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Fundamentos em
Finanças
Fundamentos em
Finanças
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s
Edson Carlos Chenço
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-3048-4
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Edson Carlos Chenço
Fundamentos em Finanças
IESDE Brasil S.A.
Curitiba
2012
Edição revisada
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ 
________________________________________________________________________________
C447f
 
Chenço, Edson Carlos.
 Fundamentos em finanças / Edson Carlos Chenço. - 1.ed. rev. - Curitiba, PR : IESDE 
Brasil, 2012. 
 338p. : 24 cm
 
 Inclui bibliografia
 ISBN 978-85-387-3048-4
 
 1. Administração financeira. I. Título. 
12-6160. CDD: 658.15
 CDU: 658.15
27.08.12 05.09.12 038529 
________________________________________________________________________________
© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e 
do detentor dos direitos autorais.
Capa: IESDE Brasil S.A.
Imagem da capa: Shutterstock
IESDE Brasil S.A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
Todos os direitos reservados.
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Edson Carlos Chenço
Mestre em Metrologia para a Qualidade Indus-
trial pela Pontifícia Universidade Católica do Rio 
de Janeiro. MBA em Estatística e Pesquisa de 
mercado pela Universidade Estadual do Rio de 
Janeiro. Especialista em Ensino a Distância pela 
Universidade Federal de Minas Gerais (em an-
damento). Graduado em Matemática pela Uni-
versidade Metodista do Paraná. Professor das 
disciplinas Finanças e Estatística nos cursos de 
MBA do Instituto Brasileiro de Mercados de Ca-
pitais no Rio de Janeiro e professor de Estatística 
e Pesquisa de Mercado e Gestão Financeira na 
Escola Superior de Marketing do Rio de Janeiro.
Professor de Gestão Financeira e Sistemas de 
Preços e Custos no MBA em Gestão Empresa-
rial da Universidade Federal do Rio de Janeiro. 
Professor dos MBAs das parcerias do Ibmec em 
todo o Brasil. Instrutor de finanças, estatística 
e pesquisa de mercado para profissionais de 
grandes empresas em cursos in Company, como 
Companhia Vale do Rio Doce, Eletrobras, Ampla, 
Globo.com e Bahiense.
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Finanças – importância e aplicabilidade 
11
11 | O que é a gestão financeira?
11 | Qual a função do gestor financeiro?
12 | Sobrevivência no mercado
12 | Cálculos ágeis e precisos são fundamentais
12 | A calculadora HP-12C
21 | Juros simples
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
37
37 | Capitalização composta
38 | Descontos compostos
48 | Taxas
Séries uniformes, 
antecipadas, postecipadas e diferidas 
65
65 | Prestações iguais
70 | Séries antecipadas e postecipadas
76 | Perpetuidades
77 | Séries diferidas
Estudo dos fluxos de caixa 
95
96 | Planos equivalentes de financiamento
Valor presente líquido e taxa de desconto 
119
119 | Complemento
120 | Valor presente líquido (NPV)
120 | Valor presente e valor futuro
121 | Taxa de juros
123 | Anuidade
127 | Limitações ao VPL
128 | Taxa interna de retorno (IRR)
131 | A taxa interna de retorno modificada
135 | O payback
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Finanças – importância e aplicabilidade 
11
11 | O que é a gestão financeira?
11 | Qual a função do gestor financeiro?
12 | Sobrevivência no mercado
12 | Cálculos ágeis e precisos são fundamentais
12 | A calculadora HP-12C
21 | Juros simples
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
37
37 | Capitalização composta
38 | Descontos compostos
48 | Taxas
Séries uniformes, 
antecipadas, postecipadas e diferidas 
65
65 | Prestações iguais
70 | Séries antecipadas e postecipadas
76 | Perpetuidades
77 | Séries diferidas
Estudo dos fluxos de caixa 
95
96 | Planos equivalentes de financiamento
Valor presente líquido e taxa de desconto 
119
119 | Complemento
120 | Valor presente líquido (NPV)
120 | Valor presente e valor futuro
121 | Taxa de juros
123 | Anuidade
127 | Limitações ao VPL
128 | Taxa interna de retorno (IRR)
131 | A taxa interna de retorno modificada
135 | O payback
Fluxos de caixa e inflação 
151
151 | Conceituando inflação
Administração financeira 
171
171 | Administração de finanças empresariais
172 | Organização das empresas – modalidades
176 | Demonstrações financeiras
Estrutura financeira da empresa 
203
203 | Captação de recursos no mercado
218 | Mercado de obrigações
222 | Alavancagem financeira
223 | Mercado de ações
Administração de caixa 
229
229 | Mercado e avaliação de ações
239 | Mercado de ações
Análise de investimentos 
253
253 | Fluxos de caixa relevantes
254 | Custos irrecuperáveis
255 | Custos de oportunidade
256 | Efeitos colaterais
256 | Capital de giro líquido (CGL)
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257 | Demonstrações financeiras
260 | Projeção do fluxo de caixa e valor
262 | Risco de previsão
262 | Defesa contra erros de previsão
263 | Análise de cenários
269 | Opções gerenciais
271 | Racionamento de capital
Risco e retorno 
283
283 | Medidas de Avaliação de Riscos
288 | Carteiras
298 | Retorno exigido e custo de capital
Custo de capital 
311
311 | Custo do capital próprio
313 | O que é o risco Brasil?
314 | Modelo de crescimento de dividendos
324 | Política de pagamento de dividendos
324 | Forma de incidência de impostos nos dividendos
325 | Financiamentos a longo prazo
325 | Financiamentos a curto prazo
326 | Aplicação de fundos ociosos
327 | Risco operacional, econômico e financeiro
329 | Custos da falência
330 | Liquidação e reorganização
Referências 
335
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Apresentação Fundam
entos em
 Finanças
Este livro reúne os conceitos e práticas essen-
ciais utilizados em matemática financeira básica 
e princípios de gestão financeira, cada vez mais 
relevantes no competitivo ambiente dos ne-
gócios. Por se tratar de um texto aplicativo, os 
objetivos e tópicos abordados nos capítulos 
tentam ilustrar o uso da matemática e da gestão 
financeira no processo de tomada de decisões e 
soluções que envolvam o valor do dinheiro no 
tempo.
Cada vez mais, torna-se importante conhecer as 
técnicas e fórmulas para resolução de proble-
mas financeiros. Calculadoras eletrônicas, como 
a HP-12C, e softwares computacionais cuidam 
de muitas etapas que há poucos anos eram ma-
nuais e demandavam um tempo enorme.
Por se tratar de um livro direcionado a todos os 
profissionais, que atuam na área de negócios ou 
não, a abordagem do livro é sempre muito deta-
lhada e algumas ferramentas auxiliares sempre 
são citadas, com o objetivo de facilitar o enten-
dimento e as aplicações.Foi possível reunir neste livro, também, uma 
série de exercícios práticos aplicados à realidade 
do mercado financeiro. Todos os capítulos estão 
estruturados em conceitos, exercícios resolvidos 
de fixação, exercícios propostos com gabarito e 
texto complementar sobre os temas abordados.
Não se pode desvincular hoje o estudo de fi-
nanças de outras áreas importantes da gestão 
empresarial. A matemática e gestão financeira 
vêm se tornando uma especialidade que liga 
marketing, vendas, alta gerência e demais áreas 
e competências das empresas. Logo, todas as 
decisões financeiras impactam em praticamen-
te todos os setores da empresa.
Portanto, independentemente da área de atua-
ção, é necessário que todos os profissionais de 
gestão conheçam fundamentos básicos, como 
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Fundam
entos em
 Finanças
análise de investimentos, análise de cenários e 
oportunidades, custo e orçamento de capital, 
mercado de capitais, processos e modelos de 
capitalização e amortização, taxas, entre outros 
temas muito importantes.
Os capítulos iniciais do livro apresentam os con-
ceitos básicos de matemática financeira, com 
ênfase nos modelos e sistemas de amortização 
e nos juros e descontos compostos. Os demais 
capítulos apresentam tópicos básicos de gestão 
financeira, em uma linguagem simples e estru-
turada, com ênfase na aplicabilidade prática dos 
conceitos.
A complexidade e a globalização dos mercados 
financeiros fizeram com que tenhamos de convi-
ver com conceitos que, às vezes, parecem contra-
riar o senso comum, pois, um evento inesperado 
no Japão, por exemplo, pode causar impactos 
enormes no Brasil, na China ou em qualquer 
outro país. Portanto, hoje, muitos dos conceitos 
habitam somente o universo das probabilidades 
e das correlações matemáticas. Sendo assim, am-
pliou-se a necessidade de maior compreensão 
e uso instrumental da matemática e da gestão 
financeira, pois vivemos intensamente a Era 
das finanças.
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11
Finanças – 
importância e aplicabilidade
A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os 
curiosos, como também para auxiliar e poupar trabalho aos homens.
Descartes
Podemos dizer que finanças é a arte e a ciência de gerenciar recursos. Por-
tanto, os mercados financeiros, as instituições financeiras e toda a estrutura de 
funcionamento desses sistemas, em nosso país, bem como, no mercado inter-
nacional formam um campo de estudos muito importante conhecido como 
finanças. Quando estudamos finanças, percebemos a importância e aplicabi-
lidade dos conceitos financeiros no dinheiro ao longo do tempo. Fazer o pla-
nejamento financeiro, gerenciar os ativos, captar fundos, aplicar e fazer inves-
timentos no mercado financeiro e na bolsa de valores, emitir obrigações, fazer 
operações de descontos de títulos, gerenciar e controlar a aplicação de recur-
sos e avaliar projetos são algumas das muitas aplicabilidades de finanças.
O que é a gestão financeira?
Para a maioria dos autores, define-se gestão financeira como um conjun-
to de ações e procedimentos administrativos que envolvem planejamento, 
análise e controle de todas as atividades financeiras empresariais, para que 
se obtenha uma maximização dos resultados econômico-financeiros pró-
prios de suas atividades operacionais.
Qual a função do gestor financeiro?
É necessário que o gestor da área de finanças tenha um conjunto de fer-
ramentas essenciais e informações gerenciais organizadas e eficientes para 
compreender o momento financeiro da empresa e tomar decisões que sejam 
as melhores e mais adequadas para maximizar os resultados. Portanto, uma 
das funções principais do gestor de finanças é aumentar o patrimônio líqui-
do da empresa, gerando lucro líquido a partir das atividades operacionais 
desenvolvidas por ela.
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12
Finanças – importância e aplicabilidade
Sobrevivência no mercado
Todas as decisões empresariais devem estar apoiadas em um conjunto de 
informações precisas e muito atuais. A implantação de relatórios gerenciais, 
definição de alguns indicadores de desempenho, estatísticas operacionais, 
análises históricas de desempenho e performance colaboram para que a em-
presa sobreviva e mantenha-se em um mercado cada vez mais competitivo 
e globalizado. Pode-se então gerenciar, por exemplo: apuração dos resulta-
dos da empresa, controle de vendas e estoques, movimento de caixa, grau 
de endividamento, fluxos de caixa, grau de lucratividade, balanço gerencial, 
entre outros elementos.
Cálculos ágeis e precisos são fundamentais
Na prática, o profissional que trabalha com finanças precisa de algumas 
ferramentas que deem agilidade e muita precisão nos cálculos financeiros. 
Qualquer desprezo, às vezes de uma casa decimal, pode significar, depen-
dendo do valor, uma quantia considerável. Por isso, é muito comum o uso de 
calculadoras financeiras, em especial, a calculadora HP-12C, que vamos utili-
zar inúmeras vezes no decorrer das operações. Muitos profissionais também 
se utilizam da planilha eletrônica Microsoft Excel. Na prática, tanto a HP como 
o Excel são utilizados de forma análoga.
A calculadora HP-12C
A calculadora HP-12C é utilizada na solução de problemas de matemá-
tica financeira e gestão financeira envolvendo os parâmetros n, i, PV, PMT 
e FV. Dispõe também de funções especiais para cálculos estatísticos. É de 
grande utilidade na solução de problemas relacionados a cálculos no mer-
cado financeiro.
Operações básicas
 Memórias transitórias 
 Quatro memórias transitórias (X, Y, Z e T) operam como se fossem uma 
pilha de quatro valores, com as seguintes características:
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Finanças – importância e aplicabilidade
13
 a memória X é sempre aquela cujo conteúdo aparece no visor;
 as demais estão empilhadas, em cima da memória X, na ordem se-
quencial Y, Z e T;
 as operações aritméticas são efetuadas com os conteúdos das me-
mórias X e Y;
 os conteúdos das quatro memórias são movimentados nos seguin-
tes casos:
 quando a tecla enter é acionada;
 quando são efetuadas as operações +, –, e ÷;
 quando são acionadas as teclas R , ou X >< Y.
 Tecla enter
 Ao ser digitado um número, ele passa a ocupar a memória, que é a 
única cujo conteúdo aparece no visor. Ao acionar enter, são desenca-
deadas as seguintes transferências de valores entre as memórias:
 o conteúdo da memória X é copiado para a memória Y, mas perma-
nece na memória X;
 o conteúdo da memória Y vai para a memória Z;
 o conteúdo da memória Z vai para a memória T;
 o conteúdo da memória T é perdido.
