Matemática_1

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METODOLOGIA E PRÁTICA DE ENSINO 
DE MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO 
ENSINO FUNDAMENTAL
CAPÍTULO 1 – MATEMÁTICA NOS ANOS 
INICIAIS: QUAIS POLÍTICAS E TÉCNICAS 
ENVOLVEM O ENSINO DE MATEMÁTICA?
Jonatha Daniel dos Santos
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Introdução
Vamos começar este primeiro capítulo discorrendo sobre alguns documentos públicos oficiais que estão
articulados com o campo educacional. Esses documentos, entre outros, estabelecem aplicações no conteúdo
escolar, ou seja, o conhecimento sistematizado, que chamamos de currículo escolar, bem como fornecem
indicativos de como os conteúdos podem ser apresentados aos discentes.
Além disso, são expostas propostas para trabalhar com os componentes curriculares e como o docente pode
estabelecer uma ação pedagógica que venha ao encontro de um ensino e aprendizagem em matemática de forma
que possa colaborar com o processo do desenvolvimento da inteligência das crianças inseridas nos anos inicias
do ensino fundamental. Então, como essas propostas são articuladas nesses documentos para ensino de
matemática?
Outra questão interessante desse capítulo reside na apresentação dos conceitos teóricos formulados por Yves
Chevallard e Gérald Vergnaud, ambos importantíssimos educadores matemáticos que em suas teorias se
propõem a ressignificar o ensino da matemática trazendo outros olhares a partir de seus campos
epistemológicos, sendo possível questionar: como se aprende matemática?
Caminhando nesse sentido, estudaremos sobre técnica, tecnologia, campo conceitual, compreensão dos números
e dos conceitos das operações aritméticas, entre outros, sempre pensado por meio de um contexto escolar que se
alinha aos anos iniciais do ensino fundamental.
Vamos lá? Acompanhe este capítulo com atenção!
1.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), Diretrizes 
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 
(nove) anos e Base Nacional Comum Curricular (BNCC)
As políticas públicas educacionais buscam construir elementos centrais que norteiam o trabalho docente. No
âmbito do Ensino Fundamental, pensando a partir dos anos iniciais, do 1º ao 5º ano, estas políticas públicas
apresentam objetivos e tipos de sujeitos que serão atendidos por meio desse nível escolar. Não obstante, além de
esboçar a idade das crianças atendidas, estas políticas descrevem os critérios que os educadores/as devem
atender no âmbito de suas atividades docentes.
As questões centrais que incorporam as discussões presentes nessa sessão se apresentam buscando
compreender a proposta dos documentos oficiais, distinguir e compreender a operacionalização do trabalho
com os blocos temáticos e identificar as principais características dessa ciência, de seus métodos, de suas
ramificações e aplicações.
1.1.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN
A organização do Estado brasileiro em matéria educacional é regida pelas Diretrizes e Bases da Educação
Nacional (LDB), a Lei n. 9.394/96 (BRASIL, 1996). Tal lei dispõe sobre a Educação Básica bem como a Educação
Superior, e é por meio dela que outras leis e diretrizes vão incorporando o cenário educacional brasileiro. É
possível destacar, por exemplo, alguns documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
(BRASIL, 1997a), a Resolução n. 07/2010, que fixa as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino
Fundamental de nove anos (DCNEF) (BRASIL, 2010), e a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL,
2018).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), propostos no ano de 1997, dividiam-se, naquele momento, em um
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Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), propostos no ano de 1997, dividiam-se, naquele momento, em um
documento formatado por dois grupos: um de 1ª a 4ª série e outro para 5ª a 8ª série. Apesar de críticas, o
documento foi um avanço para a educação brasileira, principalmente quando se tornou um “[...] instrumento útil
no apoio às discussões pedagógicas em sua escola, na elaboração de projetos educativos, no planejamento das
aulas, na reflexão sobre a prática educativa e na análise do material didático” (PCN, 1997a, p. 4).
Para o grupo de 1ª a 4ª série, foi produzida uma coleção com dez volumes que envolvia desde a Introdução aos
PCN, passando por componentes curriculares como, por exemplo, Língua Portuguesa, Matemática, Ciências
Naturais, História, Geografia, Educação Física e Arte, até os cadernos de Temas Transversais com Meio Ambiente,
Saúde, Pluralidade Cultural e Orientação Sexual.
Importante ressaltar que no período que o PCN (BRASIL, 1997) foi produzido ainda era utilizada a nomenclatura
“série”, como 1ª série, 2ª série e assim por diante. A partir do ano de 2006, de acordo com a Lei n. 11.274/2006
(BRASIL, 2006), foram estabelecidas as diretrizes e bases da educação nacional, dispondo sobre a duração de
nove anos para o Ensino Fundamental, com matrícula obrigatória a partir dos seis anos de idade. A
nomenclatura alterada foi para “ano”, como 1º ano, 2º ano e assim por diante. Inclui, nessa mudança, o aumento
de um ano no Ensino Fundamental, que passou a ser até o 9º ano. O art. 5 dessa lei previa que os Municípios, os
Estados e o Distrito Federal teriam até 2010 para implementar a obrigatoriedade para o Ensino Fundamental
disposto no art. 3 desta mesma lei e a abrangência da pré-escola de que trata o art. 2 também desta lei.
Os PCN (BRASIL, 1997) organizavam as séries em ciclos, totalizando quatro. O primeiro ciclo refere-se a 1ª e 2ª
série, enquanto que a 3ª e 4ª série são compreendidas no segundo ciclo. Esses dois primeiros ciclos constituem a
parte integrante dessa discussão. Já o terceiro ciclo envolve a 5ª e 6ª série e o quarto ciclo a 7ª e 8ª série.
Conforme o quadro a seguir, nota-se um exemplo de desdobramento dos objetivos de matemática no primeiro
ciclo:
Quadro 1 - Objetivos gerais do Ensino Fundamental em matemática para séries iniciais.
Fonte: PCN, 1997b, p. 48.
No volume 03 dos PCN (BRASIL, 1997b), que trata da matemática, o documento mostra-se aberto a discussões
historicamente desvinculadas a esse componente curricular, vinculando-se a temas como a construção da
cidadania e temas transversais como ética, orientação sexual, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural entre
outros.
Aprofundando a discussão, o PCN (BRASIL, 1997) promove uma reflexão diante de alguns cenários, por exemplo:
o aluno e o saber matemático, o professor e o saber matemático, as relações professor-aluno e aluno-aluno.
Também dialoga com a resolução de problemas, história da matemática, tecnologias da informação e jogos. São
cenários que compõem e podem compor o período de escolarização das crianças, e por meio delas pode haver
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cenários que compõem e podem compor o período de escolarização das crianças, e por meio delas pode haver
melhoras significativas no ensinar e no aprender matemática.
Isso quer dizer que trabalhar com história da matemática implica expor que a matemática não é uma disciplina
desconexa da realidade, pelo contrário, foi construída ao longo dos séculos e por diversos povos no intuito de
satisfazer necessidades de sobrevivência para os seres humanos. Esse exemplo possibilita a compreensão de que
tal documento trouxe consigo avanços educacionais em sua formulação. Vamos conhecer um pouco mais sobre
esses blocos de conteúdo.
Conforme salienta o PCN (BRASIL, 1997) ao tratar do bloco “números e operações”, o objetivo é apresentar e
facilitar a compreensão sobre distintos significados das categorias numéricas e suas operações, como os 
números naturais, números inteiros positivos e negativos, números racionais (com representações fracionárias e
decimais) e números irracionais.
