Movimento da Matemática Moderna

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MATEMATICA 
 
Leia atentamente o excerto a seguir. 
“Durante os primeiros anos da década de 50 vários projetos começaram a ser desenvolvidos, tendo em vista 
a melhoria do ensino secundário, especialmente por meio da adequação à realidade da universidade e aos 
avanços tecnológicos. Mas, foi um fato não ligado diretamente à situação escolar dos Estados Unidos, que 
acabou acelerando as propostas pedagógicas americanas desencadeando um movimento internacional de 
modernização que ficou conhecido como Movimento da matemática Moderna”. 
BERTI, N. M. O ensino da Matemática no Brasil: Buscando uma compreensão histórica. Disponível 
em: <http://www.histedbr.fe.unicamp.br/acer_histedbr/jornada/jornada6/trabalhos/617/617.pdf>. Acesso em: 28 jun. 2016. 
 
Considerando os princípios do Movimento da Matemática Moderna (MMM), analise as asserções seguintes 
e a relação proposta entre elas. 
 
I. As projeções que buscavam a melhoria do ensino secundário por meio de adequação curricular, levaram a 
uma transformação de orientação na Matemática, que mesmo cheio de formalismos, como a maioria das 
disciplinas acadêmicas, buscava a superação da cultura clássica. 
Porque 
II. O movimento da matemática moderna se constitui da necessidade de fundamentação e reflexão a respeito 
de diversos conceitos e teorias novas que tinham surgido na época, transmitindo a ideia de positividade para 
a solução de problemas, também da sociedade. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Correta: 
AS ASSERÇÕES I E II SÃO PROPOSIÇÕES VERDADEIRAS, E A II É JUSTIFICATIVA 
CORRETA DA I. 
Comentário da 
resposta: 
A asserção I é verdadeira porque as tendências da época, como citado no elemento-base, 
determinaram uma urgência na readequação do currículo de matemática, a fim de 
desenvolver cientificamente com mais qualidades e buscar melhores resultados na área. A 
experiência não deu certo como propunham, pois veio carregada de rigor e formalismo, 
mesmo criticando a matemática clássica, buscava-se a superação dessa cultura, porque se 
baseava no que é apresentado na afirmativa II. A afirmativa II está correta e é justificativa 
correta da um, pois o MMM se inicia a partir das reflexões acerca da necessidade de se 
impor rigor à matemática escolar e de estudos com a intenção de separar matemática pura 
da aplicada, demosntrando a importância de buscar soluções de aplicabilidade para a 
evolução interna da própria disciplina até uma atualização eficaz e de boa qualidade. 
 
 
 
 
Leia com atenção o trecho a seguir. 
 A linguagem utilizada com a criança deve ser muito bem cuidada. A utilização de metáforas faz com que 
a criança imagine o sentido literal da situação, levando em consideração situações que, para o adulto, 
parecem absurdas. Dizer que está irritado como uma onça, por exemplo, faz a criança imaginar que uma 
transformação do adulto em uma onça, da mesma forma que imagina elas às vezes imagina ser um 
príncipe ou uma princesa. É nesse período que as crianças registram as imagens, e elas podem interferir 
na imaginação, acompanhando as crianças por muito tempo. 
 
De acordo com o texto exposto, a fase de 2 a 4 anos representa o momento da vida da criança em que as 
imagens ficam registradas na mente dela. Sobre essa fase, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Correta: 
O ABSTRATO AINDA NÃO ESTÁ FORMADO; O PENSAMENTO É BASEADO NA 
PERCEPÇÃO IMEDIATA. 
Comentário da 
resposta: 
Nessa fase da criança, o pensamento lógico ainda não está formado, por isso todo seu 
comportamento é literal, levando em consideração apenas o que vê e as reações 
imediatas diante das situações. 
 
 
 
 
Leia com atenção o trecho a seguir. 
“No final da década de 1950 e início de 1960, o ensino de Matemática em muitos países absorveu o MMM, que 
pretendia aproximar a Matemática trabalhada na escola básica com a Matemática produzida pelos 
pesquisadores da área. [...] As propostas veiculadas pelo MMM inseriram no currículo conteúdos matemáticos 
que até aquela época não faziam parte do programa escolar como, por exemplo, estruturas algébricas, teoria 
dos conjuntos, topologia, transformações geométricas. O ideário que defendia a modernização do ensino teria 
que ser absorvido pelos professores, os quais teriam que se adaptar a um novo roteiro de conteúdos e de 
metodologias”. 
WIELEWSKI, G. D. O Movimento da Matemática Moderna e a formação de grupos de professores de Matemática no Brasil. Disponível 
em: <http://www.apm.pt/files/_Co_Wielewski_4867d3f1d955d.pdf>. Acesso em: 29 jun. 2016. 
 
De acordo com o texto, o Movimento citado foi responsável por uma mudança substancial no currículo de 
matemática, pois: 
 
Resposta 
Correta: 
OS QUE DEFENDIAM A MATEMÁTICA MODERNA ACREDITAVAM QUE PODERIAM 
CAPACITAR PESSOAS PARA ACOMPANHAR E LIDAR COM A TECNOLOGIA QUE SURGIA. 
Comentário da 
resposta: 
A principal justificativa para a remodelagem do ensino de matemática foi a necessidade de 
aproximação da população aos conhecimentos científicos, na busca de preparar as pessoas 
para enfrentar a tecnologização da sociedade de maneira mais autônoma. 
 
 
 
 
A matemática, ciência que se desenvolve pelo estudo das quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações 
e estatísticas, consiste em procurar por padrões, formular conjecturas e, por meio de deduções e definições, 
estabelecer novos resultados. Registros históricos mostram que a matemática se desenvolveu pela atividade 
humana e evoluiu com medições, cálculos e contagens, bem como com estudo sistemático de movimentos de 
objetos físicos e formas geométricas. 
 
Muitos povos antigos desenvolveram raciocínios matemáticos e contribuíram para a Matemática dos dias de 
hoje. Nesse sentido, é correto dizer que: 
 
Resposta 
Correta: 
OS BABILÔNIOS TINHAM CONHECIMENTO DE CÁLCULO E MEDIDAS; OS EGÍPCIOS 
DEDICARAM-SE À CRIAÇÃO DO CALENDÁRIO COMO CONHECEMOS HOJE E OS GREGOS 
ELABORARAM CONCEITOS DA ARGUMENTAÇÃO, DEMONSTRAÇÃO E CONCLUSÃO. 
Comentário da 
resposta: 
Os babilônios, egípcios e gregos, juntamente com outros povos, contribuíram demasiado 
para o conhecimento da matemática que temos hoje. Os diversos sistemas de numeração 
deram base para o sistema de numeração decimal. Além disso, a clareza nos estudos da 
geometria e lógica são fundamentais para o desenvolvimento rigoroso da matemática. 
 
 
 
 
Observe a atividade sugerida a seguir. 
 Leve às crianças cabos de vassouras de diferentes tamanhos. Proponha que os separem por tamanhos e 
coloquem nas caixas conforme a seguinte orientação: 
- na amarela, os cabos maiores; 
- na azul, os cabos médios; 
- na vermelha, os cabos menores. 
Em outro momento, espalhe diversas caixas de tamanhos variados e peça para que organizem por tamanho em 
ordem crescente. 
 
Ao analisar a atividade proposta, é correto dizer que o que explicita corretamente o processo mental que a 
atividade visa desenvolver nas crianças é a: 
 
Resposta Correta: SERIAÇÃO, POIS AS CRIANÇAS DEVERÃO ORDENAR OS OBJETOS SEGUINDO UM 
PADRÃO ESTABELECIDO. 
 
Comentários da 
Resposta: 
A seriação também é chamada de ordenação. Quando sugerimos que as crianças 
ordenem elementos em critérios preestabelecidos, elas desenvolvem a noção de 
seriação. Assim, ao colocar os objetos do maior para o menor estão seriando-os. 
 
 
 
Eles promovem a participação ativa da criança, ao mesmo tempo que se apresentam de forma lúdica e 
prazerosa, contrapondo-se à antiga representação de que, para aprender matemática, era necessário um 
ambiente de rigidez, silêncio e disciplina. Além de significar um objeto sociocultural no qual se insere a 
matemática, trata-se de uma atividade natural relacionada ao desenvolvimento dos processos psicológicos 
básicos; supõe um fazer não imposto e sem obrigação externa. 
 
