Aula 02 APOIO Sem título-1

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1
d
e
s
e
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o
m
é
tr
ic
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n
u
n
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e
ir
a
2
0
1
3
2
1-INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
 1.1 - INTRODUÇÃO
A Geometria é a ciência que tem por objetivo o estudo rigoroso do espaço e das figuras que nele 
podem conceber. Baseia-se em:
-conceitos primitivos: aqueles que não se definem, mediante os quais podem ser definidos todos os 
outros. Ex.: o ponto
-postulados: proposições admitidas sem demonstrações. Ex.: há infinitos pontos em uma reta.
-teoremas: proposições que necessitam de demomonstrações. Ex: a soma do quadrado dos catetos 
é igual ao quadrado da hipotenusa (Terema de Pitágoras).
1.2 -ELEMENTOS FUNDAMENTAIS
Ponto
O ponto resulta da interseção de duas linhas, sendo indicado com letras maiúsculas ou números: A, B, 
C, ... 1, 2, 3, ... e representados da seguinte forma:
Linha
Conceituação: a linha pode ser comparada a uma série de pontos que se sucedem no espaço, tão 
próximos que se confundem num traço contíguo, unidimensional. Assim, podemos concebê-la como 
o conjunto das posições de um ponto móvel, podendo se apresentar com a forma:
As retas podem ser classificadas conforme a posição absoluta em que se encontra, e quanto às 
posições relativas.
Posição Absoluta Posições Relativas (retas coplanares)
linha reta linha poligonal linha mista linha curva
reta segmento de reta semi-reta
A PBr r
Linha Reta
Quando um ponto se desloca no espaço sem nunca mudar de direção, ele dá origem a uma linha reta, 
sendo esta, infinita e ilimitada nos dois sentidos.
horizontal
vertical
inclinada
a b
COINCIDENTES
a
b
PARALELAS
a
b
CONCORRENTES
a
b
PERPENDICULARES
A 1
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
3
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
2.2 - Mediatriz: é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois pontos dados.
2 - LUGARES GEOMÉTRICOS
Conceito:
Lugar Geométrico de pontos é o lugar do plano onde todos os pontos nele situados gozam de uma 
mesma propriedade.
Existem vários lugares geométricos, no entanto, cinco são considerados os mais importantes. São 
eles: circunferência, mediatriz, bissetriz, paralela e arco-capaz.
2.1 - Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado.
Plano
O plano pode ser considerado como o conjunto das posições de uma linha reta móvel, que se desloca 
paralelamente a si mêsma em uma única direção. É designado por letras minúsculas do alfabeto grego.
É representado da seguinte forma.
 = alfa  = beta  = gama
22
OO
11
33
… …
A1=1B AP=PB
1
1
2
… …
P
P
2
A
A
B
B
2.3 - Paralela: é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de uma reta dada.
x
y'
1
1'
2
2'
3
3'
4
4'
5
5'
A
d
d
B C D E
y
x
1 2 3 4 5
A B C D E
y
d
x
1 2 3 4 5
A B C D E
y
d= distância
eber nunes ferreira
4
Q'
A B C BISSETRIZ
B
IS
S
E
T
R
IZ
O
1
1'
2
2'
3
3'
d
d x
x
y
y
A B CO
1
1'
2
2'
3
3'
d
d
x
y
BISSETRIZ
2.4 - Bissetriz: é o lugar gemétrico dos pontos eqüidistantes de duas retas concorrentes, ou o lugar 
geométrico dos pontos eqüidistantes dos lados de um ângulo dado.
2.5 - Arco-capaz: é o lugar gemétrico dos pontos de onde segmentos dados, são vistos segundo 
ângulos dados.
Esta é uma propriedade observada entre a circunferência e sua corda.
(Corda é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência)
180º
A
O
B
COR
DA
Q
A
O
B
COR
DA
Q'
A
O
B
COR
DA
P
A
O
B
COR
DA
P'
A
O
B
COR
DA
P"
A
O
B
P
P'
P"
COR
DA
Lembre-se que a maior corda de uma circunferência é o seu diâmetro. O valor do arco-capaz quando 
a corda passa pelo centro é de 90º e neste caso, os ângulos  e  são congruentes (iguais).
A A
O
O
B B
CORDA = DIÂMETRO
Q
Q
180º
90º
A
O
B
COR
DA
P'
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
5
2.6 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.
Os exercícios que se seguem de 01 a 09 são apresentados já resolvidos e acompanhados do método 
construtivo. O aluno deverá repetir cada exercício assimilando e raciocinando os procedimentos 
utilizados. Os exercícios de 10 a 17 são apresentados apenas com o enunciado e o aluno deverá 
valer-se dos conhecimentos adquiridos. (Os exercícos resolvidos nem sempre se apresentam com as 
medidas reais).
ER01 - Determine a mediatriz dos pontos A e B . Lembre-se : a mediatriz determina o ponto médio do 
segmento definido pelos pontos A e B.
Construção: Centro em A, com abertura qualquer do compasso maior que a metade de AB, descreve-se um arco acima e outro abaixo do 
segmento dado. Centro em B, com a mesma abertura repete-se a operação anterior. Os arcos se cruzarãos aos pares determinando os 
pontos 1 e 2, que ligados determinarão a mediatriz pedida.
Obs.: a abertura maior que a metade, pode ser maior que o próprio segmento. Vale salientar que quanto mais distantes ficarem os pontos 1 e 
2, maior será a precisão.
ER02 - Levantar uma perpendicular ao meio do segmento AB (mediatriz AB) situado sobre a reta x. 
Construção: Determinar a mediatriz de AB.
ER03 - Por um ponto P situado fora da reta x, levantar a reta y perpendicular à x.
PROCESSO I - Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre x (prolongue-o se 
necessário). Agora determine a mediatriz de 12 e obtenha y.
1
2
A B A B
A B
x
A B
1
2
x
y
P
1 2
x
2
P
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EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
6
x
y
1
2
a
3
P P
x
PROCESSO II - Construção: Determina-se arbitrariamente o ponto 1 sobre a reta x. Centro em 1, abertura 1P, descreve-se um arco 
determinando o ponto 2 sobre 1x. Centro em 2, abertura 2P descreve-se outro arco que interceptará o primeiro no ponto 3. Uni-se 3 a P e 
obtém-se a perpendicular pedida.
ER04 - Por um ponto P, situado na reta x, levantar a reta y perpendicular à x.
Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre x. Obtenha y determinando a 
mediatriz de 12.
ER05 - Pelo ponto P, situado na extremidade da reta x, levantar a reta y perpendicular à x. (Nos 
processos referentes a este exercício, não é previsto o prolongamento da reta
PROCESSO I - Construção: Tomando como extremidade o ponto P, abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que 120º) 
determinando o ponto 1 sobre x. Com mesma abertura, centro em 1, determina-se 2, em seguida, centro em 2 e determina-se 3, ambos 
sobre o arco inicial. Agora, basta encontrar a mediatriz dos pontos 2 e 3 e teremos solucionado o exercício. Pelo fato do ponto P, pertencer à 
mediatriz, basta determinar o ponto 4. Obs.: a abertura inicial é qualquer, mas depois de estabelecida, não poderá ser alterada dentro do 
exercício.
y
x
P
1 2
3
x
P
x
1
23
4
P P
x
y
y
1 2
P x P
x
PROCESSO II - Construção: Tomando como extremidade o ponto P, abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que 60º) 
determinando o ponto 1 sobre x. Com mesma abertura, centro em 1, determina-se 2 sobre o arco. Une-se 1 a 2 prolongando-o, 
determinando assim a reta auxiliar a . Com a mesma abertura, à partir de 2 determina-se 3 sobre a. O ponto 3 ligado ao ponto P 
determinará a perpendicular y pedida.
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
7
Px
y
1
2
a
P
O
x
PROCESSO III - Construção: De um ponto O qualquer, fora da reta dada, com abertura PO, descreve-se um arco (maior que 180°) 
determinando o ponto 1 sobre x. Une-se 1 a O prolongando-o, Determina-se assim, a reta auxiliar a que encontrará o ponto 2 sobre o arco. O 
ponto 2 ligado ao ponto P determinará a perpendicular y pedida.
PROCESSO IV - Construção: Este processo baseia-se no fato de que todo triângulo de lados 3u, 4u e 5u, é um triângulo retângulo. Sobre 
uma reta auxiliar e com o auxílio do compasso ou com o uso da régua graduada, marca-se 5 módulos quaisquer, mas que sejamiguais entre 
si . Centro em P, abertura igual a 3 módulos, descreve-se um arco determinando o ponco 1 sobre x. Centronovamente em P, abertura igual 
a 4 módulos e descreve-se um segundo arco. Centro em 1, abertura igual a 5 módulos e descreve-se um arco que interceptará o anterior 
determinando o ponto 2. Une-se P a 2 e obtém-se a perpendicular y desejada.
x
y
1
2
3u
u u u u u
4u
5u
P
P x
x
y
1
a b
P
A
A1 = AP BP' = B1
B
P'
P
x
ER06 - Por um ponto P, situado fora da reta x, traçar uma reta y paralela a x.
PROCESSO I - Construção: Por P, passe uma reta a qualquer, que corte x no ponto A . Centro em A, abertura AP e determina-se sobre a 
o ponto 1. Pelo ponto 1, passe uma reta b qualquer, que corte x no ponto B. Centro em B abertura B1 e determina-se sobre b o ponto P’. 
