Circuitos com Acoplamentos Magnéticos

Prévia do material em texto

Chagas – DEE / UFCG 
43 
 
Capítulo II 
Circuitos com Acoplamentos Magnéticos 
Estuda-se neste capítulo elementos de acoplamento magnético e circuitos que contêm esses 
elementos. Ao contrário dos resistores, capacitores e indutores não acoplados, tais dispositivos 
não possuem uma característica que possa ser associada a um só elemento físico, pois o 
acoplamento magnético resulta do compartilhamento das linhas de indução entre dois ou mais 
indutores fisicamente próximos. 
O estudo dos circuitos magneticamente acoplados serve de base para a teoria de máquinas 
elétricas, transformadores e demais equipamentos magnetoelétricos. 
1. Revisão de Conceitos Fundamentais 
1.1. Fluxo de Enlace 
Fluxo de enlace ou fluxo concatenado em um enrolamento é o produto do número de 
espiras desse enrolamento, N, pelo fluxo  que efetivamente o atravessa, ou seja: 
 N (2.1) 
No sistema internacional de unidades,  é medido em Weber - espiras (Wb - t). 
Nos casos reais, o fluxo  sofre dispersão, ou seja, não é enlaçado por todas as espiras do 
enrolamento. Assim, diferentes fluxos, 1, 2, ...,n, podem ser enlaçados por diferentes 
espiras, sendo o fluxo de enlace dado por: 
nnNNN  ...2211 (2.2) 
São mostradas na Fig. 2.1 oito linhas de fluxo que atravessam uma bobina de cinco espiras, 
onde se supõe que cada linha corresponde a 1 Wb. 
Duas dessas linhas atravessam apenas uma espira, contribuindo com um fluxo concatenado 
de 2 Wb-espiras. Outras duas linhas atravessam três espiras, contribuindo com 6 Wb-espiras. 
As quatro linhas restantes atravessam todas as cinco espiras, contribuindo com 20 Wb-espiras. 
Assim, o fluxo concatenado total é de 28 Wb-espiras. Se todas as linhas de fluxo atravessassem 
todas as espiras do enrolamento, o fluxo concatenado total seria de 8 Wb x 5 espiras = 40 Wb – 
espiras. Assim, o fluxo de dispersão no indutor da Fig. 2.1 é de 12 Wb-espiras. 
Chagas – DEE / UFCG 
44 
 
 
Fig. 2.1. Linhas de fluxo que atravessam uma bobina. 
1.2. Indutância Própria 
É considerado um indutor constituído por N espiras enroladas em torno de um núcleo de 
material ferromagnético, o qual é mostrado na Fig. 2.2; S é a área de seção reta e l é o 
comprimento médio da trajetória do fluxo magnético no núcleo. 
 
Fig. 2.2. Indutor com núcleo de material magnético. 
A lei de Faraday estabelece que uma variação de  implica em uma força eletromotriz auto-
induzida nos terminais do enrolamento, v, dada por: 
dt
dN
dt
Nd
dt
dv  )(
 
(2.3) 
A expressão (2.3) também pode ser escrita como: 
dt
id
di
d
dt
dv 
 
(2.4) 
Se este enrolamento encontra-se em um meio não magnético, d/di é constante, ou seja: 
idi
dL 
 
(2.5) 
Chagas – DEE / UFCG 
45 
 
O parâmetro L é definido como sendo a indutância própria do enrolamento. No sistema 
internacional de unidades, é medida em Henry (H); assim, resulta a expressão: 
dt
idLv  (2.6) 
A relação entre a densidade de fluxo ou indução magnética, B, e o campo magnético H é 
definida como sendo a permeabilidade magnética do material, : 
H
B

 
(2.7) 
Pode-se também escrever: 
BSNN  (2.8) 
Pela lei circuital de Ampére, tem-se: 
H
N
liiN  dlH . 
(2.9) 
O produto N i é denominado força magnetomotriz, medida em Ampéres - espiras. 
Assim, de (2.5), (2.7), (2.8) e (2.9), resulta: 
l
SNL
2

 
(2.10) 
Vê-se que a indutância própria é um parâmetro que depende apenas das dimensões 
geométricas da bobina e do núcleo (área de seção reta e comprimento), número de espiras e 
permeabilidade do material magnético. Das expressões (2.5) e (2.8), conclui-se que o efeito de 
dispersão do fluxo tende a reduzir a indutância própria da bobina. Este fato é evitado no 
projeto de equipamentos através da uniformização e redução do passo dos enrolamentos, 
dispostos em camadas, e da utilização de núcleos magnéticos constituídos por materiais de alta 
permeabilidade, de modo a minimizar a dispersão das linhas de fluxo 
No projeto de um indutor, quando se quer aumentar L através do aumento da seção reta do 
núcleo e do número de espiras, encontram-se restrições em relação a tamanho e custo. Outra 
restrição é relacionada à permeabilidade do material do núcleo. Os materiais magnéticos 
encontrados na natureza apresentam a propriedade da saturação, a qual se manifesta do modo 
indicado na Fig. 2.3. Ao magnetizar o material da curva b a partir do estado de 
desmagnetização total, observa-se que o modo de variação da indução, B, em função do campo 
magnético aplicado, H, somente pode ser considerado linear até o ponto P1. A partir deste 
ponto,  cai bruscamente. Isto ocorre com uma liga ferro-silício ou uma liga amorfa, por 
exemplo. Na mesma figura também é mostrada a curva de magnetização B - H de um material 
Chagas – DEE / UFCG 
46 
 
não magnético (curva a), como o ar. Pelas equações (2.8) e (2.9), deduz-se que a curva de 
magnetização  - i de um indutor apresenta-se semelhante à curva B - H. 
 
Fig. 2.3. ( a ) Material não-magnético; ( b ) material magnético. 
Observa-se que, além de certo valor de campo aplicado (ponto P2), são necessários 
incrementos cada vez maiores de H (ou de i) para uma mesma variação de B (ou de ). Isto 
implica em grandes variações nos valores da permeabilidade  e na indutância L. Este fato leva 
a definir permeabilidade diferencial e indutância diferencial através das seguintes expressões: 
dH
dBH  )(
 
(2.11) 
di
diL )(
 
(2.12) 
As expressões (2.11) e (2.12) correspondem, respectivamente, às inclinações das curvas B - 
H e  - i, as quais se reduzem significativamente à medida que H e i aumentam. 
Neste capítulo somente serão considerados os indutores lineares. 
1.3. Indutância Própria e Energia Armazenada 
Considera-se que a bobina da Fig. 2.4 possui resistência R e indutância L. Fechando a chave 
em t = 0, com i(0) = 0 e (0) = 0, pode-se escrever: 
dt
diRv 
 
(2.13) 
O termo e = d/dt corresponde à força eletromotriz auto-induzida na bobina (também 
denominada força contra eletromotriz), a qual possui uma polaridade determinada pela lei de 
Lenz. Assim, a força eletromotriz auto-induzida manifesta-se de forma tal a produzir um fluxo 
Chagas – DEE / UFCG 
47 
 
magnético que tende a contrariar as variações do fluxo associado à corrente imposta pela 
fonte. Se i está crescendo, o sentido de e se estabelece de modo que o terminal superior da 
bobina da Fig. 2.4 apresenta sinal positivo e o terminal inferior apresenta sinal negativo. Se i 
está decrescendo, os sinais apresentam-se invertidos. 
 
