Como aprender matemática de maneira fácil e definitiva

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Olá querido(a) aluno(a)! 
Parabéns por ter baixado o e-book MATEMÁTICA NA PRÁTICA – COMO 
APRENDER MATEMÁTICA DE MANEIRA FÁCIL E DIFINITIVA. 
Se você ainda não me conhece deixa eu me apresentar: Eu sou a Josi Dias, professora de 
matemática graduada pela Universidade Federal de Minas Gerais, com mais de 10 anos 
de experiência já ajudei vários alunos a superarem seus desafios e mandar bem nas 
provas de matemática. Sou a fundadora do Somatório Núcleo de Ensino, empresa 
especializada em aulas particulares, acompanhamento escolar e cursos preparatórios. 
 
Que tal aprender aqui comigo os principais conteúdos cobrados em TODAS as prova de 
matemática seja ela de concurso público nível médio e vestibular? 
Você tem em mão um tesouro, aqui você verá a teoria, exemplos resolvidos e muitos 
exercícios para fixação e além da parte teórica em PDF você verá também as vídeo 
aulas desses conteúdos para facilitar ainda mais o seu aprendizado. 
E quais são esses conteúdos: Porcentagem, Equação de 1° grau e Razão e proporção. 
 
Como vai funcionar: O E-book está dividido em 3 (três) partes, em cada uma delas 
você terá a parte expositiva em PDF e o link para assistir a vídeo aula. 
 
SUMÁRIO 
CONTEÚDO PÁGINA 
Porcentagem 3 
Equação de 1° grau 6 
Razão e proporção 12 
 
Vamos começar já a sua preparação! 
 
Abraços professora Josi Dias 
Whatsapp: (31) 98848 7138 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
PORCENTAGEM 
Conteúdo Página 3 a 5 
Exercícios Página 4 a 5 
Gabarito Página 5 
Link da vídeo 
aula 
https://youtu.be/vJ-
N6sNIG2Q 
 
4. PORCENTAGEM 
Quando dividimos dois números ou 
duas medidas a e b de mesma 
grandeza, o resultado (quociente) da 
divisão é chamado razão entre a e b. 
 
 
 
 
 
A razão estabelece uma comparação 
entre a e b; o referencial de comparação 
é o denominador b. 
 
Um critério prático para essa 
comparação é a utilização, como 
referencial, do denominador 100. É ai 
que surge o conceito de porcentagem. 
 
Exemplo: Em um grupo de 180 
pessoas, há 45 crianças. Qual é a 
porcentagem de crianças no grupo? 
 
Para resolver essa questão devemos 
dividir o número de crianças pelo total 
de pessoas, 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, 25% das pessoas presentes no 
grupo são crianças. 
 
IMPORTANTE: Na hora de fazer os 
cálculos devemos usar a porcentagem 
na forma de fração ou decimal, a forma 
percentual é para representar. 
 
Exemplo: Transforme as seguintes 
porcentagens para a forma fracionária e 
decimal. 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Cálculo percentual 
Em muitas situações práticas, uma 
porcentagem é aplicada sobre um valor 
dado. 
 
Exemplo: Em uma confraternização 
com 420 pessoas, 65% das pessoas são 
homens. Quantas são os homens da 
confraternização? 
 
65% de 420 (obs: Esse “de” pode ser 
lido como multiplicação nesse caso) 
 
65% de 420 = 
 
 
 x 420 = 0,65 x 420 = 
273 
 
Para se calcular uma porcentagem de 
um número (ou medida), multiplica-se a 
porcentagem pelo número (ou medida). 
 
Exemplo: O comércio hora da esfirra 
de Alegrete faz muito sucesso. Nesse 
sábado foram vendidos 500 esfirras. 
Sabe-se que 27% dessa quantidade são 
de queijo. Quantas esfirras de queijo 
foram vendidas nesse sábado? 
 
 
 
 
 
 
 
Com essa venda, a hora da esfirra 
arrecadou 600 reais. O lucro 
corresponde a 85% desse valor. Que 
quantia corresponde a 85% de 600 
reais? 
 
 
 
 
 
 
 
4.1. aumentos e 
descontos 
O fator de aumento fA = 1 + i é o 
número que se deve multiplicar pelo 
https://youtu.be/vJ-N6sNIG2Q
https://youtu.be/vJ-N6sNIG2Q
 
 4 
valor inicial Vo , para se obter o valor 
final VF , após um aumento, segundo o 
percentual i. 
 
O fator de redução fR = 1 − i é o número 
que se deve multiplicar pelo valor 
inicial Vo , para se obter o valor final VF 
, após uma redução, segundo o 
percentual i. 
 
De maneira geral, se Vo é o valor inicial 
de uma grandeza, e VF é seu valor final, 
após um aumento ou redução, segundo 
um percentual i, temos: 
VF = (1 + i).Vo , se houver aumento; 
VF = (1 − i).Vo, se houver redução. 
 
Exemplo: Se um produto sofre um 
aumento de 27%, i = 0,27 e o fator de 
aumento é 
fA = 1 + i = 1 + 0,27 = 1,27. 
 
Exemplo: Se um produto tem o preço 
reduzido em 8%, i = 0,08, e o fator de 
redução é fR = 1 − i = 1 − 0,08 = 0,92. 
 
O fator de aumento é sempre maior 
que 1, enquanto o fator de redução é 
sempre menor que 1. 
 
Exemplo: Se o salário de Paulo 
passou de R$ 760,00 para R$ 934,80, 
qual foi o percentual de aumento do 
salário? 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES PARA 
APROFUNDAMENTO – 
porcentagem. 
 
