx, y) · j Áy = N(x + àx, y)Áy 
F(x, y) · ( - j) Áy = -N(x, y)Áy 
Ao somar os pares opostos, teremos: 
Topo e Fundo: - (M(x,y+~y) - M(x,y))fu ~ - (~: ~ y )fu 
Direita e esquerda: (N(x + fu,y) - N(x,y))~ y ~ ( ~: fu )~y 
Assim, para obter a circulação líquida relativa à orientação 
anti-horária, temos que somar as duas últimas equações e div i-
dir por ÁxÁy para conseguir uma estimativa da densidade de 
circulação do retângulo : 
Circulação ao redor do retângulo 
Área retangular 
ôN ôM 
;::::;-----
ôx ôy 
Ao fazer que âx e ây tendam a zero, definimos a densidade de 
circulação de Fno ponto (x, y). 
Exemplo: 
Pense em uma rotação em sentido anti-horário de maneira que 
esteja olhando para baixo sobre o plano .xy a partir da ponta do 
vetor unitário k. Nesse caso, a densidade de circulação é positiva, 
conforme ilustra a Figura 1. 7. 
Figura 1.7 Circulação em sentido anti-horário. 
Eixo vertical 
kt c6 
rot F (x 0, y 0) • k > O 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 396). 
De acordo com Thomas, Weir e Hass (2013, p. 396) 
A densidade de circulação de um campo vetorial F =Mi+ Nj no 
( ) , _ I ôN ô M E _ ponto x, y e a expressao esca ar ---- . ssa expressao tam-
ô x ôy 
bém é chamada de componente k do rotacional, denotada por 
(rot F) · k. 
Duas formas do teorema de Green 
O teorema de Green pode assumir duas formas. Na primeira, 
também conhecida como fluxo-divergência ou normal, temos: 
Conceitos matemáticos) e 
Fique atento 
Segundo o teorema de 
Green, o fluxo externo 
de um campo vetoria l 
através de uma curva 
fechada simples no 
plano é igual à integral 
dupla da divergência 
do campo sobre a 
região delimitada pela 
curva. Porém, você 
deve prestar atenção, 
uma curva é chamada 
simples se ela não cruza 
a si mesma. 
3 ( Equaçõesdiferenciais 
Saiba mais 
O fluxo exterior 
de F definido pela 
integral de linha que 
acompanhamos na 
primeira equação 
nada mais é do que a 
densidade de fluxo sobre 
a região R delimitada 
por C. Já a circulação em 
sentido anti-horário de 
F ao redor de C que foi 
definida pela integral 
de linha na segunda 
equação é a densidade 
de circulação sobre a 
região R delimitada por C. 
p F ·n ds = pM dy - N dx = JJ(âM + âN) dx dy 
e e R âx ây 
Fluxo exterior Integral da divergência 
Note que, seja C uma curva fechada, simples e lisa delimitando 
uma região R no plano, e F = Mi + Nj um campo vetorial com 
M e N, tendo definidas as derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas em uma região aberta contendo R , o fluxo exterior de 
F através de C é igual à integral dupla de div F sobre a região R 
delimitada por C 
A outra forma do teorema de Green é conhecida como circula-
ção-rotacional ou tangencial: 
p F ·T ds = f M dx + N dy = JJ( âN + âM ) dx dy 
e e R âx ây 
Circulação em sentido anti-horário Integral do rotacional 
Nesse caso, seja C também uma curva fechada, simples e lisa 
delimitando uma região R no plano e F = Mi + Nj um campo ve-
torial comM eNtendo definidas as derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas em uma região aberta contendo R, a circulação 
em sentido anti-horário de F ao redor de C é igual à integral dupla 
de (rot F) · k sobreR. 
É importante entender que as duas formas apresentadas são 
equivalentes, ou seja, ao aplicar a primeira equação ao campo 
G
1 
= Ni - Mj, temos a segunda forma e, ao aplicar a segunda 
equação a G2 = -Ni + Mj, temos a primeira. 
Exemplo: 
Que tal verificarmos as duas formas do teorema de Green 
para o campo vetorial F(x, y) = (x - y)i + xj e a região R deli-
mitada pela circunferência unitária C: r(t) = (cos t)i + (sen t')j, 
O ~ t ~ 21r? O primeiro passo é calcular F (r(t)) e diferenciar 
os componentes: 
dx = d(cos t) = - sen t dt M = cos t - sen t, 
N = cos t, dy = d(sen t) = cos t dt 
âM = - l âN =l âN = O âM =l 
âx ' ây ' âx ' ây 
Logo, os dois lados da primeira equação são: 
p M dy - N dx = J,~:2~(cost - sent)(costdt) - (cos t- sen tdt) 
e 
= J/~ cos2 t dt = Tr 
Jf[~: + ~; )dxdy = Jf (l + O)dxdy 
= JJ dxdy 
R 
= área dentro da circunferência unitária = Tr 
e os dois lados da segunda equação saí: 
p Mdx + Ndy = J,~:2~ (cost -sen t)(-sen t dt) + (cost )(costdt) 
e 
1
2~ 
= 
0 
(- sentcost +1) dt= 2Tr 
JJ[âN - âM )dxdy = JJ0 - (-1))dxdy = 2JJ dxdy = 2Tr 
R âx dy R R 
Também podemos usar o teorema de Green para calcular a in-
tegral de linha. Na prática, se construirmos uma cmva fechada C 
emendando um número de curvas diferentes pelas extremidades, 
o cálculo de uma integral de linha sobre C poderá ser extenso, 
já que há muitas integrais diferentes para calcular. Porém, se C 
limitar uma região R para qual o teorema de Green se aplica, logo 
poderemos usar uma integral dupla sobreR. Acompanhe o passo a 
passo no exemplo a seguir: 
Exemplo: 
Para calcular a integral de linha pxydy - y 2dx, onde C é o 
e 
quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x = 1 e y = 1, 
usando o fluxo divergência ou normal e definindo M = xy, N = y2 e 
C e R como fronteira do quadrado e seu interior, obteremos: 
f xydy - y
2
dx = JJ(y + 2y)dxdy = .f .f3ydxdy 
C R 
1 x= l 1 3 li 
= J [ 3xy l dy = 1 3 y dy = - y 2 
Ü X=Ü Ü 2 Ü 
3 
2 
Conceitos matemáticos)E 
3 ( Equações diferenciais 
Fique atento 
O teorema de Green 
também pode ser 
aplicado em regiões 
com muitos furos ou 
buracos (Figura 1.8), 
desde que as curvas 
limitantes sejam lisas, 
simples e fechadas. 
Nesse caso, é preciso 
integrar sobre cada 
componente da fronteira 
na direção que mantém 
R à nossa esquerda. 
Com a forma circulação rotacional ou tangencial, definindo 
M = -y2 eN = .xy, temos o mesmo resultado: 
p - y
2
dx + .xydy = JJ(y - (- 2y))dxdy = ¾ 
C R 
Figura 1.8 Regiões com muitos furos. 
o 
a 
Fonte:Thomas, Weir e Hass (2013, p. 403). 
Teorema de Stokes 
Já sabemos que o teorema de Green pode transformar uma 
integral curvilínea em uma integral dupla e que é bastante usa-
do para calcular áreas de figuras planas limitadas e fechadas. 
Agora, vamos descobrir que o seu princípio também é empre-
gado para formular outros teoremas, como o do matemático 
George Stokes. 
Segundo Flemming e Gonçalves (2007, p. 402): 
O teorema de Stokes const itui uma generalização do teorema 
de Green para o espaço t ridimensional e pode ser uti lizado para 
transformar determinadas integrais curvilíneas em integrais de su-
perfície ou vice-versa. Além disso, ele é de grande importância em 
aplicações físicas. 
A afirmação também é compartilhada por Thomas, Weir e 
Hass (2013, p. 424): 
O teorema de Stokes generaliza o teorema de Green para t rês di-
mensões. A forma circulação-rotacional do teorema de Green re -
laciona a circulação em sentido ant i-horário de um campo vetorial 
ao redor de uma curva fechada simples C no plano xy a uma inte-
gral dupla sobre a região plana R delimitada por C. 