Com a união dos pontos P e P’, obtém-se a reta y pedida.
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8
xx
y
A
1 2
BP P
1P = 12 13 = 2P
x
y
12
3P
P
x
PROCESSO II - Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando 1 em x. Centro em 1, mesma abertura e 
determina-se sobre x o ponto 2 (arco P2). Centro em 1, abertura 2P, determina-se sobre o primeiro arco o ponto 3. Com a união dos pontos 
3 e P, obtém-se a reta y pedida.
ER07 - Traçar uma reta y paralela à reta dada x.
 Construção: Centro em P (ponto qualquer sobre x), abertura qualquer, descreve-se uma semi-circunferência determinando A e B sobre 
x. Centro em A, com a mesma abertura, determina-se sobre o arco, o ponto 1. Centro em B, mesma abertura, determina-se sobre o arco o 
ponto 2. Com a união dos pontos 1 e 2, obtém-se a reta y pedida.
ER08 - Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ângulo dado (bissetriz).
Construção: Centro em O, abertura qualquer, determina-se sobre os lados do ângulo, os pontos 1 e 2. Centro em 1, abertura qualquer, 
traça-se um arco de circunferência. Centro em 2, mesma abertura, e traça-se um outro arco que concorrerá com o anterior, determinando o 
ponto 3. Unindo os pontos O e 3, obtém-se a bissetriz pedida.
1
2
3
O
O
O
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ER09 - Determine a bissetriz do ângulo dado, sem recorrer ao vértice.
Construção: Traçe uma reta auxiliar qualquer cortando os lados do ângulo dado, obtendo os ângulos auxiliares A, B, C e D. Encontre o 
ponto 1 com o cruzamento das bissetrizes dos ângulos A e B, e o ponto 2 com as bissetrizes dos ângulos C e D. Com a união dos pontos 1 e 
2, obtém-se a bissetriz pedida.
EP01 - Dados os pontos 1,2,3 e 4, encontre o ponto P que seja equidistante dos pontos 1 e 2 e dos 
pontos 3 e 4. 
EP02 - Construa uma circunferência cujo centro pertença a reta x e que contenha os pontos R e S.
x
S
R
B
A
C
D
1
2
2
1
3
4
EP03 - Construa uma circunferência de raio = 2cm e que contenha os pontos R e S.
S
R
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
eber nunes ferreira
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EP04 - Encontre sobre a reta x os pontos 1 e 2 distantes 2 cm da reta y.
EP05 - Encontre o ponto K sabendo-se que o mesmo encontra-se equidistante dos lados não 
paralelos do trapézio ABCD e distante 2,5 cm da base maior. Quantos pontos solucionam este 
exercício ?
x
y
B
C
D
A
EP06 - Construa uma circunferência que tangencie os lados em cada triângulo ABC dado.
B
C
A
EP07 - Construa o triângulo ABC sabendo que o lado BC = 4 cm, é paralelo a reta x.
B
A
x
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3 - DIVISÃO DE SEGMENTOS
TEOREMA DE TALES
Um feixe de retas paralelas determina em duas ou mais transversais quaisquer, segmentos 
proporcionais.
Considerando o feixe de retas paralelas equidistantes (v, x, y, w e z), 
cortado pelas retas transversais s e t, temos na reta s, segmentos iguais de 
medida a, e na reta t, segmentos iguais de medida b.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
s//s'
s
s'
a
a
a
a
b
b
b
b
v
x
y
w
z
s t
a
b
c
d
s t
y
z
x
3.1- DIVISÃO DE SEGMENTOS
Exemplo de divisão do segmento AB em n partes iguais. Considerar n = 4.
PROCESSO: Contrução: Por A passe um reta 
auxiliar s determinando um ângulo qualquer com o 
segmento AB. Transporte este ângulo para o ponto B 
determinando a reta s' paralela a reta s.
Com o uso do compasso ou de uma régua graduada, 
marque sobre s e s', n módulos iguais. Ao unirmos os 
pontos dos módulos, formando retas paralelas, o 
segmento AB é dividido em n partes iguais.
A
B
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3.2- DIVISÃO SIMULTÂNEA DE SEGMENTOS
Dividir os segmentos AB, CD e EF em n partes iguasis. Considerar n= 5
0 1 2 3 4 5
A B
C D
E F
A B
C D
E F
P
E F
P
PRIMEIRO PASSO
SEGUNDO PASSO TERCEIROPASSO
Contrução: Sobre uma reta auxiliar qualquer , 
com o uso do compasso ou de uma régua 
graduada, marque n módulos iguais.
- Contrua um triângulo equilátero tendo por lado 
um dos segmentos a serem diivididos, 
preferencialmente o maior. 
Centro em P com abertura AB, transporta-se o 
segmento para o triângulo. Repete-se esta 
operação para todos os demais segmentos a 
serem divididos incluisve o segmento formado 
pelos módulos.
Ao unirmos os pontos dos módulos ao ponto P 
todos os segmentos são divididos em n partes 
iguais simultaneamente.
A B
C D
E F
P
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
3.3- DIVISÃO DE SEGMENTOS EM PARTES PROPORCIONAIS
ER10 - Dividir os segmentos AB proporcional aos lados do Triângulo XYZ.
A B
x
X
y
Yz
Z
BA
x
x'
y
y'
z
z'
PROCESSO I : Contrução: Por A, passe uma 
reta auxiliar r formando um ângulo qualquer com 
o segmento dado. Sobre r, a partir de A, 
transporte os lados y, z e x com o uso do 
compasso. Una o ponto B a extremidade do lado 
x determinando a reta s. Pelas extremidades de 
cada segmento transportado, passe uma reta 
paralela a s. O encontro de cada reta paralela 
com o AB, divide o segmento em partes 
proporcionais a y, z e x.
PROCESSO II : Aplicar o mesmo raciocínio 
utilizado o segundo processo de divisão em 
partes iguais.
OBSERVAÇÃO: Com a divisão do segmento AB em partes proporcionais aos lados x, y e z, do 
triângulo, podemos construir um outro triângulo de lados x ', y' e z' proporcional a ao primeiro e 
cujo perímetro é igual ao segmento AB. Assim sendo, podemos contruir várias figuras 
proporcionais as outras conhecendo-se o seu perímetro.
60º
60º 60º
s'
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4 - ÂNGULOS
Considere, inicialmente três pontos A, B e C distintos não-colineares sobre uma superfície plana. Ao 
definirmos duas semi retas AB e AC, também definiremos duas regiões que elas limitam no plano. A 
reunião das semi-retas com qualquer uma das duas regiões por elas limitadas no plano é denominada 
ÂNGULO.
Portanto, ângulo é a reunião das semi-retas com a região por eles delimitada. Quando os lados do 
ângulo forem coincidentes, teremos a formação dos ângulos: de volta inteira e nulo.
Quando os lados do ângulo forem semi-retas opostas,ou seja, os pontos A, B e C forem distintos 
colineares, a reunião das duas, resulta em uma única reta. Assim teremos a formação dos ângulos 
denominados de rasos ou de meia volta.
Uma figura é denominada convexa se, para quaisquer dois pontos distintos a ela pertencentes, todos 
os pontos do segmento a ela também pertencerem. 
A
A
lado
lado
lado
lado
ÂNGULO CÔNCAVOÂNGULO CONVEXO
A
Alados opostos lados opostos
ÂNGULO RASO OU
DE MEIA VOLTA
ÂNGULO RASO OU
DE MEIA VOLTA
A lados coincidentes
ÂNGULO NULO
A
lados coincidentes
ÂNGULO DE VOLTA INTEIRA
A
B
C
ângulo
A
B
C
A
B
C
ângulo
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desenho geométricodesenho geométrico
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4.1 - ELEMENTOS DE UM ÂNGULO
Vértice do Ângulo : é o ponto comum às semi-retas.
Lados : são as próprias semi-retas.
Abertura Angular : é a unidade de medida do ângulo.
Região Angular : é a porção compreendida ou delimitada pelos lados.
4.2- MEDIDAS DA ABERTURA ANGULARA abertura angular pode ser expressa em graus, grados e radianos, onde o maior ângulo que se 
obtém ao nível do desenho geométrico é o de 360° , 400 gr ou 2prd, ou seja, um ângulo de volta inteira. 
No entanto utilizaremos durante o curso, o grau, como unidade de medida. 
NOTAÇÃO : Para indicarmos que um ângulo, tem uma determinada abertura, escrevemos das 
seguintes maneiras:
 BÂC = 45° ou  = 45°
Atente para o fato de que dois ou mais ângulos que possuem medidas iguais são chamados ângulos 
congruentes.
4.3 - REGIÃO INTERNA E PONTO INTERIOR (PONTO INTERNO)
Excluíndo os lados de um ângulo, obtemos as seguintes regiões:
- região interna do ângulo convexo
- e a região interna do ângulo côncavo.
Um ponto é considerado ponto interior, quando pertecer à região interna do ângulo.
A
lado
Abertura Angular
Região Angular
Vértice
lado
0° gr0
gr100
gr200
gr300
gr400
90°
270°
360° 180° rd
rd
rd
rd
rd
   Â
0° 90° 180° 360°
ÂNGULO NULO ÂNGULO DE VOLTA INTEIRAÂNGULO RETO ÂNGULO RASO
A P
P
P
AA A
ÂNGULO CÔNCAVO PONTO INTERIORÂNGULO CONVEXO
eber nunes ferreira
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4.4 - ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um mesmo lado comum.
AÔB e BÔC são ângulos consecutivos
AÔB e AÔC são ângulos consecutivos
ângulos não consecutivos
4.5 - ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando não possuem ponto interior comum
ângulos consecutivos
O
O
O'
O
A
B
C
O
A
P B
C
O
P
A
B
C
O
P
A B
D
C
A
B C
 +  = 90º