QUESTÃO 01 – Represente as frações 
abaixo na forma percentual. 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
QUESTÃO 02 – Calcule: 
a) 30% de 1500. 
b) 12% de 120. 
c) 27% de 900. 
d) 55% de 300. 
e) 98% de 450. 
 
QUESTÃO 03 – Sabendo que 45% de 
um número equivalem a 36, determine 
esse número. 
 
QUESTÃO 04 – Em uma turma de 40 
alunos, 45% são meninos. Quantos 
meninos e meninas tem a turma? 
 
QUESTÃO 05 – Segundo o censo do 
IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147,4 
milhões de pessoas com 10 anos ou 
mais que eram alfabetizadas, o que 
correspondia a 91% da população nessa 
faixa etária. Determine o número de 
brasileiros com 10 anos ou mais em 
2010. 
 
QUESTÃO 06 – Uma televisão que 
custava R$ 900,00 teve um aumento de 
R$ 50,00. Qual foi o percentual de 
aumento? 
 
QUESTÃO 07 – Um terreno que custava 
R$ 50.000,00 há dois anos teve uma 
valorização de 16,5% nos últimos 24 
meses. Qual o valor atual do terreno? 
 
 5 
QUESTÃO 08 – Um produto tem preço 
de 250 reais à vista. A prazo, em 5 
parcelas mensais iguais, seu preço sofre 
acréscimo de 16%. Qual é o valor de 
cada parcela? 
 
QUESTÃO 09 – Uma mercadoria é 
vendida na seguinte condição de 
pagamento: 20% de entrada e o restante 
em 5 prestações iguais de R$ 34,00. À 
vista concede-se desconto de 4%. Qual 
é seu preço à vista? 
 
QUESTÃO 10 – (OBMEP) Um trabalho 
de Matemática tem 30 questões de 
Aritmética e 50 de Geometria. Júlia 
acertou 70% das questões de Aritmética 
e 80% do total de questões. Qual o 
percentual das questões de Geometria 
que ela acertou? 
 
QUESTÃO 11 – Numa mistura de 80 kg 
de areia e cimento, 20% é cimento. Se 
acrescentarmos mais 20 kg de cimento, 
qual será a sua porcentagem na nova 
mistura? 
 
QUESTÃO 12 – O salário de Antônio é 
90% do de Pedro. A diferença entre os 
salários é de R$ 500,00. Qual o salário 
de Antônio? 
 
QUESTÃO 13 – Uma fábrica de sapatos 
produz certo tipo de sapatos por R$ 
18,00 o par, vendendo por R$ 25,00 o 
par. Com este preço, tem havido uma 
demanda de 2000 pares mensais. O 
fabricante pensa em elevar o preço em 
R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão 
uma queda de 200 pares. Com esse 
aumento no preço de venda o que 
ocorrerá com o percentual de seu lucro 
mensal? 
 
QUESTÃO 14 – Num colégio com 1000 
alunos, 65% dos quais são do sexo 
masculino, todos os estudantes foram 
convidados a opinar sobre o novo plano 
econômico do governo. Apurados os 
resultados, verificou-se que 40% dos 
homens e 50% das mulheres 
manifestaram-se favoravelmente ao 
plano. Qual é a porcentagem de 
estudantes não favoráveis ao plano? 
 
QUESTÃO 15 – O preço de certa 
mercadoria sofre anualmente um 
acréscimo de 100%. Supondo que o 
preço atual seja R$ 100,00, qual o preço 
daqui a 3 anos? 
 
GABARITO - QUESTÕES PARA 
APROFUNDAMENTO - 
porcentagem. 
 
QUESTÃO 01 – a) 70%; b) 20%; c) 
15%; d) 75%; e) 12,5%. 
QUESTÃO 02 – a) 450; b) 14,4; c) 243; 
d) 165; e) 441. 
QUESTÃO 03 – O número é 80. 
QUESTÃO 04 – São 18 meninos e 22 
meninas. QUESTÃO 05 – Cerca de 162milhões de habitantes. 
QUESTÃO 06 – O percentual de 
aumento foi de 5,56%. 
QUESTÃO 07 – O valor atual do terreno 
é de R$ 58.250,00. 
QUESTÃO 08 – O valor da parcela é de 
58 reais. 
QUESTÃO 09 – Preço à vista 204,00 
QUESTÃO 10 – O percentual é de 86% 
QUESTÃO 11 – Porcentagem na nova 
mistura 36% 
QUESTÃO 12 – O salário de Antônio é 
4500 reais. 
QUESTÃO 13 – Percentual de 17% 
QUESTÃO 14 – Percentual de 56,5% 
QUESTÃO 15 – o preço daqui a 3 anos é 
de 800,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
EQUAÇÃO DE 1° GRAU 
Conteúdo Página 6 a 11 
Exercícios Página 9 a 11 
Gabarito Página 11 
Link da vídeo 
aula 
https://youtu.be/Y8eO0
n1SVWc 
 
7. Equação DE 1° GRAU 
Aqui vamos discutir um método para 
resolver problema e situações nas quais 
o objetivo é descobrir algum valor 
desconhecido que chamaremos de 
variável ou incógnita 
 
Vamos começar com alguns exemplos 
 
Exemplo: Se o dobro de um número é 
20, qual é esse numero? 
 
Vamos criar uma equação para 
representar essa situação, digamos que o 
número procurado é x (usamos uma 
letra para representar o número 
desconhecido) 
 
Se o dobro do número x é 20 temos, 
 
 
 
Que número devemos substituir no 
lugar de x que ao ser multiplicado por 2 
resulta em 20? 
 
