Projeto e fabricação de um par de engrenagens redutoras

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Universidade Federal de Minas Gerais 
Engenharia Mecânica 
Elementos de Máquinas II 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto e fabricação de um par de engrenagens redutoras – Memorial 
de Cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
Emanuel Mendes de Abreu, 2011078339 
Joyce Lana Fausto, 2015117266 
Lucas Rocha Incalado Perri, 2014066021 
Pedro Ivo Santos Rodrigues, 2016028623 
 
 
Belo Horizonte 
2019 
1. Condições de Contorno 
Potência do Motor 0,41 HP 
𝑛𝑐 8400 
𝑛𝑝 17000 
Redução do Par 2,23:1 
Dmáx da engrenagem 25 cm 
𝜙𝑁 20º 
Classe B 
 
Material das Engrenagens Aço S45C, Temperado¹ 
Dureza Pinhão 240 HB 
Dureza Coroa 210 HB 
Limite de Escoamento (Sy) 71100 psi 
Resistência a Tração (Su) 99600 psi 
¹Tabela de Propriedades: matweb.com/search/datasheet.aspx?matguid=6b29957fc95e426d87dff64d67c59f6c&ckck=1 
2. Cálculo das dimensões das Engrenagens 
Primeiramente, definiremos o número de dentes das engrenagens utilizadas. Serão 
selecionados valores preferencialmente presentes nos ábacos auxiliares, 
facilitando assim as contas posteriores. Para a coroa, foi selecionado Zc = 30, pois 
20 dentes causariam problema de interferência no pinhão, enquanto 50 dificultaria 
a consulta ao ábaco. Assim: 
𝑍𝑐
𝑍𝑝
= 2,23; 𝑍𝑝 = 13,45 
𝑍𝑐
𝑍𝑝
=
30
14
= 2,13 
Padronizando-se o valor, teremos Zp = 13 ou 14 dentes. Como o valor de 14 dentes 
está no ábaco, este será escolhido para facilitar a checagem. De maneira similar, 
selecionamos um ângulo de hélice que facilite a consulta ao ábaco e nos dê um 
valor condizente de largura do dente posteriormente. Desta forma, após algumas 
tentativas foi selecionado o valor de φ = 35º para o ângulo de hélice. Teremos 
então: 
tan𝜙𝑁 = tan 𝜙 cos𝜑 ; 𝜙 = 23,96° 
Normalmente, o Passo diametral é um dado de entrada do projeto, porém como 
determinamos um limite máximo para o diâmetro de nossa engrenagem, 
poderemos estimá-lo e depois escolhê-lo. Temos que Dc é o diâmetro crítico, 
utilizaremos como diâmetro crítico da engrenagem um diâmetro mais próximo 
daquele esperado para uma engrenagem de aeromodelo. Desta forma, definiremos 
como diâmetro crítico um Dc=5cm. 1 in é 2,54cm, assim Dc = 1,9685in: 
 
