Apostila 01

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Teoria das Estruturas II
# Conceitos de Análise 
Estrutural
Fevereiro de 2020
Elaborado por:
Danilo Mapa
# Tópicos abordados
1 – Conceitos de análise estrutural
2 – Grau de indeterminação estática
3 – Indeterminação cinemática
4 – Exemplos 
5 – Estruturas isostáticas e hiperestáticas
Exercícios
1. Conceitos de análise estrutural
• Para estruturas planas carregadas no próprio plano, o equilíbrio é
garantido pelas 3 equações de equilíbrio estático
• Além das equações de equilíbrio estático, temos condições internas
especiais de construção que permitem equações estáticas adicionais
(equações de momento nulo nas rótulas)
• Se estas equações são suficientes para a completa análise da estrutura,
ela é dita estaticamente determinada
• Se há mais reações e/ou esforços internos para serem determinados
que as equações de equilíbrio e de construção, a estrutura é dita
estaticamente indeterminada
2. Grau de indeterminação estática
• O grau de indeterminação externa ( ge ) é igual ao número de reações a
mais que o requerido para a estabilidade externa
• O grau de indeterminação interna ( gi ) é igual ao número de esforços
internos a mais que o necessário para a estabilidade interna
• As reações e/ou esforços internos em excesso são chamados de
redundantes ou hiperestáticos.
0 : sistema estrutural hipostático e instável
0 : sistema estrutural isostático
0 : sistema estrutural hiperestático
e i incógnitas equaçõesg g g n n
g
g
g
   



3. Indeterminação cinemática
• A indeterminação estática diz respeito ao excesso de ações incógnitas
em relação ao número de equações de equilíbrio disponíveis. Se
determina o grau de hiperestaticidade também denominado índice de
indeterminação;
• A indeterminação cinemática diz respeito ao número de deslocamentos
nodais incógnitos em formulações do método dos deslocamentos. Se
determina o número de graus de liberdade (deslocabilidades).
4. Exemplos
a) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de deslocabilidades
das estruturas abaixo:
)i
)ii
4. Exemplos
b) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de
deslocabilidades das estruturas abaixo:
)i
)iii
)ii
4. Exemplos
c) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de deslocabilidades
da estrutura abaixo: P
4. Exemplos
d) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de
deslocabilidades da estrutura abaixo:
P
4. Exemplos
e) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de deslocabilidades
da estrutura abaixo:
4. Exemplos
f) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de deslocabilidades
das estruturas abaixo:
)i
)ii
4. Exemplos
g) Determine o grau de hiperestaticidade das estruturas:
)i )ii )iii
4. Exemplos
h) Determine o grau de hiperestaticidade das estruturas:
)i )ii
4. Exemplos
i) Determine o grau de hiperestaticidade das estruturas:
)i
)ii
4. Exemplos
j) Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
4. Exemplos
k) Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
4. Exemplos
l) Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
4. Exemplos
m) Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
4. Exemplos
n) Determine o grau de
hiperestaticidade da estrutura:
4. Exemplos
n) Diagramas de esforços internos (normal, cortante e momento):
4. Exemplos
o) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de
deslocabilidades da estrutura abaixo:
4. Exemplos
p) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de
deslocabilidades da estrutura abaixo:
4. Exemplos
q) Determine o grau de hiperestaticidade e o número de
deslocabilidades da estrutura abaixo:
5. Estruturas isostáticas e hiperestáticas
• Estruturas cujos esforços internos (diagramas) e externos (reações de
apoio) podem ser determinados apenas por condições de equilíbrio são
definidas como estruturas estaticamente determinadas ou estruturas
isostáticas
• Estruturas cujos esforços internos e externos não podem ser determinados
apenas pelas condições de equilíbrio são definidas como estruturas
estaticamente indeterminadas ou estruturas hiperestáticas
• Esta seção faz uma comparação entre o comportamento destas estruturas,
mostrando suas vantagens e desvantagens, e justificando as razões pelas
quais as últimas aparecem mais frequentemente
5. Estruturas isostáticas e hiperestáticas
Fig. 1 – Quadros isostático (a) e hiperestático
(b), configurações deformadas, reações de
apoio e diagramas de momentos fletores.
5. Estruturas isostáticas e hiperestáticas
• Existem infinitos valores possíveis para a reação horizontal H da estrutura
hiperestática que satisfazem as condições de equilíbrio. Para determinar o valor
de H são necessárias condições de compatibilidade
• Os esforços internos em uma estrutura hiperestática tem uma distribuição mais
otimizada ao longo da estrutura que pode levar a menores valores para os
esforços máximos
• A viga da estrutura hiperestática apresenta máximo momento menor do que na
viga da estrutura isostática, mas as colunas são requisitadas à flexão
5. Estruturas isostáticas e hiperestáticas
• Na estrutura hiperestática, há um controle maior dos esforços internos por
parte do analista estrutural, já que alterando a rigidez relativa entre a viga e
as colunas, altera-se as reações de apoio horizontais e o diagrama de
momentos fletores. O analista pode explorar esta característica da estrutura
hiperestática e minimizar os esforços internos na estrutura.
Viga se comportando como quase biengastada: Viga se comportando como quase biapoiada:
coluna vigaI I viga coluna
I I
5. Estruturas isostáticas e hiperestáticas
• Em uma estrutura isostática, as reações de apoio e o diagrama de
momentos fletores independem dos parâmetros de rigidez relativos entre
viga e colunas, só dependem da geometria da estrutura e do valor da carga;
• Em uma estrutura hiperestática, os vínculos excedentes podem induzir uma
segurança adicional. Se parte da estrutura hiperestática perder sua
capacidade resistiva, a estrutura como um todo ainda pode ter estabilidade,
porque a estrutura hiperestática pode ter capacidade de redistribuição de
esforços, o que não ocorre em estruturas isostáticas.
5. Estruturas isostáticas e hiperestáticas
• As estruturas isostáticas têm seus esforços internos definidos única e
exclusivamente pelas cargas aplicadas e pela geometria da estrutura, não
existindo dependência quanto às propriedades dos materiais e de rigidez das
barras
• Pode-se observar que pequenas variações na geometria da estrutura isostática
(pequenos deslocamentos) não geram esforços adicionais. Pequenos recalques
de apoio não causam deformações internas, não havendo esforços internos
• Deformações provenientes de variações de temperatura provocam
deslocamentos sem que apareçam esforços internos em estruturas isostáticas
• Assim como os recalques de apoio, as variações de temperatura em uma
estrutura hiperestática podem induzir esforços que devem ser considerados
Exercício 1
• Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
Resposta:
3g 
Exercício 2
• Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
Resposta:
0g 
Exercício 3
• Determine o grau de hiperestaticidade
da estrutura:
Resposta:
2g 
Exercício 4
• Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
Resposta:
1g 
Exercício 5
• Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
Resposta:
Instável
Exercício 6
• Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura:
Resposta:
Instável