Na prática, significa que seja Suma superfície orientada e lisa 
tendo uma curva de borda lisa por partes e F =Mi+ Nj + Pk um 
campo vetorial cujos componentes tenham derivadas parciais de 
primeira ordem contínuas em uma região aberta contendo S, a 
circulação de F ao redor de C no sentido anti-horário com rela-
ção ao vetor unitário da superfície n é igual à integral V x F • n 
sobre S: 
pF·dr= Jf v x F ·n da 
e s 
Circulação 
anti-horária 
Integral do 
rotacional 
De acordo com a equação anterior, se duas superfícies orienta-
das diferentes têm a mesma borda C, as integrais do rotacional são 
iguais: Jf v x F -nl da= Jf v x F •n2 da. 
s, s, 
Já se C for uma curva no plano .xy, orientada no sentido anti-
-horário, e R for a região no plano .xy, delimitada por C, concluí-
mos que d<:T = dx dy e (V x F )· n = ('v x F )· k = [ªN - BM ]· 
ax 8y 
Assim, temos a equação de Stokes: 
:f F · dr= JJ[ªN - BM ]dxdy 
e R 8x 8y 
Note que a equação anterior está na forma circulação rotacio-
nal do teorema de Green. Ao inverter os passos, podemos escrever 
a forma circulação rotacional do teorema de Green para campos 
bidimensionais: 
:f F ·dr= JJV x F -k dA 
C R 
Na Figura 1.9, é possível perceber com maior clareza a compa-
ração entre os teoremas de Green e Stokes: 
Conceitos matemáticos)E 
3 ( Equações diferenciais 
Figura 1.9 Comparação entre os teoremas de Green e Stokes. 
6 
Rotacional 
Circulação 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 425). 
Exemplo: 
Encontre a circulação do campo F = (x2 ~ y)i + 4zj + x2k ao 
redor da curva Conde o plano z = 2 encontra o cone z = .J x 2 + y 2 
em sentido anti-horário, como na Figura 1.1 O. 
Nesse caso, usando o teorema de Stokes podemos encontrar a 
circulação através da integração sobre a superfície do cone. As-
sim, parametrizando o cone: r(r, 0) = (r cos 0)i + (r sen 0)j + rk, 
O ::; r::; 2, O ::; 0 ::; 2,r. 
Figura 1.1 O Curva C e cone S. 
z 
X 
C: x2 + y' = 4, z = 2 
/ 
S: r(t) = (r cos 0)i + (r sen 0)j + rk 
........... y 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 426). 
Logo: 
r, X r0 -(rcos0)i -(rsen 0)j + rk 
n = Ir, x rol = r✓2 
= ~ (-(cos0)i - (sen 0)j +k) 
do = r✓2 dr d0 
V x F =-4i - 2xj + k 
= -4i - 2r cos 0j + k 
Assim: 
Vx F · n = ~ (4 cos0 + 2rcos0sen 0 + 1) 
= ~ (4 cos0 + rsen 0+1) 
Concluímos que a circulação é: 
f F ·dr= Jfvx F ·n do 
e s 
l 2.l2 1 r::: = 0 0 ✓2 (4cos0+ rsen20 +l)(rv2drd0) =4'IT 
Fique atento 
O cone usado no exemplo anterior não é a superfície mais fácil para calcular 
a circu lação ao redor da circunferência de borda C que está no plano z 3. 
Uma opção é usar o d isco plano de raio 3 centrado no eixo z e presente no 
plano z 3. Assim, o vetor normal à superfície Sé n k. Como no cálcu lo 
que usamos no exemplo, teremos v' x F - 4i - 2xj + k, porém agora te~ 
mos v' x F · N 1 de modo que .rr V x F-n da .fI ldA 4 1T. 
X f,f _4 
Exemplo: 
Imagine um fluido de densidade constante que gira ao redor 
do eixo z comvelocidade F = w(- yi + xj), onde w (ómega) é 
Conceitos matemáticos)E 
3 ( Equações diferenciais 
uma constante positiva chamada de velocidade angular da rota-
ção, conforme a Figura 1.11. 
Figura 1.11 Um escoamento circular constante paralelo ao plano xy, 
com velocidade angular constante w em sentido positivo (anti-horário). 
P(x, y, z) 
\ _ 
• 
-- • -
/ 
o~ 
P(x,y, O) Y 
X 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 428). 
Para encontrar V x F e relacionar a densidade à circulação, 
temos que, primeiro, encontrar o rotacional com F = -wyi + wxj: 
'v x F=[ºp _ 8N )i+[ºM _ 8P )j+[ºN _ 8M )k 
8y 8z 8z 8x 8x 8y 
= (0 - 0)i + (0 - 0)j + (w - (- w))k = 2wk 
Pelo teorema de Stokes, concluímos que a circulação de F ao 
redor da circunferência C de raio p delimitando um disco S em 
plano normal a V x F o plano .xy é: 
jF-dr = JJV x F-n da = Jf 2wk- k dxdy = (2w)(1íp2) 
e s s 
Resolvendo a equação para 2w, temos: 
('v x F )· k = 2w=~jF-dr 
1íp e 
Stokes para superfícies com furos 
Assim como o teorema de Green, o teorema de Stokes tam-
bém é válido para superfícies com um ou mais buracos. Nesse 
caso, a integral de superfície sobre S do componente normal de 
V x Fé igual à soma das integrais de linha do componente tan-
gencial de F ao redor de todas as curvas da borda onde as cur-
vas serão traçadas na direção orientada de S. Embora o teorema 
seja o mesmo, C é considerada uma união de curvas fechadas 
simples. 
Saiba mais 
Bastante utilizada em Física e Matemática, a identidade rot grad f = O ou 
V x Vf = O é usada para qualquer função f(x, y, z) cujas derivadas de segunda 
ordem sejam contínuas. Observe a prova a seguir: 
j k 
â â â 
'ílxW = âx ây âz = (f,y - ~, )i - (fzx - f,,)j +(~, - f"' )k 
âf âf âf 
âx ây âz 
Saiba mais 
Se as derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas, as derivadas de 
segunda ordem mistas em parênteses serão iguais e o vetor será nulo. 
Os campos conservativos também merecem atenção espe-
cial no teorema de Stokes. Na Figura 1.13, vamos acompanhar 
um resumo dos resultados para campos conservativos definidos 
em regiões abertas conexas e simplesmente conexas. Ou seja, 
se V x F = O em todo ponto de uma região simplesmente co-
nexa D no espaço , então qualquer curva fechada lisa por partes 
Cem D pode ser descrita da seguinte maneira: 
JF·dr = O 
e 
Conceitos matemáticos)E 
3 ( Equações diferenciais 
Figura 1.12 Região simplesmente conexa no espaço. 
(a) 
(b) 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 431 ). 
Na Figura 1.12, (a) representa urna região aberta simplesmen-
te conexa no espaço. Já (b) são curvas lisas que cruzam em si 
mesmas e podem ser divididas em laços fechados sobre os quais 
podemos aplicar o teorema de Stokes. 
Observe na Figura 1.13, a seguir, os resultados para campos 
conservativos definidos em regiões abertas conexas ou simples-
mente conexas. 
Figura 1.13 Campos conservativos. 
F conservativo em O <=> 
F. dr= O 
Ec 
sobre qualquer 
caminho fechado 
em D 
<== 
F =W emO 
V X F = 0 ao longo de O 
Fonte:adaptada de Thomas, Weir e Hass (2013, p. 431). 
Séries de potências 
Neste tema, vamos estudar as séries de potências. Mas o que 
são essas séries? São somas que se parecem com "polinômios infi-
nitos" e são definidas como séries infinitas de potências de alguma 
variável, por exemplo, x. 
Mas você deve estar se perguntando qual é o objetivo de estu-
dar essas séries. Pois bem, as séries de potências podem represen-
tar uma dada função e, assim como os polinômios, elas também 
podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, derivadas e inte-
gradas resultando em novas séries de potências. 
Segundo a definição de Thomas, Weir e Hass (2013, p. 44): 
Uma série de potências centrada em x = O é uma série da forma 
fcnxn= Co+ C1x+ c2x2+ ·· ·+cnxn+ ·· ·. Uma série de potências 
fJc=Ü oc, 
centrada em x = a é uma série da forma I:cn(x - a)" = c0 + c1 
rJc=Ü 
(x - a)+ c2(x - a)
2 + · ·-+cn(x - a)" + · · · na qual o centro a e os coe-
ficientes crY c1, c2, ... , cn, ... são constantes. 
É importante saber que uma série de potência é, na verdade, 
uma série de constantes nas quais podemos testar sua convergên-
cia ou divergência. Isso significa que poderá convergir para alguns 
valores de x e divergir para outros. 
Dessa forma, a soma da série é sempre uma função j(x) e seu 
domínio é o conjunto de todos os x para os quais a série potencial 
convirJa. 
Saiba mais 
As séries de potências se assemelham-se a um polinômio, mas a principal 
diferença neste caso é que ftem infinitos termos. 