http://www.matweb.com/search/datasheet.aspx?matguid=6b29957fc95e426d87dff64d67c59f6c&ckck=1
𝐷𝑐𝑚á𝑥 ≥ 
𝑍𝑐
𝑃𝑁 cos𝜑
; 𝑃𝑁 ≥ 
30
1,9685 cos35
; 𝑃𝑁 ≥ 18,60 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑝𝑜𝑙 
Assim, como o Pn deve ser padronizado, tomaremos Pn = 20. Assim, teremos: 
𝑃𝑁 cos 𝜑 = 𝑃; 𝑃 = 16,383 
𝐷𝑐 =
30
20 cos𝜑
;𝐷𝑐 = 1,831𝑖𝑛 𝑜𝑢 4,651𝑐𝑚 
𝐷𝑝 =
14
20 cos𝜑
; 𝐷𝑝 = 0,8545𝑖𝑛 𝑜𝑢 2,170𝑐𝑚 
Com estes valores, é possível também calcular: 
𝐴𝑑𝑑𝑒𝑛𝑑𝑢𝑚 = 
1
𝑃𝑁
= 0,05𝑖𝑛 𝑜𝑢 0,127𝑐𝑚 
𝐷𝑒𝑑𝑒𝑛𝑑𝑢𝑚 =
1,25
𝑃𝑁
= 0,063𝑖𝑛 𝑜𝑢 0,16𝑐𝑚 
𝑝𝑃 = 𝜋; 𝑝 =
𝜋
16,383
; 𝑝 = 0,19176 𝑖𝑛/𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑝𝑎 =
𝑝
tan 𝜑
; 𝑝𝑎 = 0,2739
𝑖𝑛
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑝𝑎 = 𝑏; 𝑏 = 0,2739𝑖𝑛 𝑜𝑢 0,696𝑐𝑚 
Por fim, podemos afirmar que, como Dp > 12, não haverá interferência no par de 
engrenagens. 
3. Cálculo das Forças e Fadiga 
Podemos agora passar para o cálculo das forças na engrenagem. Primeiramente, 
podemos obter A partir de agora, consideraremos o Pinhão como o elemento 
crítico para nossos cálculos. Da fórmula para cálculo da potência, teremos: 
𝑉𝑝 =
𝜋𝑛𝑝𝑑𝑝
12
; 𝑉 = 3.803,03 𝑓𝑝𝑚 
�̇�[𝐻𝑃] = 
𝐹𝑡 𝑉
33000
; 𝐹𝑡 = 3,558 𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑇 tan 𝜙 ; 𝐹𝑅 = 1,581𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝐴 = 𝐹𝑇 tan𝜑 ; 𝐹𝐴 = 2,491 𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝐵 =
𝐹𝑇
cos𝜑
; 𝐹𝐵 = 5,081 𝑙𝑏𝑠 
De posse das Forças atuantes no Pinhão, podemos então calcular os critérios de 
Fadiga para o elemento crítico do par, começando pela tensão de flexão na base 
do dente: 
𝜎 = 
𝐹𝑇𝑃
𝑏𝐽
𝐾𝑉𝐾𝑜(0,93𝐾𝑚); 𝜎 = 2,362𝐾𝑠𝑖 
Onde: 
J (0,37*0,965)= 0,3571 
Kv¹ 1,7906 
Ko² 1,5 
Km³ 1.3 
¹ 𝐾𝑣 =
78+√𝑉𝑝
78
 
² Light Shock e Moderate Shock 
³Accurate Mounting, min. Deflection, face width < 2in 
Da mesma maneira, calculamos a resistência à fadiga como: 
𝑆𝑛 = 𝑆
′
𝑛𝐶𝐿𝐶𝑠𝐶𝑔𝐾𝑟𝐾𝑡𝐾𝑚𝑠; 
Onde: 
Kms¹ 1,4 
Kt² 1 
Kr³ 0,814 
Cs* 1 
Cg** 0,85 
CL*** 1 
¹ Par de engrenagem Motora/Movida 
²T < 160 F 
³Assumindo 99% reliability 
*Mirror Polished 
**P ≤ 5 
***Flexão 
Temos então que: 
𝑆′𝑛𝐶𝐿𝐶𝑠𝐶𝑔𝐾𝑟𝐾𝑡𝐾𝑚𝑠 = 2,362 𝐾𝑠𝑖; 𝑆
′𝑛 = 2,438 𝐾𝑠𝑖 
Considerando que, para aços até 400 HB, temos S’n = 0,25 [HB] ksi; Logo S’n do 
material da engrenagem é 60 ksi. Assim, temos que 60 ksi > 2,438 Ksi, portanto 
o material não falhará por fadiga de flexão no dente. Passemos agora para o 
cálculo do limite de resistência superficial do dente: 
𝜎𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 = 𝐶𝑝√
𝐹𝑡
𝑏𝐷𝑝𝐼
(
cos𝜑
0,95𝐶𝑅
)𝐾𝑣𝐾𝑂0,93𝐾𝑚 
Onde: 
Cp 2300 
I¹ 0,1263 
CR² 1,2340 
Kv 1,7306 
Ko 1,5 
Km 1,3 
¹𝐼 =
sin 𝜙 cos𝜙
2
𝑅
𝑅+1
; 𝑅 = 2,13; 
²𝐶𝑅 =
[(𝑟𝑎𝑝
² −𝑟𝑏𝑝
² )
1
2+(𝑟𝑎𝑐
² −𝑟𝑏𝑐
² )
1
2−𝐶 sin 𝜙]
𝑃𝑏
; 𝑝𝑏 = 𝑝cos𝜙 ; 𝑝𝑏 = 0,1752; 𝐶𝑅 = 1,2340 
E 
 
