Capitulo 5 - Faltas Simetricas

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1 
 
CAPÍTULO 5 
 
CÁLCULOS DE FALTAS SIMÉTRICAS 
 
5.1 Considerações Iniciais 
Uma das mais importantes informações quando do planejamento de um sistema, é o 
valor da corrente de curto-circuito que circula nos diversos pontos de uma rede 
elétrica. Essas correntes são utilizadas, dentre outros aspectos, para: 
a) Os dimensionamentos dos transformadores de corrente que alimentarão os 
diversos tipos de relés; 
b) Para calibração dos relés de sobrecorrentes, relés diferenciais, etc.; 
c) Dimensionamento de disjuntores. 
A seguir, na figura 5.1 são ilustradas situações de curtos circuitos que podem ocorrer 
no sistema, independentemente de suas classes de tensão. 
aE



c
b
F
aI
bE
cE
bI
cI
Z
Z
Z
aE



c
b
F
aI
bE
cE
bI
cI
Z
Z
Z
aE



c
b
aI
bE
cE
bI
cI
Z
Z
Z
aE



c
b
F
aI
bE
cE
bI
cI
Z
Z
Z
F
Curto circuito trifasico Curto circuito bifasico
Curto circuito bifasico-terra Curto circuito monofasico 
Figura 5.1 - Ilustrações dos tipos de curtos circuitos 
 
2 
 
Não se pode, a priori, estabelecer qual dos diversos tipos de curtos-circuitos 
mostrados acima é o mais severo. De um modo geral, os curtos-circuitos trifásicos 
apresentam maiores níveis de corrente, mas há situações em que estes níveis são 
superados por aquelas dos curtos-circuitos monofásicos. 
Para o profissional que trabalha na área de sistemas de potência, não só as correntes 
de curto circuito são importantes, mas também como, e em que proporção se dará a 
distribuição destas correntes pelos componentes da rede. 
É a partir desta análise que se desenvolve o processo de coordenação e seletividade da 
proteção, minimizando, assim, os desligamentos descoordenados e as interrupções 
desnecessárias. 
Neste capítulo será mostrada a forma de cálculo para o curto trifásico simétrico, o 
qual, por ocorrer igualmente nas três fases, mantém o circuito balanceado, mesmo 
durante esta falta. 
 
5.2 Cálculo da Falta Trifásica 
Para efetuar os cálculos das correntes de curto-circuito, será necessária a 
determinação do circuito equivalente de Thevenin, visto a partir do ponto da falta. 
Para tal, os seguintes procedimentos devem ser seguidos: 
a) Determina-se a impedância total entre o ponto do curto-circuito e os geradores, 
com estes em repouso (as fontes de tensão são curtos-circuitadas): esta 
impedância é denominada de impedância de Thevenin (ZT). 
b) Em seguida calcula-se a Tensão de Thevenin (ET), que é a tensão no ponto de 
curto, estando o circuito sem carga antes da ocorrência do curto. 
A partir da impedância e da tensão de Thevenin (obtidos nos itens “a” e “b”), a 
corrente de curto será calculada por: 
 
T
n
T
T
falta
Z
V
Z
E
I
3
 (5.1) 
Sendo Vn = a tensão de Thevenin, entre linhas. 
O processo descrito pode ser um pouco trabalhoso. No entanto, para estudos de 
curtos, as seguintes simplificações podem ser feitas, sem grandes prejuízos à qualidade 
dos resultados: 
3 
 
a) Todos os geradores geram a mesma f.e.m., tanto em magnitude como em fase. 
Isso fará com que, em todas as barras, a tensão seja sempre a mesma. 
b) O sistema é considerado sem carga, ou seja, a impedância de Thevenin não 
considera as impedâncias das cargas. 
O valor da corrente total de curto (Ifalta = ICC), em uma barra, usualmente é 
denominado de nível de curto, ou nível de defeito daquela barra. Muitos preferem 
mencionar, além da corrente de curto, a potência associada a essa corrente. Para tal, 
basta usar a seguinte equação: 
 
2
3 nF CC n falta
T
V
S S V I
Z
    (5.2) 
Obs.: A unidade usual da potência de curto é [MVA]. 
Para valores em pu, se a tensão base for a tensão nominal do sistema, a equação (5.2) 
torna-se: 
 
2
( )
1
[ ]F CC
T pu
s s pu
z
  (5.3) 
Se for considerada a Potência Base, em [MVA], como sendo “m”, tem-se: 
 
( ) ( )
1
[ ]F CC
T pu T pu
m
S S m MVA
z z
    (5.4) 
Como se vê, a potência de curto-circuito, em [MVA], pode ser calculada simplesmente 
dividindo a Potência Base, “m”, [MVA] pela Impedância de Thevenin (pu). 
 
