Desenvolvimento Cognitivo Leitura e Escrita e Raciocínio LógicoMatemático

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COGNIÇÃO E DESENVOLVIMENTO DA 
LINGUAGEM ORAL E ESCRITA E DO RACIOCÍNIO 
LÓGICO-MATEMÁTICO 
Parte II – Unidades V a VIII 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Juliane Feldmann 
Profa. Edna Barberato Genghini 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FELDMANN, Juliane 
GENGHINI, Edna Barberato 
 
 Cognição e desenvolvimento da Linguagem Oral e Escrita e do 
Raciocínio Lógico-matemático (livro-texto – Parte II – Unidades V a 
VIII) / Juliane Feldmann; Edna Barberato Genghini. – São Paulo: Pós-
Graduação Lato Sensu UNIP, 2019. 
 
141 p. : il. 
 
1. Fundamentos histórico-culturais para o ensino da matemática. 
2. Metodologias para a educação matemática no Brasil. 3.Avaliação 
da Matemática. 4.material manipulativo, concreto para aprendizagem 
matemática. Pós-Graduação Lato Sensu UNIP. III. Cognição e 
desenvolvimento da Linguagem Oral e Escrita e do Raciocínio Lógico-
matemático (livro-texto – Parte II – unidades V a VIII). 
 
 
COGNIÇÃO E DESENVOLVIMENTO DA LINGUAGEM ORAL E ESCRITA E 
DO RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO 
II Parte – Unidades V a VIII 
 
Professora conteudista 
JULIANE FELDMANN Pedagoga pela Universidade Regional de Blumenau -
SC; Psicopedagoga Institucional e Clínica pelo ICPG; Neuropsicopedagoga Clinica 
pelo CENSUPEG; Psicomotricista pela FMU; Coordenadora Pedagógica pela 
Prefeitura Municipal de SBC – SP – 13 anos de atuação como professora em sala de 
aula, com experiência em alfabetização; 12 anos atuando como psicopedagoga clinica 
clínica em consultório próprio; Coordenadora da Equipe Multidisciplinar do espaço 
Integrado; 12 anos ministrando cursos e palestras na área da educação; Docente em 
cursos de pós-graduação; Coordenadora do Curso de Pós Graduação em 
Neuropsicopedagogia Institucional e Clínica pela UNIP; Autora dos Livros: Aprender 
tem que ser Divertido. Ed. CEITEC – esgotado; Trio de Rimas. – Ed. Matrix; 
Pensamento e Emoções – Ed. Matrix; Sentimentos e Pensamentos – Ed. Matrix, 
Exercícios da Gratidão – Ed. Matrix. Autora de Jogos Neuropsicopedagógicos – 
www.neurototem.com.br – Te Conhecendo Melhor (Técnica Projetiva) – Jogo das 
Funções Executivas – Alinhando 3 – Bingo da Ortografia – De Olho nos Monstros – 
Labirinto Psicomotor – Tabuleiros de Percurso – As Pulgas do Gato – Enfeitando o 
bolo, Técnica dos Grampos de Roupa; Técnica das Esponja. 
 
Professora colaboradora/coordenadora: 
EDNA BARBERATO GENGHINI, Professora Universitária desde 2002. 
Atualmente no exercício da função de Coordenadora para todo o Brasil de três cursos 
ao nível de Pós-Graduação Lato Sensu: em PSICOPEDAGOGIA INSTITUCIONAL, 
DOCÊNCIA PARA O ENSINO SUPERIOR e em FORMAÇÃO EM EDUCAÇÃO A 
DISTÂNCIA, pela UNIP – UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP/EaD, onde também 
atua como Professora Adjunta, nas modalidades SEI e SEPI. É Diretora e 
Psicopedagoga da MENTOR ORIENTAÇÃO PSICOPEDAGÓGICA LTDA. ME desde 
1991. Possui graduação em Economia Doméstica – Faculdades Integradas Teresa 
D'Ávila de Santo André (1980), graduação em Pedagogia pela Universidade 
Guarulhos (1985), Pós-graduação em Psicopedagogia pela Universidade São Judas 
(1987), Mestrado em Ciências Humanas pela Universidade Guarulhos (2002) e pós-
graduação Lato Sensu em Formação em Educação a Distância pela UNIP – 
Universidade Paulista (2011). É autora e coautora de livros Textos para os cursos de 
Pós-Graduação Lato Sensu em Psicopedagogia Institucional, Docência para o Ensino 
Superior e Formação em Educação a Distância da UNIP – EaD. Áreas de Interesse: 
Neurociências – Educação Inclusiva – Psicopedagogia Clínica e Institucional – 
Formação e Gestão em Educação a Distância – Formação de Docentes para o Ensino 
Superior. 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 6 
V. FUNDAMENTOS HISTÓRICO-CULTURAIS PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA: POR QUE O PSICOPEDAGOGO PRECISA CONHECER? ....................... 10 
5.1 Uma história muito antiga .................................................................................. 10 
5.2 A História da matemática e a educação matemática ......................................... 10 
5.2.1 A origem dos números ....................................................................................... 11 
5.2.2 A pré-história dos números, uma contagem primitiva ........................................ 11 
5.2.3 As civilizações e seus sistemas de numeração ................................................. 12 
5.2.4 Considerações sobre as visões absolutistas do conhecimento matemático na 
prática pedagógica e sua influência prática psicopedagógica .............................................. 16 
5.2.5 O ensino da matemática – breve histórico ......................................................... 17 
5.2.6 Movimento da Matemática Moderna no Brasil ................................................... 18 
5.3 A História da matemática na formação do professor e do psicopedagogo ......... 20 
VI. METODOLOGIAS PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL ............... 23 
6.1 Pressupostos epistemológicos do pensamento lógico-matemático .................... 23 
6.2 Raciocínio lógico-matemático, segundo Piaget .................................................. 23 
6.3 A importância do conhecimento acerca do desenvolvimento cognitivo .............. 24 
6.4 Planejamento, conteúdo, material didático e avaliação no ensino de matemática 
da educação infantil ............................................................................................................. 25 
6.5 Números e sistema de numeração .................................................................... 27 
6.5.1 A sequência numérica 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .......................................................... 28 
6.5.2 Números e operações ....................................................................................... 31 
6.5.3 Operação com números naturais ....................................................................... 35 
6.5.3.1 Adição ............................................................................................................... 37 
6.5.3.2 Subtração .......................................................................................................... 37 
6.5.3.3 Multiplicação e divisão ....................................................................................... 39 
6.6 Metodologias para o ensino de matemática na educação de jovens e adultos .. 44 
6.7 Números racionais ............................................................................................. 46 
6.7.1 Fração ............................................................................................................... 47 
6.8 Tratamento da informação ................................................................................. 50 
6.9 Geometria, grandezas e medidas ...................................................................... 51 
6.10 Espaço e forma ................................................................................................. 55 
6.11 Metodologias para o ensino de matemática utilizando jogos ............................. 58 
6.11.1 Torre de Hanói ................................................................................................... 58 
6.11.2 Jogo de xadrez .................................................................................................. 60 
VII. AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA E AVALIAÇÃO PSICOPEDAGÓGICA .............. 65 
 
 
7.1 A avaliação psicopedagógica ............................................................................ 66 
7.2 Provas do diagnóstico operatório ....................................................................... 69 
7.3 Aplicação das provas operatórias ...................................................................... 71 
7.3.1 Prova de classificação .......................................................................................74 
7.3.2 Prova de intersecção de classes ....................................................................... 76 
7.3.3 Prova de inclusão de classes ............................................................................ 77 
7.3.4 Prova de seriação de palitos .............................................................................. 78 
7.3.5 Prova de conservação ....................................................................................... 80 
7.3.6 Prova de conservação de superfície .................................................................. 81 
7.3.7 Prova de conservação de líquido ....................................................................... 84 
7.3.8 Prova de conservação de matéria ..................................................................... 86 
VIII. MATERIAIS MANIPULATIVOS, CONCRETOS PARA APRENDIZAGEM 
MATEMÁTICA ................................................................................................................... 115 
8.1 O lúdico como motivação nas aulas de Matemática ........................................ 117 
8.2 Materiais para intervenção psicopedagógica nas dificuldades de aprendizagem, 
raciocínio lógico e matemática ........................................................................................... 118 
 
 
 
6 
INTRODUÇÃO 
 
Caro(a) aluno(a): 
 
A disciplina Cognição e Desenvolvimento da Linguagem Oral e Escrita e do 
Raciocínio Lógico-Matemático (Parte II – unidades V a VIII) tem como foco o estudo 
das questões educacionais relacionadas à aquisição dos elementos matemáticos 
necessários para a formação do psicopedagogo institucional, esteja ele trabalhando 
nas escolas, empresas, ONGs, órgão governamentais, em clínicas e consultórios 
particulares ou em quaisquer outras instâncias onde o foco seja a aprendizagem de 
crianças, adolescentes e/ou adultos. 
As unidades estão organizadas de forma a permitir a revisão, complementação 
e atualização dos conhecimentos acerca das principais teorias de ensino-
aprendizagem relacionados ao pensamento lógico-matemático dentro do contexto 
histórico, como se apresentam as metodologias usadas ao longo do tempo e, o que é 
mais significativo para nós: como avaliar a matemática de forma processual e não 
como apenas um resultado numérico. Veremos quais devem ser as posturas do 
psicopedagogo frente aos desafios e mitos que envolvem o conhecimento da 
matemática, o cumprimento de regras e conhecer os materiais que facilitam as 
interações bem como as intervenções psicopedagógicas para oportunizar melhores 
ferramentas para a aprendizagem matemática. 
O objetivo desse livro-texto dos cursos de pós-graduação em Psicopedagogia 
e Neurociências e Psicopedagogia Institucional da UNIP EaD é ajudá-lo(a) a 
compreender as etapas do desenvolvimento cognitivo no que se refere às questões 
lógico-matemáticas e das questões educacionais relacionadas à aquisição dos 
elementos matemáticos necessários para a formação do psicopedagogo institucional, 
esteja ele trabalhando nas escolas, empresas, ONGs, órgãos governamentais, em 
clínicas e consultórios particulares ou em quaisquer outras instâncias onde o foco seja 
a aprendizagem de crianças, adolescentes e/ou adultos. 
O material que agora você tem em seu poder está dividido em quatro unidades 
didáticas distintas, porém complementares. Cada uma delas apresenta uma 
particularidade do tema e foi organizada tendo em vista facilitar seu percurso dentro 
da temática cognição e desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático. 
 
