Sistemas Cristalinos

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Universidade Estadual De Maringá
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Química
Mineralogia
Turma 001
Sistemas Cristalinos
Acadêmicos: 
Docente:
Maringá
Agosto de 2019
Sumário
1.Introdução...................................................................................................3
2.Sistemas Cristalinos....................................................................................4
2.1. Sistema Cúbico........................................................................................6
2.2. Sistema Tetragonal.................................................................................6
2.3. Sistema Ortorrômbico..............................................................................7 
2.4. Sistema Hexagonal..................................................................................7
2.5. Sistema Trigonal......................................................................................8
2.6. Sistema Monoclínico................................................................................8
2.7. Sistema Triclínico....................................................................................9
3.Índice de Miller............................................................................................10
3.1. Posições Atômicas em Células Unitárias Cúbicas............................................11
3.2. Direções Cristalinas em Estruturas Cúbicas....................................................11
3.3. Direções Cristalinas em Cristais Hexagonais...................................................13
3,4. Planos Cristalinos em Cristais Hexagonais......................................................14
4.Conclusão.................................................................................................................15
5.Referências...............................................................................................................16
1.Introdução
O estudo da difração dos raios-X em cristais teve início com Laue a partir de 1912, quando ele esteve discutindo aspectos da propagação da luz em cristais com P. P. Ewald, que estava desenvolvendo sua tese de doutorado sobre o assunto. O que chamou a atenção de Laue foi o modelo teórico de Ewald para os cristais, que consistia em pequenos osciladores espaçados periodicamente em três dimensões, com distâncias da ordem de 10 -8 cm. Dos experimentos de Röntgen, Laue sabia que o comprimento de onda dos raios-x era dessa ordem. Logo, um cristal serviria como uma grade ideal para a difração dos raios-x. Experimentos foram realizados para detectar o fenômeno, e em 1912 Laue conseguiu obter o primeiro diagrama de difração, utilizando o sulfato de cobre. Aplicando seus conhecimentos sobre a difração da luz por grades de uma e duas dimensões, Laue formulou uma teoria de difração de raios-x para estruturas tridimensionais (cristais), obtendo assim o prêmio Nobel de Física em 1912.
Numa definição simples e concisa, podemos dizer que os cristais são arranjos moleculares cuja estrutura se repete numa forma periódica tridimensional. Um exemplo simples é o do sal de cozinha, NaCl, cuja estrutura consiste em átomos de Sódio e Cloro dispostos de forma que um átomo de sódio terá sempre átomos de cloro como vizinhos e vice-versa, como mostrado na figura abaixo.
A Célula unitária é a menor estrutura que representa um cristal, isto é, um cristal é formado por diversas células unitárias arranjadas tridimensionalmente formando uma rede cristalina. Existem células unitárias com sete tipos de simetria: cúbica, tetragonal, ortorrômbica, romboédrica (ou trigonal), hexagonal, monoclínica e triclínica. O que diferencia esses tipos de células unitárias é a relação entre seus parâmetros de rede.[4]
2.Sistemas Cristalinos
Um sistema cristalino é a designação dada a um grupo de ordenamento espacial pontual regular de átomos ou moléculas. Cada sistema cristalino é formado por unidades básicas que se repetem em células elementares que são definidos por eixos de simetria imaginários que fornecem o comprimento de quaisquer três arestas que se encontram em um vértice e os ângulos que formam entre si. Quando um cristal cresce partículas agregam-se a essa forma básica tornando-a cada vez maior e o número máximo de faces idênticas varia de 2 a 6. De acordo com a análise geométrica dos sistemas de cristalização é possível concluir que existem 7 tipos de sistemas cristalinos:
Figura 1: Os sete sistemas cristalinos.
