Derivada - parte 4

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DERIVADA IMPLÍCITA
𝑥2 +
𝑦
2
− 1 = 0
Uma função y = f(x) é definida implicitamente como F (x,y) = 0 se, ao
substituirmos y por f(x) na equação F, esta se transforma numa identidade.
Ex: na forma explícita: 
Ao substituir na forma implícita da equação original, temos a identidade
Obs: um função pode ser definida como implícita ou explícita.
- Função implícita: quando as variáveis fazem parte do corpo da equação.
Ex: 𝑥𝑦 = 3
- Função explícita: quando podemos isolar uma variável.
Ex: 𝑦 =
3
𝑥
𝑦 = 2(1 − 𝑥2)
𝑥2 +
2(1 − 𝑥2)
2
− 1 = 0
Ex: usando a derivada implícita, encontre a reta tangente ao círculo definido 
por no ponto (5,3).
Desta forma, é preciso fazer as derivadas de ambos os lados da equação 
usando as equações diferenciais 𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
:
𝑥2+ 𝑦2 = 25
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2+ 𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
25 ⇒
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2) +
𝑑
𝑑𝑥
𝑦2 = 0
Notamos que 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦2 =>൞
𝑓 𝑢 = 𝑢2 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 2𝑢
𝑢 = 𝑦 ⇒
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1
Assim, 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2) + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 ⇒ 2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0=> 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
No ponto (5,3), temos 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
5
3
⇒ equação da reta tangente =
𝑦 − 3 = −
5
3
𝑥 − 5 𝑜𝑢 5𝑥 + 3𝑦 = 34
a) 4𝑥2 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 3𝑦2
𝑑
𝑑𝑥
(4𝑥2) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 3𝑦2 ⇒ 8𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑦2
8𝑥 = cos 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⇒ 8𝑥 = cos 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
8𝑥
cos 𝑦 + 6𝑦
b)
𝑥3 + 𝑦4 = 5𝑥𝑦 + 10c)
𝑥2𝑦 = 8
Exercícios: faça a derivada implícita de:
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
Trata-se de um teorema que afirma que:
Se a função y = f(x) admite uma função inversa x = g(y) contínua, e se f´(x) 
existe e é diferente de zero, então 
Obs: exemplo:
Aplicando o teorema da função inversa,
𝑓´ 𝑥 =
1
𝑔´(𝑦)
A função 𝑦 = 𝑥 tem como inversa 𝑦2 = 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑦 = 𝑦2
𝑔 𝑦 = 𝑦2 ⇒ 𝑔´ 𝑦 = 2𝑦 logo 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑔´(𝑦)
=
1
2𝑦
=
1
2 𝑥
Exercícios: utilize o teorema da função inversa para resolver:
a) 𝑓 𝑥 = 8𝑥3
b) f x = 3𝑥 − 7
c) Calcule a derivada da função inversa, no ponto y=4, da função 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 − 1
𝑓´ 𝑥 = 24𝑥2 e a inversa de 𝑓 𝑥 é 𝑥 =
3 𝑦
2
𝑔´ 𝑦 =
1
24𝑥2
=
1
24
3 𝑦
2
2 =
1
6
3
𝑦2
DERIVADA DE FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Trata-se de um teorema que afirma que:
Sendo a função 𝑦 = log𝑎 𝑥 , sendo 𝑎 > 0 e ≠ 1, então
𝑦 = log𝑎 𝑥 ⇒ 𝑦
′ =
1
𝑥
log𝑎 𝑒 =
1
𝑥
∗
1
log𝑒 𝑎
=
1
𝑥 ∗ 𝑙𝑛(𝑎)
Caso utilize-se uma variável substituta u, derivável de x, então
Obs: se 𝑦 = ln(𝑢) ⇒ 𝑦′ =
𝑢′
𝑢
𝑦 = log𝑎 𝑢 ⇒ 𝑦
′ =
1
𝑢
log𝑎 𝑒 ∗ 𝑢
′ =
1
𝑢
∗
1
log𝑒 𝑎
∗ 𝑢′ =
1
𝑢 ∗ 𝑙𝑛(𝑎)
∗ 𝑢′
a) 𝑦 = log2(𝑥)
c) 𝑦 = log2(4𝑥
2 + 5𝑥 − 9)
𝑦′ =
1
𝑥
log2 𝑥 =
1
𝑥
log2 𝑒 =
1
𝑥∗log𝑒 2
=
1
𝑥∗ln(2)
b) 𝑦 = log5( 𝑥)
Exercícios: determine a derivada das funções logarítmicas abaixo:
DERIVADA DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
Trata-se de um teorema que afirma que:
Sendo a função 𝑦 = 𝑎𝑥 , sendo 𝑎 > 0 e ≠ 1, então 𝑦′ = 𝑎𝑥 ∗ ln(𝑎)
Demonstração: uma função exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 pode ser reescrita como 𝑥 = log𝑎 𝑦
Usando a derivação implícita, e sabendo que a derivada de x é 1, temos 
𝑑
𝑑𝑥
log𝑎 𝑢 =
1
𝑢 ln(𝑎)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
ou seja, 1 =
1
𝑦 ln(𝑎)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 ∗ ln 𝑎 ⇒ 𝑦′ = 𝑎𝑥* ln 𝑎
Ex: calcule a derivada de 𝑦 = 4𝑥 => resposta: 
Obs: Lembrando que:
• a derivada y’ representa m (coeficiente angular) da tangente desta curva, 
que no caso é uma curva exponencial, a um ponto de abscissa x.
• 𝑦 = 23 = 8 ⇒ log2 8 = 3
𝑦´ = 4𝑥 ∗ ln(4)
DERIVADA DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
No caso do expoente for uma função u derivável de x, teremos 
𝑦′ = 𝑎𝑢 ∗ ln(𝑎) ∗ 𝑢′
Exercícios: calcule a derivada de 
a) 𝑦 = 4𝑥
2
logo 𝑦′ = 4𝑥
2
∗ ln(4) ∗ 2𝑥𝑢 = 𝑥2 ⇒ u′ = 2𝑥
b) 𝑦 = 54𝑥
2+3𝑥−1
d) 
c) 𝑦 = 9
3
𝑥
y =
1
2
𝑥
DERIVADA DE FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPOSTA
Uma função exponencial composta é do tipo 𝑦 = 𝑢𝑣, ou seja, uma função 
elevada a outra. Obs: u = u(x) e v = v(x)
Para tanto, aplica-se ln nos dois lados: 
ln 𝑦 = ln 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ⇒ 𝑦′ = 𝑔 𝑥 ∗ ln 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑦′ = 𝑒𝑣∗ln(𝑢)
Obs: 
• Observa-se também que os mesmos princípios usados nas soluções 
anteriores (regra da cadeia) estão resumidos nos procedimentos adotados
• se 𝑦 = 𝑒𝑥 teremos 𝑦′ = 𝑒𝑥 ∗ ln 𝑒 = 𝑒𝑥 conforme já visto antes.
• se 𝑦 = 𝑒𝑢 teremos 𝑦′ = 𝑒𝑢 ∗ 𝑢′ sendo u derivável em x
Exercícios: faça a derivada de:
a) 
b)
c)
𝑦 = 𝑒3𝑥
3+4
𝑦 = 𝑥 𝑥
ln 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑥 ⇒
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
[ 𝑥 ∗ ln 𝑥 ]
𝑓′ 𝑥 =
1
2
∗ 𝑥−
1
2 ∗ ln 𝑥 + 𝑥 ∗
1
𝑥
𝑦 = 𝑒
𝑥+1
𝑥−1