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37 M aterial para uso exclusivo de aluno m atriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com partilham ento digital, sob as penas da Lei. © Editora Senac São Paulo. Neste capítulo, conheceremos os tipos de sistemas de numeração, de bases decimal, binária e hexadecimal. Entenderemos o porquê de cada sistema numérico, como cada um funciona e sua utilização na computação. Compreenderemos, também, algumas aplicações práti- cas, tais como a codificação BCD e o padrão alfanumérico ASCII, ado- tado na computação. Capítulo 3 Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal 38 Conceitos de computação I Ma te ria l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo . Com a necessidade de manter registros de animais e outros bens, a numeração escrita data de épocas mais primitivas. O sistema utilizava marcas ou traços em paus, pedras, etc., com a aplicação da correspon- dência biunívoca (correspondência entre os elementos de dois conjun- tos, tal que a cada elemento de um corresponda a um e somente um elemento do outro conjunto). Cajori (1993) define que os sistemas de escrita numérica mais primitivos provêm dos egípcios e dos babilônios e datam aproximadamente do ano 3500 a.C. Já o computador é capaz de entender apenas dois tipos de sinais, zero (0) e um (1), ou seja, a presença de corrente elétrica ou sua au- sência em algum ponto de seu circuito. Assim, podemos dizer que sua linguagem natural é de base 2 (binária). De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), na representação di- gital, os valores são representados por símbolos conhecidos como dí- gitos, e não de acordo com um sistema decimal. Podemos citar como exemplo o relógio digital. Ele mostra as horas e os minutos no formato de dígitos decimais. Dessa forma, a mudança do tempo mostrada pelo relógio se dá por etapas, e não continuamente, como realmente acon- tece. Podemos concluir que a representação digital da hora muda de forma discreta e a representação das horas por um relógio de ponteiro é mostrada de forma contínua. A principal diferença entre grandezas analógicas e digitais, por- tanto, pode ser simplesmente indicada como analógico-contínuo e digital-discreto. Na leitura de representações digitais, não há equívo- co, por se tratar de uma natureza discreta. Já para leituras analógicas, podem acontecer diferentes interpretações. Na prática, normalmente “arredondamos” o valor analógico lido para um valor aproximado mais conveniente. A representação digital é o resultado da atribuição de um número de precisão limitada a uma grandeza contínua. Por exemplo, quando medimos uma temperatura usando um termômetro de mer- cúrio (analógico), a marcação normalmente fica entre duas linhas de 39Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal M aterial para uso exclusivo de aluno m atriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com partilham ento digital, sob as penas da Lei. © Editora Senac São Paulo. graduação e temos que escolher uma linha mais próxima e um número, por exemplo, 36,5 °C. 1 Sistema numérico Para entendermos os sistemas de representação de símbolos numé- ricos, é necessário conhecer a necessidade de utilização para o sistema de medidas, tais quais as utilizadas no sistema agrícola do Egito antigo. Segundo Doberstein (2010, p. 28), as medidas adotadas pelos egípcios facilitavam a construção de diques para armazenamento de alimentos e o desenvolvimento de sua agricultura. O sistema de medição egípcio era baseado no comprimento de partes do corpo, como ilustrado na figura 1. Figura 1 – Sistema de medição no Egito antigo Existem evidências de que os egípcios utilizavam um sistema de nú- meros decimais há 5 mil anos. O sistema de numeração romana, pre- dominante há centenas de anos, também era um sistema de números decimais (embora organizado de forma diferente do sistema de números arábicos da base 10, com o qual estamos mais familiarizados). De acordo Dígito: a largura de um dedo. Palmo: a largura de quatro dedos. Cúbito: a distância do cotovelo à ponta do dedo médio. 