O texto, que trata da utilização de ferramentas que ampliam as capacidades matemáticas da criança, está 
associado a: 
 
Resposta Correta: JOGOS. 
Comentário da 
resposta: 
Por meio do jogo a criança resolvesituações-problemas de forma lúdica e prazerosa, pois 
com o desafio apresentado a exigência é interna ao jogo e não vem de um agente externo, 
como uma prova ou atividade corriqueira. A criança precisa encontrar estratégias e soluções, 
levantando diferentes hipóteses de maneira contextualizada e desafiadora. 
 
 
 
 
Observe a atividade sugerida a seguir. 
 Leve às crianças cabos de vassouras de diferentes tamanhos. Proponha que os separem por tamanhos e 
coloquem nas caixas conforme a seguinte orientação: 
- na amarela, os cabos maiores; 
- na azul, os cabos médios; 
- na vermelha, os cabos menores. 
Em outro momento, espalhe diversas caixas de tamanhos variados e peça para que organizem por tamanho 
em ordem crescente. 
 
Ao analisar a atividade proposta, é correto dizer que o que explicita corretamente o processo mental que a 
atividade visa desenvolver nas crianças é a: 
 
Resposta 
Correta: 
SERIAÇÃO, POIS AS CRIANÇAS DEVERÃO ORDENAR OS OBJETOS SEGUINDO UM 
PADRÃO ESTABELECIDO. 
Comentários da 
Resposta: 
A seriação também é chamada de ordenação. Quando sugerimos que as crianças 
ordenem elementos em critérios preestabelecidos, elas desenvolvem a noção de 
seriação. Assim, ao colocar os objetos do maior para o menor estão seriando-os. 
 
 
 
 
Leia atentamente o excerto a seguir. 
 “Envolve um agrupamento ou escolha de um determinado critério, de acordo com uma regra ou princípio, isto 
é, separar objetos por suas semelhanças e/ou diferenças reunindo todos os que se parecem em um atributo, 
separando-os dos que dele se distinguem neste mesmo atributo. As atividades devem levar a criança a 
perceber e agrupar características comuns em classes e subclasses, estabelecendo relações e construindo 
noções. A criança domina a sua estrutura quando é capaz de incluir classes em classes; quando reúne 
mentalmente um conjunto de objetos, animais e pessoas. 
WERNER, H. M. L. O processo na construção do número, o lúdico e TICs como recursos metodológicos para crianças com deficiência 
intelectual. Secretaria de Estado de Educação do Paraná: Paranaguá, 2008. Disponível 
em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2443-6.pdf>. Acesso 29 jun 2016. 
 
O texto faz referência a um processo mental básico relacionado à percepção matemática. É correto dizer que 
ele apresenta o conceito de: 
 
Resposta Correta: CLASSIFICAÇÃO E INCLUSÃO. 
Comentário da 
resposta: 
Como inclusão, diz respeito à abrangência de um conjunto por outro; por exemplo, o 
conjunto de margaridas está incluído no conjunto de flores. Já a classificação representa o 
ato de separar em categorias. Quando o texto cita que as atividades desse conceito devem 
levar as crianças a agruparem objetos em classes e subclasses está atribuindo a elas o 
desenvolvimento da capacidade de classificação e inclusão. 
 
 
 
Os algarismos indo-arábicos tiveram origem nos trabalhos iniciados pelos hindus e pelos árabes e 
compõem o sistema de numeração decimal. Esse sistema agrupa os números de dez em dez unidades. Os 
símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são os algarismos, 
usados para contar unidades, dezenas e centenas. Com os algarismos formamos os numerais, e a sua 
posição em determinada classe e ordem define seu valor, chamado de valor posicional de um algarismo. 
Diante disso uma professora trabalhou com as crianças o numeral 132; para isso, fez anotações a respeito. 
É correto afirmar que: 
 
Resposta Correta: A COMPOSIÇÃO PERTENCE À CLASSE DAS UNIDADES SIMPLES. 
Comentário da 
resposta: 
O numeral apresentado pertence à classe das unidades simples e se distribui nas três 
ordens: o 2 pertence à ordem das unidades, o 3 à ordem das dezenas, e o 1 à ordem 
das centenas. 
 
 
 
 
Leia com atenção o trecho a seguir. 
“Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou 
limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão 
antigos quanto o sistema hindu, se não mais. […] Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço 
entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária. […] O símbolo maia 
do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base 
vinte modificado”. 
ORIGEM do zero. Só Matemática. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/zero.php>. Acesso em: 14 jun. 2016. 
Alinhada à forma como o zero deve ser trabalhado na educação infantil, analise as alternativas a seguir e 
assinale a correta. 
 
Resposta 
Correta: 
O ZERO DEVE SER APRESENTADO COM O INTUITO DE “MUDAR O VALOR” DOS 
OUTROS NÚMEROS DE ACORDO COM A POSIÇÃO EM QUE SE ENCONTRAM NA 
COMPOSIÇÃO DO NUMERAL. 
Comentário da 
resposta: 
O aparecimento do número zero acontece pela necessidade de registrar trocas de um 
conjunto de elementos por uma unidade maior. Não surge pela necessidade de 
registrar o “nada”, uma vez que não se fazia necessário o registro de algo que não se 
possuía. 
 
 
 
A aprendizagem na educação infantil se consolida com o levantamento de hipóteses, com discussão e 
com experimentação; por isso, a escola precisa se transformar em um espaço de exploração da realidade 
da criança. A aprendizagem matemática deve estar inserida nesse contexto, uma vez que a criança 
apreende o conceito de número por meio de diferentes estratégias didáticas que devem ser planejadas 
pelo professor para esse fim. 
Nessa perspectiva, cabe ao professor ser um mediador, e o seu papel está associado a: 
 
Resposta 
Correta: 
UTILIZAR A ATIVIDADE DA CRIANÇA DE MANEIRA A PROMOVER O SEU APRENDIZADO, 
LEVANDO-A A PENSAR A RESPEITO, POIS A QUALQUER MOMENTO SE APRENDE 
MATEMÁTICA, JÁ QUE É UMA CIÊNCIA QUE SE UTILIZA DAS CAPACIDADES HUMANAS 
PARA RESOLUÇÕES DE PROBLEMAS. 
Comentário da 
resposta: 
O professor precisa ser mediador no processo de aprendizagem, possibilitando o 
desenvolvimento da curiosidade e o interesse pela interpretação de fenômenos que 
ocorrem no meio, observando as respostas das crianças para qualquer situação e 
instigando-as a pensar sobre suas soluções. 
 
 
 
 
O conhecimento sobre os números e o conhecimento acerca da matemática se desenvolveram juntos 
pela humanidade. No início não havia o conceito de número, este era o nome dado a conjuntos de objetos. 
Mas com o passar dos tempos, ele foi separado dos objetos e se tornou abstrato. Assim, com o 
desenvolvimento das operações, o processo de contar teve de ser sistematizado. Cada civilização 
desenvolveu um modo próprio e foi dispondo os números em grupos convenientes, ordenando pelo 
processo de correspondência empregado. O método consistia em escolher certo número como base e 
atribuir nome a ele; assim, para os números maiores que a base os nomes são combinações dos nomes já 
escolhidos. 
Com base nestas informações, podemos afirmar que elas abordam o desenvolvimento do(s): 
 
Resposta Correta: SISTEMA DE NUMERAÇÃO. 
Comentário da 
resposta: 
O sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras desenvolvidos por uma 
comunidade em uma região para representar números e quantidades de acordo com 
as conveniências criadas pelos povos dessa região. 
 
 
 
 
Leia com atenção o trecho a seguir. 
“Uma das noções fundamentais da Matemática, a ideia de número, foi construída e aperfeiçoada ao longo 
de muitos séculos. Surgiu da necessidade humana de conhecer o mundo e nele sobreviver. Foi dessa 
necessidade e utilizando objetos para a contagem que a humanidade começou a construir o conceito de 
número. […] De acordo com Piaget e Szeminska (1981), a criança constrói progressiva e interiormente a 
capacidade de contar com sucesso os objetos e essa capacidade só se consolida quando ela consegue 
coordenar várias ações sobre os objetos […] Conhecer ‘de cor’ a sequência de palavras utilizadas na 
contagem não significa já ter construído a estrutura de número”. 
NOGUEIRA, C. M. I. Pesquisas atuaissobre a construção do conceito de número: para além de 
Piaget? Educar em Revista, Curitiba, n. especial 1/2011, p. 109-124, 2011. 
A aquisição do conceito de número pela criança se assemelha à construção do conceito de número pela 
humanidade. Assim, baseado no trecho anterior, é correto afirmar que: 
 
Resposta 
Correta: 
A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO É PROCESSUAL E PARTE DA IDEIA DE 
ORDEM E ORGANIZAÇÃO; TRATA-SE DE UMA ESTRUTURA MENTAL QUE SE 
DESENVOLVE COM ESTÍMULOS À OBSERVAÇÃO DA QUANTIFICAÇÃO DE OBJETOS. 
Comentário da 
resposta: 
A construção do conceito numérico se baseia em estruturações mentais, e a observação 
de objetos é essencial para a quantificação. A relação mantida pela criança com o 
mundo ao redor faz com que desenvolva os conceitos adequados à construção do 
número. Assim, ao contar, ela começa a construir internamente o conceito de número. 
 
