Capitulo 7 - Faltas Assimetricas

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1 
 
CAPÍTULO 7 
 
FALTAS ASSIMÉTRICAS 
 
7.1 Considerações Iniciais 
A maioria das faltas que ocorrem nos sistemas elétricos são assimétricas. Essas faltas 
podem ser do tipo série ou do tipo shunt. 
As faltas série são aquelas em que um ou dois condutores, de um circuito trifásico, se 
abrem, desequilibrando o sistema. Assim, quando um disjuntor ou uma chave não 
fecha uma ou duas das três fases, diz-se que ocorreu uma falta série. Essas faltas 
causam dois tipos de problemas: as diferenças de potencial entre os dois lados do 
condutor que se abriu e indesejável falta de fase na carga (que pode danificar cargas 
trifásicas, como motores). 
As faltas shunt podem ser caracterizadas pela queda de um ou dois condutores ao solo 
ou mesmo pelo curto entre duas fases de um sistema elétrico. Os problemas causados 
pelas faltas shunt são maiores do que aqueles oriundos das faltas série pois, em 
decorrência das faltas shunt, altos valores de correntes podem surgir no sistema. O 
presente assunto trata das faltas shunt. 
 
7.2 Falta Fase-Terra 
Estima-se que este tipo de falta acontece em cerca de 70% dos casos de curto-circuito. 
A figura 7.1 ilustra o circuito equivalente de um sistema elétrico que está submetido a 
uma falta fase-terra, através de uma impedância genérica ZF , onde 0Z , 1Z , 2Z são as 
impedâncias do sistema, visto a partir do ponto de defeito e 
aE , bE , cE são tensões 
equilibradas, geradas pelo gerador equivalente. 
Obs.: Apenas f.e.m. de sequência positiva é gerada pelos geradores normais. 
2 
 
ZF
0 1 2Z ; Z ; Z
Sistema
Gerador
Impedancia de falta
para terra
a
b
c



Figura 7.1 - Representação de um sistema elétrico com uma falta fase-terra 
 
As condições de contorno no ponto de falta e dada pela equação (7.1). 
 
a aV Z .IF (7.1) 
Desprezando-se as correntes de carga, ou seja: 
bI 0 e cI 0 . 
Expressando as correntes em termos dos componentes simétricos, em conformidade 
com o contexto apresentado no capítulo anterior, podemos reescrever a equação 
(7.2). 
  
1
c pI A I

       (7.2) 
Expandindo essa última equação, temos: 
 
0 a
2
1
2
2
I 1 1 1 I
1
I 1 α α 0
3
I 1 α α 0
    
    
    
        
 (7.3) 
Portanto, temos: 
 
0 1 2 a
1
I I I I
3
   (7.4) 
Expressando as tensões em termos de componentes simétricos: 
 c c c cV E Z I                (7.5) 
Expandindo a equação (7.5) obtemos a equação (7.6). 
 
0 0 a
1 a 1 a
2 2 a
V 0 Z 0 0 I
1
V E 0 Z 0 I
3
V 0 0 0 Z I
      
      
        
            
 (7.6) 
3 
 
 
a0 0 a
1
V Z I
3
   (7.7a) 
 
a1 a 1 a
1
V E Z I
3
   (7.7b) 
 
a2 2 a
1
V Z I
3
   (7.7c) 
Retomando 
a aV Z .IF e explicitando a corrente aI que é a corrente de falta 
procurada através da equação (7.8) e após a reorganização dos termos chegamos a 
equação (7.9). 
 
0 a 1 a 2 a
a
a
a
Z I Z I Z I
E
V 3 3 3I
Z ZF F
 
  
  (7.8) 
 0 a a 1 a 2 aa
Z I 3E Z I Z I
I
3ZF
   
 (7.9) 
A partir desta última equação, isolando “
aI ”, obtemos a equação (7.10). 
 aa
0 1 2
3E
I
Z Z Z 3ZF

  
 (7.10) 
Esta é corrente na fase “a”. 
As correntes das componentes das correntes são: 
 aa a0 a1 a2
0 1 2
EI
I I I
3 Z Z Z 3ZF
   
  
 (7.11) 
Esta equação representa o diagrama de sequências apresentado através da figura 7.2. 
a1I 0Z1Z
a1E 3ZF
2Z a2I
a0I
a1V a2V a0V

 
1n
2n 0n
a1I a2I
a0I c0Ib0I
c1Ib1I c2I
b2I
(+)Seq. ( )Seq.  (0)Seq. 
 
