Teoria dos Conjuntos - Equivalência lógica (5)

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Dizemos que duas proposições “p” e “q” são equivalentes se os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos (ou seja, as colunas com os valores de p e q são iguais). Para dizer que “p” e “q” são equivalentes, escrevemos “p = q”. Um exemplo simples está na dupla negação, ~(~p), equivalente a p. Observe a tabela seguinte:
Equivalência lógica
Enfim, proposições equivalentes é sinônimo de mesma sequência de valores na devida coluna da tabela verdade. 
Equivalências lógicas básicas
O início da lista contém equivalências diretas e intuitivas quando associadas a propriedades e equivalências usadas na própria álgebra. As duas primeiras, de certa forma, tratam de “redundâncias” no emprego de construções lógicas:
 
 1 - P∧P = P: Suponha que P seja a proposição “Ana é ótima aluna”. Assim, a proposição composta “Ana é ótima aluna e Ana é ótima aluna” pode ser resumida em “P: Ana é ótima aluna”.
2–PVP = P: A ideia é a mesma que fora apresentada acima e agora a redundância está no uso do conectivo “ou” para duas proposições equivalentes. Assim, a proposição “Estudar Teoria dos Conjuntos é desafiador ou Estudar Teoria dos Conjuntos é desafiador” é equivalente a “Estudar Teoria dos Conjuntos é desafiador”
Equivalências lógicas básicas
3 - P∧Q = Q∧P: Aqui podemos traçar um paralelo entre a conjunção e a multiplicação de números reais. Assim como a ordem dos fatores não altera o produto (resultado da multiplicação), a ordem das proposições P e Q não altera a tabela-verdade da proposição P e Q.
Vejam:
Equivalências lógicas básicas
4 –PVQ = QVP: Para a disjunção, o paralelo está relacionado à adição de números naturais. Da mesma forma que a ordem dos fatores não altera a adição (resultado da soma), a ordem das proposições P e Q não altera a tabela-verdade da proposição P ou Q. 
Equivalências lógicas De Morgan
As relações de De Morgan tratam, em última análise, da negação de proposições lógicas compostas, mais especificamente, da equivalência para a negação da conjunção e da equivalência para a disjunção de proposições simples:
“A negação da conjunção ~(P e Q) é equivalente à disjunção das negações (~P) ou (~Q)”. 
Exemplo 01. (FCC – 2017 – TCE-SP) Uma afirmação que corresponda à negação lógica da afirmação “Pedro distribuiu amor e Pedro colheu felicidade” é:
(A) Pedro não distribuiu amor ou Pedro não colheu felicidade.
(B) Pedro distribuiu ódio e Pedro colheu infelicidade.
(C) Pedro não distribuiu amor e Pedro não colheu felicidade.
(D) Se Pedro colheu felicidade, então Pedro distribuiu amor.
(E) Pedro não distribuiu ódio e Pedro não colheu infelicidade.
Equivalências lógicas De Morgan
Gabarito: Alternativa A.
Solução: Buscamos proposição equivalente para a negação para “Pedro distribuiu amor e Pedro colheu felicidade”. Para negá-la, trocamos o conectivo por “ou” e negamos as proposições “Pedro distribuiu amor” e “Pedro colheu felicidade”. Vejam como fica:
 
Equivalências lógicas De Morgan
A negação da disjunção ~(P Ú Q) é equivalente à disjunção das negações (~Q) Ù (~Q)”. 
Exemplo 02.
(VUNESP – 2017 – TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre
Equivalências lógicas De Morgan
Gabarito: Alternativa B
Solução: Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para tal, trocamos o conectivo por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
 
Equivalências da condicional
A maior parte das equivalências envolvem a proposição P  Q, chamada de condicional na qual P e Q são, respectivamente, o antecedente e o consequente. 
Para confirmar, basta lembrar da tabela-verdade de P  Q e construir a de ~P ou Q. Para a primeira, lembra que é falsa em apenas uma ocasião (P é verdadeira e Q falsa):
Ou seja, a equivalência é obtida a partir da disjunção entre a negação do antecedente (~P) e o consequente (Q)
Equivalências da condicional
Exemplo 03. (IBFC – 2016 – EBSERH) De acordo com a lógica proposicional, a frase que é equivalente a: “Se Marcos estudou, então foi aprovado” é:
Marcos não estudou e foi aprovado.
Marcos não estudou e não foi aprovado.
Marcos estudou ou não foi aprovado.
Marcos estudou se, e somente se, foi aprovado.
Marcos não estudou ou foi aprovado.
Solução: Em “Se Marcos estudou, então foi aprovado”, antecedente e consequente são, respectivamente, dados dos “Marcos estudou” e “foi aprovado”. Para identificar a proposição equivalente, desconsideramos o “se”, negamos o antecedente, trocamos o “então” pelo “ou” e, por fim, mantemos o consequente:
 