O DO'O
A
B
C
 +  = 90º


OA
B
C
 +  = 180º
 
 +  = 180º
OA DO
B C
AÔB e BÔC são ângulos consecutivos 
adjacentes, pois não possuem ponto interior 
comum, ou seja, o ponto P quando pertence a 
região interna de AÔB, não pertence a região 
interna de BÔC e vice-versa.
Se consideramos os ângulos AÔC e BÔC,eles 
serão classificados como ângulos consecutivos 
não adjacentes, pois possuem ponto (P) interior 
comum, ou seja o ponto P pertence a região 
interna dos dois ângulos.
Se consideramos os ângulos AÔC e BÔD, eles 
serão classi f icados como ângulos não 
consecutivos,(possuem mesmo vértice, porém 
não possuem lado comum), e não adjacentes, 
pois possuem um ponto (P) interior comum (o 
ponto P pertence a região interna dos dois 
ângulos).
4.6 - ÂNGULOS COMPLEMENTARES E SUPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares, quando a soma de suas aberturas angulares é igual a um ângulo 
reto (90°).
Dois ângulos são suplementares, quando a soma de suas aberturas angulares (medidas) é igual a 
um ângulo raso (180°).
eber nunes ferreira
16
desenho geométricodesenho geométrico
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Analise os ângulos abaixo e classifique-os conforme o exemplo.
BÔC e AÔC ângulos consecutivos não adjacentes complemtares
AÔB e AÔC ............................................................
AÔC e BÔD ............................................................
AÔB e CÔD ............................................................
A
B
C
30° 30°
30°
O
D
4.7 - TRANSPORTE GEOMÉTRICO DE ÂNGULOS
 
Os ângulos obtidos com o auxílio do compasso necessitam que o mesmo seja apontado 
corretamente, para a obtenção de contruções geométricas com uma precisão adequada.
ER11 - Dado um âgulo  , pede-se transportá-lo geometricamente para a semi-reta Or.
75º
V O O O
1 1' 1' 1'
2 2' 2'
COM ABERTURA QUALQUER E
CENTRO EM V DESCREVE-SE
UM ARCO QUE CORTA OS LADOS
DO ÂNGULO DADO EM 1 E 2.
COM A MESMA ABERTURA E
CENTRO EM O DESCREVE-SE
UM ARCO QUE CORTA A
SEMI-RETA EM 1'.
COM A ABERTURA 12 E
A PARTIR DE 1' MARCA-SE 2'
COM A UNIÃO DE O2'
OBTÉM-SE O ÂNGULO
DESEJADO.
V O
r

 
Exemplo de construções Técnicas
180°
170°
160
°
15
0°
14
0°
30º
eber nunes ferreira
17
desenho geométricodesenho geométrico
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4.8 - ADIÇÃO DE ÂNGULOS
ER12 - Dados os âgulos  e , pede-se somá-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.
4.9 - SUBTRAÇÃO DE ÂNGULOS
ER13 - Dados os âgulos  e , pede-se subtraí-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.
Utilizando o transporte de ângulos podemos aplicar este conhecimento para adição e subtração 
geométrica de ângulos.
V
2'

O

1'
O
1
2

V
2'
3'

V

1'
V
1'
O V

VV
2'
2'
3' 



1' 1'
VO
1
2

1'
Com a abertura 12 e centro em 1' 
determina-se o ponto 2'.
V
2'
3'

O

1'
O
2
3

O

V
2'
3'

1'
O
2
3

Com a aber tura 23 e centro 
novamente em 1'' determina-se o 
ponto 3'.
O ângulo procurado é a diferença 
entre  e. Portanto basta tornar 
os ângulos  e  em ângulos 
consecutivos não adjacentes
eber nunes ferreira
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desenho geométricodesenho geométrico
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EXERCÍCIOS
EP06 - Efetue graficamente as operações com os ângulos abaixo.
4.10 - CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS
ER14 - Construção do ângulo de 45º através da divisão do ângulo de 90º
Centro em O com abertura 
qualquer obtem-se 1 e 3.
Com a mesma abertura centros 
em 1 e 3 e determina-se 2. 
O2 divide o ângulo de 90º em 2 
ângulos de 45º.
ER15 - Construção do ângulo de 30º através da divisão do ângulo de 90º em 3 partes iguais.
Centro em O com abertura 
qualquer obtem-se 1 e 4.
Com igual abertura, centros 
em 1 e 4 e determina-se 2 e 3. 
O2 e 03 dividem o ângulo de 
90º em 3 ângulos de 30º.
Observe ao dividir um ângulo reto em 3 partes iguais obtém-se também um ângulo de 30º e outro de 60º
O O O V