5.3 Sequência de cálculo para o cálculo da corrente de curto 
Diante do que já foi mostrado até aqui, para se obter a corrente de curto de um 
sistema, pode ser adotada a seguinte seqüência de cálculos: 
a) Estabelecer um diagrama unifilar do sistema, com todas as impedâncias em uma 
base convenientemente escolhida. 
b) Reduzir toda a rede à uma impedância simples, entre o ponto de falta e o neutro 
do sistema. 
c) Cálculo do nível de curto-circuito ou corrente de curto-circuito no ponto de 
defeito. 
d) Se outras informações são requeridas sobre a circulação de corrente em partes 
individuais do circuito (como a circulação de corrente em partes individuais do 
4 
 
circuito ou as tensões pós-falta nas barras), as diversas partes da rede devem ser 
montadas e os fluxos de corrente calculados. 
 
5.3 Escolha de disjuntores 
A corrente de falta determinada pela equação (5.1), reescrita aqui como a equação 
(5.5). 
 3
n
T
falta
T T
V
E
I
Z Z
  (5.5) 
é a corrente simétrica e não inclui a componente contínua. 
Assim, na determinação da corrente que um disjuntor deve suportar imediatamente 
após a ocorrência da falta (chamada corrente instantânea inicial do disjuntor), 
recomenda-se multiplicar a corrente simétrica, obtida pela equação (5.5), por 
seguintes fatores de multiplicação, apresentando na sequência. 
a) Para tensões acima de 5 kV: 1,6 
b) Para tensões iguais ou inferiores a 5 kV: 1,5 
Por outro lado, no cálculo da corrente que passa pela câmara de extinção do disjuntor, 
durante a abertura do mesmo, a qual é denominada de corrente nominal de 
interrupção, os fatores de multiplicação sugeridos para que a componente contínua 
seja considerada, dependerão da velocidade do disjuntor. Em geral, adotam-se os 
seguintes valores: 
a) Disjuntor cujo tempo de abertura é 8 ciclos (ou mais lentos): multiplicar a corrente 
simétrica, por 1,0; 
b) Disjuntor cujo tempo de abertura 3 ciclos: multiplicar a corrente simétrica, por 1,2; 
c) Disjuntor cujo tempo de abertura 2 ciclos: multiplicar a corrente simétrica, por 1,4. 
 
5.3 Notas Importante 
Para a obtenção da corrente inicial do disjuntor, as reatâncias a serem consideradas 
para as máquinas síncronas presentes no diagrama de impedância serão as reatâncias 
subtransitórias. 
Por outro lado, para o cálculo da corrente nominal de interrupção, as reatâncias das 
máquinas deverão ser aquelas compatíveis com o tempo de abertura do disjuntor. 
5 
 
Assim, para um disjuntor cujo tempo de abertura é de 8 ciclos, as reatâncias das 
máquinas poderá ser a do tipo permanente. 
No entanto, para um disjuntor de tempo de abertura entre 2 e 5 ciclos, as máquinas 
deverão ser representadas por suas reatâncias transitórias. 
 
5.4 Exemplo Resolvido 1 
Considere o sistema apresentado na figura 5.2, onde todos os dados já se encontram 
em pu nas bases de 13,8 kV (gerador e linhas) e 230 kV (alta tensão do transformador) 
e 100 MVA. Admita a chave S aberta e calcule o curto-circuito trifásico na barra F. 
1 2 0,1G Gz z j pu 
F
S
G
0 0,05Gz j pu
1 2 0,2L Lz z j pu 
0 0,4Lz j pu
1 2 0,2L Lz z j pu 
0 0,4Lz j pu
1 2 0 0,05T T Tz z z j pu  
 
Figura 5.2 - Diagrama unifilar de um sistema radial de pequeno porte 
 
Solução: 
Esquema trifilar 

a





c
b
F
aFi
aEi
bEi
cEi cDi
bDi
aDi
Figura 5.3 - Diagrama trifásico do sistema radial de pequeno porte 
 
