Aplicações das integrais duplas e triplas nas engenharias

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Aplicações das integrais duplas e triplas nas engenharias, com ênfase especial à engenharia Mecânica.
Os cálculos aplicados na formação do engenheiro, de uma forma bem abrangente quanto à sua especialidade, diferem da matemática pura lesionada nos cursos de Bacharel em Matemática. Para a engenharia, algumas vezes, a solução de muitos problemas pode ser obtida com resultados aproximados, assim, é importante para o engenheiro dominar as ferramentas matemáticas que possibilitam a simplificação e agilidade dos cálculos. O engenheiro é diretamente responsável pela tomada de decisões importantes, seja na concepção ou execução de projetos construtivos, programação de manutenção de equipamento, logística e outros. Sempre envolvendo grandes riscos, sejam para a vida humana, o meio ambiente e também riscos econômicos. Uma tomada de decisão equivocada pode causar grande prejuízo sócio econômico. 
Dentre as fermentas que os engenheiros dispõem para tomar decisões mais acertadas está a integração. A integração consiste no somatório de parcelas muito pequenas, chamadas de infinitesimais. No contexto físico-matemático, essa soma de infinitesimais tem aplicações importantes na determinação de grandezas muito utilizadas na engenharia em geral, como centros de massa, momento de uma força, cálculos de áreas de superfície, cálculo de volumes de sólidos, momentos de inércia, entre outros. Nesta pesquisa científica, será abordado as aplicações das integrais duplas nos problemas cotidianos do engenheiro, especialmente do engenheiro mecânico.
1 – Cálculo do volume de um sólido qualquer.
Consideremos uma função qualquer v(x,y) definida em um retângulo fechado como o da figura 2:
Suponhamos inicialmente . O gráfico de v é a superfície com equação Seja S o sólido que está acima da região R e abaixo do gráfico de f, isto é:
Figura 1
Figura 2
O objetivo é determinar o volume S. Para entendermos melhor esse processo de integração, o primeiro passo é dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos , de mesmo comprimento e dividindo o intervalo [c,d] em n subintervalos de mesmo comprimento . Quando traçamos retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelas extremidades dos subintervalos, formamos vários sub-retângulos,
Cada um dos quais com área como demostrado na gráfico da figura abaixo:
Figura 3
Se determinássemos um ponto qualquer, chamando-o de ponto amostral , em cada podemos aproximar a parte de S que está acima de cada por uma caixa retangular (ou coluna) com base e altura .
Assim dizemos que :
Se então o volume S do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície é:
Exemplo
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos e pelos três planos coordenados.
Figura 4
Solução: Observe que S está compreendido abaixo da superfície de e acima do quadrado . Aplicando o teorema de Fubini temos:
2- Cálculo da densidade e massa de um corpo qualquer.
Suponhamos uma lâmina que ocupa uma região A do plano xy e sua densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x,y) em A é dada por é uma função contínua em A. Isso significa que:
Onde são a massa e a área de um pequeno retângulo que contém (x,y) e tomamos o limite quando as dimensões do retângulo se aproximam de zero. A densidade a qual nos referimos neste trabalho não se restringe apenas a razão entre a massa de um corpo e sua área, a densidade pode ser, por exemplo, uma carga elétrica distribuída sobre uma região. Neste sentido podemos afirmar que:
Exemplo: Uma carga elétrica está distribuída na região triangular D de coordenadas (0,1),(1,1) e (1,0), de modo que a densidade de carga em (x,y) é , medida em coulombs por metro quadrado (C/m²). Determine a carga total.
3 – Momento e centro de massa.
Imagine que uma lâmina esteja em uma região D qualquer, suponha também que ρ(x, y) seja uma função densidade. Logo, o momento da lâmina inteira em relação ao eixo é:
 Da mesma forma, o momento em relação ao eixo y é:
Assim temos que as coordenadas do centro de massa são:
Onde a massa m é dada por m:
Exemplo:
Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0), (0,2), se a função densidade é .
Figura 5
Resolução:
A equação na fronteira de superior é igual a : , assim calculamos a massa da lâmina aplicando:
Aplicando a massa encontrada para calcular o centro de massa, conforme as fórmulas anteriores, teremos:
Assim, o centro de massa da placa é o ponto .
Momentos de inércia de áreas e volumes.