 
O O O V
  
O
1
4
30º
30º
30º
3
2
O
1
4
3
2
O
1
4
O
1
2
45º
O
1
O
1
3 23 3
eber nunes ferreira
19
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER16 - Construção do ângulo de 60º
O
1
60º
O
1
2
O
1
2
O
30º
2
O
2
O
1 1 1
ER17 - Construção do ângulo de 30º
ER18 - Construção do ângulo de 15º
ER19 - Construção do ângulo de 75º
O
15º
2
1
O
30º
2
1
O
2
1
O
15º
2
1
75º
O
15º
2
1
75º
O
30º
2
1
60º
Com igual abertura, centro em 1 
determina-se 2. 
Centro em O com abertura 
qualquer obtem-se 1.
O2 define o ângulo 1O2 de 60º
Centro em O com abertura 
qualquer obtem-se 1.
Com igual abertura, centro em 1 
determina-se 2. 
O2 define o ângulo de 30º
Centro em O com abertura 
qualquer obtem-se 1. Com igual abertura, centro em 1 
determina-se 2. O2 define o 
ângulo de 30º
Construa a bissetriz d o ângulo 
de 30º e obtenha um ângulo de 
15º.
Repita a operação do exercício 3.
Construa a bissetriz d o ângulo 
de 30º e obtenha um ângulo de 
15º.
A somatória de 60º e 15º produz 
o ângulo desejado.
eber nunes ferreira
20
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER21 - Dividir um ângulo dado em um número par de partes iguais.
O
1
O
1
O
1
ER20 - Construção do ângulo de 120º
1
60º
2
60º
3
O
1
2
3
O
1
O
120º
Centro em O com abertura 
qualquer obtem-se 1.
Com igual abertura, centro em 1 
determina-se 2. Centro em 2 
com mesma abertura e obtem-
se o ponto 3 
O ângulo 1O3 mede 120º.
Determina-se a bissetriz do 
ângulo dado.
Assim ele foi dividido em duas 
vezes.
E m s e g u i d a t r a ç a m - s e 
sucessivas bissetrizes.
ER22 - Dividir um ângulo dado não reto em três iguais.
- Com centro em O, traça-se uma circunferência 
auxiliar de raio qualquer, determinando os pontos A e B.
- Traça-se a mediatriz do ângulo AÔB determinando o 
ponto 1 sobre a circunferência.
- A partir do ponto 1, transporta-se com o auxílio do 
compasso, a medida do raio determinando o ponto 2 
sobre a bissetriz.
- Prolonga-se os lados do ângulo dado, determinando 
os ponto 3 e 4 sobre a circunferência. 
- Unindo os pontos 3 e 2 e também os pontos 4 e 2 
obtem-se os pontos 5 e 6 respectivamente.
- Unindo os pontos O5 e O6, dividimos o ângulo dado 
em 3 partes iguais.
O
1/3
O
A
B
1 2
3
4
r r
5
6
1/3
1/3
eber nunes ferreira
21
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
5 - CONSTRUÇÃO DE ARCO-CAPAZ CONHECENDO-SE A CORDA
Qualquer segmento cujas extremidadesforem tocadas por uma circunferència, torna-se uma corda 
da circunferência, e passa a definir dois arcos de circunferência distintos .
Qualquer ponto P sobre um dos arcos, quando unido as extremidades da corda, determinará um 
ângulo  constante. Esta propriedade comum destes pontos, define o lugar geométrico 
denominado, arco-capaz. (ver pág. 3)
Vejamos a seguir os procedimentos para obtenção do arco-capaz quando nos é fornecido a corda e o 
ângulo  desejado. Lembre-se que toda mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência.
Obtenção geométrica do ângulo auxiliar.
Pelo vértice do ângulo dado, levante uma perpendicular em relação a um dos lados. Em ambos os 
casos, o ângulo auxiliar é a diferença entre o ângulo dado e o ângulo reto. (o maior menos o menor)
Lembre-se que esta é uma propriedade observada entre a circunferência e sua corda.
(Corda é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência)
O
A B
r
PARA ÂNGULOS AGUDOS
90º
PARA ÂNGULOS OBTUSOS
O
A B
r
A
O
B
CORDA
A B A
O
B
CORDA
P
A
O
B
CORDA
P
eber nunes ferreira
22
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
A - Linha Poligonal: é a linha formada 
pe la sucessão de segmen tos 
consecutivos não colineares.
B - Polígono: é a região do plano 
limitada por uma linha poligonal 
fechada.
B
B
C D
C
E
E
F
G
A
A
D
F
ConvexoCôncavo
Quando uma parte de um 
segmento unindo dois 
pontos internos situa-se 
fora da área poligonal.
Regular Irregular
B
D
C
E
A
B
D
C
E
A
B
D
C
Ângulos Internos
A
Ângulos Externos
Diagonal
Lado
Vértice
E
A
p
ó
te
m
a
6 - POLÍGONOS
A. Conceitos
2. Elementos
O segmento que une o centro do 
polígono regular ao ponto médio 
de um dos lados é denominado 
de apótema, e corresponde ao 
raio da circunferência inscrita no 
polígono.
3. Classificação
a) Conforme a posição dos dados: b) Conforme a dimensão dos lados:
c) Quanto ao número de lados:
N° de lados Polígono
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
13 Tridecágono
14 Tetradecágono
15 Pentadecágono
16 Hexadecágono
17 Heptadecágono
18 Octodocágono
19 Eneadecágono
20 Icoságono
N° de lados Polígono N° de lados Polígono
eber nunes ferreira
23
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
7 -TRIÂNGULO
7.1 - Conceito:
O Triângulo é o polígono convexo de três lados e três ângulos.
7.2 - Classificação:
a - Conforme a dimensão dos lados:
b - Conforme a natureza de seus ângulos internos:
7.3 - Elementos :
Lados : Segmentos de retas ou curvas que 
formam o triângulo.
Vértices : são os pontos de cruzamento dos 
lados.
Ângulos : são formados pelos lados do 
triângulo.
7.4 - Cevianas Notáveis
Definição de Ceviana : é todo segmento que 
tem uma extremidade num vértice qualquer de 
um triângulo e a outra num ponto qualquer da 
reta suporte do lado oposto a esse vértice 
(denominado pé da ceviana).
R e t a s u p o r t e d e u m s e g m e n t o , o u , 
simplesmente, suporte de um segmento, é a 
reta na qual esse segmento está contido. 
São três as cevianas notáveis: altura, bissetriz 
interna e mediana.
O nome ceviana foi dado a esses segmentos 
como uma homenagem ao matemático italiano 
Giovanni Ceva.
Equilátero
Possui os lados iguais Possui dois lados iguais Possui os lados desiguais
Isósceles Escaleno
Retângulo
Possui um ângulo reto Possui ângulos agudos Possui um ângulo obtuso
Acutângulo Obtusângulo
A
lado
ângulo
vértice
B
x
CP1 P2 P3 P4
hsm
eber nunes ferreira
24
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Altura: é a perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. Esta é a 
única ceviana que pode ser externa (no triângulo obtusângulo), ou mesmo coincidir com um lado (no 
triângulo retângulo).
B C
A
B C
A
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc hb hc
ha
Ha
Hc Hb
ha
hc
hb
Mediana : é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. (Ceviana que tem uma 
extremidade no ponto médio de um lado).
B C
A
B C
A
B C
A
ma
Ma
mb
mc
Mb
Mc
B C
A
sa
Sa
sc
Sb Sc
B C
A
B C
A
 / 2  / 2
sb
Bissetriz Interna : é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e 
congruentes.
7.5 - Centros Geométricos (Pontos Notáveis)
Ortocentro (H) : é o ponto de encontro das alturas de um triângulo ou das retas suportes das 
alturas.
Utlilize o Arco-capaz de 90º (semi-
circunferência) para determinar os pés 
de duas alturas, o que é suficiente para 
encontrar o Ortocentro.
B C
A
B C
A
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc hb hc
ha
Ha
Hc
Hb
ha
hc
hb
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
Ma
eber nunes ferreira
25
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Baricentro (G) : é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo sendo o seu Centro de 
Gravidade.
Incentro (I) : é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, o qual equidista 
dos lados e é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Observe que para determinar o raio da 
circunferência inscrita, faz-se necessário a determinação de um ponto de tangência, que é obtido 
traçando-se uma perpendicular pelo incentro em direção a um dos lados.
Ex-incentro (E) : é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos externos do triângulo. Observe 
que para determinar o raio da circunferência ex-inscrita, faz-se necessário a determinação de um 
ponto de tangência, que é obtido traçando-se uma perpendicular pelo ex-incentro em direção ao 
prolongamento de um dos lados .
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
I
I
T1
T2
T3
B C
A
E1
E2
E3
B C
A
E2
T3
T1
T2
B C
A
E1
E2
E3
sa
scsb I
eber nunes ferreira
26
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Circuncentro (O) : é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, o qual equidista 
dos três vértices e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
No triângulo Acutângulo o 
Circuncentro é um ponto 
interno.
No triângulo Obtusângulo o 
Circuncentro sempre é um 
ponto externo.
No triângulo Retângulo o 
Circuncentro sempre será o 
ponto médio da hipotenusa.
B C
A
O
rc
B C
A
O
rc
B C
A
O
rc
7.6 - NOMENCLATURA
a , b e c - medidas dos lados BC, AC e AB, 
respectivamente.
 (alfa) ,  (beta) e  (gama) - medidas dos ângulos Â, 
B e C.
ri - raio da circunferência inscrita.
rc - raio da circunferência circunscrita.
ha, hb e hc - medidas das alturas traçadas dos 
vértices A , B e C respectivamente.
Ha, Hb e Hc - pés das alturas ha, hb e hc. 
ma, mb e mc - medidas das medianas traçadas dos 
vertices A , B e C respectivamente.
Ma, Mb e Mc - pés das medianas ma, mb e mc
sa, sb e sc - medidas das bissetrizes traçadas dos 
vertices A , B e C respectivamente.
Sa, Sb e Sc - pés das bissetrizes traçadas dos vertices A 
, B e C respectivamente.
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
a
b
c
rc
r i
eber nunes ferreira
27
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb
hc
B C
A
E1
E2
E3
sa
sc
sb
I90º
90º
90º
m n
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
7.7- PROPRIEDADES DAS MEDIANAS E BARICENTRO
O segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo e de medida igual a 
metade do terceiro lado.
Ma Mb é paralelo ao lado AB. Ma Mb = AB/2 
Ma Mc é paralelo ao lado AC. Ma Mc = AC/2
Mb Mc é paralelo ao lado BC. Mb Mc = BC/2
O triângulo MaMb Mc é semelhante ao triângulo ABC .
O Baricentro (centro de gravidade do triângulo) divide cada mediana em dois segmentos, onde 
o segmento que contém o vértice é o dobro do outro.
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
Paralelogramo
(lado paralelo 2 A 2)
7.8- RELATIVAS ÀS BISSETRIZES
O triângulo ABC tem três bissetrizes internas e seis 
bissetrizes externas.As noves bissetrizes encontram-se, 
de trêsem três,em quatro pontos: E1 ,E2 e E3 . O ponto 
"I" é denominado INCENTRO. 
- Os pontos E1 ,E2 e E3 são EX-ICENTROS; são os 
centros das três circunferências ex-inscritas.
- Duas bissetrizes, uma interna e outra externa, com 
origens no mesmo vértice são perpendiculares entre si.
- O triângulo ABC é órtico do triângulo E1 E2 E3 .
- A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina 
sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos 
outros dois lados.
7.9 - RELATIVA AS ALTURAS
O triângulo Ha Hb Hc é denominado triângulo órtico.
As bissetrizes do triângulo órtico são alturas do triângulo ABC .
eber nunes ferreira
28
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
X Y
Z
r
y x
z
A B
C
r
ab
c
a
b
c
A B
C
ab
c
45º 60º
c
x = y = z
ER23 - Construir um triângulo equilátero XYZ conhecendo-se o lado.
 CONSTRUÇÃO
- Sobre uma reta suporte r, traça-se XY .
- Com abertura igual ao lado do triângulo, centro 
em X, descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em Y, com a mesma abertura, descreve-
se outro arco que interceptará o primeiro em Z.
- A união dos pontos X, Y e Z determina o 
triângulo desejado.
ER24. Construir um triângulo escaleno ABC conhecendo-se os três lados.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB 
sobre ela.
- Centro em A, raio AC, descreve-se um arco 
auxiliar.
- Centro em B, raio BC, descreve-se outro arco, 
interceptando o primeiro em C.
- A união dos pontos A, B e C determina o 
triângulo desejado.
ER25. Construir um triângulo ABC conhecendo-se o lado c e os ângulos A e B.
A = 45º B = 60º
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB 
sobre ela.
- Em A constroi-se um ângulo de 45º
- Em B constroi-se um ângulo de 60º
- O prolongamento dos lados dos ângulos 
determinam o ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o 
triângulo desejado.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
eber nunes ferreira
29
A
C
B
a
a'
b' b
c
r
r'
hc
C'
hc
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER26 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e o ângulo entre eles. 
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB 
sobre - Em A constroi-se o ângulo dado
- Sobre o prolongamento do lado deste ângulo 
transporta-se AC.
- A união dos pontos A, B e C determina o 
triângulo desejado.
ER27 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e a altura relativa a um deles.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB 
(lado c) sobre ela.
- Traça-se r’// r. distantes a medida de hc. (Após 
marcar sobre uma perpendicular auxiliar, a 
altura hn, utilize um processo geométrico para 
traçar r’// r ).
- Centro em A, com abertura igual ao lado btraça- 
se um arco que interceptará r' em C e C'.
-- A união dos pontos A, B e C determina o 
triângulo desejado. (ABC' também é resposta ao 
exercício)
ER28 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e a mediana relativa a um deles.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB 
sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB determinando Mc.
- Centro em Mc, raio mc, descreve-se um arco 
auxiliar. 
- Centro em A, raio AC (lado b), descreve-se outro 
arco que interceptará o primeiro no ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o 
triângulo desejado.
C
ab
cA B
c
b
hc
c
b
b
mc
c
r
A B
C
a
c/2 Mc
mc
b
c/2
eber nunes ferreira
30
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER29 - Construir um triângulo isósceles ABC, conhecendo-se a base e o raio da circunferência inscrita.
ER30 - Construir um triângulo isósceles ABC, conhecendo-se a base e o ângulo oposto a ela.
ER31 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se um lado, a altura a ele relativa e o raio da 
circunferência circunscrita.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB, determinando T.
- Sobre a mediatriz, transporta-se o raio TO.
- Centro em O, descreve-se a cirncunferência inscrita.
- Centro em A, raio AT e determina-se o ponto 1 na 
cirncunferência inscrita.
- Centro em B, raio AT e determina-se o ponto 2 na 
cirncunferência inscrita.
- O prolongamento do segmento A1 e B2, encontram-se no 
ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Por uma das extremidades da base constroi-se o ângulo C 
dado.
- Dividi-se o suplemento do ângulo ao meio (bissetriz) obtendo o 
ângulo da base
-Transporta-se este ângulo para a outra extremidade que 
interceptará a bissetriz no ponto C .
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
 CONSTRUÇÃO
- Com o raio dado traça-se a circunferência.
- Sobre a circunferência, marca-se o ponto A arbitrariamente.
- Centro em A, com abertura AB, transporta-se a base AB.
- Prolonga-se AB determinando a reta auxiliar r.
- Por um ponto qualquer de r levanta-se uma perpendicular 
marcando sobre a mesma o valor de hc determinando o ponto 1.
- Pelo ponto 1 traça-se r'// r, determinando os pontos C e C'.
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
C
A B
r
T
1 2
O
A B
T O
A B
r
C
B
issetriz do S
uplem
ento de 
c
raio
A B
hc
A B
C' C
r
r'r
ai
o
O
1
hc
eber nunes ferreira
31
b
a
c
b
a
ha
b
a
b
a
b
a
ma
ha
a
EP07 - a, b e c EP08 - a, b e ha EP09 - a, b e alfa
EP10 - a, b e gama EP11 - a, b e ma EP12 - a, ha e ma