A corrente de curto ( a1i ) é calculada dividindo-se a tensão da fonte pelo somatório das 
impedâncias até o ponto de falta F, ou seja: 
6 
 
aN
a1
1
e 1 0
i j3,33 pu 3,33 90º pu
0,3 90z
 
     
 
 
Logo, as correntes nas 3 fases serão: 
a
b
c
i 3,33 90º pu
i 3,33 150º pu
i 3,33 30º pu
 
 
 
 
A figura a seguir mostra o diagrama fasorial das correntes para o curto-circuito 
trifásico. 
30
Eixo de referência
30
3,33aFipu
3,33bFi pu 3,33cFi pu
 .seq 
 
Figura 5.4 – Diagrama fasorial das correntes de falta para o curto trifásico simétrico 
 
Observe que, no curto-circuito trifásico, as correntes estão defasadas de 120° entre si. 
Por esta razão, esta falta é considerada simétrica. 
 
5.5 Exemplo Resolvido 2 
Na figura a seguir, tem-se uma parte de um sistema de potência. Os valores das 
impedâncias mostradas estão todas nas bases nominais de tensão e potência do 
equipamento. Pede-se: 
a) Calcular a falta no ponto “F”; 
b) Calcular o valor de um reator a ser inserido entre o disjuntor e a barra “A”, para 
que o disjuntor possa ter apenas 250 MVA de capacidade de curto-circuito; 
c) Para o caso “b”, calcular as contribuições dos geradores. 
7 
 

1G
0,12j pu
F
0,10j pu 0,18j pu 0,15j pu
0,025j pu
0,766j 
0,12j pu
0,05j pu 0,05j pu
20 MVA 15 MVA 50 MVA 30 MVA
25 MVA
15 MVA15 MVA
Local da falta
2G 3G 4G
5G
Linha aerea
L
in
h
a
a
er
ea
15 MVA
0,05j pu
20 MVA
0,06j pu
A
33 kV
 
Figura 5.5 - Sistema elétrico com 5 unidades geradoras 
 
Solução: 
Escolhendo como bases: 
 




ATda lado kV33V
MVA10M
base
base
 
Gerador de 20 MVA: pu 0,06j
20
10
j0,12
V
M
V
V
a
n
2
n
a
aG1 













 zz  
Gerador de 15 MVA: pu 0,067j
15
10
j0,10G2 z 
Gerador de 25 MVA: pu 0,048j
25
10
j0,12G3 z 
Gerador de 30 MVA: pu 0,05j
30
10
j0,15G4 z 
Gerador de 50 MVA: 
G5
10
j0,18 j0,036 pu
50
z   
Linha aérea: considerando que:  ,9 108
10
332
baseZ 
Então a impedância da linha, em pu, será: LT
j0,766
0,00703 pu
108,9
z j  
8 
 
Transformador de 20 MVA: pu 0,03j
20
10
j0,06T1 z 
Transformador de 15 MVA: pu 0,033j
15
10
j0,05T2 z 
As figuras a seguir ilustram a seqüência de redução do circuito a uma única 
impedância, entre a referência (neutro) e o ponto de falta (F): 

1G
0,06j pu
F
0,0667j pu
0,036j pu 0,05j pu
0,025j pu
0,00703j pu
0,033j pu 0,033j pu
Local da falta
2G 3G 4G 5G
0,033j pu0,03j pu
A
0,048j pu
Neutro

 
Figura 5.6 - Sistema elétrico com as impedâncias na bases adequadas 
 

1G
F
0,036j pu 0,05j pu
0,025j pu
0,00703j pu
0,0165j puLocal da falta
2G 3G 4G 5G
0,10j pu0,09j pu
A
0,048j pu
Neutro

 
Figura 5.7 - Sistema elétrico de impedâncias após as primeiras simplificações 
9 
 

1G
F
0,036j pu 0,05j pu
0,025j pu
Local da falta
2G 3G 4G 5G
0,10j pu0,09j pu
A
0,0715j pu
Neutro