Figura 7.2 - Diagrama de sequência de fase para o curto fase-terra 
 
 
4 
 
7.2.1 Exemplo Resolvido 1 
Determine a corrente subtransitória no gerador e as tensões entre as linhas para 
condições subtransitórias, no momento em que ocorre uma falta entre uma linha e 
terra, nos terminais do gerador, quando ele estiver funcionando em vazio, com a 
tensão nominal. São dados: 
• Potência do gerador: 20 MVA ; tensão: 13,8 kV ; 
• ”
dX 0,25 pu , 2X =0,35 pu ; 0X =0,10 pu ; 
• Neutro do gerador: solidamente aterrado. 
Solução: 
a
13,8
E 1,0
3
kV
pu  ; ”1 dX =X 0,25 pu . 
Obs.: Como se sabe, a reatância de sequência (+) pode ser a reatância subtransitória, 
transitória ou síncrona, dependendo das condições a serem estudadas. 
a
a1
0 1 2
E 1,0
I 1,43
Z Z Z 0,25 0,35 0,10
j pu
j j j
   
   
 
a a1
a
I 3I 1,43 3 4,29 
I 3,585 20 
Corrente Base 836 
3 13,8 
j j pu
j AMVA
A
kV
     

 
  
 
 
Componentes simétricas da tensão: 
Fase “a” (onde ocorreu o curto); 
  a1 a a1 1V E I Z 1,0 1,430 0,25 0,643 j j pu      
  a2 a2 2V I Z 1,430 j0,35 0,50 j pu       
  a0 a0 0V I Z 1,430 j0,10 0,143 j pu       
Tensão de Fase: 
Para a fase “a”, temos: 
a a1 a2 a0V V V V 0,6430,50 0,143 0 (zero)      
Para as fases “b” e “c”, temos: 
2
b a1 a2 a0V α V αV V 1 240 0,643 1 120 ( 0,50) ( 0,143) 1,012 102,12 pu              
2
c a1 a2 a0V αV α V V 1 140 0,643 1 240 ( 0,50) ( 0,143) 1,012 102,27 pu               
O esquema apresentado na figura 7.3 mostra o significado dessas tensões. 
5 
 
an bn abV V V 
anV
abV
bnV
n
a
b
c




abV
n
a
bc
bcV
caV
 
Figura 7.3 - Ilustração das tensões de fase e de linha 
 
Tensão entre Linhas são: 
ab a bV V V 0 1,012 102,12 1,012 77,88 pu         
bc b cV V V 1,012 102,12 1,012 102,27 1,978 90 pu          
ca c aV V V 1,012 102,27 0 1,012 102,27 pu        
A tensão 
aE 1,0 pu corresponde a aE 13,8 kV , consequentemente as tensões de 
linha, em kV, são: 
abV 13,96 77,88 kV   
bcV 27,29 90 kV   
caV 13,96 102,3 kV   
A figura 7.4 ilustra através de diagramas fasoriais, as tensões antes e depois da falta 
mencionada anteriormente. 
abV
na
b
c
bcV
caV
anV
abV
n aa
caV
bcV
b
c
Antes da falta Depois da falta
 
Figura 7.4 - Ilustração das tensões antes e depois do curto fase-terra 
6 
 
7.3 Falta Entre Duas Linhas 
A figura 7.5 ilustra esse tipo de falta, que ocorre em cerca de 15% dos casos de curtos. 
ZF
0 1 2Z ; Z ; Z
Sistema
Gerador
a
b
c



 
Figura 7.5 - Representação de um sistema elétrico com um curto fase-fase 
 
As condições de contorno no ponto de falta, são obtidas pelas três equações 
seguintes: 
 
aI 0 (7.12a) 
 
b cI I  (7.12b) 
 
b c bV V I ZF  (7.12c) 
Recordando os conceitos dos componentes simétricos da corrente para este tipo de 
falta, obtemos a equação (7.13). 
 
a0
2
a1 c
2
a2 c
I 1 1 1 0
1
I 1 α α I
3
I 1 α α I
     
     
       