 
 
 
Leia com atenção o trecho a seguir. 
“A percepção de quantidade, naturalmente presente em crianças de pouca idade – que revelam reconhecer 
que um conjunto de três objetos é maior do que um de dois objetos –, é o início do senso numérico. Já numa 
etapa mais avançada, outro exemplo de senso numérico é o controle de quantidades sem o uso de números, 
como na história do pastor que fazia cada ovelha corresponder a uma pedrinha. É importante notar que em 
ambos os exemplos estão presentes as ideias de correspondência, de sequenciação, de classificação, de 
comparação”. 
LORENZATO, S. Que matemática ensinar no primeiro dos nove anos do ensino fundamental? Disponível em: <http://alb.com.br/arquivo-
morto/edicoes_anteriores/anais17/txtcompletos/sem07/COLE_2698.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2016. 
 
É importante compreender o significado de cada um desses processos, que podem se referir a objetos, 
situações ou ideias. Tendo como referência o texto apresentado e considerando o texto-base da disciplina, 
relacione cada um dos processos básicos indicados abaixo com as respectivas descrições. 
 
 
 
 
 
1. CORRESPONDÊNCIA 2. COMPARAÇÃO 3. CLASSIFICAÇÃO 4. SEQUENCIAÇÃO 
 
( ) É o ato de separar em categorias, de acordo com semelhanças ou diferenças. CLASSIFICAÇÃO 
( ) É o ato de fazer suceder a cada elemento um outro, sem considerar a ordem entre eles; portanto, é 
ordenação sem critério preexistente. SEQUENCIAÇÃO 
( ) É o ato de reconhecer diferenças ou semelhanças. COMPARAÇÃO 
( ) É o ato de estabelecer a relação, por exemplo, de ‘um a um’. CORRESPONDÊNCIA 
 
Assinale a alternativa que representa a sequência correta. 
Resposta Correta: 3, 4, 2, 1. 
Comentário 
da resposta: 
CORRESPONDÊNCIA é o ato por meio do qual se torna possível se estabelecer a relação. 
Exemplos: um prato para cada pessoa; cada pé com seu sapato; a cada aluno, uma carteira. 
Mais tarde, a correspondência será exigida em situações do tipo: a cada quantidade, um 
número (cardinal); a cada número, um numeral; a cada posição (numa sequência ordenada), 
um número ordinal. 
COMPARAÇÃO é o ato em que as diferenças ou semelhanças são identificadas. Exemplos: 
esta bola é maior que aquela; moro mais longe que ela; somos do mesmo tamanho? Mais 
tarde, virão: quais destas figuras são retangulares? Indique as frações equivalentes. 
CLASSIFICAÇÃO consiste na separação em categorias, conforme as diferenças e as 
semelhanças; para tanto, escolhe-se uma qualidade que servirá para estabelecer a 
classificação. Exemplos: na escola, a distribuição dos alunos por séries; arrumação de 
mochila ou gaveta; dadas várias peças triangulares e quadriláteras, separá-las conforme o 
total de lados que possuem. 
SEQUENCIAÇÃO é o ato que, sem levar em conta a ordem entre eles, consiste em fazer 
suceder a cada elemento um outro; portanto, é ordenação sem critério preexistente. 
Exemplos: chegada dos alunos à escola; entrada de jogadores de futebol em campo; compra 
em supermercado; escolha ou apresentação dos números nos jogos loto, sena e bingo. 
 
 
 
 
Leia com atenção o texto a seguir. 
“Atividade: Pagando 628 reais 
O professor pode dividir a classe em grupos, apresentar uma caixa com notas de 100, 10 reais e moedas de 1 
real a cada um e deixar que cada grupo decida como poderá pegar 628 reais, por exemplo, de que precisa. Ele 
acompanha os grupos, mas sem muita interferência, deixando que apareçam estratégias diferentes, que 
depois serão discutidas em conjunto. Pode haver uma ideia de começar, por exemplo, contando notas de 10. 
Nesse caso, por estarem acostumados a contar de 10 em 10, talvez eles prossigam nessa contagem, dizendo: 
dez – vinte – trinta – … – cem – cem e dez (o professor pode interferir no grupo, ensinando o nome correto) 
– cento e vinte – cento e trinta... Outras ideias podem aparecer. Algum grupo, por exemplo, pode ter ideia de 
pegar as notas de 100 primeiro. Ao final, o professor pode narrar o que viu, pedindo a interferência dos grupos 
para dizer coisas que ele não viu. Deverá verificar de qual ou quais processos a turma gosta mais”. 
BERTONI, N. E. Educação e linguagem matemática II. Brasília: Universidade de Brasília, 2007. p. 25. 
 
Analise as afirmações seguintes que podem representar os objetivos da atividade apresentada. 
I. Estimular o desenvolvimento da noção de conservação. 
II. Compreender os números formados por dezenas, centenas e unidades. 
III. Desenvolver a noção de agrupamentos por critérios matemáticos. 
IV. Desenvolver a seriação e contagem dos números naturais. 
V. Incitar a decomposição de números. 
Está correto o que se diz em: 
 
Resposta Correta: II, III E V APENAS. 
Comentário da 
resposta: 
A afirmativa I está incorreta, pois o objetivo proposto deve ser trabalhado para crianças no 
início do desenvolvimento da aquisição do conceito de número, e a atividade já está em 
níveis mais complexos do pensamento matemático. 
A afirmativa II é correta, pois esse objetivo pode ser alcançado com a atividade, pois as 
crianças já dominam conhecimentos de números e podem, intuitivamente, agrupá-los. 
A afirmativa III está correta, pois ao apresentar a composição do valor de 10 em 10 – ou de 
100 em 100 como é esperado, por exemplo –, a criança desenvolve estratégias de 
agrupamento por padrões matemáticos. Os critérios apresentados devem ser 
estabelecidos com base em pressupostos matemáticos, com raciocínio lógico sob pano de 
fundo. 
A afirmativa IV está incorreta, pois a seriação e contagem precedem esse tipo de estímulo, 
ou seja, para o professor trabalhar a atividade apresentada é necessário que esses conceitos 
já tenham sido desenvolvidos. 
Por fim a afirmativa V está correta, pois é com esse tipo de atividade que as crianças 
começam a entender a possibilidade de decomposição de um número. 
 
 
 
Lei atentamente o trecho a seguir. 
“Um número é par quando o numeral termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Na Roma antiga não existia número par 
porque não existiam 0, 2, 4, 6 ou 8, que são invenções posteriores. Ou existia número par? Existia, claro! O 
número XVI termina em I e é par, XXIV termina em V e é par, CLIX termina em X e é ímpar. É muito 
importante sabermos a diferença entre número e numeral. […] O número é uma noção de quantidade só 
existente nos neurônios de quem a construiu. Número não pode terminar em 0, 2, 4, 6, ou 8. O numeral, 
sim! quando escrito com os nossos algarismos usuais. Todos concordamos que o rigor matemático é 
necessário, mas também que uma linguagem simples é conveniente para o aluno e para todos”. 
ROSA, E. Número ou Numeral? Revista do Professor de Matemática, n. 44, p. 41, 2000. Disponível 
em: <http://matinterativa.com.br/Artigos/NumeroNumeral.pdf>.Acesso em: 21 jun. 2016. 
 
 
O texto aborda a diferença entre número, algarismos e numerais. Analisando-o e considerando os 
conceitos apresentados, examine as afirmativas a seguir. 
I. Número é ideia, numeral é símbolo (de número). 
II. Numerais diferentes podem representar o mesmo número. 
III. Numerais são representações de um número. 
IV. Números são símbolos numéricos utilizados para expressaruma quantidade. 
V. Algarismos representam quantidades e contagens. 
 