Exemplo: 
Ao tomar os coeficientes como 1 na equação, logo temos uma 
série de potências geométricas f xn = l + x + x2 + • • • + x2 + • • • . 
n=O 
Tal série com o primeiro termo 1 e a razão x converge para 
1 /(1 - x) para lxl < 1. 
Conceitos matemáticos)E 
3 ( Equações diferenciais 
1 2 n 
Podemos expressar por --= 1+x+x + • .. +x + ··· -1 < 
x < 1. 1-x 
Exemplo: 
e A b - 1 1 2 orno voce perce eu, usamos a equaçao --= + x + x + 
1-x 
• • • + xn + · • •, -1 <x <1, como fórmula para a soma da série à direita. 
Agora, vamos mudar o foco e pensar nas somas das séries à direita 
como polinômios Pn(x) que se aproximam da função à esquerda. 
Nesse caso, para valores de x próximos a O, tomamos somente 
alguns termos da série para conseguir uma aproximação satisfa-
tória. Note que, ao mover em direção a x = 1 ou -1 , devemos 
tomar mais termos. Assim, j(x) = 11(1 - x) não é contínua em 
intervalos contendo x = 1 e as aproximações não se aplicam 
quando x 2': 1. 
Note na Figura 1.14, os gràficos de f(x) = 1/(1 - x) e quatro de 
suas aproximações polinomiais. 
Em Matemática usamos o critério da razão para descobrir se 
uma série é convergente ou não. Vamos acompanhar alguns exem-
plos a seguir: 
Figura 1 .14 Gráficos de l(x) = 1/(1 - x) e quatro de suas aproximações 
polinomiais. 
5 
4 
3 
2 
1 
y + 1 - X 
--'-"""'=--------ii--------...1......+ X 
- 1 o 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2013, p. 45). 
Exemplo: 
Para descobrir para quais valores de x a série potencial 
oo n 2 3 L ( -1 r-l .::_ = X - .::.._ + .::_ - . . . converge, temos que aplicar o 
= l n 2 3 
teste da raz.ão à série, onde un é o enésimo termo da série de potenciais: 
Nesse caso, a série converge absolutamente para lxl < 1 e di-
verge se lxl > 1, pois o enésimo termo não converge para zero. Se 
x = 1 temos a série harmônica alternada 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + • • • 
que converge. Já sex = -1 , temos -1 - 1/2 - 1/3 - 1/4 - • .. , o 
negativo da série harmônica, ela diverge. Assim, a série converge 
para -1 < x ::; 1 e diverge em qualquer outro lugar. 
- -< ____ ...._ ____ >---+ X 
- 1 o 
Fique atento 
O teste da razão rea lizado no exemplo anterior não se aplica a séries de po-
tências com termos não negativos! 
Exemplo: 
Observe nesse outro caso, no qual a série I un+I I = 1 xn+i . ~, = 
un (n +l)! x" 
lxl n! 1·2·3··· n ------, O para todo x. --- = ------- converge 
n+ l (n +l)! 1·2·3··· n·(n +l) 
absolutamente. 
.., _____ _._ _____ ,.X 
o 
Já percebemos que uma séne de potências pode convergir, 
mas o que acontece quando uma série de potências converge em 
mais do que um valor? É simples, ela converge sobre um intervalo 
Conceitos matemáticos)E 
3 ( Equações diferenciais 
inteiro de valores, que poderá ser finito ou infinito e também con-
ter uma, ambas ou nenhuma extremidade. 
É importante que cada extremidade de um intervalo finito seja 
testada para convergência ou divergência. 
Convergência para séries de potências 
De acordo com o teorema de convergência para séries de 
potências, se a série f anxn = a0 + a1x + a2x 2 + · · · converge 
n-0 
em x = e -::j:. O, então converge absolutamente para todo x com 
lxl < lei- Se a série diverge em x = d, então ela diverge para todo 
x com lxl > la1-
A prova é feita a partir da comparação entre a série dada e 
uma série geométrica convergente. Vamos imaginar que a série 
"\"'
00 
a cn converge. Então, o lim a cn = O pelo teste do ené-~ n=O n n-=x> n 
simo termo. Concluímosque existe um inteiro N tal que lancnl < 1 
Para todo n > N , assim: la 1 < -
1
- para n > N. .. ler 
Mas, se você adotar qualquer x tal que lxl < lcl de modo que 
lxl / lcl < l , ao multiplicar os lados da equação lanl < ~ para 
n > N por lxl" temos: 1~ 
Assim, como lx/ cl < l , a série geométrica L :olx / ~ n converge. 
Mas imagine que L :o anxn diverge em x = d. Se x é um 
número lxl > la1 e a série converge em x , a primeira metade do 
teorema mostra que a série também converge em x. Dessa forma, 
a série diverge para todo x com lxl > la1 Podemos simplificar a 
notação para as séries da forma L ªn(x - af, substituindo x - a 
por x'e aplicando os resultados à série L ªn(x'r. 
Concluímos que uma série de potências pode se comportar das 
seguintes maneiras: l ) pode convergir em x = a; 2) convergir em toda 
parte; 3) convergir em algum intervalo do raio R centrado em x = a 
Na prática, a convergência da série L cn(x - ar pode serdes-
crita das seguintes maneiras: l ) existe um número positivo R tal 
que a série diverge para x com lx - ai > R , mas converge para x 
com lx - ai < R. A série pode ou não convergir em uma das extre-
midades x = a - R e x = a + R; 2) a série converge absolutamente 
para todo x(R = <X.J); 3). A série converge em x = a e diverge em 
todos os outros pontos (R = O). 
Operações em séries 
Você sabia que duas séries de potências podem ser adicionadas e 
subtraídas na intersecção de seus intervalos de convergência? Tam-
bém podem ser multiplicadas da mesma forma que fazemos com 
polinômios. Embora possa ser feito termo a termo, em geral limita-
mos aos primeiros termos, que são os mais importantes. Acompa-
nhe, a seguir, urna fórmula para os coeficientes no produto. 
Se A(x) = E :oaxx" e B(x) = L :obxx" convergem absolu-
tamente para lxl < R e e,, = a0b,, + a,b,,_1 + aA,_2 + · · · + a11_ 1b1 + 
a,,b
0 
= takbn-k' concluímos que E:
0
c,,x" converge absoluta-
k 4l 
mente para A(x)B(x) para lxl < R 
É importante ter em mente que encontrar o coeficiente geral 
e,, no produto de duas séries de potências pode ser trabalhoso e o 
termo volumoso. Acompanhe, a seguir, um produto no qual en-
contramos os primeiros termos pela multiplicação dos termos da 
segunda série por cada termo da primeira série: 
( 
oo ) ( oo n+I ) ( 2 3 ) E x"· E (-t)" -x- =(l+x+x2 +···) x -~+~ -- -· 
n= O n= O n +l 2 3 
Multiplique a segunda série: 
=(x- ~ + ~
3 
-· ··)+(x2 - ~ + ~
4 
-· ··)+(x3 - ~
4 
+ ~ -· ··)+··· 
por 1 
x 2 5x3 x 4 
= x +-+---··· 
2 6 6 
por X 
e junte as quatro primeiras potências. 
por x2 
Conceitos matemáticos) E 
3 ( Equações diferenciais 
Também podemos substituir j(x) por x em uma série de potên-
cias convergentes. 
Em outro caso, se L :o a n xn converge absolutamente para 
lxl < R concluímos que L :oan(f(x )f converge absolutamente 
para qualquer função contínua/ em Jfi:x)I < R. 
Exemplo: 
Comprovando o teorema anterior, como 1 / ( 1-x) = L :oxn con-
verge absolutamente para lxl < 1, então 1/ (1-4x2 ) = L :0(4x2r 
converge absolutamente para l4x21 < 1 ou lxl < 1/2. 
De acordo com o teorema da derivação termo a termo, se 
L e n ( X - ar tem um raio de convergência R > o' isso define 
uma função f(x )= f>n(x - ar no intervalo a - R <X< a+ R. 
na=C 
Essa função possui derivadas de todas as ordens dentro do interva-
lo, obtidas pela derivação da série original termo a termo 
f'(x) = fncn(x - ar' 
n- l 
e cada uma das séries converge em todo ponto do intervalo 
a - R <x < a +R. 
Exemplo: 
Na prática, para encontrar a sérief'(x) ef"(x) se 
f(x) = - 1-= 1 +x+x2 + x3 +x4 + .. ·+x" + ... 
1-x 
= fnn, -l < x < l 
n-0 
temos que derivar a série de potências termo a termo: 
f '( ) 1 1 2 3 ~ 4 3 11-1 X= o= + x + X + X + ... + nx + ... 