 Teclas CHS e CLX
 A tecla CHS troca o sinal do conteúdo da memória X, isto é, do número 
que aparece no visor. A tecla CLX limpa o conteúdo da média X.
 A tecla R
 Faz uma troca nos conteúdos das quatro memórias transitórias: Y vai 
pra X; X vai para T; T vai para Z e Z vai para Y.
 As teclas +, –, × e ÷
 Efetuam operações aritméticas com o conteúdo das memórias X e Y.
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14
Finanças – importância e aplicabilidade
Exemplo 1: 
Calcular a expressão 3 + 7 – 1 
3 enter
 7 +
 1 –
Com resultado no visor igual a 9.0
Exemplo 2: 
Calcular a expressão 3 × 10
5
Fazemos:3 enter
 10 ×
 5 ÷
Com resultado igual a 6.0
 As teclas amarela (f) e azul (g)
 Uma tecla na calculadora HP pode realizar inúmeras funções, como 
por exemplo:
 função normal, escrita em cor branca na face superior da própria 
tecla;
 função amarela, escrita em cor amarela no corpo da calculadora, na 
parte superior da tecla;
 função azul, escrita em cor azul na face lateral inferior da calculado-
ra, na parte superior da tecla.
Para usarmos as funções amarela ou azul de cada tecla, é importante que 
as teclas amarela f ou azul g sejam acionadas imediatamente antes de pres-
sionar a tecla que se deseja. Quando as teclas f e g são acionadas, o visor 
mostra as letras f e g, respectivamente, para indicar que essas teclas estão 
ativas, como prefixos para qualquer tecla que for acionada em seguida.
Se, após o acionamento de qualquer uma dessas duas teclas, houver a 
necessidade de eliminar sua atuação, basta acioná-la novamente e observar 
que o visor deixou de apresentar os prefixos f e g.
Exemplo:
Uso da tecla azul g
Usamos 1/x para calcular o inverso de um número 
colocado no visor. Acionando a tecla azul g e em seguida 
a tecla 1/x, essa tecla passará a executar a função azul ex.
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Finanças – importância e aplicabilidade
15
 Número de casas decimais
 O número de casas decimais que é mostrado no visor pode ser fixado 
bastando acionar a tecla amarela f e, em seguida, o número de casas 
decimais desejadas (0 a 9).
Exemplo:
Efetuar a divisão de 4/7
4 enter (4 nas memórias X e Y)
7 (7 na memória X – visor)
÷ (efetua a divisão X/Y)
 A calculadora mantém internamente o resultado dessa divisão com 
um número de casas decimais bem superior. Se quisermos ver o resul-
tado com quatro casas decimais, basta pressionar a tecla amarela f, e 
em seguida, o número 4, no visor teremos 0,5714.
 A função RND
 Permite eliminar as casas decimais da memória X que não serão mos-
tradas no visor, através do arredondamento matemático.
Exemplo:
Dividir 8/3 com duas casas decimais
f 2 (fixando 2 casas decimais)
8 enter (8 nas memórias X e Y)
3 (3 na memória X – visor)
÷ (efetua a divisão X/Y)
 Executamos a função RND (pressionando as teclas f e RND): o visor es-
tará indicando 2,67, mas as demais casas decimais se transformaram 
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Finanças – importância e aplicabilidade
em zeros. Para isso ser confirmado, basta aumentarmos o número de 
casas decimais a serem mostradas no visor. Logo, se acionarmos as te-
clas f e 4, o visor mostrará 2,6700.
 Funções ΔDYS e DATE
 Funções do calendário.
 As funções do calendário fornecidas pela HP-12C – DATE e ADYS 
– trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de no-
vembro de 4046. Para todas as funções do calendário, a calculadora 
utiliza um de dois formatos de data. Eles são utilizados tanto para 
interpretar datas quando são digitadas quanto para exibi-las.
 Mês-Dia-Ano: para configurar o formato para M-D-A, aperte g e, em 
seguida, M.DY; logo, para entrar uma data com esse formato ativado:
 digite o mês, com um ou dois dígitos;
 aperte a tecla de ponto decimal;
 digite os dois dígitos do dia;
 digite os quatro dígitos do ano.
 As datas são exibidas no mesmo formato. Por exemplo, para di-
gitar o dia 7 de março de 2008 – Teclas: 3.072008
 Dia-Mês-Ano: para configurar o formato para D-M-A, aperte g D.MY. 
Para entrar com uma data com esse formato ativado:
 digite o dia, com um ou dois dígitos;
 aperte a tecla do ponto decimal;
 digite o mês, com dois dígitos;
 digite os quatro dígitos do ano.
 Por exemplo: para digitar 7 de março de 2008 – Teclas: 7.032008
 Quando o formato está D-M-A, o indicador de estado D.MY está 
presente no mostrador. Se isso não ocorrer, o formato será automa-
ticamente o anterior.
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Finanças – importância e aplicabilidade
17
 Para calcular datas futuras ou passadas, use os seguintes argumentos:
 digite a data fornecida e aperte ENTER;
 digite o número de dias;
 se a outra data estiver no passado, aperte CHS;
 aperte g DATE.
 A resposta calculada pela função DATE é exibida em um formato 
especial. Os números do mês, dia e ano são separadores de dígitos, 
e o dígito ao lado direito da resposta no mostrador indica o dia da 
semana: 1 para segunda-feira a 7 para domingo.
 Exemplo:
 Se você comprasse uma opção para um terreno em 14 de maio de 
2008, válida por 120 dias, qual seria a data de vencimento? Supo-
nha que o formato será D.MY.
Teclas Mostrador Orientação
g D.MY 7.04
Configura o formato para dia-mês-ano. O mostrador exibido pres-
supõe que a data da última utilização ainda está presente. A data 
inteira não é exibida agora porque o formato do mostrador é con-
figurado para mostrar apenas casas decimais.
14.052008
120 g DATE
14.05
11.09.2008 6
Registra a data, separando-a do número de dias a entrar.
A data de vencimento é 11 de setembro de 2008, um sábado.
 Ponto decimal por vírgula:
 desligue a calculadora pressionando ON;
 pressione em seguida ao mesmo tempo ON e a tecla do ponto 
decimal;
 solte primeiro ON e depois a tecla do ponto decimal.
 As teclas STO e RCL
 A tecla STO serve para armazenar (store) e operar valores nas 20 me-
mórias fixas da calculadora HP-12C. As memórias são indexadas de 0 a 
9 e de .0 a .9;
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18
Finanças – importância e aplicabilidade
Exemplo:
20 STO 1 (número 20 guardado na memória 1).
80 STO + 3 (soma 80 ao conteúdo da memória 3 e guarda o resultado na própria me-mória 3).
 A tecla RCL serve para chamar (recall) os valores das 20 memórias fixas 
para o visor da HP-12C. É também utilizada para chamar para o visor o 
valores contidos nas 5 memórias financeiras (n, i, PV, PMT e FV), o que 
permite uma revisão de todos os parâmetros usados na solução dos 
problemas.
 A tecla RCL, se utilizada em conjunto com as funções Cfo, CFj e Nj , per-
mite a revisão dos valores dos fluxos de caixa não homogêneos que 
estão registrados na calculadora.
 Aplicação:
 RCL 1 (coloca no visor o conteúdo da memória 1)
 RCL i (coloca no visor o valor da taxa)
Exemplo:
Resolver a expressão: (5 + 4)2 / (2 + 1)2
5 ENTER
4 +
2 yx
 STO (guarda na memória 1)
 ENTER
1 +
2 yx
 STO 2 (resultado do denominador na memória 2)
 RCL 1 (chama o resultado do numerador para o visor)
 RCL 2 (chama o resultado do denominador para o visor e
 e coloca numerador na memória Y)
 ÷ (efetua a divisão)
 Resultado igual 9,00.
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Finanças – importância e aplicabilidade
19
 Limpeza da calculadora
 Tecla CLX: limpa apenas a memória X, isto é, o visor.
 Tecla amarela FIN: limpa apenas as cinco memórias financeiras.
 Função amarela REG: limpa de uma só vez, as seguintes memórias:
 transitórias: X,Y, Y e T;
 fixas: 0 a 9 e .0 a .9;
 financeiras: n, i, PV, PMT e FV.
 A função amarela PRGM limpa os programas que estão gravados. É 
necessário que a HP-12C seja previamente colocada em fase de pro-
gramação, com o acionamento da função amarela P/R.
Teclas Financeiras n, i, PV, PMT e FV
n = número de período de capitalização de juros, expresso em anos, semestres, 
trimestres, meses e dias. Os valores de n podem ser inteiros ou fracionários.
i = taxa de juros por período de capitalização, expressa em percentuais.
PV = valor presente(present value) – valor do capital aplicado.
PMT = valor de cada parcela da série uniforme (Periodic PayMenT) que ocorre a cada 
período de tempo nas séries postecipadas e antecipadas.
FV = valor futuro (future value) – valor do montante acumulado no final de n perío-
dos de capitalização.
 Observações:
 END – para calcularmos séries postecipadas é preciso ativar a fun-
ção azul END.
 BEG – para calcularmos séries antecipadas é preciso ativar a função 
azul BEG.
 As funções BEG ou END só têm interferência na série uniforme 
PMT, não causando alteração nas relações entre PV e FV.
 A HP-12C sempre interliga os cinco elementos financeiros. Os 
problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser 
resolvidos com a anulação do quinto elemento, que não partici-
pa da operação.
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20
Finanças – importância e aplicabilidade
 PV, FV e PMT são valores monetários que devem ser registra-
dos sempre de acordo com a conversão do sinal, isto é, os rece-
bimentos sempre com sinal positivo e os pagamentos sempre 
com sinal negativo.
 As unidades de taxa e tempo devem estar sempre na mesma 
unidade de referência.
Exemplos resolvidos de aplicação
1. Determinar o valor da parcela mensal de um financiamento de 
R$10.000,00 com uma taxa de 1,5% ao mês, juros compostos, num 
prazo de 24 meses.
 Obs: antes de PV, acionar CHS para trocar de sinal.
 n = 24 PV = 10.000,00 i = 1,50% ao mês FV = 0,00 elimina PMT = ?
 Na calculadora HP-12C:
 ENTER
 CHS PV
 24 n
 1,5 i
 10.000,00 (CHS) PV
 0,00 FV
 PMT – valor da parcela igual a R$499,24.
2. Um financiamento utiliza o multiplicador de R$90,00 para cada 
R$1.000,00 de principal financiado, num prazo de 12 meses. Determi-
ne a taxa de juros.
 Obs: antes de PV, acionar CHS para trocar de sinal.
 n = 12 PV = 1.000,00 PMT = 90,00 FV = 0,00 i = ?
n i PV PMT FV
12 1,20 –1.000,00 90,00 0,00
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Finanças – importância e aplicabilidade
21
3. Qual o valor principal que, aplicado a uma taxa de juros de 1,5% ao 
mês, produz um montante de R$10.000,00 em 105 dias?
 n = 3,5 meses (105d) i = 1,50 PMT = ? FV = –R$10.000,00 PV = ?
n i PV PMT FV
3,5 1,50 R$9.492,24 0,00 –R$10.000,00
Juros simples
Quando usamos juros 
simples e juros compostos?
A quase totalidade das operações envolvendo dinheiro utiliza juros com-
postos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão 
de crédito, empréstimos bancários, aplicações financeiras usuais, como Ca-
derneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa etc. Raramente 
encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de 
curtíssimo prazo e do processo de desconto simples de duplicatas.
De fato, o fenômeno de capitalização ocorre no regime de juros compos-
tos, em que os juros se transformam em capital e passam a render novos 
juros. O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, como 
vimos, normalmente nas operações de curto prazo, em razão da simplicida-
de de cálculo e para reduzir ou aumentar ficticiamente a verdadeira taxa de 
juros das operações, facilitando assim, a tarefa de colocação dos produtos 
junto aos investidores e/ou tomadores de recursos financeiros.
Só o regime de juros compostos permite uma avaliação correta dos fluxos 
de caixa nas operações financeiras. Logo, os juros simples só devem ser utili-
zados na obtenção do fluxo de caixa da operação.
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22
Finanças – importância e aplicabilidade
Quais são os elementos?
Capital
O capital é o valor inicial aplicado através de alguma operação financeira. 
Também conhecido como: principal, valor atual, valor presente ou valor apli-
cado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras 
financeiras).
Juros
Representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade 
produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples 
ou compostos.
Logo, o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe 
porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato e está disposta a 
pagar um preço por isso. Em contrapartida, as pessoas que foram capazes de 
esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seus desejos, e nesse ín-
terim, estiverem dispostas a emprestar essa quantia a alguém menos pacien-
te, devem ser recompensadas por essa abstinência na proporção do tempo 
e risco que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro 
disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remu-
neração, mais conhecida como taxa de juros.
Taxa de juros e tempo
A taxa de juros indica que remuneração será paga ao dinheiro empresta-
do por um período determinado e vem expressa geralmente na forma rela-
tiva ou percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que 
se refere:
 5% a.a. – a.a. significa ao ano.
 11% a.q. – a.q. significa ao quadrimestre.
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária ou relativa, que 
é igual à taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
 0,28 a.m. – a.m. significa ao mês.
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Finanças – importância e aplicabilidade
23
 0,14 a.s. – a.s. significa ao semestre.
As fórmulas mais utilizadas são:
Valor futuro:
FV = PV. (1 + i . n)
Juros:
J = PV . i . n
Valor Presente:
PV = 
FV
1 + i . n
Taxa de juros
i FV
PV
n= 

