Resumo de Concreto Armado

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Concreto Armado
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Generalidades
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1.1) Concreto Simples - Definição
O concreto é definido como um material de construção proveniente da combinação de um aglomerante (cimento), 
com agregado miúdo (areia), agregado graúdo (brita) e água em volumes exatos e bem definidas.
Hoje em dia, é normal o uso de um novo componente – os aditivos, designados a aperfeiçoar ou conferir 
propriedades especiais ao concreto.
A pasta que é formada pela água e cimento age abrangendo os grãos dos agregados, preenchendo os vazios entre 
eles e juntando esses grãos, criando uma massa trabalhável e compacta.
Agregados – sua função é dar ao conjunto condições de resistência aos esforços e ao desgaste, além de redução no 
custo e redução na contração. 
Depois de concluída a mistura, obtém-se o concreto fresco, material este de consistência aproximadamente 
plástica que admite a sua moldagem em fôrmas. Em virtudes de reações químicas entre a água e o cimento, o 
concreto endurece com o tempo.
A resistência do concreto acresce com o tempo, característica esta que o diferencia dos demais materiais de 
construção. Uma das principais características do concreto é a elevada resistência aos esforços de compressão 
junto a uma baixa resistência à tração.
Resistência à Tração – ordem de 1/10 da resistência à compressão.
GENERALIDADES
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1.2) A Viabilidade do Concreto Armado
Por causa da baixa resistência à tração, procurou-se acrescentar ao concreto outros materiais mais resistentes à 
tração, aperfeiçoando suas características de resistência. O uso de barras de aço junto com o concreto, somente é 
possível de acordo com às seguintes razões:
1ª Trabalho conjunto do concreto e do aço, assegurado pela aderência entre os dois materiais:
• Na região tracionada - lugar onde o concreto tem resistência quase nula, ele sofre fissuração, tendendo a 
se deformar, entretanto graças à aderência, carrega consigo as barras de aço forçando-as a trabalhar e 
consequentemente, a absorver os esforços de tração.
• Nas regiões comprimidas - uma parte de compressão poderá ser absorvida pela armadura, no caso do 
concreto, isoladamente, não ser capaz de absorver a totalidade dos esforços de compressão.
2ª Os coeficientes de dilatação térmica do aço e do concreto são praticamente iguais:
• Concreto – (0,9 a 1,4)x10-5/°C (mais comum 1,0x10-5/°C)
• Aço – 1,2x10-5/°C
• Concreto armado – 1,0x10-5/°C
3ª O concreto protege de oxidação o aço da armadura garantindo a durabilidade da estrutura. O concreto 
desempenha o papel de dupla proteção ao aço, que são:
• Proteção química – em ambiente alcalino que se cria durante a pega do concreto, aparece uma 
camadaquimicamente inibidora em volta da armadura.
• Proteção física – por meio do cobrimento das barras protegendo-as do meio exterior.
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1.3) Concreto Armado – Definição
A definição de concreto armado é que ele é resultante da junção do concreto simples e de barras de aço, envoltas 
pelo concreto, com uma perfeita adesão entre os dois materiais, de tal forma que resistam os dois solidariamente 
aos esforços a que ficarem submetidos.
As estruturas mais importantes do concreto armado são: as vigas, os pilares e as lajes. Vale ressaltar que as lajes e 
as vigas são submetidas à flexão composta.
Concreto Armado – Composição
• Cimento + água = pasta;
• Pasta + agregado miúdo = argamassa;
• Argamassa + agregado graúdo = concreto;
• Concreto + armadura de aço = concreto armado;
■ Concreto + armadura passiva = concreto armado;
■ Concreto + armadura ativa = concreto protendido.
Concreto de Alto Desempenho (CAD) – concreto adquirido com um aditivo superfluidificante e com o acréscimo de 
sílica ativa, ele possui características superiores às do concreto tradicional, principalmente em relação à resistência 
e à durabilidade.
GENERALIDADES
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1.4) Vantagens e Desvantagens do Concreto Armado
▶ Vantagens do Concreto Armado
• O concreto armado tem uma alta resistência à compressão em comparação aos outros materiais de construção;
• O custo para manutenção é barato;
• Impermeabilidade;
• Resistência ao fogo;
• Possui uma boa resistência ao desgaste mecânico (ex.: vibrações e choques); e etc.
▶ Desvantagens do Concreto Armado
• O peso próprio do concreto armado é aproximadamente 2.500 kg/m3;
• Geração de muitos resíduos e lixos de construção;
• O tempo de cura é maior que de outros sistemas de construção;
• Grau de proteção térmica baixo; e etc.
