Apostila TP501 - Ynoguti, 2011

Definição 1.6. Um evento que não contém elementos é chamado de evento nulo,
e é denotado por φ.
Observe que o evento nulo é o complemento do espaço amostral S : φ = Sc.
Definição 1.7. A união de eventos A e B, denotada por A∪B, é aquele que contém
todos os pontos em A e B.
Verifique no exemplo anterior quais são os eventos Ao ∪Ae, Ao ∪B, Ae ∪ B). Observe
que A ∪B = B ∪A.
Definição 1.8. A interseção dos eventos A e B, denotada por A ∩ B ou simples-
mente AB, é o evento que contém pontos comuns a A e a B. Este evento também é
conhecido como evento conjunto AB.
Observe que AB = BA. Na figura 1.2 abaixo, tem-se estes conceitos mostrados
graficamente em diagramas de Venn.
Definição 1.9. Se os eventos A e B são tais que AB = φ então A e B são ditos
eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos.
Isto quer dizer que A e B não podem ocorrer simultaneamente. (A e Ac são mutu-
amente exclusivos).
Estes conceitos são mostrados de forma gráfica na Figura 1.2.
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Importante!!!!
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O operador para o complemento tambem pode ser representado por uma barra.
4 Probabilidade
ts
a) b) c) d)
AAA
A
BBB
SSSS
Ac
Figura 1.2: Representação do a) complemento, b) união, c) interseção de eventos, e d)
eventos disjuntos.
1.2.1 Lei de De Morgan.
Teorema 1.1. Se A e B são eventos em um espaço amostral então:
A+B = AB (1.1)
Equivalentemente, podemos escrever:
AB = A+B (1.2)
Demonstração. A lei de De Morgan pode ser facilmente demonstrada por meio de dia-
gramas de Venn:
AA BB
A+B A B AB
Figura 1.3: Demonstração da lei de De Morgan.
Observação
A aplicação repetida da equação (1.1) leva ao seguinte: se em uma identidade de con-
juntos substituimos todos os conjuntos pelos seus complementos, todas as uniões por
intersecções, e todas as intersecções por uniões, a identidade é preservada.
Exemplo 1.2. Seja a identidade
Probabilidade 5
A(B + C) = AB +AC (1.3)
Usando (1.1) segue que
A(B + C) = A+B + C = A+B C
Similarmente
AB +AC = AB AC = (A+B)(A+ C)
e desde que os dois lados de (1.3) são iguais, seus complementos também o são. Portanto
A+B + C = (A+B)(A+ C) (1.4)
Estas identidades podem ser facilmente conferidas por meio de diagramas de Venn.
1.2.2 Princípio da Dualidade.
Sabemos que S = φ e φ = S. Além disso, se em uma identidade como (1.3) todas as
barras forem removidas, a identidade é preservada. Isto leva à seguinte versão da lei de
De Morgan:
Proposição 1.1. Se em uma identidade de conjuntos substituímos todas as uniões
por intersecções, todas as intersecções por uniões, e os conjuntos S e φ pelos conjuntos
φ e S respectivamente, a identidade é preservada.
Aplicando o teorema acima às identidades
A(B + C) = AB +AC S = A+ S
obtemos as identidades
A+BC = (A+B)(A+ C) φ = φA
1.3 Definições de Probabilidade.
1.3.1 Frequência Relativa.
Embora o resultado de um experimento aleatório seja imprevisível, existe uma regula-
ridade estatística sobre este, e a definição por freqüência relativa baseia-se nesta regu-
laridade.
6 Probabilidade
Definição 1.10. A probabilidade P (A) de um evento A é dada pelo limite
P (A) = lim
n→∞
nA
n
(1.5)
onde nA é o número de ocorrências de A e n é o número de tentativas.