 −




1 1. /
Exemplos resolvidos para fixação
1. Determinar o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de 
um principal de R$20.000,00, aplicado com uma taxa de 15% ao ano, 
no regime de juros simples.
 Solução
 n = 12 meses
 PV = R$20.000,00
 i = 15% ao ano = 15%/12 = 1,25% ao mês = 0,0125
 FV = ?
 FV = PV. (1 + i . n) = R$20.000,00 . (1 + 0,0125 . 12) = R$23.000,00
 Na calculadora HP-12C:
 f 2
 20000 ENTER
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24
Finanças – importância e aplicabilidade
 0,0125 ENTER 12 ×
 1 + X
 Visor: R$23.000,00
2. Determinar o valor do principal que deve ser aplicado com uma taxa 
de juros de 3,5% ao mês, para produzir um montante de R$10.000,00 
no prazo de três semestres, no regime de juros simples.
 Solução:
 n = 3 semestres = 18 meses
 FV = R$10.000,00
 i = 3,5% ao mês = 0,035
 PV = ?
 PV = FV
1 + i . n
 = R$10.000,00
1 + 0,035 . 18
 = R$6.134,97
 Na HP-12C:
 f 2
 0,035 ENTER 18 x
 1 +
 10000 X><Y :
 Visor: 6.134,97
3. Determinar o número de meses necessários para um capital dobrar de 
valor, com uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples.
 Solução:
 Imaginando que o valor de PV é igual a R$100,00, logo FV ao dobrar 
seria R$200,00 e os dados do problema poderiam ser:
 PV = R$100,00
 FV = R$200,00
 i = 2% ao mês = 0,02
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Finanças – importância e aplicabilidade
25
 n = ?
 FV = PV . (1 + i . n)
 R$200,00 = R$100,00 . (1 + 0,0 2 . n)
 R$200,00 = 100 . 2n
 R$200,00 – R$100,00
2
= n
 n = 50 meses
 Na HP-12C:
 200 ENTER
 100 –
 2 ÷
 Visor: 50
4. Determinar o valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um 
principal de R$2.000,00 se transformar num montante de R$2.500,00, 
num prazo de 20 meses.
 Solução:
 PV = R$2.000,00
 FV = R$2.500,00
 n = 20 meses
 i = ? (% ao mês)i FV
PV n
= 