(1 - xt 
00 
= I: nx"-1, - 1 < x < 1 
n= l 
/"(x) = 
2 
3 
=2+ 6x +l2x2 + ... + n(n -l)x"-2 + ... 
(1 - x) 
(X) 
=Ln(n-l)x"-2 , -l<x< l 
Fique atento 
Em alguns casos, a derivação termo a termo pode não funcionar, por exem-
~ sen(n!x) 
pio, a série trigonométrica :Z::::--,- converge para todo x. No entanto, se 
n ~ n!cos(n!x) 
derivarmos termo a termo, chegaremos à série :Z::::-----''---'-, que diverge 
n2 
para todo x. Vale lembrar que essa não é uma série de potências, pois não é a 
soma das potências positivas inteiras de x. 
Já para entender o teorema da integração termo a termo, imagine que 
f(x) = I: e, (x-a)° converge para a - R < x <a+ R (R > O). Então, 
" 
~ (x - a),,.. 
~ e. ~----''--
n+ 1 
converge para a - R< x<a+ Re 
.f.f(x)dx f> (x- a)"' +e ...,, n+l 
para a - R < x < a+ R. 
Exemplo: 
Na prática, a série -
1
- = 1- t + t 2 - t 3 + • • • converge no m-
1 +t 
tervalo aberto - 1 < t < 1. Dessa forma, 
x 1 [ 2 [ 3 [4 lx 
ln (l+ x) = J: - dt = t--+---+· · 
o l+ t 2 3 4 
0 
x2 x3 x4 
= x- - +---+··· 
2 3 4 
Conceitos matemáticos) E 
3 ( Equações diferenciais 
ou 
1. Use o teorema de Green para ca lcu lar 
f [y'dx + 2x'dy], sendo C o triângulo de vér-
c 
t ices (O, O) (1, 2) (O, 2) no sentido anti-horário. 
2. Calcu le o fluxo exterior do campo vetorial 
F(x,y)= xi+y' j através do quadrado deli-
mitado pelas retas x =±l ey=±l. 
3. A partir do teorema de Green encontre a cir-
culação em sentido anti-horário e o fluxo ex-
terior para o campo F = (x' + 4y)i + (x + y)J. 
C: O quadrado limitado por x = O, x = 1, y = 
O,y = 1. 
4. Observe o gráfico a seguir e encontre a cir-
culação em sentido anti-horário e o fluxo 
exterior: 
F = - x- i + (tg+' y)j 
1 +'1-
y 
S. Use o teorema de Green para calcular a inte-
gral a seguir: f (y' dx + x' cly) 
e 
C: O t riângulo limitado por x = O,x + y = 1,y = o. 
6. O que o teorema de Stokes diz sobre a circu-
lação em um campo cujo rotacional é zero? 
7. Justifique: se F = xi + yj + zk, então V x F = O. 
8. Calcule a integral curvilínea a partir do teore-
ma de Green: .f (xdx + xydy), ao longo do 
e 
para lelogramo de vérit ices A(l, 1), 8(3, 2), 
C(4, 4) e 0(2, 3), no sentido anti-horário. 
9. Use a fórmula da área do teorema de Green 
(Área de R= .}__ ,i; xcly-ydx) para encontrar 
2,'fc 
as áreas das regiões delimitadas pelas curvas 
na circunferência r(t) = (a cos t)i + (a sen t)j , 
O ::S t '.S 21T. 
1 O. Seja n a normal unitária exterior da casca 
elíptica 5: 4x' + 9y + 36z' = 36, z 2: O, seja 
F = yi + x' j +(x' + y• )"'' sen e,[,ii k. Ache o 
valor de .ff V x F-nda. 
5 
Dica: uma parametrização da elipse na base da 
casca x = 3 cos t, y = 2 sen t, O ::S t ::S 21r. 
11. Nos casos a seguir, encontre o raio e 
o intervalo de convergência da série e 
aponte para quais va lores de x a série con-
verge (b) absolutamente e também em (c) 
cond icionalmente: 
n-<J 
12. Aponte para quais valores de x a série 
converge: 
1- 2(x- 3)+2(x - 3)' +··+(- 2)" (x - 3)" +·--
2 4 2 
Conceitos matemáticos)E 
Aprenda a testar uma série de potências 
Para testar uma série de potências para conver-
gência, você deverá utilizar o teste da razão ou o 
teste da raiz e encontrar o intervalo em que a série 
converge absolutamente. 
Normalmente, é um intervalo aberto lx - ai < R ou 
a-R <x<a +R. 
Se o intervalo de convergência absoluta é finito, 
o caminho indicado é testar cada extremidade 
para convergência ou divergência usando o tes-
te de comparação, o teste da integral ou da série 
alternada. 
Mas, se o intervalo de convergência absoluta é 
a - R < x < a + R, a série diverge para lx - ai < R 
porque seu enésimo termo não se aproxima de zero 
para esses valores de x. 
º
teorema de Green é um dos mais utilizados para calcu lar áreas de figuras planas, limitadas e fechadas. 
Seu princípio foi usado para formular outros teoremas importantes, como o de Gauss e o de Stokes. 
Antes de entender o teorema de Green, vale a pena rever conceitos importantes, como o campo 
vetorial e a integral de linha, já que esse teorema é utilizado para calcular a integral de uma maneira mais 
simples e rápida. O campo vetorial associa um vetor a um ponto no espaço, ou seja, indica a velocidade e a 
direção de um fluidoque se movimenta pelo espaço, ou ainda, o comprimento e a direção de uma força. 
Se Fé um campo conservativo, logo F = Wpara uma função derivável f Assim, é possível calcular a integral 
de linha de F sobre qualquer caminho C ligando o ponto A ao ponto B por J/ ·dr =f(B)-f(A). 
Para entender a divergência, imagine que F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j seja o campo de velocidade de um 
flu ido escoando no plano e que as derivadas parciais de primeira ordem de Me Nsejam contínuas em 
cada ponto de uma região R. Assim, (x, y) é um ponto em R e A é um pequeno retângulo com vértice em 
(x, y) que está contido inteiramente em R. 
Os lados do retângulo, para lelos aos eixos coordenados têm comprimentos de & e ay. Os componentes 
Me N não mudam de sinal em uma pequena região contendo o retângu loAe a taxa na qual o fluido deixa 
o retângulo através da aresta inferior é de aproximadamente F(x,y) • (-j) & = - N(x, y) &. 
É importante entender que as taxas de escoamento poderão ser negativas ou positivas e isso dependerá dos si-
nais dos componentes de F. Acompanhe, a seguir, a taxa de escoamento líquido através da fronteira retangu lar 
de A, somando as taxas de escoamento das quatro arestas,de acordo com o definido pelos produtos escalares: 
Topo: F(x,y+ õ.y)- j &= N(x,y+ õ.y) & 
Fundo: F(x,y) • (-j ) & = - N(x,y) & 
Direita: F(x + &, y) · i õ.y = M(x + &, y) õ.y 
Esquerda: F(x, y) · (-i) ay = -M(x, y) õ.y 
3 ( Equações diferenciais 
Assim, somando pares opostos, teremos: 
Topo e fundo: (N(x,y+~y) - N(x,y))~ x;:::; ( !~ ~ y )ru 
Direita e esquerda: (M(x+ru,y) - M(x,y))~ y;:::; ( ~~ & )~y 
Se somarmos as equações, teremos o efeito líquido das taxas de escoamento ou o fluxo através da fron-
teira retangular ;::::: (&M + &N)ru~y . 
8x 8y 
Mas, para calcular o fluxo tota l por unidade de área ou densidade de fluxo para o retângulo, temos que 
dividir ru:~y: 
Fluxo através ~e uma fronteira retangular ;:::; (8M + 8N) 
Area retangular 8x 8y 
Também podemos fazer ru:e ~yse aproximarem de zero para definir a densidade de fluxo de Fno ponto(x,y). 
Portanto, definimos a divergência ou densidade de fluxo de um campo vetorial F =Mi + Nj no ponto (x, y) como: 
div F= BM + BN 
a x 8 y 
Em dinâmica de fluidos, quando o campo de velocidade de um líquido em escoamento tem divergência 
igual a zero é denominado líquido incompreensível. 
Para entender a densidade de circulação de um campo vetorial F em um ponto, vamos imaginar uma roda 
de pás flutuando, com eixo perpendicular ao plano, girando em um ponto em um fluido escoando em 
uma região plana. Essa imagem nos dá uma ideia de como o fluido circu la ao redor dos eixos loca lizados 
em diferentes pontos e perpendiculares a região. 