Fig. 2.4. Energização de uma bobina de resistência R e indutância L. 
Multiplicando ambos os membros de (2.13) por i dt: 
 didtiRdtiv 2 (2.14) 
Considerando o período dt, o termo v i dt é a energia fornecida ao circuito pela fonte, o 
termo R i2dt é a energia dissipada pelo resistor e i d é a energia dWm armazenada no campo 
magnético da bobina isolada, estacionária e não deformável, ou seja: 
 didWm (2.15) 
A energia total armazenada é dada por: 
 
m diWm

0 
(2.16) 
Se o meio não contém materiais ferromagnéticos, L é constante. Considera-se I como sendo 
a corrente de regime permanente do circuito. Como  = L i, tem-se: 
 
I
m ILdiiLW 0
2
2
1
 
(2.17) 
2. Indutância Mútua 
2.1. Definição 
São mostradas na Fig. 2.5 duas bobinas próximas, 1 e 2, sendo a bobina 1 percorrida por 
uma corrente variável i1, de modo a se estabelecer um fluxo magnético 1, o qual possui as 
seguintes componentes: d1, que atravessa apenas a bobina 1, e m1, que atravessa as bobinas1 e 2. d1 e m1 são denominados, respectivamente, fluxo de dispersão e fluxo de acoplamento. 
Supõe-se inicialmente a bobina 2 em aberto. 
Chagas – DEE / UFCG 
48 
 
 
Fig. 2.5. Bobinas magneticamente acopladas. 
Sendo 1 = m1 + d1, os fluxos de enlace nas bobinas 1 e 2, produzidos por i1, são: 
11111 iLN  (2.18) 
112121 iMN mm  (2.19) 
O coeficiente de proporcionalidade M12 é denominado indutância mútua. Como no caso da 
indutância própria, ela depende da permeabilidade magnética do meio e das dimensões 
geométricas das bobinas. Além disso, M12 depende do posicionamento relativo das bobinas. No 
Sistema Internacional de Unidades, a indutância mútua é expressa em Henrys (H). 
2.2. Indutância Mútua e Energia Armazenada 
Considerando duas bobinas estacionárias e magneticamente acopladas, colocadas num meio 
de permeabilidade constante, supõe-se o seguinte procedimento: 
a. Liga-se uma fonte à bobina 1, aumentando-se a corrente i1, de 0 a I1, com a bobina 2 em 
aberto; após isto, com I1 mantida constante, liga-se outra fonte à bobina 2, aumentando-
se a corrente i2 de 0 a I2. 
b. Liga-se a fonte à bobina 2, aumentando-se a corrente i2, de 0 a I2, com a bobina 1 em 
aberto; após isto, com I2 mantida constante, liga-se outra fonte à bobina 1, aumentando-
se a corrente i2 de 0 a I1. 
No procedimento ( a ), a energia armazenada na bobina 1 devido ao aumento de i1 é: 
 
 1
'
1
0
2
111110 11 2
1)(
I
ILiLdidi
 
(2.20) 
Como a corrente na bobina 2 cresce de 0 a I2, com I1 mantida constante, ambas as bobinas 
armazenarão energia. A energia armazenada na bobina 2 face ao aumento de i2 é: 
Chagas – DEE / UFCG 
49 
 



'
2
0 22
di 
Caso os fluxos de enlace estejam no mesmo sentido ou em oposição, tem-se: 
112222 IMiL  (2.21) 
Como I1 é constante, pode-se escrever: 
222 diLd  (2.22) 
Logo, a energia armazenada na bobina 2 é: 
 
2
'
2
0
2
222220 22 2
1)(
I
ILiLdidi

 
(2.23) 
Para os fluxos de enlace no mesmo sentido ou em oposição, tem-se para 1: 
221111 iMIL  (2.24) 
2211 diMd  (2.25) 
A energia armazenada na bobina 1 devido ao aumento de i2 é: 
 
 2
''
1
0 212122110 11
)(
I
IIMdiMIdI (2.26) 
A energia total armazenada nas duas bobinas, Wm, após o procedimento ( a ) é dada pela 
soma de (2.20), (2.23) e(2.26), ou seja: 
2121
2
22
2
11 2
1
2
1 IIMILILWm 
 
(2.27) 
Obviamente, se for realizado o procedimento ( b ), a energia total armazenada resultará em: 
2112
2
22
2
11
'
2
1
2
1 IIMILILWm 
 
(2.28) 
É fácil entender que Wm’= Wm, pois a quantidade total de energia armazenada no campo 
magnético do sistema independe da ordem segundo a qual as correntes são incrementadas. 
Assim, resulta: 
2112 MM  (2.29) 
3. Coeficiente de Acoplamento 
No circuito da Fig. 2.6, m1 e  m2 são os fluxos de acoplamento das bobinas 1 e 2. d1 e d2 
são os fluxos de dispersão. Considerando i2 = 0, a tensão induzida na bobina 2 é dada por: 
dt
d
Nv m122


 
(2.30) 
Da expressão (2.19), N2m1 = M12i1; assim: 
Chagas – DEE / UFCG 
50 
 
dt
idMv 12 
 
(2.31) 
 
Fig. 2.6.Bobinas magneticamente acopladas. 
Igualando (2.30) e (2.31): 
1
1
2 di
dNM m
 
(2.32) 
Se as bobinas se encontram em um meio onde não ocorre saturação magnética, pode-se 
considerar que m1 varia linearmente com i1; assim: 
1
1
2 i
NM m
 
(2.33) 
Considerando agora i1 = 0 e uma corrente i2 circulando na bobina 2, o fluxo criado por esta 
bobina que atravessa a bobina 1 está associado à indutância mútua M, dada por: 
2
2
1 i
NM m
 
(2.34) 
Define-se coeficiente de acoplamento entre as bobinas 1 e 2 como sendo a relação entre o 
fluxo compartilhado pelas duas bobinas e o fluxo produzido por cada uma delas, ou seja: 
2
2
1
1





 mmk
 
(2.35) 
Por outro lado: 
111 dm  (2.36) 
222 dm  (2.37) 
Como m1  1 e m2  2, tem-se que 0  k 1. De (2.33) e (2.34), obtém-se: 
11
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2 LLk
i
N
i
Nk
i
kN
i
kN
i
N
i
NM mm 




 





 





 





 





 





 

 
(2.38) 
Chagas – DEE / UFCG 
51 
 
21 LLkM  (2.39) 
4. Polaridades de Enrolamentos 
4.1. Corrente Induzida 
Na análise de circuitos contendo indutores acoplados magneticamente, é indispensável que 
se tenha informação acerca dos sentidos dos enrolamentos dos indutores, uma vez que isto 
influi diretamente nas polaridades das tensões associadas ao fenômeno da indução mútua. 
A Fig. 2.7(a) mostra o enrolamento 1 ligado a uma fonte e o enrolamento 2 ligado a uma 
carga passiva. A corrente i1 é suposta crescente no sentido indicado. O efeito produzido na 
bobina 1 consiste no surgimento de uma tensão v1 associada à indutância própria. Conforme foi 
visto anteriormente, esta tensão, denominada força eletromotriz auto-induzida, apresenta um 
sentido determinado pela lei de Lenz, estabelecendo-se de forma a se opor ao aumento de i1. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 2.7. Influência dos sentidos dos enrolamentos nos sinais das tensões induzidas. 
O fluxo crescente 1, associado a i1, também atravessa a bobina 2, produzindo, pela lei de 
Lenz, um fluxo 2 cujo sentido é tal que se opõe ao crescimento de 1. Se os terminais da 
bobina 2 não se acham em aberto, surgirá na mesma uma corrente i2 cujo sentido é 
determinado pela regra da mão direita. Esta corrente acha-se associada a uma tensão induzida 
v2, com o sentido indicado em (a). A tensão v2 é chamada força eletromotriz induzida, a qual é 
causada pela indutância mútua entre as duas bobinas. 
Na Fig. 2.7(b), o sentido do enrolamento 2 é oposto ao enrolamento 2 da Fig. 2.7(a). 
Supondo i1 crescendo no sentido indicado e usando o raciocínio descrito anteriormente, 
conclui-se que o sentido da força eletromotriz induzida v2 é oposto ao mostrado na Fig. 2.7(a). 
Entretanto, não é prático representar os circuitos mostrando os sentidos dos enrolamentos, 
uma vez que isto implica em detalhes que sobrecarregam os diagramas. Para contornar o 
problema, são utilizadas as representações simplificadas da Fig. 2.8. 
Chagas – DEE / UFCG 
52 
 
Tais simplificações consistem no seguinte: dois terminais de um par de bobinas 
magneticamente acopladas que apresentam mesma polaridade devem ser marcados com um 
ponto. Esses terminais de mesma polaridade são ditos correspondentes. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 2.8. Representação simplificada das polaridades relativas dos enrolamentos. 
Na Fig. 2.9 acham-se mostrados exemplos que mostram a aplicação da regra do ponto para 
determinação da polaridade da tensão mútua. Assim, é estabelecida a convenção a seguir. 
▪ Se uma corrente entra pelo terminal da bobina marcado com um ponto, a polaridade de 
referência da tensão induzida na segunda bobina é positiva no terminal da segunda bobina 
marcado com um ponto. 
▪ Se uma corrente sai pelo terminal da bobina marcado com um ponto, a polaridade de 
referência da tensão induzida na segunda bobina é negativa no terminal da segunda bobina 
marcado com um ponto. 
 