 −




= 

 −




1 1
2 500 00
2 000 00
1 1.
R$
R$
. ,
. ,
.
220
0 0125= ,
 Na HP-12C:
 f 4
 2500 ENTER
 2000 ÷
 1 –
 1 ENTER
 20 ÷
 X
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26
Finanças – importância e aplicabilidade
 Visor: 0,0125
 Transformando em porcentagem:
 100 x = 1,25%
Desconto no regime de juros simples
Aplicação
No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos 
pela aplicação da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou 
montante, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos 
os períodos. Logo:
Desconto de cada período: FV . d
Desconto de n períodos: n . FV . d
Desconto “por dentro” e “por fora”
Observa-se que a taxa de desconto d é aplicada sobre o valor futuro FV 
para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por 
dentro”) também chamada taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o valor 
presente PV para produzir o valor futuro FV.
Portanto, o valor do desconto “por fora” ou comercial é obtido multipli-
cando-se o valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse pro-
duto pelo número de períodos correspondentes de desconto, isto é:
Dc = FV . d . n
Onde: Dc = desconto comercial.
O valor presente PV, ou principal, que resulta do desconto obtido sobre o 
montante FV, é obtido pela expressão:
PV = FV . (1 – d . n)
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Finanças – importância e aplicabilidade
27
Para obtenção da taxa de desconto d teremos:
d PV
FV n
= −