40 Conceitos de computação I Ma te ria l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo . com Boyer e Merzbach (2012), os números foram estudados exaustiva- mente pelos gregos, e, por um longo tempo, a escola grega, mais preci- samente a pitagórica, defendia que tudo no universo era constituído de números. Kronecker (1857) é muitas vezes citado por ter dito: “Deus criou os números inteiros; tudo o mais é obra do homem”, considerando que o sistema de números reais foi erigido por matemáticos com base nos fundamentos intuitivamente óbvios fornecidos pelos números inteiros. De acordo com Clarke (1982), o surgimento da expressão “número real” se deu com René Descartes (1596-1650) em 1637, quando este apresentou as raízes de equações expressas por números imaginários, e tal expressão ainda é utilizada até hoje. (CLARKE, 1982, p. 48) Gauss (1777-1855) foi quem aprimorou a ideia de números reais e imaginários por meio de equações que não possuíam discriminante positivo. De acordo com Clarke (1982, p. 7), foi necessário que um grande período se passasse até que os trabalhos com os números irracionais fossem evitados, e somente 2.500 anos depois foi possível estabelecer a construção axiomática dos números reais. A matemática apresenta um conceito de representação bem defi- nida. A reta real ou a reta do número real é a reta cujos pontos são os números reais. Ou seja, a reta real é o conjunto IR de todos os números reais, vistos como um espaço geométrico, ou seja, o espaço euclidiano da dimensão unitária. A reta real da figura 2 reúne os números inteiros 1, 2 e 3, os números inteiros negativos -1 e -2, os número fracionários positivos 1 2 e 2 5 , o número fracionário negativo 12 - e a representação de números deci- mais 0,5, -1,5, bem como os irracionais 2 e 3- , e o π. 41Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal M aterial para uso exclusivo de aluno m atriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com partilham ento digital, sob as penas da Lei. © Editora Senac São Paulo. Figura 2 – Reta real 2 Sistema decimal O sistema métrico decimal tem sido o mais amplamente utiliza- do, desde que a civilização começou a contar. De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2007), o sistema decimal utiliza a base 10, sendo assim, essa base possui dez símbolos. São eles: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. As posições dos dígitos são representadas por meio de potências de 10. Estas são conhecidas como unidade, centena, milhar, e assim por diante. A figura 3 ilustra a representação do sistema decimal, com os dígitos mais significativos (most significant digits – MSD) e os dígitos menos significativos (least significant digits – LSD). Figura 3 – Representação em sistemas numéricos em potências de 10 Agora, vamos acompanhar um exemplo para compreendermos me- lhor essa representação: (234)10 = 2 × 10 2 + 3 × 101 + 4 × 100 MSD = 2 LSD = 4 1 2 5 2 0,5-1,5 -2 -1 0 1 2 π = 3,14159... 3 ... IR ... 1 2 - 3- 2 Dígitos menos significativos (LSD)Dígitos maissignificativos (MSD) ... ...103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 42 Conceitos de computação I Ma te ria l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo . Ou, ainda: 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1 = (234)10 3 Sistema binário De acordo com Haykin e Moher (2008), para determinado código bi- nário, cada símbolo pode ser de um dentre dois valores distintos, tal como pulso negativo ou pulso positivo. Os dois símbolos de um código binário são, geralmente, representados por 0 e 1. Tocci, Widmer e Moss (2011) definem que o sistema binário se utiliza da base 2, sendo assim, essa base possui dois dígitos. O alfabeto do sistema binário é represen- tado pelo conjunto de dois dígitos {0,1}. O sistema numérico binário pode ser representado pelo símbolo zero, utilizando o algarismo 0, e pelo símbolo um, utilizando o algarismo 1. Para as demais representações, utilizamos agrupamentos de 0 e 1. Haykin e Moher (2008) apresentam algumas das vantagens de utili- zação de um código representado por uma sequência binária: • A vantagem máxima sobre os efeitos de ruído em uma mídia de comunicação é obtida utilizando um código binário, pois o símbolo binário suporta um relativo nível alto de ruído. • O código binário é fácil de ser gerado e regenerado. Suponha que, em um código binário, cada palavra de código consista em R bits. O bit é um acrônimo para dígito binário. Sendo assim, R represen- ta o número de bits por amostra. Logo, utilizando esse código, podemos representar um total de 2R números