 ( a ) ( b ) 
 
 ( c ) ( d ) 
Fig. 2.9. Exemplos mostrando a aplicaçãoda regra do ponto. 
Chagas – DEE / UFCG 
53 
 
4.2. Correntes Impostas por Fontes em Ambos os Enrolamentos 
Em relação à Fig. 2.7, considerando os terminais de mesma polaridade já identificados com 
pontos, supõe-se que ambos os enrolamentos são agora percorridos com correntes impostas 
por fontes externas, com os sentidos indicados na Fig. 2.10. 
 
Fig. 2.10. Determinação dos sentidos dos fluxos produzidos por correntes de diferentes sentidos. 
Neste caso, os sentidos das correntes no enrolamento 2 já não dependem do fenômeno de 
indução mútua, mas das polaridades das fontes. Para os sentidos das correntes nos 
enrolamentos, os sentidos dos fluxos por elas produzidos são determinados através da regra da 
mão direita. Assim, constata-se o seguinte fato: 
▪ quando ambas as correntes entram ou saem nos terminais de mesma polaridade, elas criam 
fluxos no mesmo sentido; 
▪ quando uma corrente entra num terminal com ponto e a outra sai, os fluxos são opostos. 
4.3. Teste de Polaridade – Método do Golpe Indutivo 
Uma forma simples de determinar em laboratório as polaridades dos enrolamentos consiste 
na utilização da montagem da Fig. 2.11, seguindo-se o procedimento descrito a seguir. 
▪ Marca-se um ponto no lado superior do enrolamento primário. No enrolamento secun-
dário, liga-se um voltímetro CC (preferencialmente, do tipo com escala de zero central). 
Chagas – DEE / UFCG 
54 
 
▪ Fecha-se a chave e observa-se o sentido de deslocamento do ponteiro. Se o sentido for 
horário, o ponto no enrolamento secundário é marcado no terminal ligado ao borne positivo 
do voltímetro; caso contrário, o ponto é marcado no terminal ligado ao borne negativo. 
 
Fig. 2.11. Montagem para determinação de polaridades (método do golpe indutivo). 
5. Circuitos com Acoplamento Elétrico e Magnético 
5.1. Considerações Gerais 
Até aqui, somente foram considerados indutores com acoplamento puramente magnético. A 
partir de agora serão também considerados indutores eletricamente acoplados. Inicialmente, 
são consideradas ligações de dois indutores em série e em paralelo. Posteriormente, serão 
analisadas configurações mais gerais, as quais incluem resistores e capacitores. 
O funcionamento em regime permanente senoidal permite o emprego da análise fasorial. 
Assim, as expressões v = L di / dt e v = M di / dt serão substituídas por V = j  LI e V = j  MI, 
sendo j  L e j  M as reatâncias própria e mútua, respectivamente. 
5.2. Indutores em Série 
Dois indutores magneticamente acoplados e ligados em série são mostrados na Fig. 2.12. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 2.12. Indutores magneticamente acoplados ligados em série. 
Para as configurações ( a ) e ( b ), tem-se, respectivamente: 
Chagas – DEE / UFCG 
55 
 
IV )( 21 MjLjMjLj   (2.40) 
)2( 21 MLLjI/  VZ (2.41) 
Isto sugere que, para os casos ( a ) e ( b ), as indutâncias equivalentes são, respectivamente: 
MLLL 221  (2.42) 
MLLL 221  (2.43) 
5.3. Indutores em Paralelo 
O problema agora é determinar um indutor equivalente à associação de dois indutores em 
paralelo. Na Fig. 2.13 são mostradas duas situações possíveis. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 2.13. Indutores magneticamente acoplados ligados em paralelo. 
Aplicando a lei de Kirchhoff das malhas no circuito da Fig. 2.13(a), rearranjando os termos e 
colocando em forma matricial: 
2211 )( IIIV MjLj   (2.44) 
)()(0 12222121 IIIIII  MjLjMjLj  (2.45) 




















2
1
211
11
)2()(
)(
0 I
IV
MLLjMLj
MLjLj


 
(2.46) 
Pela regra de Cramer: 
)2()(
)(
)2(0
)(
211
11
21
1
1
MLLjMLj
MLjLj
MLLj
MLj








V
I
 
(2.47) 
VI
)(
)2(
2
21
21
1 MLLj
MLL



 
(2.48) 
A impedância vista dos terminais da fonte é: 
Chagas – DEE / UFCG 
56 
 
)2(
)(
21
2
21
1 MLL
MLLj


 
I
VZ
 
(2.49) 
A indutância equivalente da associação é dada por: 
)2(
)(
21
2
21
MLL
MLLL



 
(2.50) 
Uma análise semelhante em relação à Fig. 2.13( b ) fornece: 
)2(
)(
21
2
21
MLL
MLLL



 
(2.51) 
5.4. Exemplos 
Exemplo 1 - No circuito da Fig. 2.14, pede-se que se faça a marcação das polaridades dos 
indutores com pontos, bem como o cálculo da tensão sobre o capacitor. 
 
Fig. 2.14. Circuito do Exemplo 1. 
Solução - Considera-se a corrente penetrando no terminal superior da bobina esquerda e 
coloca-se aí um ponto. Pela regra da mão direita, o sentido do fluxo correspondente é de baixo 
para cima. Considera-se agora o fluxo produzido pela corrente da bobina da direita orientado 
de cima para baixo, no mesmo sentido do fluxo anterior. Para que isso ocorra, a corrente nesta 
bobina tem de penetrar no terminal superior. Logo, esse terminal deve também ser marcado 
com um ponto, pois, conforme foi anteriormente afirmado, se as correntes entram ambas em 
terminais correspondentes, elas produzem fluxos no mesmo sentido. Assim, o circuito é 
redesenhado como mostra a Fig. 2.15. 
Convencionando as correntes de malha como o indicado e aplicando a lei de Kirchhoff das 
malhas, obtém-se: 
1221 102)()55(10 IIII jjj  
Chagas – DEE / UFCG 
57 
 
)(2)55(2)()55(10-10 212221 IIIIII  jjjjj 
 
Fig. 2.15. Circuito redesenhado do Exemplo 1. 
Simplificando e colocando em forma de matriz: 




















10-10
10
61035
3555
2
1
jjj
jj
I
I
 
A primeira matriz desta equação (quadrada e simétrica) é denominada matriz impedância de 
malha. Aplicando a regra de Cramer e calculando VC: 
0114
1 01,1
61035
3555
6101010
3510
je
jj
jj
jj
j





I 
024114
1 1,1001,11010
0 jj
C eexjj  IV 
Exemplo 2: No circuito da Fig. 2.16, determinar Z, de modo que haja máxima transferência 
de potência nos terminais AB. 
 