1
1.
Exemplos resolvidos de aplicação
1. Um título com 130 dias a decorrer de seu vencimento está sendo ne-
gociado, a juros simples, com uma taxa de desconto comercial de 20% 
ao ano. Assumindo o ano comercial com 360 dias, determinar o valor 
da aplicação que proporciona um valor de resgate de R$1.000,00.
 Solução:
 FV = R$1.000,00
 n = 130 dias
 d = 20% a.a. = 20% / 360 a.d. = 0,05556% a.d. = 0,0005556 a.d.
 PV = ?
 Logo,
 PV = FV . (1 – d . n) =
 PV = R$1.000,00 . (1 – 0,20 ÷ 360 . 130) =
 R$1.000,00. (1 – 0,0005556 . 130) = R$927,78
 Na HP-12C:
 1000 ENTER
 0,20 ENTER
 360 ÷
 130 ×
 1 –
 X
 No visor: –R$927,78
 A HP-12C entende que o valor é negativo porque todo PV é uma saída 
de caixa.
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28
Finanças – importância e aplicabilidade
2. Determinar o valor do desconto simples de um título de R$3.000,00, 
com vencimento para 75 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por 
fora” é de 2,0% ao mês.
 Solução:
 FV = R$3.000,00
 n = 75 dias
 d = 2,0% a.m. = 2,0% / 30 a.d. = 0,06667% a.d. = 0,0006667 a.d.
 PV = FV . (1 – d . n) =
 R$3.000,00 . (1 – 0,02/30 . 75)
 R$3.000,00 . (1 – 0,0006667 . 75) = R$2.850,00
 Logo:
 Desconto = FV – PV = R$3.000,00 – R$2.850,00 = R$150,00
 Na HP-12C:
 3000 ENTER
 0,02 ENTER
 30 ÷
 75 ×
 1 –
 X
 Visor: – 2.850,00
 3000,00 +
 Visor: R$150,00
3. Determinar o valor da taxa mensal de desconto comercial usada numa 
operação de desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de 
R$20.000,00 e com valor principal igual a R$19.500,00.
 Solução:
 PV = R$20.000,00
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Finanças – importância e aplicabilidade
29
 FV = R$19.500,00
 n = 60 dias = 2 meses
 d = ? (% ao mês)
 d = (1 – PV / FV) . 1 / n =
 d = (1 – R$19.500,00 / R$20.000,00) . 1
2
 = 0,0125, ou seja, 1,25% ao mês.
 Na HP-12C:
 19.500 ENTER
 20000 :
 1 X >< Y –
 2 ÷
 1 ×
 Visor: 0,0125 ou 1,25% ao mês
IOF – Imposto sobre Operações Financeiras 
e Despesas Administrativas
Nas operações com descontos, os bancos costumam cobrar o Imposto 
sobre Operações Financeiras (IOF), que é um tributo federal com alíquota de 
1,5% mais as despesas administrativas. Com isso o valor de resgate do título 
diminui ainda mais um pouco, pois esses descontos incidem sobre o valor 
de face do título.
Vamos ver um exemplo de aplicação:
 Determinar o valor atual de um título de R$3.000,00, com vencimento 
para 75 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 2,0% 
ao mês. O banco cobra ainda 1,5% de IOF e 2% de taxas administrati-
vas sobre a operação financeira.
 Solução:
 FV = R$3.000,00
 n = 75 dias
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30
Finanças – importância e aplicabilidade
 d = 2,0% a.m. = 2,0% / 30 a.d. = 0,06667% a.d. = 0,0006667 a.d.
 PV = FV . (1 – d . n) = 
 3.000,00 . (1 – 0,02/30 . 75)
 3.000,00 . (1 – 0,0006667 . 75) = R$2.850,00
 IOF = 3.000,00 . 0,015 = R$45,00
 TA = 3.000,00 . 0,02% = R$60,00
 Logo:
 Desconto = FV – PV = 3.000,00 – 150,00 – 45,00 – 60,00 = R$2.745,00
Ampliando seus conhecimentos
A Matemática Financeira
(TAHAN, 1984)
Na época em que o comércio começava a chegar ao auge, uma das ativida-
des do mercador foi também a do comércio de dinheiro: com o ouro e a prata. 
Nos diversos países eram cunhadas moedas de ouro e prata.
Com a expansão das formas de comércio, assim como durante as guerras de 
conquista de territórios, as moedas dos países eram trocadas, mas o pagamento 
só podia ser efetuado com dinheiro do país específico. Logo, dentro das frontei-
ras de cada país, as moedas estrangeiras eram trocadas por dinheiro deste país. 
Os comerciantes e algumas pessoas que possuíam muito dinheiro e que viaja-
vam ao exterior precisavam de dinheiro de outros países, que compravam com 
a moeda nacional. Os tempos foram passando e alguns comerciantes ficaram 
conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em 
grandes quantidades. Desta forma, dedicaram-se exclusivamente ao câmbio 
de dinheiro, isto é, a comercializar dinheiro.
Havia a divisão de trabalho dentro do campo do comércio: paralelamente 
aos comerciantes que se ocupavam com a troca de artigos comuns, surgiram 
os cambistas, isto é, comerciantes dedicados ao intercâmbio de uma mercado-
ria específica: o dinheiro.
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Finanças – importância e aplicabilidade
31
Num espaço de tempo relativamente curto, acumularam-se fantásticas 
somas de dinheiro nas mãos dos cambistas. Com o tempo, foram se ocupan-
do de uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. Naquela época, e 
devido à deficiente organização das instituições responsáveis pela segurança 
social do indivíduo, não era recomendável que tivesse em sua casa muitas 
moedas de ouro e prata. Estas pessoas entregavam seu dinheiro à custódia do 
cambista rico, que o guardava e devolvia ao dono quando ele pedisse. Ima-
ginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma, em seus 
cofres, imensa quantidade de dinheiro.
Era natural que a seguinte ideia ocorresse: “Por que estas grandes somas 
de dinheiro haverão de permanecer em meu poder sem qualquer lucro para 
mim? – Aí então se percebe que a palavra “lucro” está diretamente interligada 
com o conceito de finanças – É pouco provável que todos os proprietários, ao 
mesmo tempo e num mesmo dia, exijam a devolução imediata de todo seu 
dinheiro. Emprestarei parte deste dinheiro a quem pedir, sob a condição de 
que seja devolvido num prazo determinado. E como meu devedor empregará 
o dinheiro como quiser durante este é natural que eu obtenha alguma van-
tagem. Por isso, além do dinheiro emprestado deverá entregar-me, no venci-
mento do prazo estipulado, uma soma adicional”.
Vimosque neste pensamento do mercador a ideia de lucro já aparece 
fortemente.
Assim tiveram início as operações creditícias. Aqueles que, por alguma 
razão, se encontravam sem dinheiro – comerciantes, senhores feudais e não 
raras vezes o próprio rei ou o erário nacional –, recorriam ao cambista que lhes 
emprestava grandes somas de dinheiro a juros “razoáveis”.
O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, mais propriamente, 
era a “compensação pelo temor” de quem dava dinheiro emprestado e assim 
se expunha a um grande risco. Entretanto esses juros alcançaram, em alguns 
casos, quantias incríveis: na antiga Roma os usuários exigiam de 50 a 100 por 
cento e na Idade Média, de 100 a 200 por cento, às vezes mais, em relação 
direta com a necessidade do solicitante ou do montante da soma.
Estes juros foram chamados – com toda justiça – de usurário, o dinheiro 
recebido emprestado, de capital usurário e o credor, de usureiro. O cambista 
exercia sua profissão sentado num banco de madeira em algum lugar do mer-
cado. Daí a origem da palavra “banqueiro” e “banco”. Os primeiros bancos de 
verdade da História foram criados pelos sacerdotes.
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32
Finanças – importância e aplicabilidade
No mundo antigo, entre os egípcios, babilônios e mais tarde entre os gregos 
e romanos, estava amplamente difundido o costume segundo o qual os cida-
dãos mais abastados deviam confiar a custódia de seu ouro aos sacerdotes.
A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações credití-
cias dos antigos sacerdotes, que considerava pagãos, mas desenvolveu-as em 
grande escala. A Igreja Católica criou o “Banco do Espírito Santo”, corria um 
fabuloso capital inicial. Seu verdadeiro propósito era tornar mais expedita a 
exação, aos fiéis, dos chamados “denários de São Pedro” destinados a satis-
fazer as frugalidades do Papa e para facilitar o pagamento de dízimos e in-
dulgências, assim como para a realização de transações relacionadas com os 
empréstimos, em outras palavras, com a usura.
Ao mesmo tempo lançou um anátema e condenou às masmorras da in-
quisição os cidadãos que emprestavam dinheiro a juros, mesmo que este juro 
fosse menor do que aquele que ela exigia por seu dinheiro. A Igreja proibia a 
seus fiéis que cobrassem juros por seu dinheiro, invocando como autoridade a 
Sagrada Escritura, onde se lê: “Amai pois vossos inimigos e fazei o bem, e em-
prestai, nada esperando disso” (São Lucas, 6,35). Na realidade, esta proibição 
era motivada por um interesse econômico muito “mundano”: a Igreja ambi-
cionava assegurar para si o monopólio absoluto na exação de juros.
Apesar das maldições e ameaças com o fogo eterno, a Igreja não pôde 
conter a avidez por ganhos e lucros das pessoas, tanto mais que o próprio 
desenvolvimento do comércio exigia a criação de uma ampla rede bancária. 
As iniciadoras desta atividade foram as cidades-estado da Itália, que tinham 
um vasto comércio, cujo raio de ação se estendia aos mais distantes confins 
do mundo conhecido.
O primeiro banco privado foi fundado pelo duque Vitali em 1157, em 
Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. 
A Igreja não teve alternativa senão aceitar a realidade dos fatos. Assim, os 
bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço da Mate-
mática Comercial e Financeira e da Economia durante os séculos X até XV. Pois 
sem essa motivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, essa área de 
Matemática não estivesse tão avançada atualmente.
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Finanças – importância e aplicabilidade
33
Atividades de aplicação
1. Calcular o juro de uma operação com 45 dias de prazo, sabendo-se 
que o capital é de R$1.000,00 e a taxa de juros é de 48% ao ano.
2. Calcular o valor dos juros de uma operação com cinco anos de prazo, sa-
bendo-se que o capital é de R$300,00 e a taxa de juro é de 25% ao ano.
3. Calcular o valor do capital, sabendo-se que o juro é de R$80,00, a taxa 
de juro é de 120% ao ano e o prazo é de 60 dias.
4. Calcular a taxa de juro mensal de uma operação, cujo capital é de 
R$400,00, o juro é de R$160,00 e o prazo é de 4 meses.
Gabarito
1. 48 / 360 = 0,1333% ao dia ou 0,001333
 J = PV . i . n = R$1.000,00 . 0,001333 . 45 = aproximadamente R$60,00
 Na HP-12C:
 48 ENTER
 360 ÷
 100 ÷
 45 ×
 1000 ×
 Visor: R$60,00
2. J = PV . i . n
 J = R$300,00 . 0,25 . 5
 J = R$375,00
 NA HP-12C:
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34
Finanças – importância e aplicabilidade
 25 ENTER
 100 ÷
 5 ×
 300 ×
 Visor: R$375,00
3. Se J = PV . i . n
 Então:
 PV = J / i . n
 Como i = 120 / 360 = 0,3333 ou 0,00333
 PV = R$80.000,00 / 0,00333 . 60
 PV = R$80.000,00 / 0,1999
 PV = R$400,00
 NA HP-12C:
 120 ENTER
 360 ÷
 100 ÷
 60 ×
 80
 X<>Y
 ÷
 Visor: R$400,00
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Finanças – importância e aplicabilidade
35
4. J = PV . i . n
 R$160,00 = R$400,00 . i . 4
 R$160,00 = R$1.600,00 i
 R$160,00 / R$1.600,00 = i
 i = 0,10 ou 10% ao mês
 NA HP-12C:
 400 ENTER
 4 ×
 160
 X<>Y
 ÷
 Visor: 0,10 ou 10
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37
Juros compostos – 
capitalização, desconto e taxas
Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser 
aplicado aos fenômenos do mundo real.
Nicolai Ivanovich
Capitalização composta
Na capitalização composta ou regime de juros compostos, os resultados 
dos juros de cada período de tempo são obtidos aplicando-se a taxa de juros 
i sobre o investimento inicial (capital), no início do período referente à capi-
talização. Para melhor entendimento, observe os dados e a tabela a seguir:
FV = PV . (1 + i)n
Valor Presente PV = R$2.000,00
n = número de períodos de tempo: 4 anos
Taxa: 5% ao ano
Final do Valor de n Valor de FV (R$)
1.º ano 1 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,05)1 = R$2.100,00
2.º ano 2 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,05)2 = R$2.205,00
3.º ano 3 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,05)3 = R$2.315,00
4.º ano 4 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,05)4 = R$2.431,01
A partir da expressão geral temos:
PV = FV
(1 + i)n
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38
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Início do Valor de n Valor de FV (R$)
1.º ano 1 FV = 2.431,01 / (1 + 0,05)1 = 2.315,00
2.º ano 2 FV = 2.431,01 / ( 1 + 0,05)2 = 2.205,00
3.º ano 3 FV = 2.431,01 / ( 1 + 0,05)3 = 2.100,00
4.º ano 4 FV = 2.431,01 / ( 1 + 0,05)4 = 2.000,00
Descontos compostos
Entender o que são o desconto racional e o desconto comercial é muito 
importante para quem faz negócios. A definição de cada um dos dois é, em 
um primeiro momento, difícil de entender, mas ao avaliarmos as aplicações, 
perceberemos que é muito simples e fácil.
Exemplo
Você tem uma fatura de R$100,00 e deverá pagá-la daqui 60 dias. Essa 
fatura foi calculada com uma taxa de juros de 10% ao mês. Então qual será o 
valor justo para pagá-la?
A empresa detentora desse crédito informa que utiliza o “desconto racio-
nal” e oferece para você pagar R$83,33.
Será que é uma boa proposta? Será que vale a pena aceitá-la? Ou é melhor 
refletir mais um pouco?
Então você faz a primeira análise:
 Se você calcular 10% de R$100,00 vai verificar que corresponde a R$ 
10,00. Em dois meses, seriamR$20,00. Logo, você chega a conclusão 
que deve pagar R$80,00.
 Avalia também, numa segunda análise, qual é o valor que emprestado 
hoje a 10% ao mês dará R$100,00 daqui a dois meses ou 60 dias? É só 
você calcular qual valor que com 20% de juros equivale a R$100,00. 
Você faz as operações e encontra 100/1,20 com resultado igual ao va-
lor de R$83,33 proposto pelo emprestador.
 Em uma terceira análise você verifica que R$83,33 daqui a um mês 
equivalerá a R$91,67, isto é, (R$83,33 . 1,10), e com mais um mês será 
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
39
R$100,83. Faz a conferência de suas operações e percebe que ao dividir 
R$100,83 pelo fator 1,10 duas vezes encontrará R$83,33. Logo, o valor 
está “batendo”. E se você dividir R$100,00 por 1,10 também duas vezes, 
vai encontrar R$82,64.
E aí, temos a pergunta que não quer calar:
Você pagará R$80,00 ou R$83,33 ou R$82,64? O que é mais justo?
Todas as três formas de cálculo são utilizadas normalmente. A correta será 
aquela negociada e aceita entre as duas partes. Para entendermos melhor as 
três análises, podemos dizer que a análise 1 é um raciocínio de desconto co-
mercial simples; na análise 2 o raciocínio é de desconto racional simples; e na 
última análise vemos o funcionamento do desconto racional composto, que é 
objeto de nosso estudo neste capítulo.
Desconto comercial “por fora”
O desconto comercial não é utilizado no Brasil e é semelhante ao cálculo 
de juros compostos, substituindo-se o valor principal pelo valor nominal do 
título.
Desconto racional “por dentro”
Modelo utilizado no Brasil.
D = N – A, sendo A o valor atual e N = A (1 + i)n, portanto:
Dr = N[1 – (1 + i)
–n]
Onde:
A = Valor atual
N = Valor nominal
Dr = Desconto racional composto
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40
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
É interessante observar que no desconto racional composto é necessário 
considerar o valor atual A como o capital inicial de uma aplicação e o valor no-
minal N como o montante dessa aplicação, levando-se em consideração que 
as taxas e os tempos funcionam de forma muito semelhante nos dois casos.
Df = PV . [(1 + i)
n – 1 / (1 + i)n ]
Descontar títulos de crédito é uma operação feita pelos agentes bancá-
rios, em que somente uma pessoa jurídica tem o direito de crédito sobre 
outra, para resgate de uma nota promissória, duplicata etc., e “vende” esse 
dinheiro aos bancos. Logo, para melhor entendimento, uma pessoa jurídica 
tem uma duplicata de R$1.000,00 que vai vencer no mês seguinte, então faz 
uma operação de desconto e “vende” ao banco esse título e recebe o valor 
nominal dessa duplicada menos os juros cobrados pelo banco.
Se na transação realizada o banco cobrar 20%, quem vendeu o título re-
ceberá a importância de R$800,00 e o banco fica na obrigação de cobrar da 
pessoa que lhe devia. É importante observar que o banco, nesse caso, tem 
direito de regresso, isto é, se a pessoa não pagar ao banco, o banco tem o di-
reito de cobrar da pessoa jurídica que vendeu o título, o valor original dele.
Existem empresas que fazem uma operação muito semelhante chamada 
factoring. Nesse caso, essas empresas se especializaram em comprar títulos 
com risco de crédito. Elas compram esses títulos e cobram no lugar dos juros, 
o chamado deságio. As empresas que operam com factoring são diferentes 
dos bancos nas operações de descontos de títulos, pelo fato de não possu-
írem direito de regresso, isto é, a partir do momento em que se vende o di-