GENERALIDADES
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1.5) Normas Técnicas
As principais normas relacionadas com estruturas de concreto armado são:
NB 1 NBR 6118 Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado
NB 2 NBR 7187 Cálculo e Execução de Pontes de Concreto Armado
NB 4 NBR 6119 Cálculo e Execução de Lajes Mistas
NB 5 NBR 6120 Cargas Para o Cálculo de Estruturas de Edificações
NB 6 NBR 7188 Cargas Móveis em Pontes Rodoviárias
NB 7 NBR 7189 Cargas Móveis em Pontes Ferroviárias
NB 8 NBR 5984 Norma Geral do Desenho Técnico
NB 16 NBR 7191 Execução de Desenhos para Obras de Concreto Simples ou Armado
NB 49 Projeto e Execução de Obras de Concreto Simples
NB 51 Projeto e Execução de Fundações
NB 116 NBR 7197 Cálculo e Execução de Obras de Concreto Protendido
NB 599 NBR 6123 Forças Devidas ao Vento em Edificações
EB 1 NBR 5732 Cimento Portland Comum
EB 3 NBR 7480 Barras e Fios de Aço Destinados a Armaduras para Concreto Armado
EB 4 NBR 7211 Agregados para Concreto
NBR 722 Execução de Concreto Dosado em Central
EB 565 NBR 7211 Telas de Aço Soldadas para Armaduras de Concreto
GENERALIDADES
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EB 780 Fios de Aço para Concreto Protendido
EB 781 Cordoalhas de Aço para Concreto Protendido
MB 1 NBR 7215 Ensaio de Cimento Portland
MB 2 NBR 5738 Confecção e Cura de Corpos de Prova de Concreto Cilíndricos ou Prismáticos
MB 3 NBR 5739 Ensaio de Compressão de Corpos de Prova Cilíndricos de Concreto
MB 4 NBR 6152 Determinação das Propriedades Mecânicas à Tração de Materiais Metálicos
MB 215 Determinação do Inchamento de Agregados Miúdos para Concreto
MB 256 Consistência do Concreto pelo Abatimento do Tronco de Cone
NBR 7187 Cálculo e Execução de Ponte em Concreto Armado
NBR 7212 Execução de Concreto Dosado em Central
NBR 7807 Símbolo Gráfico para Projeto de Estruturas – Simbologia
NBR 8681 Ações e Segurança nas Estruturas
NBR 8953 Concreto para Fins Estruturais – Classificação por Grupos de Resistência
NBR 9062 Projeto e Execução de Estruturas de Concreto Pré-Moldado
NBR 11173 Projeto e execução de Argamassas Armadas
NBR 12317 Controle Tecnológico de Materiais Componentes do Concreto
NBR 12654 Controle Tecnológico dos Materiais Componentes do Concreto
NBR 12655 Concreto – Preparo, Controle e Recebimento do Concreto
■ NB - Procedimento ■ EB - Especificação ■ MB - Método de Ensaio ■ PB - Padronização
■ TB - Terminologia ■ SB - Simobologia ■ CB - Classificação
GENERALIDADES
O Concreto
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2.1) Materiais Componentes
▶ Cimento
O cimento Portland é um cimento hidráulico fruto da pulverização do clínquer* desenvolvido essencialmente por 
silicatos de cálcio hidratados, com acréscimo de sulfatos de cálcio (gesso), entre outros compostos.
* Clínquer: De acordo com a ABCP (2002:6) “o clínquer tem como matérias-primas o calcário e a argila, sendo a 
produção do clínquer a etapa mais complexa, e de custo elevado no processo de fabricação do cimento Portland. 
O clínquer é fonte de Silicato Tricálcico (CaO)3SiO2 e Silicato Dicálcico (CaO)2SiO2, sendo estes compostos 
responsáveis pelas características de ligante hidráulico e resistência do material após a hidratação do Cimento 
Portland”.
O cimento Portland é fabricado da seguinte maneira:
1. Moagem e mistura de materiais argilosos e calcários, nas proporções adequadas (podendo a mistura ser com 
água ou seca);
2. Tratamentotérmico da mistura, em fornos rotativos, até a formação do clínquer (1400°C a 1550°C);
3. Moagem do clínquer com 4% a 6% de gesso.
Segundo a norma brasileira, existem nove tipos diferentes de cimento, através de seis normas:
I. Cimento Portland Comum (EB1/NBR 5732)
Sigla Designação Classe*
CP I Cimento Portland Comum 25, 32, 40
CP I – S Cimento Portland Comum c/ Adição 25, 32, 40
O CONCRETO
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II. Cimento Portland Composto (EB 2138/NBR 11578)
Sigla Designação Classe*
CP II - E Cimento Portland com Escória 25, 32, 40
CP II – Z Cimento Portland Comum com Pozolana 25, 32, 40
CP II – F Cimento Portland com Filer 25, 32, 40
III. Cimento Portland de Alto-Forno (EB 208/NBR 5735)
Sigla Designação Classe*
CP III Cimento Portland de Alto-Forno 25, 32, 40
IV. Cimento Portland Pozolânico (EB 208/NRB 5735)
Sigla Designação Classe*
CP IV Cimento Portland Pozolânico 23, 32
V. Cimento Portland de Alta Resistência Inicial (EB 2/NBR 5733)
CP V – ARI – Deve exibir o mínimo de resistência à compressão aos 7 dias de idade de 34 MPa
VI. Cimento Portland Resistente a Sulfatos (EB 903/NBR 5737)
Representados pela sigla original + RS
Exemplo: CP III 32 RS, CP V-ARI-RS
O CONCRETO
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VII. Cimento Portland de Baixo Calor de Hidratação (NBR 13116)
Representados pela sigla original + BC
Exemplo: CP IV-32 BC
VIII. Cimento Portland Branco (NBR 12989)
Não estrutural: CPB
Estrutural: CPB – 32
*Observação: As classes 25, 32, e 40 equivalem aos mínimos de resistência a compressão aos 28 dias de idade, em 
MPa
▶ Agregados
São materiais que fazem parte da composição do concreto e buscam aumentar a resistência, reduzir custos e 
reduzir a retração. De acordo com Bauer (2000), “os agregados constituem um componente importante no concreto, 
contribuindo com cerca de 80% do peso e 20% do custo de concreto estrutural sem aditivos”.