         
 (7.13) 
Observamos que 
a0I 0 e portanto b0 c0I I 0  , consequentemente, temos: 
 
a2 a1I I  (7.14) 
Obs.: Por se tratar de um circuito que não tem retorno pelo solo, já se previa que não 
haveria corrente de sequência zero. 
Os componentes simétricos das tensões são dados por: 
 c c c cV E Z I                (7.15) 
Expressando através da equação matricial, temos: 
7 
 
 
a0 0 a0
a1 a1 1 a1
a2 2 a2
V 0 Z 0 0 I
V E 0 Z 0 I
V 0 0 0 Z I
      
      
        
            
 (7.16) 
Sendo 
a2 a1I I  e a0I 0 , tem-se, para a fase “a”: 
 
a0 0 a0 0
a1 a1 1 a1
a2 2 a1
V I 0 0
V =E Z I
V I
Z Z
Z
    

 
  
 (7.17) 
Analogamente, para as fases “b”e “c”: 
 
b0 0 b0
b1 b1 1 b1
b2 2 b2
V = Z I =0
V =E Z I
V = Z I


 
 
 (7.18) 
 
c0 0 c0
c1 c1 1 c1
c2 2 c2
V =Z I =0
V =E Z I
V = Z I


 
 
 (7.19) 
Sabendo-se que: b b0 b1 b2
c c0 c1 c2
V V V V
V V V V
   

  
 
Então: 
 
   
   
b b1 1 b1 2 b2
c c1 1 c1 2 c2
V 0 E Z I Z I
V 0 E Z I Z I
    

    
 (7.20) 
Desenvolvendo-se a expressão 
b cV V : 
 
b c b1 c1 1 b1 2 b2 1 c1 2 c2V V E E Z I Z I Z I Z I       (7.21) 
 b c b1c1 1 c1 b1 2 c2 b2V V E E Z (I I ) Z (I I )       (7.22) 
 b c b1 c1 1 c1 b1 2 c2 b2 bV V E E Z (I I ) Z (I I ) I ZF         (7.23) 
Explicitando-se 
b1 c1E E na equação acima: 
 b1 c1 b1 b2 1 b1 c1 2 b2 c2E E Z (I I ) Z (I I ) Z (I I )F       (7.24) 
Substituindo-se: 
2
b1 a1
b2 a2
c1 a1
2
c2 a2
I α I
I αI
I αI
I α I
 




 
 
 2 2 2b1 cc11 a1 a2 1 a1 a1 2 a2 a2E E Z (α I αI ) Z (α I αI ) Z (αI α I )F       (7.25) 
8 
 
Sendo: 
a2 a1I I  
 2 2 2
b1 c1 f a1 1 a1 2 a1E E Z (α α)I Z (α α) I Z (α α)I       (7.25) 
Por outro lado: 
2
b1 a1
c1 a1
E α E
E αE
 


 
Com essas substituições: 
 2 2 2 2
a1 a1 1 a1 2 a1E (α α) Z (α α)I Z (α α)I Z (α α)IF       (7.26) 
Explicitando-se “
a1I ”, temos o conjunto das equações (7.27a), (7.27b) e (7.27c): 
 a1a1
1 2
E
I
Z Z ZF

 
 (7.27a) 
 
a2 a1I I  (7.27b) 
 
a0 I 0 (7.27c) 
Finalmente, a corrente de falta será: 
 2 2 2
b b1 b2 b0 a1 a2 a1 a1 a1I I I I I α I αI α I αI (α α)IF           (7.28) 
Substituindo-se 2(α α) 1 240 1 120 3 90 3j           a corrente de falta 
será: 
 a1
a1
1 2
3E
I 3I
Z Z Z
F
F
j
j

  
 
 (7.29) 
Para Z 0F  , temos: 
 a1
1 2
3E
I
Z Z
F
j


 (7.29) 
Notas: 
1. Nas equações de “ IF ” nota-se a ausência de “ 0Z ”  O circuito de sequência zero 
não é utilizado nas faltas fase-fase; 
2. Os circuitos de sequência (+) e (-) devem estar em paralelo, pois a1 a2V =V . Diante 
disso, a figura 7.6 apresenta o circuito representativo para um curto fase-fase. 
9 
 
a1I
1Z
a1E
2Z
a2I
a1V a2V
(+)Seq. ( )Seq. 
 