distintos. Exemplificando, uma amostra quantizada em um de 256 níveis pode ser representada por um código com 8 bits, pois 28 bits = 256 possibili- dades. Contudo um número de bits forma níveis de representação pos- síveis para uma distribuição de possibilidades binárias. No sistema de 43Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal M aterial para uso exclusivo de aluno m atriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com partilham ento digital, sob as penas da Lei. © Editora Senac São Paulo. numeração binário, cada dígito possui um peso, que é uma potência de 2, como veremos na figura 4. Figura 4 – Representação em sistemas numéricos em potências de 2 Ao efetuarmos o lançamento de uma moeda, podemos obter dois resultados possíveis: {cara,coroa}. Assim, poderíamos associar esses dois resultados da seguinte forma: cara como sendo 1 e coroa como sendo 0, ou vice-versa. Poderíamos, também, até mesmo associá-los a verdadeiro ou falso: {verdadeiro,falso}, e assim por diante. Esse tipo de representação binária é utilizado no projeto da arquite- tura de funcionamento interno de um computador, porém, você terá que aprender a pensar em um sistema numérico um pouco diferente, o sis- tema de números binários, também conhecido como sistema base 2. Seguindo essa mesma regra, podemos representar as demais quan- tidades. A tabela 1 ilustra a sequência de numeração do sistema binário até o número 9. Tabela 1 – Números do sistema decimal 0 a 9 no sistema binário Decimal Binário 0 0 1 1 2 10 3 11 Dígitos menos significativos (LSD)Dígitos mais significativos (MSD) ... ...23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 (cont.) 44 Conceitos de computação I Ma te ria l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo . Decimal Binário 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 O termo “bit” (do inglês, “binary digit”) é dado a todo dígito binário, sendo que o conjunto de 4 bits recebe o nome de “nibble”, e o conjunto binário formado por 8 bits recebe o nome de “byte”. Segundo Tocci, Widmer e Moss (2007), todos os dados que são armazenados ou pro- cessados em um computador podem ser representados na forma de bits. No entanto, com um único bit, podemos representar dois estados possíveis, sendo assim, para resolver essa limitação, os computado- res trabalham com agrupamentos de bits. De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), os microprocessado- res projetados nas décadas de 1970 e 1980, como o Intel 8080, podiam operar com 8 bits de cada vez. Já os hardwares que utilizavam micropro- cessadores Intel 8088 e Intel 80286 operavam com 16 bits (apesar de aceitarem também instruções e dados de 8 bits). Microprocessadores como o Intel 80386, o Intel 80486 e o Pentium operavam com 32 bits (apesar de aceitarem também instruções e dados de 8 ou 16 bits). Sempre que um microprocessador, uma memória ou outro chip qual- quer precisar receber ou transmitir dados, esses dados são transferidos na forma de bits. Segundo Tocci, Widmer e Moss (2011), para que a transferência de dados seja mais rápida, esses bits não devem ser transferidos um de cada vez, mas, sim, vários de uma só vez. No entanto, utilizando um 45Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal M aterial para uso exclusivo de aluno m atriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com partilham ento digital, sob as penas da Lei. © Editora Senac São Paulo. único fio, só é possível transmitir um bit de cada vez. Com oito fios, pode-se realizar a transmissão de 8 bits de cada vez. Essa técnica de transmissão de dados é muito mais rápida que a transmissão em fio único, contudo os bits nos computadores são sempre transmitidos em grupos de 8, 16 ou 32 bits. É muito importante, para o conhecimento técnico de computação, entender a representação em agrupamento de bits, bem como as uni- dades de armazenamento de dados: • Um agrupamento de 4 bits é chamado de “nibble”. • Um agrupamento de 8 bits é chamado de “byte”. • Um agrupamento de 16 bits é chamado de “word”. • Um agrupamento de 32 bits é chamado de “double word”. • Um agrupamento de 64 bits é chamado de “quad word”. As unidades de medidas de armazenamento de informação são (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007): • Bit: número que pode representar apenas dois valores: 0 e 1. • Byte: grupo de 8 bits. Pode