Os agregados são categorizados como miúdos e graúdos:
• Agregado miúdo - partículas menores do que 4,8 mm;
• Agregado graúdo - partículas maiores que 4,8 mm.
Os agregados podem ser categorizados de acordo com a sua procedência:
• Agregados naturais - decorre da degradação de rochas em resultado da ação de agentes atmosféricos, e é 
removida de depósitos naturais, como minas, ou das margens ou fundos de rios; 
• Agregados artificiais - adquirido pela trituração mecânica das rochas chamada britagem.
O CONCRETO
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A NB 1 / NBR 6118 nos itens 6.3.2.2. e 8.1.2.3 sugere que o diâmetro máximo do agregado precisa ser menor que 1/4 
da menor distância entre as faces das formas e menor que 1/3 da espessura das lajes. A distância entre armaduras 
não pode ser menor que 1,2 vezes a dimensão máxima do agregado.
Classificação de acordo com suas dimensões nominais:
• brita 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4,8 - 9,5 mm
• brita 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9,5 - 19 mm
• brita 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 - 25 mm
• brita 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 - 50 mm
• brita 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 - 76 mm
• brita 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 - 100 mm
A aplicação principal dos agregados é na produção de argamassas e concretos.
▶ Água
A água que será utilizada no amassamento do concreto, deverá ser isenta de impurezas que possam prejudicar as 
reações entre o cimento e ela.
Praticamente, todas as águas naturais são utilizáveis, na prática. Os maiores defeitos originados da água possuem 
uma relação maior com o excesso de água usada do que propriamente com os elementos que ela possa possuir.
A reação química da água com o cimento é essencial para a resistência, durabilidade, impermeabilidade, etc. do 
concreto.
O CONCRETO
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▶ Aditivos
Substâncias somadas propositalmente ao concreto, com o objetivo de melhoras ou reforçar algumas características, 
até mesmo sua utilização e preparo.
Exemplos do emprego de aditivos:
• Aumento da durabilidade;
• Diminuição da retração;
• Acréscimo de resistência;
• Melhora na impermeabilidade.
O CONCRETO
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2.2) Propriedades Mecânicas do Concreto
▶ Resistência do Concreto à Compressão
Normalmente a resistência é considerada a característica essencial do concreto porque ela oferece uma sugestão 
geral da qualidade do mesmo. A resistência mecânica do concreto mostra uma variação muito grande, devido os 
fatores de preparação, transporte, lançamento e cura.
Para estimar a compressão simples são preparados e moldados corpos-de-prova. Corpo-de-prova brasileiro – 
cilindro, com 15cm de diâmetro e 30cm de altura, e a idade de referência para o ensaio é 28 dias.
É possível fazer um gráfico dos valores adquiridos da resistência à compressão simples (fc) vs. a quantidade de 
corpos-de-prova relativos a determinado valor de fc (densidade de frequência). A curva encontrada no gráfico é 
conhecida como Curva Estatística de Gauss ou Curva de Distribuição Normal.
O CONCRETO
s
fck fcm fc
Densidade de
frequência
Curva de Gauss para a resistência do concreto à compressão
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Pode ser encontrado dois valores de essencial importância na curva de Gauss: resistência média do concreto à 
compressão, fcm, e resistência característica do concreto à compressão, fck.
O valor fcm é a média aritmética dos valores de fc para o grupo de corpos-de-prova ensaiados, e é usado na 
determinação da resistência característica, fck, através da fórmula: fck = fcm −1,65s.
O desvio-padrão s condiz com à distância entre a abscissa de fcm e a do ponto de inflexão da curva (ponto em que 
ela troca de concavidade). Em contexto mundial, somente 5% dos corpos-de-prova têm fc < fck, ou, ainda, 95% dos 
corpos-de-prova têm fc ≥ fck.
O CONCRETO
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O CONCRETO
▶ Resistência à Tração
Ela é estudada através da ruptura de corpos de prova cilíndricos de acordo com o método MB 212, por meio de 
ensaio de fendilhamento.