𝑆𝐻 = 𝑆𝑓𝑒𝐶𝐿𝑖𝐶𝑅 
Onde: 
Sfe¹ 82 ksi 
Cli² 1 
Cr³ 1 
¹𝑆𝑓𝑒 = (0,4[𝐻𝐵]) − 10𝑘𝑠𝑖; 
²Assumindo 𝑁 = 107; 
³Assumindo 99% reliability; 
Portanto, teremos que: 
𝑆𝐻 = 82 𝑘𝑠𝑖 
𝜎𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 = 37,368 𝑘𝑠𝑖 
Como 𝜎𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 ≤ 𝑆𝐻, o sistema não falhará por fadiga superficial no dente. 
 
 
 
 
 
4. Cálculo das dimensões das Engrenagens – Projeto Real 
As seções de determinação da largura de dente e ângulos de pressão e hélice 
seguirão as mesmas etapas do projeto didático, com os mesmos resultados. Assim: 
𝑍𝑐
𝑍𝑝
= 2,23; 𝑍𝑝 = 13,45 
𝑍𝑐
𝑍𝑝
=
30
14
= 2,13 
Padronizando-se o valor, teremos Zp = 13 ou 14 dentes. Como o valor de 14 dentes 
está no ábaco, este será escolhido para facilitar a checagem. De maneira similar, 
selecionamos um ângulo de hélice que facilite a consulta ao ábaco e nos dê um 
valor condizente de largura do dente posteriormente. Desta forma, após algumas 
tentativas foi selecionado o valor de φ = 35º para o ângulo de hélice. Teremos 
então: 
tan𝜙𝑁 = tan 𝜙 cos𝜑 ; 𝜙 = 23,96° 
O Passo diâmetral será a primeira e grande diferença entre os projetos. Enquanto 
o primeiro projeto foi feito procurando obter-se um diâmetro de engrenagem que 
facilita-se a visualização e fabricação da engrenagem para fins didáticos, este 
projeto terá como objetivo o dimensionamento de uma engrenagem similar, para 
os mesmos dados de entrada, porém buscando ser o mais próximo possível da 
realidade. Teremos ainda que Dc é o diâmetro crítico, assim, primeiramente 
devemos transformâ-lo para polegadas. Ao contrário da primeira engrenagem, 
utilizaremos como diâmetro crítico da engrenagem um diâmetro mais próximo 
daquele esperado para uma engrenagem de aeromodelo. Desta forma, definiremos 
como diâmetro crítico um Dc=5cm. 1 in é 2,54cm, assim Dc = 1,9685in: 
 