 
7 
Veja como estão organizadas: 
 
Unidade V – FUNDAMENTOS HISTÓRICO-CULTURAIS PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA: Por que o psicopedagogo precisa conhecer? Como os povos 
primitivos contavam? A concepção de números abstratos. As civilizações e seus 
sistemas de numeração. O que dizem os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) 
sobre o ensino de matemática. A presença da matemática no dia a dia (visão 
platonista, visão formalista e visão intuicionista). Movimento da Matemática Moderna 
no Brasil. 
Unidade VI – METODOLOGIAS PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL 
Planejamento, conteúdos, material didático e avaliação no ensino de matemática da 
educação infantil. Números e sistema de numeração. Números e operações. 
Operação com números naturais. Metodologias para o ensino de matemática na 
Educação de Jovens e Adultos. Metodologia utilizando jogos. Números racionais. 
Tratamento da informação. Geometria, grandezas e medidas. Espaço e forma. 
Unidade VII – AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA E AVALIAÇÃO 
PSICOPEDAGÓGICA. O que alcançar na educação infantil. Provas do diagnóstico 
operatório. Prova de aritmética. Teste do desempenho escolar. Coruja Promat. Coruja 
Especialista. Protocolo de avaliação de habilidades cognitivo-linguísticas. Provinha 
Brasil. Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB). Teste simples de 
discalculia. Discalculia. 
Unidade VIII – MATERIAIS MANIPULATIVOS, CONCRETOS PARA 
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA. Como se aprende matemática? O lúdico como 
motivação nas aulas de matemática. Os materiais. 
 
Para estudar todos os temas indicados, os objetivos específicos da disciplina 
são: 
1) Ampliar a competência do psicopedagogo acerca das questões 
relacionadas à cognição e desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático nas 
diferentes etapas da aprendizagem desde a primeira infância (conhecimentos 
informais), na fase pré-escolar e no ensino fundamental, propiciando ao 
psicopedagogo um contexto de discussão teórico-prática que o auxilie no trabalho 
preventivo e proativo sobre os conhecimentos relacionados ao entendimento de como 
se desenvolvem o senso numérico e as atividades de contagem, bem como os 
cálculos, ao desenvolvimento do raciocínio lógico e do raciocínio abstrato/espacial em 
ambiente escolar; 
2) Construir conceitos sobre o desenvolvimento do raciocínio lógico em 
diferentes etapas do desenvolvimento, desde os conceitos concretos até os mais 
abstratos para que o psicopedagogo possa entender como intervir de forma mais 
eficiente em relação à matemática na abordagem sociointeracionista de ensino-
aprendizagem; 
3) Construir conceitos sobre a gênese e o desenvolvimento do raciocínio 
lógico em crianças, adolescentes e adultos, a partir do conhecimento da História e da 
evolução da matemática, compreendendo seus aspectos para inter-relacionar esses 
conhecimentos às neurociências e disciplinas afins; 
 
8 
4) Estudar a função do psicopedagogo enquanto educador matemático, 
como mediador entre o conhecimento adquirido socialmente pela criança e o 
conhecimento escolar, estimulando o avanço intelectual do aluno, na apropriação da 
linguagem matemática – do concreto ao abstrato, por meio da experiência com 
atividades significativas e com efetivas estimulações aos campos da contagem, 
cálculos e geometria que se fizerem necessárias; 
5) Vivenciar situações lúdicas, por meio de materiais manipulativos 
conceituais, jogos de estratégia, geométricos e numéricos e brincadeiras que 
provoquem a reflexão sobre a prática psicopedagógica, com vistas à autonomia na 
elaboração de projetos de trabalho produtivos, que fertilizem o perfil cidadão do 
educando, no interior das práticas sociais. 
6) Entender o caráter coletivo, dinâmico e processual da produção do 
conhecimento lógico-matemático, que ocorre de acordo com as necessidades e 
anseios dos sujeitos; 
7) Perceber a matemática como uma forma de expressão, isto é, como uma 
linguagem que é produzida e utilizada socialmente como representação do real e da 
multiplicidade de fenômenos propostos pela realidade, partindo das experiências 
vividas pela criança para atingir níveis mais complexos de abstração. 
8) Ampliar a competência do psicopedagogo institucional em relação às 
questões relacionadas ao conhecimento lógico-matemático e das neurociências, 
propiciando a ele um contexto de discussão teórico-prática que o auxilie no trabalho 
preventivo e proativo sobre os conhecimentos dos atendidos (aluno e/ou instituição);9) Alinhavar os conhecimentos acerca dos processos neuropsicológicos de 
aquisição do raciocínio lógico-matemático, com a práxis da sala de aula, de forma a 
capacitar o psicopedagogo institucional a atuar preventiva e proativamente nas 
dificuldades de aprendizagem. 
 
Reforçando o já dito, esses conteúdos serão abordados em quatro unidades de 
ensino, assim distribuídas: 
Unidade V: Fundamentos histórico-culturais para o ensino da matemática: Por 
que o psicopedagogo precisa conhecer? 
Unidade VI: Metodologias para a educação matemática no Brasil. 
Unidade VII: Avaliação da matemática e avaliação psicopedagógica. 
Unidade VIII: Materiais manipulativos, concretos para aprendizagem 
matemática. 
 
A Unidade V, Fundamentos Histórico-culturais para o ensino da 
matemática: por que o psicopedagogo precisa conhecer? Tem como objetivo 
geral apresentar a você, aluno(a), a corrente de pensamento histórico-cultural que 
entende a matemática como um conhecimento produzido e sistematizado pela 
humanidade, portanto histórico, com o propósito de interpretar, interagir e transformar 
a realidade. 
Na Unidade VI, Metodologias para a educação matemática no Brasil, 
veremos as principais metodologias para o ensino da matemática, capacitar o 
 
9 
psicopedagogo institucional a atuar preventiva e proativamente nas dificuldades de 
aprendizagem relacionadas ao processo de formação do pensamento e aquisição da 
linguagem lógico-matemática, oportunizando espaços de reflexão sobre o ensino e a 
aprendizagem da matemática e incentivando a formação contínua por meio da 
articulação dos conteúdos curriculares, sua organização, avaliação, bem como das 
metodologias adequadas ao processo ensino e aprendizagem na educação no Brasil, 
desde a Educação Infantil ao tratamento didático diferenciado no trabalho 
psicopedagógico na Educação de Jovens e Adultos. 
A Unidade VII, intitulada Avaliação da matemática tem como objetivo 
principal conhecer quais os principais instrumentos qualitativos e quantitativos 
utilizados para avaliação da matemática. Nessa unidade, iremos aprender como 
avaliar as competências necessárias para aprendizagem da matemática, entender as 
dificuldades, os fatores que dificultam a aprendizagem da matemática. 
Mediante aplicação desse conhecimento, busca-se, também, somar os 
conteúdos propostos na Unidade VIII – Material manipulativo, concreto para 
aprendizagem matemática. 
Lembramos a você, caro(a) aluno(a), que os conhecimentos não se esgotam 
com os assuntos aqui abordados e esperamos que você complemente seus estudos 
acessando as bibliografias recomendadas, bem como possa ampliar suas práxis por 
meio da vivência com os jogos e atividades lúdicas. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
10 
V. FUNDAMENTOS HISTÓRICO-CULTURAIS PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA: por que o psicopedagogo precisa conhecer? 
 
Como dissemos na introdução, vamos apresentar a você, aluno(a), a corrente 
de pensamento histórico-cultural que entende a matemática como um conhecimento 
produzido e sistematizado pela humanidade, portanto histórico, com o propósito de 
interpretar, interagir e transformar a realidade. 
Entender a origem desse conhecimento é fundamental para que possamos 
atuar como psicopedagogos frente às dificuldades de aprendizagem individuais e/ou 
coletivas de nossos clientes desde a educação infantil ao ensino superior em 
quaisquer instâncias onde sejam exigidos conhecimentos lógico-matemáticos, seja 
em ambientes institucionais ou ambientes restritos como clínicas e consultórios. 
 
5.1 Uma história muito antiga 
 
Há muito, o pastor soltava suas ovelhas no pasto. Para saber quantas ovelhas tinha, 
ele fazia o seguinte: a cada ovelha do seu rebanho ele associava uma pedrinha e a 
guardava num saquinho. 
Quando ia recolher o rebanho, retirava uma pedrinha do saco para cada ovelha que 
encontrava. Assim, cada pedrinha retirada correspondia a uma ovelha. No final da 
contagem, se sobrasse pedrinha no saquinho, era porque alguma ovelha havia se 
extraviado. 
Foi assim que o homem aprendeu a contar: comparando quantidades. De um lado, 
a quantidade de pedrinhas, do outro, a quantidade de ovelhas. 
Contudo, para comparar, o homem usava principalmente o dedo das mãos. Surgiu 
daí a ideia comum aos dois conjuntos que ele comparava: o número. E ainda fazia marcas 
em pedaços de pau ou ossos. O registro mais antigo de que o homem primitivo já usava 
objetos para registrar quantidades é um osso com 29 entalhes feitos em uma fíbula (ou 
perônio) de um babuíno. É o osso de Lebombo, descoberto nos montes Libombos, na 
Suazilândia, e datado de aproximadamente 35.000 anos a.C. 
Poucos desses registros existem até hoje. Na antiga Tchecoslováquia foi 
encontrado um osso com 55 incisões profundas. Estavam dispostas em duas séries, uma 
com 25 incisões e outra com 30, e, em cada série, os riscos estavam dispostos em grupos 
de cinco. Isso há mais de 30 mil anos! 
Mas os homens não usavam apenas pedrinhas em contagens: eles também 
registravam números fazendo nós em cordas e por meio de outros objetos. Vamos 
conhecê-los? 
 