Está correto o que se diz em: 
 
Resposta Correta: I, II E III APENAS. 
Comentário da 
resposta: 
A afirmativa I é correta, pois o número é conceito e representa a quantidade que nos 
vem à cabeça. 
A afirmativa II é correta, porque os números podem ser representados de variadas 
formas em diferentes comunidades e tempos históricos. 
A afirmativa III é correta, pois todo numeral é a representação de um número, seja 
escrita, seja falada, seja digitada etc. Assim, as representações numéricas são distintas 
do número e seu conceito, numeral diz respeito à grafia, à forma pela qual registramos 
o conceito que temos de número 
A afirmativa IV está incorreta, pois os símbolos são os algarismos que representam os 
números e não os números em si. 
A afirmativa V está incorreta, pois a definição está alinhada ao conceito de número e 
não de algarismo. 
 
 
 
 
 
Leia com atenção o trecho a seguir. 
“Apesar desta distinção entre a abstração empírica e a abstração reflexiva, Piaget afirma que no âmbito 
da realidade psicológica da criança uma abstração não existe sem a outra. Pois para que uma criança possa 
construir a relação diferente ela precisa observar propriedades de diferença entre os objetos. E também 
para construir o conhecimento físico ela necessita de um sistema de referência lógico-matemático que 
lhe permita relacionar novas observações com um conhecimento já existente. Segundo Kamii (1990), a 
construção do conceito de número foi proposta por Piaget como uma composição de dois tipos de 
relações, elaborada pela criança através da abstração reflexiva. Essas relações são denominadas por 
Piaget como ordem e inclusão hierárquica. 
OLIVEIRA, K. B. A. de; SILVA, A. C. da. Construção do Conceito de Número: uma análise de atividades 
matemáticas desenvolvidas pelo Subprojeto PIBID / UFMT / CUR nas escolas do Ensino Fundamental de 
Rondonópolis. Revista Eventos Pedagógicos, v. 6, n. 2, p. 316, jun./jul. 2015. 
Relacionando as ideias de ordem com os números ordinais e de inclusão hierárquica com os números 
cardinais, podemos afirmar que: 
 
Resposta 
Correta: 
ESSES ASPECTOS SIMULTÂNEOS DA FUNÇÃO DO NÚMERO FAZEM COM QUE O 
INDIVÍDUO DESENVOLVA A CAPACIDADE DE EMPREGAR EXPRESSÕES COMO “MAIS 
QUE”, “TANTO QUANTO”, “MENOS QUE”. 
Comentário da 
resposta: 
Os aspectos cardinais e ordinais acontecem simultaneamente, por isso o indivíduo tem 
estabelecido o conceito de número ao estar com aspectos desenvolvidos, uma vez que 
para quantificar é preciso antes ordenar para contagem. 
 
 
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Matemática normalmente é aquela disciplina que divide opiniões: uns amam, outros nem tanto! Nessa 
perspectiva, nossa disciplina abordará como trabalhar a Matemática na Educação Infantil, desde a maneira como 
a criança elabora e constrói seu pensamento até as orientações do RCNEI e da BNCC a fim de mudar esse 
paradigma em relação à disciplina. 
Jean Piaget é um educador que explica como o pensamento da criança compreende o mundo que a cerca, ela 
possui uma lógica própria com características interessantes, observe: 
Egocentrismo: a forma de organizar o mundo apoia-se em um estado de confusão entre o “eu” e o mundo 
externo. Seus julgamentos são sempre absolutos,e a criança é insensível aos argumentos contrários às suas 
afirmações. 
Animismo: decorrente do egocentrismo, a criança estende suas vivências pessoais a brinquedos, animais e objetos. 
É como se ela atribuísse uma “alma humana” a todas as coisas. Ela se machuca ao bater em uma mesa e briga com 
a mesa: " Mesa feia!'. 
Irreversibilidade de pensamento: A criança analisa as coisas pela percepção imediata. Seu raciocínio baseia-se no 
todo ou em uma característica específica, não conseguindo ordenar objetos pela classificação. Ela não tem o " ir e 
vir do pensamento" . 
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Vamos recordar os 3 conceitos primordias de Piaget que muito influenciam no pensamento lógico da criança: 
Egocentrismo: o raciocínio da criança nessa fase é muito influenciado por 
suas próprias vontades e desejos, principalmente entre os 2 e 4 anos de idade. 
Suas percepções e explicações refletem apenas um ponto de vista, ou seja, o 
seu. 
Animismo: decorrente do egocentrismo, a criança estende suas vivências pessoais 
a brinquedos, animais e objetos. É como se ela atribuísse uma “alma humana” 
a todas as coisas. São os desenhos com "carinhas". Quando a criança se machuca e briga com o objeto: " cadeira 
boba, mesa má". 
 
Irreversibilidade de pensamento: outra consequência do egocentrismo decorre 
da incapacidade de chegar a sínteses. A criança analisa as coisas pela percepção 
imediata. Seu raciocínio baseia-se no todo ou em uma característica 
específica, não conseguindo ordenar objetos pela classificação. A irreversibilidade 
de pensamento faz com que uma sequência de raciocínio não volte ao ponto 
de partida e nem opere com relações. 
 
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Ler os números, compará-los e ordená-los são processos indispensáveis para a compreensão do significado da 
forma numérica. Ao se encontrar com números em diferentes contextos, a criança é desafiada a aprender, a 
desenvolver o seu próprio pensamento e a produzir conhecimentos. Nem sempre um mesmo número representa 
o mesmo valor, pois depende do contexto. Ler e escrever os números até nove é fácil e simples. A partir daí, precisa-
se tomar muito cuidado, pois os números começam a se repetir para formar. 
Lembrem-se de que a transformação das dez unidades em 1 dezena para as crianças não é uma tarefa fácil, pois 
eles ainda estão no período pré-operatório. 
A resolução de problemas na Educação Infantil permite: 
• fazer o aluno pensar produtivamente, desenvolvendo o seu raciocínio; 
• ensinar o aluno a enfrentar situações novas em que possa aplicar a matemática resolvendo problemas; 
• dar uma boa base matemática às pessoas. 
 
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As imagens a seguir mostram o material semissimbólico e a formação de números: 
 
Outro tema valioso que solidifica a base matemática da criança é o trabalho com a estatística com a construção de 
gráficos a partir de situações reais, observações feitas ou brincadeiras em sala de aula. 
" Atualmente a estatística tem se apresentado como um importante canal de obtenção de dados e, no mundo todo, 
temos instituições coletando, organizando e divulgando dados das mais diversas áreas. Com a presença da internet 
cada vez mais forte, esses dados estão cada vez mais acessíveis e é preciso que saibamos trabalhar com eles desde 
cedo. Assim, o ensino da Estatística na Educação Infantil apresenta-se como importante e necessário à formação 
dos futuros cidadãos". 
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As noções de número, numeral e algarismo 
 passar o lápis sobre o pontilhado; 
 colar bolinhas de papel crepom 
 escrita repetida de um numeral e/ou sequências numéricas; 
 enfeitar numerais dando-lhes aspectos de animais ou objetos. 
 
Concreto X Abstrato A matemática é uma “ciência” abstrata. 
Antigamente pesquisas afirmavam que antes dos 7 anos de idade as crianças não possuíam recursos para abstrair 
qualquer conceito. 
Atualmente é aceito o desenvolvimento da abstração em todas as etapas do desenvolvimento, desde que as 
ações do mundo físico (concreto) tenham algum significado na representação formal (abstrato). 
 
Algarismo, numeral e número 
 Algarismos: são símbolos usados na representação de números. 
 Numeral: é um substantivo que significa classe depalavras que indica uma quantidade exata de pessoas 
ou coisas, ou que indica o lugar que ocupam numa série. 
 Número: é um substantivo que significa palavra ou símbolo que expressa uma quantidade. 
 