Para encontrar a densidade da circu lação, temos que voltar ao campo de velocidade F(x, y) = M(x, y) i + 
N(x, y)j e considerar o retângulo A, representado na figura a seguir: 
(x + IH, y + .1.y) 
F , (- i) < O 
F , (- j ) < O A .1.y 
(X, y) 
Assim, consideramos os componentes de F positivos e a taxa na qual o fluido escoa ao longo da aresta inferior 
de uma região retangular na direção i é aproximadamente F(x,y) • i ili<, que é positiva para o campo vetorial F 
Já para aproximar a taxa de circulação no ponto (x, y), será preciso calcu lar as taxas de escoamento ao 
longo de cada aresta na direção das setas grossas, conforme mostra a figura. Para tanto, terá de somar as 
taxas e depois dividir o valor pela área de A Ao determinar o limite quando ill<: ---t O e ~y---t O nos dá a taxa 
Conceitos matemáticos)E 
de escoamento por unidade de área. Então, conclu ímos que a taxa de circulação de F ao redor da fronteira 
de A é a soma das taxas de escoamento ao longo dos lados na direção tangencial. 
Para a aresta inferior, a taxa de escoamento é F(x, y) • i ili<= M(x, y) ti.x. 
As taxas de escoamento podem ser posit ivas ou negativas, dependendo dos componentes de F. Acom-
panhe, a seguir, a taxa de circu lação líquida ao redor da fronteira retangu lar de A, somando as taxas de 
escoamento ao longo das quatro extremidades: 
Topo: F(x, y + ti.y) • (-i ) ili< = -M(x, y + ti.y) ti.x 
Fundo: F(x, y) • i ti.x = M(x, y) ti.x 
Direita: F(x + ili<, y) • j ti.y = N(x + ili<, y) ti.y 
Esquerda: F(x, y) · (-j ) ti.y = -N(x, y) ti.y 
Ao somar os pares opostos, teremos: 
Topo e fundo: - (M(x,y+t-y) - M(x,y))~ xc,; - ( ~~ t-y )ru 
Direita e esquerda: (N(x + t-x,y) - N(x,y ))t-y""' ( ~: ru )t-y 
Assim, para obter a circulação líquida relativa à orientação anti-horária, temos que somar as duas últ imas 
equações e dividir por &ti.y para ter uma estimativa da densidade de circu lação do retângulo: 
Circulação ao redor do retôngulo 8N 8M 
Área retangular ""' 8 x -ay 
Ao fazer que ti.x e ti.y tendam a zero, definimos a densidade de circulação de F no ponto (x, y). O teorema 
de Green pode assumir duas formas. A primeira, também conhecida como fluxo divergência ou normal, é: 
f F ·nds = f Mdy - Ndx = rr(BM + BN) dx dy 
' e ' e • i, 8x 8y 
Fluxo exterior Integral da divergência 
Note que, seja C uma curva fechada, simples e lisa delimitando uma região R no plano, e F =Mi + Nj um 
campo vetorial com Me N tendo como derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região 
aberta contendo R, o fluxo exterior de F através de C é igual à integral dupla de div F sobre a região R 
delimitada por C. 
A outra forma do teorema de Green é conhecida como circulação rotacional ou tangencial: 
f F ·Tds = f Mdx+Ndy = rr(BN - &M ) dxdy 
·e ·e · ;, 8x 8y 
Circulação em sentido anti-horário Integral do rotaciona l 
Nesse caso, seja C também uma curva fechada, simples e lisa delimitando uma região R no plano e 
F =Mi + Nj um campo vetorial com Me N tendo derivadas parciais de primeira ordem, contínuas em uma 
região aberta contendo R, a circulação em sentido anti-horário de F ao redor de C é igual à integral dupla 
de (rot F) • k sobre R. 
É importante entender que as duas formas apresentadas são equiva lentes, ou seja, ao aplicar a primeira 
equação ao campo G, = Ni - Mj, temos a segunda equação e, ao aplicar a segunda equação a G, = Ni - Mj, 
temos a primeira. 
3 ( Equações diferenciais 
Também usamos o teorema de Green para ca lcular a integral de linha. Na prática, se constru irmos uma curva 
fechada C emendando um número de curvas diferentes pelas extremidades, o cálcu lo de uma integral de 
linha sobre C poderá ser extenso, já que há muitas integrais diferentes para calcular. Porém, se C limitar uma 
região R para qual o teorema de Green se aplica, logo poderemos usar uma integral dupla sobre R. 
Para calcular a integral de linha .f xydy - y' dx, onde C é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas 
e 
retas x= 1 e y=l, usando o fluxo divergência ou normal e definindoM = xy, N = y' e C e R como fronteira do 
quadrado e seu interior, teremos: 
_f xy dy - y' dx = .f[ (y+2y) dx dy = .((3ydxdy 
C R 
'[ ]X• I 1 3 li 3 = {, 3xy dy = {, 3ydy= - y' = -
- o x-<l • O 2o2 
Já com a forma circulação rotacional ou tangencial, definindo M = -y' e N = xy temos o mesmo resultado: 
J: 1·1· 3 r-y' dx+xydy = (y - (- 2y)) dx dy = -
·c . i, 2 
O teorema de Green também pode ser aplicado em regiões com muitos furos ou buracos, desde que as 
curvas limitantes sejam lisas, simples e fechadas. Nesse caso, é preciso integrar sobre cada componente da 
fronteira na direção que mantém R à nossa esquerda. 
De acordo com Thomas, Weir e Hass (2013), o teorema Stokes generaliza o teorema de Green para três 
dimensões. A forma circu lação rotaciona l do teorema de Green relaciona a circulação em sentido anti-
-horário de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada simples C no planoxy a uma integral dupla 
sobre a região plana R delimitada por C. 
Na prática, significa que seja 5 uma superfície orientada e lisa tendo uma curva de borda lisa por partes 
e F = Mi + Nj + Pk um campo vetorial cujos componentes tenham derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas em uma região aberta contendo 5, a circulação de F aoredor de C no sentido anti-horário com 
relação ao vetor unitário da superfície n é igual à integral v' x F · n sobre 5: 
.f F-dr= .[f vxF-ndrr 
e s 
Circulação anti -horária Integral rotacional 
De acordo com a equação anterior, se duas superfícies orientadas diferentes têm a mesma borda C, as 
integrais do rotacional são iguais: 
.{[v xF-n, drr = .{[ V x F-n, drr 
~ ~ 
Já se Cfor uma curva no plano xy, orientada no sentido anti-horário, e R for a região no planoxy delimitada 
porC,conclu1mosquedrr = dxdye (Vx F)-n= (Vx F)-k = --- . , (âN âM) 
âx ây 
Assim, a equação de Stokes será: 
f F-dr= r r(âN _âM) dxdy 
·e · i, âx ây 
Conceitos matemáticos)E 
A equação está na forma circulação rotacional do teorema de Green. Ao inverter os passos, podemos 
escrever a forma circulação rotacional do teorema de Green para campos bidimensionais: 
f F·dr = .f['vx F•k dA 
C R 
Assim como o teorema de Green, o teorema de Stokes também é válido para superfícies com um ou mais 
buracos. Nesse caso, a integral de superfície sobre S do componente normal de V x F é igual à soma das 
integrais de linha do componente tangencial de F ao redor de todas as curvas da borda onde elas serão 
traçadas na direção orientada de S. Embora o teorema seja o mesmo, C é considerada como uma união 
de curvas fechadas simples. 
Bastante conhecida em Física e Matemática, a identidade rot grad f = O ou V x W = O é usada para 
qualquer função f(x, y, z) cujas derivadas de segunda ordem sejam contínuas. 
Os campos conservativos também merecem atenção especial no teorema de Stokes. Se V x F = O em 
todo ponto de uma região simplesmente conexa O no espaço, logo qualquer curva fechada e lisa por 
partes Cem O: J F·dr= O. 
e 
As séries de potências são somas que se parecem com "polinômios infinitos" e são definidas como séries 
infinitas de potências de alguma variável, por exemplo, x. Tais séries podem representar uma dada função 
e, assim como os polinômios, também podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, derivadas e integra-
das resu ltando em novas séries de potências. 
É importante saber que uma série de potência é uma série de constantes e que podemos testar sua 
convergência ou divergência. Isso significa que poderá convergir para alguns valores de x e divergir para 
outros. Dessa forma, a soma da série é sempre uma função f(x) e seu domínio é o conjunto de todos os x 
para os quais a série potencial converge. 
