MATEMATICA FISICA ATIVID 4 S

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25/05/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – GRA1583 ...
https://fmu.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_33888411_1&course_id=_560668_1&content_id=_13247675_1… 1/7
Pergunta 1
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resposta:
No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza escalar
por unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu gradiente é definido por
 , em que , e são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem
módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as direções dos eixos
cartesianos x, y e z.
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
2. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. Justificativa: Esta é a própria definição de uma grandeza vetorial. A
função identifica o módulo, a direção e o sentido em que a
função escalar apresenta a maior taxa de variação por unidade de comprimento em
um dado ponto de coordenadas .
Pergunta 2
Um campo de forças, ou campo vetorial, é uma função que associa um vetor a cada ponto de
coordenadas (x, y, z). Quando os valores são somente numéricos, o campo é denominado escalar.
Seja, então, um campo de forças F: definido por .
 
Considere as figuras a seguir:
1 em 1 pontos
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resposta:
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Qual delas representa o campo vetorial F?
IV.
IV.
Resposta correta. Justificativa: O módulo da função vetorial F decai segundo o inverso da
distância em relação à origem do sistema de coordenadas, ou seja, pois 
 = , em que d é o valor da
distância do ponto (x, y), em relação ao ponto (0, 0). Como o vetor F é anti-horário para
qualquer coordenada (x, y), a orientação do campo de forças F é anti-horário.
Pergunta 3
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Dados dois vetores, = (a x , a y , a z ) e = (b x , b y , b z ), define-se como produtor escalar,
representado por , o número real a x b x 
+ a y b y + c x c y ou ao equivalente em que θ é o ângulo compreendido entre eles.
Suponha, então, os vetores = (2, 1, m), = (m+2, –5, 2) e = (2m, 8, m).
Para quais valores de m os vetores resultantes das operações + e serão ortogonais entre
si? Assinale a alternativa correta.
m = -6 ou m = 3.
m = -6 ou m = 3.
Resposta correta. Justificativa: Para serem ortogonais entre si, é condição necessária
que o ângulo entre os vetores seja . Assim e
 ou .
1 em 1 pontos
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Pergunta 4
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resposta:
Pela geometria euclidiana, três pontos distintos, P, Q e R, definem um plano, e suas coordenadas
coincidem com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto é definido 
 em que é valor do ângulo entre os vetores. Considere os pontos de coordenadas
seguintes em um sistema de eixos cartesianos: A(6, 9, 3), B(6, 3, -3) e C(6, 6, -6).
Com base no exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Os pontos A, B e C definem um triângulo retângulo.
PORQUE
II. O produto escalar .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. Justificativa: São três pontos distintos em ℝ 3 
o que define os vértices de um triângulo. O produto escalar = (0, -6, -6) (0, -3,
3) = . Significa que os vetores e são
ortogonais entre si e implica que o triângulo é retângulo em B.
Pergunta 5
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resposta:
Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio de três
vetores linearmente independentes, , e , pode ser expresso como um produto misto do tipo
 . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10,
10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro.
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
Resposta correta. Justificativa: Denominando (20-(-10), 10-20, -30-0),
 (10-(-10), 10-20, 10-0) e (30-(-10), -20-20, 30-0) temos, pelo teorema,
que X = u.v.
Pergunta 6
Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa figura, há um losango de vértices E, F,
G e H, sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do quadrado. O ponto O é a
interseção das diagonais do losango. Um vetor que porventura tenha origem no ponto I e término em J
é representado por .
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s)
falsa(s).
I. ( ) .
II. ( ) // 
III. ( ) . 
IV. ( ) .
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. Justificativa: Dois vetores, para serem equivalentes entre si,
necessitam possuir mesmo módulo, direção e sentido. Como os vetores e 
 possuem sentidos opostos, então são vetores distintos e a equivalência está
incorreta.
Pergunta 7
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resposta:
Dados dois vetores, e, o produto escalar entre eles é representado e definido por
 , em que é o ângulo subentendido entre
eles. Suponha os pontos de coordenadas P(10k, 10, 0), Q(10k -1, 20K, 20) e R(10, 30, -10) em um
sistema de eixos cartesianos.
Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para
a(s) falsa(s).
I. ( ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k.
II. ( ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo.
III. ( ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P.
IV. ( ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. Justificativa: Não há valor de k para o qual e
 e o que implica que os pontos P, Q e R são distintos e
três pontos distintos em R 3 definem um triângulo. Se k = 1 ⇒ (-1, 10, 20) 
 (0, 20, -10) = 0 cuja conclusão é a de que os vetores são ortogonais entre si e, portanto,
o triângulo é retângulo em P, a sua área pode ser calculada: Área = u.a.
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Pergunta 8
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Suponha que uma partícula P desenvolve movimento circular cujo módulo da velocidade seja
constante). O deslocamento ocorre em torno da origem O de um sistema de coordenadas cartesiano.
O vetor = (r x, r y ) indica a posição de P, e A, B, C e D são quatro pontos da trajetória que
coincidem com os eixos x ou y. O ponto E da trajetória coincide com a bissetriz do quarto quadrante).
 
 
Fonte: Elaboradapelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s)
falsa(s).
I. ( ) Nas posições B ou D, as componentes verticais r y do vetor posição possuem os maiores
módulos.
II. ( ) Nas posições A ou C, as componentes horizontais v x do vetor velocidade possuem os menores
módulos.
III. ( ) Na posição E, as componentes vertical r x e horizontal r y 
do vetor posição possuem o mesmo módulo.
IV. ( ) Nas posições A, B, C, D e E, os vetores aceleração de P possuem o mesmo módulo. 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justificativa: Sendo , , a
componente vertical possui valor máximo para ou 
 que coincide com B e D. Em A ou C, a velocidade somente possui componente vertical e
a componente horizontal é zero. Na posição E, as projeções do vetor posição são as
mesmas nas direções horizontal e vertical, porque . E, em um MCU, a
aceleração possui módulo constante com o vetor sempre orientado para o centro.
Pergunta 9
Em um plano, a posição de um ponto P pode ser definida por meio de um par ordenado de valores do
tipo (x, y) em um sistema de coordenadas cartesianas. Outra possibilidade é determinar a posição do
ponto P pela distância r em relação à origem O e pelo ângulo que a reta que une a origem O ao ponto
P define com um dos eixos cartesianos. Essa representação, expressa ( , ), é denominada
coordenadas polares.
 
1 em 1 pontos
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Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir das descrições apresentadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) .
II. ( ) .
III. ( ) .
IV. ( ) .
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justificativa: Todas as relações de conversão entre os dois sistemas
de coordenadas podem ser deduzidas a partir de relações trigonométricas no triângulo
OxP: , , e
.
Pergunta 10
A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de segmento circular AB,
no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1 segundo. O raio R da trajetória possui valor R = 2
metros. Os vetores e são vetores canônicos e possuem módulo de valor unitário.
 
 
1 em 1 pontos
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Segunda-feira, 25 de Maio de 2020 19h54min02s
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Fonte: Elaborada pelo autor.
Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média e da velocidade
escalar média, respectivamente.
3,7 m/s e 4,7 m/s.
3,7 m/s e 4,7 m/s.
Resposta correta. Justificativa: e . Sendo
, então o módulo da
velocidade vetorial média é m/s. A velocidade escalar média no
percurso AB, no mesmo período = 1 s é = 4,7 m/s.