 
 
 
Exemplo: Se um retângulo tem 20 cm 
de comprimento e 100 cm² de área, qual 
a medida de sua largura? 
 
 
 
Vamos representar a medida da largura 
com a letra x. Sabemos que a fórmula 
para calcular a área de um retângulo é 
 
Onde b = base e h = altura 
 
Vamos criar a equação com essas 
informações 
 
 
Que número devemos substituir no 
lugar de x que ao ser multiplicado por 
20 resulta em 100? 
 
 
Exemplo: Em um restaurante ha 12 
mesas, todas estão ocupadas. Algumas, 
são ocupadas por 4(quatro) pessoas, 
outras, por 2(duas) pessoas, num total 
de 28 fregueses. Determine o número de 
mesas ocupadas por 2 pessoas. 
 
Digamos que o número de mesas 
ocupadas por 2(duas) pessoas seja x, 
como temos 12 mesas o total de mesas 
ocupadas por 4(quatro) pessoas é (12 – 
x). 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolvendo equações que 
já estão na forma de 
notação algébrica. 
 
Vamos exercitar as operações básicas 
com números e o método de soluções de 
equações pela utilização de operações 
idênticas e simultâneas nos dois 
membros da equação. 
Exemplo: Resolva as seguintes 
equações: 
a) 
https://youtu.be/Y8eO0n1SVWc
https://youtu.be/Y8eO0n1SVWc
 
 7 
 
 
 
b) ( ) ( ) 
 
 
 .(-1) 
 
7. 1. INEQUAÇÃO DE 1° 
GRAU 
Vamos ver agora situações nas quais 
queremos analisar circunstâncias em 
que duas expressões são comparadas 
através de uma desigualdade; portanto, 
ao invés de haver um equilíbrio ou 
igualdade entre as expressões, haverá 
um desequilíbrio ou desigualdade entre 
as expressões. 
Primeiro preciso apresentar alguns 
símbolos que vamos utilizar no decorrer 
desse tópico (>, ≥,<,≤) 
 
I) a > b significa “a é maior do que b”. 
II) a ≥ b significa “a é maior ou igual a 
b”. 
III) a < b significa “a é menor do que 
b”. 
IV) a ≤ b significa “a é menor ou igual 
a b”. 
 
Também é importante compreender que 
certas desigualdades simples podem ser 
entendidas como intervalos na reta dos 
números reais. 
Por exemplo x ≥ 5 
 
Os números reais podem ser dispostos 
um a um com os pontos de uma reta, 
chamada reta real. Observe a figura, 
temos o 0(zero) como origem, a direita 
temos os números positivos e a 
esquerda os números negativos, o 
segmento AO é a unidade de medida. 
 
 
Certos subconjuntos contínuos de 
(partes contínuas da reta real), 
geralmente definidos por desigualdades, 
são chamados intervalos reais. 
 
Intervalo A, fechado, de extremos –3 e 
2 
 
 
A = {x ∈ / –3 ≤ x ≤ 2} = [–3, 2] 
 
 
Intervalo B, aberto, de extremos 3 e 7 
 
 
B = {x ∈ R / 3 < x < 7} = ]3, 7[ 
 
 
Intervalo C, fechado em −5 e aberto em 
1 
 
 
C = {x ∈ R / −5 ≤ x < 1} = [−5, 1[ 
 
 
Intervalo D, de – 4 aberto até +∞ (mais 
infinito) 
 
 
D = {x ∈ R / x > – 4} = ]– 4, + ∞[ 
 
 
Intervalo E de – ∞ (menos infinito) até 
3 fechado 
 
 
E = {x ∈ R / x ≤ 3} = ]–∞, 3] 
 
 
 8 
 
Exemplo: Qual é o maior valor inteiro 
para x na inequação 
 
 
 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim o maior inteiro é o 5 
 
7. 2. SISTEM DE 
EQUAÇÃO DE 1° GRAU 
Um sistema linear de equações do 1° 
grau (ou simplesmente um sistema 
linear) com duas equações e duas 
incógnitas é um conjunto formado por 
duas equações lineares (ou de 1º grau), 
em que cada uma dessas equações 
possui duas incógnitas. 
Vamos analisar dois exemplo, irei 
resolver cada um deles de uma formas 
diferentes, uma delas será pelo método 
da adição e a outra forma será pelo 
método da substituição. 
Exemplo: A soma das idades dos 
irmãos Joaquim e José é 73 anos. 
Sabendo que Joaquim é 9 anos mais 
velho que José, calcule as idades dos 
irmãos. 
Vamos resolver primeiro utilizando o 
método da substituição. 
Acompanhe o passo a passo 
 
1° Vamos montar o sistema com as 
informações do problema, 
transformando essas informações em 
equações. 
x = Joaquim e y = José 
{
 
 
 
 
2° Devemos isolar uma das variáveis de 
qualquer uma das equações, no nosso 
exemplo a segunda equação já está 
isolada, então essa parte está ok. 
 
3° Agora vamos substituir a variável 
que está isolada na outra equação. 
 
 
 
 
 
 
4° Substitua o valor encontrado em 
qualquer uma das equações acima para 
encontrar o valor da outra variável 
 
 
 
 
 
 
Concluímos que Joaquim tem 41 anos e 
José tem 32 anos. 
S = (41,32) 
 
Exemplo: Um estacionamento cobra 
R$ 3,00 por moto e R$ 5,00 por carro 
estacionado. Ao final de um dia, o caixa 
registrou R$ 382,00 para um total de 
100 veículos. Quantas motos e carros 
utilizaram o estacionamento nesse dia? 
 
Iremos resolver esse sistema utilizando 
o método da adição. 
 
