QUESTÕES SOBRE TEORIA DE GRUPOS

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QUESTÕES SOBRE TEORIA DE GRUPOS
1- Seja a definição:
Dê 5 exemplos de grupos.
Exemplo 1
a) Considere o conjunto Z com a operação usual de adição (+). Como a operação + é uma operação binária associativa sobre Z temos:
 i) ∀ a, b ∈ Z ⇒ a + b ∈ Z;
ii) ∀ a, b, c ∈ Z ⇒ a + (b+c) = (a+b) + c;
iii) ∃ 0 ∈ Z : ∀ a ∈ Z ⇒ 0 + a = a;
iv) ∀ a ∈ Z ⇒ ∃ − a ∈ Z: (−a) + a = 0. 
Logo, (Z,+) é um grupo.
Exemplo 2
Verifique se o par (R, +) forma um grupo
(i ) Associatividade:
a + ( b + c) = ( a + b) + c ∀ a, b, c Є R
a + b + c = a + b + c
∴ vale a associatividade
(ii) Elemento neutro
∃ e Є R, a + e = e + a = a, ∀ a Є R
Temos
A + 0 = 0 + a = a 
∴ Existe elemento neutro
iii) elemento simetrizável
Para cada a Є R existe a´tal que a + a´= a´+ a = e
A + (-a) = -a + a = 0
Logo, (R, +) é grupo
Exemplo 3
b) Seja Q*, conjunto dos números racionais sem o zero, munido da multiplicação usual em Q. Afirmamos que (Q,·) é um grupo. Vejamos:
i) ∀ a, b ∈ Q* ⇒ a ≠ 0 e b ≠ 0 ⇒ a · b ≠ 0 ⇒ a · b ∈ Q*.
ii) Já é sabido que · é uma operação binária associativa, ou seja, para todo a, b, c ∈ Q*,
 a · (b · c) = (a · b) · c 
iii) Q*possui o 1 como elemento neutro da multiplicação, pois, para todo a ∈ Q* temos:
 1·a = a
iv) Todo elemento a ∈ Q*possui inverso multiplicativo que é 1/a ∈ Q*. 
De fato, 1 · a = 1
 a
Logo,(Q*,·) é um grupo
Exemplo 4
 Seja G = {1,−1}. Afirmamos que G é um grupo com a operação de multiplicação usual dos números reais. Vejamos, mas antes, sempre que possível e por simplicidade omitiremos a partir daqui o · que representa a multiplicação usual.
i) Para todo a, b ∈ G, temos ab ∈ G, pois, 
1 · 1 = 1
1· (−1) = −1 
(−1) · 1 = −1 
(−1) · (−1) = 1
ii) Como que, para todo a, b, c ∈ G, tem-se a (b c) = (ab) c
iii) G possui elemento neutro que é 1
v) Para todo a ∈ G, o próprio a é seu inverso, ou seja, a −1 = a. 
De fato, para a = 1 ou a = −1 temos que a −1 a = aa = 1
Logo, G é um grupo multiplicativo.
Exemplo 5
Seja G = {x ∈ R | x ≠ −1}
Ao se demonstrar que G é um grupo com relação à operação ⊕ dada por: 
x ⊕ y = x + y + xy
Teremos:
i) G é fechado para a operação ⊕. 
 De fato, para todo x, y ∈ G, x ≠ −1 e y ≠ −1, temos:
 
x ⊕ y = x + y + xy = (x + 1) (y + 1) −1≠ −1 ⇒ x ⊕ y ∈ G
ii) Para todo x,y,z ∈ G vem que:
x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y + z + yz) 
 = x + (y + z + yz) + x (y + z + yz) 
 = x + y + z + yz + xy + xz + x (yz) 
 = x + y + z + yz + xy + xz + (xy) z
 = (x + y + xy) + z + (x + y + xy) z 
 = (x + y + xy) ⊕ z 
 = (x ⊕ y) ⊕ z.
