Critérios de Dimensionamento

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
IPUC - Instituto Politécnico
Disciplina:
7078.1.00 : ESTRUTURAS DE MADEIRA
• CONSIDERAÇÕES
• TRAÇÃO SIMPLES
• FLEXÃO SIMPLES
5. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO
5.1. ASPECTOS GERAIS DOS CRITÉRIOS
Peças Principais Isoladas :
Smin = 50 cm²
Espessura Mínima = 5 cm
Exemplo: Vigas e Barras Longitudinais em Treliças
Peças Secundárias :
Smin = 18 cm²
Espessura Mínima = 2,5 cm
A. Dimensões Mínimas das Peças de Madeira
3
Peças Principais Múltiplas :
Smin = 35 cm² para cada peça
Espessura Mínima = 2,5 cm para cada peça
Peças Secundárias Múltiplas :
Smin = 18 cm² para cada peça
Espessura Mínima = 1,8 cm para cada peça
4
5
6
B. Esbeltez Máxima das Peças de Madeira
Elementos Estruturais Comprimidos:
Lmáx <= 40 X a menor dimensão da seção transversal
Elementos Estruturais Tracionados:
Lmáx <= 50 X a menor dimensão da seção transversal
Para seções retangulares:
7
C. Peças com Seção Transversal Circular
Com Seção Circular Constante
Consideradas como  seção quadrada (de área equivalente)
Com Seção Circular Variável
Área equivalente 
d1d2 deq
L / 3 2L / 3 𝑑𝑒𝑞= 𝑑2 +
𝑑1 − 𝑑2
3
𝑑𝑒𝑞 ≤ 1,5 𝑑2
8
D. Tração Normal às Fibras
Deve ser evitada a ocorrência desta solicitação
E. Resistência a Tensões Normais Inclinadas em Relação às Fibras
A NBR 7190 permite ignorar a influência da inclinação até ângulo igual a 6°
Se ângulo for superior:
θ = ângulo da força em relação às fibras da madeira
• Verificação do Estado Limite Último ( ELU ) de Resistência a Tração Paralela às 
Fibras:
5.2. PEÇAS TRACIONADAS AXIALMENTE
dt
útil
td
f
A
N
d
,0

VALOR DE CÁLCULO DA
TENSÃO ATUANTE DE
TRAÇÃO
VALOR DE CÁLCULO DO
ESFORÇO DE TRAÇÃO
ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL
DA PEÇA (DESCONTANDO OS
EVENTUAIS FUROS OU
ENTALHES)
VALOR DE CÁLCULO DA
RESISTÊNCIA À TRAÇÃO
PARALELA ÀS FIBRAS
OBS: quando a redução da área resistente for 
superior a 10% da peça íntegra
10
EXEMPLO
Verificação da seção útil linha de tesoura
A linha de uma tesoura está submetida ao esforço solicitante de cálculo Nsd = 50 kN,
considerando uma situação duradoura de projeto, verifique se a seção 7,5 cm x 10 cm
atende a este esforço (Figura), considerando: conífera classe C-30; carregamento de longa
duração; classe 4 de umidade; peças de 2ª categoria; parafusos de diâmetro 12,5 mm com
tensão de escoamento fy = 250 MPa.
11
RESOLUÇÃO
dt
útil
td
f
A
N
d
,0

12
PARA MADEIRAS DE 2ª CATEGORIA E CARREGAMENTOS DE LONGA DURAÇÃO
Kmod 1
Kmod 2
RESISTÊNCIAS DE CÁLCULO
Kmod 3
Os coeficientes de ponderação nos ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
15
16
OK ! VERIFICADO
OCORRÊNCIAS:
• Vigas de Piso
• Vigas de Pontes
• Alguns Componentes de Estruturas de Cobertura
• Peças de Formas e Cimbramento
5.3. PEÇAS SOLICITADAS POR FLEXÃO SIMPLES - VIGAS
SOLICITAÇÃO : 
M  MOMENTO FLETOR
V  ESFORÇO CORTANTE
• Verificação do Estado Limite Último ( ELU )
de Resistência às Tensões Normais 
de Resistência às Tensões Tangenciais 
a Instabilidade Lateral
• Verificação Limite de Utilização ( ELS )
às Flechas
às Vibrações Excessivas
Para peças fletidas deve-se considerar como VÃO TEÓRICO ( L ):
O MENOR dentre os seguintes valores:
L 
• Distância entre eixos dos apoios;
• Distância entre as bordas internas dos apoios acrescida da
altura da seção transversal da peça no meio do vão
(não considerar acréscimo superior a 10 cm)
H
EXEMPLO
5.3.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO : TENSÕES NORMAIS 
Deve-se satisfazer SIMULTANEAMENTE as seguintes condições:
dc
c
cd
f
W
M
d
,0