 
Figura 5.8 - Sistema elétrico de impedâncias após simplificações intermediárias 
 

1G
F
0,0162j pu
0,025j pu
Local da falta
2G 345G
0,10j pu0,09j pu
A
Neutro

 
Figura 5.9 - Sistema elétrico de impedâncias agrupado os geradores 3, 4 e 5 
Redução de toda a rede a uma impedância simples, entre o ponto de falta e o neutro 
do sistema: 
10 
 

F
0,0221j pu
Local da falta
12345G
Neutro
A
 
Figura 5.10 - Sistema elétrico de impedâncias totalmente simplificado 
 
a) Nível de Curto-Circuito: 
  pu 45,25- 
0221,0
1
pu 
1
F j
jz
s
T


 
Potência de Curto-Circuito: 
 
 
2
F
V 10
 MVA 452,5 MVA
pu 0,0221T
m
s
z
   
 
b) Limitação do curto-circuito em 250 MVA: 
Esta potência de 250 MVA, transformada em pu, na base de 10 MVA corresponderá a 
250
 25 pu
10
 . 

F
0,0221j pu
Local da falta
12345G
Neutro
A
jX
25CCi j pu 
 
Figura 5.11 - Sistema elétrico de impedâncias ilustrando a corrente de curto circuito 
11 
 
Para esta potência, a correspondente corrente de curto será: 
 
 
 
pu 52
pu1
pu
pu CCCC j
s
i 
 
Sendo a tensão entre N e F igual a 1,0 pu: 
Pela Lei de Ohm: 
 
 
pu 52
0,222
0,1
puCC j
xj
i 

  pu 0179,0jx  
Sendo base 108 ,9Z   , a reatância “X”, em () será: 0.0179*108.9 1,95X j j   . 
c) Para determinar a contribuição de cada um dos geradores, para o curto no ponto “F” 
após colocação do reator, o circuito deverá ser reconstruído a partir da reatância final: 

F
0,0221j pu
Local da falta
12345G
Neutro
A
jX
25CCi j pu 
1G
0,0162j pu
0,025j pu
2G 345G
0,10j pu0,09j pu
A
Neutro
F
Local da falta
jX
25CCi j pu 

1i 2i 3i
 
Figura 5.12 - Sistema elétrico de impedâncias ilustrando as contribuições dos 
geradores 1 e 2 
 
Aplicando a equação: 
NA 1 . CCv z i  entre os terminais do neutro e a barra “A”: 
  NA 1 0,0221 25 1 0,525 puv j j     
Reaplicando a mesma equação (
NA 1 . CCv z i  ), agora para os ramos dos geradores: 
   1 NA1 0,09 1 1 0,525 0,09 6,1388 pui v j j j       
 
   2 NA1 0,10 1 1 0,525 0,10 5,525 pui v j j j        
       3 NA1 0,0162 0,025 1 1 0,525 0,0162 0,025 13,410 pui v j j j          
12 
 
Obs.: 
1 2 3 25 pui i i j    
1i = contribuição do gerador “1”; 
2i = contribuição do gerador “2”; 
3i = soma das contribuições dos geradores “3”, “4” e “5”. 
Calculando-se a tensão entre o ponto de Neutro (N) e o ponto X: 
2i
3i
1G
0,036j pu 0,05j pu
0,025j pu
2G 3G 4G 5G
0,10j pu0,09j pu
A
0,0715j pu
Neutro
F
Local da falta
jX
25CCi j pu 

1i 4i 6i5i
X

 
Figura 5.13 - Sistema elétrico de impedâncias ilustrando as contribuições dos 
geradores 3, 4 e 5 
 
    NX 31 0,0162 1 13,410 0,0162 1 0,2172 puv i j j j       
Agora as correntes nos ramos dos geradores 3, 4 e 5 podem ser calculadas: 
 4 NX1 0,036 6,345 pui v j j   (contribuição do gerador 3) 
 5 NX1 0,05 4,4484 pui v j j   (contribuição do gerador 4) 
 6 NX1 0,0714 3,02605 pui v j j   (contribuição do gerador 5) 
 