A aproximação com essas categorias e o envolvimento com suas operações, adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e radiciação, corrobora com a ampliação do conceito de número. Para esse bloco de
conteúdo, no primeiro ciclo, o objetivo é explorar os significados das operações, em destaque a adição e asubtração. Já para o segundo ciclo “[...] os recursos de cálculo são ampliados pelo fato de o aluno ter uma
compreensão mais ampla do sistema de numeração decimal, além de uma flexibilidade de pensamento para
construção do seu cálculo mental” (PCN, 1997b, p. 53). 
Já o bloco “espaço e forma”, de acordo com o PCN (BRASIL, 1997b, p. 35), “[...] permite compreender, descrever e
representar, de forma organizada, o mundo em que vive”. Concebe-se que esse bloco esteja articulado com o
pensamento geométrico, enquanto um campo fértil para se trabalhar com ocasiões cotidianas lançando mão de
situações-problemas. Ainda segundo os PCN (BRASIL, 1997b, p. 35), “[...] além disso, se esse trabalho for feito a
partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato,
ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a matemática e outras áreas do conhecimento”.
Para esse bloco de conteúdo, no primeiro ciclo, a proposta consolida-se em compreender, descrever e
representar o mundo e os espaços sociais e escolares que fazem parte do contexto dos estudantes, colaborando
para localizarem-se no espaço e por ele se movimentar, percebendo as formas e objetos que o compõe. Isso
possibilita, então, a construção de relações para a compreensão do espaço a sua volta. Já para o segundo ciclo,
“[...] o trabalho com espaço e forma centra-se, ainda, na realização de atividades exploratórias do espaço [...] o
trabalho com malhas e diagramas, a exploração de guias e mapas pode constituir um recurso para a
representação do espaço” (BRASIL, 1997b, p. 53).
VOCÊ QUER LER?
Leia o artigo “Grandezas e medidas: surgimento histórico e contextualização curricular”
(2013), de Simone Pozebon e Anemari R. L. V. Lopes publicado no VI Congresso Internacional
de Ensino de Matemática, realizado em Canoas, em 2013. O objetivo desse artigo é apresentar
um breve apanhado sobre o surgimento dos conceitos que são focados na pesquisa –
grandezas e medidas – na história da humanidade, assim como realizar uma discussão a partir
da sua organização curricular e presença em documentos oficiais. Acesse: <https://goo.gl
>./2DGo7h
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Figura 1 - Explorando as medidas das crianças com uma possibilidade prática na ação pedagógica.
Fonte: Yuganov Konstantin, Shutterstock, 2018.
O bloco de conteúdo “grandezas e medidas” tende a permitir melhores compreensões sobre os conceitos
apresentados no bloco “espaço e forma” e por apresentar similaridades com a questão social é percebida como
uma possibilidade de aproximar o contexto matemático com o cotidiano. Para o primeiro ciclo, “[...] não é
objetivo a formalização de sistemas de medida, mas sim levar a criança a compreender o procedimento de medir,
explorando para isso tanto estratégias pessoais quanto ao uso de alguns instrumentos, como balança, fita
métrica e recipientes de uso frequente” (BRASIL, 1997b, p. 45).
Trata-se de permitir que as crianças explorem instrumentos práticos que constituem objetos necessários a
determinadas profissões e que também possam ser utilizadas por seus responsáveis em atividades domésticas.
Para o segundo ciclo, a proposta é compreender os processos de medição, apresentar as unidades de medidas
(metro, centímetro, grama, quilograma etc.) e o trabalho com conversões sempre atrelado ao contexto prático,
como transformar quilômetro em metro e assim por diante. Ainda nesse bloco de conteúdo, seguindo as
orientações dos PCN (BRASIL, 1997b), é válido trabalhar com o sistema decimal de medida, com o sistema
monetário e também com o sistema de numeração decimal.
Outro bloco de conteúdo, o “tratamento da informação”, tem como proposta integrar estudos “[...] relativos a
noções de estatística, de probabilidade e de combinatória. Evidentemente, o que se pretende não é o
desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos”
(PCN, 1997b, p. 36). A ideia desse bloco é apresentar os conceitos iniciais desses temas bem como possibilitar
melhoras significativas em períodos posteriores de estudos no seguimento escolar.
No primeiro ciclo, conforme os PCN (BRASIL, 1997b), a proposta é estabelecer diálogos investigativos e por meio
dela estimular perguntas, construção de justificativas e estabelecer relações entre objetos e informações. Logo, a
finalidade não pressupõe apenas a leitura de gráficos ou informações, mais que isso é preciso interpretar e
inferir decisões frente ao que vem sendo apresentado em sala de aula. Já o segundo ciclo tem como proposta
desenvolver um trabalho que leve em conta a coleta dos dados, organização e descrição desses dados, para
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desenvolver um trabalho que leve em conta a coleta dos dados, organização e descrição desses dados, para
trabalhar com tabelas e gráficos.
1.1.2 Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 
(nove) anos –DCNEF
Com a mudança do Ensino Fundamental para nove anos e a obrigatoriedade do ensino gratuito dos quatro aos
17 anos de idade, demandas e necessidades de atualização dos documentos públicos que constituem a educação
escolar brasileira foram abertas. Assim, as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove
anos (DCNEF) (BRASIL, 2010b), homologada pelo Conselho Nacional de Educação/Câmara de Educação Básica,
com parecer CNE/CEB n. 11/2010 (BRASIL, 2010a) e Resolução n. 7/2010 (BRASIL, 2010b), atrelada ao objeto
da Lei n. 11.274/2006 (BRASIL, 2006), vem ao encontro da necessidade de atualizar defasados documentos
públicos que permeiam as políticas públicas educacionais. Os princípios que regem essas políticas educativas e
suas ações pedagógicas são éticos, políticos e estéticos.
Conforme o Parecer CNE/CEB n. 11/2010 (BRASIL, 2010a, p. 110):
Os objetivos que a Educação Básica busca alcançar, quais sejam, propiciar o desenvolvimento do
educando, assegurar-lhe a formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-
lhe os meios para que ele possa progredir no trabalho e em estudos posteriores, segundo o artigo 22
da Lei n. 9.394/96 (LDB), bem como os objetivos específicos dessa etapa da escolarização (artigo 32
da LDB), devem convergir para os princípios mais amplos que norteiam a Nação brasileira.
No Art. 15 da Resolução n. 7/2010 (BRASIL, 2010b), os componentes curriculares obrigatórios do Ensino
Fundamental serão assim organizados em relação às áreas de conhecimento:
I – Linguagens: a) Língua Portuguesa; 
b) Língua Materna, para populações indígenas; c) Língua Estrangeira moderna; d) Arte; e e) Educação Física;
Matemática; Ciências da Natureza; Ciências Humanas: a) História; b) Geografia;II – III – IV – 
Ensino Religioso.V – 
Como em outros documentos, a Resolução n. 7/2010 (BRASIL, 2010b), expõe que o currículo do Ensino
Fundamental com nove anos exige um Projeto Político Pedagógico e intenciona uma gestão democrática e
participativa como garantia do direito à educação. Prega também uma integração dos conhecimentos escolares
no currículo para favorecer sua contextualização e aproximar o processo educativo das experiências dos alunos.
Importante ressaltar que conforme o art. 30 da referida Resolução (BRASIL, 2010b), os três anos iniciais do
Ensino Fundamental devem assegurar o acesso à alfabetização e ao letramento; o desenvolvimento das diversas
formas de expressão e a continuidade da aprendizagem. A avaliação, conforme o art. 32 (BRASIL, 2010b), deve
assumir um caráter processual, formativo e participativo, e deve ser contínua, cumulativa e diagnóstica. 