Fig. 2.16. Circuito do Exemplo 2. 
Solução - Inicialmente, será determinado o circuito equivalente de Thévenin da Fig. 2.17, 
visto dos terminais ab. A impedância ZT é dada por 
Chagas – DEE / UFCG 
58 
 
N
T
I
VZT  
 
Fig. 2.17. Circuito equivalente de Thévenin. 
A tensão VT é a tensão dos terminais ab em aberto, como é mostrado na Fig. 2.18. A 
corrente IN é a corrente em um curto-circuito nos terminais ab, como ilustra a Fig. 2.19. 
 
Fig. 2.18. Circuito com terminais AB em aberto. 
 
Fig. 2.19. Circuito com terminais AB em curto-circuito. 
Para o circuito da Fig. 2.18, são escritas as seguintes equações: 
IIIIIIV )265(410485 jjjjj   
265 j

VI 
265
1414410
j
jjjjT 

VIIIV 
Para o circuito da Fig. 2.19, tem-se: 
Chagas – DEE / UFCG 
59 
 
11111 4)(10)(485 IIIIIII V jjjj NN  
11 4)(100 III jj N   6450
14
j

VI N 
É importante observar que um curto-circuito nos terminais do indutor não implica em sua 
eliminação. Isto se deve ao fato de que há uma tensão induzida nos terminais do mesmo, face 
ao efeito da indutância mútua. Simplificando e eliminando I1, resulta: 
09,6206,3
)6450(/14
)265(14 j
N
T e
jj
jj




V
/V
I
VZT 
De acordo com o teorema da máxima transferência de potência, o valor da impedância Z 
para que haja máxima transferência de potência ativa para a carga é Z = Z*, ou seja: 
09,6206,3 jeZ 
Exemplo 3 - No circuito da Fig. 2.20, determinar o valor do coeficiente de acoplamento entre 
os indutores, sendo V = 20 V e 32 W a potência no resistor de 10 . 
 
Fig. 2.20. Circuito do Exemplo 3. 
Solução - Escrevendo as equações de malha do circuito, obtém-se: 
1221 10)(820 IIII  mXjj 
)(5)(80 122212 IIIIII  mm XjjXjj 
Eliminando I2, chega-se aj
m
m e
IX
Xj
11
2 2020
213
)8(
810 








I
 , > 0 
Para o módulo da corrente I1, tem-se: 
789,110/32/1  RPI 
Das duas últimas expressões, pode-se tirar: 
Chagas – DEE / UFCG 
60 
 
ocos 55,26
789,1
2010  
555,26
789,1
20
213
)8(8
2


 o
m
m sen
X
X
 
Isto resulta na seguinte equação: 
025102  mm XX 
 5mX 
O coeficiente de acoplamento k é: 
79,058/5  xk 
Exemplo 4: No circuito da Fig. 2.21, calcular as potências complexas nos indutores. 
 
Fig. 2.21. Circuito do Exemplo 4. 
Solução - Para as equações de malha do circuito, tem-se: 
211 1124 III jj  
12 124 II jj  

















 
4
4
21
112
2
1
I
I
jj
jj
 
2353,09412,01 jI 
8824,14706,02 jI 
A tensão no indutor de 2  é: 
4706,01176,211 211 jjj  IIV 
As potências complexas requeridas são: 
9412,08824,1111 j
*IVS 
5294,78824,14 22 j
*IS 
Observa-se que as potências ativas (partes reais de S1 e S2) são diferentes de zero. Porém, a 
soma das mesmas é nula. Isso é válido para qualquer número de indutores acoplados. 
Chagas – DEE / UFCG 
61 
 
6. Construção da Matriz Impedância de Malha por Inspeção 
No exemplo do item anterior, aplicou-se a lei de Kirchhoff para determinação das correntes 
de malha. A partir das mesmas, construiu-se uma equação matricial do tipo: 
      )xm()xm()mxm( 11 VIZ  (2.52) 
onde m é o número de malhas consideradas. Na formação dessa equação devem ser 
considerados os acoplamentos magnéticos em indutores, o que constitui um fato novo. Neste 
item, a montagem de (2.52) será sistematizada de modo direto, sem a aplicação da lei de 
Kirchhoff das malhas. Para isto, adota-se o procedimento descrito a seguir. 
▪ Determina-se o número de equações de malha necessárias e suficientes para a solução do 
problema, m, correspondente à dimensão da equação matricial, dado por: 
m = r - n + 1 (2.53) 
onder é o número de ramos principais e n é o número de nós principais do circuito. 
▪ Escolhe-se as malhas de acordo com os requisitos do problema e estabelece-se os sentidos 
das correntes Ik ( k = 1, ..., m ). O vetor [ I ] da equação (2.52) será formado por essas 
correntes. 
▪ O vetor [ V ] da equação (2.52) é formado pela soma algébrica das forças eletromotrizes do 
laço considerado, atribuindo-se sinal mais àquelas em que a corrente de malha sai do 
terminal positivo e sinal menos quando a referida corrente sai do terminal negativo. 
▪ A matriz quadrada e simétrica [ Z ] é denominada matriz impedância de malha; a mesma é 
formada do seguinte modo: 
▪ os elementos da diagonal principal, Zkj, k = j, são formados pela soma simples das impedân-
cias próprias dos elementos do laço mais a soma algébrica do dobro da reatância indutiva 
mútua de cada par de indutores que pertence a este laço; nesta soma, o sinal de cada termo 
é determinado através da regra do ponto, considerando-se o sentido da corrente de malha. 
▪ os elementos não pertencentes à diagonal principal, Zkj ,k j, são formados pela soma das 
impedâncias próprias dos elementos comuns aos laços j e k , tendo o valor desta soma sinal 
positivo se as correntes apresentarem mesmo sentido e sinal negativo em caso contrário, 
mais a soma algébrica das reatâncias indutivas mútuas de cada par de indutores formado 
por um indutor percorrido pela corrente Ij e um outro percorrido pela corrente Ik.; nesta 
soma algébrica, o sinal de cada termo é também determinado pela regra do ponto, 
considerando-se os sentidos de Ij e Ik. 
Chagas – DEE / UFCG 
62 
 
Exemplo 5 - No circuito da Fig. 2.15, determinar a equação matricial para o cálculo das 
correntes de malha, usando o método de montagem de [ Z ] por inspeção. 
Solução - Aplicando o procedimento sugerido, tem-se: 
▪ Número de equações de malha: da equação (2.53), r = 3, n = 2 e m = 3 – 2 + 1 = 2. 
▪ As malhas e os sentidos das correntes são indicados na Fig. 2.15. 
▪ O vetor coluna V é: 
    TT j 101010 V 
▪ A matriz Z é formada do seguinte modo: 
35255
610225555
551055 
2112
22
11
jjj
jjxjj
jjj



ZZ
Z
Z
 
Isto resulta em: 




















10-10
10
61035
3555
2
1
jjj
jj
I
I
 
Exemplo 6 - No circuito da Fig. 2.22, determinar a equação matricial para o cálculo das 
correntes de malha, usando: (a) o método de montagem de das matrizes pela lei de Kirchhoff; 
(b) o método da inspeção. 
 