Ao tomar os coeficientes como 1 na equação, temos uma série de potências geométricas 
f xn = 1+ x+x' + .. +xn +". 
n--0 
Tal série com o primeiro termo 1 e a razão x converge para 1/(1 - x) para lxl < 1. 
1 2 n Podemos expressar por --= l+x+x + .. +x + .. ·, - 1< x<l. 
1- x 
Quando uma série de potências converge em mais do que um va lor, dizemos que converge sobre um 
intervalo inteiro de valores, que poderá ser fin ito ou infinito e também conter uma, ambas ou nenhuma 
extremidade. É importante que cada extremidade de um intervalo finito seja testada independentemente 
para convergência ou divergência. 
De acordo com o teorema de convergência para séries de potências, sea série f anxn = 00 + a,x + a,x' + · · · 
n-0 
converge em x= Cc;tc O, então converge absolutamente para todo xcom lxl < lcl. Se a série diverge em x= 
d, então ela diverge para todo x com lxl > ldl. 
Mas, se adotar qualquer x ta l que lxl < lcl de modo que lxl / lcl < 1, ao multiplicar os lados da equação 
anterior por lxln, teremos: 
para n> N 
3 ( Equações diferenciais 
Assim, como lx! cl < 1 a série geométrica I:::
0
1 x / e I" converge. 
Mas imagine que I:::Oanx" diverge em x = d.Se x é um número 1"1 > ldl e a série converge em x, a pri-
meira metade do teorema mostra que a série também converge em x. Dessa forma, a série diverge para 
todo x com lxl > ldl.Podemos simplificar a notação para as séries da forma L ªn (x - a)", substituímosx-a 
por x'e aplicamos os resultados à série I::an(x')". 
Uma série de potências pode se comportar das seguintes maneiras: convergir em x= a; convergir em toda 
parte; convergir em algum intervalo do raio R centrado em x = a. 
Na prática, a convergência da série I::cn(x - a)" pode ser descrita das seguintes maneiras: 1) Existe um 
número positivo R ta l que a série diverge para xcom lx-al > R, mas converge para xcom lx-al < R. A série 
pode ou não convergir em uma das extremidades x= a-R ex= a+ R; 2) A série converge absolutamente 
para todo x(R = oo); 3) A série converge em x = a e diverge em todos os outros pontos (R = (!J. 
Duas séries de potências podem ser adicionadas e subtraídas na intersecção de seus intervalos de con-
vergência e também podem ser multiplicadas da mesma forma que fazemos com polinômios. Embora 
possa ser feito termo a termo, em geral limitamos aos primeiros termos, que são os mais importantes. 
Acompanhe, a seguir, uma fórmula para os coeficientes no produto: 
Se A(x)= I:::
0
anx" eB(x)= I:::Obnx" convergem absolutamente para lxl < R e cn= a0bn+a,b,,_,+ 
n 
a,b,,_, +·· ·+a,,_,b, +anbo = 1::a,b,,_, , 
k-<J 
concluímos que I::'.: cnx" converge absolutamente para A(x)B(x)para lxl < R: 
É importante ter em mente que encontrar o coeficiente geral e" no produto de duas séries de potências 
pode ser traba lhoso e o termo volumoso. Acompanhe, a seguir, um produto no qual encontramos os pri-
meiros termos pela multiplicação dos termos da segunda série por cada termo da primeira série: 
( = ) ( = xn+' ) ( x' x
3 
) I::x" · I::(- 1)"- = (l+ x+ x'+···) x-- +- -··· 
"""" """" n+ 1 2 3 
Multiplique a segunda série: 
( 
x' x' ) ( , x' x
4 
) ( x
4 
x
5 
) = x-~+~---·+x -~+~--- -+~-~+~---·+··· -------~ ~1 ~X ~~ 
x' 5x3 x' 
= X+ - +---··· 
2 6 6 
e junte as quatro primeiras potências 
Também podemos substituir f(x) por x em uma série de potências convergente. 
Em outro caso, se I:::
0
a"x" converge absolutamente para lxl < R, concluímos que I:::Oan{f(x)f con-
verge absolutamente para qualquer função contínua f em lf(x)I < R. 
Conceitos matemáticos)E 
De acordo com o teorema da derivação termo a termo, se I::Cn(x - a)" tem um raio de convergência 
R > O, isso define uma função f(x)= I:cn(x-a)" no interva lo a - R < x <a+ R. Essa função possui 
n-0 
derivadas de todas as ordens dentro do intervalo, obtidas pela derivação da série original termo a termo 
f"(x) = fn(n- 1)-:n(x - a)n-' 
n-2 
e cada uma das séries converge em todo ponto do intervalo a - R < x <a+ R. 
Em alguns casos, a derivação termo a termo pode não funcionar, por exemplo, a série trigonométri-
= sen(nix) 
ca I:--,-· - converge para todo x. No entanto, se derivarmos termo a termo, chegaremos à série 
,...., n 
f n!cos~n!x) que d iverge para todox. Vale lembrar que essa não é uma série de potências, pois não é a 
,...., n 
soma das potências positivas inteiras de x. ~ 
Para entender o teorema da integração termo a termo, imagine que f( x) = I:cn (x - a)" converge para 
a - R < x < a + R (R > O). Então, n-0 
converge para a - R < x < a + R e 
[ f(x) dx = f e" (x - a)"'' +C 
• n-<l n+l 
para a - R < x < a+ R. 
UNIDADE 
Equações diferenciais de 
primeira ordem 
------- Objetivos de aprendizagem 
Reconhecer a forma da equação diferencial de primeira ordem. 
• Identificar equações diferenciais de primeira ordem separáveis, linea-
res e exatas. 
Apontar ou enumerar as suas aplicações em diferentes ramos da 
Ciência. 
------------------ Temas 
1 - Equações diferenciais de primeira ordem: da teoria 
à prática 
Neste tema, vamos aprender a identificar a forma das equações dife-
renciais de primeira ordem, reconhecer sua importância na criação 
de modelos matemáticos para solucionar problemas em diversas 
áreas do conhecimento e distinguir as equações diferenciais de pri-
meira ordem em separáveis, lineares e exatas. 
2 - Equações diferenciais de primeira ordem e suas aplicações 
Depois de compreender a importância das equações diferenciais de pri-
meira ordem em áreas diferentes, vamos conhecer modelos que aju-
dam a representar situações do nosso cotidianocomo o aumento da 
população ou o crescimento do Produto Interno Bruto (PIB) de um país. 
Introdução 
Você pode até não ter percebido, mas certamente já esteve frente a frente 
com soluções encontradas a partir de algum modelo de equações diferen-
ciais de primeira ordem. 
Geralmente, adotamos a equação diferencial de primeira ordem quando 
queremos descobrir a variação de uma quantidade em relação à outra, 
como os problemas de Física que buscam a variação de tempo, a tempera-
tura de algum material ou a posição de um objeto. 
3 ( Equações diferenciais 
Que tal outros exemplos ainda mais próximos do nosso dia a dia? O 
câmbio entre moedas, o crescimento populacional ou o Produto ln-
terno Bruto (PIB) de um país. Só com esses exemplos já é possível 
notar que as equações diferenciais de primeira ordem são equações 
matemáticas com aplicações em diferentes ramos da Ciência, que vão 
da Física à Biologia. 
É claro que antes de acompanharmos situações práticas e, até mes-
mo, colocarmos a mão na massa para solucionar alguns problemas, 
vamos conhecer um pouco mais dessa equação, ou seja, aprender a 
identificar a sua forma e a estudar com mais profundidade os diferen-
tes tipos (separáveis, lineares e exatas). 
Equações diferenciais de primeira 
ordem: da teoria à prática 
Depois de entender conceitos matemáticos importantes na Uni-
dade 1, como os teoremas de Green e de Stokes, e ainda conhecer 
com maior propriedade as séries de potências, vamos iniciar esta 
unidade com o estudo das equações diferenciais de primeira or-
dem, ou seja, equações matemáticas que têm aplicações em vários 
ramos da Ciência, que vão da Física à Biologia e são essenciais 
para o nosso dia a dia. 
Mas você pode se perguntar como podemos diferenciá-la de 
outro tipo de equação? Pois bem, toda equação que contém de-
rivadas de funções é uma equação diferencial. Esse modelo de 
equação é adotado quando queremos descobrir a variação de uma 
quantidade em relação à outra, isso acontece em diferentes fenô-
menos, como variações de tempo, a posição de um objeto, a tem-
peratura de determinado material, a umidade do ar, a densidade de 
massa, o câmbio entre moedas, o crescimento da população e até 
mesmo o PIB de um país. 