Existem três tipos normalizados de ensaio no estudo da tração:
a) Ensaio de Tração Direta
Este tipo de ensaio é considerado o de referência, a resistência à tração direta (fct), é verificada aplicando-se tração 
axial, até a ruptura, em corpos-de-prova de concreto simples como na figura abaixo. A seção central é retangular, 
medindo 9cm por 15cm, e as extremidades são quadradas, com 15cm de lado.
15 cm
30 cm
60 cm
9 cm
Ft Ft
Ensaio de Tração de Direta
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b) Ensaio de Tração na Compressão Diametral (spliting test)
Para a realização desse ensaio, um corpo-de-prova cilíndrico de 15cm por 30 cm é posto com o eixo horizontal 
em meio aos pratos da prensa (figura a seguir), sendo aplicada uma força até a sua ruptura por tração indireta 
(ruptura por fendilhamento). O ensaio de compressão diametral é simples de ser executado e provê resultados 
mais uniformes do que os da tração direta.
O CONCRETO
Ensaio de Tração por Compressão Diametral
h
d
Fc
Fc
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O CONCRETO
c) Ensaio de Tração na Flexão
Também conhecido como “carregamento nos terços”, é realizado quando um corpo-de-prova de seção prismática 
é sujeito à flexão, com carregamentos em duas seções simétricas, até à ruptura (Figura 1). Avaliando os diagramas 
de esforços solicitantes (Figura 2) percebe-se que na região de momento máximo a cortante é nula, ou seja, nesse 
pedaço é onde ocorre flexão pura.
d
b
l/3 l/3 l/3
F F
Figura 1
F F
V
M
Figura 2
FLEXÃO PURA
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O CONCRETO
▶ Módulo de Elasticidade
A relação entre as tensões e as deformações é um dos principais aspectos no projeto de estruturas de concreto. 
Esta relação é considerada linear (Lei de Hooke) em alguns intervalos, onde, σ = Eε.
• σ = tensão
• ε = deformação específica
• E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Deformação Longitudinal
σ
ε
E
Módulo de Elasticidade ou de Deformação Longitudinal
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O CONCRETO
A expressão do módulode elasticidade é empregue apenas à parte retilínea da curva tensão-deformação ou, se 
não existir um trecho retilíneo, a expressão é empregue à tangente da curva na origem. Por isso, tem-se o Módulo 
de Deformação Tangente Inicial (Eci).
Este módulo é adquirido de acordo com o ensaio apresentado na NBR 8522 – Concreto – determinação do módulo 
de deformação estática e diagrama tensão-deformação.
ε
Módulo de Deformação Tangente Inicial (Eci)
Eci
fc
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▶ Coeficiente de Poisson
Se uma força uniaxial é empregada em uma peça de concreto, ela resulta em uma deformação longitudinal na 
direção da carga e, ao mesmo tempo, uma deformação transversal com sinal contrário.
Coeficiente de Poisson ou relação entre a deformação transversal e a longitudinal é denominada pela letra v.
O CONCRETO
F
Deformações longitudinais e transverssais
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2.3) Estrutura Interna do Concreto
A estrutura interna do concreto é bastante heterogênea, ela obtém formato de retículos espaciais de gel endurecido, 
de grãos de agregados miúdo e graúdo de diversas dimensões e formatos, enrolados por uma grande quantidade 
de capilares e poros, mensageiros de água que não fizeram parte da reação química e, ainda, vapor d’água e ar.
O concreto apresenta um material capilar não muito poroso, fisicamente, sem sequência da massa, onde se 
encontram presentes os três estados da agregação– líquido, sólido e gasoso.
2.4) Deformações
As deformações são ligadas diretamente a estrutura interna do concreto.
▶ Retração
Redução de volume que acontece no concreto, mesmo na falta de variações de temperatura e de tensões mecânicas.
Existem 3 causas de retração:
• Retração Capilar – acontece por meio da perda da água absorvida e da evaporação parcial da água capilar; 
• Retração Química – retraimento da água não evaporável, enquanto acontece o endurecimento do concreto;
• Retração por Carbonatação – Ca(OH)2 + CO2 → CaCO3 + H2O (acontece com a diminuição de volume).
▶ Expansão
Acréscimo de volume do concreto, que acontece em peças submersas. No início, essas peças sofrem retração 
química, entretanto, o fluxo de água é de fora para dentro. As consecutivas tensões capilares cancelam a retração 
química e, em seguida, geram a ampliação da peça.
O CONCRETO
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▶ Deformação Imediata
Ela é observada por meio da ocasião do carregamento. Obedece ao desempenho do concreto como sólido 
verdadeiro, e é determinada por uma acomodação dos cristais que formam o material.
▶ Fluência
A fluência é uma deformação diferida por uma força empregue, ela obedece a um aumento de deformação com o 
tempo, se a carga continuar.
Quando uma força é empregue no concreto, acontece uma deformação imediata, com uma arrumação dos cristais. 
Essa arrumação subtrai o diâmetro dos capilares e acrescenta a pressão na água capilar, beneficiando o fluxo em 
direção à superfície.