1.1.3 Base Nacional Comum Curricular – BNCC
A Base Nacional Comum Curricular – BNCC (BRASIL, 2018, p. 30) é o documento mais recente dos que vimos até
o momento. É possível notar que se trata de um:
[...] documento de caráter normativo que define o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens
essenciais que todos os alunos devem desenvolver ao longo das etapas e modalidades da Educação
Básica, de modoa que tenham assegurados seus direitos de aprendizagem e desenvolvimento, em
conformidade com o que preceitua o Plano Nacional de Educação - PNE.
Nesse sentido, a BNCC (BNCC, 2018), de caráter normativo, estabelece em seu teor algumas competências para
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Nesse sentido, a BNCC (BNCC, 2018), de caráter normativo, estabelece em seu teor algumas competências para
os componentes curriculares bem como para os anos escolares e que devem ser abordados nas escolas de
Educação Básica brasileira.
Nos PCN (BRASIL, 1997b) a estrutura do ensino de matemática é organizada em blocos de conteúdo, sendo eles:
Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação. Já no BNCC (BNCC,
2018), o termo utilizado é o de Unidades Temáticas que são: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas
e Probabilidade e Estatística. Interessante ressaltar que para cada unidade temática há um objeto de
conhecimento bem como habilidades esperadas na construção do conhecimento.
Assim como o BNCC (BRASIL, 2018), os PCN (BRASIL, 1997a; 1997b) e as Diretrizes Curriculares Nacionais para
o Ensino Fundamental de nove anos (BRASIL, 2010a; 2010b) são documentos de leitura obrigatória para todos
aqueles que ingressam na carreira docente ou que trabalhem na área da Educação. Tal leitura torna-se
importante para compreender as questões legais que regem a educação brasileira bem como para verificar
outras possibilidades no intuito de colaborar com ações pedagógicas evidenciadas no espaço escolar.
1.2 Técnicas e tecnologia no trabalho com as operações 
aritméticas nos anos iniciais do Ensino Fundamental
As operações aritméticas nos anos iniciais no Ensino Fundamental, geralmente, são validadas por meio das
quatro operações elementares, ou seja, adição, subtração, multiplicação e divisão. Com essas operações há um
campo de estudo denominado Teoria Antropológica do Didático (TAD), proposto por Yves Chevallard (1998), o
qual tem a intenção de aprofundar a discussão frente ao objeto de conhecimento, nesse caso, a matemática.
Dentro desse campo, nesse tópico o objetivo é estabelecer uma distinção entre técnica e tecnologia na
sistematização das aulas de matemática, compreender a implicação do problema didático da sistematização e
destacar as opções metodológicas sugeridas pela proposta de Yves Chevallard.
1.2.1 O problema didático da sistematização
O conteúdo que estudamos nos espaços escolares, seja na educação básica, seja na educação superior, é
resultado de experiências seculares que tinham o objetivo de oferecer respostas a questionamentos necessários
para a vida humana. Em outras palavras, o ser humano enquanto ser histórico e social sempre buscou
ferramentas para sobrevivência própria, bem como para seus entes. A matemática, por exemplo, é um dos
campos científicos mais antigos da humanidade, uma vez que seu uso atravessa gerações e distintos grupos
sociais. É possível citar dois grupos epistemológicos para entender como a matemática agia em períodos
anteriores: Empiristas e Racionalistas.
Esses dois grupos tiveram grande influência no que compete à produção do conhecimento bem como no próprio
campo da matemática. Os Empiristas defendiam que a essência do conhecimento tem sua origem fora do
indivíduo e que o mesmo vai interiorizando por meio dos sentidos, uma experiência sensorial. Já o segundo, os
Racionalistas, não negando o primeiro, defendiam a ideia que a razão é mais poderosa que a experiência
sensorial.
Meneghetti e Bicudo (2003, p. 2) afirmam que o primeiro “[...] buscou fundamentar o saber Matemático,
exclusivamente, na intuição ou experiência” enquanto o segundo “buscou fundamentar o saber Matemático,
inteiramente, na razão”. Do lado do Empirismo é possível destacar Newton (1643-1727); John Locke (1621-Isaac
1704); George Berkeley (1685-1753) e David Hume (1711-1776). Já do lado do Racionalismo se destacaram
René Descartes (1596-1650); Leibniz (1646-1716) e Immanuel Kant (1724-1804).Gottfried Wilhelm Von
Nota-se então que o cenário da matemática não gira apenas no quesito cálculo. Muito mais que isso, usava-se a
matemática como uma possibilidade de se pensar o mundo e sobre o mundo, produzindo questionamentos e
resoluções para as mais variadas questões. Logo, a experiência e a razão começam a fazer parte da produção
matemática bem como sobre os artefatos que são produzidos por meio do aprofundamento teórico que o ser
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matemática bem como sobre os artefatos que são produzidos por meio do aprofundamento teórico que o ser
humano consegue alcançar.
Assim, essa linguagem universal começa a se expandir pelo mundo e trabalhos em prol de uma sistematização
escolar ganha força. A matemática qual temos hoje no currículo escolar brasileiro e em outros sistemas escolares
se deve a vários pensadores e pensadoras que buscaram realizar uma sistematização de um vasto conhecimento
para alguns fragmentos, a fim de pudessem ser estudados nos espaços escolares. Essas fragmentações não
apagaram a extensão da matemática com a natureza e a possibilidade da mesma ser trabalhada com outras
temáticas.
Esse tratamento dado do campo científico para o campo escolar ocorre geralmente pelo currículo escolar, ou
seja, uma sistematização do que vai ser estudado e do que não será. A partir disso, cabe ao docente, por meio dos
conteúdos escolhidos, aplicá-los em sala bem como produzir por meio desses conteúdos novos conhecimentos e
novas habilidades que colaborem para a compreensão e aprofundamento dos temas nos mais variados
componentes curriculares.
Partindo dessa compreensão inicial, cabe destacar alguns entendimentos que serão abordados por meio da
teoria de Yves Chevallard e, principalmente, de autores e autoras que a corroboram. Chevallard (1998)
apresenta uma teoria chamada Teoria Antropológica do Didático (TAD), a qual propõe analisar uma das
questões principais no trabalho docente: como preparar suas aulas, organizar um objeto de estudo
(matemático), colocar em prática e fazê-lo funcionar em sala de aula.
De acordo com Chevallard (1998, p. 92), sua teorização da TAD deve “[...] ser encarada como um
desenvolvimento e uma articulação das noções cuja elaboração visa permitir pensar de maneira unificada um
grande número de fenômenos didáticos, que surgem no final de múltiplas análises”.
Dentro do campo da matemática há uma área denominada Educação Matemática. Essa área busca entre outras
coisas problematizar o ensino da matemática vigente no Brasil bem com propor ideias que possam colaborar
com a prática pedagógica do professor de matemática e também para os docentes dos anos iniciais, conhecido
também como professor polivalente. A teoria de Chevallard pode ser enquadrada nessa área.
Conforme Bitttar, Freitas e Pais (2013, p. 16), “[...] as práticas de sistematização de estruturas matemáticas no
contexto escolar incluem a utilização de certos registros de linguagem pertinentes à dimensão educativa do
saber escolar”. Os autores ainda comentam que trabalhar com uma sistematização, ou seja, com fragmentos de
um determinado conhecimento científico transposto para o conhecimento acadêmico (saber a ser ensinado), o
discente desenvolve elementos por meio de uma linguagem objetiva.
Não se trata, então, de pensar exclusivamente sobre essa fragmentação, mas sim por meio dela constituir outras
formas de aprendizagem. Logo, não é interessante pensar na sistematização escolar como algo isolado ou até
mesmo reduzido apenas para o contexto do saber matemático.