Fig. 2.22. Circuito do Exemplo 6. 
Solução -(a) Primeiro, emprega-se a lei de Kirchhoff. Com os sentidos das correntes indica-
dos, tem-se para as três malhas: 
)(32342)(3)(2410 32213221211 IIIIIIIIIII  jjjjjjjj 
3212332
121322132212
33)(34)(3
)(22)(323)(43)(20
IIIIIII
IIIIIIIIIIII
jjjjj
jjjjjjjj


 
)(34433)(35)(48 - 23213212323 IIIIIIIIIII  jjjjjjjj 
Chagas – DEE / UFCG 
63 
 
Simplificando e colocando em notação matricial: 


































8-
0 
10
1537
316
7612
3
2
1
I
I
I
jjj
jjj
jjj
 
( b ) Aplicando o método de montagem de Z por inspeção, tem-se: 
▪ Número de equações de malha: da equação (2.53), r = 3, n = 2 e m =3 - 2 + 1 = 2. 
▪ As malhas e os sentidos das correntes são indicados na Fig. 2.22. 
▪ O vetor coluna V é: 
   TT 8010 V 
▪ A matriz [ Z ] é formada segundo o algoritmo anteriormente descrito, ou seja: 
7340
334334
632232
153254
1323222432
123224 
1331
3223
2112
33
22
11
jjjj
jjjjjj
jjjjjj
jjxjj
jjxjxjxjjj
jjxjj






ZZ
ZZ
ZZ
Z
Z
Z
 
Estes resultados coincidem com aqueles anteriormente obtidos. 
7. Circuitos Equivalentes sem Acoplamentos Magnéticos 
Em algumas aplicações, é necessário substituir circuitos magneticamente acoplados por 
equivalentes em que os componentes apresentem acoplamento puramente elétrico. Para o 
circuito da Fig. 2.23, pode-se escrever: 
12111 )( VII  MjLjR  (2.54) 
21222 )( VII  MjLjR  (2.55) 





















2
1
2
1
22
11
V
V
I
I
LjRMj
MjLjR


 
(2.56) 
 
Fig. 2.23. Indutores com acoplamento puramente magnético. 
Chagas – DEE / UFCG 
64 
 
Para o circuito da Fig. 2.24, sem acoplamentos magnéticos, tem-se: 
121111 )(])([ VI-II  MjMLjR  (2.57) 
212222 )(])([ VI-II  MjMLjR  (2.58) 
 
Fig. 2.24. Circuito equivalente ao da Fig. 2.23, sem acoplamento magnético. 
Este par de equações também pode ser reduzido à equação matricial (2.56), indicando a 
equivalência dos circuitos da Fig. 2.23 e da Fig. 2.24. 
Obviamente, este segundo circuito só será fisicamente realizável se M  L1 e M  L2. 
Exemplo 7 -( a ) Determinar a reatância indutiva Xm do circuito da Fig. 2.25 sabendo que a 
potência no resistor de 5  é de 45,2 W; ( b ) desenvolver o circuito elétrico equivalente, 
calculando I2 a partir do valor conhecido de Xm; ( c ) repetir os cálculos considerando o ponto 
de marcação de polaridade no terminal inferior do indutor de j10 . 
 
Fig. 2.25. Circuito do Exemplo 6. 
Solução - ( a ) Por inspeção, equação das correntes de malha do circuito é: 




















0
50
105
54
2
1
I
I
jXj
Xjj
m
m 
A corrente I2 é dada por: 
222 6530
50
)105()54(
50
105
54
0
5054
m
m
m
m
m
m
m
Xj
Xj
Xjj
Xj
jXj
Xjj
Xj
j








I 
Chagas – DEE / UFCG 
65 
 
O módulo da corrente I2 é: 
35/2,45/2  RPI A 
Assim, tem-se: 
3
65)30(
50
222

m
m
X
X  04612530409 24  mm XX 
Esta equação fornece as raízes Xm = 18 e Xm = 4. As raízes com sinal menos não possuem 
significado físico, assim como a raiz 18, pois esta última corresponde a um coeficiente de 
acoplamento k > 1 (verificar). Assim, tem-se Xm =4 . 
( b ) O circuitoelétrico equivalente, com indutores sem acoplamento magnético, é mostrado 
na Fig. 2.26. Para o mesmo ser fisicamente realizável, é necessário que 0 < Xm< 5. 
 
Fig. 2.26. Circuito equivalente ao da Fig. 2.25, com indutores sem acoplamento magnético. 
Por inspeção, tem-se: 




















0
50
1054
454
2
1
I
I
jj
jj
 
01,12
2 363,094,26514
200
1054
454
04
5054
jej
j
j
jj
jj
j
j







I 
( c ) Na Fig. 2.25, considerando o ponto de marcação de polaridade no terminal inferior do 
indutor de j10 , tem-se: 




















0
50
1054
454
2
1
I
I
jj
jj
 
09,167
2 363,094,26514
200
1054
454
04
5054
jej
j
j
jj
jj
j
j







I 
Chagas – DEE / UFCG 
66 
 
É importante observar que, com a inversão da polaridade, o determinante do denominador 
não muda de sinal. Em relação ao determinante do numerador, como não há fonte no lado 2 do 
circuito, o mesmo resulta em um complexo de mesmo módulo, porém de sinal trocado. Assim, 
a corrente apresenta-se defasada de 180° em relação ao caso anterior. 
Invertendo o sentido da corrente I2 no circuito da Fig. 2.25, chega-se ao mesmo resultado do 
circuito sem acoplamento elétrico (verificar). 
8. O Transformador Ideal 
8.1. Descrição Geral 
Um núcleo de material magnético é mostrado na Fig. 2.27, em torno do qual há um 
enrolamento ligado a uma fonte de tensão e outro ligado a uma impedância. A Fig. 2.28 indica 
as variações da indução no núcleo em função do tempo e em função da intensidade de campo 
(real e simplificada). Neste caso, são feitas as considerações descritas a seguir. 
▪ As resistências dos enrolamentos são muito pequenas, podendo ser consideradas nulas. 
▪ Os fluxos de dispersão nos enrolamentos são desprezíveis, ou seja, o coeficiente de 
acoplamento magnético k é igual a 1. 
▪ No caso real, as perdas no núcleo são proporcionais à área da curva característica B - H 
mostrada na Fig. 2.28(b) (laço de histerese). Em corrente alternada, essas perdas 
compreendem não apenas as perdas por histerese, como também as perdas por correntes 
parasitas. No caso analisado, essas perdas são consideradas nulas, o que resulta na curva 
singular linearizada por partes da Fig. 2.28(c). 
▪ A permeabilidade  do núcleo (inclinação da curva B - H ) é suposta infinita dentro da faixa 
de valores assumidos pela indução magnética B. Logo, se a região saturada da curva B – H 
não for alcançada (Bm  Bs), a intensidade de campo magnético H necessária para 
magnetizar o núcleo é praticamente nula. 
 
Fig. 2.27.( a ) Transformador idealizado; ( b ) representação simplificada do circuito. 
Chagas – DEE / UFCG 
67 
 
 
( a ) ( b ) ( c ) 
Fig. 2.28. Transformador idealizado; ( a ) variação da indução B; ( b ) característica B - H real; 
( c ) característica B - H aproximada. 
As duas últimas suposições são cada vez mais próximas do comportamento dos materiais 
magnéticos desenvolvidos mais recentemente, pois os mesmos apresentam laços de histerese 
cada vez mais estreitos (baixas perdas) e com inclinações acentuadamente elevadas na região 
não saturada (elevados valores de ). 
8.2. Equações Básicas 
Na Fig. 2.27, considerando uma fonte de tensão senoidal alimentando o enrolamento 
primário, o fluxo produzido no mesmo é enlaçado pelo secundário, de modo a induzir uma 
tensão v2 neste último. Como não há dispersão de fluxo, 1 = 2 = ; assim: 
dt/dNv  11 (2.59) 
dt/dNv  22 (2.60) 
Dividindo (2.59) e (2.60) membro a membro: 
aNNvv  2121 // (2.61) 
Assim, de um enrolamento para o outro, é promovida uma alteração no valor da tensão 
determinada por um fator igual à relação direta do número de espiras dos enrolamentos. 
Aplicando a lei circuital de Ampére no circuito da Fig. 2.27(a): 
0.2211   dlHiNiN (2.62) 
O sinal menos do segundo termo do primeiro membro deve-se ao fato de que o fluxo no 
secundário acha-se em oposição ao fluxo do primário. A integral é igual a zero pelo fato de que 
H é nulo na região não saturada, como é mostrado na Fig. 2.28(c); assim, resulta: 
aNNii /1// 1221  (2.63) 
Chagas – DEE / UFCG 
68 
 