𝐷𝑐𝑚á𝑥 ≥ 
𝑍𝑐
𝑃𝑁 cos𝜑
; 𝑃𝑁 ≥ 
30
1,9685 cos35
; 𝑃𝑁 ≥ 18,60 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑝𝑜𝑙 
Assim, como o Pn deve ser padronizado, tomaremos Pn = 20. Assim, teremos: 
𝑃𝑁 cos 𝜑 = 𝑃; 𝑃 = 16,383 
𝐷𝑐 =
30
20 cos𝜑
;𝐷𝑐 = 1,831𝑖𝑛 𝑜𝑢 4,651𝑐𝑚 
𝐷𝑝 =
14
20 cos𝜑
; 𝐷𝑝 = 0,8545𝑖𝑛 𝑜𝑢 2,170𝑐𝑚 
Com estes valores, é possível também calcular: 
𝐴𝑑𝑑𝑒𝑛𝑑𝑢𝑚 = 
1
𝑃𝑁
= 0,05𝑖𝑛 𝑜𝑢 0,127𝑐𝑚 
𝐷𝑒𝑑𝑒𝑛𝑑𝑢𝑚 =
1,25
𝑃𝑁
= 0,063𝑖𝑛 𝑜𝑢 0,16𝑐𝑚 
𝑝𝑃 = 𝜋; 𝑝 =
𝜋
16,383
; 𝑝 = 0,19176 𝑖𝑛/𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑝𝑎 =
𝑝
tan 𝜑
; 𝑝𝑎 = 0,2739
𝑖𝑛
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑝𝑎 = 𝑏; 𝑏 = 0,2739𝑖𝑛 𝑜𝑢 0,696𝑐𝑚 
Por fim, podemos afirmar que, como Dp > 12, não haverá interferência no par de 
engrenagens. 
5. Cálculo das Forças e Fadiga 
Podemos agora passar para o cálculo das forças na engrenagem. Primeiramente, 
podemos obter A partir de agora, consideraremos o Pinhão como o elemento 
crítico para nossos cálculos. Da fórmula para cálculo da potência, teremos: 
𝑉𝑝 =
𝜋𝑛𝑝𝑑𝑝
12
; 𝑉 = 3.803,03 𝑓𝑝𝑚 
�̇�[𝐻𝑃] = 
𝐹𝑡 𝑉
33000
; 𝐹𝑡 = 3,558 𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑇 tan 𝜙 ; 𝐹𝑅 = 1,581𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝐴 = 𝐹𝑇 tan𝜑 ; 𝐹𝐴 = 2,491 𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝐵 =
𝐹𝑇
cos𝜑
; 𝐹𝐵 = 5,081 𝑙𝑏𝑠 
De posse das Forças atuantes no Pinhão,podemos então calcular os critérios de Fadiga 
para o elemento crítico do par, começando pela tensão de flexão na base do dente: 
𝜎 = 
𝐹𝑇𝑃
𝑏𝐽
𝐾𝑉𝐾𝑜(0,93𝐾𝑚); 𝜎 = 2,362𝐾𝑠𝑖 
Onde: 
J (0,37*0,965)= 0,3571 
Kv¹ 1,7906 
Ko² 1,5 
Km³ 1.3 
¹ 𝐾𝑣 =
78+√𝑉𝑝
78
 
² Light Shock e Moderate Shock 
³Accurate Mounting, min. Deflection, face width < 2in 
Da mesma maneira, calculamos a resistência à fadiga como: 
𝑆𝑛 = 𝑆
′
𝑛𝐶𝐿𝐶𝑠𝐶𝑔𝐾𝑟𝐾𝑡𝐾𝑚𝑠; 
Onde: 
Kms¹ 1,4 
Kt² 1 
Kr³ 0,814 
Cs* 1 
Cg** 1 
CL*** 1 
¹ Par de engrenagem Motora/Movida 
²T < 160 F 
³Assumindo 99% reliability 
*Mirror Polished 
**P ≥ 5 
***Flexão 
Temos então que: 
𝑆′𝑛𝐶𝐿𝐶𝑠𝐶𝑔𝐾𝑟𝐾𝑡𝐾𝑚𝑠 = 2,362 𝐾𝑠𝑖; 𝑆
′𝑛 = 2,073 𝐾𝑠𝑖 
Considerando que, para aços até 400 HB, temos S’n = 0,25 [HB] ksi; Logo S’n do 
material da engrenagem é 60 ksi. Assim, temos que 60 ksi > 2,438 Ksi, portanto 
o material não falhará por fadiga de flexão no dente. Passemos agora para o 
cálculo do limite de resistência superficial do dente: 
𝜎𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 = 𝐶𝑝√
𝐹𝑡
𝑏𝐷𝑝𝐼
(
cos𝜑
0,95𝐶𝑅
)𝐾𝑣𝐾𝑂0,93𝐾𝑚 
Onde: 
Cp 2300 
I¹ 0,1263 
CR² 1,2340 
Kv 1,7306 
Ko 1,5 
Km 1,3 
¹𝐼 =
sin 𝜙 cos𝜙
2
𝑅
𝑅+1
; 𝑅 = 2,13; 
²𝐶𝑅 =
[(𝑟𝑎𝑝
² −𝑟𝑏𝑝
² )
1
2+(𝑟𝑎𝑐
² −𝑟𝑏𝑐
² )
1
2−𝐶 sin 𝜙]
𝑃𝑏
; 𝑝𝑏 = 𝑝cos𝜙 ; 𝑝𝑏 = 0,1752; 𝐶𝑅 = 1,2340 
E 
 