Figura 7.6 - Diagrama de sequência de fase para o curto fase-fase 
 
3. Já que, nesta falta não há ligação à terra na falta, então, por ocasião deste tipo de 
curto, não haverá circulação de corrente no neutro do gerador, mesmo estando 
este neutro aterrado; 
4. A figura 7.7 apresenta o diagrama vetorial das correntes para uma falta fase-fase. 
a1I
a2I
a0 b0 c0I I I 0  
c1Ib1I
c2I b2I
(+)Seq. ( )Seq.  (0)Seq. 
 
Figura 7.7 - Diagrama vetorial das componentes simétricas das correntes o curto fase-
fase 
 
7.3.1 Exemplo Resolvido 2 
Determine as correntes subtransitórias, quando ocorre uma falta fase-fase nos 
terminais do gerador do Exemplo anterior da falta fase-terra. Considerar o gerador em 
vazio e funcionando com a tensão nominal nos seus terminais, quando da ocorrência 
das faltas. Despreze a resistência. Dados (do exemplo anterior): 
• Potência do gerador: 20 MVA ; tensão: 13,8 kV ; 
• ”dX 0,25 pu , 2X =0,35 pu ; 0X =0,10 pu ; 
• Neutro do gerador: solidamente aterrado. 
De acordo com o exemplo resolvido anteriormente, temos: 
10 
 
d 2 0
a base L base
base
X 0,25 pu; Z 0,35 pu; Z 0,10 pu
E 1,0 pu; S 20 MVA; V 13,8 kV
I 836 A
  
  

 
Solução: 
Cálculo das Correntes: 
a1
1 2
3E 3 1,0
I 2,887 
Z Z j0,25 j0,35
F
j j
pu
  
   
 
 
Assim: 
 
c b
a
I I 2,887 0 pu
I 0 desprezando a corrente de carga
j    


 
Em Ampères: 
b c
a
I I 2.413,53 A
I 0 
   


 
Tensões: 
 Os componentes simétricos: 
a1
a1
1 2
E 1,0
I 1,667 
Z Z 0,25 0,35
j pu
j j
   
 
 
Tem-se que: 
a1 a1 1 a1V E Z I 1,0 0,25 ( 1,667) 0,584 j j pu       
a2 2 a2 2 a1V Z I Z I 0,35 ( 1,667) 0,584 j j pu       
a0 0 a0 0V Z I 0 0Z      
Tensões de fase (em pu): 
a a1 a2 a0V V V V 0,584 0,584 0 1,168 0 pu         
2
c a1 a2 a0V α V αV V 1 240 0,584 1 120 0,584 0,584 pu           
2
c a1 a2 a0 bV αV α V V V 0,584 pu      
Tensões de linhas (em pu): 
ab a bV V V 1,168 ( 0,584) 1,752 0 pu        
bc b cV V V 0,584 ( 0,584) 0 (fases em curto)       
ca c aV V V 0,584 1,168 1,752 180 pu        
 
11 
 
 Em quilovolts (kV): 
ab bc caV 24,18 0 ; V 0; V 24,18 180 V V       
A figura 7.8, apresentada na sequência, ilustra o comportamento das tensões através 
dos diagramas fasoriais antes e depois da falta fase-fase. 
 
abV
na
b
c
bcV
caV
anV
abVcaV
bcV 0
Antes da falta Depois da falta
24,18 kV 24,18 kV
13,8 kV
13,8 kV
13,8 kV
 
Figura 7.8 - Ilustração das tensões antes e depois do curto fase-fase 
 
7.4 Falta entre Duas Linhas e Terra 
Falta entre duas linhas e a terra: incidência: 10%. A figura 7.9 apresenta uma ilustração 
de um curto entre duas fases e terra, através de uma impedância de falta ZF . 
ZF
0 1 2Z ; Z ; Z
Sistema
Gerador
a
b
c


 
Figura 7.9 - Representação de um sistema elétrico com um curto entre duas fase-fase e 
terra 
 