5.6 Cálculos sistemáticos de curto circuito 
Os cálculos de curto circuito em grandes sistemas elétricos tornam-se impraticáveis 
quando feitos manualmente. Nesses casos, torna-se necessário sistematizar uma 
maneira que possa ser programada em computador. As figura 5.14 e 5.15, relativas a 
um sistema de 3 barras, serão utilizadas para mostrar o desenvolvimento de uma 
13 
 
técnica geral, que pode ser aplicada a qualquer sistema elétrico de “n” barras. Para 
tanto, este sistema está inicialmente operando em condições normais, isto é, em 
regime permanente e, conhecemos as grandezas tensões nas barras. 
Os objetivos na análise de um curto trifásico solido, como neste caso, são determinar a 
corrente de falta na barra 3; determinar a capacidade de curto circuito; como ocorrerá 
distribuição das correntes no sistema após a falta e, finalmente, as tensões pós-falta 
nas demais barras do sistema. 
Para procedermos ao processo de cálculos, devemos seguir os seguintes passos: 
1) Construir o circuito equivalente da rede antes da falta; 
2) A partir do estudo de fluxo de carga, visto no capítulo, determinar a 
distribuição de correntes e as tensões em todas as barras do sistema; 
3) Determinar as variações das correntes e das tensões do sistema causadas pelo 
efeito do curto circuito; 
4) Efetuar a superposição das variações nas correntes e tensões calculadas no 
passo c), às correntes e tensões antes da falta, calculadas no passo 2). Isto 
permitirá obter os parâmetros elétricos do sistema na condição pós-falta. 
1 2
3
Z
Z
Z
1G 2G
1Linha
2
Linha
3
Lin
ha
1T 2T
Falta
3Ds
1Ds
 
Figura 5.14 - Sistema elétrico com 3 barras 
 
14 
 
1G 2G
1 2
3
y=j0,02
0,1z j
y=j0,02
y=j0,02
y=j0,02
y=j0,02
y=j0,02
0,1
z
j
 0,1
z
j

1 0,1Gz j 2 0,050Gz j
1 0,05Tz j 2 0,025Tz j
1e 2e
3y =j0,5D
1y =1,0 j0,5D 
Figura 5.15 - Ilustração das impedâncias do sistema elétrico de 3 barras 
 
Como já mencionado diversas vezes anteriormente, para cálculos de curtos, as 
capacitâncias das linhas podem ser desprezadas. Tem-se assim um diagrama de 
reatâncias mais simplificado, como a seguir ilustrado através da figura 5.16. 
15 
 
1G 2G
1 2
3
0,1j
0,1
j 0,1j
0,15j 0,075j
1 1,0e  2 1,0e 
Fz
 
Figura 5.16 - Ilustração das impedâncias do sistema após as considerações adotadas 
 
Sabemos que o teorema de thevenine extremamente útil na determinação das 
variações que ocorrem nas correntes e nas tensões de um circuito linear, quando é 
adicionada uma impedância entre dois nós do circuito. Vale ressalta que o Teorema de 
Thevenin afirmar que: “As variações que ocorrem nas tensões e correntes de um 
circuito, devido à adição de uma impedância entre dois nós do circuito, são idênticas às 
tensões e correntes causadas por uma fonte f.e.m. colocada em série com a 
impedância e com valor e polaridade iguais à tensão pré-falta que existiu entre os nós 
em questão, com todas as demais fontes ativas “zeradas””. De uma maneira mais 
simples podemos afirmar que todas as fontes de tensão são removidas e os 
respectivos terminais curto circuitados, isto pra as fontes de tensão, enquanto que as 
fontes de correntes são abertas. 
Conforme pode ser observado na figura 5.17 a) as variações nas tensões e nas 
correntes do sistema causadas pela adição de um ramos, neste caso o curto circuito 
sólido, ou seja com impedância de curto igual a zero, são equivalentes àquelas 
causadas pela adição de uma com f.e.m., para esta situação ( 1,0E pu ) com todas as 
16 
 
outras unidades geradoras curto circuitadas. De posse da figura 5.17a, podemos 
efetuar as simplificações ilustradas da mesma, nas etapas de b) a e). 
 