Como trabalhar esses conceitos? 
As representações utilizadas pelos alunos variam de acordo com o desenvolvimento cognitivo de cada um. 
No início os alunos podem representar as quantidades através de traços ou pequenos círculos para representar, 
por exemplo, as quantidades de pontos numa brincadeira. 
As intervenções do professor devem ter como objetivo final a transposição dessas representações para a 
utilização dos algarismos indo-arábicos. 
Para isto o professor deve valer-se do cotidiano em que o aluno está inserido apresentando as diversas formas 
em que tais algarismos aparecem no dia-a-dia 
 
Cardinal X Ordinal 
Durante a aprendizagem da notação dos algarismos o professor deve explicitar a utilização dos mesmos para 
contagens (cardinal) e para ordenação dos elementos de um conjunto (ordinal). 
Para isto o professor pode desenvolver as atividades: 
 Coleção de tampinhas de garrafa (cardinal); 
 Utilização da fita métrica (ordinal). 
O Conceito de Número O que é número? 
Quando perguntamos a um grupo de pessoas o que é número, notamos a princípio certo constrangimento. 
Realmente, é estranho não termos, na ponta da língua, uma definição para algo tão familiar. Usamos números o 
tempo todo em nossa vida: para tomar um ônibus, fazer um pagamento, encontrar um endereço, saber a idade 
da vizinha... 
Diante dessa pergunta, aos poucos as pessoas começam a organizar as ideias, e surgem respostas como: “É 
quantidade”; “É um símbolo”; “É um símbolo que representa uma quantidade”. Em geral, alguém corrige: “O 
símbolo não é número; é numeral”. E você? Qual é a sua própria definição de número? 
Até cerca de 1960, a maior parte dos professores de matemática se limitava a transmitir aos alunos noções 
relativas ao chamado conhecimento social, como as palavras e os símbolos que designam as quantidades e a 
contagem de rotina. Como não tinham muito claro o conceito de número, sentiam dificuldade em ajudar a 
criança a construí-lo. A partir desse período, contudo, o movimento Matemática Moderna originou uma série de 
mudanças no currículo. No mundo todo passou-se a enfatizar a importância da teoria dos conjuntos no ensino da 
matemática desde a fase elementar, e ganharam espaço as pesquisas de Piaget relativas à construção do número 
pela criança. 
Para representar um número, a criança pode inventar um símbolo, pois este guarda semelhanças com o objeto 
representado (por exemplo, ○○○ ou III ou *** para representar a quantidade “três). Já o signo é criado por 
convenção e não guarda nenhuma semelhança com o objeto representado (por exemplo, o numeral 3 e a palavra 
falada “três). 
Alguns professores adotaram a definição de número como “a designação de uma classe de coleções que têm a 
mesma quantidade de elementos (aspecto cardinal) e que ocupa certa posição em uma série (aspecto ordinal) 
(SANTOS, 1990; 26). 
Concluíram, assim, que o trabalho com noções ligadas a conjuntos facilitava a construção do conceito de número 
pela criança. 
O que se viu, no entanto, foi um trabalho puramente teórico e abstrato, no qual se priorizava a representação 
simbólica ∈, ⊂, , ∅, ∩, ∪, etc. , algo que os alunos das séries iniciais não tinha condições de acompanhar. 
 
É a adição sucessiva de uma unidade. (KANT, 1724 – 1804) 
O Conceito de Número 
Se não tiver, não se preocupa. Grandes pensadores também enfrentaram essa dificuldade, e nem sempre 
estiveram de acordo sobre o assunto, como mostram os exemplos a seguir: 
É a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie. (BALTZER, 1814 – 1887) 
É a adição sucessiva de uma unidade. (KANT, 1724 – 1804) 
É uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos uma abstração. (BROUTROUX, 1845 – 1921) 
É a classe de todas as classes equivalentes a uma classe. (RUSSEL, 1872 – 1970) 
 
Jean Piaget (1896 – 1980) 
O mais influente pensador no campo da Educação durante a segunda metade do século XX. 
Não existe método de Piaget para educar. 
Nunca foi pedagogo, era biólogo utilizando a ciência para observar o processo de aquisição do conhecimento no 
ser humano, particularmente na criança. 
Criou um campo chamado epistemologia genética, ou seja, uma teoria do conhecimento centrada no 
desenvolvimento natural da criança. 
Vem de Piaget a ideia de que o aprendizado é construído pelo aluno, inaugurando a corrente construtivista. 
Com Piaget, fica claro que as crianças não raciocinam como os adultos, inserindo gradualmente regras, valores e 
símbolos através da assimilação e acomodação (exemplo da ave como animal voador). 
 
A síntese da ordem e da inclusão hierárquica 
O número (Piaget) é uma síntese de dois tipos de relação que a criança elabora entre os objetos (por abstração 
reflexiva): uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica.1 1 10 6 3 3 2 2 8 4 4 6 7 9 7 8 5 5 
 
Ordem 
Na primeira situação a criança não sente necessidade de colocar os objetos numa determinada ordem para 
assegurar-se de que não salta nenhum nem conta o mesmo objeto duas vezes. 
Contudo não é necessário que a criança coloque os objetos literalmente numa ordem espacial para arranjá-los 
numa relação organizada, conforme visto na segunda situação. 
Se a ordenação fosse a única operação mental da criança sobre os objetos, estes não poderiam ser quantificados, 
uma vez que a criança os consideraria apenas um de cada vez, em vez de um grupo de muitos ao mesmo tempo. 
 
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Aprender Matemática através de resolução de problemas 
A resolução de problemas permite que estudantes desenvolvam o pensamento matemático de maneira ativa. 
Entenda passo a passo como isso pode ser feito 
Um problema é uma tarefa para a qual não se possui um esquema, uma estratégia ou um algoritmo previamente 
definido. Demanda-se um certo esforço intelectual no delineamento da estratégia de solução, a qual poderá 
combinar esquemas anteriores e/ou produzir novos. Chamamos de problemas matemáticos aqueles cujas 
soluções demandam ideias, conceitos e/ou algoritmos pertencentes à disciplina matemática. 
Uma tarefa em si não é um problema matemático, mas depende de quem se depara com ela. Imaginemos, por 
exemplo, a seguinte tarefa: escreva frações equivalentes a 3/5. Este pode ser um exercício para um aluno do 9o ano 
do Ensino Fundamental que já foi exposto ao conteúdo, mas seria um problema para um aluno, por exemplo, do 
2o. ano do Ensino Fundamental. 
Como é bem sabido, a Matemática (científica) se desenvolve e produz conhecimentos a partir de problemas da 
vida diária, das profissões, das ciências, bem como aqueles internos à própria disciplina. Por analogia, a ideia de 
resolução de problemas foi pensada como uma forma de organizar pedagogicamente a aprendizagem de 
Matemática na escola. 
Uma das referências clássicas à resolução de problemas é o livro A Arte de Resolver Problemas, publicado 
originalmente em 1945 pelo matemático George Polya (POLYA, 1978). A obra inspirou movimentos de reforma 
curricular de Matemática em diversos países nos anos 1970 e 1980 (VALE; PIMENTEL; BARBOSA, 2015; FELMER; 
PEHKONEN; KILPATRICK, 2016). 
Há muitos argumentos para organizar as aulas de Matemática em torno da resolução de problemas. Destaco, aqui, 
algumas das razões citadas pelas pesquisadoras brasileiras Lourdes de la Rosa Onuchic e Norma Suely G. Allevato 
(2011): mobilizar a atenção e o pensamento matemático dos estudantes; possibilitar o uso de diferentes 
estratégias; desenvolver a crença de que os estudantes são capazes de fazer Matemática e propiciar a 
compreensão de conceitos matemáticos. 
A resolução de problemas pode figurar de diferentes maneiras no currículo. Para alcançar suas potencialidades, é 
importante que a resolução de problemas não seja isolada das demais atividades. Assim, corroboro o argumento 
posto por Onuchice Allevato (2011) de ensinar e aprender Matemática através da resolução de problemas. 
Para ilustrar, vou relatar brevemente uma aula da Profa. Noêmia em uma turma do 9o. ano do Ensino Fundamental, 
que tive a oportunidade de acompanhar em uma escola estadual na cidade de Salvador. De início, ela distribuiu 
uma folha de tarefa, a qual foi adaptada de uma disponível no portal do Observatório da Educação Matemática da 
Universidade Federal da Bahia e Universidade Estadual de Feira de Santana (www.educacaomatematica.ufba.br). 
 