1° Vamos montar o sistema com as 
informações do problema, 
transformando essas informações em 
equações. 
 
{
 
 
 
 
2° Para utilizar o método da adição 
temos que ter nas duas equações uma 
 
 9 
das variáveis com o mesmo valor de 
coeficiente e sinais contrários. Para 
conseguir isso vamos fazer algumas 
manipulações nas equações 
 
{
 
 
 
 
Vou multiplicar a segunda equação por 
-3. 
 
{
 
 ( ) 
 
 
3° vamos somar as duas equações 
 
 
 
 
4° Substitua o valor encontrado em 
qualquer uma das equações acima para 
encontrar o valor da outra variável 
 
 
 
 
 
Nesse dia 49 carros e 59 motos 
utilizaram o estacionamento. 
S = (59,41) 
 
QUESTÕES PARA 
APROFUNDAMENTO – 
equação de 1° grau 
 
QUESTÃO 01 – A soma de dois 
números ímpares consecutivos e 64. 
Determine esses dois números. 
 
QUESTÃO 02 (obmep) – Cláudio e 
Mário possuem juntos R$240,00. 
Cláudio possuí R$90,00 a mais que o 
dobro da quantia de Mário. Quanto 
possui Cláudio? 
 
QUESTÃO 03 (obmep) – Nas ultimas 
3 etapas da volta de Portugal, um 
ciclista percorreu, ao todo, 360 km. A 
primeira etapa tinha 120 km a mais do 
que a segunda; a última etapa era quatro 
vezes maior que a segunda. Calcule o 
comprimento de cada etapa. 
 
QUESTÃO 04 (obmep) – Julia e Luísa 
plantaram juntas 88 árvores, sendo que 
Julia plantou 38 da quantidade de 
arvores plantadas por Luísa. Qual a 
quantidade de árvores plantadas por 
Luísa? 
 
QUESTÃO 05 – A soma de quatro 
números naturais consecutivos e 62. 
Determine esses 
números. 
 
QUESTÃO 06 – Resolva as seguintes 
equações: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
f)g) 
 
 
(
 
 
 
 
 
) 
 
 
(
 
 
 ) 
h) 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
( ) 
i) ( ) ( ) 
 
QUESTÃO 07 – Gustavo comprou certa 
quantidade de figurinhas. Depois disso 
sua mãe deu o dobro do que ele já tinha 
e seu pai deu mais trinta figurinhas, 
deixando-o com 180 figurinhas. 
Quantas figurinhas Gustavo comprou? 
 
QUESTÃO 08 – O triplo de um número 
é igual a 28 mais o próprio número. 
Qual é esse número? 
 
 
 10 
QUESTÃO 09 – Em um retângulo, a 
medida da base é o dobro da medida da 
altura. Se o perímetro desse retângulo 
mede 78 cm, qual a medida de sua área? 
 
QUESTÃO 10 – Um casal, que planejou 
uma viagem de férias para uma ilha, 
onde ha um hotel com acomodações A e 
B, pagou antecipadamente x reais pelas 
diárias na acomodação A, que custava 
R$110, 00 por dia. Ao chegar no hotel 
eles optaram pela acomodação B, que 
custava R$100, 00 pela diária, pois 
perceberam que, assim, eles poderiam 
ficar mais 2 dias hospedados neste 
hotel. Sabendo que, além dos x reais já 
pagos, eles ainda gastaram R$150, 00 
por dia com alimentação e que não 
houve outras despesas, a quantia que 
este casal gastou neste hotel e um 
número compreendido entre: 
 
A) 5.100 e 5.400. 
B) 5.400 e 5.900. 
C) 5.900 e 6.300. 
D) 6.300 e 6.800. 
E) 6.800 e 7.200. 
 
QUESTÃO 11 – Determinar o conjunto 
solução das inequações abaixo 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) ( ) ( ) 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) ( 
 
 
) 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) ( 
 
 
) 
 
 
 
 
QUESTÃO 12 (obmep)– Determine a 
maior medida inteira, em centímetros, 
para o comprimento de um retângulo, 
sabendo que essa medida e o dobro da 
medida da largura e que o perímetro 
deve ter no máximo 37 cm. 
 
QUESTÃO 13 (obmep)– João é mais 
velho que Pedro, que é mais novo que 
Carlos. Antônio é mais velho que 
Carlos, que é mais novo que João. 
Antônio não é mais novo que João e 
todos os quatro meninos tem idades 
diferentes. O mais jovem deles é: 
A) Joao. 
B) Antônio. 
C) Pedro. 
D) Carlos. 
E) Impossível de ser identificado a 
partir dos dados apresentados. 
 
QUESTÃO 14 – Resolva os sistemas de 
equação abaixo: 
 
a) {
 
 
 
 
b) {
 
 
 
 
c) {
 
 
 
 
d) {
 
 
 
 
QUESTÃO 15 – Construa e resolva um 
sistema de equações no qual a soma de 
dois números é 70 e a diferença é 28. 
 
QUESTÃO 16 – Pedro e Mariano tem 
juntos 195 bolinhas de gude. Se Pedro 
tem 45 bolinhas de gude a mais que 
Mariano, quantas bolinhas cada um 
tem? 
 
QUESTÃO 17 – Guilherme e Santiago 
juntaram suas economias para comprar 
um videogame. Guilherme conseguiu 
juntar o dobro da quantia de Santiago. 
 
 11 
Além disso, a diferença entre as 
economias de ambos é R$350, 00. 
Quanto cada um conseguiu guardar? 
 
QUESTÃO 18 – José cria gansos e 
hipopótamos. Se o total de animais é 50 
e o total de patas é 140, qual a 
quantidade de cada um deles? 
 