Nesse cenário, dois termos podem ser pensados para a sistematização das aulas de matemática: técnica e
tecnologia. Sobre essa questão, Chevallard, Bosch e Gascón (2001, p. 125) salientam que “[...] a existência de uma
técnica supõe também a existência subjacente de um discurso interpretativo e justificativo da técnica e de seu
VOCÊ O CONHECE?
Yves Chevallard, nascido na França em 1946 é um escritor, matemático, investigador da
transposição didática.É professor na Universidade IUFM de Aix-Marseille, em Marsella,
França. Desde 1971, publica artigos e textos em diferentes revistas científicas colaborando
para a produção científica no campo da didática, principalmente para a área de matemática.
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técnica supõe também a existência subjacente de um discurso interpretativo e justificativo da técnica e de seu
âmbito de aplicabilidade e validade”. Chamaremos a esse discurso sobre a técnica de uma tecnologia (de ,tékhne
e , discurso).logos
Trabalhar com essas duas temáticas, técnicas e tecnologias requer do docente opções metodológicas, ou seja,
“[...] iniciar o estudo de um tema matemático com a sistematização ou com uma atividade pontual pode indicar
sinais de uma opção metodológica (BITTTAR; FREITAS; PAIS, 2013, p. 17). Isso quer dizer que a prática
pedagógica de qualquer docente está embasada em uma ou mais concepções epistemológicas. São essas
epistemologias que direcionam o modo como o docente trata o conteúdo sistematizado, como concede o modelo
de ensinar, como verifica a aprendizagem, entre outros.
Em outras palavras trata-se da forma como o(a) professor(a) ensina e verifica o aprendizados dos estudantes.
Frente a esse tema da opção metodológica e das técnicas e tecnologias. Silva e Valente (2013, p. 13) destacam
muito bem essa questão ao dizerem que a
Aritmética, na sua forma escolar, sofreu transformações. Essas mudanças ao longo do tempo, se
forem apropriadas, sabidas pelo professor que ensina matemática, por certo, trarão contribuições
para a formação do professor no sentido de evocar rupturas no modo como esse docente
compreende a matemática nos anos iniciais.
Quando pensamos sobre a técnica, segundo Bitttar, Freitas e Pais (2013, p. 17):
[...] essa tendência se reúnem as práticas que colocam em primeiro plano o ensino das propriedades,
teoremas, demonstrações, modelos, entre outros aspectos teóricos do saber matemático. A análise
dessas orientações metodológicas não envolve apenas uma questão sequencial ou de ordem na
apresentação das atividades matemáticas.
Já sobre a tecnologia, “[...] entendemos que se o enfoque principal atribuído pelo professor, na condução das
atividades escolares, estiver mais voltado para a construção das justificativas ou das explicações referentes aos
procedimentos matemáticos, trata-se de uma prática tecnológica” (BITTTAR; FREITAS; PAIS, 2013, p.17).
Podemos resumir da seguinte forma: qualquer conceito precisa de tarefas a ser cumpridas, as técnicas são as
formas como as tarefas são cumpridas, em outras palavras, são as formas de fazer. Já a tecnologia são os
discursos que justificam, explicam e validam as técnicas. A essa organização podemos chamar de organização
praxeológica ou praxeologia.
De uma forma mais teórica, para que a praxeologia exista, Chevallard (1998) comenta que deve existir a
necessidade de ser realizado certo tipo de tarefa (T). Seus modos de fazer são chamados de técnica (t) e a
associação entre tarefa-técnica (T-t) define um saber fazer próprio para esse tipo de tarefa. A tarefa-técnica (T-t)
VOCÊ QUER LER?
O livro “A matemática em sala de aula: reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino
fundamental” (2013), organizado por Kátia Stocco Smole, é composto por capítulos oriundos
de pesquisas acadêmicas dos melhores pesquisadores da educação matemática do Brasil. É
possível destacar um capítulo, intitulado “Técnicas e Tecnologias no trabalho com as
operações aritméticas nos anos iniciais do ensino fundamental”, escrito por Marilena Bittar,
José Luiz M. de Freitas e Luiz Carlos Pais. Esta é uma boa leitura para compreender a teoria de
Chevallard por meio dos livros didáticos.
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associação entre tarefa-técnica (T-t) define um saber fazer próprio para esse tipo de tarefa. A tarefa-técnica (T-t)
não age isoladamente e nem se sustenta por si só, ou seja, a dupla (T-t) necessita de algo para constituir-se e,
para isso, necessita de um amparo tecnológico teórico (ou saber), formado por uma tecnologia ( ) e apresentar
sustentação à técnica (t) aplicada. Deste modo, a teoria ( ) irá justificar e esclarecer a tecnologia ( ).
Bittar, Freitas e Pais (2013) dialogam a partir dessa teoria para discutir as quatro operações básicas e que se
apresentam mais intensas nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Esse momento escolar, do 1º ao 5º ano, é a
base para o seguimento dos estudos não apenas em matemática, mas em outras disciplinas.
Quando o assunto se refere às quatro operações básicas, a saber, adição, subtração, multiplicação e divisão,
muito já foi produzindo sobre essa temática dentro do campo da educação matemática. Há, nos documentos
oficiais, como nos PCN e na BNCC, uma ênfase a essa temática e lá se apontam também distintas maneiras e
concepções para se trabalhar em sala de aula.
Uma palavra-chave que prevalece nos estudos que buscam compreender sobre aquisição do conhecimento é a
palavra . Vamos pensar em um exemplo. O número 6 pode ser representado por situações diferentes: objeto
.
Perceba que cada uma dessas representações oferece o mesmo resultado, ou seja, o número 6. Temos uma
representação de uma fração, soma e multiplicação. Embora o resultado seja o mesmo, cada um tem um sentido
distinto. A expressão representa uma fração, enquanto que a expressão representa uma soma. Ambas as
expressões, embora tenham como resultado o “6”, os sentidos que apresentam são diferentes.objeto 
Conforme Panizza (2006, p. 22), “[...] desde as primeiras aprendizagens as crianças utilizam diversas
representações de um mesmo objeto para fazer operações numéricas e o reconhecem (pelo menos
implicitamente) em cada uma delas”. Corroborando com isso, Duval (2012) salienta que é importante o uso de
diversos sistemas de representação quando se trabalha com a aprendizagem matemática. Esse entendimento
parte da ideia de que há, como vimos, várias representações para um mesmo objeto.
Ao se tratar da adição, por exemplo, normalmente a posição adotada para trabalhar com esse tema é por meio da
apresentação de regras e algoritmos, muitas vezes sem uma articulação com o contexto social, privando, então,
os discentes, de compreensões efetivas sobre o real valor da adição. Bittar, Freitas e Pais (2013, p. 20) salientam
que não é aconselhado, nos anos iniciais de escolarização, “[...] enfatizar os algoritmos e as propriedades das
operações em detrimento da compreensão do sentido destas”. Ainda conforme os autores, “[...] isso não significa,
no entanto, que as técnicas e os algoritmos devam estar ausentes da escola, mas simplesmente não devem
ocupar lugar central, ou totalitário, na aprendizagem das operações aritméticas” (BITTAR; FREITAS; PAIS, 2013,
p. 20).
Vamos aos dois exemplos a seguir:
VOCÊ SABIA?
De acordo com a teoria piagetiana, as crianças pequenas constroem um universo dentro de si
mesmas e, por isso, passam a inventar o conhecimento lógico-matemático. Isso significa
afirmar que este conhecimento é construído por cada criança a partir de dentro de si mesma
através de sua interação dialética com o meio ambiente que por si só é expandido quando
incentivado.
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Figura 2 - Representação de técnicas para operações aritméticas.
Fonte: BITTTAR, FREITAS e PAIS, 2013, p. 22.