http://www.educacaomatematica.ufba.br/
Os estudantes foram solicitados a lerem a tarefa. A seguir, a professora coordenou uma pequena discussão com 
as questões desse tipo: o que vocês leram? O que diz a tarefa? Qual é a questão? Que dados constam na tarefa? 
etc. Na sequência à tempestade de ideias, os estudantes foram organizados em grupos de três ou quatro. 
Enquanto os estudantes trabalhavam na resolução do problema, a professora aproximava-se dos grupos para fazer 
questionamentos do tipo “como vocês estão resolvendo?”, “por que desse jeito?”, “o que você acha se...?”, “e vocês 
observaram isso aqui?”, etc. Tratam-se de questões para incentivar os estudantes na solução do problema, bem 
como provocá-los a aprofundar a reflexão sobre suas estratégias. Esta fase é a mais demorada e, dependendo da 
complexidade do problema, pode durar uma, duas ou mais horas. 
Depois que os estudantes produziram suas soluções, os grupos de alunos foram solicitados a mostrá-las na lousa. 
Com isso, a professora Noêmia coordenou a discussão sobre as diferentes formas de abordar o problema. É a partir 
desse momento que a professora pôde formalizar a fórmula para o cálculo da soma das medidas dos ângulos 
internos de um polígono convexo. 
A aula da professora Noêmia ilustra como a aprendizagem de Matemática dá-se através da resolução de um 
problema. Nesse caso, como se vê, a tarefa foi propositadamente escolhida para trabalhar com os estudantes um 
tópico específico previsto no programa escolar. Porém, também pode ser um problema mais aberto que não fosse 
voltado para os conteúdos previstos no programa escolar. 
A sequência da aula da professora Noêmia foi similar àquela recomendada por Onuchic et al. (2014): proposição 
do problema; leitura da tarefa; resolução do problema; observar e incentivar; registro das soluções na lousa; 
plenária; busca do consenso; formalização do conteúdo. Após isso, o professor pode propor exercícios para 
consolidar o novo conhecimento e/ou problemas mais complexos. 
Como nos lembra Skovsmose (2000), um problema matemático pode ser formulado em termos da Matemática 
pura, como o exemplo acima. Mas, também pode ser com referência na realidade, que são aqueles externos à 
disciplina Matemática. Por exemplo, se a professora propusesse aos estudantes decidir sobre o melhor pacote de 
acesso à Internet disponível na cidade em que moram. E, por fim, há problemas que são fictícios, ou seja, não 
existem no dia a dia, mas fazem menção a fatos da realidade. É o que Skovsmose (2000) chamaria de 
semirrealidade, como esse problema: a cidade A possui 100.000 habitantes, a cidade B, 50.000 habitantes e a 
cidade C, 30.000; supondo que o governo federal enviará 20 médicos para as três cidades, quantos deles serão 
alocados em cada cidade? Trata-se de um problema criado para fins educacionais, apesar de encontrarmos 
análogos no dia a dia. 
Nas conversas com os colegas professores, uma questão levantada com frequência é onde encontrar problemas 
para organizar as atividades de sala de aula. Além de diversas fontes disponíveis na Internet, sempre menciono os 
livros didáticos, desde que convertamos exercícios em problemas. Tomemos um exercício daquele tópico para o 
qual os estudantes ainda não foram expostos e transformemos no problema a ser apresentado aos estudantes para 
exploração e resolução. Desta forma, os estudantes possuem a chance de desenvolverem o pensamento 
matemático de maneira ativa, sobre o qual o professor poderá formalizar um novo conhecimento. 
*Jonei Cerqueira Barbosa – Revista Nova Escola 
 
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O jogo e seu lugar na aprendizagem da Matemática 
Nas aulas de Matemática, os jogos ajudam a criar contextos de aprendizagem significativos. Mas é preciso acertar 
na escolha e compreender como os indivíduos se relacionam com o jogo. A especialista Ana Flávia Alonço Castanho 
discute o assunto. E você aprende mais sobre jogos na NOVA ESCOLA . 
 
1. A contribuição dos jogos para a aprendizagem 
Trabalhar com jogos nas aulas de Matemática é uma das situações didáticas que contribuem para a criação de 
contextos significativos de aprendizagem para os alunos. Esta descoberta se deu no conjunto de uma série de 
transformações que o ensino experimentou nas últimas décadas, desde que professores e instituições passaram a 
pautar sua prática por uma concepção de aprendizagem segundo a qual aprender significa elaborar uma 
representação pessoal do conteúdo que é objeto de ensino - quando os alunos constroem conhecimentos em um 
processo ativo de estabelecimento de relações e atribuição de significados. 
 Ensinar passou a ser compreendido como criar condições adequadas a esse processo e à realização de 
intervenções com vistas a possibilitar avanços aos alunos. Com isso, novos critérios passaram a ser úteis para a 
tarefa do professor, como: organizar o ensino em torno de situações-problema que façam sentido para os 
estudantes e tornem necessária a construção ou reelaboração de conhecimentos para sua resolução; estabelecer 
relações com os fazeres que caracterizam o trabalho de uma determinada área de conhecimento; compreender 
as práticas culturais de uso de um determinado saber e as formas como os indivíduos, em geral, se relacionam 
com elas. 
É nesse contexto que o jogo passa a ser uma presença mais constante nas aulas de Matemática. Mas a 
experiência tem indicado que a presença do jogo, por si só, não leva à aprendizagem dos alunos. Por isso, vamos 
discutir nos capítulos seguintes que condições podem fazer do jogo um aliado do professor na organização de 
boas situações de aprendizagem. O ponto de partida é compreender o jogo como uma prática humana e social 
de relação com o conhecimento. 
 
2. As instâncias do jogo e sua relação com o conhecimento 
Macedo (2003) discute em seu texto "Os jogos e sua importância na escola" como o jogo está, segundo a teoria 
piagetiana, intimamente ligado ao processo de desenvolvimento humano (acima, veja um vídeo em que o 
professor fala sobre o uso dos jogos na aprendizagem) 
Nessa perspectiva, o desenvolvimento de cada indivíduo é marcado por três grandes instâncias de jogo: os jogos 
de exercício, em que a assimilação de novos conhecimentos, sobre si e sobre o mundo que o cerca dá-se na forma 
do prazer pela repetição dos primeiros hábitos; o jogo simbólico, em que a criança se apropria de conhecimentos 
sobre o mundo e conhece mais sobre si a partir da atribuição de diferentes significados aos objetos e as suas 
ações - em fantasias, em faz-de-contas ou na possibilidade de viver diferentes histórias; e os jogos de regras, em 
que o "como fazer" do jogo é sempre o mesmo, regulamentando uma interação entre pares - nesses jogos, a 
criança se depara com o desafio de se apropriar das regras e encontrar estratégias para vencer dentro do 
universo de possibilidades criado pelo jogo. 
As três instâncias de jogo são parte de cada um de nós, parte de nossa história pessoal e da nossa relação com o 
mundo e, por isso, em maior ou menor grau, continuam presentes ao longo de nossas vidas: 
"Compreender melhor, fazer melhores antecipações, ser mais rápido, cometer menos erros ou errar por último, 
coordenar situações, ter condutas estratégicas etc. são chaves para o sucesso. Para ganhar é preciso ser 
habilidoso, estar atento, concentrado, ter boa memória, saber abstrair, relacionar as jogadas todo o tempo" 
(Macedo. Os jogos e sua importânciana escola, 2003). 
 
3. A relação entre os homens e o jogo 
A relação do homem com o jogo, enquanto prática cultural, remonta ao início de sua história. A espécie humana, 
em todas as épocas e em todas as culturas, construiu muitas e variadas formas de jogar, permitindo, tanto aos 
mais novos se apropriarem de saberes culturais importantes - muitas vezes essenciais para sua inserção naquela 
determinada sociedade -, quanto aos já adultos usufruírem de um espaço de lazer e descanso. 
Alguns desses jogos envolvem conhecimentos que são alvo da preocupação da escola hoje, como a contagem, 
presente nos mais variados jogos de percurso, o cálculo mental, necessário para vencer no "Sjoelback" (ou bilhar 
holandês) ou no "Fecha a Caixa", a localização espacial presente nos jogos de batalha naval. Mas, embora o 
próprio processo de desenvolvimento humano crie condições para a compreensão dos jogos de regras, as 
características do jogo, enquanto objeto cultural que remete aos momentos de diversão e lazer, fazem com que a 
relação de cada um com os jogos de circulação social seja regida por preferências pessoais e contextos de 
convivência. 
Assim, embora existam jogos que ponham em evidência conhecimentos valorizados pela escola, não é esperado, 
socialmente, que todos joguem bem todos os jogos nem que todos superem suas dificuldades iniciais e se 
apropriem de estratégias para jogar bem esses jogos. 
Dessa forma, há uma primeira dificuldade na relação da escola com os jogos, pois a experiência social deixa claro 
que, na ausência de uma intervenção sistemática, pautada em preocupações e compromissos educativos, se 
perpetua a divisão entre bons e maus jogadores. E a escola nunca pode naturalizar a divisão entre bons e maus 
alunos, sob pena de não ser mais escola. 
 