QUESTÃO 19 – Um estacionamento 
possui 47 veículos, entre carros e motos, 
num total de 164 rodas. Quantos são os 
carros e quantas são as motos? 
 
QUESTÃO 20 – Rosa retirou de um 
caixa eletrônico R$330,00 entre cédulas 
de R$50,00 e R$10,00, num total de 17 
cédulas. Qual a quantidade de cada um 
dos tipos de cédulas? 
 
 GABARITO - QUESTÕES PARA 
APROFUNDAMENTO – 
equação de 1° grau 
 
QUESTÃO 01 – Esses número são 31 e 
33. 
QUESTÃO 02 – Se Mário possui 
R$50,00, então Cláudio possui 
R$190,00. 
QUESTÃO 03 – Assim, o comprimento 
da primeira etapa e 40 km, o da segunda 
e 160 km e o da terceira e 160 km. 
QUESTÃO 04 – Luísa plantou 64 
arvores. 
QUESTÃO 05 – Os números são 14, 15, 
16 e 17. 
QUESTÃO 06 – a) 2 / b) 3 / c) 
 
 
 / d) 
 
 
 / 
e) -14 / f) 
 
 
 / g) 
 
 
 / h) 22 / i) 
 
 
 
QUESTÃO 07 – Gustavo comprou 50 
figurinhas. 
QUESTÃO 08 – O número em questão é 
14. 
QUESTÃO 09 – Portanto, a medida da 
altura é 13 cm, a medida da base é 26 
cm e sua área mede 13·26 = 338 cm². 
QUESTÃO 10 – B 
QUESTÃO 11 – a) x > 3 / b) x < 3 / c) 
 
 
 
 / d) x ≥ 3 / e) x > - 2 / f) x < 
 
 
 / 
g) x < 
 
 
 / h) x < 
 
 
 / i) x < 
 
 
 / j) x < -5 
QUESTÃO 12 – O valor máximo é 12 
cm. QUESTÃO 13 – C 
QUESTÃO 14 – a) (2,1) / b) (8,2) / c) 
(3,2) / d) (5,2) 
QUESTÃO 15 – (49,21) 
QUESTÃO 16 – (120,75) 
QUESTÃO 17 – (700,350) 
QUESTÃO 18 – (30,20) 
QUESTÃO 19 – (35,12) 
QUESTÃO 20 – (4,13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
EQUAÇÃO DE 1° GRAU 
Conteúdo Página 12 a 19 
Exercícios Página 16 a 19 
Gabarito Página 19 
Link da vídeo 
aula 
https://youtu.be/uYVN
ypZC9JM 
 
8. razão e 
proporção 
razão 
Razão é a divisão entre dois números a 
e b, com b sempre diferente de zero. 
 
Exemplo: O dono de uma revenda de 
veículos tem um total de 77 automóveis. 
A razão entre veículos novos e usados é 
de 
 
 
 quantos são os carros novos? 
 
Vamos analisar essa situação 
observando a seguinte tabela: 
 
NOVOS USADOS TOTAL 
4 3 7 
8 6 14 
12 9 21 
... ... ... 
4x 3x 77 
 
 
 
 
 
Logo o total de carros novos é de 
 
 
Exemplo: A figura a seguir mostra 
um triângulo de área 1200, dividido em 
vários triângulos iguais. Qual é a razão 
entre a área total da região cinza e a área 
total da região branca? 
 
 
Veja que o triângulo maior está dividido 
em 16 triângulos iguais. Destes, 5 são 
cinzas e 11 são brancos. Como todos 
possuem a mesma área, a razão pedida é 
simplesmente 
 
 
. 
 
Exemplo: Um caminhão pode levar 
300 sacos de cimento ou 7290 tijolos. 
Se o veículo já foi carregado com 100 
sacos de cimento, quantos tijolos ainda 
podemos colocar? 
Observe que 300 sacos de cimento 
corresponde à capacidade total do 
caminhão. Quando ele está carregado 
com 100 sacos, a capacidade utilizada 
foi de 
 
 
 restando ainda 
 
 
, logo 
 
 
 
 
Podemos colocar 4860 tijolos. 
 
Proporção 
 
Proporção é a igualdade entre duas ou 
mais razões. 
Uma proporção é representada por 
 
 
 
 
 
 
 
lê-se “a está para b assim como c está 
para d”. a e d são os extremos; b e c são 
os meios. 
 
Importante 
Propriedade fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/uYVNypZC9JM
https://youtu.be/uYVNypZC9JM
 
 13 
Razões importantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Amanda deve fazer dois 
retângulos de papel proporcionais para 
um trabalho da escola. O primeiro 
recorte deve ter 50 cm de altura e o 
segundo recorte deve ter 32 cm de 
comprimento. Além disso, o 
comprimento do primeiro retângulo 
deve ser igual à altura do segundo. 
Calcule este valor. 
 
Vamos representar por x a medida do 
comprimento do primeiro retângulo e a 
medida da altura do segundo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a técnica de multiplicar em 
X (produto dos meios deve ser igual ao 
produto dos extremos). 
 
 
 
 
Exemplo: Em uma empresa, 500 
funcionários são capazes de produzir 
18000 peças por semana. Se o gerente 
desta empresa decidir abrir uma filial 
com 75 funcionários, mantendo o 
mesmo nível de produtividade, quantas 
peças a mais serão produzidas? 
 