5.2 A História da matemática e a educação matemática 
 
Vamos conhecer um pouco da História da matemática para que possamos passar, 
com naturalidade, que a mesma está presente em nossas vidas desde os tempos remotos 
e, com isso, termos a tranquilidade de atuarmos junto aos nossos clientes, professores e 
 
11 
coordenadores escolares, desmistificando o “bicho papão” dessa disciplina tão importante 
para o desenvolvimento da humanidade. 
 
5.2.1 A origem dos números 
 
Para descobrirmos a origem dos números, é necessário conhecermos um pouco da 
História da humanidade. 
O uso dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) nos parece tão comum que quase 
consideramos seu aprendizado como sendo uma condição inata do ser humano, assim 
como são o ato de falar e de andar. 
Alguns historiadores, como Georges Ifrah (1998), são auxiliados por diversas 
descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o 
estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos 
desde o princípio dos tempos. 
Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números. Entretanto, o que 
se pretende discutir é a importância dos números, qual é sua função, sua necessidade na 
nossa vida. Não se pode datar o exato aparecimento da matemática, mas sabe-se que 
suas noções básicas são a escrita, pois a linguagem de sinais é bem mais fácil de ser 
compreendida do que a construção de frases bem moduladas que expressem ideias e que 
são comuns no dia de hoje. 
A base cognitiva para a construção da ideia de número, historicamente, é definida 
pela necessidade de registrar quantidades de objetos concretos e não pela 
necessidade/finalidade de facilitar o desenvolvimento abstrato da aritmética. 
 
5.2.2 A pré-história dos números, uma contagem primitiva 
 
Onde e quando essa aventura começou? Na Ásia, na Europa ou na África? Na 
época do homem Cro-Magnon, há 30 mil anos? Ou na época do homem de Neandertal? 
Não sabemos. O que temos como certeza é que houve um tempo em que o ser humano 
não sabia contar. Atualmente, ainda existem homens incapazes de conceber qualquer 
número abstrato e que não sabem nem que dois e dois agrupam-se em quatro. Um 
exemplo disso são as inúmeras hordas primitivas, tais como: o caso dos zulus e dos 
pigmeus na África, dos arandae e dos kamilarai, da Austrália, segundo Eves (2004). 
Fontes (1969, p. 2) afirma ainda que “como o incremento cultural não é dotado de 
aceleração uniforme, nem tampouco é sistematicamente orientado em um único sentido, 
os povos se apresentam em várias fases ou ciclos culturais”. 
O molde cognitivo implícito nessas representações caracteriza a marca humana 
presente na estratégia de criação do sentido numérico, relacionando os aspectos reais e 
imaginários que se entrelaçam na mente humana para manifestar o pensamento numérico. 
As investigações (arqueológicas, antropológicase históricas) realizadas em 
diversas regiões do planeta têm mostrado que a sociedade humana se vale dos algarismos 
há 6000 anos. Sua história constitui-se em uma história universal a qual, mesmo 
descontínua e não linear, possui inúmeros fragmentos socioculturais que evidenciam o 
 
12 
movimento cognitivo para o qual convergiram os sistemas de numeração, construídos e 
utilizados pela humanidade em todo o planeta. 
 
5.2.3 As civilizações e seus sistemas de numeração 
 
Os sumérios, suposto povo que habitava uma região que hoje corresponde ao 
Iraque, registravam suas informações contábeis sobre placas de argila. Essa escrita foi de 
forma cuneiforme, ou seja, com uma grafia angulosa, feita com instrumento pontiagudo. 
De acordo com os estudos realizados, alguns historiadores chegaram à conclusão de que 
o sistema de numeração deles era aditivo e sexagesimal, ou seja, realizado na base 60, o 
que contribui até os dias de hoje na contagem do nosso tempo cronológico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: MENDES, Iran Abreu. Números – O Simbólico e o Racional Na História. 
 
O sistema de numeração hieroglífico, adotado pelos egípcios, era baseado no 
número 10, ou seja, depois da nona unidade, organizava-se a classe decimal superior 
(depois de nove 1, vem o 10; depois de nove números 10, vem o 100 e assim por diante, 
seu sistema era aditivo, admitindo sinais diferentes para unidade, dezena e centena. 
 
 
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Fonte: MENDES, Iran Abreu. Números – O Simbólico e o Racional Na História 
 
De acordo com as informações encontradas em Furon et al (1959, p. 144), o 
sistema hebraico de numeração tem sua explicação histórica na Bíblia, visto que esta 
parece ser a única fonte desse povo. Esse sistema era decimal e sexagesimal, vindo do 
hábito de processar a contagem com os dedos das mãos. Em hebraico, o nome das 
dezenas, de trinta a noventa, é o plural de três a nove. 
Os chineses na antiguidade definiam sua matemática como a “arte do cálculo” 
(suanshu), que consistia num vasto conjunto de práticas e correntes que se desenvolveram 
na China até 1911. Após essa data, ela se ocidentalizou e o saber matemático chinês 
tradicional tornou-se quase impenetrável para os que não tinham uma formação clássica. 
A língua chinesa possui termos silábicos para designar os dez primeiros números e as 
primeiras potências de 10, 100, 1000 e 10000. 
 
 
 
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Fonte: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/numeracao-chinesa.htm 
 
Os antigos povos peruanos se utilizavam do sistema de contagem código quipu, 
um sistema de base decimal, organizado através de nós, distribuído sistematicamente, em 
casas decimais em linhas verticais, sendo que a ordem das casas decimais decrescia de 
cima para baixo de acordo com o número representado. 
Os nossos atuais números indo-arábicos se constituem com este nome devido a 
sua origem na Índia e sua popularização através da expansão realizada pelos árabes. 
Os números foram criados do 1 ao 9 e somente após foi aceito o número zero, para 
representar a ausência de quantidades no sistema decimal. Acredita-se que foi criado 
pelos babilônios. 
 
 
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Fonte: MENDES, Iran Abreu. Números – O Simbólico e o Racional Na História 
 
O fato é que a matemática está presente em nosso dia a dia de tal forma que não 
podemos, não devemos e, certamente, não queremos nos distanciar dela. As funções mais 
rotineiras de nossa vida têm sido realizadas por computadores: desde uma conta, até o 
controle de nosso dinheiro no banco, nosso pagamento de salário, e muitas outras 
atividades são controladas por máquinas que são, por sua vez, apoiadas na matemática. 
Nossa vida depende da matemática! 
Veja os exemplos das máquinas das UTIs hospitalares, dos equipamentos de 
tomografia e ressonância magnética, dos gráficos e curvas em exames de análise clínica, 
eletrocardio ou eletroencefalogramas, entre outros. 
Existe uma tendência cada vez mais crescente da “matematização” do mundo. 
Parece mesmo ser de senso comum que todo e qualquer problema cotidiano possa ser 
equacionado. Ou seja, será que tudo na nossa vida pode ser expresso como ax + by = c 
ou outra equação ou inequação qualquer? 
E, voltando ao assunto, de onde vêm os a, b, c, x e y? Quem os inventou e por quê? 
Os documentos históricos encontrados pela arqueologia que fornecem um pouco 
de informação a respeito das origens da matemática começam com os egípcios. 
Costumava-se definir a matemática como a ciência do número e grandeza. Isso já não é 
válido, pois certamente a matemática é muito mais do que números e grandezas. Hoje, a 
matemática que conhecemos é intelectualmente sofisticada. 
Entretanto, desde os primeiros tempos da raça humana, os conceitos de número, 
grandeza e forma ocupam a mente e formam a base do raciocínio matemático. 
 
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Originalmente, a matemática preocupava-se com o mundo que nos é perceptível aos 
olhos, como parte da vida cotidiana do homem. Pode-se, inclusive, tentar relacionar a 
persistência da raça humana no mundo com o desenvolvimento matemático, se 
assumirmos válido o princípio da “sobrevivência do mais apto”. 
No princípio, as relações de grandeza estavam relacionadas mais com contrastes 
do que com semelhanças: a diferença entre um animal e outro, os diferentes tamanhos de 
um peixe, a forma redonda da lua e a retilínea de um pinheiro. Acredita-se que o conjunto 
dessas informações imprecisas deve ter dado origem a pensamentos de analogias e aí 
começou a nascer a matemática. 
Da percepção das duas mãos, das duas orelhas, das duas narinas, à propriedade 
abstrata que chamamos número, foi um grande passo no caminho para a matemática 
moderna. 
 