4. O jogo como via de acesso a conhecimentos 
A despeito dessa dificuldade em relacionar as características de um objeto cultural de lazer e entretenimento 
com as preocupações escolares, muitos estudiosos defendem a presença do jogo na escola, argumentando que 
para a criança em idade escolar, o jogo, nas suas diferentes formas, é uma excelente via de acesso a novos 
conhecimentos, porque além de tornar significativo o encontro com novos saberes, também cria um contexto em 
http://revistaescola.abril.com.br/jean-piaget/
http://revistaescola.abril.com.br/jean-piaget/
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/sjoelbak-428032.shtml
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/sjoelbak-428032.shtml
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/feche-caixa-428064.shtml
que se apoderar desses conhecimentos tem uma razão mais próxima do ponto de vista infantil - ir bem no jogo - , 
além da razão que a escola sempre lhe apresenta, que é preparar-se para a vida futura. 
Segundo Ortiz (2005), um estudioso espanhol desse tema, as próprias características do jogo o constituem como 
um excelente veículo de aprendizagem e comunicação, especialmente para as crianças, que têm a oportunidade 
de envolver-se com a própria aprendizagem, participando ativamente de todo o processo educativo. Esse autor 
ressalta que o acesso ao jogo ao longo do processo educativo é considerado, hoje, um direito inalienável, segundo 
a Declaração Universal dos Direitos das Crianças: 
"A criança desfrutará plenamente do jogo e das diversões, que deverão estar orientados para finalidades 
perseguidas pela educação; a sociedade e as autoridades públicas se esforçarão para promover o cumprimento 
desse direito" (Ortiz, J. P. Aprendizagem através do jogo). 
Assim, pode-se considerar que dar ao jogo um justo lugar dentro da escola, relacionando-o com conteúdos 
importantes de aprendizado, é uma forma de respeitar o modo como as crianças aprendem, dando a todos os 
alunos a chance de se relacionar com o conhecimento de uma forma mais prazerosa, significativa e produtiva. 
Mas, o que significa dar ao jogo "um justo lugar dentro da escola"? Uma primeira resposta é a que já foi apontada 
acima: criar condições para que todos os alunos aprendam, para que o jogo seja uma instância que favoreça o 
avanço de seus conhecimentos. Outra resposta, imprescindível, também, é que o jogo se relacione com os 
objetivos curriculares e as necessidades de aprendizagem dos alunos. Ou seja, dar ao jogo seu justo lugar dentro 
da escola implica perguntar se o jogo em questão cria condições para as aprendizagens específicas que se quer 
promover. 
 
5. O jogo como recurso para a realização de objetivos curriculares 
Para que o trabalho com jogos matemáticos na escola possa se constituir como base para uma boa relação com o 
conhecimento, é preciso ter em mente que: 
"O jogo é, por natureza, uma atividade autotélica, ou seja, que não apresenta qualquer finalidade ou objetivo fora 
ou para além de si mesmo. Nesse sentido, é puramente lúdico, pois as crianças precisam ter a oportunidade de 
jogar pelo simples prazer de jogar, ou seja, como um momento de diversão e não de estudo. Entretanto, 
enquanto as crianças se divertem, jogando, o professor deve trabalhar observando como jogam. O jogo não deve 
ser escolhido ao acaso, mas fazer parte de um projeto de ensino do professor, que possui uma intencionalidade 
com essa atividade" (Ana Ruth Starepravo. Jogando com a Matemática: números e operações). 
A ideia de que "o jogo não deve ser escolhido ao acaso" é a marca fundamental do trabalho escolar. É 
imprescindível - se se quer fazer do jogo um contexto de aprendizagem - perguntar-se sobre o que o jogo 
permite ensinar, sobre qual conteúdo matemático é posto em destaque no jogo, sobre como isso se relaciona 
com as necessidades de aprendizagem dos alunos naquele momento, sobre que outras situações de ensino 
podem-se articular às situações de jogo, sobre como sistematizar e institucionalizar o conhecimento posto em 
ação e, com isso, relacioná-lo às aprendizagens previstas no currículo. 
A intencionalidade do professor, tão bem apresentada nas palavras de Ana Ruth Starepravo, é a marca que 
distingue as situações de jogo vividas no meio social e as situações escolares de aprendizagem a partir do jogo. 
Para fazer valer essa intencionalidade, é fundamental que o professor parta das estratégias de cálculo utilizadas 
inicialmente pelas crianças em suas jogadas, de seus procedimentos, de suas dúvidas e acertos e planeje 
atividades e intervenções desafiadoras a partir disso, a fim de que seus alunos possam avançar nos 
conhecimentos em questão. 
Esse espaço para intervenção do professor que o trabalho com jogos matemáticos possibilita é precioso, segundo 
Cecília Parra. Esta autora aponta que um trabalho intencional e reflexivo, por parte dos professores, com jogos na 
aula de Matemática permite "maiores oportunidades de observação, a possibilidade de variar as propostas de 
acordo com os níveis de trabalho dos alunos e inclusive de trabalhar mais intensamente com aqueles que mais o 
necessitam". Ou seja, é a partir da intervenção do professor que os jogos matemáticos se transformam em 
contextos de aprendizagem para os alunos. 
Isso ocorre nas ocasiões em que o professor organiza sequências de atividades a partir do jogo, de forma que os 
alunos possam: tomar consciência do que sabem; reconhecer a utilidade (economia, segurança) de utilizar 
determinados recursos (resultados memorizados, procedimentos etc.); ter uma representação do que se deve 
conseguir e do que precisa saber; "medir" seu progresso; escolher, entre diferentes recursos, os mais pertinentes; 
serem capazes de fundamentar suas opções, suas decisões; estabelecerem relações entre os conhecimentos 
postos em destaque no jogo e os conhecimentos escolares. 
Assim, o que caracteriza o jogo como contexto de aprendizagem escolar é que na escola, diferentemente da vida 
social, o jogo não se encerra em si mesmo, não se justifica apenas pelo seu aspecto lúdico e, sim, é parte de uma 
sequência intencional de ensino, que contextualiza a resolução de problemas e o desenvolvimento de estratégiasque se relacionam com o desenvolvimento de aprendizagens importantes de uma determinada etapa; que 
respeita os diferentes ritmos de aprendizagem das crianças, mas se compromete com o avanço de todos e a 
conquista de um conjunto compartilhado de saberes. E isso só é possível com a intervenção atenta e cuidadosa 
de um professor que sabe aonde quer chegar. 
Ana Ruth Starepravo. Jogando com a Matemática: números e operações. Curitiba: Ed. Aymará, 2009. 
Cecília Parra. "Cálculo Mental na Escola Primária". In: Parra, C. & Saiz, I. Didática da Matemática: reflexões 
psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996. 
Macedo, L. Os jogos e sua importância na escola. In: Macedo, L., Petty, A. L. S. e Passos, N.C., Quatro cores, senha e 
dominó. São Paulo: Casa do Psicólogo, 2003. 
Ortiz, J. P. In: Múrcia, J.A.M. (e col.). Aprendizagem através do jogo. Porto Alegre: Editora Artmed, 2005. 
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Modelagem matemática: a Matemática do dia a dia 
Utilizar situações-problema com os alunos ajuda a engajá-los nas aulas da disciplina – Revista Nova Escola. 
 