𝑆𝐻 = 𝑆𝑓𝑒𝐶𝐿𝑖𝐶𝑅 
Onde: 
Sfe¹ 82 ksi 
Cli² 1 
Cr³ 1 
¹𝑆𝑓𝑒 = (0,4[𝐻𝐵]) − 10𝑘𝑠𝑖; 
²Assumindo 𝑁 = 107; 
³Assumindo 99% reliability; 
Portanto, teremos que: 
𝑆𝐻 = 82 𝑘𝑠𝑖 
𝜎𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 = 37,368 𝑘𝑠𝑖 
Como 𝜎𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 ≤ 𝑆𝐻, o sistema não falhará por fadiga superficial no dente. 
 
6. Cálculo para Reações de Apoio e Dimensionamento do Eixo e 
Chaveta 
Para o dimensionamento do eixo e chaveta é necessário primeiramente o cálculo das 
reações de apoio. Como citado anteriormente, o eixo de apoio do pinhão é dado pelo 
próprio motor e não será dimensionado, no entanto vamos verificar a sua resistência dadas 
as condições de contorno do pinhão. 
O material utilizado pelo eixo é o mesmo daquele utilizado pelo pinhão. 
Dadas as forças de reação na coroa 𝐹𝑡 = 3,558 𝑙𝑏𝑓; 𝐹𝑅 = 1,581𝑙𝑏𝑓 𝑒 𝐹𝐴 = 2,491 𝑙𝑏𝑠 
obtemos primeiramente a resultante entre as forças radiais e tangenciais. 
𝐹𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = √𝐹𝑡
2 + 𝐹𝑅
2 = 3,893 𝑙𝑏𝑓 
 
Assim encontramos as duas reações de apoio através do seguinte sistema de equações: 
∑𝐹 = 3,893 𝑙𝑏𝑓 
∑𝑀𝑓𝑙𝑒𝑡𝑜𝑟 = 0 
Dessa forma encontramos 𝐹1 = 0,249 𝑙𝑏𝑓 𝑒 𝐹2 = 3,644 𝑙𝑏𝑓 . Construímos então o 
seguinte diagrama de momento fletor: 
 
Para o dimensionamento do eixo por fadiga, aplicamos o critério de Goodman: 
𝜎𝑚 + 𝐾𝑓𝜎𝐴 (
𝑆𝑢
𝑆𝑛
) ≤ (
𝑆𝑢
𝑁𝑓𝑠
) 
Neste carregamento combinado, temos uma tensão média resultante da reação axial e do 
torque aplicado, e uma tensão alternada resultante do momento fletor combinado à 
rotação do eixo. 
Para a tensão média, utilizaremos a tensão equivalente de von Mises, com uma 
combinação da tensão cisalhante e tensão normal: 
𝜎𝑚 = 𝜎𝑣𝑜𝑛𝑀𝑖𝑠𝑒𝑠 = √𝜎𝑥2 + 3(𝜏𝑥𝑦2) 
A tensão normal advinda da Força axial e o Torque são calculados: 
𝜎𝑥 =
4𝐹𝐴
𝜋𝑑2
≈
3,171
𝑑2
 