.
Gabarito: Alternativa E
Equivalências da condicional
Da equivalência apresentada em (7) podemos deduzir outra propriedade. Para tal, basta trocar, em P  Q = ~P ou Q, a proposição P pela sua negação. Veja:
O uso é muito parecido com a propriedade (7): a disjunção pode se transformada em proposição condicional negando-se a primeira proposição, trocando o “ou” pelo “então”, mantendo a segunda proposição para, a seguir, fazer devidos ajustes. Vejam o exemplo adiante:
Equivalências da condicional
Exemplo 04. (Quadrix – 2017 – CRF MT) A afirmação “Maria é médica ou João é professor” tem como sentença logicamente equivalente:
Se João é professor, então Maria é médica.
Se Maria é médica, então João é professor.
Se Maria não é médica, então João é professor.
Não é verdade que Maria é médica, então João é professor.
Não é verdade que João é professor, então Maria é médica
Solução: Em “Se Marcos estudou, então foi aprovado”, antecedente e consequente são, respectivamente, dados dos “Marcos estudou” e “foi aprovado”. Para identificar a proposição equivalente, desconsideramos o “se”, negamos o antecedente, trocamos o “então” pelo “ou” e, por fim, mantemos o consequente:
Gabarito: Alternativa C
Equivalências da condicional
Esta equivalência, é muito importante na matemática para propor demonstrações mais simples em certas situações. 
A ideia é partir da negação do consequente para desenvolver linha de raciocínio para chegar à negação do antecedente.
Exemplo 05. (FCC – 2016 – TRT 20ª Região) Do ponto de vista da lógica, a proposição “se tem OAB, então é advogado” é equivalente à
(A) tem OAB ou é advogado.
(B) se não tem OAB, então não é advogado.
(C) se não é advogado, então não tem OAB.
(D) é advogado e não tem OAB.
(E) se é advogado, então tem OAB.
Equivalências da condicional
Exemplo 05. Solução: Resolver esta questão consiste em aplicar a contra-positiva para determinar proposição equivalente para “se tem OAB, então é advogado”. Para tal, partimos da negação de “é advogado” para obter a negação de “tem OAB”. Ou seja:
Gabarito: Alternativa C
Equivalências da condicional
Para encerrar nossa sequência de propriedades e equivalências, vamos deduzir a negação da proposição condicional usando mecanismo mais “algébrico”. Para tal, substituímos P  Q = ~P ou Q para, a seguir, usar a relação de De Morgan:
Resumido: para negar P  Q, partimos do mesmo ponto (P) e chegamos a resultado diferente (~Q). Ou seja, repetimos os mesmos passos, mas chegamos a lugar diferente do anterior.
Equivalências da condicional
Exemplo 06. (FUNCAB – 2016 – ANS) A negação de afirmação condicional “Se o beneficiário estiver acima do peso, ele é sedentário” é:
(A) o beneficiário não está acima do peso e ele é sedentário.
(B) se o beneficiário não estiver acima do peso, ele é sedentário.
(C) o beneficiário não está acima do peso e ele não é sedentário.
(D) o beneficiário está acima do peso e ele não é sedentário.
(E) se o beneficiário estiver acima do peso, ele não é sedentário.
Solução: A negação da proposição procurada envolve em partir do mesmo ponto (o beneficiário estiver acima do peso) e chegar a resultado diverso do inicialmenteconsiderado (ele não é sedentário).
Perceba que a negação da proposição condicional é obtida após seguir alguns passos: desconsiderar o “se”, manter antecedente, trocar “então” pelo conectivo “e” e, por fim, negar consequente.
Gabarito: Alternativa D
Equivalências da condicional
Exemplo 07. (CESPE – 2016 – Polícia Científica PE) Considere as seguintes proposições para responder a questão.
P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos.
Assinale a opção que apresenta uma negação correta da proposição P1.
(A) Se não há punição de criminosos, então não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito.
(B) Há punição de criminosos, mas não há investigação nem o suspeito é flagrado cometendo delito.
(C) Há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, mas não há punição de criminosos.
(D) Se não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito, então não há punição de criminosos.
(E) Se não há investigação e o suspeito não é flagrado cometendo delito, então não há punição de criminosos.
Exemplo 07 . Solução: P1 é uma proposição condicional na qual o antecedente é “há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito” e o consequente é “há punição de criminosos”. Para negá-la, vamos transformá-la em conjunção (com o uso do conectivo “e” no lugar do “então”), repetindo o antecedente e negando o consequente. Obtemos:
~P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito
e não há punição de criminosos.
 Um pequeno ajuste foi feito, sem prejuízo para o significado de ~P1: “e não há” e “mas não há” são sinônimos.
Gabarito: Alternativa C
Equivalências da condicional
Equivalências Lógicas
Resumo
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