Denotemos por x a quantidade de peças 
extras que serão produzidas pela filial. 
Como a produtividade será mantida, 
concluímos que as razões entre os 
números de funcionários e os totais 
produzidos pela matriz e pela filial são 
proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A distância entre as cidades 
mineiras de Belo Horizonte e Montes 
Claros, em um mapa representado em 
escala 
1 : 7000000, e de 6, 5 cm. Qual a 
distância real entre essas duas cidades?Proporcionalidade 
direta 
 
Seja (x1, x2, ..., xn) e (a1, a2, ..., an) 
duas sequencias de números não nulos. 
Dizemos que as sequências são 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS) 
se existe um número k tal que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde k é a constante de 
proporcionalidade. 
 
Importante 
Por vezes, a palavra “diretamente” na 
definição acima é omitida, ficando 
subtendida. Neste caso, é comum 
falarmos simplesmente que duas 
sequências dadas são proporcionais. 
 
 
 14 
Exemplo: Vitor trabalha preparando 
bolos para vender na feira. Se ele é 
capaz de fabricar 24 bolos em três dias, 
quantos bolos ele poderá fabricar em 10 
dias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que os números da primeira 
fração são proporcionais aos da segunda 
fração, ou seja se ele faz 24 bolos em 3 
dias em 10 dias (número de dias 
aumentou) ele fará mais bolos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proporcionalidade 
inversa 
 
Sejam (x1, x2, ..., xn) e (a1, a2, ..., an) 
duas sequências de números não nulos. 
Dizemos que as sequências são 
inversamente proporcionais se existe 
um número k tal que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Também nesse caso, k é chamada de 
constante de proporcionalidade. 
 
Exemplo: Uma fábrica de alimentos 
para animais possui três máquinas 
iguais, as quais conseguem produzir 
uma tonelada de ração em catorze dias, 
caso funcionem juntas. Se a fábrica 
comprar outras quatro máquinas iguais, 
em quanto tempo as sete máquinas 
(também trabalhando juntas) irão 
produzir uma tonelada de ração? 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que quanto maior o número de 
maquinas menor será o tempo 
necessário para finalizar o trabalho. 
Logo a sequencia de números da 
primeira fração é inversamente 
proporcional aos números da segunda 
fração. 
 
 
 
 
 
 
8.1. regra de três 
 
Regra de três simples 
 
Vamos ver agora um método prático e 
bastante conhecido de resolver 
problemas que envolvam grandezas 
(diretamente ou inversamente) 
proporcionais: a regra de três. 
 
Vamos dar inicio com um exemplo 
 
Exemplo: Um conjunto de três 
impressoras industriais, todas iguais, é 
capaz de imprimir 2400 folhas em uma 
hora, caso as três máquinas trabalhem 
juntas. Quantas folhas serão produzidas 
se utilizássemos sete dessas 
impressoras? 
 
Vamos primeiro analisar quantas 
variáveis tem o problema, no nosso 
exemplo temos: Número de horas e 
folhas. 
Agora vamos montar um esquema com 
essas informações 
 
 Folhas Impressoras 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe as duas setas ao lado das 
colunas, como o número de impressoras 
aumentou, temos que o número de 
 
 15 
folhas impressas também irá aumentar, 
logo as grandezas são diretamente 
proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importante 
A origem do termo “regra de três”: a 
partir de três informações dadas, temos 
condições de determinar uma quarta 
informação através da 
proporcionalidade. 
 
Exemplo: Dez operários constroem 
uma parede em 5 horas. Quantos 
operários serão necessários para 
construir a mesma parede em 2 horas? 
 
Quais são as variáveis do problema? 
Temos aqui número de operários e 
horas. A partir dessas informações 
vamos montar a regra de três 
 
Operários Horas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe agora a posição das setas, 
temos que o número de horas para 
executar a tarefa diminuiu, logo 
precisamos de mais mão de obra, ou 
seja de mais operários para fazer o 
trabalho. 
Temos aqui um caso de 
proporcionalidade inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Precisamos nesse caso inverter a 
posição das setas (ou seja inverter as 
frações) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
importante 
O método utilizado para resolver as 
questões acima é chamado de regra de 
três simples, pois temos apenas duas 
variáveis no problema, as setas são 
importantes para nos dar uma direção se 
a proporção é direta ou inversa, ela se 
parece muito com a resolução de 
questões de proporção vistas acima. 
No próximo tópico vamos aprender 
sobre regra de três composta, ai sim 
veremos com mais clareza a grande 
importância de se utilizar as setas. 
 
Regra de três composta 
 
Esse método consiste em uma 
generalização da regra de três simples, 
bastante útil para o caso em que há mais de 
duas variáveis envolvidas. 
 
Exemplo: Um caminhão percorre 
1116 km em 6 dias, correndo 12 horas 
por dia. Quantos quilômetros percorrerá 
10 dias, correndo 14 horas por dia? 
 
Primeiro passo é determinar quantas 
variáveis tem na questão 
 
 Km Dias Horas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe agora as setas, coloquei ate em 
cores diferentes para destacar cada uma 
das relações, vamos lá, 
O número de dias aumentou, logo 
teremos uma quilometragem maior, o 
número de horas também aumentou, 
teremos mais quilometragem também, 
sendo assim as duas proporções são 
diretas. 
 
Vamos ao processo de montagem da 
operação 
 
 16 
Como as duas grandezas são 
diretamente proporcionais temos aqui a 
equação que descreve a situação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: O consumo de 8 lâmpadas, 
acesas durante 5 horas por dia, em 18 
dias, é de 14 quilowatts. Qual será o 
consumo em 15 dias, deixando apenas 6 
dessas lâmpadas acesas durante 4 horas 
por dia? 
 
 Lâmpadas Horas Dias Quilowatts 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse exemplo temos quatro variáveis, 
veremos que o modo de resolver é o 
mesmo, basta analisar se as variáveis 
são direta ou indiretamente 
proporcionais e montar a equação que 
descreve seu comportamento. 
 