Uma equação diferencial de primeira ordem é descrita na forma: 
dx = f(x, y ), quando a função f(x, y) é dada e a incógnita é a 
dy 
função x(y). Já quando a função j(_x, y) não depende explicita-
mente da variável independente y , o problema pode ser escrito: 
dx = f(x) E D, que é considerado um sistema autônomo de pri-
dy 
meira ordem. 
Equações diferenciais de primeira ordem E 
É importante ter em mente que as equações diferenciais ex-
pressam matematicamente determinadas leis como a segunda lei 
de Newton, que vamos acompanhar a seguir. 
Exemplo: 
Um clássico exemplo de equação diferencial de primeira or-
dem pode ser percebido quando estudamos em Física um corpo 
em queda livre. Antes de mais nada, vamos relembrar a segunda 
lei de Newton que diz que a força é igual à massa multiplicada 
pela aceleração, expressa pela equação m dv = F, onde Fé a for-
dt 
ça total sobre o objeto, m é a massa e dv/dt é a aceleração. 
Segundo essa lei, para mudar o estado de movimento de um 
objeto, é preciso exercer uma força sobre ele e isso dependerá 
diretamente da sua massa. Já a aceleração é definida como ava-
riação da velocidade com o tempo e, nesse caso, m > O e segue o 
mesmo sentido da força aplicada. 
Na prática, vamos pensar que, perto da superfície da Terra, a 
força decorrente da gravidade é o peso dos objetos, e sempre está 
direcionada para baixo. Tal força pode ser expressa por mg, onde 
g é a aceleração em virtude da gravidade. 
É importante lembrar que nenhuma lei modela com precisão 
a resistência do ar atuando sobre o objeto, pois tal força depende 
da velocidade e da forma do objeto, da densidade do ar, entre ou-
tros fatores. Mas, em alguns casos, essa resistência do ar pode ser 
esboçada por -bv, onde b é uma constante positiva dependente da 
densidade do ar e da forma do objeto. 
Você notou que usamos o sinal negativo? A justificativa é sim-
ples: a resistência do ar é uma força que se opõe ao movimento. 
Ao aplicar a lei de Newton, obtemos a equação diferencial de 
primeira ordem: 
dv 
m- =mg - bv 
dt 
Equações diferenciais de primeira ordem 
Depois de identificar uma equação diferencial de primeira or-
dem, vamos entender o passo a passo para resolvê-la a partir de 
uma técnica chamada separação de variáveis. 
Saiba mais 
Pela segunda lei de 
Newton também 
podemos chegar ao 
peso, que é ca lculado 
pela equação P = m • g, 
sendo g a aceleração 
da gravidade. Note 
que, apesar de a 
massa de um corpo 
ser fixa, o mesmo não 
ocorre com o peso, 
que poderá variar em 
outros planetas, pois a 
gravidade dependerá da 
massa do corpo. 
3 ( Equações diferenciais 
Ao tratar dv e dt como diferenciais, reescrevemos essa equação 
dv . dv dt . .fi 
m- = mg - bv. Assim, ----= - , o que JUStl ca o nome se-
dt mg - bv m 
paração de variáveis. 
O próximo passo é integrar a equação separada: 
J 
dv J dt 
mg - bv = -;;; 
E, depois: 
Assim, concluímos que: 
lmg - bvl = e-bce-btlm 
ou 
mg - bv = Ae- btlm 
onde a nova constante A tem magnitude e- bc e o mesmo sinal (±) 
de (mg - bv). Solucionando para v, teremos: 
mg A -btlm v =---e 
b b 
E a chamamos de solução geral, na qual cada solução para a 
equação pode ser expressa dessa forma. 
Exemplo: 
Em um caso específico, receberíamos os valores de m, g e 
b para determinar a constante A na solução geral usando a ve-
locidade inicial do objeto v
0
. Assim, resolvemos o problema de 
valor inicial. 
dv 
m-= mg - bv, v(0) = v0 dt 
Ao substituir v = v
0 
e t = O na solução geral para a equação 
diferencial, podemos resolver para A. Com esse valor para A , en-
contramos a solução por: 
v = mg + [v - mg )e- b,tm 
b O b 
Equações diferenciais de primeira ordem E 
Note que a fórmula citada nos dá a velocidade do objeto caindo no 
ar como uma função do tempo, se a velocidade inicial do objeto for v
0
. 
No Gráfico 2.1 , você poderá observar o gráfico de v(t) para 
seis velocidades iniciais diferentes v
0
e (g = 9,8 m/s2 e m/b = 5 s). 
Gráfico 2. 1 Seis velocidades diferentes. 
v (m/seg) 
v0 >mg/b, 
de modo 
que o objeto 
aumenta a 
velocidade 
Fonte.·Nagle, Saff e Snider (2012, p. 28). 
Equações separáveis 
As equações separáveis que já tivemos a oportunidade de co-
nhecer pertencem à classe mais simples de equações diferenciais 
de primeira ordem, que podem ser resolv idas a partir da integra-
ção. Observe: 
: = f(x, y) 
Nesse caso, podemos reescrevê-las apenas isolando as variá-
veis x e y em lados opostos da equação: 
h(y)dy = g(x)dx 
O lado direito original.fi:x, y) deve ter uma forma fatorada: 
1 
f(x,y) = g(x)- -
h(y) 
Dizemos que a equação de primeira ordem é separável se for 
possível escrevê-la na seguinte maneira: 
dy = g(x)p(y) 
dx 
3 ( Equações diferenciais 
Exemplo: 
_ dy 2x + xy , , 
A equaçao dx = 2 e separavel. Observe a sua fatoração: y +l 
2x + xy 2+ y 
2 = x - 2-= g(x)p(y) 
y +l y +l 
Mas a equação dy = l + xy não admite fatoração do lado di-
dx 
reito. Sendo assim, não é separável. 
Exemplo: 
P 1 - - 1. dy x - 5 d ara reso ver a equaçao nao mear - = --, evemos sepa-
dx y 2 
raras variáveis e reescrevê-la da seguinte forma: 
y 2dy = (x - 5)dx 
Assim, encontramos: 
y 3 x 2 
-=--5x + C 
3 2 
Solucionando essa última equação paray, teremos: 
( 
2 )1/3 
y= 
3
; -l5x + 3C 
Nesse caso, C é uma constante de integração e pode ser qual-
quer número real e 3C também pode ser qualquer número real. 
Podemos substituir a constante 3C pela constante K: 
( 
2 )1/3 
y = 
3
; - l 5x+K 
Fique atento 
Você já percebeu que as equações separáveis são as mais fácies de solucio-
nar, mas todo cuidado é pouco, pois o procedimento exige atenção e habi-
lidade para calcular integrais. Por isso, va le a pena revisar o conteúdo sobre 
integrais para resolveros exercícios com maior segurança. 
Exemplo: 
Para resolver o problema de valor inicial 
dy 
dx 
Equações diferenciais de primeira ordem E 
y -l 
x+3 
y( -1 ) = O, devemos, em primeiro lugar, separar as variáveis: 
dy dx 
y -l x + 3 
f /~l = f x:3 
lnly - li= lnlx+~ +e 
Note que é possível tanto solucionar para y , ao reter a constante 
C, como usar a condição inicial para determinar C e depois resol-
ver paray. Então, vamos aplicar a função exponencial na equação: 
onde e,:= é. 
Dependendo dos valores de y, temos IY - 11 = ±(y -1) e de 
modo semelhante lx+ ~ = ±(x+ 3). Dessa forma, a equação pode 
ser assim escrita: 
y - l = ±C,(x+ 3) ou y = l± C
1
(x + 3) 
É importante entender que a escolha do sinal depende dos va-
lores de x e y. Notamos que C1 é uma constante positiva, isto é, 
e, = eC> O. 
Ao substituir ±C1 por K, que representa uma constante arbitrá-
ria diferente de zero, concluímos que: y = l + K(x + 3). 
Por último, determinamos K de modo que a condição do início 
y(-1) = O seja satisfeita. Ao colocar x = -l e y = O na equação 
acima, teremos: 
O= 1 + K(- 1 + 3) = 1 + 2K 
Assim, K = -1/2 e a solução para o problema de valor inicial 
se dá por: 
1 1 
y = l--(x + 3)= --(x + 1) 
2 2 
3 ( Equações diferenciais 
Exemplo: 
dy y -l 
O mesmo problema de valor inicial - = --, y(-1) = O 
dx x + 3 
poderia ser resolvido com outro método, como vamos acompa-
nhar neste exemplo. O primeiro passo é definir x = - l e y = O para 
resolver C, acompanhe: 
lnlo -11 = lnl-1 + 31 +e 
O=ln l=ln 2 + C 
Assim, C = -ln 2 e a solução y é dada por: 
ln(l -y) = ln(x + 3)-ln 2 
Substituindo [y - 11 por 1 - y e lx + 31, precisamos que x e y 
estejam próximos dos valores iniciais x = -l , y = O (neste caso, 
y- 1 < O ex+ 3 > O). 