Tanto a subtração do diâmetro dos capilares quanto a ampliação do fluxo, aumentam a tensão superficial nos 
capilares, acarretando a fluência.
▶ Deformação Térmica
É definido como coeficiente de variação térmica σte a deformação equivalente a uma alteração de temperatura de 
1°C. Permite-se adotar σte = 10–⁵/°C para variações normais de temperatura do concreto armado.
O CONCRETO
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2.5) Fatores que Influem
As propriedades principais que influenciam no concreto são: 
• Forma e dimensões dos corpos-de-prova;
• Tipo e duração do carregamento;
• Presença de aditivos e adições;
• Tipo e quantidade de cimento;
• Tipos de agregados, granulometria e relação agregado-cimento;
• Idade do concreto, umidade e temperatura etc.
O CONCRETO
Vigas
3
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VIGAS
3.1) Definição
Vigas podem ser definidas como “elementos lineares que a flexão é preponderante” (NBR 6118/14¹, item 14.4.1.1). 
Elementos lineares são aqueles onde o comprimento longitudinal é superior em no mínimo três vezes a maior 
dimensão da seção transversal, sendo nomeada como barras.
3.2) Comparação dos Domínios 2, 3 e 4
A NBR 6118 (item 17.2.2) define que as deformações nos materiais componentes das vigas de concreto armado 
sujeitas à flexão simples estão nos domínios de deformação 2, 3 e 4.
▶ Domínio 2
A deformação de alongamento (εsd) na armadura tracionada (As) é presa e idêntica a 10%, e a deformação de 
encurtamento (εcd) na fibra mais comprimida de concreto varia entre zero e εcu, considerando que, para os concretos 
do grupo I de resistência (fck ≤ 50 MPa), εcu, adquire o valor de 3,5%. Perante a deformação de 10% a tensão na 
armadura equivale à máxima aceita no aço (fyd), como pode-se observar no diagrama σ x ε do aço apresentado na 
figura 3. Assim, no domínio 2, a armadura tracionada é econômica, ou seja, a tensão máxima admissível no aço 
pode ser executada nessa armadura. 
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VIGAS
No episódio de acontecer a ruptura na questão relativa à segurança, ou seja, o colapso da viga, será com “aviso 
prévio”, pois como a armadura permanecerá escorrendo além dos 10%, a fissuração na viga ocorrerá intensa e 
irá acontecer antes de uma provável ruptura por esmagamento do concreto na região comprimida. A intensa 
fissuração ficará visível e irá funcionar como um lembrete de que a viga exibe um problema grave, avisando-os, de 
maneira que sejam adotadas ações tendo em vista a evacuação do local, antes que a ruptura ocorra.
A
B
0
0
As
εcu (3,5%o)
εyd10%o
zona útil seção
superarmada
2
3
4
Figura 3
σs
εs
fyd
seções
superarmadas
zona útil
εyd 10%o
Figura 4
Diagrama de deformações dos domínios 2, 3 e 4 para
concretos do Grupo I de resistência (fck ≤ 50 MPa),
onde εcu = 3,5%o 
Zonas de dimensionamente em função da deformação no aço
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VIGAS
▶ Domínio 3
A deformação de encurtamento na fibra mais comprimida obedece ao valor último (εcu), de 3,5% para os concretos 
do Grupo I de resistência (fck ≤ 50 MPa). A deformação de alongamento na armadura tracionada muda entre εyd 
(deformação de início de escoamento do aço) e 10%, o que constitui que a armadura escorre um determinado 
valor. Observa-se na Figura 4 que a tensão na armadura é a máxima admitida, igual à fyd, porque independente de 
qual seja a deformação entre εyd e 10% (zona útil), a tensão será igual ao fyd. Desta forma, a armadura é econômica 
no domínio 3, como no 2. 
No domínio 3, tanto o concreto comprimido quanto o aço tracionado são utilizados ao máximo, diferente do 
domínio 2, onde o concreto possui deformações de encurtamento menores que a máxima (εcu). 
A ruptura no domínio 3 é conhecida como “aviso prévio”, porque a armadura, ao escorrer, ocasionará em fissuras 
visíveis na viga, antes que o concreto alcance a ruptura por esmagamento. 
Sempre que a viga tem as deformações últimas, de εcu no concreto e 10% na armadura, adquiridas no mesmo 
instante, fala-se que a seção é normalmente armada. A linha neutra combina com o x2lim, e a seção está no limite 
entre os domínios 2 e 3. A NBR 6118 (17.2.2) adverte que a seção dimensionada à flexão simples no domínio 3 é 
subarmada, um vocábulo que parece errado por transmitir a falsa ideia de que a armadura é menor que a necessária. 
Os valores da deformação de início de escoamento do aço (εyd), o limite da posição da linha neutra entre os domínios 
3 e 4 (x3lim) e βx3lim (βx = x/d), para os tipos diferentes de aço e para os concretos do grupo I de resistência (fck ≤ 50 MPa).