5.2.4 Considerações sobre as visões absolutistas do conhecimento 
matemático na prática pedagógica e sua influência prática psicopedagógica 
 
Embora as correntes filosóficas absolutistas (racionalismo, logicismo, intuicionismo) 
tivessem bases filosóficas diferentes, é possível destacar em comum entre elas a 
consideração do conhecimento matemático como absoluto, verdadeiro, e como objeto puro 
da razão (logicismo e racionalismo) ou da intuição (intuicionismo). 
Na prática pedagógica, a visão platonista se manifesta por meio da apresentação 
dos objetos ideais e as relações verdadeiras que existem entre eles. Nesse caso, aos 
alunos cabe compreender tais objetos e proposições, ou seja: essa perspectiva supõe uma 
sala de aula na qual os alunos assumem uma postura passiva, diante de aulas expositivas 
durante as quais os conhecimentos matemáticos são expostos como verdades 
incontestáveis. 
Por outro lado, a visão formalista pode ser observada quando o professor parte de 
um exemplo familiar para os alunos e procura abstrair dali os conteúdos matemáticos para 
sistematizá-los. A organização do currículo de forma linear, cada conteúdo precedido de 
seus pré-requisitos, também mostra essa influência, assim como o trabalho com ênfase 
em aplicações de fórmulas e repetição de procedimentos. 
Essa visão reforça a ideia de que a matemática é um corpo separado da realidade 
(física), mas que pode ser a ela aplicada. O distanciamento pode dificultar a apreensão 
dos conceitos matemáticos pelos alunos, pois estes, geralmente, não sentem a 
necessidade de grande parte dos conhecimentos apresentados (excessivamente formais) 
em sua vida. 
A visão intuicionista da matemática está presente na sala de aula quando o 
professor apresenta o conhecimento como fruto de inspirações de alguns poucos gênios 
das ciências, fato este que pode contribuir para reforçar uma crença de que a matemática 
é um conhecimento inatingível para as pessoas comuns por apresentar demasiada 
complexidade. Essa crença tem, ao longo dos anos, afastado muitos alunos da escola e, 
portanto, da possibilidade de ter um contato com o conhecimento matemático produzido 
pela humanidade. 
Uma dasatitudes que fazem com que alguns pensem que não conseguem pensar 
matematicamente vem também da questão cultural, pois antigamente o ensino da área de 
 
17 
exatas, além de não ser permitido a todos, inclusive às mulheres, limitava-se a uma 
pequena parte da burguesia. 
 
5.2.5 O ensino da matemática – breve histórico 
 
O ensino da matemática foi influenciado, em diversos momentos, por movimentos 
educacionais com o intuito de adequar a prática pedagógica às concepções predominantes 
em cada época. 
Nas décadas de 1960 e 1970, o ensino sofreu forte influência do Movimento da 
Matemática Moderna, sendo que no Brasil essa influência também predominou. Esse 
movimento tinha como foco a formação do pensamento científico e tecnológico, com o 
propósito de modernizar o ensino da matemática. 
As principais características do Movimento da Matemática Moderna foram: o 
pensamento axiomático, maior grau de generalização, alto grau de abstração, maior rigor 
lógico, uso de vocábulos contemporâneos, precisão da linguagem, método dedutivo e a 
forte influência do estruturalismo (NOVAES et al., 2008). 
Nessa perspectiva, a matemática é compreendida a partir das estruturas lógicas e 
formais, em que a linguagem matemática tem papel fundamental, aproximando a 
“matemática escolar” da “matemática pura”. Essa visão se manifestava na organização 
escolar, nos materiais didáticos e nas ações pedagógicas. 
 
Desse modo, a matemática a ser ensinada era aquela concebida como lógica, 
compreendida a partir das estruturas e que conferia um papel fundamental à 
linguagem matemática (BRASIL, 1998). 
 
Contudo, o excesso de abstração inerente à própria matemática, bem como o uso 
da linguagem simbólica comprometeram o ensino, o que desencadeou preocupações com 
a didática da matemática e, consequentemente, intensificaram as pesquisas nessa área, 
na busca de resolver as deficiências do processo de ensino da disciplina. 
Já na década de 1980, alguns grupos discutiam as questões de ensino e 
aprendizagem da matemática e sugeriam alternativas para as deficiências observadas na 
prática pedagógica, na perspectiva da matemática moderna. Nessa época, um grupo de 
professores americanos, o National Council of Teachers of Mathematics (NTCM), 
apresentou um documento chamado Agenda para ação, o qual chamava a atenção para 
os aspectos sociais, antropológicos e linguísticos na aprendizagem da matemática e 
destacava a resolução de problemas como forma de implementação dos conceitos dessa 
ciência. 
O documento americano influenciou propostas de ensino em todo o mundo. No 
Brasil, na década de 1990, foi elaborado um documento com a intenção de subsidiar a 
prática pedagógica, os Parâmetros Curriculares Nacionais, ou PCNs. 
 
 
 
18 
5.2.6 Movimento da Matemática Moderna no Brasil 
 
O surgimento do Movimento da Escola Nova veio juntamente com novas correntes 
educacionais surgidas no final do século XIX, na Europa e nos Estados Unidos, que 
começou a produzir reflexos no ensino primário brasileiro a partir da década de 1920. No 
Brasil, ficou conhecido como Reforma Francisco Campos versus Reforma Gustavo 
Capanema. 
As reformas que começaram a ocorrer em vários Estados, tentando colocar em 
prática as novas ideias, trouxeram a criação de publicações de livros com as novas 
correntes educacionais, com uma ampla discussão sobre as questões pedagógicas, 
fazendo surgir a Associação Brasileira de Educação, em 1924. Esse fato desencadeou o 
Movimento da Renovação da Educação Brasileira. 
Tais princípios geraram uma mudança radical no ensino das séries iniciais, em 
particular no de matemática. De uma “Matemática do Quadro-Negro”, emprestando uma 
expressão usada por Irene de Albuquerque, passaríamos a uma “Matemática de Atividade” 
(MIGUEL; VILELLA, 2008). 
As ideias modernizadoras começaram a penetrar no ensino de matemática na 
escola brasileira em nível secundário, a partir de 1928, com a proposta do Internato Colégio 
Pedro II. Essa ideia fora introduzida por Euclides Roxo, professor catedrático de 
matemática do Internato Colégio Pedro II e o maior responsável pela elaboração da 
proposta modernizadora brasileira. 
Apesar de Euclides Roxo afirmar que sua intenção era apenas apresentar outras 
ideias e opiniões sobre as questões mais relevantes acerca do ensino de matemática e 
que o livro que publicara (Matemática na escola secundária, 1937) não continha nenhuma 
ideia original, nenhum ponto de vista pessoal, a sua posição em defesa da modernização 
era transparente, claramente vista nas páginas de seu livro e percebida por sua atuação 
como professor e diretor no Internato Colégio Pedro II, naquela época (1930/1945). 
O fato, no entanto, só se deu com a reforma que Francisco Campos apresentaria 
posteriormente para a escola secundária (inicialmente), através do decreto n.º 19.890 de 
18 de abril de 1931 e depois consolidada pelo decreto n.º 21.241 de 4 de abril de 1932. 
Francisco Campos era o Primeiro Ministro do recém-criado Ministério da Educação 
e Saúde Pública (1930-1936) no início da era Vargas (1930-1945), que havia remodelado 
o ensino primário e normal de Minas Gerais, de acordo com as ideias do Movimento 
Renovador da Educação, acatando em sua reforma todas as ideias consagradas na 
proposta da Congregação do Colégio Pedro II, em relação ao ensino de matemática. A 
princípio, as ideias iniciais da reforma foram implantadas oficialmente em todas as escolas 
secundárias brasileiras. 
Francisco Campos havia dividido o curso secundário em dois ciclos (de cinco e dois 
anos): o primeiro fundamental e o segundo complementar, o último com orientação para 
as diversas opções de carreira universitária. Com essa lei de 1931, as universidades 
passaram a ter uma grande influência, com uma nova orientação de trabalho voltada para 
a pesquisa, a difusão cultural e com maior autonomia administrativa e pedagógica. 
Durante essa implantação, havia no cenário político um nome forte e de interesse 
do governo de Getúlio Vargas (1937-1945): Gustavo Capanema que, como Ministro da 
Educação, em 1939, retoma os trabalhos sobre o ensino secundário e começa a organizar 
as informações para uma futura reforma no ensino do curso secundário. 
 
19 
Esse estudo foi elaborado por uma comissão que tinha um relator: Euclides Roxo. 
Novamente, Euclides Roxo se faz presente no âmbito das discussões sobre a educação 
brasileira. Em 4 de abril de 1942, Gustavo Capanema promulga a Lei Orgânica do Ensino 
Secundário. Inicia-se, então, a implantação do programa para a reforma. Não podemos 
deixar de afirmar que Euclides Roxo foi o “pai” dessa reforma, pois lutou bravamente desde 
a década de 1920 até o início dos anos 1940, do século XX, tentando levar em frente todas 
as ideias e suas propostas. 
A nova escola secundária se tornaria aquela em que o Ministro Gustavo Capanema 
deixaria sua marca mais profunda e com mudanças duradouras. Segundo a proposta do 
ministro, a escola secundária passaria a ser dividida econômica e socialmente para o 
trabalho. Com essa mudança, que para a época foi bem marcante, a escola foi dividida em 
educação superior, educação secundária, educação primária, educação profissional e 
educação feminina, ou seja: uma educação destinada à elite da elite; outra educação para 
a elite urbana; outra para jovens da população que seriam a grande massa necessária de 
trabalhadores para a utilização da riqueza potencial da nação, e outra ainda, somente para 
mulheres. 
A educação teria como grande dever estar a serviço da nação, com grande ênfase 
na educação moral e cívica, já que por ela se forma o caráter de uma nação, cidadãos que 
teriam ressaltadas as grandes virtudes que interessariam ao governo, ou seja: a disciplina, 
o sentimento de dever, a resignação nas adversidades nacionais, a presteza na nação e a 
exaltação patriótica. 
Esse momento da História do nosso país foi conhecido por Reforma Capanema, 
Tempos de Capanema e Estado Novo. 
 
 
Números – O simbólico e o racionalna História. Nesse livro, o autor reorganiza a 
história de como os humanos, por necessidade, inventaram e desenvolveram métodos 
para contar, ordenar e quantificar. 
MENDES, Iran Abreu. Números – O simbólico e o racional na História. São Paulo, Ed. 
Livraria da Física, 2006. 
 