𝜏𝑥𝑦 =
16𝑇
𝜋𝑑3
≈
13,027
𝑑³
 
Sendo o Kf = 1 + (KT – 1) q, precisamos obter um KT para o entalhe de uma chaveta. 
Segundo Juvinall, o ideal é que uma chaveta possua uma aresta de ¼ do diâmetro do eixo, 
e, segundo manual técnico da ETP Transmission, um valor de KT recomendado é de 3,9, 
já segundo Robert L. Mott em Elementos de Máquinas Em Projetos Mecânicos, o KT 
recomendado para esta condição é 2. Desta forma, utilizamos um valor médio entre as 
duas recomendações: 
https://etp.se/sites/default/files/T-M-Keyway-joints.pdf
𝐾𝑇 = 3; 𝐾𝑓 = 1 + (𝐾𝑇 − 1)𝑞 = 2,9; 𝑗á 𝑞𝑢𝑒 𝑞 = 0,95 
O fator de sensibilidade ao entalhe foi baseado num valor médio aproximado, para o 
material utilizado na fabricação do eixo. Como o eixo é do mesmo material do pinhão, 
temos um Su = 240 ksi. 
Para o cálculo de Sn temos: 
𝑆𝑛′ = 60 𝑘𝑠𝑖 
𝑆𝑛 = 𝑆
′
𝑛𝐶𝐿𝐶𝐺𝐶𝑇𝐶𝑅 
Pela característica de flexão do carregamento foi utilizado o CG = 0,7. Para a 
confiabilidade de 99% foi utilizado o CR = 0,814. O resultado é, então: 
𝑆𝑛 = 34,188 𝐾𝑠𝑖 
Para o fator de segurança: 
𝑁𝑓𝑠 = 2,0 
Devemos esta escolha principalmente às incertezas relativas à atmosfera, bem como 
solavancos de pouso e aterrissagem, que podem afetar as cargas encontradas. 
Finalmente, obtemos a formulação final pelo critério de Goodman: 
 
A resolução é obtida de forma numérica, dada à característica de equação implícita. 
Obtemos o valor do diâmetro mínimo necessário para que o eixo seja capaz de resistir ao 
critério de fadiga: 
𝑑 = 0,0723 𝑖𝑛 
No entanto, por ser uma dimensão demasiadamente pequena, escalamos o diâmetro do 
eixo por um fator de 10 vezes, de forma que seja facilitada sua usinagem, bem como a da 
chaveta. Como parte da área de seção do eixo é ocupada pela chaveta, obtemos uma área 
final verdadeira através da seguinte expressão: 
 
O diâmetro final do eixo a ser utilizado no projeto é, então: 
𝑑 = 0,743 𝑖𝑛 
 
 
 
 
Como a chaveta possui uma aresta de ¼ do diâmetro do eixo, temos uma chaveta com as 
seguintes dimensões: 
 
Como o q escolhido requer um entalhe de 0,08 in a suposição é válida, desde que seja 
feito o filete adequado na chaveta e em sua cavidade. 
Um hub encobrindo a chaveta é necessário para torna-la efetiva na utilização da 
engrenagem. Um hub de espessura similar ao diâmetro mínimo de 0,0723 in é 
suficiente, aproximando para 0,1 in. 
7. Fadiga para o Eixo do Motor 
O eixo do motor é um parafuso UNF¼-28, o material foi arbitrado como sendo classe 
10.9. Desta forma: 
• O diametro efetivo do eixo é 0.2268 in; 
• A distancia entre o centro da engrenagem até o ponto de apoio é 0,73 in; 
• Sy é 138 Ksi; 
• Su é 150 Ksi; 
(as informações acima podem ser obtidas em https://www.boltdepot.com/fastener-information/materials-and-grades/bolt-grade-
chart.aspx e http://www.carbidedepot.com/formulas-tap-standard.htm) 
Primeiramente, devemos calcular o limite de endurância do eixo. Assim, temos: 
𝑆𝑛 = 𝑆′𝑛𝐶𝑅𝐶𝐿𝐶𝐺𝐶𝑠𝐶𝑇 
Onde: 
Ct = 1, pois T ≤ 850º F; 
Cr = 0,868, considerando 95% de reliabilidade; 
Cs = 0,9, considerando-se commercially polished surface; 
Cg = 0,7, para obter-se o máximo de segurança considerando a ação da flexão e força 
axial (Considera-se que a torção está sendo compensada pelo motor/mancal de rolamento 
para as reações de apoio); 
Cl = 1, pelo mesmo motivo acima. 
Como o material é feito de aço, podemos considerar S’n como 0,5 Su; Assim, S’n = 75 
Ksi. 
https://www.boltdepot.com/fastener-information/materials-and-grades/bolt-grade-chart.aspx
https://www.boltdepot.com/fastener-information/materials-and-grades/bolt-grade-chart.aspx
http://www.carbidedepot.com/formulas-tap-standard.htm
Portanto, teremos Sn = 41,01 Ksi. 
De posse do Sn, passaremos a calcular as tensões médias e alternadas atuando sobre o 
eixo. As forças de reação sobre o eixo são aquelas causadas pelo pinhão em contato com 
a coroa, que são: 
𝐹𝑡 = 3,558 𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑇 tan 𝜙 ; 𝐹𝑅 = 1,581𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝐴 = 𝐹𝑇 tan𝜑 ; 𝐹𝐴 = 2,491 𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝐵 =
𝐹𝑇
cos𝜑
; 𝐹𝐵 = 5,081 𝑙𝑏𝑠 
Devemos então calcular as reações de apoio. Pelo desenho esquemático fornecido pelo 
fabricante, pode-se observar que o motor está em balanço e os mancais encontram-se após 
o mesmo. Ainda pelo desenho, podemos observar que os mesmos não são explicitados, 
portanto escolheremos valores arbitrários. Os valores escolhidos para as distâncias dos 
eixos dos mancais foram de 76.5mm e 38.25mm (As distâncias pelo desenho estão em 
mm). Passando para polegadas, teremos 3,01 polegadas e 1.51 polegadas. Assim, 
teremos: 
 