ma
EP13 - a, ha e beta EP14 - a, ha e alfa EP15 - a, ma e beta
ha
a
ha
a
ma
a
ma
a a a
EP16 - a, ma e alfa EP17 - a, beta e gama EP18 - a, beta e alfa
b
a
mb
b
mb
a
EP19 - a, b e mb EP20 - b, alfa e mb EP21 - a, mb e mc
mcmb
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Observando a notação abaixo, construa os triângulos pedidos de acordo com as informações 
fornecidas. É de fundamental importância, fazer um esboço de um triângulo genérico para cada 
exercíco, pois somente assim é que você conseguirá a indentificação dos lugares geométricos a 
serem utilizados na construção dos mesmos.
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
a
b
c
rc
r i
ALFA
BETA GAMA
G I
H

 







 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
eber nunes ferreira
32
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1 2
3 4
EP22 - a, ma e mb EP23 - a, hb e beta EP24 - a, hb e b
ma
a
hb
a
hb
a

mb b
hb
a
hb
a
hb
a
EP25 - a, hb e c EP26 - a, hb e alfa EP27 - a, hb e ma
mac
hb
a
hb
a
hb
a
EP28 - a, hb e ha EP29 - a, hb e hc EP30 - a, hb e mb
mbha hc

EP31 - Determine o Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro dos triângulos 1,2,3 e 4 
respectivamente.
eber nunes ferreira
33
B
A
B
D
C
4 Ângulos Internos
A
8 Ângulos Externos
Diagonais
Lado
Vértice
D
C
B
A
D
C
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
 8 - QUADRILÁTERO
8.1 - Conceitos
Quadrilátero é todo polígono de quatro lados. Todo quadrilátero tem: quatro ângulos internos, oito 
ângulos externos, quatro vértices e duas diagonais.
Os quadriláteros são designados por letras maiúsculas ou números, colocados nos vértices, em 
qualquer sentido, obedecendo a ordem dada. Desta forma os vértices consecutivos limitam os lados e 
os não consecutivos, as diagonais.
8.2 -Classificação
Os quadriláteros se classificam em:
TRAPÉZIOS - Todo Quadrilátero que possui dois 
lados paralelos.
PARALELOGRAMOS - Todo Quadrilátero que 
possui lados paralelos dois a dois.
RETÂNGULO - Todo Quadrilátero que possui 
quatro ângulos retos.
LOSANGO - Todo Quadrilátero que possui quatro 
lados iguais
QUADRADO - É o conjunto interseção entre o 
conjunto dos retângulos e o cojunto dos losangos.
(possuem quatro ângulos retos e quatro lados 
iguais).
 TRAPÉZIOS - Os trapézios propriamente ditos, possuem dois lados paralelos (bases) e dois 
lados não paralelos. A distância entre as bases é chamada de altura do trapézio. Podem ser 
classificados quanto a natureza de seus ângulos da seguinte forma:
soretálírdauQ
Trapézios
lograle ma ora sP
Retângulos
Losangos
Quadrados
Os lados não paralelos dos trapézios, quando prolongados geram triângulos de mesmo nome. (retângulo, isósceles e escaleno)
triângulo
escaleno
triângulo
isósceles 
triângulo
retângulo
- Possui dois ângulos retos, um agudo e um obtuso. - Possui os ângulos das bases com os lados iguais entre si.
Os lados não paralelos são congruentes
TRAPÉZIO ISÓSCELES
Base Maior
Base Menor
TRAPÉZIO RETÂNGULO
Possui um lado não paralelo perpendicular às bases
Base Maior
Base Menor
Possui os lados e os ângulos desiguais
TRAPÉZIO ESCALENO
Base Maior
Base Menor
eber nunes ferreira
34
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
PARALELOGRAMO
Propriamente dito
RETÂNGULO
LOSANGO
QUADRADO
BA
D C
BA
D C
BA
D C
B
A
D
C
B
A
D
C
90º 90º
90º 90º
BA
D C
BA
D C
BA
D C
90º 90º
90º 90º
BA
D C
BA
D C
A
P
Ó
T
E
M
A
BA
D C
BA
D C
90º
90º
90º
90º
B
A
D
C
Os quatro lados são iguais e 
paralelos dois a dois Os quatro 
ângulos são retos.
Os lados opostos são iguais e 
paralelos dois a dois.
Os ângulos opostos são iguais, 
e os ângulo consecutivos são 
suplementares.
As diagonais são diferentes, 
oblíquas entre si e se cortam ao 
meio.
Os lados opostos são iguais e 
paralelos dois a dois.
As d iagona is são igua is , 
oblíquas entre si e se cortam ao 
meio.
Os quatro ângulos são retos.
Os quatro lados são iguais e 
paralelos dois a dois.
As diagonais são diferentes, 
perpendiculares entre si e se 
cortam ao meio.
Os ângulos internos opostos são 
iguais, e os ângulo consecutivos 
são suplementares
O apótema corresponde a 
metade do lado e é o raio da 
circunferência inscrita.
As d iagona is são igua is , 
perpendiculares entre si e se 
cortam ao meio.
90º
90º
90º
90º
eber nunes ferreira
35
A
C
B
D
O
A
C
B
D
r
s
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ER32 - Construir um quadrado ABCD, sabendo-se que o lado mede 38 mm.
 CONSTRUÇÃO
- Traçam-se a retas auxiliares r e s perpendiculares entre si, no ponto A.
- Centro em A, com abertura igual ao lado, e determinam-se os pontos B e D 
sobre as perpendiculares.
- Com a mesma abertura, centro em B e descreve-se um arco.
- Repete-se a operação com centro em D e o cruzamento dos arcos 
determinam o ponto C.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
ER33 - Construir um retângulo ABCD sabendo-se que os lados medem respectivamente 4,5 e 2,1 cm.
 CONSTRUÇÃO
- Traçam-se a retas auxiliares r e s perpendiculares entre si, no ponto A.
- Centro em A, com abertura igual ao lado maior, e determina-se o ponto B 
sobre r.
- Centro em A, com abertura igual ao lado menor, e determina-se o ponto D 
sobre s.
-Centro em B, abertura AD, descreve-se um arco.
- Centro em D, abertura AB, descreve-se outro arco que interceptará o arco 
anterior no ponto C.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
ER34 - Construir um retângulo ABCD conhecendo-se o lado AB = 6,3 cm e sua semi-diagonal que 
mede 4,0 cm.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se uma circunferência de centro O, com raio igual a semi-diagonal.
- Determina-se arbitrariamente o ponto A sobre a circunfência.
- Centro em A, abertura AB, determina-se o ponto B sobre a ciecunferência.
- O prolongamento de AO detemina o ponto C na circunferência.
- O prolongamento de BO detemina o ponto D na circunferência.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
ER35 - Construir um losango ABCD sabendo-se que o lado mede 2,8 cm e a sua diagonal AC = 5,2 cm.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e sobre ela transporta-se a diagonal AC.
- Centro em A, abertura igual ao lado, descreve-se um arco
- Repete-se a mesma operção com centro em C e os cruzamentos dos arcos 
determinam os pontos B e D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
A
B
r
D
C
A
C
B
D
r
s
eber nunes ferreira
36
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER36 - Construir um losango ABCD conhecendo-se suas diagonais. Dados: AC = 55 mm ; BD = 30 
mm.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta auxiliar r e transporta-se a diagonal AC sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AC determinando o ponto O.
- Centro em O, com abertura igual a metade da diagonal BD, e 
determinam-se os pontos B e D sobre a mediatriz.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
Obs. demonstre geometricamente a divisão do segmento BD.
ER37 - Construir um paralelogramo ABCD conhecendo-se base AB, o ângulo  e a altura. Dados: AB = 
45 mm; h = 27 mm ; Â = 75° (No paralelogramo o ângulo interno de um vértice é igual ao ângulo 
externo do vértice consecutivo)
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Em A constrói-se o ângulo dado.
- Em B constrói-se o mesmo ângulo paralelo ao primeiro.
- Constroi-se r // r' distantes 27mm. (Levante uma perpendicular 
auxiliar para esta operação)
- A interseção de r' com os ângulos construídos determinam os 
pontos C e D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o paralelogramo desejado.
ER38 - Construir um trapézio isósceles ABCD conhecendo-se as duas bases e a altura. Dados: AB = 7 
cm ; CD = 3,4 cm ; h = 2,8 cm.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB e sobre ela transporta-se h 
determinando O.
- Por O traça-se r’// r.
- Centro em O, abertura igual a metade de CD, determina-se C e D 
sobre r’.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o trapézio desejado..
ER39 - Construir um trapézio retângulo ABCD conhecendo-se a base maior, um lado e uma diagonal 
cujos valores são respectivamente: AB = 4,8 cm ; BC = 3,2 cm ; AC =2,5 cm.
 CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e sobre ela transporta-se AB.
- Centro em A raio AC descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em B, raio BC descreve-se outro arco que interceptará o 
primeiro no ponto C.
- Levanta-se uma perpendicular a r pelo ponto A.
- Traça-se o arco-capaz de 90° (semi-circunferência) tomando AC 
por diâmetro.
- A intereção do arco com a perpendicular que passa em A, 