Onde vou usar isso? Esta é uma pergunta frequente dos alunos da educação básica aos professores de Matemática. 
É um sintoma de que o ensino da disciplina não tem abordado situações de fora da escola, do cotidiano do aluno. 
Por vezes, restringe-se a exercícios altamente estruturados e artificiais, que só existem no mundo escolar e, por 
isso, geram o questionamento de onde aquele conhecimento será utilizado. 
Nas diversas esferas da vida social, no entanto, há muitos debates baseados em argumentos matemáticos, como 
sobre o impacto do aumento do preço dos combustíveis, reforma da previdência, carga tributária, impactos 
ambientais, sistema eleitoral, controle de epidemias, etc. Os cidadãos são demandados a se engajarem em tais 
debates públicos, bem como precisam tomar decisões baseadas em matemática em suas vidas privadas e/ou 
profissionais a todo momento. 
Portanto, se o objetivo da educação básica é assegurar a formação indispensável para o exercício da cidadania, as 
aulas de Matemática devem também abordar as situações não-matemáticas, expressão que aqui utilizo para 
designar aquelas que pertencem originalmente ao dia a dia, às demais ciências ou ao mundo do trabalho. É o que, 
na literatura da Educação Matemática, é comumente chamado de modelagem matemática, em analogia ao 
método dos matemáticos aplicados: a partir de um problema complexo, constrói-se uma representação 
matemática (modelo matemático) e gera-se uma solução. 
Vou ilustrar o que digo com um exemplo prático de sala de aula. Há algum tempo, diante de um novo aumento na 
tarifa do transporte público municipal na cidade de Salvador, Bahia, uma professora do 1o ano do Ensino Médio 
propôs aos alunos que determinassem o impacto do novo valor. Foi distribuída uma cópia de uma reportagem de 
jornal sobre o tema, na qual constavam o preço anterior e o novo. Fez-se uma pequena discussão a partir da leitura 
do texto jornalístico, detalhando o problema. Depois disso, os alunos foram organizados em grupos para tentar 
resolver a questão apresentada. 
Os alunos tinham que assumir hipóteses sobre a receita das famílias, o número de pessoas que utiliza o transporte 
público, a frequência de uso, etc. Como os alunos estavam organizados em diferentes grupos, eles assumiram 
diferentes hipóteses e utilizaram diferentes conhecimento matemáticos, o que, por sua vez, geraram diferentes 
soluções. “E, agora, qual é a resposta?”, perguntou a professora. Os alunos foram à lousa confrontar suas soluções 
e acabaram se engajando em uma discussão sobre o porquê das diferentes respostas. 
Quando se usa modelagem matemática, podemos encontrar diferentes soluções válidas, ainda que possamos 
discutir quais delas são mais ou menos úteis. Isso ocorre porque a situação-problema é aberta, levando os alunos a 
assumirem hipóteses, bem como quais conhecimentos matemáticos serão mobilizados para construir o modelo. 
Portanto, as soluções matemáticas dependem do processo de modelagem matemática. 
No exemplo de aula acima, os alunos puderam se engajar em discussões sobre a relação entre as hipóteses, os 
conhecimentos matemáticos mobilizados e as soluções. Trata-se do que chamo de discussões reflexivas. Para elas 
ocorrerem, é fundamental que as situações-problema sejam abertas, demandando, assim, dos estudantes 
(preferencialmente organizados em grupos) o estabelecimento de hipóteses. É provável que apareçam diferentes 
soluções, o que leva à necessidade de examinar e discutir como foram produzidas. 
Usando problemas 
Um aspecto central da modelagem matemática é a utilização de problemas. Diferentemente dos exercícios, são 
situações para as quais os alunos não possuem exemplos dados por uma exposição prévia. O início da aula não é 
uma exposição de conteúdo, mas é a apresentação do problema novo, o qual os alunos tentarão resolver com suas 
próprias estratégias. Depois do trabalho em grupo, da socialização na lousa e da sistematização do professor, este 
pode aproveitar-se das ideias matemáticas mobilizadas para introduzir ou formalizar um novo conceito ou 
procedimento matemático. 
Os problemas podem ter várias origens. As matérias de jornais são boas fontes, pois apresentam assuntos atuais 
que repercutem na sociedade (como é o caso do aumento na tarifa do transporte coletivo). É possível também que 
seja uma situação do dia a dia dos alunos, do bairro, etc, de outras disciplinas (Ciências Naturais, por exemplo) ou 
das profissões. Uma boa ideia é fazer uma parceria com os professores das outras disciplinas e, assim, identificar 
situações nas outras áreas do conhecimento que se utilizam da matemática. 
O mais importante é que os problemas sejam do interesse dos alunos. Como nos lembra o pesquisador Ole 
Skovsmose, sem interesse, não há aprendizagem. Por isso, além do próprio professor levar a situação-problema 
para a sala de aula, pode-se pedir que os alunos decidam que tema querem estudar. Neste caso, modelagem 
matemática organiza-se como um trabalho de projeto. Eles escolhem os temas, levantam informações e formulam 
seus próprios problemas. 
Seja qual for a duração, a modelagem matemática responde às interrogações dos alunos sobre os usos da 
matemática na sociedade. Isto não quer dizer que devemos reduzir o currículo da disciplina somente a tópicos com 
aplicações fora da escola. Porém, se o nosso objetivo é fomentar a cidadania, não podemos prescindir das 
situações-problema não-matemáticas nas aulas de Matemática. Em vez de educar para a Matemática, 
modelagem matemática é uma forma de educar pela Matemática. 
 
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS : 
Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos 
adquiridos em novas situações, de modo a resolver a questão proposta. 
Compreender o problema; 
✓ Destacar informações, dados importantes do problema, para a sua resolução; 
✓ Elaborar um plano de resolução; 
✓ Executar o plano; 
✓ Conferir resultados; 
✓ Estabelecer nova estratégia, se necessário, até chegar a uma solução aceitável. 
 
ETNOMATEMÁTICA 
Alguns passos são necessários serem observados para que a Etnomatemática seja incorporada no currículo 
escolar, articulando conteúdos matemáticos às experiências vividas pelos alunos. 
 
➢ Enfatiza as matemáticas produzidas pelas diferentes culturas; 
➢ Leva em consideração que não existe um único, mas vários e distintos conhecimentos e nenhum é menos 
importante que outro; 
➢ Considerando o aspecto cognitivo, revela-se que o aluno é capaz de reunir situações novas com 
experiências anteriores, adaptando essas às novas circunstâncias e ampliando seus fazeres e saberes. 
 
 
MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
✓ A modelagem matemática tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. 
✓ Procura levantar problemas que sugeremquestionamentos sobre situações de vida. 
✓ Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo. 
✓ Através da modelagem o aluno aprende matemática e não a modelagem. 
 
Espera-se: 
✓ Incentivar a pesquisa; 
✓ Promover a habilidade em formular e resolver problemas; 
✓ Lidar com temas de interesse; 
✓ Aplicar o conteúdo matemático; 
✓ Desenvolver a criatividade. 
Etapas 
✓ Escolha do tema; 
✓ Formulação (levantamento de informações); 
✓ Elaboração de um modelo matemático 
✓ Resolução do(s) problema(s) e desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema 
✓ Análise crítica da(s) solução(ões) – Validação e extensão dos trabalhos desenvolvidos 
 
Modelação matemática x Modelagem Matemática 
 
O método que se utiliza da essência da modelagem matemática chama-se Modelação Matemática. 
Norteia-se por desenvolver o conteúdo da grade curricular a partir de um modelo matemático. 
A diferença entre modelagem e modelação é que na modelagem não dá para prever inicialmente em que 
modelo se chegará nem se a matemática exigida está ao alcance do nível desejado, esses modelo se dará no 
processo. (BIEMBENGUT & HEIN, 2005). 
A modelagem parte de uma situação/tema e sobre ela desenvolve questões, que tentarão ser respondidas 
mediante o uso de conceitos matemáticos e da pesquisa sobre o tema. 
A modelação, “o professor pode optar por escolher determinados modelos, fazendo sua recriação em sala, 
juntamente com os alunos, de acordo com o nível em questão, além de obedecer ao currículo inicialmente 
proposto. (BIEMBENGUT & HEIN, 2005). 
O modelo matemático pode ser resolvido através do levantamento de dados da situação, experimentações, 
formulação e resolução de equações. Este exemplo pode ser aplicado nas séries do Ensino Médio por usar 
conceitos de geometria analítica. 
 
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS X INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA? 
✓ Na resolução de problemas as questões estão formuladas à partida, enquanto nas investigações esse será 
o primeiro passo a desenvolver. 
✓ Num problema, procura-se atingir um ponto não imediatamente acessível, ao passo que numa 
investigação o objetivo é a própria exploração. 
 
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MEMÓRIA VISUAL 
Observação de figuras por um tempo determinado para reprodução, sem a presença do modelo. 
Observação de uma cena por um tempo determinado para posterior identificação de seus elementos, sem a sua 
presença 
 
Por que ensinar Geometria na educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental? 
“A Geometria constitui um domínio da Matemática extremamente importante, uma vez que todos os cidadãos 
precisam desenvolver suas capacidades espaciais e de organização do espaço para viverem numa sociedade que 
é cada vez mais visual.” (p. 164) 
 
Como ensinar Geometria na educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental? 
“A aprendizagem da Geometria neste nível deve ser feita de um modo informal partindo de modelos concretos 
do mundo real das crianças, de modo que elas possam formar os conceitos essenciais. 
A manipulação de materiais e a reflexão sobre as actividades realizadas têm um papel primordial na construção 
desses conceitos.” (p. 165) 
OBS. Nomes e definições deixam de ser prioridade. 
 
O que ensinar em Geometria na educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental? 
Conteúdos, propostos por meio de atividades de manipulação e reflexão sobre os materiais, que possibilitem o 
desenvolvimento das habilidades relacionadas à capacidade espacial. 
 
HABILIDADES DA CAPACIDADE ESPACIAL 
Coordenação visual-motora 
Memória visual 
Percepção figura-fundo 
Constância perceptual 
Percepção da posição no espaço 
Percepção de relações espaciais 
Discriminação visual 
 
ATIVIDADES: 
Coordenação visual-motora 
Labirintos 
Liga-pontos 
Construção de figuras no geoplano 
e na malha pontilhada