Fonte: https://sites.ifi.unicamp.br/lfmoderna/conteudos/difracao-de-raio-x/
Os sete sistemas ainda podem ser subdivididos em outras categorias em função dos centros de simetria, dentro desses sete sistemas cristalinos, há um total de quatorze arranjos distintos nos quais os pontos da rede podem se organizar, conhecidos como redes de Bravais. As Redes de Bravais são um conjunto de pontos construídos por translação de um único ponto em intervalos determinados por um conjunto de vetores denominados vetores base.[1] Todos os materiais cristalinos até agora identificados pertencem a um dos 14 arranjos tridimensionais correspondentes às estruturas cristalinas básicas de Bravais. Os parâmetros para caracterizar as redes são número de coordenação, fator de empacotamento, densidade teórica e parâmetro de rede. [9]
Os sistemas cristalinos são definidos por 3 eixos cristalográficos, ou seja, direções que passam pelo centro do cristal e que servem como eixos de referência para orientação e notação dos elementos de simetria do cristal denotados pôr: a, b e c. Além dos eixos os sistemas cristalinos também são definidos por ângulos interaxiais α, β e γ e seus complementos λ, µ e ν. 
Figura 2: Eixos, ângulos e complementos.
Fonte: http://cristal.iqsc.usp.br/files/Cap-4-Eixos-e-Sistemas.pdf
A escolha dos eixos cristalográficos segue os seguintes critérios:
1. Sempre que possível, os eixos são perpendiculares entre si;
2. Sempre que possível, devem coincidir com eixos de simetria ou direções perpendiculares a planos de simetria; 
3. Na ausência de elementos de simetria, os eixos cristalográficos são posicionados paralelamente a arestas proeminentes do cristal; 
4. Sempre que possível, a < b < c. [2]
Figura 3: Redes Bravais.
Fonte: http://enlacesquimicos2596.blogspot.es/tags/estructura-cristalina/
2.1. Sistema Cúbico
Sistema cristalino em que há três eixos cristalográficos de mesmo tamanho e mutuamente perpendiculares. Como os três eixos têm o mesmo tamanho, os cristais desse sistema são equidimensionais, ou seja, não são nem alongados, nem achatados. Os cristais do sistema cúbico têm uma característica que nenhum outro têm: isotropia térmica e óptica. Isso significa que a luz e o calor neles se propagam com a mesma velocidade, seja qual for a direção. [3]
Figura 4: Pirita
Fonte: https://pedrasecristais.com/pedra-pirita/
2.2. Sistema Tetragonal
Neste sistema, os três eixos cristalográficos são mutuamente perpendiculares, como no sistema cúbico. Mas, enquanto os eixos a e b têm mesmo comprimento, o eixo c é diferente, sendo maior ou menor.
Pertencem a este sistema 6,4% dos minerais conhecidos, entre eles zircão, apofilita, rutilo, idocrásio e cassiterita. Ele e seus cristais recebem também o nome de quadrático. [3]
Figura 5: Apofilita.
Fonte: https://www.cristalljoia.com/DRUSA-DE-APOFILITA-N00
2.3. Sistema Ortorrômbico
Sistema cristalino em que os três eixos cristalográficos são mutuamente perpendiculares, mas cada um com um comprimento diferente.
Compreende 28,6% das espécies minerais conhecidas, sendo exemplos topázio, crisoberilo e zoisita. [3]
Figura 6: Topázio.
Fonte: https://incensosdomundo.com/Topazio-imperial-bruto
2.4. Sistema Hexagonal
No sistema hexagonal, em vez de dois eixos horizontais existem três, separados entre si por ângulos de 120º e todos com o mesmo comprimento.
Além deles, há o eixo vertical (c), perpendicular aos demais, diferente deles no comprimento e com simetria senária. Simetria senária significa que, num giro completo do cristal, a mesma imagem repete-se seis vezes.
Pertencem a este sistema7% dos minerais conhecidos, entre eles apatita, berilo e covellita. [3]
Figura 7: Berilo.
Fonte: https://tecnicoemineracao.com.br/historia-e-extracao-do-berilo/
2.5. Sistema Trigonal
Sistema cristalino caracterizado, como o anterior, por três eixos cristalográficos de igual comprimento e horizontais, formando ângulos de 120° entre si, e um eixo vertical perpendicular aos demais, diferente deles no comprimento e com simetria ternária.
Pertencem ao sistema trigonal 10,1% das espécies minerais conhecidas, entre elas o quartzo, o coríndon e as turmalinas,
Esse sistema e os cristais a ele pertencente são também chamados de romboédricos. [3]
Figura 8: Quartzo rosa.
Fonte: https://www.institutorakku.com.br/produto/pedra-bruta-quartzo-rosa/
2.6. Sistema Monoclínico
No sistema monoclínico existem três eixos cristalográficos de comprimentos diferentes. Os ângulos α e γ têm 90º e o ângulo β, um valor diferente deste.