determina o ponto D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o trapézio desejado.
A
B
r
D
CO
A
C
B
D
r
O
Arco-capaz de 90°
A
C
B
D
r
r'
h
O
A
C
B
D
r
r'
h
75° 75°
eber nunes ferreira
37
EP32 - Construir um quadrilátero ABCD conhecendo-se: AB = 47 mm; BC = 26 mm; B = 120° ; CD = 49 mm; AD = 
31 mm.
EP33 - Determine o segmento de reta AB concorrente em r e s respectivamente de tal forma que o ponto M seja 
o Ponto Médio do segmento.
M
r
s
EP34 - Construa um trapézio MNOP retângulo sabendo-se que MN = 6,4 cm, MO = 4,0 cm e NO = 3,4 cm.
EP35 - Construir um paralelogramo ABCD conhecendo-se: AB = 5 cm, diagonal AC = 5/3 de AB e  = 60°.
EP36 -. Pede-se um losango ABCD conhecendo-se o lado AB = 2,5 cm e a semidiagonal AE = 1,5 cm.
EP37 - Num trapézio, as bases medem 70 mm e 35 mm, um lado não paralelo, 40 mm, e o ângulo formado pela 
base maior e o lado não paralelo é 60°.Pede-se o quadrilátero.
EP38 - Construir um trapézio conhecendo-se as duas bases e as duas diagonais. Dados: bases AD = 3,0 e BC = 
4,0, diagonais AC = 5,6 e BD = 5,3 (ud cm).
EP39 - Construa um retângulo ABCD, cuja diagonal mede 5,0 cm, e forma um ângulo de 30° com o lado.
EP40 - Construa um quadrado cuja semi-diagonal mede 28 mm.
EP41 - Construir um paralelogramo KLMN sendo dadas as suas diagonais KM = 7,3 cm e LN = 3,2 cm e o ângulo 
formado por elas é de 75°.
EP42 - Construir um quadrado cujo perímetro é igual ao do triângulo dado.
EP43 - Construir um quadrilátero ABCD sabendo que AB mede 6 cm e a diagonal BD que mede 6,7 cm, forma 
com o lado AD 60°. O lado BC mede 3 cm e forma com CD ângulo de 45°.
EP44 - Construir um losango conhecendo-se o seu lado e um de seus ângulos. AB = 4cm; Â = 45°.
EP45 - Construir um paralelogramo conhecendo-se dois lados e a altura. AB = 60mm; BC = 29mm e h = 18mm.
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
A
B
C
EXERCÍCIOSPROPOSTOS
eber nunes ferreira
38
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
 9 - CIRCUNFERÊNCIA E CIRCULO
 9.1 - Conceito:
 A circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano, equidistantes de um ponto 
dado, denominado centro, situado no mesmo plano.
 A porção deste plano limitada pela circunferência denomina-se CÍRCULO. Daí podemos 
concluir que a circunferência é o contorno do círculo, sendo aquela uma linha e este uma 
superfície plana, uma área.
 9.2 - Elementos:
ARCO - A intersecção da circunferência com um ângulo central qualquer (de vértice O), é 
denominado arco da circunferência.(AB)
CORDA - É segmento que une dois pontos distintos de uma circunferência.(CD)
DIÂMETRO - É toda corda que passa pelo centro. Um diâmetro é equivalentea dois raios, um 
situado no prolongamento do outro. (d)
FLECHA - É o segmento do raio que une o ponto médio da corda a um ponto da circunferência (f)
NORMAL - É a perpendicular à tangente em um ponto da circunferência. (n)
RAIO - Qualquer segmento com uma extremidade na circunferência e outra em seu centro. (r)
SECANTE - É a reta que possui dois pontos comuns à circunferência. (s)
TANGENTE - É a reta que possui um só ponto comum à circunferência. (t)
9.3 - Ângulos da circunferência
 A circunferência pode apresentar os seguintes ângulos principais; ângulo central, ângulo 
inscrito; ângulo circunscrito e ângulo segmento.
Tem o vértice no centro da 
circunferência e os lados são 
raios
f
s
d O
r
n
t
A
B
DC
o o o
Ângulo
Central
Ângulo
Inscrito
o
Ângulo
Circunscrito Ângulo
Segmento
Tem o vér t i ce sobre a 
circunferência e os lados são 
cordas.
Tem o vé r t i ce f o ra da 
circunferência e os lados são 
tangentes.
Um dos lados é uma corda e 
o outro é uma tangente.
eber nunes ferreira
39
desenho geométricodesenho geométrico
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Semicírculo Setor Coroa Circular
Segmento Circular Zona Circular Trapézio Circular
É a superf íc ie l imitada por uma 
semicircunferência.
É a superfície compreendida entre o arco 
e os dois raios que formam um ângulo 
central.
É a porção do círculo compreendida 
entre duas circunferências concentricas.
 9.4 - Elementos do Círculo
 O círculo é uma porção do plano limitada por uma circunferência. O círculo pode ser dividido 
em porções.
É a superfície limitada por uma corda e 
seu arco correspondente.
É a superfície compreendida entre duas 
cordas paralelas.
É a p o r ç ã o d a c o r o a c i r c u l a r 
compreendida por dois raios.
FAÇA OS EXERCÍCIOS A SEGUIR.
EP46 - Construir uma coroa circular 
sabendo-se que o diâmetro maior mede 
3.5cm e o diâmetro menor mede 3/5 do 
maior.
EP47 - Construir um setor circular de uma 
circunferência cujo ângulo central é igual a 
40º.
eber nunes ferreira
40
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
EP48 - Construir uma zona circular 
sabendo-se que sua maior corda é também 
a maior corda da circunferência e cuja 
medida é igual a 4,5 cm. A corda menor é 
igual a 3/4 da maior.
EP49 - Contruir um segmento circular 
conhecendo-se a flecha = 1cm. Raio da 
circunferência é igual a 27mm.
EP50 - Dado o ângulo segmento abaixo pede-se determinar a circunferência e evidenciar o arco 
correspodente.
9.5 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA
Atenção: Todos os processos a seguir, necessitam da localização exata do Centro da 
Circunferência. Quando a circunferência for apresentada sem o centro, você deverá determiná-lo.
A
B
Lembre-se que a mediatriz de uma corda da Circunferência 
passa obrigatoriamente pelo centro da mesma, portanto, 
basta determinar duas cordas distintas e suas respectivas 
mediatrizes. O centro será o cruzamento das mediatrizes.
1 2
3
o
eber nunes ferreira
41
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER40 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 2, 4, 8, ...
ER41 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 3, 6, 12, ...
r
1
2
3
4
5
6
OU
r= L6
L3
ER42 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 5, 10, ...
1
A B
C M
1
A B
C M
1
2
3
4
5
A B
C M
1
3
5 7
6
A B
C M
2
4 8
9
10
10x
5x
L5
L10
L5
L10
1
A B
C
M
1
A B
2
3
4 5
6
7
L7
L7
ER43 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 7, 14, 28, ...
eber nunes ferreira
42
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER44 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 9, 18, 36, ...
¼
1
3
4
5
6
2
11
10
7 8
9
12
13
L13
L13
1
A B
C
M
1
3
4
5
6
2 11
10
7
8
9
L11
L11
ER45 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 11, 22, 44, ...
1
3
4
5 6
2
7
8
9
L9
L9
O2
O3
O1
ER46 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 13, 26, 52, ...
ER47 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 15, 30, ...
1
3
4
5
6
2
7
8 9
10
11
12
13
14
15
L15
L15
eber nunes ferreira
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
PROCESSOS GERAIS PARA DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
ER48 - Dividir uma circunferência em um número n qualquer de partes iguais pelo método geral devido a 
BION.
- Em uma circunferência de centro conhecido, dividi-se o diâmetro em n partes (quantas se deseja dividir a 
circunferência). Por exemplo em 7. Com a abertura igual ao diâmetro e com centro nas extremidades do 
próprio diâmetro, traçam-se dois arcos que se cruzam em P.
- O prolongamento do segmento P2 determina o ponto A na própria circunferência. 
- 0A é aproximadamente igual a uma das n partes em que se quer dividir a circunferência.
- Com o auxílio do compasso transporta-se o arco 0A dividindo assim a circunferência em n partes.
0
1
2
3
4
5
6
7
P
A
L7
1
2
3
4
5
6
7
P'P
2
3
4 5
6
7
1
ER49 - Dividir uma circunferência em um número n qualquer de partes iguais pelo método geral devido a 
RINALDINI.
Em uma circunferência de centro conhecido, dividi-se o diâmetro em n partes (quantas se deseja dividir a 
circunferência). Por exemplo em 7. Com a abertura igual ao diâmetro e com centro nas extremidades do 
próprio diâmetro, traçam-se dois arcos que se cruzam em P e P’.
- Os prolongamentos dos segmentos P2, P4 e P6 concorrem com a semi-circunferência, do lado contrário 
ao ponto P, em pontos que dividem-na em partes aproximadamente iguais.
- Os prolongamentos dos segmentos P’2, P’4 e P’6 concorrem com a semi-circunferência, do lado contrário 
ao ponto P’, em pontos que dividem-na em partes aproximadamente iguais.
Você também pode optar por ligar somente os pontos P e P’ aos números ímpares.
 Polígonos - Exercícios
EP51- Construir um quadrado conhecendo-se seu apótema, OM = 20mm.
EP52- Construir um pentágono regular sabendo-se que o raio da circunferência inscrita mede 2,5 cm.
EP53- Construir um hexágono regular conhecendo-se seu apótema, OM = 18mm.