As condições de contorno no ponto da falta são evidenciadas pelo conjunto de 
equações abaixo. 
12 
 
 
aI =0 (7.30a) 
 
b cV V I ZF F  (7.30b) 
 
b cI I IF  (7.30c) 
Componentes simétricos da tensão: 
 
b c b1 b2 b0 c1 c2 c0V V (V V V ) (V V V )        (7.31) 
 
b c b1 c1 b2 c2 b0 c0V V (V V ) (V V ) (V V )       (7.32) 
 2 2
b c a1 a1 a2 a2 b0 c0V V α V αV αV α V 0 (V V )       (7.33) 
 2 2
b c a1 a2V V V (α α) V (α α )     (7.34) 
Sendo 
b cV V  b cV V 0  . Portanto: 
 2 2
a1 a20 V (α α) V (α α)    (7.35) 
 
a1 a2V V (7.36) 
Das equações gerais de componentes simétricos: 
 
a1 a1 a1 1V E I Z   (7.37a) 
 
a2 a2 2V 0 I Z   (7.37b) 
 
a0 a0 0V 0 I Z   (7.37c) 
Através dos componentes simétricos das tensões, temos: 
 2 2
b b1 b2 b0 a1 a2 a0 a1 a0V V V V α V αV V V (α α) V         (7.38) 
Das equações (7.30a) e (7.30b), obtemos: 
 
b b cV I Z (I I )ZF F F    (7.39) 
b cI I é a corrente total para terra. Sabe-se, por outro lado, que n a0I 3I também o é. 
Igualando os termos: b c a0I + I 3I 
Assim: 
 b aoV = 3I ZF (7.40) 
Igualando (7.38) com (7.40): 
 2a0 a1 a03I Z V (α α) VF    (7.41) 
Introduzindo (7.37c) na última expressão: 
 2a0 a1 a0 0 a1 a0 03I Z V (α +α) I Z V I ZF       (7.42) 
Assim: 
13 
 
 
a0 a0 0 a13I Z I Z VF    (7.43) 
Explicitando-se 
a0I : 
 a1a0
0
V
I
Z 3ZF



 (7.44) 
Tomando-se a equação (7.36) e nela substituindo-se as equações (7.37a) e (7.37b), 
temos: 
 
a1 a1 1 a2 2E I Z I Z   (7.45) 
Explicitando-se 
a2I : 
 a1 a1 1a2
2
E I Z
I
Z
 
 (7.46) 
Levando as equações (7.44) e (7.46) em “
a a1 a2 a0I I I I 0    ”: 
 a1 a1 a1 1a1
0 2
V E I Z
I 0
Z 3Z ZF
  
  

 (7.47) 
Introduzindo-se esta expressão em (7.37a): 
 a1 1 a1 a1 a1 1 a1
0 2
I Z E E I Z
I 0
Z 3Z Z F
  
  

 (7.48) 
Isolando “
a1I ”, obtemos: 
 
 
  
0 2 f
a1 a1
1 2 0 f 1 2
 Z 3Z
I E
Z Z Z 3Z Z Z
Z 

  
 (7.49) 
Introduzindo a equação (7.49) na equação (7.46), obtemos a equação (7.50). 
 
 
  
0 a1
a2
1 2 0 1 2
Z 3Z E
I
Z Z Z 3Z Z Z
F
F
 

  
 (7.50) 
Introduzindo a equação (7.49), também na equação (7.44), temos: 
 
  
a1 2
a0
1 2 1 2 0
 E Z
I
Z Z Z Z Z 3ZF


  
 (7.51) 
A corrente de falta, IF será: 
 a0 n b cI 3I I I IF     (7.52) 
Diante das equações obtidas, podemos obter a Interligação dos circuitos de sequência, 
conforme a figura 7.10. 
14 
 
a1I1Z
a1E
2Z
a2I
a1V a2V
(+)Seq. ( )Seq.  (0)Seq. 
a0I
0Z
3ZF
a0V
 
Figura 7.10 - Diagrama de sequência de fase para o curto entre duas fases e terras 
 
7.4.1 Exemplo Resolvido 3 
Determine as correntes subtransitórias, quando ocorre uma falta fase-fase-terra nos 
terminais do gerador do Exemplo anterior da falta fase-terra. Considerar o gerador em 
vazio e funcionando com a tensão nominal nos seus terminais, quando da ocorrência 
da falta. Despreze a resistência. Dados (do exercício anterior): 
• Potência do gerador: 20 MVA ; tensão: 13,8 kV ; 
• ”
dX 0,25 pu , 2X =0,35 pu ; 0X =0,10 pu ; 
• Neutro do gerador: solidamente aterrado. 
Os dados seguintes foram mencionados no exemplo resolvido 1. 
d 2 0
a base L base
base
X 0,25 pu; Z 0,35pu; Z 0,10 pu
E 1,0 pu; S 20 MVA; V 13,8 kV
I 836 A
  