O exemplo acima, também podendo ser chamado de tarefa, na teoria de Chevallard, representa as operações
aritméticas. Por outro lado, as técnicas são as formas de resolver as questões. As técnicas ou “jeitos de fazer”,
possuem graus de escolhas e também de indeterminação. Isso pode acontecer mesmo que, aparentemente, as
definições matemáticas pareçam estar claras e precisas. Assim, outras técnicas, outros jeitos de fazer, podem ser
utilizados para que a tarefa seja válida no processo de construção de conhecimento.
Para Bittar, Freitas e Pais (2013, p. 26):
Experiências mostram que o uso de material variado contribui para a aquisição dos conceitos,portanto, todos os materiais disponíveis podem ser usados pelo professor, começando desde tampas
de garrafas e pedrinhas, passando pelo material dourado e chegando ao quadro valor de lugar
construído com materiais cotidianos (sapateira) e ao ábaco.
Logo, a tarefa adição exige técnicas ou jeitos de fazer. Perceba que sempre existe mais que uma maneira de se
trabalhar com um tema na matemática, principalmente, nos anos iniciais, uma vez que o lúdico nesse nível pode
ser ricamente explorado de forma pedagógica e assim contribuir com a construção do pensamento matemático.
Figura 3 - Ábaco é uma excelente ferramenta para o ensino de matemática.
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Figura 3 - Ábaco é uma excelente ferramenta para o ensino de matemática.
Fonte: Shutterstock, 2018.
A prática tecnológica age, então, como uma possibilidade de construir justificativas ou explicações referentes aos
procedimentos matemáticos, ou seja, é um momento no qual os(as) professores(as) podem tornar o ensino da
matemática investigativo, produzindo um processo dialógico-didático no intuito de apresentar a matemáticas
por vários jeitos, tanto pelo cálculo quanto por objetos manipuláveis.
Convém ressaltar que isso será possível quando os estudantes perceberem e compreenderem as nuanças do
sistema de numeração decimal, pois sem esse entendimento nenhuma metodologia dará resultados satisfatórios
se não tiver sido apreendido (BITTTAR; FREITAS; PAIS, 2013).
1.3 Sobre a técnica, a tecnologia e as quatro operações
A praxeologia de Chevallard (1998) existe por meio das tarefas (T), seus modos de fazer, suas técnicas (t) e a
articulação entre tarefa-técnica (T-t), que define um saber fazer próprio para esse tipo de tarefa. Sabe-se que não
agem isoladamente e nem se sustentam por si só. A técnica e a tecnologia constituem dois elementos
importantes para compreender as quatro operações nos anos iniciais.
Dessa forma, a proposta desse tópico é entender o estudo das diferentes organizações contidas em livros
didáticos com base teórica do conceito de praxeologia de Chevallard (1998) e também perceber a articulação
entre a técnica e a tecnologia para a compreensão dos números e dos conceitos das operações aritméticas.
1.3.1 Articulação entre a técnica e a tecnologia para a compreensão dos 
números e dos conceitos das operações aritméticas
Vimos no tópico anterior que a praxeologia, conceito de Chevallard (1998), para existir deve possuir algumas
tarefas (T) a serem realizadas. Há também a necessidade de modos de fazer, ou seja, a técnica (t). Então, a
associação entre tarefa-técnica (T-t) definirá um saber-fazer próprio para esse tipo de tarefa.
Sabendo que a tarefa-técnica (T-t) não age isoladamente e por si só não se sustenta, há, então, a necessidade de
algo para constituir-se e, para isso, pode ser chamada de um amparo tecnológico teórico (ou saber), constituído
por uma tecnologia ( ) e uma sustentação à técnica (t) aplicada. Logo, a teoria ( ) irá justificar e esclarecer a
tecnologia ( ).
Quando Chevallard (1998) apresenta sua Teoria Antropológica do Didático (TAD), ele expõe que todo saber está
ligado a uma instituição, ou seja, o saber não existe no vácuo, isolado. Conforme esse autor, instituição pode ser
entendida como um dispositivo social o qual confere às pessoas que ocupam uma determinada posição, modos
de fazer e de pensar próprios (CHEVALLARD, 1992). Indo nessa compreensão, o livro didático pode ser
considerado uma instituição, tanto para alunos quanto para professores(as) que o utilizam.
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Figura 4 - Livro didático faz parte da cultura e da memória visual de muitas gerações.
Fonte: Shutterstock, 2018.
O livro didático (LD) muitas vezes constitui o objeto principal dos docentes em suas práticas escolares. Para os
discentes é uma ferramenta de compreensão sobre um determinado objeto bem como serve para assessorar
atividades desenvolvidas no contexto da escolarização. É claro que o LD não é a única e nem pode ser a última
ferramenta para o ensino e aprendizagem de um determinado componente curricular, principalmente para o
contexto da matemática.
Neste sentido, outras possibilidades devem fazer parte do rol dos docentes no intuito de favorecer a construção
do conhecimento. Mas, por ser um item presente no contexto escolar, entregue sempre ao início do um novo ano
letivo aos estudantes e com ele e por ele várias atividades são realizadas em sala de aula, cabe então refletir mais
sobre esse material e pensar como o LD está estruturado epistemologicamente, principalmente, sobre qual
estrutura teórica ele é apresentado.
Os livros didáticos empregados por estudantes e docentes da educação básica são, na maioria, aprovados pelo
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), programa que analisa e distribui livros didáticos para as escolas
públicas. De tal modo, os livros que as escolas adotam e compram devem estar presentes no Guia de Livro
Didático do PNLD.
Conforme Bittar (2017, p. 03), “[...] uma análise de LD descortina ao pesquisador diversas paisagens que podem
ir desde o estudo da cultura escolar em uma dada época à identificação de possíveis razões de dificuldades de
aprendizagem e à elaboração de sequências didáticas”. Voltando à questão da instituição, cada uma tem um
conjunto de condições e restrições que devem ser respeitadas para que certo saber possa existir nesta
instituição.
Utilizando o exemplo de Bittar (2017), o conceito de “área”, por exemplo, está presente em todos os níveis
escolares da educação básica e até mesmo em vários cursos superiores. Acontece que estudar “área” nos anos
iniciais do Ensino Fundamental, não será o mesmo que estudar este mesmo tema nos anos finais do Ensino
Fundamental. Enquanto que nos anos iniciais o tema pode ser explorado por ideia de pavimentação, nos anos
finais, por outro lado, apresenta-se mais formal, alinhado com a apresentação de fórmulas. É possível notar,
então, que para cada instituição é preciso haver adaptações do tema considerando as habilidades que envolvam
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então, que para cada instituição é preciso haver adaptações do tema considerando as habilidades que envolvam
o desenvolvimento cognitivo dos discentes. Logo, as tarefas podem ser articuladas por meio de diferentes
técnicas.
O professor Saddo Ag Almouloud (2015, p. 4) contribui para essa discussão quando salienta que:
[...] para uma determinada tarefa, geralmente, existe uma técnica ou um número limitado de técnicas
reconhecidas na instituição que problematizou essa tarefa, embora possam existir técnicas
alternativas em outras instituições. A maioria das tarefas institucionais torna-se rotineira quando
deixa de apresentar problemas em sua realização. Isso quer dizer que para produzir técnicas é
preciso que se tenha uma tarefa efetivamente problemática que estimule o desenvolvimento de pelo
menos, uma técnica para responder às questões colocadas pela tarefa. As técnicas assim produzidas
são então organizadas para que funcionem regularmente na instituição.
Assim, a análise de dados por meio de livros didáticos possibilita entre outras coisas verificar as transformações
históricas que permeiam o campo educacional e proporciona verificar as transformações adaptativas frente ao
saber constituído.