EP54- Construir um dudecágono inscrito em uma circunferência de raio = 4cm.
EP55- Construir um hexágono sabendo-se que o valor do lado mede 1,4cm.
eber nunes ferreira
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 POLIGONAL DE DELAISTRE
 Este processo permite a construção de polígonos conhecendo-se o lado.
 ER50 - Construir um eneágono, cujo lado AB mede 25mm (portanto, N = 9)
 CONSTRUÇÃO:
- Sobre a reta suporte r, transporta-se AB.
- Com abertura do compasso igual a AB, traça-se a mediatriz de AB, determinando o ponto 6. (AB6 é um triângulo equilátero)
- Divide-se AB em seis partes iguais. (utilize preferencialmente, um segmento auxiliar congruente a AB, para não congestionar o 
exercício)
- Sobre a mediatriz, à partir do ponto 6, transfere-se 1/6 de AB para baixo determinando-se os pontos 5, 4 e 3.
- Sobre a mediatriz, à partir do ponto 6, transfere-se 1/6 de AB para cima determinando-se os pontos 7, 8, 9, ... e assim 
sucessivamente até alcançar o número desejado que corresponda ao valor de N.
- Neste momento você tem construída a escala poligonal de Delaistre.
- Centro em N (neste exemplo N = 9), raio NA, traça-se a circunferência pedida.
- Sobre a circunferência, à partir de A e/ou B, transfere-se AB, obtendo-se os vértices do polígono desejado.
A B
Para qualquer valor de N, o ladodo
polígono deverá ser dividido em 6 partes
A B
6
7
8
9
10
11
12
4
5
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
r
A B
6
7
8
9
10
11
12
5
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
C
D
E
F
G
H
I
R
A
IO
r
eber nunes ferreira
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
 9.6 - RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
 Consiste em determinar um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento 
de uma circunferência dada. 
 ER51 - PROCESSO 1 (Não é muito preciso)
Dada circunferência, inscrever na mesma um triângulo equilátero e um quadrado. O comprimento da circunferência será a somatória 
de duas vezes o lado do quadrado mais duas vezes o lado do triângulo. C = 2 .(AB + DE)
 ER52 - PROCESSO 2
1 - Traçamos a circunferência de diâmetro AB e levantamos por B uma perpendicular.
2 - Com centro em B e raio BO traçamos o arco OC.
3 - Traçamos a mediatriz de BC e obtemos o ponto D sobre a perpendicular.
4 - Marcamos DE = 3 vezes o raio
5 - Unimos E a A e tomamos AE como metade do comprimento da circunferência. Portanto, 2. (EA) é igual ao comprimento da mesma.
 ER53 - PROCESSO 3
1 - Traçamos a circunferência de diâmetro AB e levantamos 
2 - Divide-se AB em 7 partes iguais.
3 - O comprimento da circunferência será o segmento cuja medida é 3 vezes o diâmetro mais 1/7 do diâmetro.
A
B
ED
O
A B
AB AB AB AB/7
Comprimento da Circunferência = 3AB + AB/7
O
A
B
E
DCO
A
B
E
DCO
A
M
B E
D
C
O
 9.7 - RETIFICAÇÃO DE ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
 Consiste em determinar um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento 
do arco de uma circunferência dada.
 ER54 - PROCESSO PARA ARCOS MENORES OU IGUAL A 90º
1- Traçamos o diâmetro AC e tomamos CD = 
3/4 do raio da circunferência.
2 - Levantamos por A umaperpendicular ao 
diâmetro.
3 - Unimos D ao ponto B e obtemos E na 
perpendicular traçada. AE é aproximadamente 
o comprimento do arco dado.
eber nunes ferreira
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10 - TANGÊNCIA
10.1 - Conceito:
Diz-se que uma reta é tangente a uma circunferência quando tem um só ponto comum com esta 
circunferência ou seja, quando sua distância ao centro da mesma é igual ao raio. Assim, teremos 
sempre a tangente perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.
TANGÊNCIA: operação que nos permite traçar tangentes. Eassim podemos traçar:
 a - Retas tangentes a circunferências dadas.
 b - Circunferências tangentes a retas dadas.
 c - Circunferências tangentes entre si.
10.2 - Traçados:
ER55 - Traçar uma tangente a uma circunferência dada, passando por um ponto T nela situado.
- Traça-se a circunferência de centro O, marcando nela um ponto qualquer T.
- Une-se O a T, prolongando-o por T.
- Traça-se t perpendicular a OT, que será a tangente pedida.
ER56 - De um ponto P situado fora de uma circunferência dada, traçar duas tangentes a ela. Dados: r 
= 2 cm , OP = 5,4 cm.
- Una o ponto P ao ponto O e determine o ponto médio M do segmento PO.
- Centro em M e raio MO traça-se um arco auxiliar que cortará a circunferência em T e T’, pontos de tangência.
- Une-se P a T’, e P a T prolongando-os, e temos as tangentes pedidas.
O OM P
T
T'
P
O O
t
T T
eber nunes ferreira
47
O
A
M
r'
r
r''
B
O' r'r
r + r' = r''
1
2
C
D
desenho geométricodesenho geométrico
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ER57 - Traçar tangentes exteriores e comuns a duas circunferências sabendo-se que seus centros, 
(OO’) distam 6,0 cm, e possuem os respectivos raios: r = 2,5 cm, r’ = 1,2 cm.
- Sobre uma reta auxiliar x, derterminam-se os centros O e O’ distantes 6cm.
- Traçam-se as respectivas circunferências de raios r e r’. 
- Com centro em O traça-se uma circunferência auxiliar de raio r’’ = r - r’ (obtido graficamente),
- Centro em M, ponto médio de OO’, traça-se um arco que irá cortar a circunferência auxiliar em 1 e 2.
- Une-se O a 1 e O a 2, prolongando-os e determinando A e B (pontos de tangência na circunferência O).
- Por O’ traça-se uma paralela a OA e a OB, determinando C e D (pontos de Tangência na circunferência O’).
- Unindo A a C, e B a D tem-se as tangentes pedidas.
O
1 C
r'
A
B
2 D
O'
r'
r
r - r' = r''
r
r''
xM
ER58 - Traçar tangentes interiores e comuns a duas circunferências de raios diferentes.
Dados: r = 2,8 r’ = 1,5 OO’ = 6,0 (centímetros).
- A construção é idêntica à anterior, mudando apenas o raio da circunferência auxiliar r” = r + r’ . O’C // O2 e O’D // OA.
eber nunes ferreira
48
B
A
O'
O
P
O
P
rr
O
T
T'
y'
x'
r
x
y
x
y
desenho geométricodesenho geométrico
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ER59 - Traçar uma circunferência de raio r= 15mm tangente aos lados de um ângulo dado.
- Traça-se x’ // x e y’ // y na distância r (raio dado), determinando no cruzamento de x’ com y’ o ponto O.
- Traça-se OT perpendicular y e OT’ perpendicular x
- Centro em O e raio r, traça-se a circunferência pedida.
- T e T’ são os pontos de tangência.
ER60 - Traçar uma circunferência que passe por um ponto P e que seja tangente a uma reta no ponto 
M. P situa-se fora da reta.
O
x
y
M
P
M
P
- Pelo ponto M levanta-se y, perpendicular a reta dada.
- Traça-se x, mediatriz de MP, determinando o ponto O na perpendicular.
- Centro em O e raio OM, traça-se a circunferência pedida.
ER61 - Traçar uma circunferência de raio r = 1,5 cm, que seja tangente simultaneamente a uma reta r 
e uma outra circunferência dada, de tal forma que o ponto P, seja o ponto de tangência entre as 
circunferências.
- Une-se O a P, prolongando-o.
- Pelo ponto O levanta-se um perpendicular a reta r, determinando o ponto A sobre a circunferência.
- Une-se A a P, prolongando-o até determinar B sobre r.
- Traça-se a mediatriz de PB que irá cruzar com o prolongamento de AP determinando O’.
- Centro em O’ e raio O’P, traça-se a circunferência pedida.
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER62 - Traçar duas circunferências de raio = 1 cm, que sejam tangente interior e exterior 
respectivamente a uma circunferência , em um ponto P dado.
- Prolonga-se a união dos pontos O e P, determinando a reta r.
- Centro em P, abertura igual a 1cm, determina-se os potos O’ e O” sobre r.
- Centro O’, raio = 1 cm, traça-se a circunferência interna pedida.
- Centro O”, mesma abertura, traça-se a circunferência externa pedida.
O
O' O'' O PPr
ER63 - Traçar três circunferências tangentes entre si cujos raios são respectivamente: a = 2,3 cm, b = 
1,3 cm c = 1,5 cm.
X Y
Z
a b
b
c
a
c
a b
b c
a c
- Construa um triângulo XYZ, cujos lados sejam iguais à soma dos 
raios dados dois a dois, ou seja: XY = a + b; YZ = b + c e XZ = a + c.
- Os vértices X, Y e Z do triângulo são os centros das circunferências 
tangentes entre si.
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
 11 - CONCORDÂNCIA
 11.1 - Conceito.
 Concordar duas linhas, de mesma espécie ou de espécies diferentes, é reunilas de tal 
forma, que se possa passar de uma para a outra, sem ângulo, inflexão nem solução de 
continuidade. Exemplos:
O
O'
O
 11.2 - Princípios.
 Como veremos nos problemas que se seguirão, a concordância entre arcos de círculo e 
retas, e entre arcos e arcos, se baseiam em dois princípios fundamentais:
 