Observações importantes
1. Segue da definição que 0 ≤ P (A) ≤ 1.
2. Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos
P (A+B) = P (A) + P (B) = lim
n→∞
nA + nB
n
(1.6)
3. Se A1, A2, ..., AN não forem mutuamente exclusivos então:
P (A1 +A2 + ...+AN ) < P (A1) + P (A2) + . . .+ P (AN ) (1.7)
1.3.2 Axiomática.
Definição 1.11. A aproximação axiomática para a probabilidade é baseada nos três
postulados seguintes e nada mais:
1. A probabilidade P (A) de um evento A é um número positivo associado a este
evento
P (A) ≥ 0 (1.8)
2. A probabilidade do espaço amostral é igual a 1
P (S) = 1 (1.9)
3. Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, então
P (A+B) = P (A) + P (B) (1.10)
Propriedades:
P (φ) = 0 evento impossível
P (Ac) = 1− P (A) Ac complemento de A
P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB) ≤ P (A) + P (B) probabilidade da união
Exemplo 1.3. Determinar a probabilidade de obtenção de uma cara e duas coroas em
3 arremessos de uma moeda ideal.
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P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Probabilidade 7
Solução. Neste caso, os resultados possíveis são:
1) ca, ca, ca 5) co, ca, ca
2) ca, ca, co 6) co, ca, co
3) ca, co, ca 7) co, co, ca
4) ca, co, co 8) co, co, co
São possíveis 8 resultados mutuamente exclusivos ⇒ P (Ai) = 1/8
∴ P (1ca, 2co) = P (A4) + P (A6) + P (A7) = 3/8.
1.3.3 Clássica.
Definição 1.12. A probabilidade P (A) de um evento A é determinada a priori sem
experimentação real, e é dada pela expressão
P (A) =
nA
n
(1.11)
onde:
n: número de resultados possíveis,
nA: número de resultados favoráveis ao evento A.
Versão melhorada da definição clássica
Definição 1.13. A probabilidade de um evento é igual à razão entre seus resulta-
dos favoráveis e o número total de resultados, desde que todos os resultados sejam
equiprováveis.
Exemplo 1.4. Arremesso de um dado P (ímpar) = 3/6 = 1/2.
1.4 Cálculo de probabilidades usando métodos de conta-
gem.
Em muitos experimentos com espaços amostrais finitos, os resultados podem ser assu-
midos como sendo equiprováveis. A probabilidade de um evento é então a razão entre
o número de resultados no evento de interesse e o número total de resultados no espaço
amostral. O cálculo das probabilidades se reduz a contar o número de resultados de um
evento.
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Fim da Aula 1
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Este eh o caso de um dado ou de um baralho!
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8 Probabilidade
Suponha que um teste de múltipla escolha tem k questões e para a questão i o
estudante precisa selecionar uma entre ni respostas possíveis. Qual é o número total de
modos de responder a todo o teste?
A resposta à questão i pode ser vista como a especificação da i-ésima componente de
uma k-upla, de modo que a questão acima é equivalente a: quantas k-uplas ordenadas
distintas (x1, . . . , xk) são possíveis se xi é um elemento de um conjunto com ni elementos
distintos?
O número de k-uplas ordenadas distintas (x1, . . . , xk) com componentes xi, de um
conjunto com ni elementos distintos é dado por
número de k-uplas ordenadas distintas = n1n2 . . . nk (1.12)
Muitos problemas de contagem podem ser colocados como problemas de amostra-
gem onde selecionamos bolas em urnas ou objetos em populações. Iremos agora usar
a Equação 1.12 para desenvolver fórmulas combinatoriais para vários tipos de amostra-
gem.
1.4.1 Amostragem com reposição e ordenação.
Suponha que escolhemos k objetos de um conjunto A que tem n objetos distintos, com
reposição. Iremos nos referir ao conjunto A como a população. O experimento produz
uma k-upla ordenada (x1, . . . , xk), onde xi ∈ A, i = 1, 2, . . . , k. A Equação 1.12, com
n1 = n2 = . . . = nk = n implica que
número de k -uplas ordenadas distintas = nk (1.13)
Exemplo 1.5. Uma urna contém cinco bolas numeradas. Suponha que selecionamos
duas bolas da urna com reposição. Quantos pares ordenados distintos são possíveis?
Qual é a probabilidade de retirar duas vezes a mesma bola?
Solução. A Equação 1.13 diz que o número de pares ordenados é 52 = 25. Na Tabela
abaixo temos os pares possíveis. Cinco dos resultados possíveis são de bolas com o
mesmo número. Se supomos que todos os resultados possíveis são equiprováveis, então
a probabilidade de retirar a mesma bola duas vezes é 5/25 = 0, 2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2)