Encontramos então as forças resultantes nos apoios através das equações: 
∑𝐹 = 0 
∑𝑀𝑓𝑙𝑒𝑡𝑜𝑟 = 0 
O mancal de encosto será o mais afastado do motor, e portanto∑𝐹𝑥 = 𝐹𝑥,2 = 2,491 lbs. 
O sistema de equação restante será: 
∑𝐹𝑦 = 𝐹𝑅 − 𝐹1 − 𝐹2 = 1,581 − 𝐹𝑦,1 − 𝐹𝑦,2 
∑𝐹𝑧 = 𝐹𝑇 −𝐹𝑧,1 − 𝐹𝑧,2 = 3,558 − 𝐹𝑧,1 − 𝐹𝑧,2 
∑𝑀 = 𝑅12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑥 𝐹1⃗⃗ ⃗ + 𝑅13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑥 𝐹2⃗⃗ ⃗ − 𝑇𝑖̂ 
Onde: 
𝑅12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −1,5𝑖̂ + 0𝑗̂ + 0�̂� 
𝑅13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −3,01𝑖̂ + 0,85𝑗̂ + 0�̂� 
Fazendo o cálculo das matrizes, teremos: 
𝑅12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑥 𝐹1⃗⃗ ⃗ = −1,5𝐹𝑦,2�̂� − 1,5𝐹𝑧,2𝑗̂ 
𝑅13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑥 𝐹2⃗⃗ ⃗ = 0,85𝐹𝑇𝑖̂ − 3,01𝐹𝑅�̂� + 0,85𝐹𝐴�̂� − 3,01𝐹𝑇𝑗̂ 
Substituindo na equação de momento, teremos: 
∑𝑀 = −1,5𝐹𝑦,2�̂� − 1,5𝐹𝑧,2𝐹𝑦,2𝑗̂ + 0,85𝐹𝑇𝑖̂ − 3,01𝐹𝑅�̂� + 0,85𝐹𝐴�̂� − 3,01𝐹𝑇𝑗̂ − 𝑇𝑖̂ 
Substituindo os valores para as forças, teremos que: 
𝑇𝑖̂ = 3,0243 𝑙𝑏𝑠. 𝑖𝑛 
𝐹𝑦,2 = 1,761 𝑙𝑏𝑠 
𝐹𝑧,2 =
10,709
1,5𝐹𝑦,2
= 4,054 𝑙𝑏𝑠 
Substituindo-se os valores de 𝐹𝑦,2 para a equação do somatório das forças em y, teremos: 
∑𝐹𝑦 = 1,581 − 𝐹𝑦,1 − 1,761 =0;𝐹𝑦,1 = 0,18 𝑙𝑏𝑠 
Similarmente, para as forças em z, teremos: 
∑𝐹𝑧 =3,558 − 𝐹𝑧,1 − 4,054 = 0; 𝐹𝑧,1 = 0,496 𝑙𝑏𝑠 
Onde a força axial é de tração (positiva), que é constante, ou seja, teremos apenas tensões 
médias axiais resultantes, como o torque também é constante, temos uma tensão 
cisalhante média. Por outro lado, a flexão é gerada pela resultante das forças Fz e Fy, nos 
mancais um e dois que geram um momento resultante de flexão, as tensões axiais 
resultantes são completamente alternadas. As tensões podem ser calculadas por: 
𝜎𝑎,𝑚 =
𝐹𝑎,𝑚
𝐴
; 𝐹𝑎,𝑚 = 2,491 𝑙𝑏𝑠; 𝜎𝑎,𝑚 = 61,66 𝑃𝑠𝑖 
𝜎𝑠,𝑚 =
16𝑇
𝜋𝑑3
; 𝑇 = 3,024 𝑙𝑏𝑠; 𝜏𝑎,𝑚 = 1,320 𝑘𝑠𝑖 
𝜎𝑣𝑜𝑛𝑀𝑖𝑠𝑒𝑠 = √
𝜎² + 6𝜏²
2
= 2,286𝑘𝑠𝑖 
Que é a tensão Axial Média equivalente; 
𝜎𝑓,𝑎 = 
32𝑀𝑟
𝜋𝑑3
; 𝑀𝑟(𝑀𝐴𝑋) = 5,840 𝑙𝑏𝑠. 𝑖𝑛; 𝜎𝑓,𝑎 = 5,1 ksi 
Como o eixo do motor é um parafuso, temos a recomendação pelo Capítulo 10 do livro 
de Juvinall de valores para Kf. Como o material apresentado possui BHN 150, 
suponhamos que sua rosca seja cortada, o que nos dá um Kf de 2,8. Assim, sendo a 
equação de Goodman para fadiga da forma: 
𝜎𝑚,𝑒 + 𝐾𝑓 𝜎𝑎,𝑒 (
𝑆𝑢
𝑆𝑛
) ≤ (
𝑆𝑢
𝑁𝑓𝑠
) 
Teremos que a tensão equivalente média será igual a tensão equivalente de von Mises, e 
teremos a tensão alternada resultante do momento de flexão máximo no eixo. Portanto, 
para fator de segurança igual a 2, teremos que: 
54,517 𝐾𝑠𝑖 ≤ 75 𝐾𝑠𝑖 
Portanto o eixo não falhará por fadiga. 
 