Para Almouloud (2015, p. 9), baseado na Teoria Antropológica do Didático (TAD), a implementação dessa
abordagem para analisar livros didáticos é organizada frequentemente como segue:
– Identificação dos tipos de tarefas: analisam-se as atividades propostas nas diferentes partes do
capítulo. Exemplos e atividades do curso (apresentado sob a forma de desafios ou exercícios
resolvidos) permitem identificar os tipos de tarefas importantes para a instituição.
– Identificação de técnicas: após a identificação dos tipos de tarefas, procede-se à caracterização das
técnicas que permitem cumprir essas tarefas apoiando-se nos exercícios resolvidos e/ou na análise
matemática das situações propostas;
– Identificação de tecnologias:construímos a tecnologia a partir da análise dos comentários dos
autores, do curso e eventualmente da análise do livro do professor ou de análise matemática de
situações propostas para consolidação da aprendizagem.
A análise dos LD abordados por essa teoria, geralmente, estuda uma questão específica sobre um determinado
tema do qual seja interesse do professor pesquisador. No trabalho de Bitttar, Freitas e Pais (2013), por exemplo,
os autores buscam aprofundar a discussão de técnica e tecnologia frente às quatro operações básicas nos anos
iniciais do Ensino Fundamental em períodos distintos no cenário escolar brasileiro. De acordo com esses
autores, “[...] no trabalho com o ensino e a aprendizagem de números e operações, o grande desafio seria
encontrar um equilíbrio adequado entre fazer contas e justificar ou compreender minimamente os
procedimentos utilizados” (BITTTAR; FREITAS; PAIS, p. 19). Nesse caso é compreender que os estudantes que
chegam à escola já possuem conhecimentos prévios, uma vez que em sua vida social já trabalhavam, mesmo que
inconscientemente, com essas operações ao dividirem brinquedos, ao brincarem, ao conversarem, entre outras
atividades.
Há então uma necessidade de vincular o contexto social antes da escolarização com o novo momento, que é a
entrada na escola. A entrada na escola inclui na vida das crianças novas ações, como horário a ser seguido, regras
a serem cumpridas, relações com outros sujeitos, relação com o(s) docente(s), conhecimento de um universo
amplo, que é o caso das disciplinas, e, muitas vezes, é quando a criança estabelece o seu primeiro contato com os
livros didáticos, e é o LD livro que o acompanhará sua vida escolar até o fim da educação básica.
Por isso, muitos(as) autores(as) se debruçam sobre essa modalidade de pesquisa e por meio desses estudos é
possível inferir que várias técnicas operatórias desaparecem e vão se tornando obsoletas motivadas pelo
surgimento de instrumentos e técnicas de cálculo mais eficientes e práticos, diante de instrumentos eletrônicos e
também pela renovação de correntes epistemológicas, como a teorista, a tecnicista, a modernista e a
construtivista.
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Importante ressaltar que o uso das quatro operações pode ser articulado com várias técnicas, ou seja, com jeitos
de fazer e o uso dos algoritmos é um desses jeitos, porém não deve ser o único. Segundo Chevallard, Bosch e
Gascón (2001, p. 124):
[...] embora os algoritmos sejam um tipo muito particular de técnica, é importante não confundir
ambas as noções. Somente em ocasiões excepcionais uma técnica matemática pode chegar a ser
sistematizada a tal ponto que sua aplicação esteja totalmente determinada e possa, portanto, ser
considerada um algoritmo.
A adição é considerada a principal das operações básicas e as outras se operacionalizam por meio dela,
estabelecendo um diálogo maior com a subtração, tanto é que existe uma teoria denominada campo conceitual
aditivo, de Vergnaud (1990). Nesse sentido, as duas devem ser abordadas de forma coerente e conectada
segundo os princípios escolares.
Bitttar, Freitas e Pais (2013) esboçam que trabalhar com essas operações exige uma compreensão do valor
posicional dos algarismos. Normalmente, nos livros didáticos, a adição é apresentada no primeiro momento sem
reagrupamento e, em um segundo momento, a adição com reagrupamento. O trabalho com adição de números
com duas ou mais ordens exige, muitas vezes, a retomada do valor posicional sobre as unidades, dezenas,
centenas e assim por diante. Dentro da TAD existe um conceito denominado objetos ostensivos, que é o caso, por
exemplo, do material dourado e do ábaco de pinos.
De acordo com Bosch e Chevallard (1999, p.10):
Nós falaremos de objeto ostensivo [...] para nos referirmos a todo objeto tendo uma natureza
sensível, uma certa materialidade, e que, por isso, adquire para o ser humano uma realidade
perceptível. Esse é o caso de um objeto material qualquer e, notadamente, e de objetos materiais
particulares que são os sons [...], os grafismos [...] e os gestos.
O trabalho com os materiais manipuláveis não pode ser apresentado descontextualizado da temática estudada,
pois se isso ocorrer os objetos ostensivos não cumprirão seu objetivo, ou seja, facilitar a compreensão sobre os 
objetos não ostensivos, que conforme Bosch e Chevallard (1999, p. 10):
[...] são então todos os “objetos” que, como as ideias, as intuições ou os conceitos, existem
institucionalmente – no sentido em que lhe atribuímos uma existência – sem, entretanto, poderem
ser vistos, ditos, escutados, percebidos ou mostrados por si mesmos: eles só podem ser ouevocados 
invocados pela manipulação adequada de certos associados (uma palavra, umaobjetos ostensivos 
frase, um grafismo, uma escrita, um gesto ou um longo discurso).
VOCÊ QUER VER?
Na plataforma Youtube há um canal chamado , mantido pelo ProgramaEducação Matemática
de Pós-Graduação em Educação Matemática, da Universidade Bandeirante de São Paulo
(UNIBAN), e lá é possível encontrar diversos vídeos interessantes relacionados ao campo da
matemática. Um dos vídeos é oferecido pelo Prof. Dr. Gérald Vergnaud, no qual o autor fala
sobre o estudo das estruturas aditivas. Vale a pena conferir. O vídeo está disponível em: <
>.https://goo.gl/MTaYLp
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frase, um grafismo, uma escrita, um gesto ou um longo discurso).
Desta forma, podemos compreender objetos não ostensivos como conceitos, teoremas, propriedades, modelos
entre outros.
1.4 Adição e a conexão com a Subtração
O campo conceitual e dentro dele o campo conceitual aditivo de Vergnaud (1990) nos ajuda a repensarmos os
conceitos que envolvem as operações da adição e da subtração, principalmente no contexto dos anos iniciais do
Ensino Fundamental, primeiro acesso aos conhecimentos sistematizados e oferecidos na educação escolar.
Assim, por meio do campo aditivo é possível estabelecer uma análise dos conteúdos conceituais, procedimentais
e atitudinais e propiciar vivências de situações-problemas das operações de adição e subtração a partir da
decomposição de um número em unidades, dezenas, centenas e assim por diante. Para isso, compreender o
sistema de numeração decimal é válido para a efetivação de operações futuras, tornando-as parte da construção
de aprendizagem.
1.4.1 Operações da adição e da subtração segundo o campo conceitual 
aditivo proposto por Vergnaud
As quatro operações básicas foram estudadas por Vergnaud (1990) a partir do desenvolvimento cognitivo ao
desenvolver a Teoria dos Campos Conceituais. Gérard Vergnaud, enquanto discípulo de Jean Piaget, trabalha
especialmente sobre os conteúdos e o contexto escolar e sua proposta consiste em analisar a formação e o
funcionamento dos conhecimentos. Vergnaud retoma, da teoria de Piaget, o conceito de esquema como “[...] uma
organização invariante da atividade para uma classe de situações dadas” (VERGNAUD, 2009, p. 21). Ainda de
acordo com o autor, a teoria dos campos conceituais “[...] é uma teoria cognitivista que visa a fornecer um quadro
coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem de competências
complexas, notadamente das que relevam das ciências e das técnicas” (VERGNAUD, 1990, p. 133). Seguindo por
meio dessa prerrogativa é possível compreender que o conhecimento se constitui e se desenvolve com o tempo
por meio de interações entre o sujeito e suas experiências.