reito de crédito, caso o cliente não honre o pagamento, não poderá cobrá-lo 
da pessoa jurídica.
Classificação dos títulos de crédito
 Ordem de pagamento: nos títulos que contêm ordem de pagamento, 
a obrigação deverá ser cumprida por terceiros. Exemplo desses títulos: 
cheque e letra de câmbio. Na ordem de pagamento são identificados 
três componentes essenciais. Vamos analisar um dos títulos, que é o 
cheque:
 emitente – é a pessoa responsável, que assina o cheque, logo, au-
toriza a ordem de pagamento;
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
41
 sacado – é o banco, isto é, a pessoa jurídica que cumprirá a ordem 
de pagamento expressa no cheque. É do banco que será retirado 
(sacado) o valor escrito no título de crédito;
 beneficiário ou tomador – quem se beneficia da ordem de paga-
mento. É quem recebe o valor expresso no cheque.
 Promessa de pagamento: os títulos que apresentam promessa de 
pagamento mostram que a obrigação deverá ser cumprida pelo pró-
prio emitente e não por terceiros. Um exemplo desse tipo de título é 
a nota promissória. Na nota promissória, não vem escrito pague, mas 
pagarei: o verbo está na primeira pessoa do singular.
 Na promessa de pagamento identificamos a indicação de dois 
elementos:
 emitente – que emite a promessa de pagamento em nome pró-
prio, isto é, na primeira pessoa do singular (eu pagarei). O emitente 
é o devedor da obrigação;
 beneficiário – quem se beneficia da promessa de pagamento. É o 
credor do título.
Existem ainda outros títulos de crédito muito interessantes, como a dupli-
cata e a letra de câmbio. 
Exemplos resolvidos de aplicação
1. Determinar o valor do investimento inicial (principal) que deve ser rea- 
lizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao 
mês, para produzir um montante acumulado de R$1.000,00 no final 
de 12 meses.
 Solução:
 n = 12 meses
 i = 1% ao mês ou 0,01
 FV = R$1.000,00
 PMT = R$0,00
 PV = ?
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42
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
 PV = FV
(1 + i)n
 = PV = R$1.000,00
(1 + 0,01)12
 = R$887,45
 Na HP-12C:
 1000 CHS FV
 1 i
 12 n
 PV
 Visor: R$887,45
2. Obtenha o valor hoje de um título de R$10.000,00 de valor nominal, 
vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% a.m., conside-
rando um desconto racional composto e desprezando os centavos.
 Solução:
 N = R$100.00,00
 n = 3 meses
 i = 0,03 a.m.
 Dr = N . [ ((1+i)
n – 1) / (1+i)n]
 (1 + 0,03)3 = 1,092727 – 1 / 1,092727
 Dr = R$10.000,00 . 0,092727 / 1,092727
 Dr = R$848,58
 Dr = N – A
 R$848,58 = R$10.000,00 – A
 A = R$10.000,00 – R$848,58
 A = R$10.000,00 – R$848,58
 A = R$9.151,42
 Na HP-12C:
 1 ENTER
 0,03 +
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
43
 3 yx
 1 –
 10000 ×
 1,092727 ÷
 Visor: R$848,58
 10000 ENTER
 848,58 –
 Visor: R$9.151,42
3. Um título foi descontado por R$840,00, quatro meses antes de seu 
vencimento. Calcule o desconto obtido, considerando um desconto 
racional composto a uma taxa de 3% a.m.
 Solução:
 n = 4 meses
 i = 0,03 a.m.
 A = R$840,00
 Dr = N – A
 Dr = N – R$840,00
 Dr = N . [ ((1 + i)
n – 1) / (1 + i)n]
 (1 + 0,03)4 = R$1,12550881
 (1 + 0,03)4 –1 = R$0,12550881
 Dr = N . R$0,12550881 / R$1,12550881
 N . R$0,12550881 / R$1,12550881 = N – R$840,00
 N . R$0,12550881 = R$1,12550881 . N – R$945,4274004
 N = R$945,4274004
 Dr = R$945,4274004 – R$840,00
 Dr =
~ R$105,43
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
4. Um título sofre um desconto composto racional de R$6.465,18 quatro 
meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do va-
lor descontado do título, considerandoque a taxa de desconto é de 
5% a.m.:
 Solução:
 Dr = R$6.465,18
 n = 4 meses
 i = 0,05 a.m.
 Dr = N . [ ((1 + i)
n – 1) / (1 + i)n]
 (1 + 0,05)4 = 1,21550625
 (1,21550625)4 – 1 = 0,21550625
 R$6.465,18 = N . [0,21550625 / 1,21550625]
 N = R$36.465,14
 Na HP-12C:
 F8
 1 ENTER
 0,05 +
 4 yx
 1 –
 Visor: 0,21550625
 0,21550625 ENTER
 1,21550625 ÷
 Visor: 0,1772975
 6.465,18
 X<> Y ÷
 Visor: R$36.465,14
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
45
5. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional 
composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o 
valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$200.000,00, então o va-
lor nominal da dívida, sem considerar os centavos é igual a:
 Solução:
 N = 5 . Dr
 n = 10 meses
 A = R$200.000,00
 Dr = N – A
 Dr = 5 . Drc – R$200.000,00
 4 . Drc = R$200.000,00
 Dr = R$50.000,00
 Dr = N – A
 R$50.000,00 = N – R$200.000,00
 N = R$250.000,00
Atividades de fixação
1. Determinar o valor acumulado no final de 24 meses, com juros com-
postos de 1% ao mês, a partir do investimento inicial de R$2.000,00.
 FV = PV. (1 + i)n
 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,01)24
 FV = R$2.539,46
 Na HP-12C:
 2000 CHS PV
 24 n
 1 i
 FV
 Visor: R$2.539,46
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46
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
2. Determinar o valor do investimento inicial que deve ser realizado no 
regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1,25% ao mês, 
para produzir um valor acumulado de R$1.000,00 no final de dois anos.
 PV = FV / (1 + i) n
 Taxa ao mês: 1,25%
 Período: 2 anos = 24 meses
 PV = R$1.000,00/(1 + 0,0125)24
 PV = R$742,20
 Na HP-12C:
 1000 FV
 1,25 i
 24 n
 PV = Visor: – R$742,20 (em função de ser um investimento – “saída de 
dinheiro”).
3. Considerando o regime de juros compostos e uma taxa de juros de 
2,5% ao mês, quanto deve ser aplicado hoje se desejar possuir daqui a 
dois anos R$60.000,00?
 PV = FV / (1 + i)n
 PV = R$60.000,00 / (1 + 0,025)24
 PV = R$33.172,52
 Na HP-12C:
 60000 CHS FV
 2,5 i
 24 n
 PV
 Visor: R$33.172,52
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
47
4. Um título inicial de R$4.000,00 produz um valor acumulado de 
R$4.380,00 no fim de 10 meses. Determinar a taxa de rentabilidade 
mensal desse investimento no regime de juros compostos.
 FV = (PV . i)n
 R$4.380,00 = (R$4.000,00 . i)10
 i = (R$4.380,00 / R$4.000,00)1/10 – 1
 i = 0,911%
 Na HP-12C:
 Como estamos buscando taxa, é sempre interessante aumentar o nú-
mero de casas decimais. Vamos trabalhar com 6 casas, portanto, f6.
 f6
 f fin
 4380 FV
 4000 CHS PV
 10 n
 Visor: 0,911
5. Determinar o número de meses necessários para fazer um capital do-
brar de valor, sendo a taxa de juros de 6% ao ano, no regime de juros 
compostos.
 FV = PV . (1 + i)n
 R$200,00 = R$100,00 . (1 + 0,06)n
 (R$200,00 / R$100,00)1 . 0,06
 n = 12 meses
 Na HP-12C:
 Como queremos tempo, vamos manter a calculadora em f6.
 f 6
 f fin
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
 200 FV
 100 CHS PV
 6 i
 n
 Visor: 12
Taxas
Taxa é definida como um índice numérico relativo cobrado sobre um 
capital ou valor principal para a realização de alguma operação financeira. 
A taxa é fundamental no processo de capitalização e amortização. As taxas 
mais importantes são:
Taxa efetiva
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exem-
plos de taxas efetivas:
 7% ao mês, capitalizados mensalmente.
 1% ao trimestre, capitalizados trimestralmente.
 10% ao ano, capitalizados anualmente.
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras, nas funções finan-
ceiras das planilhas eletrônicas e nos fatores das tabelas financeiras.
Taxas proporcionais – juros simples
São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao 
serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produ-
zem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de 
juros simples. O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente 
ligado ao regime de juros simples, e é esclarecido através dos exemplos nu-
méricos e das fórmulas desenvolvidas nos próximos itens.
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49
Taxa real
Taxa real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da 
operação.
Exemplo
Determinar a taxa semestral e mensal que são proporcionais à taxa de 
12% ao ano.
Solução:
ia = 12% ao ano
 taxa semestral
 is . 2 = ia = is = ia / 2 = 12% / 2 = 0,12 / 2 = 0,06, isto é, 6% ao semestre.
 taxa mensal
 im . 12 = ia = im = ia / 12 = 12% / 12 = 0,12 / 12 = 0,01 isto é, 1% ao mês.
Conexão entre as taxas real, 
efetiva e de inflação
Exemplo
Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do 
mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então 
o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, 
a variação real no final desse mês, será definida por:
vreal = 1 + ireal
que pode ser calculada por:
vreal = resultado / (1 + iinflação)
logo:
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02
ireal = 2%
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Taxas equivalentes – juros compostos
São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao 
serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem 
um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros 
compostos.
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao 
regime de juros compostos.
Logo, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende 
exclusivamente ao regime de juros considerado.
Exemplo
Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de 
um principal de R$100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes 
taxas de juros:
 12,6825% ao ano;
 6,1520% ao semestre;
 1,00% ao mês.
Solução:
 Taxa anual
 FV = PV . (1 + i)n = R$100,00 . (1 + 0,126825)4 = R$100,00 . 1,6122 = 
R$161,22
 Na HP-12C:
 100 CHS PV
 4 n
 12,6825 i
 FV
 Visor: R$161,22
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51
 Taxa semestral
 FV = R$100,00 . (1 + 0,06152)8 = R$100,00 . 1,6122 = R$161,22
 Na HP-12C:
 100 CHS PV
 8 n
 6,1520 i
 FV
 Visor: 161,22
 Taxa mensal
 FV = R$100,00 . (1 + 0,01)48 = R$161,22
 Na HP-12C:
 100 CHS PV
 48 n
 1 i
 FV
 Visor: R$161,22
Situações possíveis com taxas equivalentes
Fórmula Taxa Período Número de vezes
1+ia = (1+isem)
2 isem semestre 2
1+ia = (1+iquad)
3 iquad quadrimestre 3
1+ia = (1+itrim)
4 itrim trimestre 4
1+ia = (1+imes)
12 imes mês 12
1+ia = (1+iquinz)
52 iquinz quinzena 24
1+ia = (1+isemana)
24 isemana semana 52
1+ia = (1+idias)
365 idias dia 365
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52
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Relação entre taxas equivalentes
Exemplo 1
Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada 
mês a mês?
Solução:
Vamos entender a frase: “12% ao ano capitalizada mês a mês”. Ela significa 
que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a 
cada 1 mês.
Se estivesse escrito “12% ao ano, capitalizada trimestralmente” deve-
ríamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 
(número de trimestres de 1 ano) que é 3%.
Vamos observar o fluxo de caixa da situação.
Observação: S neste fluxo representa o montante final da operação e C 
representa o capital.
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
S
A taxa mensal é i1 = 12% / 12 = 1% = 0,01, assim, a taxa efetiva pode ser 
obtida por 1 + i2 = (1,01)
12 = 1,1268247
Logo:
i2 = 0,1268247 = 12,68247%
Exemplo 2
Determinar as taxas anual e semestral equivalentes à taxa de juros de 1% 
ao mês.
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
53
Solução:
 Taxa anual
 (1 + ia ) = (1 + im )
12 = (1 + 0,01)12 = (1,01)12 = 1,126825
 Logo: ia = 1,126825 – 1 = 0,126825, ou seja, 12,6825% ao ano.
n i PV PMT FV
12 1,00 – R$100,00 0,00 R$112,68
 A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de R$112,68 obti-
do para FV, em relação ao valor principal de R$100,00, indicando uma 
taxa de 12,6825% ao ano.
 Taxa semestral
 (1 + is )
2 = (1 + im)
12 = (1 + is) = (1 + im)
6, portanto,
 is = (1 + im)
6 – 1 = (1,01)6 – 1 = 1,061520 – 1 = 0,061520, ou seja, 6,1520% 
ao semestre.
 Podemos obter esse valor com a calculadora HP-12C.
n i PV PMT FV
6 1,00 – R$1.00,00 0,00 R$106,15
Taxa nominal
Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa 
nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitaliza-
ção podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. A taxa nominal é 
bastante utilizada no mercado, mas não representa uma taxa efetiva e, por 
isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de capitalização 
de juros compostos.
Apresenta em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de 
juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implí-
cita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
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54
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar os cál-
culos financeiros, no regime de juros compostos, com os valores das taxas efe-
tivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao ano, e assim por diante.
As taxas efetivas que são implícitas nas taxas nominais anuais, são obtidas 
em função do número de períodos de capitalização da taxa nominal, confor-
me demonstração na tabela a seguir.
Período de 
capitalização em IN
Número de períodos de 
capitalização ao ano Taxa efetiva implícita
Diária 360 id = iN / 360
Mensal 12 im = iN / 12
Trimestral 4 it = iN / 4
Exemplo
Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa nominal de 
9% ao ano, com o período de capitalização mensal.
Solução:
iN = 9% ao ano
Capitalização mensal taxa efetiva mensal
im = 9% / 12 = 0,75% ao mês ou 0,0075
Logo:
(1 + ia) = (1 + im)
12 = (1 + 0,0075)12 = (1,0075)12
Ia = (1,0075)
12 – 1 = 1,093807 – 1 = 0,0938007 ou 9,3807% ao ano.
n i PV PMT FV
12 0,75 – R$100,00 0,00 R$109,38
Complemento
A Tabela Price, que tem grande aceitação no mercado, é utilizada princi-
palmente para calcular o valor das prestações de financiamentos imobiliários. 
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
55
Sua grande característica consiste em ter a taxa nominal como elemento de 
entrada para obtenção dos fatores. Entretanto, os fatores são calculados com 
a taxa efetiva decorrente da taxa nominal, em função do número de perío-
dos de capitalização. Assim, por exemplo, uma Tabela Price de 12% ao ano, 
capitalizados mensalmente, tem as seguintes características:
 a taxa de entrada, para a obtenção dos fatores, é de 12% ao ano, capi-
talizados mensalmente;
 os períodos dessa tabela correspondem a meses;
 a taxa utilizada no cálculo dos fatores é a taxa efetiva de 1% ao mês.
Taxa bruta e taxa líquida
Costuma-se denominar taxa bruta de uma aplicação financeira, a taxa de 
juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, 
sem levar em consideração o desconto do imposto de renda, que é retido 
pela instituição financeira e recolhido ao Bacen.
Por outro lado, denomina-se taxa líquida de uma aplicação financeira a 
taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e do resgate líquido, 
já levando em conta o desconto do Imposto de Renda.
Exemplo
Um investidor aplicou R$10.000,00, durante 6 meses, contratando uma 
taxa de 12% ao ano capitalizados mensalmente. Sabendo-se que sobre o ren-
dimento auferido incide uma tributação a título de Imposto de Renda com 
uma alíquota de 25%, determinar a taxa líquida do investimento.
Solução:
PV = R$10.000,00
n = 6 meses
in = 12% a.a. ou seja 1 % a.m.
IR = 25% sobre o rendimento (isto é, sobre os juros)
iliq = ?
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56
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
n i PV PMT FV
6 1,00 – R$10.000,00 0,00 R$10.615,20
Sabendo-se que J = FV – PV
J = R$10.615,20 – R$10.000,00 = R$615,20
IR = 25%, logo IR = 0,25 . 615,20 
IR = R$153,80
 Dessa forma, o valor bruto (FV) sofrerá um desconto de R$153,80, logo 
Fvliq = R$10.461,40.
Passa-se então à seguinte condição:
PV = R$10.000,00
n = 6 meses
Fvliq = R$10.461,40
PMT = 0
iliq = ?
n PV PMT FV i
6 – R$10.000,00 0,00 R$10.461,40 0,75462
Na HP-12C:
10000 CHS PV
6 n
10 461,40 FV
i
Visor: R$0,75462
Logo, a taxa líquida da operação é de 0,75462% ao mês ou 9,05544% ao 
ano capitalizados mensalmente.
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
57
Relação entre taxa real e taxa nominal
Essas duas denominações estão diretamente ligadas ao fenômeno da 
inflação. Costuma-se denominar taxa real aquela obtida após se eliminar o 
efeito da inflação, e taxa nominal aquela que inclui a inflação. Assim, a taxa 
nominal é sempre maior do que a taxa real.
i
i
ir
n
i
=
+
+
−
1 
1
1
Onde in = taxa nominal, ii = taxa de inflação.
As taxas deverão, para determinação da taxa real, estar indicadas na 
mesma unidade de tempo.
Exemplo
Sabendo-se que um investimento é contratado à taxa nominal de 12% ao 
ano e que no mesmo período a taxa de inflação é de 3%, determinar a taxa 
real que incidirá sobre o investimento.
Solução:
in = 12% ao ano
ii = 3%
ir = ?
 
