Avaliação II - Cálculo Diferencial e Integral I

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:890606)
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Prova 72915509
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/2
Nota 8,00
Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada 
para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra. 
Resolva a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção III está correta.
Formulário - Cálculo Diferencial e Integral (MAD) - PauloClique para baixar o anexo da questão
A derivada de uma função, em seu conceito mais teórico, é dada pela razão entre a variação da função ao longo 
da variável dependente, quando a variável independente sofre uma pequena variação. Desta forma, a importância 
da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento 
local e global.
Assim sendo, seja a função f(t) = t3 + 3t2 - t, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada:
A f'(t) = 3t2 + 6t - 1.
B f'(t) = 6t + 6.
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A+ Alterar modo de visualização
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C f'(t) = 3t2 + 6t - t.
D f'(t) = 3t2 + 6.
Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a 
derivada. Como proposto por Leibniz, ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto, 
encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA 
que apresenta a reta tangente da função f(x) = - x³ + 2x + 1 no ponto (-1, 0):
A y = -x - 1.
B y = x - 1.
C y = -x + 1.
D y = x + 1.
No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em 
relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da 
função espaço. Seja a derivada do produto entre f(x) = x² + 2 e g(x) = 4 - x, analise as possibilidade:
I) -3x² - 8x - 2. 
II) -3x² + 8x + 2. 
III) -3x² + 8x - 2. 
IV) -3x² - 8x + 2. Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção III está correta.
No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y = f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em 
relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da 
função espaço. Com relação à função h(x) = (7x + 1)·(x + 4), veja as possibilidades para sua derivada:
I. h'(x) = 14x + 28. 
II. h'(x) = 14x + 29. 
III. h'(x) = 28x + 28. 
IV. h'(x) = 28x + 29. Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção I está correta.
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D Somente a opção III está correta.
A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determinar ela, 
podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da Derivada da Função 
Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função inversa aplicada em um ponto y 
equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de 
uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de 
deduzir. O procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não 
seja dada), determinar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no 
ponto dado. Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = x³ - x² - 1 no ponto (-1, -3) e assinale a 
alternativa CORRETA:
A g'(4) = 1/3.
B g'(4) = 1/4.
C g'(4) = 1/2.
D g'(4) = 1/5.
O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral. O resultado 
de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a 
equação dada. 
Então, para a equação diferencial y' - 2y = 4 (ou seja, a derivada primeira subtraída com o dobro da própria 
função é igual a 4), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
A F - F - F - V.
B F - V - V - F.
C V - V - F - F.
D V - F - V - F.
A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é 
uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial 
pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo. Em outros 
momentos, é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes. 
Desta forma, sendo a função g(x) = 2x3 - x-2 + 2x, assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta 
função.
A g''(x) = 6x - 6x-4
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B g''(x) = 12x - 6x-3 + 2
C g''(x) = 6x2 + 2x-3 + 2
D g''(x) = 12x - 6x-4
Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra 
da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas 
funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, classifique V para as opções verdadeiras 
e F para as falsas:
( ) y = sin(3x²), implica em y' = 6x·sin(3x).
( ) y = ln(-x²), implica em y' = -2/x.
( ) y = tan (x²), implica em y' = sec²(x²).
( ) y = (1 - 2x)³, implica em y' = -6·(1 - 2x)².Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - V - F - V.
C V - F - F - V.
D V - V - V - F.
Ao estudar o Cálculo Diferencial, descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em 
todos os pontos de seu domínio. Um exemplo disso é a função exponencial, que possui diferenciação de ordem 
superior infinita. Acerca das derivadas da função exponencial f(x) = -e-2x, analise as sentenças a seguir:
I. A derivada primeira é 2e-2x.
II. A derivada primeira é -2e-2x.
III. A derivada segunda é -4e-2x.
IV. A derivada segunda é 6e-2x.
V. A derivada terceira é 8e-2x. Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças II e IV estão corretas.
B As sentenças IV e V estão corretas.
C As sentenças I e IV estão corretas.
D As sentenças I, III e V estão corretas.
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