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Apostila TP501 - Ynoguti, 2011

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um ramo a partir da raiz corresponde a observar os resultados do primeiro subexpe-
rimento. Associamos a cada ramo as probabilidades a priori P [B1], · · · , B[Bm]. Para
cada evento Bi, temos probabilidades condicionais descrevendo o resultado do segundo
subexperimento. Então para cada um dos ramos do primeiro conjunto, desenhamos
um novo ramo e associamos a ele esta probabilidade condicional. Se seguirmos uma
sequência de ramos da raiz a uma determinada folha, especificamos o resultado de um
dado subexperimento. Desta forma, as folhas representam os resultados do experimento
completo. A probabilidade de cada resultado é o produto das probabilidades dos ramos
entre a raiz da árvore e a folha que correspondente ao resultado. Em geral, associamos
às folhas os resultados e as probabilidades correspondentes.
Isto é uma descrição complicada para um procedimento extremamente simples, como
veremos nos exemplos a seguir.
Exemplo 1.13. Uma companhia tem três máquinas B1, B2 e B3 que fabricam resistores
de 1kΩ. Observou-se que 80% dos resistores produzidos por B1 têm tolerância de 50Ω do
valor nominal. A máquina B2 produz 90% dos resistores com tolerância de 50Ω do valor
nominal. A porcentagem para a máquina B3 é de 60%. A cada hora, a máquina B1
produz 3000 resistores, B2 produz 4000 resistores, e B3 produz 3000 resistores. Todos os
resistores são misturados em um recipiente comum e empacotados para envio. Desenhe
um diagrama em árvore para este experimento. Qual a probabilidade de escolher um
resistor da máquina B2 com tolerância maior que 50Ω?
Solução. Seja A o evento “o resistor selecionado é aceitável” (tem tolerância de 50Ω),
e N o complemento de A: “o resistor selecionado não é aceitável”. O procedimento de
testar um resistor pode ser decomposto em dois passos: primeiro, identificamos qual
máquina (B1, B2 ou B3) produziu o resistor; depois, verificamos se o resistor é aceitável
ou não. Estes dois passos correspondem à seguinte árvore:
Probabilidade 17
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....
0, 3
0, 4
0, 3
B3
B2
B1
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...........0, 8
0, 2
0, 9
0, 1
0, 6
0, 4
A • B1A 0, 24
N • B1N 0, 06
A • B2A 0, 36
N • B2N 0, 04
A • B3A 0, 18
N • B3N 0, 12
Para usar a árvore para encontrar a probabilidade do evento B2N , um resistor não
aceitável da máquina B2, começamos da esquerda e verificamos que a probabilidade de
alcançar B2 é P [B2] = 0, 4. Andamos então para a direita em direção ao nó B2N e
multiplicamos P [B2] por P [N |B2] = 0, 1, e obtemos P [B2N ] = 0, 4 × 0, 1 = 0, 04.
Podemos observar neste exemplo uma propriedade geral de todos os diagramas em
árvore que representam experimentos sequenciais: a soma das probabilidades dos ramos
que deixam um determinado nó é sempre 1. Isto é uma consequência da lei da proba-
bilidade total e da propriedade da probabilidade condicional, vistas anteriormente.
Exemplo 1.14. Suponha que os engenheiros de tráfego tenham coordenado a tempori-
zação de dois faróis para encorajar uma sequência de faróis verdes. Em particular, a
temporização foi projetada de modo que, com probabilidade 0,8 um motorista encontre o
segundo farol com a mesma cor do primeiro. Assumindo que o primeiro farol seja verde
ou vermelho com a mesma probabilidade, qual é a probabilidade P [G2] de que o segundo
farol seja verde? Calcule P [G1|R2], a probabilidade condicional de que o primeiro farol
seja verde, dado que o segundo é vermelho.
Solução. Neste caso, a árvore que descreve o problema é:
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0, 5
0, 5
G1
R1
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0, 8
0, 2
0, 2
0, 8
G2 •G1G2 0, 4
R2 •G1R2 0, 1
G2 • R1G2 0, 1
R2 • R1R2 0, 4
A probabilidade do segundo farol ser verde é
P [G2] = P [G1G2] + P [R1G2] = 0, 4 + 0, 1 = 0, 5
18 Probabilidade
O evento W de ter que esperar por pelo menos um farol é dado por
W = {R1G2 ∪G1R2 ∪R1R2}
e desta forma, a probabilidade de esperar por pelo menos um farol é dada por
P [W ] = P [R1G2] + P [G1R2] + P [R1R2] = 0, 1 + 0, 1 + 0, 4 = 0, 6
Para encontrar P [G1|R2], precisamos de P [R2]. Notando que R2 = {G1R2∪R1R2},
temos:
P [R2] = P [G1R2] + P [R1R2] = 0, 1 + 0, 4 = 0, 5
Desde que P [G1R2] = 0, 1, a probabilidade condicional de observar o primeiro farol
verde dado que o segundo é vermelho é dada por:
P [G1|R2] = P [G1R2]
P [R2]
=
0, 1
0, 5
= 0, 2 (1.39)
Exemplo 1.15. Considere o jogo do Três. Você embaralha um baralho de três cartas:
às, 2 e 3. Se o às vale um ponto, você retira cartas do baralho até que a soma seja 3 ou
mais. Você ganha se o total for 3. Calcule P [W ], a probabilidade de vencer o jogo.
Solução. Seja Ci o evento “C é a i-ésima carta retirada. Por exemplo, 32 é o evento
de tirar um 3 na segunda rodada. A árvore para este experimento é então:
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