Logo, a operação ⊕ é associativa. 
iii) Para todo x ∈ G, vamos observar se existe e ∈ G tal que e ⊕ x = x.
e ⊕ x = x
e + x + ex = x
e + ex = 0
(1+x) e = 0
e = 0.
Logo, G possui elemento neutro que é e = 0. 
iv) E finalizando, todo x ∈ G possui um inverso x−1 ∈ G, pois, 
x−1 ⊕ x = e
x−1 + x + x−1 x = 0
x−1 = - x = - 1 + 1 ≠ −1
 1+x 1+ x
 Logo, (G, ⊕) é um grupo.
2- Seja a definição:
Exemplo 1
Sejam (G *) um grupo e x Є G
Prove que G é abeliano
Se x2 = e, ∀ x Є G
Tomemos x, y Є G
x2 = e e y2 = e
x, y Є G ⇒ x * y = k Є G
k2 = e 
k * k = e
(x * y) * ( x * y) = e
x * (x * y) * (x * y) * y = x * e * y
(x * x) * y * x * (y * y) = x * y
e * y * x * e = x * y
y * x = x * y
Exemplo 2
G = {a0, a1, a2} com a operação definida por ai * aj = a[i+j]mod(3) sendo que a expressão [i + j] mod (3) é o resto da divisão inteira de i + j por 3. Esta operação pode ser posta na tabela:
	*
	a0
	a1
	a2
	a0
	a0
	a1
	a2
	a1
	a1
	a2
	a0
	a2
	a2
	a0
	a1
Pela tabela segue que, para quaisquer ai, aj Є G, temos que ai * aj Є G, assim, a operação * é fechada em G.
Existe um elemento neutro a0 Є G tal que para todo aj Є G vale a igualdade aj*a0=aj.
(G,*) é comutativo, pois para quaisquer ai, aj Є G, segue que ai*aj=aj*ai, isto é:
ai*aj=a[i+j]mod(3)=a[j+i]mod(3)=aj*ai
Este fato também pode ser observado na tabela das operações, pois esta é simétrica com relação à diagonal principal.
(G,*) é associativo, pois para quaisquer ai, aj, ak Є G, temos que
	ai*(aj*ak)
	=
	ai ** a[j+k]mod(3) = a[i+(j+k)]mod(3)
	 
	=
	a[i+j+k]mod(3) = a[(i+j)+k]mod(3)
	 
	=
	a[i+j]mod(3)*ak = (ai*aj)*ak
Cada ai Є G possui um inverso aj Є G tal que aj = ai, isto é, cada elemento é o inverso dele mesmo.
(G, * ) é uma estrutura de grupo abeliano (comutativo).
Exemplo 3
Consideremos o conjunto R com a operação ⊕ definida por x ⊕ y = x + y − 5 para quaisquer x, y ∈ R. Demonstre que G = (R,⊕) é um grupo abeliano.
Solução: Inicialmente, vamos mostrar que a operação ⊕ é associativa, tem elemento neutro e todo elemento de G tem inverso.
• Para quaisquer x, y, z ∈ G, temos:
◦ x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y + z − 5) = x + (y + z − 5) − 5 = x + y + z −10
◦ (x ⊕ y) ⊕ z = (x + y − 5) ⊕ z = (x + y − 5) + z − 5 = x + y + z − 10
Logo, x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z.
• Suponhamos que ⊕ tenha elemento neutro e. Então e ⊕ x = x para todo x Є R o que implica em e + x −5 = x de onde obtemos e = 5. 
(Podemos agora comprovar que e = 5 é realmente o elemento neutro dessa operação: e ⊕ x = 5 ⊕ x = 5 + x −5 = x e x ⊕ e = x + 5 −5 = x para todo x ∈ R.)
• Dado x ∈ R, vamos determinar y = x−1. 
Por definição, temos x ⊕ y = e, ou seja, x + y − 5 = 5. 
Daí, obtemos que y = − x + 10, isto é, x −1 = −x + 10.
(Comprovando: x ⊕ x −1 = x ⊕ (− x + 10) = x + (− x + 10) −5 = 5 = e e x ⊕ x = (− x + 10) ⊕ x = (− x +10) + x − 5 = 5 = 5. 