1 2
3
0,1j
0,1j

0,15j 0,075j
1,0e 
 
0,1j
Fi
1Gi 2Gi
1 2
3 
0,15j 0,075j
1,0e 
 
0,0333j
Fi
1Gi 2Gi
0,0333j
0,0333j
1
0,1833j
1,0e 
Fi
1Gi 2Gi
0,0333j
1
0,1083j
1,0e 
Fi
0,1015j
0,0681j
1,0e 
Fi
0,0333j
a) b)
c) d) e)
0Fz 
Figura 5.17 - Ilustrações das simplificações do circuito relativo ao sistema 
 
A corrente de curto total será: 
1
9,85 pu
0,1015
Fi j
j
   
17 
 
O cálculo da contribuição dos dois geradores poderá ser feito através dos circuitos da 
figura 5.18 apresentada na sequência, conforme abaixo descrito: 
1 2
3
0,1j
0,1j

0,15j 0,075j
 
0,1j
F
1Gi 2Gi
1 2
3 
0,15j 0,075j
 
0,0333j
Fi
1Gi 2Gi
0,0333j
0,0333j
0,1833j
Fi
1Gi 2Gi
0,0333j
0,1083j
Fi
0,1015j
0,0681j
Fi
0,0333j
a)
b)
c) d) e)
F
F
.
.
.
 
F.
`N `N
N
N N
N
N
F.
Fi
3  3
 
Figura 5.18 - Ilustrações das simplificações do circuito visando o cálculo das 
contribuições dos geradores 
 
Na etapa “d” da figura 5.18 ilustrada anteriormente, calcula-se NN’v : 
 NN’ 1 0,0682 9,85 1 0,6718puv j j     
Na etapa “c” da mesma figura obtém-se a corrente do gerador G1 (
1Gi ): 
   1 NN’1 0,1833 1 1 0,6718 0,1833 3,665 puGi v j j j          
A corrente do gerador G2 será: 
 2 1 9,85 3,665 6,185 puG F Gi i i j j       
18 
 
Com o auxílio das correntes de curto nos geradores e da etapa (b) da figura, os 
afundamentos de tensão causados nas 3 barras, devido a este curto, poderão também 
ser obtidos: 
 N1 0,15 3,665 0,55 puv j j      
 N2 0,075 6,185 0,463 puv j j      
 N3 0,1015 9,85 1,0 puv j j      
Estes valores constituirão o “vetor tensão de barra de Thevenin”: 
 
N1
T N2
N3
0,550
0,463 pu
1,000
v
v v
v
    
   
   
   
       
 
Com auxílio da figura 5.19 as correntes em cada linha podem, agora, também ser 
determinadas: 
1 2
3
0,1j
0,1j

0,15j 0,075j
1,0e 
 
0,1j
Fi
1Gi 2Gi
 
Figura 5.19 - Circuito ilustrativo do sistema utilizado no cálculo das correntes nas linhas 
 
N2 N1
21
0,087
0,87 pu
0,1 0,1
v v
i j
j j
 
    
N1 N3
13
0,45
4,50 pu
0,1 0,1
v v
i j
j j
 
    
N2 N3
23
0,537
5,37 pu
0,1 0,1
v v
i j
j j
 
    
19 
 
Correntes e tensões pós-falta 
a) Tensões 
Antes da falta, as tensões entre as barras e a referência “N” são tomadas como sendo 
de valores iguais a 1,0 pu. Com o surgimento da falta no barramento “3, as enormes 
correntes provocarão grandes quedas de tensão. Isso faz com que as tensões não mais 
tenham os valores de 1,0 pu. As novas tensões, nos 3 barramentos, serão as seguintes: 
1 1 N1 1 0,550 0,450 pu
final inicialv v v     
2 2 N2 1 0,463 0,537 pu
final inicialv v v     
3 3 N3 1 1 0 pu
final inicialv v v     
b) Correntes: 
Será assumido que, antes da falta, as correntes são desprezíveis. Logo, os valores finais 
serão: 
9,85 puFi j  
1 1 1 1 0 3,665 3,665 pu
final inicial final
G G Gi i i i j j       
2 2 2 0 6,185 6,185 pu
final inicial final
G Gi i i j j      
13 13 13 0 4,5 4,5 pu
final inicial finali i i j j      
23 23 23 0 5,37 5,37 pu
final inicial finali i i j j      
21 21 21 0 0,87 0,87 pu
final inicial finali i i j j      
Na prática é muito provável que se desejasse estudar os curtos circuitos também nas 
barras 1 e 2. Assim, toda a rotina anterior deveria ser repetida, tanto para a barra 1 
como para a barra 2. Este fato, combinado com a impossibilidade de se usar, 
manualmente, os métodos de redução de circuitos em grandes sistemas (com muitas 
linhas, transformadores, barras, etc.) conduziu ao uso do computador digital. 
 