O conhecimento então se desenvolve a partir do universo no qual o sujeito interage e o desencadeamento de
novas situações cognitivas parte de suportes formados anteriormente em outros momentos. Assim,
[...] o estudo do funcionamento cognitivo não pode, portanto, descartar questões relativas ao
desenvolvimento cognitivo. A teoria cognitiva proposta por Vergnaud contempla esse problema,
buscando compor, em um mesmo foco de análise, desenvolvimento e funcionamento cognitivo.
(FRANCHI, 2010, p. 192).
- -17Figura 5 - Adição e subtração compõem o campo aditivo proposto por Vergnaud (1990).
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Vergnaud retoma os princípios de Piaget, porém adota como referência o conteúdo do conhecimento e é por
meio de situações e problemas para se resolver que um conceito adquire sentido para o aprendiz. Moreira
(2002, p. 1) escreve que Vergnaud reconhece a importância da teoria de Piaget, “[...] destacando as idéias de
adaptação, desequilibração e reequilibração como pedras angulares para a investigação em didática das Ciências
e da Matemática.” Ainda de acordo com esse autor, um ganho importantíssimo estudado por Piaget foi o conceito
de esquema. Moreira (2002, p. 02) resume da seguinte forma:
[...] a teoria dos campos conceituais é uma teoria cognitivista neopiagetiana que pretende oferecer
um referencial mais frutífero do que o piagetiano ao estudo do desenvolvimento cognitivo e da
aprendizagem de competências complexas, particularmente aquelas implicadas nas ciências e na
técnica, levando em conta os próprios conteúdos do conhecimento e a análise conceitual de seu
domínio [...] os conceitos-chave da teoria dos campos conceituais são, além do próprio conceito de
campo conceitual, os conceitos de esquema (a grande herança piagetiana de Vergnaud), situação,
invariante operatório (teorema-em-ação ou conceito-em-ação), e a sua concepção de conceito.
Um campo conceitual, no caso, o campo conceitual das estruturas aditivas, para ser entendido é necessário
determinar o que é “conceito” partindo da Teoria dos Campos Conceituais. Para isso existir é preciso considerar
três conjuntos:
S – conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
I – conjunto de invariantes operatórios (objetos, propriedades e relações) que estruturam as formas
de organização da atividade (esquemas) suscetíveis de serem evocados por essas situações;
R – conjunto das representações linguísticas e simbólicas (linguagem natural, gráficos e diagramas,
sentenças formais, etc.) [...] que permitem representar os conceitos e suas relações, e,
consequentemente, as situações e os esquemas que elas evocam (VERGNAUD, 2009, p. 29).
Para Vergnaud (2009), um conceito consiste na terna desses três conjuntos (S, I, R). Assim, o conceito de adição,
por exemplo, não pode ser resumido a certa definição do que é a operação de adição. Logo, é oportuno que o
processo de ensino esteja preocupado com as situações relacionadas, de algum modo, aos conceitos acima
destacados.
Um campo conceitual é, em primeiro lugar, um conjunto de situações. Para esse autor, “[...] o conhecimento está
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Um campo conceitual é, em primeiro lugar, um conjunto de situações. Para esse autor, “[...] o conhecimento está
organizado em campos conceituais, e o domínio, por parte do discente, ocorre ao longo de um largo período de
tempo, através de experiência, maturidade e aprendizagem” (VERGNAUD, 2009, p. 40).
Nos PCN, a conexão do ensino entre adição e subtração baseia-se “[...] no fato de que elas compõem uma mesma
família, ou seja, [que] há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas” (BRASIL, 1997b, p. 21). Os
PCN (BRASIL, 1997) apontam ainda que é possível notar que a aplicação de processos aditivos ou subtrativos
sejam aplicados em uma única situação-problema.
Contudo, nem sempre esse trato foi dado a essa temática, segundo Nunes et al. (2009, p. 37):
Quanto às operações, o trabalho era apoiado nas técnicas operatórias e na simples memorização de
resultados. O conceito de operação e suas propriedades não eram enfatizados. Por exemplo, a ideia
de adição é ensinada de modo independente da ideia de subtração, embora a proposta indique ser
vantajoso memorizar as adições e as subtrações ao mesmo tempo.
Em grande parte, os problemas numéricos eram apresentados nos livros didáticos exclusivamente no final das
unidades, com o intuito de expô-los para a prática da aplicação das técnicas operatórias e sem a preocupação de
justificá-las. Logo, conforme Nunes et al. (2009), a técnica operatória tinha a função de ser apresentada como
objeto de estudo e não como instrumento simbólico de resolução possível de ser empregado em distintas
situações.
Ainda segundo Nunes et al. (2009), foi em meados da década de 1970, no cenário escolar brasileiro, que houve
um olhar voltado para as ideias envolvidas nos conceitos e propriedades das operações. A teoria de Jean Piaget
colabora com essas preocupações sobre o que deve ser ensinado e como esse ensino pode colaborar com
habilidades cognitivas e construção do conhecimento.
Já na década de 1980, novos olhares foram lançados frente ao ensino e à aprendizagem dos diversos conceitos e
um deles foi sobre as operações matemáticas, que passaram então a constituir espaços de discussões nos
espaços acadêmicos bem como nos documentos públicos brasileiros.
É possível destacar que o conceito de número para crianças não é algo tão organizado quanto se pensa,
principalmente para as que recém entraram na escola. Nesse momento, diversos processos mentais estão em
trabalhado em suas mentes e, por isso, é válido entendermos que a inteligência, por ser um processo complexo,
exige mais do que repetição e técnicas de como fazer. Ela exige, certamente, a compreensão sobre o objeto
estudado, o que Piaget (1971) afirma em seus estudos.
Partindo desse entendimento, é importante ressaltar sobre os conteúdos conceituais, procedimentais e
atitudinais. Para isso vamos relembrar sobre as noções iniciais de número e sobre unidades, dezenas, centenas e
assim por diante.
A ordem e a quantidade indicada por um algarismo dependem da posição que ele ocupa no número, por
VOCÊ SABIA?
Se dois números de dois algarismos têm iguais os algarismos das dezenas e se os algarismos
das unidades somam 10, pode-se calcular seu produto instantaneamente. Pense na
multiplicação de 77.73. Você pode responder prontamente que o resultado é 5.621. O “truque”
é: multiplicar o algarismo das dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56, cujos algarismos
serão, nessa ordem, os algarismos dos milhares e das centenas da resposta. Acrescenta-se à
direita de 56 o produto dos algarismos das unidades, 7 x 3 ou 21, obtendo-se 5.621
(MULLIGAN, 2004).
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A ordem e a quantidade indicada por um algarismo dependem da posição que ele ocupa no número, por
exemplo, podemos ter distintos números formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, entre eles o 1234, 4312, 1324,
1423, 2341, entre outras possibilidades. Essa ordem no contexto da matemática é numerada da direita para a
esquerda, conforme o quadro a seguir:
Quadro 2 - Classes das unidades.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Deve ser obedecido o princípio de que 10 unidades formam uma unidade de ordem superior e de que todo
algarismo à esquerda representa uma unidade de ordem superior (10 vezes maior). Por exemplo, no número
356 temos o 6 sendo unidade, o 5 sendo dezena e o 3 sendo centena, podendo ser representado da seguinte
forma: 300 + 50 + 6. Lembrando que a cada 10 unidades forma-se uma dezena e que a cada 10 dezenas forma-se
uma centena. Assim segue a lógica na classe dos milhares, milhões, bilhões, trilhões e as outras classes. O quadro
anterior apresenta até a 5ª classe, mas é importante salientar que como os números são infinitos,
consequentemente, é possível ter infinitas classes.