dt
t
td
f
W
M
d
,0

VALOR DE CÁLCULO DA
MÁXIMA TENSÃO ATUANTE
DE COMPRESSÃO
VALOR DE CÁLCULO DA
MÁXIMA TENSÃO ATUANTE
DE TRAÇÃO
VALOR DE CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR ATUANTE
MÓDULO DE RESISTÊNCIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL, REFERENTE A BORDA COMPRIMIDA
MÓDULO DE RESISTÊNCIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL, REFERENTE A BORDA TRACIONADA
VALOR DE CÁLCULO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO PARALELA ÀS FIBRAS
VALOR DE CÁLCULO DA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO PARALELA ÀS FIBRAS
RELEMBRANDO:
c
c
y
I
W 
t
t
y
I
W 
𝑦𝑐 : coordenada da fibra comprimida mais afastada da L. N.
𝑦𝑡 : coordenada da fibra tracionada mais afastada da L. N.
5.3.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO : TENSÕES TANGENCIAIS 
MOMENTO ESTÁTICO DA PARTE DA SEÇÃO TRANSVERSAL (EM RELAÇÃO AO CENTRO DE
GRAVIDADE) SITUADA ABAIXO (OU ACIMA) DA POSIÇÃO NA QUAL SE DETERMINA A TENSÃO DE
CISALHAMENTO
dvvd
f
Ib
SV
d
,0

VALOR DE CÁLCULO DA
MÁXIMA TENSÃO ATUANTE
DE CISALHAMENTO
VALOR DE CÁLCULO DO ESFORÇO CORTANTE ATUANTE
LARGURA UTIL DA SEÇÃO TRANSVERSAL, NA POSIÇÃO CONSIDERADA
VALOR DE CÁLCULO DA RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO PARALELO ÀS FIBRAS
MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL
( 1 )
PARA SEÇÕES RETANGULARES com largura b e altura h, a equação anterior pode ser 
expressa por:
dvvd
f
hb
V
d
,0
2
3
 ( 2 )
Quando forem aplicadas CARGAS CONCENTRADAS próximas aos apoios ocorre o
efeito FAVORÁVEL da compressão normal às fibras, que aumenta a resistência da madeira
ao cisalhamento.
h
a
VV
ddred
2
,

a : distância entre o ponto de aplicação da carga concentrada e o eixo do apoio
Se as equações 1 ou 2 não forem satisfeitas pode–se lançar mão da
redução dos esforços cortantes atuantes, até à distância de duas vezes a
altura da viga, como a seguir:







11
2
3
h
h
hb
V
d
d

EM VIGAS ENTALHADAS existe variação brusca de seção, então ocorre concentração 
de tensões de cisalhamento.
É necessário majorar a equação 1
( 3 )
Deve ser RESPEITADA a condição:
h1 > 0,75 h
Para Seções Retangulares : 
Caso h1  0,75 h
RECOMENDA-SE
1 – Utilização de parafusos verticais dimensionados à tração axial para a
totalidade do esforço cortante, ou
2 – Emprego de seções variáveis com mísulas com comprimento MAIOR que
três vezes a altura do entalhe
a ≥ 3 . ( h - h1 )
Para as duas recomendações:
h1 ≥ 0,5 h 
5.3.3. ESTADO LIMITE ÚLTIMO : INSTABILIDADE LATERAL
A NBR 7190 DISPENSA ESTA VERIFICAÇÃO QUANDO FOREM SATISFEITAS AS
SEGUINTES CONDIÇÕES:
A : OS APOIOS NAS EXTREMIDADES DA PEÇA IMPEDEM A ROTAÇÃO DE SUAS
SEÇÕES EM TORNO DO EIXO LONGITUDINAL DA PEÇA;
B: EXISTEM ELEMENTOS DE
TRAVAMENTO AO LONGO DO
COMPRIMENTO ( L ) DA VIGA,
AFASTADOS ENTRE SI A UMA
DISTÂNCIA MENOR OU IGUAL A
L1, QUE TAMBÉM IMPEDEM A
ROTAÇÃO DESTAS SEÇÕES
TRANSVERSAIS EM TORNO DO
EIXO LOGITUDINAL DA PEÇA
𝐿1
𝑏
≤
𝐸𝑐0,𝑒𝑓
𝛽𝑀 𝑓𝑐0,𝑑 𝛽𝑀 =
1
0,26 𝜋
.
𝛽𝐸
𝛾𝑓
.
ℎ
𝑏
1,5
ℎ
𝑏
− 0,63
0,5
COEFICIENTE M EM FUNÇÃO DA RELAÇÃO h/b
h/b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
M 6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6 41,2 44,8 48,5 52,1 55,8 59,4 63,0 66,7 70,3 74,0
Para as vigas de seção transversal retangular, de largura b e altura h medida no plano 
de atuação do carregamento
𝛽𝐸 = 4 𝛾𝑓 = 1,35
28
SE
𝐿1
𝑏
>
𝐸𝑐0,𝑒𝑓
𝛽𝑀 𝑓𝑐0,𝑑
𝑓𝑐𝑑 =
𝐸𝑐0,𝑒𝑓
𝛽𝑀
𝐿1
𝑏
também se dispensa a verificação da segurança em
relação ao estado limite último de instabilidade
lateral, desde que sejam satisfeitas as exigências de
com
dc
c
cd
f
W
M
d
,0