  

 
Solução: 
Para Z 0F  : 
 
    
0 2 a
a1
1 2 0 1 2
 Z Z E 0,45 1,0 0,45
I 3,05 
0,25 0,35 0,10 0,25 0,35 0,148Z Z Z Z Z
j j
j pu
j j j j j
 
    
    
 
    
0 a1
a2
1 2 0 1 2
 Z E 0,10 1,0
I 0,68 
0,25 0,35 0,10 0,60Z Z Z Z Z
j
j pu
j j j j
  
  
  
 
 
    
2 a1
a0
1 2 1 2 0
 Z E 1,0 0,35
I 2,37 
0,25 0,35 0,10 0,60Z Z Z Z Z 
j
j pu
j j j j
  
  
  
 
I - Corrente de linha 
 a a1 a2 a0I I I I 3,05 0,68 2,37 0 zeroj j j        
15 
 
2
b a1 a2 a0I α I αI I 4,81 132,5 pu      
2
c a1 a2 a0I αI α I I 4,81 47,5 pu      
Corrente de linha, em Ampères: 
cI 0 
bI 4,025 132,5 kA   
cI 4,025 47,5 kA   
II - Corrente de curto 
n a0I 3I 3 2,37 7,11 j j pu    
Ou ainda: 
n b cI I I 4,81 132,5 4,81 47,5 7,11 j pu       
III - Tensões 
 Tensões de componentes 
a1 a1 a1 1V E I Z 1,0 ( 3,05 0,25) 0,237 j j pu       
a2 a2 2V I Z 0,68 0,35 0,237 j j pu      
a0 a0 0V I Z 2,37 0,10 0,237 j j pu      
 Tensões de fase, em pu: 
an a1 a2 a0V = V V V 0,237 3 0,711 pu     
bn cnV V I Z 0,0F F    
 Tensões de linha, em pu: 
ab an bnV V V 0,711 0 0,711 pu     
bcV 0 
ca cn anV V V 0 0,711 0,711 pu      
 Tensões de linha, Em kV: 
abV 0,711 13,8 9,81 0 V     
bcV 0 
caV 9,81 180 V   
A Figura 7.11 apresenta os diagramas fasoriais das tensões antes e depois da falta. 
16 
 
abV
na
c
bcV
caV
anV
abV
caV
bcV 0
Antes da falta Depois da falta
9,81 kV
13,8 kV
13,8 kV
13,8 kV
9,81 kV
 
Figura 7.11 - Ilustração das tensões antes e depois do curto entre duas fases e terra 
 
7.5 Exercícios 
1. Na rede mostrada na figura 7.12, considere que a tensão na barra 2 era de 1 pu 
quando ocorre um curto-circuito trifásico franco na mesma. Nestas condições 
determine: 
a) A corrente subtransitória, em pu, no gerador G1; 
b) A corrente subtransitória, em pu, na linha 1-2; 
c) A tensão na barra 3. 
Dados: As reatâncias subtransitórias dos geradores G1 e G2 são 20% e 25%, 
respectivamente. 
F

0,40j pu
0
,4
0
j
p
u
0,20j pu
G1
G2
Barra 1
Barra 2
Barra 3
 
Figura 7.12 - Sistema em anel de três barras 
17 
 
2. Esquematize o circuito de sequência zero para o sistema apresentado pela figura 
7.13. Considere que as reatâncias de sequência zero dos geradores e motores 
valem 0,05 pu . Os reatores para a limitação de corrente valem 2,0 . A 
reatância de sequência (0) da LT é de 250,0 . Para os transformadores, 
considerar que as reatâncias de sequência zero são iguais às de sequência positiva. 
Adotar a Potência base de 30 MVA e a Tensão base de 13,8 kV na região do 
gerador da barra “k” (a reatância deste gerador ( 0 0,15x j pu ) está na tensão de 
13,8 kV ). 
k

l m
M1
  


n
p
q
M2
10 ;12,5 ; 0,2MVA kV pu
20 ;12,5 ; 0,2MVA kV pu
35 MVA
115 12,5kV kV
0,1x pu
35 MVA
12,5 115kV kV
0,1x pu
35 MVA
0,15 pu
 