Então, ao resolver para y , encontramos: 
(
x + 3) ln(l - y) =ln(x + 3)-ln 2 =ln -
2
-
x + 3 
l- y=--
2 
1 1 
y = l--(x + 3) = --(x +l) 
2 2 
Equações lineares 
Bastante frequentes, as equações lineares de primeira ordem 
são expressas da seguinte forma: 
onde a
1
(x), aoCx) e b(x) dependem apenas da variável independente x. 
Exemplo: 
A equação x 2sen x - ( cos x )y = (sen x) dy é linear, pois pode 
dx 
ser reescrita da forma (sen x) dy + (cos x)y = x 2sen x . 
dx 
Já a equação y dy + (sen x)y3 = ex+ l não é linear, basta obser-
dx 
var os termos y3 e y dy/dx que não permitem que ela seja reescrita. 
Equações diferenciais de primeira ordem E 
Como observamos no exemplo anterior, é possível diferenciar 
com facilidade uma equação linear de uma equação não linear. 
Mas há duas situações em que a solução de uma equação dife-
rencial linear é imediata. A primeira ocorre quando o coeficien-
te a
0
(x) é idêntico a zero e, dessa forma, a equação se reduz a 
q(x) '-OI = b(x) e equivale a y(x) = J b(x) dx + C . 
dx ai(x) 
Já a segunda situação é menos comum e ocorre se aoCx) for 
igual à derivada a
1
(x), isto é, a
0
(x) = a'
1
(x). Nesse caso, os dois 
termos no lado esquerdo da equação a
1
(x) dy + a
0
(x)y = b(x) 
dx 
compreendem a derivada do produto a1(x)y: a1(x)y'+ ao(x)y = 
d 
a1(x)y'+ a'/x)y = dx [a,(x)y]. 
Assim, se a equação se transforma em ~[a,(x)y]= b(x), a 
1 ~ ' dx so uçao e: 
y(x) = -
1-[J b(x)dx + e] 
a
1
(x) 
A forma ~[a,(x)y] = b(x) pode ser alcançada pela multipli-
cação da equ~ão original a
1
(x) dy + a/ x )y = b(x) por uma fun-
dx 
ção bem escolhida µ(x), que é chamada de fator integrante para a 
equação original. 
Para verificar como isso acontece, você deve dividir a equação 
originalpora1(x) : +P(x)y = Q(x), onde P(x) = ao(x) l a/x) 
e Q(x) = b(x) / a1(x) 
Depois, determine µ(x) de modo que o lado direito da equação 
multiplicada µ (x): + µ (x)P(x)y = µ (x)Q(x) seja apenas uma 
dy d 
derivada do produto µ(x)y: µ (x)-+µ(x)P(x)y =-[µ(x)y] = 
dx dx 
µ (x/Y +µ '(x)y 
dx 
Isso exige que µ' satisfaça a µ' = µP. Essa é uma equação dife-
renciável separável (1/µ)dµ = P(x )dx. 
J P(x)dx 
Integrando os dois lados, encontramos: µ (x) = e 
3 ( Equações diferenciais 
A partir dessa escolha para µ(x), a equação µ(x) dy + µ (x)P(x)y 
d dx 
=µ(x)Q(x) toma-se dx [µ(x)y]=µ(x)Q(x) , cuja solução é 
y(x) = -
1
-[Jµ(x)Q(x)dx + e]. 
µ (x) 
Observe que C é urna constante arbitrária e a solução 
y(x) =-
1
-[Jµ(x)Q(x)dx + c ] traz urna família de soluções de 
µ (x) 
um único parâmetro para a equação : + P(x)y = Q(x). 
Exemplo: 
Na prática, imagine que exista uma rocha com dois isótopos 
(variantes de um elemento químico específico) radioativos RA 1 e 
RA
2 
e estes pertençam à mesma série radioativa. A taxa de RA 1 que 
decai para RA2 é de 50e 
101 kg/s. Como a taxa que decai de RA2 é 
proporcional à massa y(t) de RA2 presente, a taxa de mudança em 
RA2 pode ser representada por: 
dy = taxa de criação RA 1 que taxa de 
dt decaí para RA2 decaimento 
dy = soe- 10, - ky 
dt 
onde k > O é a constante de decaimento. Se k = 2/s e inicialmente 
y(O) = 40 kg, encontre a massa y (t) de RA2 para t 2'. O 
Como a equação dy = SOe- 10' - ky é linear, escrevemos na 
dt 
forma padrão: dy +2y = 50e- 10' , y(0) =40, onde substituímos 
dt 
k = 2 e exibimos a condição inicial. 
Concluímos que P(t) = 2 de modo que J P(t)dt = J 2 dt = 2t. 
Assim, um fator integrante é µ (t) = e2'. 
Ao multiplicar a equação dy + 2y = Soe-101 por µ(t), teremos: 
dt 
e2, dy + 2e2'y = SOe- 101+21 = SOe_s, 
dt 
'---------,---- - 8 / 
~ e2'y) =50e 
dt 
Ao integrar os dois lados e resolver paray, encontramos: 
Equações diferenciais de primeira ordem E 
2, 25 - s, +e e y =--e 
4 
25 - 10, + e - 2, y =--e e 
4 
Se substituírmos t = O e y (0) = 40, concluímos que: 
25 o o 25 
40=--e + Ce =--+C 
4 4 
onde C = 40 + 25/4 = 185/4. Então, a massa y(t) de RA
2 
no instante t 
pode ser encontrada por: 
Equações exatas 
Depois de conhecer equações separáveis e lineares, vamos 
aprender mais um tipo de equação diferencial que se dá na forma 
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 e é chamada exata sempre que a ex-
pressão do lado esquerdo for uma diferencial exata. Concluímos 
então que existe uma função U(x, y), tal que a diferencial total de 
U(x, y) é M(x,y)dx + N(x,y)dy. Assim, a solução da equação é 
U(x, y) = C. 
Exemplo: 
Na prática, imagine que a função matemática F(;c, y) represen-
te uma quantidade física, como a temperatura no plano .xy. Assim, 
as curvas de nível de F, onde F(x, y ) = constante podem ser inter-
pretadas como isotérmicas, isto é, apresentam a mesma tempera-
tura, conforme ilustra a Figura 2.1. 
Figura 2.1 Mapa do tempo. Curvas de nível F(x,y). 
Fonte:Nagle, Saff e Snider (2012, p. 43). 
70° 
80° 
90° 
3 ( Equações diferenciais 
Para calcular a inclinação da tangente para uma curva de ní-
vel, vamos usar a derivada com relação a x dos lados da equação 
F(x, y) = C, levando em consideração que y depende de x ao longo 
da curva: 
ou 
d d 
- F(x, y) = - (C) 
dx dx 
E, assim, resolvemos para a inclinação: 
dy 
dx = f(x,y) = 
âF ! âx 
âF ! ây 
1 . 1. d _ âF âF dy dx h Mu tlp 1can o a equaçao - + --- = O por , c egamos 
âx âydx 
à expressão diferencial total de F , que é descrita como: 
A forma diferencia!M(x,y)dx + N(x, y) é considerada exata em 
um retângulo R , se existir uma função F(x, y) tal que â F (x, y) = 
âx 
M(x, y) e :: (x, y) = N(x, y) para todo (x,y) emR, isto é, o dife-
rencial total de.fCx,y) satisfaz dF(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy. 
Se M(x,y)dx + N(x,y)dy for uma diferencial exata, então 
M(x, y)dx + N(x, y)dy = O é chamada de equação exata. 
O nosso caminho para alcançar a equação para a inclinação 
F(x, y) da curva de nível F(x, y) = C é expressa como o diferencial 
total dF = O. 
Se o lado esquerdo da equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = O for 
identificado como um diferencial total M(x, y)dx + N(x, y)dy = 
âF âF 1 ~ ~ d d d . - dx+-dy = dF(x, y) ,suassouçoesserao a as emane1-
âx ây 
ra implícita pelas curvas de nível F(x, y) = C para uma constante 
arbitrária C. 
Equações diferenciais de primeira ordem E 
Exemplo: 
Para resolver a equação diferencial : = 
2.ry2 + 1 
--2- , podemos 2x y