5.6.1 Cálculos de Curtos Trifásicos através de Computador 
Para utilizar o computador nos cálculos de curto-circuito é necessário desenvolver 
procedimentos sistemáticos. A técnica de “redução de circuitos”, usada até aqui só 
pode ser usada em sistemas pequenos. A seguir será apresentada uma técnica de 
maior generalidade, isto é, aplicável a um sistema de “n” barras. 
 
20 
 
5.6.1.1. As tensões pós-falta serão dadas por: 
 final inicial
bus bus Tv v v  (5.6) 
1
2
3
1
1 pu
1
inicial
inicial inicial
bus
inicial
v
v v
v
   
          
     
 
 
N1
T N2
N3
v
v v
v
 
 
 
 
  
 
 
5.6.1.2. Obtenção de Tv : 
   finalT busv z i    (5.7) 
Sendo  busz a matriz de impedância, 3×3, da rede anterior. 
0
0final
F
i
i
 
      
  
 
Obs.: 
Fi a corrente “injetada” na barra 3. 
Levando a equação (5.7) na equação (5.6), temos: 
 final inicial final
bus bus busv v z i   (5.8) 
Para um sistema de “n” barras, o vetor corrente de falta será: 
0
0
final
F
i i
 
 
 
  
 
 
  
 
Sendo finali a corrente total na barra “q” para um curto na barra “q”. 
Assim expandindo a equação (5.8), temos: 
11 11 1
1
1
0
.
0
final inicial
n
final inicial
q qn Fq q
final inicial
n nnn n
z zv v
z z iv v
z zv v
       
       
       
         
       
       
            
 
21 
 
Separando-a em diversas expressões: 
 
 
 
 
1 1 1 1 .
 
.
 
.
final inicial
q F
final inicial
q q q qq F
final inicial
n n n nq F
v v v z i
v v v z i
v v v z i
 



  


  
 (5.9) 
Por enquanto a corrente 
Fi é desconhecida. Generalizando este desenvolvimento para 
um curto circuito não sólido (ou seja, onde haja impedância fZ ), a tensão pós-falta na 
barra em curto, pode ser expressa por: 
 finalq F Fv z i  (5.10) 
Isso está ilustrado na figura 5.20. 
Fz
Sistema
Barra q
final
qv
Fi
 
Figura 5.20 - Representação simplificada de um sistema elétrico de grande porte 
 
Levando a equação (5.10) na equação (Vq) e tirando 
Fi temos: 
 
inicial
q
F
F qq
v
i
z z


 (5.11) 
Assim, “
Fi ” está determinada pois “
inicial
qv ” é conhecido (≅ 1,0 pu). Os valores de “ Fz ” 
e “ qqz ” (impedância de Thevenin, a ser retirada da matriz de “  busz ”) também são 
conhecidos. Finalmente, levando a equação (5.11) em (5.9) obtém-se as seguintes 
equações finais para as tensões pós-falta nas barras: 
22 
 
 
iqfinal inicial inicial
i i q
F qq
final inicialF
q q
F qq
z
v v v para i q
z z
z
v v
z z

   


  
 
 (5.12) 
Para um curto-circuito sólido ( 0Fz  ) as equações (5.11) e (5.12) se tornam: 
 0
inicial
q
F
qq
final
q
iqfinal inicial inicial
i i q
qq
v
i
z
v
z
v v v para i q
z





    


 (5.13) 
 
5.6.2. Notas Importantes: 
1. As tensões pré-faltas, inicial
iv e 
inicial
qv podem ser obtidas pelo programa do fluxo de 
carga ou, como anteriormente, podem ser tomadas como iguais a 1,0 pu. 
2. As impedâncias “
iqz ” e “ qqz ” são retiradas da matriz  busz , a qual, por sua vez, é 
obtida pela inversão da matriz de admitância de barra  busy . 
Obs.: Se os cálculos forem feitos através de um computador digital, as admitâncias das 
linhas de transmissão (e quaisquer outras admitâncias), não precisam ser 
eliminadas. 
3. A análise mostrada forneceu, até aqui, a corrente de falta 
Fi na barra em curto e as 
tensões pós-falta em todas as demais barras não em curto e naquela em curto. 
No entanto, para o estudo ficar completo, ainda é preciso conhecer os valores das 
correntes pós-falta em todos os ramos da rede: 
23 
 