Pela analise das setas vemos que todas 
as grandezas são diretamente 
proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um ciclista percorre 75 km 
em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em 
quantos dias faria uma viagem de 200 km, 
pedalando 4 horas por dia ? 
 Km Dias Horas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse exemplo temos que as setas 
vermelhas estão na mesma direção, isso 
significa que as grandezas são 
diretamente proporcionais, se o número 
de Km aumentou, o número de dias 
também vai aumentar, já as setas verdes 
estão em direções opostas, ou seja as 
grandezas são inversamente 
proporcionais, se o número de horas 
aumenta o número de duas diminui. 
 
Temos que inverter a fração que contem 
a proporção inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES PARA 
APROFUNDAMENTO – RAZÃO 
E PROPORÇÃO 
 
QUESTÃO 01 (obmep) – Sabe-se que 
a distância real, em linha reta, de Recife 
para Vitoria de Santo Antão e igual a 45 
quilômetros. Um estudante do IFPE, ao 
analisar um mapa, constatou com sua 
régua que a distância entre essas duas 
cidades era de 5 centímetros. De acordo 
com o texto, o mapa observado pelo 
estudante esta em qual escala? 
 
QUESTÃO 02 (obmep) – Uma 
biblioteca precisa encadernar alguns 
livros. Uma oficina pode encadernar 
estes livros em 30 dias, outra em 45 
dias. Em quantos dias estas oficinas 
podem cumprir a tarefa se trabalharam 
ao mesmo tempo? 
 
 
 17 
QUESTÃO 03 (obmep) – Se um 
pacote de biscoito contém 10 biscoitos e 
pesa 95 gramas, e se 15 gramas de 
biscoito correspondem a 90 calorias, 
quantas calorias tem cada biscoito? 
 
QUESTÃO 04 (obmep)– Um 
automóvel pode andar, sem 
abastecimento e mantendo consumo 
constante, durante 360 minutos. Tendo 
saído com um furo no tanque de 
combustível, que escoa combustível 
numa vazão constante, ele andou apenas 
144 minutos. Qual a fração da 
quantidade de combustível que escoaria 
caso ficasse 15 minutos parado? 
 
QUESTÃO 05 (obmep) – Uma pessoa 
com 80kg de massa corporal iniciou 
um tratamento medico para redução 
dessa massa e, no 15° dia do tratamento, 
já havia reduzido 3 kg. Supondo que a 
redução diária de massa seja sempre a 
mesma, qual o número de dias 
necessários, a partir do início do 
tratamento, para que essa pessoa atinja 
65 kg? 
 
QUESTÃO 06 (obmep) – Gabriela e 
Jonas moram na mesma casa e estudam 
na mesma escola. Jonas vai de casa a 
escola em 30 minutos e Gabriela em 40 
minutos. Se Gabriela saiu de casa 5 
minutos mais cedo, quantos minutos 
Jonas levará para alcança-la, 
considerando que as velocidades de 
ambos são constantes? 
 
QUESTÃO 07 (obmep) – Rodrigo e 
Junior trabalham carregando caminhões. 
Para carregar um caminhão, Rodrigo 
leva 20 minutos. Juntos, conseguem 
faze-lo em 15 minutos. Em quanto 
tempo Junior, sozinho, é capaz de 
carregar um caminhão? 
 
QUESTÃO 08 (obmep) – Numa 
fazenda há 5 cavalos que consomem 
300 kg de ração em 6 dias. Suponha que 
todos eles consomem por dia a mesma 
quantidade de ração. Com apenas 240 
kg de ração, 12 cavalos iguais aos dessa 
fazenda seriam alimentados durante 
quantos dias? 
 
QUESTÃO 09 (obmep) – Duas velas 
homogêneas e de comprimentos iguais 
são acesas simultaneamente. A primeira 
tem um tempo de queima de 4 horas e a 
segunda de 6 horas. Após certo tempo, 
ambas foram apagadas ao mesmo 
tempo. Observou-se que o resto de uma 
tinha o dobro do resto da outra. Por 
quanto tempo ficaram acesas? 
 
QUESTÃO 10 (obmep) – Uma 
biblioteca precisa encadernar alguns 
livros. Uma oficina pode encadernar 
estes livros em 30 dias, outra em 45 
dias. Em quantos dias estas oficinas 
podem cumprir a tarefa se trabalharam 
ao mesmo tempo? 
 
QUESTÃO 11 - Com o auxílio de uma 
corda, que julgava ter 2 m de 
comprimento, medi o comprimento de 
um fio elétrico e encontrei 40 m. 
Descobri, mais tarde, que a corda media 
na realidade, 2,05 m. Qual é o 
comprimento verdadeiro do fio? 
 
QUESTÃO 12 - Com uma certa 
quantidade de arame pode-se fazer uma 
tela de 50 m de comprimento por 1,20 
m de largura. Aumentando-se a largura 
em 1,80 m, qual será o comprimento de 
uma outra tela feita com a mesma 
quantidade de arame da tela anterior? 
 
QUESTÃO 13 - Para construir a 
cobertura de uma quadra de basquete, 
25 operários levaram 48 dias. Se fosse 
construída uma cobertura idêntica em 
outra quadra e fosse contratados 30 
operários de mesma capacidade que os 
primeiros, em quantos dias a cobertura 
estaria pronta? 
 
QUESTÃO 14 - Para forrar as paredes 
de uma sala, foram usadas 21 peças de 
 
 18 
papel de parede de 80 cm de largura. Se 
houvesse peças desse mesmo papel que 
tivesse 1,20 m de largura, quantas 
dessas peças seriam usadas para forrar a 
mesma parede? 
 