ir =
+
+
− =1 0 12
1 0 03
1 0 087379
,
,
, a.m.
ou 8,7379% a.m.
Na HP-12C:
1,12 ENTER
1,03 ÷
1 –
100 ×
Visor: 8,7379% ao mês
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Resumindo, podemos dizer que:
 a taxa efetiva é a utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos;
 a taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita em seu enunciado, que 
depende do número de períodos de capitalização.Essa taxa efetiva 
deve ser utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos;
 taxas proporcionais são taxas de juros que permitem o mesmo cresci-
mento do dinheiro, no regime de juros simples;
 taxas equivalentes são taxas de juros que permitem o mesmo cresci-
mento do dinheiro, no regime de juros compostos;
 taxa bruta e taxa líquida estão ligadas ao desconto ou não do imposto 
de renda;
 taxa real e taxa nominal estão ligadas ao fenômeno da inflação.
Ampliando seus conhecimentos
Vamos fazer uma viagem pela história das taxas de juros brasileira:
Taxas referenciais
 TBC – Taxa básica do Banco Central – era usada pelo BC como base 
inicial (piso) de negócio na captação de recursos, através da venda de 
títulos federais em seus leilões semanais.
 TBAN – Taxa de Assistência do Banco Central – era usada para con-
cessão de assistência financeira aos bancos comerciais; servia como 
“taxa teto” para os negócios do mercado interbancário.
 TBF – Taxa Básica Financeira – correspondente à média das taxas de 
juros dos certificados de depósitos bancários das trinta maiores institui-
ções financeiras do país, sendo que as duas taxas extremas, a maior e a 
menor, eram excluídas do cálculo.
 TJLP – Taxa de Juros de Longo Prazo – aplicada às operações finan-
ceiras de longo prazo realizadas pelo BNDES. Sempre é calculada para 
o trimestre seguinte, utilizando a média ponderada do trimestre ante-
rior, das taxas dos títulos da dívida externa federal, com peso de 0,75, e 
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
59
também dos títulos da dívida interna, com peso de 0,25. Entre as aplica-
ções está a correção do PIS/PASEP.
 TR – Taxa Referencial – é uma taxa básica, criada no governo Collor 
com o objetivo de estabelecer um parâmetro móvel, para fundamentar 
as demais taxas de juros. Corresponde à média móvel ponderada das 
taxas de captação dos certificados de depósitos bancários praticadas 
pelas 20 principais instituições financeiras. Sua fórmula é determinada 
pelo Ministério da Fazenda e tem variado ao longo desses anos.
Taxas do mercado monetário
 Taxa Over/Seliq – é a taxa de um dia “overnight” do Seliq – Sistema Cus-
tódia e Liquidação de Títulos, onde são realizadas as operações envol-
vendo títulos públicos federais. É a taxa aplicável a operações interban-
cárias, de empréstimos de reservas, lastreados em títulos federais.
 Taxa Over/CDI – É a taxa referente a transações de um dia com o certifica-
do de depósito bancário através do Cetip – Centro de Custódia e Liquida-
ção de Títulos, onde são negociados os títulos privados. 
Taxas de empréstimos
 Desconto de duplicatas – aplicada a empréstimos conseguidos por 
descontos de duplicatas de empresas, mediante contrato prévio deter-
minando saldo médio, percentual de desconto (entre 70% e 85%) e dé-
bito automático de duplicatas vencidas e sem pagamento.
 Capital de giro – taxa aplicada aos empréstimos de capital de giro ga-
rantida por contrato e emissão de nota promissória.
 Cheque especial – taxa aplicada ao saldo devedor de conta de depósi-
to, funcionando como empréstimos de emergência e de curto prazo. É 
acompanhada de taxas de serviço altas, principalmente se os cheques 
não apresentarem fundos suficientes para cobertura.
 Hot money – taxa incidente sobre empréstimos individuais concedidos 
mediante notas promissórias avalizadas por terceiros.
(IstoÉ, São Paulo, n. 43, 2007.)
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Atividades de aplicação
1. Determinar as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 
24% ao ano.
2. Determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 7,5% ao semestre.
3. Determinar a taxa diária proporcional à taxa de 1,5% ao mês.
4. Determinar as taxas mensal e semestral que são equivalentes à taxa de 
3% ao trimestre.
5. Determinar a taxa diária que é equivalente à taxa de 1,5% ao mês.
6. Um investidor aplicou R$12.000,00. Após 7 meses efetuou o resgate 
integral de R$20.565,89. Qual é a taxa anual equivalente à taxa contra-
tada no investimento?
7. Se uma instituição bancária deseja ganhar 30% ao ano como taxa efe-
tiva, que taxa nominal anual deverá pedir, caso adote capitalização 
mensal?
8. O Banco Alfa cobra, em suas operações de crédito pessoal, uma taxa 
de juros de 45% ao ano com capitalização diária. Considerando um 
empréstimo de R$10.000,00, com prazo contratado de 3 meses, qual 
será o valor devido pelo tomador?
Gabarito
1. taxa semestral = 0,12; mensal = 0,02 e diária igual a 0,000667.
 