O
S
r
R
 b - Para que dois arcos estejam em 
concordância é necessário que:
 1º - Seus cent ros e o ponto de 
concordância estejam sobre uma mesma linha 
reta.
 2º - Sejam tangentes entre si no ponto de 
concordância. Exemplo:
 a - Para que uma reta e um arco estejam 
em concordância é necessário que:
 1º - O centro do arco e o ponto de 
concordância entre eles estejam sobre uma 
mesma perpendicular.
 2º - A reta seja tangente ao arco no ponto 
de concordância. Exemplo:
O'
O D
E
C r
 11.3 - Traçados.
ER64 - Concordar um segmento de reta AB, em B, com um arco de círcunferência de raio r = 20 mm.
- Levanta-se uma reta s perpendicular pelo ponto B.
- Sobre s, a partir de B, transporta-se o raio dado, determinando ocentro O.
-Centro em O e raio OB = r, traça-se o arco pedido.
A B
O
s
A B
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER65 - Concorde um arco de circunferência com a semi-reta Ax no ponto A, de tal forma que ele contenha um 
ponto B qualquer, não pertencente a semi-reta.
O
x
A
B
A
B
x
O
x
y
G
F
y
G
F
x
- Por A levanta-se uma reta r perpendicular a Ax.
- Traça-se a mediatriz de AB, determinando O em r.
- Centro em O e raio OA, traça-se o arco pedido.
ER66 - Concordar um arco de circunferência de raio = 15 mm com duas retas perpendiculares entre si.
- Com raio r, e centro no ponto de concorrência das perpendiculares, traça-se um arco auxiliar que determinará 1 em x e 2 em y.
- Centro em 1 e 2, mesmo raio, determina-se O.
- Centro em O, mesmo raio, traça-se o arco 12, fazendo a concordância pedida.
ER67 - Concordar um arco de circunferência de raio dado r = 1,5 cm, com duas retas que se cruzam a 
120º.
- Traçam-se as retas x e y, formando um ângulo de 120°.
- Traçam-se x’ // x e y’ // y na distância r (raio dado), as quais 
se cruzam em O.
- Por O traçam-se perpendiculares às retas dadas, 
determinando C e C ’ , que serão os pontos de 
concordância.
- Centro em O, raio OC, descreve-se o arco CC’, fazendo a 
concordância pedida
O
r
r x'
y'
C
C'
x
y
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A
O
A
C
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A
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O
M
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y
A
B
O'
A
B
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER68 - Concordar duas semi-retas //, de origens diferentes e sentidos contrários, por meio de dois 
arcos iguais. Sabendo-se que os pontos de concordância entre as semi-retas e os arcos não se 
encontram no mesmo alinhamento.
- Por A e B tiram-se perpendiculares, r e s.
- Une-se A a B e determina-se M, ponto médio de AB
- Determina-se mediatriz de AM que cortará r em O’.
- Determina-se mediatriz de MB que cortará sr em O.
- Cento em O e O’, raio OA descreve-se os arcos das curvas pedidas
OBSERVAÇÃO:
- A união dos centros O e O’ passa obrigatoriamente pelo 
ponto de concordância dos arcos, ponto M.
ER69 - Concordar dois segmentos paralelos de medidas diferentes por meio de duas curvas 
concordantes e de mesmo sentido. (Também conhecido como arco aviajado).
- Pelos pontos A e B, traçam-se perpendiculares aos segmentos.
- Traçam-se as bissetrizes dos ângulos retos A e B, que se cruzarão no ponto 1.
- Por 1, traça-se uma reta paralela aos segmentos , determinando O e O’ sobre as perpendiculares.
- Centro em O, raio OB = O1, traça-se o arco B1.
- Centro em O’, raio O’A = O’1, e traça-se o arco A1.
ER70 - Concordar duas retas convergentes/divergente por meio de dois arcos de circunferência 
concordantes entre si e de mesmo sentido. Dados: Pontos de concordância: Ponto A sobre a reta x 
Ponto C sobre a reta y.
- Pelas extremidades A e B de x e y, levantam-se as perpendiculares r e s .
- Centro em A, raio qualquer, determina-se o ponto O sobre r.
- Centro em B, mesma abertura, determina-se o ponto 1 em s.
- Traça-se a mediatriz de O1, que cortará a reta s em O’.
- Une-se O’ a O prolongando-se.
- Centro em O’, raio O’B, descreve-se um arco que encontrará o 
prolongamento de OO’ no ponto C (ponto de concordância entre os arcos).
- Centro em O, raio OC = OA, completa-se a concordância com o arco CA. 
OBSERVAÇÕES:
- Este mesmo processo é válido para as 
extremidades divergentes (pontos R e S)
- Se no exercício anterior, a distância entre as 
retas paralela for menor que a distância entre as 
perpendiculares levantadas pelas extremidades 
este processo também solucionará o exercício.
- Em todos estes casos, o primeiro centro 
pertencerá a perpendicular levantada pela 
extremidade mais avançada.
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O
A
B
O'
O''
r
r'' - r
r'
r' + r''
O
A
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O'
O''
r
r' + r''
r'' + r
r'
O
A
B
O'
O''
r
r' - r''
r'' - r
r'
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Traçar um arco de circunferência de raio r” dado, concordante com duas circunferências de raios r e r’, 
conhecidos. Dados r” =5,3 cm, r = 2,0 cm, r’ = 1,0 cm e OO’ = 6,2 cm.
ER71 - Concordância externa
- Traçam-se as circunferências dadas com centros O e O’, distantes 6,2 cm.
- Centro em O, raio r”- r, descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em O’ e raio r”- r’, descreve-se outro arco que cortará o primeiro em O”.
- Une-se O” a O e O” a O’, prolongando-os até cortarem as circunferências em A e B.
- Centro em O”, e raio O”A = O”B, traça-se o arco AB, que é a concordância pedida.
ER72 - Concordância interna.
- O processo de construção é idêntico ao caso anterior.
- Modificando-se apenas o seguinte: O ponto O” é determinado pelo cruzamento dos arcos 
de centros O e O’ e raios r” + r e r” + r’.
ER73 - Concordância interna e externa.
- O processo de construção é idêntico ao 1º caso, modificando-se 
apenas o seguinte: O ponto O” é determinado pelo cruzamento dos 
arcos de centros O e O’ e raios 
r” - r e r” + r’.
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0123456789101112
0102 = 7,5mm
0102 01 02
EP57 - EP58 - 
EP59 - EP60 - 
010203 = Triângulo Equilátero de 10mm
01
02
03
01
02
03
01020304 = Quadrado de 10mm
01 02
0304
0102
03 04
EP61 - EP62 - 
Diâmetro = 15 cm
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
EP63 - EP64 - 
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OO' A CB
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EP65 - 
EP66 - 
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