Como vimos até o presente momento, a História da matemática tem sido apontada 
como um recurso didático importante para a melhoria do ensino da disciplina. Documentos 
oficiais, como os PCNs e as Orientações Curriculares partilham dessa visão, destacando 
a importância da abordagem no processo de ensino e aprendizagem, para explicitar a 
dinâmica da produção histórica e social do conhecimento matemático, além de considerar 
que essa forma de trabalho pedagógico pode ser um aliado importante para a atribuição 
de significados aos conceitos matemáticos. 
Ao se conhecer a História da matemática, pode-se aprender que essa disciplina 
veio para resolver situações-problema e não criá-las, que todo conhecimento ou conceitos 
descobertos nesta área são resultados de investigação, observação das regularidades 
 
20 
existentes e que servem para chegar de fato a uma resolução e que a matemática e suas 
regras não foram criadas meramente para cálculos de difícil resolução. 
Essa forma de implementação dos conceitos matemáticos tem suporte no 
Positivismo de Comte (1798-1857), o qual: 
 
[…] via a abordagem história da Matemática como uma forma de proporcionar uma 
visão conjunta do progresso desta ciência e de apresentar os conceitos em um grau 
crescente de complexidade, da mesma forma como esta se desenvolveu na 
evolução da humanidade” (MOTTA, 2006). 
 
A matemática, nessa perspectiva, é considerada a primeira ciência a atingir o 
estado “positivo” em função de suas leis terem aplicação universal, o que a torna o ponto 
de partida para a educação científica. 
Motta (2006) verifica essa visão também na perspectiva de Piaget (1983), que 
defende: 
 
Para aprender Matemática, o sujeito teria que reconstruir as mesmas operações 
cognitivas que marcaram a construção histórica dos objetos matemáticos. O 
recurso à História da Matemática se apresentaria como uma opção para a busca 
de conflitos cognitivos que possibilitassem a passagem de uma etapa da 
construção do conhecimento para outra (MOTTA, 2006). 
 
Assim, aos sujeitos só restaria a oportunidade de se apropriar do conhecimento 
matemático já estruturado, refazendo os mesmos caminhos de seus criadores, 
ultrapassando as mesmas dificuldades que eles encontraram, o que levaria a criança a 
passar de um estágio cognitivo para outro. 
Conforme Motta (2006), essa perspectiva é partilhada por Bachelard (1884-1962) 
em seu livro A formação do espírito científico, de 1938, no qual apresenta a noção de 
obstáculo epistemológico, conceito posteriormente ampliado e introduzido na didática da 
matemática por Brousseau (MOTTA, 2006), para quem a História da matemática permitiria 
identificar os obstáculos epistemológicos superados na construção histórica de um 
conceito e os transformar em situações-problema que permitissem a reconstrução do 
conhecimento matemático. 
 
5.3 A História da matemática na formação do professor e do 
psicopedagogo 
 
A História da matemática tem sido considerada um meio importante para a 
formação do professor, já que pode contribuir de diversas formas para esse fim. Soares 
(2004) entende que o conhecimento do processo de desenvolvimento dessa ciência pode 
fazer com que o professor alcance uma visão ampla da matemática, proporcionando-lhe a 
abertura de muitas perspectivas no que se refere ao “fazer pedagógico”. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais apresentam algumas considerações acerca 
das contribuições da História da matemática na formação do professor: 
 
21 
 Para que tenham elementos que lhes permitam mostrar aos alunos a 
matemática como ciência que não trata de verdades eternas, infalíveis e imutáveis, mas 
como ciência dinâmica, aberta à incorporação de novos conhecimentos; 
 Ressalta utilidade da História da matemática no sentido de que o conhecimento 
dos obstáculos envolvidos no processo de construção dos conceitos pode ajudar o 
professor a desenvolver estratégias para que os alunos superem suas dificuldades; 
 Para explicitar a dinâmica da produção histórica e social do conhecimento 
matemático, de modo que se caminhe para a superação da crença de que a matemática 
é um conhecimento produzido exclusivamente por alguns grupos sociais ou sociedades 
mais desenvolvidas; 
 Contribui para a contextualização da matemática, já que muitos de seus 
conceitos surgiram por necessidade de outras ciências; 
 Mostrar a importância da notação simbólica (linguagem) na constituição das 
formas e estruturas matemáticas, no processo histórico de construção dos objetos 
matemáticos por diferentes culturas; 
 Situar a matemática cronologicamente, em relação aos produtores e à sua 
própria constituição, para compreender as condições de sua produção. 
 
As considerações apontadas pelos PCNs estão de acordo com algumas iniciativas 
recentes que indicam um processo contínuo de formação, no qual o professor vê a sua 
prática como objeto de sua investigação e reflexão e busca aprofundamento dos conceitos 
com os quais lida na sua prática. A história da formação de um conceito é uma forma 
enriquecedora para a prática do professor polivalente, ou seja: o professor pode recorrer 
ao método de desenvolvimento do conceito como uma forma de aprendê-lo. 
Para organizar situações ricas capazes de contribuir para as crianças construírem 
o conceito de número, o professor precisa saber que as ideias que compõem o número 
não foram todas elaboradas num único momento de sua história: elas vieram se 
desenvolvendo à medida que o uso foi ficando mais complexo no decorrer da história da 
humanidade e que esse processo não foi simples, nem linear. Alguns entraves ocorreram 
nesses percursos. Por exemplo, os números negativos que demoraram para serem aceitos 
como números, obstáculo que também se observa na dificuldade dos alunos ao lidarem 
com eles na resolução de problemas. O conhecimento de como se deu esse processo 
pode dar ao professor mais segurança para construir estratégias de ensino do conceito 
para seus alunos. 
Para ao professor é muito importante ele saber a diferença de número, numeral e 
algarismo, pois quando o aluno chega para o atendimento psicopedagógico geralmente a 
família diz que a criança sabe os numerais de 1 até 10, escreve apenas mas não associa 
a quantidade e isso acontece pois cada termo é diferente entre si, numeral é a escrita da 
ideia de quantidade que é o número, enquanto que algarismo e a forma da escrita que os 
numerais podem ser representados, por exemplo com os algarismos romanos. 
No que se refere ao uso da História da matemática na sala de aula, há de se 
considerar o desenvolvimento cognitivo dos alunos, para não propor situações acima de 
suas capacidades. No caso do conceito de números, por exemplo, a história do surgimento 
dos números como resultado de contagens de ovelhas é muito usada para introduzir o 
assunto nas séries iniciais. 
 
22 
Encerramos aqui a unidade 5 do livro-texto Cognição e Desenvolvimento do 
Raciocínio Lógico-matemático. 
Esperamos que você tenha aprendido bastante com a História, a evolução dos 
números e a importância do conhecimento lógico-matemático para o desenvolvimento da 
humanidade. 
Pronto(a) para conhecer a próxima unidade? Então vamos lá! 
 
 
 
23 
VI. METODOLOGIAS PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL 
 
Agora que você já conheceu um pouco da História da matemática, vamos 
apresentar, nesta Unidade VI de seu livro-texto Cognição e Desenvolvimento da 
Linguagem Oral e Escrita e do Raciocínio Lógico-Matemático, as metodologias para a 
educação matemática no Brasil. 
Antes de mais nada, para que possamos fundamentar em bases sólidas nosso 
aprendizado, vamos apresentar como ocorre o desenvolvimento neurológico e cognitivo 
na criança, fundamentadosnos pressupostos epistemológicos do pensamento lógico-
matemático de Jean Piaget. 
Pronto(a)? 
 
6.1 Pressupostos epistemológicos do pensamento lógico-matemático 
 
Os estudos sobre o desenvolvimento da criança realizados por Jean Piaget (1896-
1980), denominados Epistemologia Genética, mostram como o ser humano, do 
nascimento à idade adulta, é um ser que constrói o próprio conhecimento a partir de sua 
ação sobre os objetos do mundo. 
Para Piaget (1983), o desenvolvimento intelectual ocorre por meio de dois atributos 
inatos, os quais chama organização (construção de processos simples) e adaptação 
(mudança contínua), que ocorrem no indivíduo na interação com o meio. 
Nessa perspectiva, a construção do conhecimento se dá à medida que o novo 
objeto de conhecimento é assimilado pelo sujeito por meio das estruturas já constituídas, 
sendo que inicialmente o novo conhecimento produz conflitos internos, superados pela 
acomodação das estruturas cognitivas, e o objeto passa a ser percebido de outra forma. 
Assim, o meio em que o sujeito vive tem papel fundamental na aceleração ou 
retardamento do desenvolvimento. Daí a importância de promover situações diversas nas 
quais as crianças estejam expostas a novos desafios. 
 