O momento de inércia pode ser interpretado como uma medida da capacidade de um corpo de resistir à aceleração angular em torno de um eixo.
Quando forças são distribuídas continuamente sobre uma área na qual atuam, é comumente necessário calcular o momento destas forças em relação a algum eixo no plano que contém a área perpendicular a ele. Frequentemente, a intensidade da força (pressão ou tensão) é proporcional à distância entre a linha de ação da força ao eixo do momento.
O momento de inércia, também chamado de segundo momento, é definido como ,onde r é a distância do ponto do corpo até o eixo. O conceito pode ser estendido a uma lâmina com função densidade e que ocupa uma região D pelo mesmo processo utilizado para calcular os momentos normais. Dividido a região D em retângulos infinitamente pequenos, aproxima-se o momento de inércia de cada sub-retângulo em relação ao eixo x e toma-se o limite da soma quando o número de sub-retângulos aumenta indefinidamente. 
Desta forma chega-se à seguinte formulação:
a) Momento de inércia em relação ao eixo dos x:
b) Momento de inércia em relação ao eixo dos y:
c) Momento de inércia polar
Exemplo:
Determine o momento de inércia em relação ao eixo y de uma placa esbelta representada pela área sob o gráfico da função na figura abaixo, sabendo que a densidade de massa é igual a 
Figura 6
Resolução:
Temos a função e R descrita como: R:
Podemos então calcular o momento de inércia como:
Aplicação das integrais duplas em problemas de probabilidade.
Consideramos a função densidade de probabilidade f de uma variável aleatória contínua X. Isso significa que e a probabilidade de que X esteja entre a e b é determinada integrando-se de a até b.
Se considerarmos então um par de variáveis aleatórias X e Y como por exemplo: o tempo de vida de um componente de uma determinada máquina ou a altura e peso de um indivíduo qualquer escolhido aleatoriamente. A função densidade conjunta de X e Y é uma função f de duas variáveis tais que a probabilidade de que (X,Y) esteja em uma região D seja:
Pontualmente, caso a região seja um retângulo, a probabilidade de qu X esteja entre a e b, e Y estaja entre c e d é:
 Vale lembrar que probabilidades jamais podem ser negativas e que seus valores variam na escala de 0 a 1. Assim, temos a função densidade conjunta que tem as seguintes propriedades:
A integral dupla sobre é uma integral imprópria, definida como o limite da integral dupla sobre os círculos ou retângulos que se expandem e podemos escrever então:
Exemplo:
O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila para que as pessoas possam comprar suas entradas para cada filme da semana seja de 10 minutos e que o tempo médio para comprar a pipoca seja de 5 minutos. Supondo que os tempos de espera sejam independentes, determine a probabilidade de um espectador esperar menos de vinte minutos até se dirigir ao seu assento.
Resolução:
Adotando X para o tempo de espera para a entrada e Y para o tempo de espera da pipoca. Admitamos que estes tempos possam ser modelados por funções densidade de probabilidade exponencial, escrevemos as funções densidade individuais como:
Como X e Y são variáveis independentes, a função densidade conjunta é o produto:
Foi pedida também a probabilidade de X+Y<20, onde podemos dizer que:
O que significa que cerca de 75% dos espectadores esperam menos de 20 minutos antes de tomar seus assentos.Aplicações das integrais triplas na engenharia.
Da mesma forma que utilizamos as integrais unidimensionais para funções de uma variável e integrais duplas para funções de duas variáveis, aplica-se as integrais triplas para funções de três variáveis.
Basicamente todas as aplicações vistas para as integrais duplas valem também para as integrais triplas. Assim como as integrais duplas, as integrais triplas sempre existirão quando a função for contínua.
Exemplo:
Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos .
Resolução:
Se a densidade é a massa é:
Então, devido à simetria de E e em relação ao plano xz, podemos dizer imediatamente que : , e portanto, Os outros pontos são:
Logo, o centro de massa é;
 Referência bibliográfica – Stewart, James
Cálculo; Volume 2 – tradução da sexta edição norte-americana – São Paulo : Cengage Learning, 2009
4
3
2
1
0
2
1.5
1
0.5
0
x
y
x
y
x^(1/2)
2
1.5
1
0.5
0
2
1.5
1
0.5
0
15
12.5
10
7.5
5
x
y
z
16 - 2*y^2 - x^2