Barra 1 Barra v
1vZ
final
1V
Barra uBarra q
0finalqV 
final
vV
final
1V
vuZ
qvZ
1qZ
Falta
 
Figura 5.21 - Esquema elétrico de um sistema de 4 barras 
 
No sistema ora estudado, a corrente pós falta é vu Fi e pode ser dada pela equação (X): 
 
final final
v u
vu F
vu
v v
i
z

 (5.14) 
 
24 
 
5.6.3 Fluxograma para o Cálculo de Curto Circuito, em computador digital
 
Ler os Dados:
Forme a Matriz
INÍCIO
Ybus  
1) Corrente de falta: Fi
Calcule a Matriz
Zbus  
Calcule:
2) Tensão pós-falta de barra: finaliv
3) Corrente pós-falta de linha: vui
1) Matriz de admitância
2) Dados pré-falta
FIM
 
Figura 5.22 - Fluxograma do processo de cálculo de um curto circuito 
 
5.6.4 Exemplo Resolvido
 
Recalculando-se o curto na barra 3 para o sistema de 3 barras, utilizando o fluxograma 
anterior, tem-se: 
25 
 
1G 2G
1 2
3
0,1j
0,1
j 0,1j
0,15j 0,075j
1 1,0e  2 1,0e 
Fz
 
Figura 5.23 - Sistema elétrico de 3 barras 
 
Solução 
Formação da matriz de admitâncias: 
11
1 1 1
26,67
0,15 0,1 0,1
y j pu
j j j
    
 
13 31
1
10
0,1
y y j pu
j
   
 
22
1 1 1
33,33
0,075 0,1 0,1
y j pu
j j j
    
 
12 21
1
10
0,1
y y j pu
j
   
 
33
1 1
20
0,1 0,1
y j pu
j j
   
 
23 32
1
10
0,1
y y j pu
j
   
 
26 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
26,67 10 10
10 33,33 10
10 10 20
bus
y y y j j j
y y y y j j j pu
y y y j j j
     
   
    
   
        
 
Invertendo-se 
busY (inverter esta matriz é a maior dificuldade deste cálculo), obtém-se 
a matriz 
busZ . Se o sistema possuir muitas barras, Isso requer muito tempo e muita 
memória do computador. 
 
0,073 0,0386 0,0558
0,0386 0,0558 0,0472
0,0558 0,0472 0,1014
bus
j j j
z j j j pu
j j j
 
 

 
  
 
Nota: Sabe-se que a inversão de uma matriz A é dada por: 1
1
A A
A
  . 
Sendo: A =determinante de A e A = matriz adjunta. 
As tensões pós-falta e a corrente de falta obtidas pelas equações (5.13) serão: 
13
1 1 3
33
0,0558
1,0 1,0 0,450
0,1014
final inicial inicialz jv v v pu
z j
      
 
23
2 2 3
33
0,0472
1,0 1,0 0,535
0,1014
final inicial inicialz jv v v pu
z j
      
 
3 0
finalv 
 
3
33
1
9,86
0,1014
inicial
F
v
i j pu
z j
   
 
Para comparações, o cálculo “manual” inicial forneceu: 
1 0,450
finalv pu ; 3 0,0
finalv pu e 
1
9,85
0,1015
Fi j pu
j
   . 
Uma vez montada a matriz 
busZ , pode-se obter os valores das correntes de curto e das 
tensões nas barras para as hipóteses de curtos em qualquer barra. Por exemplo, Barra 
1 em curto: 
11
1
13,7Fi j pu
z
   
1 0
finalv  
21
2 2 3
22
0,0386
1,0 1,0 0,471
0,073
final inicial inicialz jv v v pu
z j
       
27 
 
31
3 3 3
22
0,0558
1,0 1,0 0,236
0,073
final inicial inicialz jv v v pu
z j
       
 
5.7 Considerações Finais 
 
5.8 Exercícios 
 
5.9 Referências 
Elgerd, O. I., “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”, Tradução: Cotrim, 
A. A. M. B., Albuquerque, P. M. C., Editora McGraw-Hill do Brasil LTDA, 1981. 
 
Stevenson, W. D., “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, 2a Ed., São Paulo, 
Editora McGraw-Hill, 1986.