Assim, de um enrolamento para o outro, a corrente é transformada segundo um fator igual à 
relação inversa do número de espiras dos enrolamentos. 
Multiplicando (2.61) e (2.63) membro a membro, obtém-se: 
2211 iviv  (2.64) 
Isto quer dizer que, no transformador ideal, a potência de entrada é igual à potência de 
saída (as perdas foram consideradas nulas). No caso real, o transformador é um dispositivo que 
apresenta perdas muito baixas, com rendimentos superiores a 95%. O desenvolvimento da 
tecnologia de materiais magnéticos tem proporcionado rendimentos superiores a 99%. 
Considerando o regime senoidal, se V2 e I2 são os fasores de v2 e i2, tem-se para a 
impedância no secundário: 
222 IVZ / (2.65) 
A impedância vista do primário é: 
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
212
221
1
1
1 ZZI
V
I
V
I
VZ a
N
N
N
N
)N/N(
)N/N(












 (2.66) 
Assim, uma impedância Z2 ligada ao secundário de um transformador é vista do primário 
como sendo uma impedância Z2 multiplicada pelo quadrado da relação entre os números de 
espiras do primário e do secundário. Este resultado é útil em algumas situações, quando se 
deseja refletir todas as impedâncias para o mesmo lado, a fim de facilitar a análise. 
Na Fig. 2.29 é mostrada uma aplicação prática do princípio de reflexão de impedâncias, que 
consiste em utilizar um transformador monofásico entre a fonte e a carga, com o objetivo de 
promover casamento de impedâncias para que ocorra máxima transferência de potência. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 2.29. Uso do transformador para casamento de impedâncias. 
Assim, a resistência vista do primário, RL’, é dada por: 
12
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
212
221
1
1
2 )/(
)/( RRaR
N
N
N
N
NN
NNR' 












I
V
I
V
I
V
 
(2.67) 
Chagas – DEE / UFCG 
69 
 
A relação de espiras do transformador necessário para o casamento de impedâncias é: 
2
1
2
1
R
R
N
Na 
 
(2.68) 
Por exemplo, a impedância de entrada de um alto-falante normalmente é da ordem de 8 . 
Se a impedância de saída do amplificador for igual a 800 , o transformador a ser interposto 
para o casamento deve possuir uma relação de espiras a = (800/8)1/2 = 10. 
No caso em que as impedâncias não são puramente resistivas, deve-se ter: 
Z1 = a2Z2* (2.69) 
Observa-se que, ao se refletir a impedância Z2 para o lado do primário do transformador 
ideal, o ângulo de fase não se altera, de modo que a equação (2.69) não é obedecida. O 
problema pode ser contornado colocando-se um capacitor em paralelo com Z2 (por que não em 
série?), como é descrito no Exemplo 7, mais adiante. 
Se a tensão aplicada ao enrolamento primário é uma senóide, pode-se dizer o mesmo em 
relação à indução no núcleo magnético. Assim, se B = Bmsen t, tem-se: 
tcosBSN
dt
dBSN
dt
dv m 

111 
 
(2.70) 
Como  = 2 f , tem-se para o valor eficaz da tensão no primário: 
mm BfSNBSNfV 111 44,42/2   (2.71) 
Esta equação é de importância fundamental no projeto de transformadores. O valor da 
indução de pico, Bm, é normalmente escolhido no ponto de joelho da curva de magnetização B 
- H do material, o qual estabelece a transição do estado não-saturado para o estado saturado. 
O mesmo é uma característica do material utilizado no núcleo. Valores típicos de Bm são 1 Tesla 
para ligasferro-silício de grãos não-orientados (pequenos transformadores) e 1,5 Tesla para 
ligas de ferro-silício de grãos orientados (transformadores de redes elétricas). 
Desta forma, dadas a frequência de operação, as tensões nominais dos enrolamentos e o 
tipo de material utilizado no núcleo, pode-se determinar o produto N.S relacionado a cada 
enrolamento do transformador. O cálculo dos valores de N e de S é feito a partir de 
considerações particulares de projeto do transformador. 
Exemplo 8 - Calcular a relação de espiras do transformador, a = N1/ N2, e a capacitância C, 
de modo que haja máxima transferência de potência para a carga do circuito mostrado na Fig. 
2.30. 
Chagas – DEE / UFCG 
70 
 
 
Fig. 2.30. Uso de transformador e capacitor para casamento de impedâncias. 
Solução - Para ocorrer máxima transferência de potência para a carga é necessário que: 
1
2*
2
*
2
2
1 YYZ Z aa  
21
1
1020
1 2
*
j
a
j
Cj









 
Desenvolvendo esta expressão, resulta: 
  22 2001005001020 ajaCj   
45,02,02,02  aa 
  1,0402,020020050010 2  CxaC  
mF26,0
602
1,0
2
1,0




 C
xf
C 
Exemplo 9 - Considerando o exemplo anterior, sabe-se que o núcleo magnético do transfor-
mador possui uma área de seção reta de 4 cm2. Calcular os números de espiras N1 e N2, 
sabendo que o núcleo é constituído de uma liga ferro-silício de grãos não orientados. 
Solução - Para o material considerado, pode-se considerar Bm = 1 Tesla; assim, tem-se: 
56
0,16010444,4
2/12
44,4 4
1
1   xxxxBfS
VN
m
 
Se o primário deve ter 56 espiras, o número de espiras do secundário é: 
espiras.124
45,0
561
2  a
NN 
8.3. Considerações sobre Polaridades 
Com base nas convenções adotadas na análise de indutores magneticamente acoplados, são 
mostradas na Fig. 2.31 as regras para os sinais das tensões e das correntes nos transforma-
dores ideais. Essas regras são enunciadas a seguir. 
Chagas – DEE / UFCG 
71 
 
▪ Se as tensões dos enrolamentos, v1 e v2 , forem ambas positivas ou ambas negativas nos ter-
minais marcados com ponto, usa-se o sinal positivo na equação que relaciona as tensões 
com os números de espiras; caso contrário, usa-se o sinal negativo. 
▪ Se as correntes dos enrolamentos, i1 e i2 , entrarem ambas ou saírem ambas nos terminais 
marcados com ponto, usa-se o sinal negativo na equação que relaciona as correntes com os 
números de espiras; caso contrário, usa-se o sinal positivo. 
 
Fig. 2.31. Convenções para os sinais das tensões e das correntes nos transformadores. 
Foi visto que, se ambas as correntes entram ou saem dos terminais marcados, os fluxos em 
ambos os enrolamentos acham-se no mesmo sentido; assim, N1I1 + N2I2 = 0. Em ( b ) e ( c ), 
uma corrente entra e a outra sai dos terminais marcados, indicando que os fluxos são opostos, 
ou seja, N1I1 - N2I2 = 0. 
Exemplo 10 - Determinar a potência média associada à fonte de corrente senoidal do circuito 
da Fig. 2.32. 
 
Fig. 2.32. Circuito do Exemplo 10. 
Chagas – DEE / UFCG 
72 
 
Solução - Em circuitos que contêm transformadores ideais, é recomendável usar-se análise 
de malhas. É mostrado na Fig. 2.33 o circuito equivalente usado na solução do problema. 
 
Fig. 2.33. Circuito equivalente ao da Fig. 2.32. 
Para este circuito, são escritas as seguintes equações: 
)(2060300 2111 IIVI  
22112 40)(200 I VIII 
As outras duas equações necessárias à solução do problema correspondem às condições 
impostas pelo transformador ideal, as quais são: 
V2 = ( N2 / N1 ) V1 = ( 100 / 400 ) V1 = V1 / 4 
I2 = - ( N1 / N2 ) I1 = - ( 400 / 100 ) I1 = - 4 I1 
Com as quatro equações, determinam-se as tensões e correntes: 
V1 = 260 V, V2 = 65 V, I1 = 0,24 A, I2 = -1,0 A. 
A tensão nos terminais da fonte de corrente é: 
V5A= V1 + 20 ( I1 – I2 ) = 260 + 20 x [ 0,25 – ( - 1 )] = 285 V. 
A convenção aqui adotada consiste em associar sinal positivo à potência fornecida pela 
fonte. Assim, a potência associada à fonte de corrente é: 
P5A= V5AI5A = 285 x5 = 1425 W. 
Exemplo 11 - Calcular a relação de espiras do transformador da Fig. 2.34 para que se tenha a 
máxima potência dissipada no resistor de 400 . 
 