São monoclínicas 30,8% das espécies minerais, sendo este o sistema com maior número de minerais. Ex.: jadeíta, espodumênio, ortoclásio e euclásio. [3]
Figura 9: Espodumênio.
Fonte: http://gmga.com.br/179-espodumenio-itinga-mg/
2.7. Sistema Triclínico
Este último sistema é o que exibe cristais de simetria mais pobre. Ele possui três eixos cristalográficos, todos diferentes entre si, o mesmo acontecendo com os ângulos entre eles.
Compreende 9% das espécies minerais conhecidas, como rodonita, turquesa e microclínio, por exemplo. [3]
Figura 10: Microclínio
Fonte: http://gmga.com.br/952-microclinio-granja-ce/
3.0 Índice de Miller
Os índices de Miller foram propostos anteriormente por vários cristalógrafos: Bernhardi (1808), Whewell (1825), Grassmann (1829), e Frankenhaim (1829). Porém, foi William Hallowes Miller, mineralogista, cristalógrafo e professor de mineralogia da universidade de Cambridge, que em 1839 publicou seu trabalho sobre a sistematização e consolidação do sistema de indexação, foi ele quem divulgou e mostrou a importância destes novos índices.[5]
Os índices de Miller definem a orientação de um plano de átomos na célula unitária, são os inversos das interseções fracionárias (com as frações reduzidas ao mesmo denominador) que o plano faz com os eixos cristalográficos x, y e z coincidentes com três arestas não paralelas da célula unitária cúbica, [6] para isso se indica coordenadas de um vetor no espaço, por se tratar de três dimensões os índices são representados entre parênteses pelas letras (h,k,l) onde h,k e l são números inteiros com maior divisor comum igual a 1. Se algum dos inteiros é negativo, a convenção é escrever o número com uma barra em cima, no lugar do sinal de negativo, como por exemplo: ћ. [7]{\displaystyle {\bar {h}}}
O estudo de planos e direções atômicas pelos índices de Miller é importante para: determinação da estrutura cristalina, os métodos de difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de pontos do reticulado Cristalino e também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes são usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal; analisar o comportamento da deformação plástica, nos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer, preferencialmente, ao longo de planos e direções específicos do cristal; e auxiliar na compreensão das propriedades de transporte, em certos materiais, o transporte de elétrons de condução é maior em determinados planos e reduz-se em planos distantes destes.[6]
3.1 POSIÇÕES ATÕMICAS EM CÉLULAS UNITÁRIA CÚBICAS
Para localizar as posições atômicas em células unitárias cúbicas, usam-se os eixos ortogonais x, y e z. Em cristalografia, o sentido positivo do eixo x tem geralmente a direção que sai do papel, o sentido positivo do eixo y aponta para a direita do papel, e o sentido positivo do eixo z aponta para cima.
 (a) (b)
Figura 11: (a) Eixos ortogonais x, y, z utilizados para localizar as posições dos átomos nas células unitárias cúbicas. (b) Posições atômicas numa célula unitária CCC.
Fonte:http://www.foz.unioeste.br/~lamat/downmateriais/materiaiscap4.pdf
As posições dos oito átomos que se encontram nos vértices da célula unitária CCC são (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1). O átomo no centro da célula unitária CCC tem as coordenadas (1/2, 1/2, 1/2).[6]
3.2 DIREÇÕES CRISTALINAS EM ESTRUTURAS CÚBICAS: 
 
 (a) (b) (c)
Figura 12: Índices de Miller de alguns planos importantes, em cristais cúbicos: (a) (100), (b) (110) e (c) (111).
Fonte: http://www.foz.unioeste.br/~lamat/downmateriais/materiaiscap4.pdf
Para obter os índices de Miller no plano a, tomamos os inversos destas interseções, que são 1, 0,0. Já que estes números não são fracionários, os índices de Miller deste plano são (100), lendo-se "plano um-zero-zero". As interseções do plano b são 1, 1,∞. Uma vez que os inversos destes números são 1, 1, 0, que são números não fracionários, os índices de Miller deste plano são (110). Finalmente, as interseções do plano c são 1, 1, 1, obtendo-se para os índices de Miller deste plano (111).