6.2 Raciocínio lógico-matemático, segundo Piaget 
 
O raciocínio lógico-matemático, conforme Piaget (1983), consiste em uma 
construção mental que se deve a diversos estados de abstração. Ele é uma operação 
mental e consiste de relações que não podem ser observadas. Contudo, da mesma forma 
que o conhecimento físico, ele também é construído a partir das ações sobre os objetos, 
mas é preciso ficar claro que “o conhecimento lógico-matemático não é inerente ao objeto; 
ele é construído a partir das relações que a criança elabora na sua atividade de pensar o 
mundo” (SILVA, 2010). 
Piaget considera que a evolução do raciocínio lógico dos sujeitos pode ser resumida 
em quatro estágios de desenvolvimento mental, são eles: 
 Sensório-motor (do nascimento aos dois anos): o desenvolvimento 
predominante nessa etapa é o das percepções e movimentos. Na verdade, nem é possível 
 
24 
ainda dizer que a criança pensa; a evolução se dá na medida em que ela aprende a 
coordenar suas sensações e movimentos. 
 Pré-operacional (dos dois aos sete anos): nessa etapa, a lógica infantil sofre 
um salto, derivado da descoberta do símbolo, o que possibilita representar objetos e 
acontecimentos ausentes por meio de símbolo e signos diferentes (imitação retardada). A 
criança está centrada em si mesma, tanto no aspecto da afetividade quanto no 
conhecimento em função do egocentrismo, manifestação comum nessa fase, que a 
impede de transpor em pensamento, a experiência vivida, ou seja, há o predomínio do 
processo de assimilação sem esforço de acomodação. 
 Operatório concreto (dos sete aos doze anos): nesse estágio, a criança torna-
se capaz de realizar algumas operações concretas, que são resultado de ações mentais 
interiorizadas e reversíveis. No início dessa fase, o pensamento lógico ainda é muito 
dependente da manipulação concreta de objetos, mas no decorrer da fase, será capaz de 
operar com proposições verbais ou simbólicas. As operações lógicas, chamadas de 
infralógicas, referem-se às conservações físicas (conservação de quantidade, de peso e 
de volume) e constituição de espaço (conservação de comprimento, de superfície, de 
perímetro etc.) e as operações lógico-matemáticas partem de objetos já constituídos e 
operam relações entre eles. 
 Operatório formal (a partir dos 12 anos): neste estágio, pensamento lógico 
atinge o nível das operações abstratas. A criança é capaz de distanciar-se da experiência, 
de tal forma que pode pensar por hipótese. Aqui, o raciocínio hipotético-dedutivo torna-se 
possível e, com ele, a constituição de uma lógica formal, possibilitando a compreensão de 
relações lógicas entre diversas classes, ultrapassando aquelas relações efetivamente 
existentes. 
Assim, o bom senso do psicopedagogo deve levar em conta o contexto em que 
atua. Contudo, possuindo ele o conhecimento dos obstáculos epistemológicos inerentes 
aos conceitos matemáticos, pode compreender as dificuldades dos alunos e ajudá-los a 
superá-las. 
 
6.3 A importância do conhecimento acerca do desenvolvimento cognitivo 
 
Como vimos pelo conteúdo até então trabalhado, ao se deparar com problemas 
cuja estrutura lógica não está de acordo com o estágio de desenvolvimento em que se 
encontra, a criança, certamente, terá dificuldade para resolvê-los. Isso deve sinalizar para 
o professor a necessidade de retomar a construção do conhecimento em questão, de 
preferência utilizando situações provocadoras que levem a criança a buscar o novo 
conhecimento. 
O trabalho em duplas ou trios pode ser um caminho interessante para essa 
construção, principalmente se são alguns alunos que não construíram ainda o raciocínio 
necessário, pois os parceiros poderão ajudá-los a evoluir nesse sentido. 
Enfim, o professor precisa proporcionar uma grande diversidade de atividades para 
dar a oportunidade de todas as crianças se desenvolverem. Deve ainda estar atento para 
perceber qual a origem das dificuldades de cada criança. 
É importante a diversidade de ferramentas para oportunizar a aprendizagem 
matemática. O uso de materiais manipulativos com um bom planejamento de intervenção 
 
25 
é de extrema importância, pois colocará o aluno como protagonista de sua aprendizagem, 
além de que toda atividade executada na prática facilita para o professor identificar 
exatamente em qual momento se dá a dificuldade do aluno. 
Vigotsky elaborou um conceito nomeado como zona de desenvolvimento proximal, 
que define a distância entre o nível de desenvolvimento atual que o indivíduo tem para 
resolver com autonomia até o momento em que para resolver ele depende da colaboração 
de alguém, quer dizer é a série de informações que a pessoa tem a potencialidade de 
aprender, mas ainda não completou o processo. 
Sugerimos que, ao entrar em sala de aula, tenhamos a visão de Nenhum a menos 
em relação aos alunos. 
Nenhum a menos é um filme de produção chinesa de 1999, dirigido por Zhang 
Yimou. Ele conta a história de uma jovem de 13 anos, Wei Minzhi, que aceita a oferta de 
trabalhar como professora substituta na escola primária (paupérrima); seus alunos (do 1º 
ao 4º ano, na mesma classe) são um pouco mais jovens que ela, que pouco pode fazer a 
não ser escrever texto no quadro (giz controlado) e ensinar uma ou outra canção. 
Minzhi foi advertida pelo professor Gao para não permitir o abandono de mais 
alunos, garantindo o pagamento de 50 yuans e mais 10 yuans se for bem-sucedida. 
Logo após sua estreia como professora, um aluno, Zhang Huike, é obrigado a ir 
trabalhar, pois vive só com a mãe doente e imersa em dívidas. Wei recusa-se a perder o 
aluno e parte em busca do menino, na esperança de retornar antes do professor titular. A 
partir daí, nasce uma honesta amizade entre a professora e seus estudantes por conta de 
um objetivo específico: trazer Huike de volta. Durante a busca são criadas ótimas situações 
em que a menina Wei põe em prática uma didática de ensino fundamentada na troca e no 
diálogo, convocando a garotada para resolver aquele problema real. 
A preocupação é transmitir os conteúdos básicos da matemática em situações– 
problema e, se possível, envolver o cotidiano do aluno de uma maneira eficiente e 
atualizada, fazendo com que desenvolva o pensamento lógico, já que a matemática é a 
ciência base de várias áreas do conhecimento, sendo, portanto fundamental seu domínio. 
Por isso, procuraremos formas (métodos) para ensiná-la, buscando maior eficiência no 
processo de ensino e aprendizagem no âmbito escolar, evitando a evasão. 
Assim, as ações de formação docente em serviço devem se consolidar em termos 
de uma discussão dos princípios norteadores, utilizando o currículo em vigor, situando-as 
no âmbito das recentes conquistas da pesquisa em educação matemática, de seleçãoe 
elaboração de materiais didáticos, no auxílio ao preparo das aulas e no seu 
acompanhamento e avaliação. 
 
6.4 Planejamento, conteúdo, material didático e avaliação no ensino de 
matemática da educação infantil 
 
Quando chegam à escola, as crianças já vivenciaram inúmeras situações 
envolvendo ideias matemáticas, como brincadeiras, histórias e jogos, convivendo 
naturalmente com elementos numéricos. Assim, as atividades pedagógicas deverão 
proporcionar a construção do conhecimento matemático, buscando conhecer sua clientela 
por meio de seus interesses e habilidades, considerando o seu nível cognitivo. 
 
26 
O conteúdo matemático precisa ser apresentado da forma natural, em meio a 
atividades lúdicas, durante as quais várias habilidades poderão ser desenvolvidas, como 
comunicação, movimentação corporal, associação, manipulação de objetos, socialização 
etc., ou seja, as atividades devem ter caráter múltiplo e levar em conta as capacidades 
cognitivas do grupo de alunos, o que está de acordo com a visão de Huete et al. (2003): 
 
Aparece na criança certa capacidade crítica e um sentimento de impossibilidade 
frente a certas coisas. O pensamento chega à lógica e adquire uma coerência 
antes inexistente, da qual são testemunho as numerosas aquisições intelectuais 
que fará a partir deste momento. No entanto, é preciso fazer uma ressalva 
importante em relação a esta lógica: a criança somente raciocina de uma maneira 
lógica quando pode manipular os objetos a que seu raciocínio se refere, 
mostrando-se incapaz de fazê-lo quando se trata de simples proposições verbais, 
inclusive quando se transfere esse raciocínio para outros objetos, razão pela qual 
a referida etapa é denominada pensamento “lógico-concreto” (HUETE et al., 
2003, p. 23). 
 
O autor se refere ao estágio pré-operatório de desenvolvimento proposto na teoria 
de Piaget, que coincide com a fase pré-escolar e vai dos dois até os sete anos em média 
e que propõe estimular o desenvolvimento de conceitos aritméticos e espaciais. Esses 
conceitos devem ser apresentados com a mesma complexidade em que aparecem no 
cotidiano. Para isso, entende-se que o professor deve promover situações nas quais a 
criança reconheça a necessidade de cada um dos conceitos, por exemplo: 
 Utilização da contagem oral, de noções de quantidade, de tempo e de espaço 
em jogos, brincadeiras e músicas junto com o professor e nos diversos contextos nos quais 
as crianças reconheçam essa utilização como necessária; 
 Manipulação e exploração de objetos e brinquedos em situações organizadas 
de forma a existirem quantidades individuais suficientes para que cada criança possa 
descobrir as características e propriedades principais e suas possibilidades associativas: 
empilhar, rolar, transvasar, encaixar etc. (BRASIL, 1998, p. 218). 
Assim como a criança aprende a falar falando, a andar, andando, ela deverá 
aprender a contar, contando. Nesse caso, ela deve ser exposta a situações diversas em 
que tenha que efetuar contagem. A própria sala de aula é cheia de oportunidades dessa 
natureza: contar quantos colegas estão presentes, os lápis de cor, os brinquedos, os 
personagens das histórias etc., ou seja, sempre que seja significante para as crianças. As 
brincadeiras são ótimas oportunidades para as crianças fazerem contagens, por exemplo, 
a popular brincadeira “esconde-esconde”, na qual uma criança conta, enquanto as outras 
se escondem. 
No que se refere às noções espaciais, as brincadeiras devem envolver obstáculos 
para as crianças passarem por cima, por baixo ou no meio, seja andando ou engatinhando, 
pois são propícias para a construção dos conceitos espaciais em um contexto significativo. 
Também são significativas as situações em que as crianças manipulam objetos com 
formas, tamanhos e materiais diferentes. O Referencial Curricular Nacional para educação 
infantil, buscando “oferecer visibilidade às especificidades dos conhecimentos 
matemáticos” (BRASIL, 1998, p. 219), organiza os conteúdos matemáticos em três blocos: 
numeração e sistema de numeração, grandezas e medidas, espaço e formas, destacando 
as habilidades a serem desenvolvidas. 
 