Logo, (− x + 10) é realmente o inverso de x com relação à operação ⊕.)
Agora, vamos mostrar que ⊕ é comutativa:
• x ⊕ y = x + y − 5 = y + x −5 = y ⊕ x para quaisquer x, y Є G.
Fica mostrado assim que (G, ⊕) é um grupo abeliano
Exemplo 4
Seja (G, * ) um grupo para o qual ( x*y)2 = x2 * y2, ∀ x, y ∈ G. Mostre que G é abeliano. Observação: Se a Є G , então a2 é o mesmo que a * a.
Solução: Para quaisquer x, y Є G, a igualdade dada é equivalente a x * y * x * y = x * x * y * y. 
Multiplicando por x−1 à esquerda e por y−1 à direita, obtemos:
x−1 * x * y * x * y * y−1 = x−1 * x * y * x * y * y−1 ⇒
 = e = e = e = e
y * x = x * y
Como x e y são dois elementos genéricos, concluímos que o grupo é abeliano
Exemplo 5
Seja (G, *) um grupo com elemento neutro e para o qual x2 = e, ∀ x Є G. Mostre que G é abeliano.
Solução: Sejam x e y dois elementos genéricos de G. 
Por hipótese, neste grupo, todo elemento elevado ao quadrado é igual ao elemento neutro, logo:
 x2 = e, y2 = e 
e ( x * y)2 = e
Como ( x * y)2 = é o mesmo que x * y * x * y = e, multiplicando por x esquerda e por y à a direita, obtemos
 x * x* y * x * y * y = x * e * y ⇒ y * x = x * y
 = e = e
Logo, G é abeliano.
3- Demonstre o lema abaixo:
Demonstração: 
Se S é subgrupo, então S ≠ Ø e, dado b ϵ S, temos 1-b Є S, o que decorre da seguinte condição definição de grupo. 
Dados ab Є S, (não necessariamente distintos), temos 1 ab-1 ϵ S. 
Reciprocamente, se S ≠ Ø, então a condição 1 nos diz que existe a Є S. 
Se 1 ϵ G denota o elemento neutro de G então, pela condição 2, 1 = aa S- 1 ϵ S .
 Se b Є S , então b-1 = 1 . b-1 Є S , novamente pela condição 2
	
Finalmente, se a e b pertencem a S, então ab = a (b-1)-1. 
Sendo assim, S é fechado para a operação de G e também para a inversão, isto é, o inverso de um elemento de S está em S. 
Dessa forma, as condições para que S seja um grupo são satisfeitas, logo S é subgrupo de G.
4- Demonstre o lema abaixo:
Demonstração: 
Essa função está bem definida, pois, se aS = bS, então a-1b Є S, logo a-1 Є Sb-1 e As-1 = Sb-1. A sobrejetividade dessa função é clara. Quanto à injetividade, se aS e bS têm a mesma imagem, então As-1 = Sb-1, logo a-1 b Є , donde b Є aS e bS = aS
Em particular, se sG é finito, então Gs também é finito e ambos têm o mesmo número de elementos. Esse número de elementos é chamado de índice de S em G e denotado por (G : S). Quando SG (e, consequentemente,
SG) é infinito, dizemos que o subgrupo S tem índice infinito em G e denotamos ( G : S ) = ∞ .
Um grupo G pode ser infinito, com um subgrupo S ≤ G também infinito, mas com ( G: S) finito. 
Exemplo:
Se G = R*, com o produto de números reais e S = R2 é o subgrupo formado pelos quadrados dos elementos de R*, então ambos são infinitos, mas (R* : R2 ) = 2.
De fato, dado um número real não nulo x, temos x > 0 ou x < 0. No primeiro caso, x Є R2 e no segundo caso - x Є R2. Logo, R2 tem apenas duas classes laterais em R*.
5- 
- A primeira linha da tabela se repete na última linha, a linha que corresponde ao elemento 5. Note que a primeira coluna se repete também na coluna que corresponde ao elemento 5. Isso significa que o e = 5 é o único elemento neutro dessa operação.