is = =
24
12
% a.a.
2
 a.s.%
 
im = =
24
2
% a.a.
12
 a.m.%
 
id = =
24
0 06667
% a.a.
360
 a.d., %
2. 0,0125
 
im = =
7,5% a.s.
6
 a.m.1 25, %
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
61
3. 0,0005
 
id = =
1,5% a.m.
30
 a.d.0 05, %
4. taxa anual = 0,125509 ou 12,5509% ao ano e 0,060900 ou 6,09% ao 
semestre.
 1 trimestre = 3 meses
 (1 + im)
3 = (1 + it)
1
 (1 + im)
3 = (1 + 0,03)1
 1 + im = (1 + 0,03)
1/3
 im = 1,009902 – 1 = 0,009902 ou 0,99% a.m.
 2 trimestres = 1 semestre
 (1 + is)
1 = (1 + it)
2
 (1 + is)
1 = (1 + 0,03)2
 1 + is = 1,0609
 is = 1,0609 – 1 = 0,0609 ou 6,09% a.s.
 4 trimestres = 1 ano
 (1 + ia)
1 = (1 + it)
4
 (1 + ia)
1 = (1 + 0,03)4
 1 + ia = 1,125509
 ia = 1,125509 – 1 = 0,125509 ou 12,5509% a.a.
5. 1 mês = 30 dias
 (1 + id)
30 = (1 + im)
1
 (1 + id)
30 = (1 + 0,015)1
 (1 + id) = (1 + 0,015)
1/30
 1 + id = 1,000496
 id = 1,000496 – 1 = 0,000496 ou 0,0496% a.d.
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
6. i = 151,81701% ao ano
 Com uso do formulário:
 FV = PV . (1 + i)n
 R$20.565,89 = R$12.000,00 . (1 + i)7
 
R
R
i
$ . ,
$ . ,
( )
20 565 89
12 000 00
1
7= +
 1 713750 1
7 77, ( )= + i
 1,079993 = (1 + i) 7,9993% a.m. É a taxa efetiva mensal.
 1 ano = 12 meses
 (1 + ia)
1 = (1 + im)
12
 (1 + ia )
1 = (1 + 0,079993)12
 1 + ia = 2,517974
 ia = 2,517974 – 1 = 1,517974 ou 151,7974% a.a.
 Com HP-12 C:
 (f ) (FIN)
 12000 (CHS) (PV) 
 20565,89 (FV)
 7 (n)
 (i) 7,99% a.m.
 100 ( ÷ )
 1 (+)
 12 ( yx )
 1 ( – )
 100( × )
 Visor: 151,82 a.a.
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
63
7. i = 26,53 % ao ano
 1 ano = 12 meses
 (1 + ia)
1 = (1 + im)
12
 (1 + 0,3)1 = (1 + im)
12
 1 + im = 1 30
1
12,
 im = 1,022104 – 1 = 0,022104 ou 2,2104% a.m. Taxa mensal efetiva
 ia nom = taxa efetiva mensal . 12 
 ia nom = 2,2104% a.m. . 12 = 26,53% a.a., capitalizado mensalmente.
8. id = =
45
0 125
%
, %
 a.a.
360
 a.d.
 FV = PV . (1 + id)
90
 FV = R$1.000,00 . (1 + 0,00125)90
 FV = R$1.000,00 . 1,118994
 FV = R$11.189,94
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Séries uniformes, antecipadas, 
postecipadas e diferidas
Os números governam o mundo.
Platão
Prestações iguais
Essa modalidade de prestações (pagamentos ou recebimentos) é conhe-
cida mundialmente como sistema ou modelo Price. A característica princi-
pal nesse modelo é o fato de que todas as prestações ou parcelas