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Os valores da deformação de início de escoamento do aço (εyd), o limite da posição da linha neutra entre os domínios 
3 e 4 (x3lim) e βx3lim (βx = x/d), para os tipos diferentes de aço e para os concretos do grupo I de resistência (fck ≤ 50 MPa).
Tabela: Valores de εyd, x3lim e βx3lim para concretos do Grupo I de resistência (fck ≤ 50 MPa) e em função da categoria 
do aço.
Aço εyd (%o) x3lim βx3lim
CA-25 1,04 0,77 d 0,77
CA-50 2,07 0,63 d 0,63
CA-60 2,48 0,59 d 0,59
▶ Domínio 4
A deformação de encurtamento na fibra mais comprimida está com ovalor máximo de �_cu , e a armadura tra-
cionada não está escorrendo, porque sua deformação é menor que a de início de escoamento (εyd). Desta forma, 
como pode-se notar no diagrama σ x ε do aço apresentado na figura 4, a tensão na armadura é inferior a máxima 
admitida (fyd). A armadura demonstra ser, antieconômica, porque não aproveita a máxima capacidade resistente 
do aço. Fala-se que a armadura está “folgada” e a seção é conhecida como superarmada na flexão simples (NBR 
6118, 17.2.2), como apresentado na figura 3 e 4.
As vigas não podem ser projetadas à flexão simples no domínio 4, porque além do fato do ponto econômico, a 
ruptura, caso ocorra, constituirá do tipo “frágil”, ou “sem aviso prévio”, no qual o concreto rompe (esmaga) por 
compressão (εcd> εcu), ocasionando o colapso da viga antes da intensa fissuração provocada pelo aumento do 
alongamento na armadura tracionada. De acordo com a NBR 6118 (17.2.2), a “ruptura frágil está associada a 
posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão. ”
VIGAS
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3.3) Comportamento das Vigas de Concreto Armado Submetidas à Torção Simples
Nas seções de Concreto Armado as tensões fundamentais de tração e de compressão são dobradas à 45° e com 
desenho helicoidal. Depois do surgimento das fissuras de torção que se formam em formato de hélice, somente 
uma casca externa e com pequena espessura coopera na resistência da seção à torção. Esse fato ficou comprovado 
em ensaios de seções ocas ou cheias com armaduras idênticas, que mostraram as mesmas deformações e tensões 
nas armaduras.
VIGAS
Seções estudadas por MÖRSCH (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982)
�10
�10 �10
�10
�10
10,8
10,8
10,8
10,8
10,8
10,8
34
40 10,7
34
40 10,7
34
40
34
40
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Na tabela abaixo pode-se observar os resultados experimentais alcançados, para o momento de fissuração 
(momento de torção equivalente à primeira fissura) e para o momento de torção na ruptura.
Tabela: Momentos Torçores de primeira fissura e de ruptura (kN.cm) de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH.
Seção Momento Torçor de Primeira Fissura Momento Torçor de Ruptura
Sem armaduras 2330 2330
Com armadura longitudinal 2330 2380
Com armadura transversal 2500 2500
Com armadura longitudinal e transversal 2470 3780
Com armadura helicoidal 2700 >7000*
*A máquina de ensaio não levou a seção a ruptura
De acordo com os ensaios, na seção oca sem armadura, as fissuras são curvadas a 45° e em formato de hélice; com 
apenas uma armadura, tanto longitudinal ou transversal, o acréscimo de resistência é muito baixo e desprezível; 
com duas armaduras a resistência teve um aumento e, com armadura helicoidal, de acordo com a trajetória das 
tensões principais de tração, a ampliação de resistência foi muito efetivo. Os números da tabela acima mostram 
as observações.
Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a resistência do concreto à 
tração, levando uma viga não armada à ruptura. Se a viga for armada com barras longitudinais e estribos fechados 
transversais, a viga pode resistir a um aumento de carga após a fissuração inicial.
VIGAS
Torção de Equilíbrio e
Torção de Compatibilidade
4
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TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE
Um aglomerado que visa torcer uma peça levando-a girar envolta do seu próprio eixo é chamado de momento 
torçor, momento de torção ou torque.
4.1) Torção de Equilíbrio
“Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a 
resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais 
periféricos normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da 
seção resistente” (NBR 6118, 17.5.1.2). 
Os momentos torsores são obrigatórios na análise de estrutura e normalmente a torção acontece combinada com 
a força cortante e momento fletor.
A resistência de um elemento estrutural à torção pura é admitida quando se verificam ao mesmo tempo as 
condições abaixo:
• TSd ≤ TRd,2 
• TSd ≤ TRd,3 
• TSd ≤ TRd,4
Onde: 
• TRd,2 - limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto;
• TRd,3 - limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural;
• TRd,4 - limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural.
A
B
C
F
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TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE
▶ Torção em Viga Devido ao Engastamento da Laje
A laje em balanço não possui continuidade com outras lajes internas à construção, isso faz com que a laje esteja 
obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de maneira que a flexão na laje passe a ser torção na viga. A torção 
na viga passa a ser flexão no pilar, passando a ser considerada no seu dimensionamento.
Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço
Figura 5
A
B
C
A
B
B
C
Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço
Figura 6
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TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE
4.2) Torção de Compatibilidade
Acontece geralmente nos sistemas estruturais, onde o caso de laje apoiada sobre uma viga de borda, como no 
exemplo abaixo.
Torção de compatibilidade de laje com viga de apoio
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982)
Mf
(Pilar)
Mf
T
T
(Viga de bordo)
mT (
Viga
 de 
bor
da)
mE (
Laje
)
mE (Laje)
(Laje)
mT = mE (Laje)
Momento de
dimensionamento
da laje
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TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE
Ao tentar girar, a laje, impõe um momento de torção (mT) na viga, que tem propensão a girar também, porém ela 
é impedida através da rigidez à flexão dos pilares. Aparecem momentos fletores nos pilares e momentos torçores 
solicitantes na viga. Assim como a rigidez da viga à torção é pequena comparada à sua rigidez à flexão, a viga gira 
e fissura, propiciando o giro da laje também. Acontece então uma compatibilização entre as deformações da laje e 
da viga, e como resultado os momentos torçores na viga descressem bastante, podendo ser desprezados.
torção na viga
laje
momentos
fletores na laje
no estádio I
vi
ga
 d
e 
bo
rd
a
Resistência de Seção
à Torção
5
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RESISTÊNCIA DE SEÇÃO À TORÇÃO
5.1) Torção Simples, de Saint Venant ou Circulatória
Em uma barra de seção circular, sujeita a momento de torção, com empenamento permitido (torção livre), 
aparecem tensões principais inclinadas de 45° e 135° com o eixo longitudinal da barra. As trajetórias das tensões 
principais desenvolvem-se de acordo com uma curvatura helicoidal, em torno da barra. A trajetória das tensões 
principais de tração acontece na direção da rotação e a compressão na direção oposta, no decorrer de todo o 
perímetro da seção.
De acordo com a direção dos eixos longitudinal e transversal em um estado de tensão, o momento de torção 
provoca o aparecimento de tensões de cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em 
planos longitudinais, ao mesmo tempo.
Tensão de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção
�
�
T
σI
σI
σII
σII
TT
Trajetórias das tensões principais na seção circular
45
45
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5.2) Flexo Torção ou Torção de Empenamento
É o que acontece em perfis de paredes delgadas. A resistência da seção passa a ser através da força cortante e do 
momento fletor, com consequente empenamento da seção.
RESISTÊNCIA DE SEÇÃO À TORÇÃO
A
B
C
DT
�z
h
b
V = T / z
V = T / z
�z
�
T
B
V
D
C
A
M
M
V
O binário das tensões tangenciais
circulatórias tem braço de alavanca z muito
pequeno (z = �)
3
2
Momento torçor resistido por forças
cortantes com braço de alavanca grande
(z = h - �)
O empenamento da seção resulta de
curvaturas opostas das chapas AB e CD
Consideração para o
Dimensionamento
6
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CONSIDERAÇÃO PARA O DIMENSIONAMENTO
6.1 A Seção Maciça é Transformada em um Tubo
Ensaiosrealizados em cilindros ocos à torção simples, com e sem armadura confirmam que depois do surgimento 
das fissuras de torção, que se desenvolvem em formato de hélice, somente uma casca externa e com pequena 
espessura coopera na resistência da seção a torção.
T
l
ᶿ
Formas de Ruptura
por Torção
7
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FORMAS DE RUPTURA POR TRAÇÃO
Depois da fissuração, a ruptura de uma viga perante a torção pura pode acontecer de diversos modos: escoamento 
dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as armaduras. Com vigas superarmadas à 
torção, o concreto comprimido envolvido entre as fissuras inclinadas pode esmagar através do efeito das tensões 
principais de compressão, primeiro que o escoamento das armaduras. Abaixo será mostrado outros mostrado 
modos de ruptura:
7.1) Ruptura por Tração
A ruptura brusca pode também acontecer por meio de torção, depois do aparecimento das primeiras fissuras. A 
ruptura brusca pode ser impedida pela instalação de uma armadura mínima, para suportar às tensões de tração 
por torção.
Se as armaduras longitudinal e transversal forem diferentes, a menor armadura definirá o tipo de ruptura. Quando 
existe uma diferença pequena nas armaduras, ela pode ser balanceada através de uma redistribuição de esforços 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
De maneira oposta ao esforço cortante, no qual a inclinação do banzo comprimido pode diminuir a tração na 
alma da viga, na torção essa redução não pode acontecer, sendo que na analogia de treliça espacial não há banzo 
comprimido inclinado.
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7.2) Ruptura por Compressão
Quando armaduras são usadas de maneiras longitudinal e transversal pode acontecer de surgir forte empenamento 
das faces laterais, resultando em tensões adicionais no decorrer das bielas comprimidas, podendo acontecer o seu 
esmagamento.