A questão da ordem é importante para as separações das classes, por exemplo, no número 7777. Da direita para
esquerda, o algarismo 7, nesse exemplo, representa:
• 7 unidades;
• 7 dezenas;
• 7 centenas;
• 7 unidades de milhar.
Kamii e Joseph (1992) defendem a necessidade de que a criança, antes de operar com adição, subtração,
multiplicação e divisão, tenha uma real compreensão acerca do sistema de numeração decimal, pois sem essa
compreensão as operações serão meras técnicas de repetição gerando, nesses casos, vários problemas com a
matemática e até mesmo com outras áreas que se utilizam desta disciplina em sua construçãode aprendizagem.
Nesse sentido, enquanto futuros docentes do ensino de matemática para o público infantil é necessário entender
a importância em expor que todo número natural tem um sucessor (o que vem imediatamente depois) e que
todo número natural (exceto o 0) tem um antecessor (que vem antes). Também é importante salientar que dois
ou mais números naturais são consecutivos quando cada um deles é sucessor do anterior.
Exemplo: O sucessor de 8 é 9.
O sucessor de 0 é 1.
O antecessor de 8 é 7.
O antecessor de 6 é 5.
Os algarismos 70, 71 e 72 são consecutivos.
A adição não precisa e não pode estar desconectada com as outras operações elementares. Nesse sentido, Kamii
e Joseph (1992) colaboram com essa discussão quando alertam que a decomposição de um número em
unidades, dezenas e centenas é muito útil para calcular o resultado de uma adição.
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•
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Figura 6 - Base numérica para o sistema de numeração decimal.
Fonte: Raywoo, Shuttrstock, 2018.
Lembre-se que existem diversas maneiras de calcular com as operações elementares e com a subtração não
diferente. Todavia, a forma utilizada deve ser exposta sempre no intuito de indicar o que está sendo feito e como
está sendo feito, atribuindo significado às operações.
Para crianças que recém ingressaram na escola, por exemplo, é indicado o uso de materiais concretos, como o
“Material Dourado”, a fim de que possam construir lógicas nas operações utilizando, principalmente, as
unidades, as dezenas e as centenas. O material concreto, além de ser importante para a ludicidade, traz objetos
manipulativos pelos quais as crianças têm uma noção real do que realmente estão fazendo com as “continhas”
em seus cadernos. Lembre-se de que adicionar e subtrair é muito mais do que “juntar” e “retirar”.
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Sobre a subtração, o algoritmo mais conhecido para se efetuar a subtração é aquele em que são feitas trocas. 
Conforme Bitttar; Freitas; Pais (2013), “a expressão ‘empresta um’, usada por muitos professores, é inadequada,
pois quando efetuamos a operação não há empréstimos e sim decomposição de dezenas em unidades, centenas
em dezenas e assim por diante”. Os autores fornecem duas formas de efetuar uma subtração:
Veja a seguinte subtração: 425 – 116.
A primeira possibilidade é efetuar a subtração retirando por partes. Retira-se 100 de 425 e temos 325 como
resultado. Seguindo, tira-se 10 e 315 é o resultado. Finalmente devemos retirar 6 unidades, depois é preciso
trocar a dezena por dez unidades, no número 315, e então retiramos as 6 unidades e ficamos com 309:
Na segunda possibilidade, efetuamos a subtração acrescentando partes. Para isso, partimos do 116 até
chegarmos a 425:
Perceba que o ensino das operações não precisa ser apenas de subtração ou adição. As duas operações se
complementam bem como, se alinhadas, podem melhor ser abordadas para o ensino de matemática nos anos
iniciais do Ensino Fundamental.
CASO
Isabel é uma professora que leciona para uma turma do terceiro ano do Ensino Fundamental.
Isabel participou de um curso de extensão oferecido por professores de uma universidade em
sua cidade e um dos objetivos do curso tinha a intenção de expor distintas práticas
pedagógicas em sala de aula por meio da abordagem de algumas teorias do conhecimento,
principalmente, a Teoria Antropológica do Didático (TAD), proposta por Yves Chevallard.
Essa professora, durante sua graduação, já tinha mostrado interesse por assuntos dessa
temática e agora, por meio desse curso, decidiu ler mais sobre o tema. Ela pôde constatar que
por meio desse campo ela poderia analisar seu livro didático com outros olhares e com outras
perspectivas.
Neste sentido, após um estudo sistemático, que compunha uma das etapas do curso de
extensão, Isabel foi percebendo como os conceitos de técnica e tecnologia se faziam presentes
no contexto do livro didático e, ainda, percebeu também que o livro havia sido constituído por
uma ênfase no construtivismo. Foi então que ela compreendeu que sua prática pedagógica
alinhava-se com essa corrente epistemológica.
Essa docente, então, por meio do curso e das discussões realizadas com outros colegas de
profissão e com os professores formadores percebeu que poderia caminhar por outros
caminhos em sua prática enquanto docente, sempre no intuito de produzir um ensino
reflexivo, dialógico e capaz de colaborar com o ensino de matemática.
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Síntese
Concluímos este capítulo relativo ao conhecimento de alguns documentos legais que agem sobre a educação
brasileira e também vimos sobre as operações básicas e como elas podem ser pensadas por meio das teorias dos
campos aditivos de Gérard Vergnaud e da Teoria Antropológica do Didático, de Yves Chevallard.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• compreender que os PCN apresentaram uma proposta inovadora para a educação brasileira, dialogando 
no contexto da matemática com a resolução de problemas, história da matemática, tecnologias da 
informação e jogo;
• perceber que os PCN (1997b), em sua estrutura de conteúdo, é organizado em blocos de conteúdo, 
sendo eles: Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação;
• entender a sistematização de conteúdo como uma fragmentação de um conhecimento produzido 
historicamente;
• identificar que as técnicas intuem outros jeitos de fazer e ensinar matemática;
• aprender que o campo conceitual aditivo envolve a adição e a subtração e que ambas as operações 
devem caminhas juntas;
• verificar que o BNCC (BRASIL, 2018) é um documento atual que estabelece regras a serem cumpridas 
pelas escolas em âmbito nacional e que esse documento contém informações interessantes sobre o 
trabalho com matemática.
Bibliografia
ALMOULOUD, S. A. Teoria Antropológica do Didático: metodologia de análise de materiais didáticos. Revista
, n. 42, p. 9-34, 2015. Disponível em: < >.Iberoamericana de Educação Matemática https://goo.gl/cZDRpL
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BOSCH, M., CHEVALLARD, Y. La sensibilité de l’activité mathématique aux ostensifs. Objet d’étude et
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	Introdução
	1.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos e Base Nacional Comum Curricular (BNCC)
	1.1.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN
	1.1.2 Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos –DCNEF
	1.1.3 Base Nacional Comum Curricular – BNCC
	1.2 Técnicas e tecnologia no trabalho com as operações aritméticas nos anos iniciais do Ensino Fundamental
	1.2.1 O problema didático da sistematização
	1.3 Sobre a técnica, a tecnologia e as quatro operações
	1.3.1 Articulação entre a técnica e a tecnologia para a compreensão dos números e dos conceitos das operações aritméticas
	1.4 Adição e a conexão com a Subtração
	1.4.1 Operações da adição e da subtração segundo o campo conceitual aditivo proposto por Vergnaud
	Síntese
	Bibliografia