 
8. Desenho do Perfil do Dente 
A curvatura do perfil do dente deve possuir uma geometria que permita as 
engrenagens à operar sem vibração e barulho. O método de desenho do perfil do 
dente mais comum usado atualmente é o perfil involuto: 
 
O ângulo de pressão determina a dimensão do círculo base, do qual é gerada a 
curva involuta. 
O perfil do dente foi desenhado usando a tabela abaixo de Wellman. 
 
O desenho abaixo exemplifica o desenho do perfil do dente, a porção do dente 
abaixo do círculo base é uma linha direta para o centro da engrenagem. 
 
Em que: (r) = (r tirado da tabela) /P 
(R) = (R tirado da tabela) /P 
 E para o filete para eliminação da quina usa-se a seguinte fórmula: 
Raio do Filete = 1.5 (.157/P) 
Para esse projeto P=20 e ângulo de pressão é 20°. Usando esse método foram 
obtidos os seguintes perfis para o pinhão e para a coroa: 
Pinhão 
 
Coroa 
 
 
Com os desenhos prontos, foi feita a modelagem da peça no programa Solidworks, 
onde o desenho da engrenagem foi extrudado até a largura calculada das 
engrenagens, 0,2739 pol, e torcionada de forma a fornecer o ângulo de hélice 
desejado de 35°. A torção foi inserida em número de revoluções obtido pelo 
seguinte cálculo: 
 
 tan(35°) =
𝑋
𝑏
=
𝑋
0,2739
 
 𝑋 = 0,1918 
 n de revoluções = 0,1918/2𝜋𝑅𝑝𝑖𝑡𝑐ℎ 
 
 
9. Mancais 
Os tipos de mancais considerados adequados para o projeto foram aqueles de 
tipo apoio. A série das caixas para rolamento escolhida foi a série SNN508-607 
da NSK, em que a carga de fratura é 25kN, muito maior do que os valores de 
carga trabalhados aqui nesse projeto.