Fig. 2.34. Circuito do Exemplo 11. 
Chagas – DEE / UFCG 
73 
 
Solução - Tomando o equivalente de Norton para a fonte, tem-se o circuito da Fig. 
2.35(b), onde o transformador e a carga de 400  são vistos como uma impedância Zeq. 
 
Fig. 2.35. Circuitos equivalentes ao da Fig. 2.34. 
Para que haja máxima transferência de potência, deve-se ter Zeq = 14,4 k; assim: 
I1 = 288 / ( 2 x 14,4 x 103 ) = 0,01 A 
Assim, para o transformador e a carga, tem-se o circuito reduzido da Fig. 2.36. 
 
Fig. 2.36. Circuito reduzido do Exemplo 11. 
Para a tensão de entrada do circuito e a corrente na carga, pode-se escrever: 
V1 + V2= 288 / 2 = 144 V 
I1 + I2 = V2 / 400 
As relações de tensão e de corrente do transformador são: 
V1 / V2= N1 / N2 = a( V1 + V2 ) / V2= a +1 
I1 / I2= N2 / N1 = 1 / a  ( I1 + I2 ) / I1= a +1 
( V1 + V2 ) = ( a +1 ) V2 = 144 
( I1 + I2 ) = 0.01 ( a + 1 ) = V2 / 400 
Assim, são obtidas duas equações com duas variáveis, V2 e a. Eliminando V2, resulta: 
( a +1 )2 = 144 / ( 400 x 0.01 ) = 36a = N1 / N2 = 5 
Exemplo 12 - Determinar o valor de RL no circuito da Fig. 2.37 para que a potência dissipada 
seja máxima. Determinar também o valor dessa potência. 
Chagas – DEE / UFCG 
74 
 
 
Fig. 2.37. Circuito do Exemplo 12. 
Solução - O resistor variável dissipará potência máxima quando RL = RT, sendo RT a impe-
dância de Thévenin vista dos terminais aos quais o resistor acha-se ligado. A mesma é igual a 
RT= VT / IN, sendo VT e IN calculadas nos circuitos da Fig. 2.38. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 2.38. Circuitos usados nos cálculos de VT e de IN no Exemplo 12. 
O circuito da Fig. 2.38(a) pode ainda ser simplificado, obtendo-se o circuito da Fig. 2.39, para 
o qual pode ser escrito: 
I1 = 180 / [ 5 + 5 x ( 1 / 2 )2 ] = 28,8 A 
V1 = 180 - 5 x 28,8 = 36 V 
 
Fig. 2.39. Simplificação do circuito da Fig. 2.38(a). 
Do circuito da Fig. 2.38(a): 
Chagas – DEE / UFCG 
75 
 
V2 = ( N2 / N1 ) xV1 = ( 200 / 100 ) x 36 = 72 V 
I2 = ( N1 / N2 ) xI1 = ( 100 / 200 ) x 28,8 = 14,4 A 
VT = Vab = 1 x 28,8 + 36 – 72 + 2 x 14,4 = 21,6 V 
Do circuito da Fig. 2.38( b ): 
180 = 4 I1’ + ( I1’ – IN) + V1’ 
V2’ = 2 ( I2’ – IN ) + 3 I2’ 
-V1’ + (IN –I1’) + 2 (IN –I2’) +V2’ = 0 
V1’/V2’ = N1 / N2 = 1 / 2 
( I1’ – IN) / ( I2’ – IN) = N2 / N1 = 2 
Este sistema fornece IN = 10 A; logo: 
RL= RT = VT / IN = 21,6 / 10 = 2,16  
A potência dissipada no resistor é: 
PL = ( VT / 2 )2 / RL = ( 21,6 / 2 )2 / 2,16 = 54 W 
9. Transformadores Especiais 
9.1. Transformadores com Múltiplos Enrolamentos 
Esses transformadores são constituídos por um núcleo magnético em torno do qual há três 
ou mais enrolamentos. Em eletrônica, é comum se utilizar transformadores com um primário 
ligado a uma fonte e dois secundários alimentando cargas diferentes. Nas redes elétricas, um 
transformador pode ter o enrolamento primário energizado por uma linha de transmissão de 
alta tensão, enquanto o secundário é ligado a um alimentador de distribuição de média tensão, 
e um terceiro enrolamento (terciário) alimenta bancos de capacitores para correção do fator de 
potência ou um sistema de distribuição local. É mostrada na Fig. 2.40 a forma mais elementar 
de um transformador de três enrolamentos. 
 
Fig. 2.40. ( a ) Transformador de três enrolamentos; ( b ) representação simplificada. 
Chagas – DEE / UFCG 
76 
 
Considerando uma permeabilidade infinita no núcleo magnético e aplicando a lei circuital de 
Ampére, tem-se: 
0. 332211  iNiNiNdlH (2.72) 
332211 iNiNiN  (2.73) 
Exemplo 13 - Um transformador de três enrolamentos apresenta os seguintes dados: 
▪ Primário: 300 kVA, 600 espiras.▪ Secundário: 150 kVA, 200 espiras. 
▪ Terciário: 200 kVA, 100 espiras. 
O secundário alimenta uma carga resistiva no limite de sua capacidade, com tensão de 2 kV. 
O terciário alimenta um reator de indutância variável. Calcular a corrente no primário no caso 
em que o terciário opera em plena carga. 
Solução - Ajustando o reator até que o terciário esteja em plena carga, obtém-se: 
I3 = S3 / V3= S3 / [ (N3 / N2 ) V2 ] = 200 / [ (100/200) x 2 ] = 200 A 
I2 = S2 / V2= 150 / 2 = 75 A 
Assim, tem-se: 
321 100200600 III  
250002000015000)200(10075200100200600 22321  jxxI II 
I1 = 25000 / 600 = 41,7 A 
A corrente primária nominal é: 
I1N = S1N / V1N = S1N / [ (N1 / N2 ) V2N ] = 300 / [ (600 / 200) x 2 ] = 50 A 
Vê-se que, mesmo com o secundário e o terciário funcionando a plena carga, isto não ocorre 
com o primário. 
É importante observar que este tipo de transformador não deve ser confundido com o 
transformador com derivação (ou tape) central no secundário, mostrado na Fig. 2.41. 
 
Fig. 2.41. ( a ) Transformador com derivação central no secundário;( b ) representação simplificada. 
Chagas – DEE / UFCG 
77 
 
Este último destina-se principalmente a fontes de alimentação usadas em circuitos 
eletrônicos que requerem tensões auxiliares de + 15 V (CC) e -15 V (CC). Neste caso, as duas 
seções do enrolamento secundário são ligadas a uma ponte retificadora de onda completa. 
9.2. Autotransformadores 
Considerando o transformador convencional da Fig. 2.42, é suposto que o mesmo tenha 
seus enrolamentos ligados do modo indicado na Fig. 2.43. 
 
Fig. 2.42. Transformador convencional (isolado). 
Um transformador convencional promove transferência de energia de uma região do espaço 
para outra sem necessidade de ligação elétrica. Este processo se realiza por meio de um fluxo 
magnético compartilhado pelos enrolamentos primário e secundário. 
 