Figura 7.13 - Sistema radial com gerador e motores 
 
3. Uma dupla falta à terra ocorre no ponto “B” do sistema ilustrado na figura 7.14. 
Determine: 
a) o valor da corrente inicial simétrica de falta; 
b) as tensões no ponto de falta; 
c) e as correntes de falta resultantes em todas as fases do sistema. 
Obs.: Considere a contribuição dos motores “M” e “N”. 

ba
 
c
T1
d
1 1x x 0,30j pu 
G1 T20x 1,40j pu
1 1x x 0,30j pu 
0x 1,40j pu
1 2x x 0,20j pu 
0x 0,08j pu
nx 0,30j pu
1x 0,30j pu
0x 0,10j pu
2x 0,40j pu
M
N
x 0,12j pu x 0,10j pu
F
 
Figura 7.14 - Sistema radial com cargas do tipo motor 
 
18 
 
4. Faça os circuitos de sequência (+), (-) e (0) do diagrama unifilar apresentado na 
figura 7.15. 

om


n p
q
T1
r
 
LZ
LZT2
G1
G2
G3T3
Figura 7.15 - Sistema radial com cargas do tipo motor 
 
5. Faça os circuitos de sequência negativa e de sequência zero para o sistema de 
potência do ilustrado na figura 7.16 com os respectivos valores das reatâncias em 
pu. Escolha uma base de 50000 kVA, 138 kV na linha de transmissão de 40 ohms. A 
reatância de sequência negativa de cada máquina síncrona é igual à respectiva 
reatância subtransitória. A reatância de sequência zero de cada máquina é de 8% 
com base nos próprios valores nominais. Os neutros das máquinas estão ligados à 
terra através de reatores cujas reatâncias valem 5%, com base nos valores 
nominais das respectivas máquinas. Suponha que as reatâncias de sequência zero 
das linhas de transmissão valem 300% das respectivas reatâncias de sequência 
positiva. Além disso, as reatâncias dos transformadores de sequências positiva, 
negativa e zero são todas iguais. 
As características dos geradores, motores e transformadores são: 
Gerador síncrono A: 20000 kVA; 13,2 kV; x” = 15%; 
Gerador síncrono B: 20000 kVA; 13,2 kV; x” = 15%; 
Motor síncrono M: 30000 kVA; 6,9 kV; x” = 20%. 
Transformadores trifásicos: 
Y-Y: 20.000 kVA; 13,8 Y – 138 Y kV; x = 10%; 
Y-: 15 MVA; 6,9  – 138 Y kV; x = 10%. 
Todos os transformadores são usados para elevar as tensões dos geradores aos 
valores das linhas de transmissão. 
19 
 
Barra 1
T
M
0,40j pu
0,20j pu0,20j pu
Barra 2
Barra 3
T1
T2
T5 T6
T6
T3
Linha 1
Linha 2 Linha 3
Motor Síncrono
Gerador Síncrono
A
Gerador Síncrono
B
M
 
Figura 7.16 - Sistema em anel com três barras e três linhas 
 
6. Um gerador e um motor síncronos em Y aterradas possuem os valores nominais 
30 MVA e 13,2 kV e ambos têm reatância subtransitórias de 20%. A linha de 
conexão entre eles apresenta uma reatância de 10% na base dos valores nominais 
das máquinas. O motor consome 20 MW com fator de potência 0,8 capacitivo, 
com uma tensão de 12,8 kV em seus terminais, quando ocorre uma falta trifásica 
(simétrica) nos terminais do motor. Determine a corrente subtransitória de falta 
no gerador, no motor e no ponto da falta, usando a tensão das máquinas. 
Obs. Utilize para os cálculos e apresentação dos resultados todas as grandezas em 
pu. 
 
7.6 Referências 
 
Stevenson, W. D., “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, 2a Ed., Editora 
McGraw-Hill, 1986. 
 
Elgerd, O. I., “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”, Tradução: Cotrim, 
A. A. M. B., Albuquerque, P. M. C., Editora McGraw-Hill do Brasil LTDA, 1981.