QUESTÃO 15 - Para pintar um barco, 12 
pessoas levaram 8 dias. Quantas 
pessoas, de mesma capacidade de 
trabalho que as primeiras, são 
necessárias para pintar o mesmo barco 
em 6 dias? 
 
QUESTÃO 16 - Uma torneira, 
despejando 4,25 litros de água por 
minuto, enche uma caixa em 3 horas e 
meia. Em quanto tempo uma torneira 
que despeja 3,5 L de água por minuto 
encherá uma caixa de mesma 
capacidade que a primeira? 
 
QUESTÃO 17 - Oito pedreiros fazem 
um muro em 72 horas. Quanto tempo 
levariam 6 pedreiros para fazerem o 
mesmo muro? 
 
QUESTÃO 18 - Um grupo de jovens, em 
16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m 
de cada. Quantos colares de 1,25 m 
serão fabricados em 5 dias? 
 
QUESTÃO 19 - Um trem percorreu 200 
km em certo tempo. Se tivesse 
aumentando sua velocidade em 10 
km/h, teria percorrido essa distância em 
1 hora menos. Determinar a velocidade 
do trem, em km/h. 
 
QUESTÃO 20 - Se 4 máquinas fazem 
um serviço em 6 dias, então 3 dessas 
máquinas farão o mesmo serviço: 
A) 7 dias 
B) 8 dias 
C) 9 dias 
D) 4,5 dias 
E) 3 dias 
 
QUESTÃO 21 - Um quilo de algodão 
custa R$ 50,00. Um pacote de 40 
gramas do mesmo algodão custa: 
A) R$ 1,80 
B) R$ 2,00 
C) R$ 2,20 
D) R$ 2,50 
E) R$ 3,00 
 
QUESTÃO 22 - Um litro de água do mar 
tem 25 gramas de sal. Então, para se 
obter 50kg de sal, o número necessário 
de litros de água do mar será: 
A) 200 
B) 500 
C) 2000 
D) 5000 
E) 10000 
 
QUESTÃO 23 - Um avião percorre 2700 
km em quatro horas. Em uma hora e 
vinte minutos de vôo percorrerá? 
A) 675 km 
B) 695 km 
C) 810 km 
D) 900 km 
E) 1000 km 
 
QUESTÃO 24 - Na fabricação de 20 
camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. 
Para produzir 15 dessas camisetas, 4 
máquinas gastariam quantas horas? 
A) 3 horas 
B) 6 horas 
C) 5 horas 
D) 4 horas 
E) 2 horas 
 
QUESTÃO 25 - Em 7 dias, 40 cachorros 
consomem 100 kg de ração. Em quantos 
dias 3/8 deles comeriam 75 kg de 
ração? 
A) 10 dias 
B) 12 dias 
C) 14 dias 
D) 18 dias 
E) 22 dias 
 
QUESTÃO 26 - Três máquinas 
imprimem 9000 cartazes em uma dúzia 
 
 19 
de dias.Em quantos dias 8/3 dessas 
máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, 
trabalhando o mesmo número de horas 
por dia? 
A) 4 dias 
B) 6 dias 
C) 9 dias 
D) 12 dias 
E) 15 dias 
 
QUESTÃO 27 - Numa corrida de 
fórmula 1, um corredor dá uma volta na 
pista em 1’30” com velocidade média 
de 200 km/h. Se sua velocidade média 
para 180 km/h, o tempo gasto para a 
mesma volta na pista será de: 
A) 2’ 
B) 2’ 19” 
C) 1’ 40” 
D) 1’ 50” 
E) 1’ 58” 
 
QUESTÃO 28 - Um carro consumiu 50 
litros de álcool para percorrer 600 km. 
Supondo condições equivalentes, esse 
mesmo carro, para percorrer 840 km, 
consumirá: 
A) 68 litros 
B) 80 litros 
C) 75 litros 
D) 70 litros 
E) 55 litros 
 
GABARITO - QUESTÕES PARA 
APROFUNDAMENTO - RAZÃO 
E PROPORÇÃO 
 
QUESTÃO 01 – a escala foi de 
 
 
 
QUESTÃO 02 – elas precisam de 18 
dias 
QUESTÃO 03 – cada biscoito tem 57 
calorias. 
QUESTÃO 04 – Em 15 minutos houve 
um gasto de 
 
 
 
QUESTÃO 05 – O prazo pedido é de 75 
dias. 
QUESTÃO 06 – Elas se encontraram 
depois de 15 minutos. 
QUESTÃO 07 – Junior 1h 
QUESTÃO 08 – em 2 dias 
QUESTÃO 09 – t = 3 horas 
QUESTÃO 10 – elas precisam de 18 dias 
QUESTÃO 11 – Comprimento 41 m 
QUESTÃO 12 – Comprimento 20 m 
QUESTÃO 13 – Será preciso 40 dias 
QUESTÃO 14 – Será preciso 14 peças 
QUESTÃO 15 – O número de pessoas 
será 16 
QUESTÃO 16 – Tempo 4h15 
QUESTÃO 17 – Tempo 96 horas 
QUESTÃO 18 – Serão produzidos 480 
colares 
QUESTÃO 19 – Velocidade 40 km/h 
QUESTÃO 20 – D 
QUESTÃO 21 – B 
QUESTÃO 22 – C 
QUESTÃO 23 – D 
QUESTÃO 24 – B 
QUESTÃO 25 – C 
QUESTÃO 26 – B 
QUESTÃO 27 – C 
QUESTÃO 28 – D