FLECHAS MÁXIMAS: Utilizar as expressões usuais da Resistência dos Materiais
Disponibilizado no SGA arquivo : Formulário Para estruturas Correntes
Fd






 

kQj
n
j
jkGid
FFF
,
2
2,

As flechas máximas devem atender aos limites para o plano de flexão conforme 
NBR 7190
5.3.4. ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO : FLECHAS
VIGA BI APOIADA VIGA EM BALANÇO
𝛿𝑙𝑖𝑚 =
𝐿
200
𝛿𝑙𝑖𝑚 =
𝐿
100
Fd
L
𝛿𝑚á𝑥 ≤ 𝛿𝑙𝑖𝑚
COMBINAÇÃO DE AÇÕES item 5.8 pág 13 NBR 7190
Tabela 2 pág 9 NBR 7190 
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
1 - DIMENSIONAR UMA VIGA, COM MADEIRA DE CLASSE C-60, PRIMEIRA
CATEGORIA, CLASSE DE UMIDADE 2.
CONSIDERAR COMO CARREGAMENTO MAIS CRÍTICO O COMPOSTO PELA
AÇÃO PERMANENTE (0,5 kN / m) E PELA AÇÃO VARIÁVEL (1 kN ) RELATIVA À
PREVISÃO DE UM HOMEM FAZENDO MANUTENÇÃO.
0,5 kN/m
1 kN
3,75 m
b
h
RESOLUÇÃO
A – Pré Dimensionamento da seção transversalB – Solicitação : Carregamento Atuante
B.1 – Esforços Atuantes Característicos
B.2 – Esforços Solicitantes de Cálculo
C – Resistência da Madeira
D – Verificações :
D.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
• TENSÃO NORMAL
• TENSÃO DE CISALHAMENTO
• INSTABILIDADE LATERAL
D.2 ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO ( ELS)
• FLECHA MÁXIMA
PRÉ DIMENSIONAMENTO
BITOLAS COMERCIAIS (cm) : 
dd
XS 
VERIFICAÇÃO
ESFORÇOS SOLICITANTES CARACTERÍSTICOS
Carga Concentrada : NO MEIO DO VÃO AB
Carga Concentrada : PRÓXIMA DO APOIO A ou B
SITUAÇÃO MAIS DESFAVORÁVEL PARA ESFORÇO CORTANTE
𝑽𝑨 = 𝑭 ou 𝑽𝑩 = 𝑭
37






 

kQj
n
j
jkQQkGiGid
FFFF
,
2
0,1,
.. 
Ação permanente
Ação variável 
principal
Ação variável 
secundária
ESFORÇOS SOLICITANTES DE CÁLCULO
38
COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO
39
RESISTÊNCIAS CARACTERÍSTICAS
Kmod 1
Kmod 2
RESISTÊNCIAS DE CÁLCULO
NBR 7190 : 
Kmod 3
Os coeficientes de ponderação nos ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
dc
c
cd
f
W
M
d
,0

ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS
dt
t
td
f
W
M
d
,0

VERIFICAÇÃO DA TENSÕES DE CISALHAMENTO
dvvd
f
hb
V
d
,0
2
3

c
c
y
I
W 
t
t
y
I
W 
𝐿1
𝑏
≤
𝐸𝑐0,𝑒𝑓
𝛽𝑀 𝑓𝑐0,𝑑 𝛽𝑀 =
1
0,26 𝜋
.
𝛽𝐸
𝛾𝑓
.
ℎ
𝑏
1,5
ℎ
𝑏
− 0,63
0,5
COEFICIENTE M EM FUNÇÃO DA RELAÇÃO h/b
h/b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
M 6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6 41,2 44,8 48,5 52,1 55,8 59,4 63,0 66,7 70,3 74,0
VERIFICAÇÃO ESTABILIDADE LATERAL DA VIGA
𝛽𝐸 = 4 𝛾𝑓 = 1,35
ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO (ELS)
VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS MÁXIMAS 𝛿𝑚á𝑥 ≤ 𝛿𝑙𝑖𝑚
VIGA BI APOIADA 𝛿𝑙𝑖𝑚 =
𝐿
200