representar valores numéricos entre 0 e 255. Pode também ser usado para representar caracteres. Cada caractere ocupa um byte. • Kilobyte (KB): um grupo de aproximadamente 1.000 bytes. • Megabyte (MB): um grupo de aproximadamente 1.000.000 bytes. • Gigabyte (GB): um grupo de aproximadamente 1.000.000.000 bytes. Tocci, Widmer e Moss (2007) definem que os bytes podem ser usa- dos para representar números, caracteres, figuras ou qualquer outro tipo de dado armazenado ou processado em um computador. Exemplos: 46 Conceitos de computação I Ma te ria l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo . • A: 01000001. • E: 01000101. • F: 01000110. Na prática, alguns técnicos e estudantes da área de computação acabam, de forma imperceptível, decorando esses valores, porém, não acreditamos ser produtivo decorar esses números para o entendimento técnico e a utilização de computadores. O que denota importância salu- tar para o estudante de computação é a compreensão por trás dos bas- tidores, ou seja, quando pressionamos a tecla “E”, o teclado transmitirápara o computador um código que representa essa letra. Esse código, que você não precisa decorar, é 01000101. Tocci, Widmer e Moss (2007) ressaltam que não é importante saber qual é o código, mas é importante saber que ele é formado por 8 bits, que ficarão armazenados na memória do computador, ocupando exata- mente 1 byte. Neste ponto, veremos o significado das abreviaturas: KB (kilobyte), MB (megabyte) e GB (gigabyte). Previamente, definiu-se que 1 KB é aproximadamente 1.000 bytes. Na verdade, 1 KB são 1.024 bytes. Esse número foi selecionado porque sua representação binária é muito mais simples que a representação do número 1.000: 1.000 = 01111101000 em binário, enquanto 1.024 = 10000000000 em binário (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011). Uma aplicação conhecida em sistemas digitais é a utilização da codificação BCD (binary-coded decimal). Esse código é utilizado para apresentar números decimais em formato binário. Por meio dessa co- dificação, cada dígito é convertido em um binário equivalente. É impor- tante ressaltar que o sistema de codificação BCD não é um sistema numérico. É um número decimal com cada dígito codificado para seu equivalente binário (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007). Uma das principais vantagens do BCD é a relativa facilidade de conversão em decimal, e vice-versa. 47Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal M aterial para uso exclusivo de aluno m atriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com partilham ento digital, sob as penas da Lei. © Editora Senac São Paulo. Agora, vamos aprender a codificar o número 95310 para BCD, onde cada dígito decimal é representado por 4 bits. Tabela 2 – Representação do número 95310 em BCD 9 5 3 Decimal 1001 0101 0011 BCD Para decodificar o código BCD 1001001110000001 em seu equiva- lente decimal, é necessário agruparmos os dígitos em agrupamentos de 4 bits, conforme apresentado na tabela 3. Tabela 3 – Decodificação do código em decimal 1001 0011 1000 0001 BCD 9 3 8 1 Decimal Um equívoco frequente é confundir a codificação BCD com con- versão binária simples, visto que a codificação BCD é digito a digito. Exemplo: 13710 = 100010012 (número binário) 13710 = 0001 0011 0111 (codificação BCD) 4 Sistema hexadecimal Segundo Tocci, Widmer e Moss (2007), o sistema hexadecimal utili- za a base 16, sendo assim, essa base possui 16 símbolos, que podem vir seguidos de um número correspondente à sua base ou de uma letra, por exemplo, 48H. A nomenclatura “hexadecimal” é usada devido aos termos “hexa”, que significa “6”, e “deci”, que representa “10”, portanto, indicando a base 48 Conceitos de computação I Ma te ria l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo . 16. Cada número hexadecimal significa 4 bits de dados binários. Um byte é criado por 8 bits e é representado por dois dígitos hexadecimais. As posições dos dígitos são representadas por potências de 16, as- sim como realizado na representação decimal. A figura 5 apresenta as posições dessas potências de base 16. Figura 5 – Representação em sistemas numéricos em potências de 16 Os algarismos do sistema numérico hexadecimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Os símbolos/letras A, B, C, D, E e F valem, res- pectivamente: 10, 11, 12, 13, 14 e 15. NA PRÁTICA No sistema hexadecimal, fica mais fácil a representação de dados. Exemplos: • Para representar um nibble (0000 a 1111), basta exatamente um algarismo hexadecimal (0 a F). • Para representar um byte, bastam dois algarismos (00 a FF). • O número binário 01011111 em hexadecimal é representado apenas por 5F. • Um MAC address de placa de rede é representado por 00-5F-FF-E- 0-AA-FF em vez de 0-95-255-224-170-255. • A cor RGB (255,0,204) é representada apenas por #FF00CC. Para uma melhor compreensão da conversão numérica, vamos to- mar o exemplo de conversão de um número da base 16 para a base 10: Dígitos menos significativos (LSD)Dígitos mais significativos (MSD) 163164 162 161 160 16-1 16-2 16-3 16-4 49Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal M aterial para uso exclusivo de aluno m atriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com partilham ento digital, sob as penas da Lei. © Editora Senac São Paulo. (210)16 = 2 × 16 2 + 1 × 161 + 0 × 160 = (528)10 A tabela 4 apresenta a codificação dos símbolos em três diferentes bases: hexadecimal, decimal e o binário. Tabela 4 – Representação dos sistemas numéricos hexadecimal, decimal e binário Hexadecimal Decimal Binário 0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 A 10 1010 B 11 1011 C 12 1100 D 13 1101 E 14 1110 F 15 1111 Fonte: adaptado de Tocci, Widmer e Moss (2007). 50 Conceitos de computação I Ma te ria l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo . Uma aplicação prática dos sistemas alfanuméricos é o código alfanu- mérico mais conhecido por ASCII. Essa codificação foi construída para representação de todos os caracteres e funções encontrados em um te- clado de computador (26 letras minúsculas e 26 maiúsculas, 10 dígitos, 7 sinais de pontuação e de 20 a 40 outros caracteres). Em sua estrutura, utiliza 7 bits: 27 = 128 possíveis grupos de código. Pode ser utilizado para transferir informações entre computadores, entre computadores e im- pressoras e para armazenamento interno (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007). PARA SABER MAIS O ASCII (American Standard Code for Information Interchange, ou Código Padrão Americano para Intercâmbio de Informações) tornou-se um dos códigos mais utilizados da atualidade. Para saber mais, pesqui- se por “tabela ASCII”. Na internet, existem muitos exemplos disponíveis. Considerações finais Neste capítulo, foram apresentados as definições e o contexto histó- rico para os sistemas de numeração mais utilizados pela humanidade. Esses sistemas numéricos são descritos como sistemas decimal, biná- rio e hexadecimal. Além disso, foram demonstrados alguns exemplos de representação para sistema numérico, sua utilização na computa- ção e suas vantagens e desvantagens. Referências BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012. CAJORI, Florian. A history of mathematical notations. New York: Dover Publications, 1993. 51Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal M aterial para uso exclusivo de aluno m atriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com partilham ento digital, sob as penas da Lei. © Editora Senac São Paulo. CLARKE, Desmond M. Descartes’ philosophy of science. Manchester: Manchester University Press, 1982. DOBERSTEIN, Arnoldo W. O Egito antigo. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2010. Disponível em: www.pucrs.br/edipucrs/oegitoantigo.pdf. Acesso em: 19 nov. 2019. HAYKIN, Simon; MOHER, Michael. Sistemas modernos de comunicações wireless. Porto Alegre: Bookman, 2008. KRONECKER, Leopold. Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, v. 53, p. 173- 175, 1857. TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas digitais: princípios e aplicações. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas digitais: princípios e aplicações. 11. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 52 Conceitos de computação I Ma te ria l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo . M at er ia l p ar a us o ex cl us ivo d e al un o m at ric ul ad o em c ur so d e Ed uc aç ão a D is tâ nc ia d a Re de S en ac E AD , d a di sc ip lin a co rre sp on de nt e. P ro ib id a a re pr od uç ão e o c om pa rti lh am en to d ig ita l, s ob a s pe na s da L ei . © E di to ra S en ac S ão P au lo .
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