Figura 13: Índice de Miller para o plano (∞,1\2,∞)
Fonte: http://bizuando.com/material-apoio/icmat/Indices_de_Miller.pdf
Se o plano cristalográfico considerado passar pela origem, fazendo com que uma ou mais interseções sejam zero, o plano terá de ser deslocado para uma posição equivalente, dentro da célula unitária, mantendo-se paralelo ao plano inicial.[8]
Figura 14: Planos paralelos ao plano que passa pela origem O.
Fonte: http://bizuando.com/material-apoio/icmat/Indices_de_Miller.pdf
Isto é possível porque todos os planos paralelos, de igual espaçamento, têm os mesmos índices de Miller. Se conjuntos de planos cristalográficos equivalentes estiverem relacionados pela simetria do sistema cristalográfico, designam-se por planos de uma família.
Para representar uma família de planos simétricos, isto é, de uma mesma família, os índices de um dos planos da família são colocados entre chaves, {h k l}. Por exemplo, os índices de Miller dos planos (100), (010) e (001), correspondentes às faces do cubo, representam-se coletivamente como uma família ou forma pela notação {100}.[6]
3.3 DIREÇÕES CRISTALINAS EM CRISTAIS HEXAGONAIS
No sistema hexagonal introduz-se mais um eixo no plano da base devido à simetria do sistema hexagonal.
 a3=-(a1+a2 )
Introduz-se um quarto índice:
 i=-(h+k) (hkil)
Figura 15: Ìndices de Miller em um cristal hexagonal.
Fonte: http://bizuando.com/material-apoio/icmat/Indices_de_Miller.pdf
3.4 PLANOS CRISTALINOS EM CRISTAIS HEXAGONAIS
Figura 16: Planos em um cristal hexagonal.
Fonte: http://bizuando.com/material-apoio/icmat/Indices_de_Miller.pdf
4.Conclusão
	Os minerais podem ser classificados de acordo com algumas características, uma delas é pelo seu sistema cristalino que descreve a maneira como os átomos estão organizados no mineral, existem sete principais sistemas cristalinos: o cúbico, tetragonal, ortorrômbico, hexagonal, trigonal, monoclínico e triclínico, esses sete sistemas ainda podem ser subdivididos em outras categorias, a maneira com que os átomos se arranjam resultam em propriedades físicas intrínsecas para cada mineral como por exemplo densidade, a dureza, o hábito entre outros. Auguste Bravais foi quem propôs o método de classificação dos sistemas cristalinos, de acordo com seus estudos foram possíveis se conhecer ao todo 14 tipos de redes cristalinas pertencentes as redes Bravais, ou seja, um arranjo infinito de pontos tal que a disposição e orientação desses pontos é exatamente idêntica a partir de qualquer ponto da rede. 
Os índices de Miller são uma notação para identificar direções e planos cristalinos em uma rede de Bravais, para isso se indica coordenadas de um vetor no espaço.
3.Referências
[1] file:///D:/Users/User/Downloads/31382-155944-1-PB.pdf[2] http://cristal.iqsc.usp.br/files/Cap-4-Eixos-e-Sistemas.pdf
[3] http://www.cprm.gov.br/publique/Redes-Institucionais/Rede-de-Bibliotecas---Rede-Ametista/Canal-Escola/Sistemas-Cristalinos-1279.html
http://bandaprohibida.blogspot.com/2008/05/estructuras-cristalina-sencillas.html
 [4] MARTINS, R. A. A Descoberta dos Raios X: O primeiro comunicado de Röntgen. Revista Brasileira de Ensino de Física. 20, 373-391 (1998)
[5] https://ciencias.ulisboa.pt/en/noticia/21-08-2014/alguns-aspectos-da-hist%C3%B3ria-da-cristalografia
[6] http://www.foz.unioeste.br/~lamat/downmateriais/materiaiscap4.pdf
[7] http://www.e-agps.info/angelus/cap3/coordenadas.htm
[8] http://bizuando.com/material-apoio/icmat/Indices_de_Miller.pdf
[9] http://cristal.iqsc.usp.br/files/Cap-5-C%C3%A9lula-Unitaria-e-Reticulos-de-Bravais.pdf
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1.	TEIXEIRA, W. Decifrando a Terra. 2°. ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 2009.
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