- A tabela é simétrica com relação à diagonal que inicia na parte superior esquerda e termina na parte inferior direita. Logo, a operação e comutativa.
- O elemento neutro e aparece na tábua apenas uma única vez, como resultado da operação 5⋆5 = 5 = e. Isso significa que o 5 é o único elemento invertível e o inverso do 5 é igual a ele mesmo
6- 
Se seguirmos estes exemplos:
* 3 ⊙ 4 = resto da divisão de 12 por 5 = 2, 30
* 2 ⊙ 3 = resto da divisão de 6 por 5 = 1,
* 4 ⊕ 3 = resto da divisão de 7 por 5 = 2, etc.
Obtemos as seguintes tabelas:
CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MATEMÁTICA
	⊙
	0
	1
	2
	3
	4
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	1
	2
	3
	4
	2
	0
	2
	4
	1
	3
	3
	0
	3
	1
	4
	2
	4
	0
	4
	3
	2
	1
	⊙
	0
	1
	2
	3
	4
	0
	0
	1
	2
	3
	4
	1
	1
	2
	3
	4
	0
	2
	2
	3
	4
	0
	1
	3
	3
	4
	0
	1
	2
	4
	4
	0
	1
	2
	3
7- 
Como X só tem 3 elementos, então só podem existir 3 funções constantes definidas de X em X:
• ƒ1: X→ X, ƒ1(x) = 1;
• ƒ2: X→ X, ƒ2(x) = 2;
• ƒ3: X→ X, ƒ3(x) = 3;
Agora, observe que (ƒ1 o ƒ2) (x) = f1(ƒ2 (x)) = ƒ1( 2) = 1 = ƒ1(x); logo, ƒ1 o ƒ2 = ƒ1.
De modo análogo, obtemos ƒ1 o ƒ3 = ƒ1, ƒ2 o ƒ3 = ƒ2, etc.
Resumimos tudo isso na seguinte tabela:
	o
	ƒ1
	ƒ2
	ƒ3
	ƒ1
	ƒ1
	ƒ1
	ƒ1
	ƒ2
	ƒ 2
	ƒ2
	ƒ2
	ƒ 3
	ƒ3
	ƒ3
	ƒ3
Observando a tábua, vemos que a primeira linha da tábua (o cabeçalho) não se repete em lugar algum; logo, a operação não tem elemento neutro à esquerda.
Por outro lado, note que a primeira coluna se repete 3 vezes na tábua; isso significa que a operação tem 3 elementos neutros à direita: ƒ1, ƒ2 e ƒ3. 
Concluímos então que a operação não tem elemento neutro.
8-
Para quaisquer x, y + temos x ⊕ y = √x2 + y2 = √y2 + x2 = y ⊕ x. 
Logo, operação ́e comutativa
Para quaisquer x, y, + temos x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ √y2 + z2 = √x2 + (√y2 + z2)2 = √x2 + y2 + z2 e (x ⊕ y) ⊕ z = √x2+ y2 ⊕ z = √ (√x2 + y2)2 + z2 = √x2 + y2 + z2.
Logo, (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) o que significa que ⊕ é associativa.
- Supondo que e seja o elemento neutro, temos e ⊕ x = x, ou seja, √e2 + x2 = x para todo x real não negativo. Elevando a última igualdade ao quadrado, obtemos: e2 + x2 = x2 e, daí, chegamos a e2 = 0, ou seja, e = 0. 
Assim, o zero é o elemento neutro da operação. Vejamos: x ⊕ 0 = √x2 + 02 = √x2 = x para todo x real não negativo.