Fig. 2.43. Modificação de um transformador convencional para autotransformador. 
A ligação da Fig. 2.43 constitui um autotransformador, o qual é um transformador onde o 
enrolamento primário é dividido em duas seções, uma com N1 espiras e outra com N2 espiras, e 
o secundário composto pelo enrolamento de N2 espiras. Observa-se que, além do acoplamento 
magnético existente entre os enrolamentos, existe uma ligação metálica entre os mesmos. 
Assim, a diferença fundamental entre o autotransformador e o transformador convencional 
Chagas – DEE / UFCG 
78 
 
consiste no fato de que a energia é transferida de um enrolamento para o outro não apenas 
por um campo magnético, mas também por condução de cargas elétricas. 
Para o autotransformador, pode-se escrever: 
baa vvvvdt
dNv  211
 
(2.74) 
bvdt
dNv  22
 
(2.75) 
Colocando (2.74) e (2.75) em termos de fasor e dividindo membro a membro, obtém-se: 
a
N
N
b
ba 

2
1
V
VV
 
(2.76) 
Assim, para as tensões, a relação de transformação é: 
a
N
N
b
a  11
2
1
V
V
 
(2.77) 
Aplicando a lei circuital de Ampére no circuito da Fig. 2.42: 
1
2
2
1
2211 0. N
NNN  I
I
IIdlH
 
(2.78) 
Como I1 = Ia e I2 = Ib - I1 = Ib – Ia ,obtém-se: 
1
2
N
N
ab
a 
 II
I
 
(2.79) 
Assim, a relação de transformação de correntes do autotransformador é: 
1
1
1/
1
2121
2






aNNNN
N
b
a
I
I
 
(2.80) 
Como as perdas nos enrolamentos e no núcleo do transformador convencional da Fig. 2.41 
são consideradas nulas, pode-se escrever: 
** IVIVS 2211  (2.81) 
Para o autotransformador da Fig. 2.43 pode-se escrever para as potências complexas no 
primário e no secundário: 
*****
a IVSIVIVIVVIVS 121211121 )(  aa (2.82) 
a
****
b SIVSIVIVIIVIVS  121222
*
212 )(bb (2.83) 
O termo V1I1*corresponde à parcela que é transmitida do primário para o secundário pelo 
efeito de acoplamento magnético (potência transformada). O termo V2I1*corresponde à 
parcela que é transmitida pelo efeito de condução elétrica (potência transmitida). 
Chagas – DEE / UFCG 
79 
 
Dividindo (2.82) por S, resulta: 
11111
1
2
11
12 
aV
V
IV
IV
S
S
*
*
a
 
(2.84) 
Conclui-se que o autotransformador é capaz de transmitir uma potência maior que o 
transformador convencional. Isto se deve ao fato de que o autotransformador transfere parte 
da potência de entrada por condução. Tal constatação permite dizer que, sob o ponto de vista 
de economia, é mais vantajoso usar o autotransformador. 
Para o mesmo valor de potência transmitida, o uso do autotransformador implica em menos 
ferro empregado no núcleo, uma vez que apenas parte dessa potência é transmitida por 
acoplamento magnético. Isto implica em redução de peso, tamanho e custo do núcleo. 
Consequentemente, as perdas por histerese e por correntes de Foucault são menores. 
Apesar dessas vantagens apresentadas pelos autotransformadores, pergunta-se: por que os 
transformadores isolados são mais usados? A resposta pode ser dada pela análise da Fig. 2.44. 
Se há abertura do circuito no ponto indicado (ação de arcos voltaicos no interior do tanque, por 
exemplo), ocorre aplicação de 13800/3 V no secundário, implicando em danos imediatos às 
cargas ligadas a este lado, bem como risco de vida para os usuários do sistema elétrico. 
 
Fig. 2.44. Autotransformador abaixador com abertura no enrolamento secundário. 
Isso faz com que os autotransformadores tenham sua aplicação limitada à interligação de 
sistemas que não apresentem tensões nominais significativamente diferentes, de relações 
entre si não muito superiores a 2. Nos sistemas elétricos de potência, eles são comumente 
empregados na interligação de redes de 230 kV e 345 kV, ou de 345 kV e 500 kV, 
proporcionando mais economia que os transformadores convencionais. 
Chagas – DEE / UFCG 
80 
 
Outra desvantagem é que os surtos de tensão decorrentes de descargas atmosféricas ou 
operações de chaveamento propagam-se com mais facilidade através dos enrolamentos, face à 
ligação metálica entre eles. 
É mostrada na Fig. 2.45 a forma de ligação de um autotransformador destinado a elevar a 
tensão. O seu equacionamento fica a cargo do leitor. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 2.45. ( a ) Autotransformador elevador; ( b ) representação simplificada. 
Há também autotransformadores onde a tensão secundária pode ser variada de modo 
contínuo, como é o caso dos variadores de tensão ou variacs. Esses dispositivos apresentam 
pequenas potências (normalmente, até 10 kVA). São usados em aplicações de laboratório. 
Como é mostrado na Fig. 2.46, eles possuem núcleo de forma toroidal, em torno do qual desliza 
uma escova de carvão. Assim, o número de espiras pode ser alterado, funcionando como 
elemento abaixador ou elevador de tensão. 
 
Fig. 2.46. Autotransformador de saída variável (variac). 
Chagas – DEE / UFCG 
81 
 
Exemplo 14 - ( a ) Mostrar que a impedância vista dos terminais a – b do circuito da Fig. 2.47 
é dada por: Lab a ZZ
2)1(  . ( b ) Mostrar que se a polaridade de um dos enrolamentos for 
invertida, tem-se Lab a ZZ
2)1(  , onde a = 21 / NN . 
 
Fig. 2.47. Circuito do Exemplo 14. 
Solução: ( a ) Para a impedância vista do secundário, pode-se escrever: 
21
22
II
V
I
V
Z L 

L
 
Para a impedância vista do primário, Zab: 
1
2
1
22
1
21 )1(
I
V
I
VV
I
VV
Zab a
a




 
Pode-se ainda escrever: 
LL ZI
V
I
V
II
V
II
V
Z )1(
1
1
1
2
1
2
11
2
21
2 a
aa






 
Assim, resulta: 
Lab ZZ
2)1( a 
( b ) Invertendo a polaridade do enrolamento 2, tem-se: 
21
22
II
V
I
V
Z L 

L
 
1
2
1
22
1
21 )1(
I
V
I
VV
I
VV
Zab a
a




 
LL ZI
V
I
V
II
V
II
V
Z )1(
1
1
1
2
1
2
11
2
21
2 a
aa






 
Chagas – DEE / UFCG 
82 
 
Assim, a impedância vista do lado do primário é: 
Lab ZZ
2)1( a 
Exemplo 15 - Calcular a relação de espiras do autotransformador do Exemplo 11, utilizando 
agora o método de reflexão de impedâncias. 
Solução - Tomando o equivalente de Norton para a fonte, tem-se o circuito da Fig. 2.35( b ), 
onde o transformador e a carga de 400  são vistos como uma impedância Zeq, dada por: 
36400/14400)1()1(400 22  aaeqZ
 a = 5 
Bibliografia 
[ 1 ] Alexander, C. K.; Sadiku, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª ed., McGraw-Hill, 
2008. 
[ 2 ] Bessonov, L. Applied Electricity for Engineers, 2 nd. ed, MIR Publishers, Moscou, 1973. 
[ 3 ] Desoer, C. A.; Kuh, E. S. Basic Circuit Theory, McGraw-Hill, 1969. 
[ 4 ] Edminister, J. A. Circuitos Elétricos, Coleção Schaum, Makron - McGraw-Hill, 1991. 
[ 5 ] Hayt Jr., W. H.; Kemmerly, J. C. Análise de Circuitos em Engenharia, McGraw-Hill, 1975. 
[ 6 ] Kinariwala, B.; Kuo, F. F.; Tsao, N. Linear Circuits and Computation, John Wiley, 1973. 
[ 7 ] MIT, Magnetic Circuits and Transformers, The M.I.T. Press, 1943. 
[ 8 ] Nilsson, J. W.; Riedel, S. Circuitos Elétricos, 5ª ed., Addison-Wesley, 1996. 
[ 9 ] Slemon, G. R. Equipamentos Magnetelétricos - Transdutores, Transformadores e Máqui-
nas – Vol. 1, LTC / EDUSP, Rio de Janeiro, 1974.