FORMAS DE RUPTURA POR TRAÇÃO
T
Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982)
Superfície de dupla curvatura
σc
Compressão
Rc
Rs
Tração
tT
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FORMAS DE RUPTURA POR TRAÇÃO
7.3) Ruptura dos Cantos
A modificação de direção das tensões de compressão nos cantos, faz com que uma força que pode induzir ao 
rompimento dos cantos da viga, seja criada. As barras longitudinais dos cantos e os estribos cooperam para impedir 
esse tipo de ruptura. Vigas com tensões de cisalhamento da torção muito altas precisam ter o espaçamento dos 
estribos restritos a 10 cm para impedir esse tipo de ruptura.
7.4) Ruptura da Ancoragem
Este tipo de ruptura pode acontecer por insuficiência da ancoragem do estribo, induzindo ao seu “escorregamento”, 
e através do deslizamento das barras longitudinais. O cuidado na ancoragem das armaduras pode impedir esse 
tipo de ruptura.
Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982)
T
U
U
U
U
Rc
Rc Rc
Rc
Rc
Engastamento a torção
Estribo
Rompimento do canto
Armadura Mínima
8
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ARMADURA MÍNIMA
Quando a torção for de equilíbrio, é necessário existir uma armadura resistente aos esforços de torção, composta 
por barras longitudinais e estribos verticais difundidos na área que corresponde à parede equivalente no decorrer 
do perímetro da seção resistente. Abaixo é apresentado a taxa geométrica mínima de armadura:
Onde:
ρsl = taxa mínima de armadura longitudinal;
ρsw = taxa mínima de armadura transversal;
Asw = área da seção transversal total de cada estribo,compreendendo todos os seus ramos;
Asl = área total de armadura longitudinal;
bw = largura média da alma;
s = espaçamentos dos estribos;
u = perímetro da seção transversal;
fct,m = resistência média à tração do concreto;
fywk = resistência ao escoamento do aço da armadura transversal.
ρsl = ρsw = = ≥ 0,2 Asw
bws
Asl
bwu
fct,m
fywk
Pilares
9
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PILARES
9.1) Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada
Esse método pode ser utilizado somente no cálculo de pilares com λ ≤ 90, seção contínuo e armadura simétrica 
e contínuo no decorrer de seu eixo. A não-linearidade geométrica é julgada de formato aproximado, admitindo-
se que a deformação da barra seja senoidal. A não-linearidade física é conceituada por meio de uma expressão 
aproximada da curvatura na seção crítica.
Expressão para se calcular o momento total máximo:
Com, 1/r a curvatura na seção crítica, na qual pode ser avaliada pela expressão aproximada:
Onde:
v = Nd/(Acfcd) e M1d,A ≥ M1d,min
h = altura da seção na direção considerada 
Md,tot = αbM1d,A + Nd ≥ M1d,A le
10
2
1
r
 = ≤ 1
r
0,005
h (v + 0,5)
0,005
h
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9.2) Método do Pilar Padrão com Rigidez k Aproximada
Pode ser usado somente em cálculos de pilares com λ ≤ 9, seção retangular contínuo, armadura simétrica e contínuo 
no decorrer de seu eixo.
Expressão para se calcular o momento total máximo:
Sendo:
k = rigidez adimensional
PILARES
Md,tot = ≥ M1d,A ; M1d,min 
2
αbM1d,A
λ
120k1 -
v
k = 32 (1 + 5 ) v Md,tot
h.Nd
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9.3) Método do Pilar Padrão Acoplado a Diagramas M, N, 1/r
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ ≤ 140 pode ser realizada pelo método pilar 
padrão melhorado ou do pilar padrão, usando para a curvatura da seção crítica valores adquiridos de diagramas 
M, N, 1/r específicos para o caso.
9.4) Método do Pilar Padrão para Pilares da Seção Retangular, Submetidos à Flexão Composta Oblíqua
Depois de adquirida a distribuição de momentos totais, de primeira e segunda ordem, em todas as direções, deve 
ser verificada, para cada seção no decorrer do eixo, se a composição desses momentos solicitantes fica dentro da 
envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação tem como ser feita em exclusiva-
mente três seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário no qual se aceita atuar concomitantemente 
os momentos Md,tot nas duas direções (x e y).
PILARES
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9.5 Exigências da NBR6118:2014 para Verificação de Pilares Esbeltos
λ γf
Consideração 
dos efeitos de 
2ª ordem
PROCESSO DE CÁLCULO Consideração 
da fluênciaExato Aproximado 
(diagramas M, 
N, 1/r)
Simplificado
≤ λ1
1,4
dispensável - - - -
≤ 90
obrigatória
dispensável permitido permitido dispensável
≤ 140 não permitido obrigatória
≤ 200 1,4 + 0,01(λ - 140) obrigatório não permitido
NÃO É PERMITIDO EMPREGAR λ > 200
PILARES
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$H*RD)+0987
Resumo Salva-vidas
Concreto Armado