27 
Deve-se garantir na educação infantil o contato com o vocabulário matemático para 
que as crianças possam relacionar e compreender as ações futuras em relação às 
situações-problema com os quais que elas irão conviver. 
Segue o vocabulário matemático que deve ser explorado ao máximo pelas crianças, 
para que elas, ao lerem futuramente os textos, possam compreender o que é pedido: 
1. Noções de grandeza: grande, pequeno, maior, menor, mesmo tamanho, alto, 
baixo, largo, estreito, grosso, fino, comprido, curto. 
2. Noções de posição: dentro, fora, na frente de, atrás de, ao lado de, mais perto 
de, mais longe do primeiro, o último, no meio, de frente, de costas, à direita, à esquerda, 
acima, abaixo. 
3. Noções de direção e sentido: para frente, para trás, para cima, para baixo, para 
o lado, para a direita, para a esquerda, mesmo sentido, sentido contrário, setas, meia volta, 
uma volta. 
4. Noções de tempo: antes, depois, agora, mais tarde, ontem, hoje amanhã, dia, 
noite, iniciação as horas inteiras, velho, novo, moderno, antigo, mais velho de todos, 
começo, meio e fim, dia, semana, mês. 
5. Noções de capacidade: vazio, cheio, pouco cheio, muito cheio, quase cheio, 
quase vazio. 
6. Noções de massa: pesado leve, mais pesado, mais leve. 
7. Noções de quantidade: muito, pouco, o que tem mais, o que tem menos, 
mesma quantidade. 
 
6.5 Números e sistema de numeração 
 
Neste bloco são trabalhadas: a contagem, notação, escrita numérica e operações. 
As habilidades desenvolvidas são: 
 Utilizar contagem oral e de noções simples de cálculo mental; 
 Comunicar quantidade – Linguagem oral, notação numérica e/ou registros não 
convencionais; 
 Identificar o número nos diferentes contextos em que ele pode aparecer e a 
posição do número, com a explicitação de antecessor e sucessor; 
 Comparar as escritas numéricas com a identificação de regularidades. 
No cotidiano da sala de aula, as crianças vivem situações nas quais têm que fazer 
contagens em diferentes contextos e finalidades, onde o número pode ser usado para 
contar, medir, ordenar e codificar. Por exemplo: contar a quantidade de pessoas, incluindo 
ela, que estão na sala de aula, para isso terá que contar uma a uma cada pessoa presente, 
contando cada pessoa uma única vez, para perceber a sequência numérica, já que o último 
número corresponde à quantidade de pessoas na sala. Nesse caso, a finalidade do número 
é a contagem e o número é chamado de cardinal. 
Pode-se determinar a posição de um determinado aluno na fila, de acordo com a 
regra definida, por exemplo, crescente ou decrescente. Nesse caso, o número que 
representa essa posição é ordinal, pois tem a finalidade de ordenar. Há situações em que 
 
28 
é necessário determinar o tamanho de uma distância, e o número é o resultado de uma 
medição e expressa quantas vezes a unidade de medida usada se repete naquela 
distância. Além disso, o número pode assumir a finalidade de codificar, ou seja, identificar 
pessoas ou objetos. Na camisa dos jogadores de futebol, por exemplo, tem um número 
que os identifica, assim como a placa do carro, o telefone, entre outras situações. 
É importante que as crianças tenham contato com as diversas finalidades do 
número em situações distintas para que se familiarizem com elas, pois assim perceberão 
que o número está de acordo com o contexto e terão mais subsídios para construir o 
conceito de número, ou seja, abstrair a ideia de número como uma construção da mente 
humana. 
No processo de contagem podemos utilizar vários materiais como tampinhas, 
botões e outros mais específicos, como o material dourado, que apresenta uma codificação 
diferente para unidade, dezena e centena, ajudando na identificação do processo aditivo, 
e o ábaco de pinos aberto, que auxilia no processo de compreensão da questão posicionaldo nosso sistema de numeração decimal. 
 
 
6.5.1 A sequência numérica 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
O conhecimento da sequência numérica é o principal instrumento que a criança 
precisa para conhecer o significado de números e com ele fazer relações (BRASIL, 1998). 
Dominar a sequência implica conhecer: o nome de cada símbolo, seu antecessor e 
sucessor e a regra de sua formação. Isso permite fazer comparação entre os números e 
determinar qual é o maior e/ou o menor. 
Sugerimos que se inicie com a sequência numérica de um em um, para que a 
criança memorize, de forma significativa, os nomes de cada símbolo. Contudo, saber falar 
uma sequência numérica não significa compreensão do número, então utilizemos formas 
prazerosas para ajudar os alunos a memorizar os nomes dos símbolos, tais como: música, 
brincadeiras e jogos, sendo que a memorização deve ser acompanhada de significado. 
 
SUGESTÃO PARA CONTAÇÃO DE HISTÓRIA COM O 
LIVRO PARADIDÁTICO 
VICENTE, Ana. Pra Que Serve O Zero? [sl]: Mercuryo, 
[sd]. 
 
29 
 
 
Observemos, por exemplo, a parlenda que segue: 
Um, dois, feijão com arroz 
Três, quatro, feijão no prato 
Cinco, seis, falar inglês 
Sete, oito, comer biscoito 
Nove, dez, comer pastéis 
 
A parlenda está presente em muitos livros didáticos e muitos professores a utilizam 
em sua prática pedagógica para auxiliar a criança a memorizar a sequência numérica. 
Contudo, os nomes dos símbolos não estão relacionados a nenhuma das finalidades que 
o número pode ter (contar, ordenar, codificar, ou medir), são apenas palavras em uma 
rima. Por isso, sugerimos a utilização de algumas atividades significativas, que podem ser 
confeccionadas, como as feitas com caixas de leite. 
O Ensino Fundamental é dividido em dois ciclos, sendo o primeiro ciclo de 1º a 5º 
ano e o segundo do 6º ao 9º ano. A criança deve iniciar o Ensino Fundamental com 6 anos, 
e nessa fase já tem muitos conhecimentos matemáticos obtidos na etapa anterior de 
ensino e/ou de suas vivências, mesmo aquelas que não passaram pelo ensino formal. 
Analisemos a seguir os conteúdos, planejamentos e ações propostas para o 
desenvolvimento do trabalho pedagógico nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Para 
isso, serão tomados como base os PCNs e as pesquisas e práticas nesse nível de ensino, 
para o qual os PCNs destacam os seguintes objetivos: 
 Construir o significado do número natural a partir de seus diferentes usos no 
contexto social, explorando situações-problema que envolvam contagens, medidas e 
códigos numéricos; 
 Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando hipóteses sobre elas, com 
base na observação de regularidades, utilizando-se de linguagem oral, de registros 
informais e da linguagem matemática; 
 Resolver situações-problema e construir a partir delas os significados das 
operações fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma operação relacionada a 
problemas diferentes e a um mesmo problema pode ser resolvida pelo uso de diferentes 
operações; 
 Desenvolver procedimentos de cálculo mental, escrito, exato, aproximado pela 
observação de regularidades e de propriedades das operações e pela antecipação e 
verificação de resultados; 
 Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calculadora como instrumento 
para produzir e analisar escritas; 
 
30 
 Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se no 
espaço, bem como para identificar relações de posição entre objetos no espaço; interpretar 
e fornecer instrução, usando terminologia adequada; 
 Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando 
formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações que envolvem descrições orais, 
construções e representações; 
 Reconhecer grandezas mensuráveis, como comprimento, massa, capacidade, 
e elaborar estratégias pessoais de medida. Utilizar informações sobre tempo e 
temperatura; 
 Utilizar instrumentos de medida, usuais ou não, estimar resultados e expressá-
los por meio de representações não necessariamente convencionais; 
 Identificar o uso de tabelas e gráficos para facilitar a leitura e interpretação de 
informações e construir formas pessoais de registro para comunicar informações coletadas 
(BRASIL, 1997, p. 37). 
Para atingir os objetivos propostos na lista anterior, alguns conteúdos matemáticos 
deverão ser contemplados com maior ênfase e amplitude em relação à etapa anterior. 
Essa seleção tem gerado muitas discussões. Contudo, há certo consenso em torno dos 
seguintes: números e operações (aritmética e álgebra), espaço e forma (geometria), 
grandezas e medidas (faz a interligação entre aritmética e geometria) e o tratamento da 
informação (estatística e probabilidade), sendo que este último não foi contemplado pelos 
PCNs na etapa anterior. 
A intervenção do professor deve levar em conta o papel da matemática na formação 
geral dos estudantes, contemplando, sempre que possível, os diversos aspectos nos quais 
estamos inseridos: social, ético, cultural, orientação sexual, saúde e ambiental, em função 
da demanda pelo domínio desses aspectos para a participação na sociedade. 
Assim, a formação geral do aluno pressupõe uma boa estrutura de raciocínio, o que 
também é evidenciado pelos PCNs, quando entendem que “[…] a sobrevivência numa 
sociedade que, a cada dia, torna-se mais complexa exigindo novos padrões de 
produtividade, depende cada vez mais de conhecimento” (BRASIL, 1997, p. 25). Tais 
considerações têm suporte na perspectiva de essencialidade da matemática, tanto no que 
se refere ao seu caráter formativo, que diz respeito à estruturação do pensamento e 
desenvolvimento do raciocínio lógico, quanto ao caráter instrumental, em função de a 
matemática ser uma linguagem ou ferramenta para diversas ciências. 
Ao iniciar o trabalho com uma turma, o professor, necessariamente, precisa saber 
quais conhecimentos os alunos trazem para, a partir daí, elaborar seu planejamento, 
buscando ampliar os domínios dos alunos e tendo como referência os conteúdos propostos 
para cada série. 
 