- Dado um real não negativo a, seu inverso (simétrico) é o real não negativo b tal que a ⊕ b = 0 = elemento neutro. Daí, obtemos que √a2 + b2 = 0 o que implica a2 + b2 = 0. A única possibilidade para a última equação é a = 0 e b = 0. Assim, o único elemento invertível é o zero e o inverso é ele mesmo
9-
- Para quaisquer x, y ∈, temos x ∗ y = 2 x·y = 2 y·x = y ∗ x. Logo, ∗ e comutativa. ´ 
- 0∗(1∗2) = 2 0·(1∗2) = 2 0 = 1 e (0∗1)∗2 = 2 0·1∗2 = 2 0∗2 = 1∗2 = 2 1·2 = 2 2 = 4. Logo, 0 ∗ (1 ∗ 2) , (0 ∗ 1) ∗ 2 o que significa que ∗ não e associativa. ´ 
- Suponhamos que exista um elemento neutro e para essa operação. Então, devemos ter e ∗ x = x para todo x ∈. Daí, temos 2ex = x. Escolhendo dois valores distintos para x, por exemplo, x = 1 e x = 2, substituindo na equação anterior, obtemos: 2e = 1 e 22e = 2 que implicam em e = 0 e 2e= 1 que é um absurdo. Logo, não existe elemento neutro para essa operação.
10-
Solução: 
 • (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) (definição de quadrado) 
• (a + b) · (a + b) = a (a + b) +b (a + b)
 z z z
(distributividade à direita da multiplicação com relação à adição) 
• a (a + b) + b (a + b) = (a · a + a · b) + (b · a + b · b) (distributividade à esquerda da multiplicação com relação à adição) 
• (a · a + a · b) + (b · a + b · b) = (a2 + a · b) + (a · b + b2) (definição de quadrado e comutatividade da multiplicação) 
• (a 2 + ab) + (ab + b2 ) = (a2 + ab) + b2 (associatividade da adição) 
• (a2 + ab) + ab) + b2 = ((a2 + ab) + ab) + b2
 x x
(associatividade da adição) 
• (a2 + (ab + ab)) + b2 = (a2 + 2ab) + b2
• (a2 + 2ab) + b2 = a2 + 2ab + b2 (associatividade da adição)
11-
Para quaisquer (a,b) e (c,d) pertencentes a Z x Z temos (a,b) ∗ (c,d) = (ac,ad + bc) = (ca ,cb + da)=(c,d) ∗ (a,b), logo, ∗ é comutativa.
•Suponhamos que a operação tenha elemento neutroe = (e1, e2). Então, sex = (a,b) for um elemento genérico de Z x Z, temos que e ∗ x = x, isto, é (e1,e2) ∗ (a,b) = (a,b) ⇒ (e1a, e1b+e2a)= (a,b) ⇒ e1a = a,e1b + e2a = b. Em particular, escolhendo (a,b) = (1,1), temos e1= 1,e1+ e2 = 1 o que implica em e2 = 0. Logo, e = (1,0) é um “candidato” a elemento neutro da operação. Vejamos: e ∗ x = (1,0) ∗ (a,b) = (1· a, 1 · b + 0 · a) = (a, b). Logo, (1, 0 ) é realmente o elemento neutro da operação.
•Dado (a,b)∈ Z x Z, se (x,y) for o elemento inverso de (a, b), então devemos ter (a, b) ∗ (x, y) = (1,0) = elemento neutro ⇒ (ax, ay + bx) = (1,0)⇒ax=1,ay + bx = 0. Como a e x são inteiros, então ax = 1 implica a = 1, x = 1 ou a= −1, x = −1
◦(1◦caso:) Se a = 1 ex =1, então 1·y + b·1 = 0 ⇒ y= −b. Logo, o inverso de (1, b é o elemento (1,−b).
◦(2◦caso:) Se a = −1 ex = −1, então−1·y+b·(−1)=0⇒y=−b. Assim,o inverso de (−1, b) é o elemento (−1,−b). 
Concluímos dessa forma que os elementos invertíveis são da forma (1, b) ou (−1, b), com b ∈ Z e seus inversos são dados por: (1, b) −1 = (1, −b) e (−1, b) −1 = (−1, −b)
12-
Se ƒ for um homomorfismo, devemos mostrar que ƒ (x ∗ y) = ƒ (x) ∆ ƒ (y), ∀ x, y ∈ G. Se ƒ não for homomorfismo, devemos mostrar um contra-exemplo, ou seja, escolher valores particulares de a, b Є G tais que ƒ (a ∗ b), ƒ (a) ∆ ƒ (b). Aqui, ∗ representa a operação de G e ∆ é a operação de J.