 
 
31 
6.5.2 Números e operações 
 
 
Disponível em: https://alunosonline.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos-suas-operacoes.html 
 
O principal objetivo das primeiras séries do ciclo I, no que se refere à matemática, 
é a consolidação do conceito de número, iniciada na educação infantil. Nesse caso, só 
após a construção da ideia de número pela criança é que o professor deverá promover o 
conhecimento da escrita dos algarismos e do sistema de numeração decimal, o que deve 
ser iniciado, de forma geral, no primeiro ano do primeiro ciclo. 
Essa compreensão não é simples porque o conceito de número e o sistema de 
numeração decimal também não o são; por isso, exigem muita dedicação dos professores 
para auxiliar os alunos nessa construção. Logo, os professores precisam de um 
conhecimento sólido e abrangente sobre esses conceitos. No entanto, algumas pesquisas 
apontam para o despreparo de professores da Educação Básica para trabalhar esse e 
outros conceitos matemáticos. 
No que se refere ao conceito de número, um equívoco comum é o entendimento de 
que o aluno que sabe contar tem construído esse conceito, outro é a confusão entre termos 
como número, numeral e algarismo. Esses equívocos, muitas vezes, ocorrem em função 
de o próprio professor não dominar o conceito e acabar transmitindo sua deficiência aos 
alunos. Nesse sentido, é preciso reiterar a necessidade de reflexão sobre a prática e 
formação contínua para amenizar as falhas da formação, mais especificamente no que se 
refere à matemática. 
Estando o conceito de número apropriado pelas crianças, o próximo passo é a 
escrita no número, o que implica ter claro que o número é a ideia que vem à mente quando 
contamos, ordenamos e medimos, ou seja, é uma abstração; o numeral é toda 
representação de um número, seja ela escrita, falada ou digitada, por isso é chamado de 
“nome do número” (um, dois, três…), mas que também pode ser escrito comos algarismos, 
ou seja, 1, 2, 3, (…). 
Nesse caso, algarismo é todo símbolo numérico que usamos para representar 
quantidades, o sistema hindu-arábico tem 10 algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Com 
eles, são construídos todos os números do sistema decimal, enquanto os algarismos 
romanos mais conhecidos são: I, V, X, L, C, D. 
As crianças têm dificuldades em compreender o(s) significado(s) do zero (0) quando 
se deparam com as quatro operações. Algumas pesquisas consideram que o zero deve 
se apresentado aos alunos depois do domínio dos números de 1 a 9, já que o primeiro 
contato da criança com o número é como resultado de contagens e não se conta o que 
 
32 
não existe. Neste caso, ele é apresentado como um símbolo que serve para se juntar aos 
outros nove algarismos para formar a dezena, centena e para indicar o conjunto que não 
tem elementos. Essa apresentação ocorre já na educação infantil na prática pedagógica 
(PADRÃO, 2008). 
Diversos estudos apresentam alguns significados atribuídos ao zero (0) na História 
da humanidade. São eles: 
 Elemento de uma contagem: zero (0) é o número que se atribui ao conjunto 
vazio, isto é, 0 = nada; 
 Valor posicional: zero (0) designa o número da ordem, em uma classe, que 
não tem elementos; 
 Valor de dado operatório: zero (0) é o elemento neutro da adição e anula o 
resultado de uma multiplicação; na potenciação convenciona-se: a0 = 1 e 00 é 
indeterminado. 
 Função de origem: zero (0) tem natureza contínua, assume o sentido de 
medida – unificação da reta numérica. 
O significado do zero (0) nesse nível de ensino precisa ser mais abrangente que 
aquele apresentado na educação infantil, nível em que só são apresentados os 
significados (1) e (4). Na prática pedagógica das séries do primeiro ciclo do Ensino 
Fundamental, observa-se ênfase no significado (2), ao se iniciar o trabalho com as 
operações (ausência de classe). 
No entanto, todos os significados devem ser apresentados gradativamente para 
que as crianças evoluam. O quadro valor de lugar (QVL) é um mecanismo muito usado 
para apresentar o sistema de numeração decimal. No caso da figura abaixo, ele foi 
trabalhado em conjunto com o material dourado, o que é interessante no início do 
processo. 
Partindo de uma concepção construtivista, ou seja, entendendo que o 
conhecimento é construído dando-lhe significado, o trabalho sobre a escrita dos algarismos 
é imperativo, para que a criança reconheça a necessidade de uma “convenção social” para 
o registro de contagens, o que pode ser possível com a promoção de situações-problema 
nas quais perceba que a memória não dá conta de guardar um grande número de 
informações e a necessidade de comunicação. Isso pode ser efetivado em situações como 
um jogo, uma pesquisa ou uma atividade em que um número seja escrito com os vários 
sistemas numéricos. Essa pode ser uma forma eficiente para o aluno perceber dificuldades 
em realizar alguns deles. 
 
É preciso considerar que o sistema posicional não é uma ideia simples. Para 
compreendê-lo é preciso capacidade de abstração, pois o mesmo símbolo pode 
representar quantidades diferentes, de acordo com sua posição. A História da matemática 
pode contribuir para dar sentido ao sistema de numeração decimal. 
Assim, estudar os diferentes sistemas de numeração usados no passado permite 
compreender melhor nosso atual sistema, pois conceitos como: base 10, valor posicional 
ou a importância do zero, tornam-se mais compreensíveis quando comparados a outros 
sistemas nos quais não valem as mesmas propriedades. 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disponível em: http://www.sintra-se.pt/calcumaticar/sistema-de-numeracao-binario-e-decimal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo mental é importante para o conhecimento dos números; seu uso precisa 
ser estimulado na escola, pois essa capacidade ajuda no desenvolvimento da atenção, da 
concentração e da memória e permite que as crianças desenvolvam seus próprios 
procedimentos, tornando-os mais autônomos, ou seja, sem se limitar ao uso de algoritmos. 
Além disso, o cálculo mental estimula o raciocínio, já que no processo de calcular 
mentalmente a criança é desafiada a procurar o melhor procedimento de cálculo; ao 
dominar essa forma de raciocínio, elas adquirem mais segurança para resolver situações-
problema, na escola e na vida, o que contribui para que adotem atitudes positivas em 
relação à matemática (FREITAS et al., 2010). O desenvolvimento do cálculo mental deve 
acontecer durante todo o ciclo, sendo que o nível de complexidade deve aumentar 
gradativamente. 
 
34 
 
 
Disponível em: http://seculomatematica.blogspot.com/2014/11/a-importancia-do-calculo-mental.html 
 
Uma estratégia para a estimulação do cálculo mental é incentivar algumas 
atividades em que os alunos possam fazer estimativas, pois ela está presente em nosso 
cotidiano e na sala de aula acaba sendo feita muito tecnicamente. Um exemplo é quando 
fazemos compra no mercado: não somamos exatamente os centavos, arredondamos para 
obter um número inteiro e assim estimar e verificar se teremos o dinheiro suficiente para 
comprar. 
Freitas et al. (2010) apresentam uma sugestão de uma atividade com jogo, 
chamado boliche. Nas séries iniciais, do Ensino Fundamental, os autores sugerem o uso 
desse jogo para o desenvolvimento de habilidades de cálculo mental e registros. O jogo 
consiste em dispor dez garrafas (pet) em forma de V e cada jogador deve jogar uma bola 
a partir de uma linha traçada visando derrubar as garrafas. O objetivo é verificar qual 
equipe consegue derrubar mais garrafas, após um número fixo de jogadas. 
Esse jogo possibilita o desenvolvimento da coordenação motora e da abstração por 
meio de cálculos mentais. Além disso, favorece o desenvolvimento da escrita, em função 
do registro de pontos e da autonomia dos estudantes, já que exige pouca intervenção do 
professor. 
É possível fazer adaptações no jogo para contemplar outros temas e aplicar em outros 
ciclos do Ensino Fundamental. Por exemplo, se as garrafas forem numeradas, podem-se 
trabalhar as operações de adição e subtração, de acordo com o nível dos alunos 
(FREITAS, et al. 2010). 
 
 
35 
 
Disponível em: http://brincandocomosjogosmatematicos.blogspot.com/2015/12/boliche-matematico.html 
 
Para que a criança esteja bem preparada para trabalhar com as operações de 
adição e subtração, depois com a multiplicação e divisão, é fundamental que ela esteja 
segura para desenvolver estratégias mentais inicialmente pelos fatos básicos (são cálculos 
que devem ser realizados mentalmente, utilizando números de um só algarismo Ex.: 8 + 
7). 
Fazer decomposições de várias formas é uma habilidade que precisa ser 
desenvolvida desde a educação infantil. Por exemplo, o número 8 pode ser decomposto 
como: 1+7 ; 2+6 ; 3+5 ; 4+4 ; 5+3 ; 6+2 ; 7+1. Essa habilidade é útil para realização de 
cálculo mental e de operações com algoritmos. 
Vale lembrar que é importante dar liberdade para a criança expressar do seu jeito 
as formas de registro do que pensa, pois essas representações favorecem as intervenções 
posteriores, ressaltando que cada indivíduo tem a sua forma de organizar a forma como 
pensa. 
 
6.5.3 Operação com números naturais 
 
Para iniciar a apresentação de operações usando algoritmos, o professor precisa 
estar certo de que seus alunos tiveram contato com todos os elementos envolvidos no 
conceito de número (classificação, seriação/ordenação, sequência lógica, contagens em 
diferentes bases, inclusão, igualdade, desigualdade, intersecção, união de classes e 
conservação de quantidades contínuas e discretas). 
 
 
 
 
36 
 
 
Disponível em: https://sites.google.com/site/aprendendomathematica2012/introducao/home 
 
O algoritmo é uma forma prática de executar uma tarefa. Existem muitos tipos de 
algoritmos, uns exigem menos, outros exigem mais treino para utilizá-los, contudo todos 
requerem alguma prática para usá-lo com segurança.