A) G = (Z, +) , J = (Z, +), f (x) = 7x
Para quaisquer x, y Є Z, temos: ƒ (x + y) = 7 (x + y) = 7x + 7y = ƒ(x) + ƒ(y).
 Logo, ƒ ́e um homomorfismo de Z em Z.
B) G = (Z, +) , J = (Z, +), f (x) = 7x + 1
Neste caso, temos, por exemplo, que ƒ (1) = 8, ƒ (2) = 15, ƒ (1+2) = ƒ (3) = 22 e ƒ (1) + ƒ (2) = 23. 
 Logo, ƒ (1+2) ≠ƒ (1) + ƒ (2).
 Logo, ƒ não é homomorfismo.
C) G = (Z, +) , J = (Z, +), f(x) = 7x2
Por exemplo, ƒ (1) =7, ƒ (3) = 63, ƒ (1+3) = ƒ (4) =112 e ƒ (1) + ƒ (3) = 70
 Logo, ƒ(1+3) ≠ƒ (1) +ƒ (3)
 Logo, ƒ não é homomorfismo de grupos.
D) G = (R, + ) , J = (R, +.), f(x) = |x|
Por exemplo, ƒ (−2) = 2, ƒ (2) = 2, ƒ ( −2 + 2) = ƒ (0) = 0, ƒ (−2) + ƒ (2) = 2 + 2 = 4. 
Logo, ƒ (−2 + 2), ƒ(−2) + ƒ (2) ⇒ƒ não é homomorfismo.
E) G = (R, . ) , J = (R, .), f(x) = |x|
Para quaisquer x, y ∈R, temos ƒ (x · y) = |x · y| = |x| · |y| = ƒ (x) · ƒ (y). Logo, ƒ ́e um homomorfismo de G em J.
F) G = (R, +) , J = (R x R, +), f(x) = (2x, 3x)
Sejam x,y ∈ R. Temos que: ƒ (x+y) = (2 (x+y), 3 (x+y)) = (2x+2y,3x+3y). Por outro lado, ƒ (x) + ƒ (y) = (2x, 3x) + (2y,3y) = (2x+2y,3x+3y).
 Logo, ƒ (x+y) = ƒ (x) + ƒ (y) de onde concluímos que ƒ é um homomorfismo de grupos.
G) G = (R x R, +) , J = (R, +), f(x, y) = 4x – 5y
Sejam (a, b) e (c, d) dois elementos genéricos de R x R. Temos: ƒ (a, b) + ƒ (c,d) = (4ª − 5b) + (4c − 5d) = 4a + 4c − 5b − 5d. 
 Por outro lado, ƒ ((a,b) + (c,d)) = ƒ (a+c ,b + d) = 4 (a + c) – 5 (b + d) = 4a + 4c − 5b − 5d. 
 Logo, ƒ ((a, b) + (c,d)) = ƒ (a,b) + ƒ (c,d) ⇒ ƒ é homomorfismo de G em J.
H) G = ( GL2 (Z), + ), J = (Z, +), f (X) = TR (X) = traço de X
Para quaisquer
x = a b Є G e Y = r s Є G, temos X + Y = a + r b + s
 c d t u c + t d + u
 
e ƒ (X) + ƒ (Y) = tr (X) + TR (Y) = (a + d) + (r + u) = a + d + r + u.
Por outro lado, ƒ (X+Y) = TR (X + Y) = (a + r) + (d + u) = a + r + d + u.
 Logo, ƒ (X + Y) = ƒ (X) + ƒ (Y) ⇒ ƒ ́e um homomorfismo de grupos. 
(OBS.: O traço de uma matriz quadrada ́e definido como sendo a soma dos elementos da diagonal principal).