Unidade I - Demonstrações matemáticas

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Fundamentos de 
Análise Matemática
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Francisco Augustin Machado Echalar
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos
Demonstrações matemáticas
• Introdução
• Raciocínios dedutivo, indutivo e abdutivo
• Papel da demonstração na construção do conhecimento matemático
• Tipos de demonstração
• Para praticar
 · Conceituar demonstrações; discutir seu papel na construção 
do conhecimento matemático; apresentar a técnica 
matemática de demonstração.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Olá!
Nesta unidade, discutiremos demonstrações matemáticas. Apresentaremos 
diferentes técnicas de demonstração, mas também discutiremos seu papel na 
construção do conhecimento matemático.
É um assunto que pode parecer difícil, pois trata de formas de pensamento com 
as quais você talvez não esteja acostumado(a). Por isso é muito importante que 
leia com atenção o material.
Provavelmente, você vai ter dúvidas. Registre-as. Pense sobre elas. Consulte o 
material complementar. Pesquise sobre conceitos e demonstrações específicos. 
Procure refazer os exemplos. Veja se entendeu cada um dos passos. Faça as 
atividades. Elas são parte importante do processo de aprendizado.
Entender o papel das demonstrações é entender um dos aspectos mais específicos 
do saber matemático acadêmico. Ter clareza desse papel é um pouco como 
começar a conhecer por dentro a caixa de engrenagens da Matemática. Dá um 
gosto especial ao assunto.
Bons estudos!
ORIENTAÇÕES
Demonstrações matemáticas
UNIDADE Demonstrações matemáticas
Contextualização
O tema da unidade são as demonstrações matemáticas. Antes de começarmos, 
vamos conversar um pouco sobre a importância de pensar nessa questão.
Prova é um termo usado muitas vezes como sinônimo de demonstração 
matemática. Na verdade, a demonstração matemática prova algo, prova que certa 
afirmação é correta. Por exemplo, podemos querer provar que x = 2 é solução da 
equação x² = 4. Uma maneira de fazer isso é substituir x por dois do lado esquerdo 
e fazer o cálculo. Não deixa de ser uma prova, mas dificilmente chamaríamos isso 
de demonstração, dizemos que se trata de uma verificação.
Quando é que falamos de demonstração? Quando a afirmação que queremos 
provar que é correta é uma afirmação de caráter geral. O exemplo anterior envolve 
uma afirmação sobre uma equação específica. Um exemplo de caráter mais geral 
seria o seguinte: “a soma de dois números inteiros ímpares é um número par”. 
Essa afirmação se refere a um conjunto infinito, não apenas a um par de números. 
Ela parece razoável, mas como provar que ela é verdadeira? Podemos verificar se 
ela é verdadeira para alguns números. Com computadores, podemos fazer essa 
verificação para uma quantidade imensa de números. Mas isso quer dizer que ela é 
verdadeira para todos os pares de números ímpares? Não, pois nunca poderemos 
verificar todas as possibilidades. As ciências trabalham frequentemente com 
generalizações como essa, mas a Matemática acadêmica, desde a Grécia Antiga, 
exige outra forma de validação. As afirmações gerais têm de ser provadas em toda 
a sua generalidade, sem margem de dúvida. Discutiremos como fazer isso ao longo 
da unidade.
Aqui queremos ressaltar que é essa natureza geral e implacavelmente dedutiva 
das afirmações matemáticas que é uma das forças e ao mesmo tempo o tempero 
único desta área de conhecimento matemático. Conhecer a Matemática acadêmica 
implica conhecer não só métodos aplicados, mas também as diferentes técnicas de 
demonstração. E ensinar Matemática não é ensinar apenas técnicas que podem ser 
úteis em uma série de problemas práticos. É também colocar os alunos em contato 
com essa ambição e essa forma única de pensar que vem modelando a Matemática 
acadêmica nesses 2500 anos.
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Introdução
Uma demonstração é uma forma de argumentar, de fundamentar a confiança na 
veracidade de uma afirmação matemática. Com uma demonstração, pretende-se 
provar que essa afirmação é verdadeira. Vamos começar nossa discussão falando 
de três diferentes formas de justificar de algum modo uma afirmação: o argumento 
dedutivo, o argumento indutivo e o argumento abdutivo. Em seguida vamos discutir 
mais detalhadamente o papel da demonstração na construção do conhecimento 
matemático. Feita essa discussão conceitual, passaremos à parte mais técnica, 
tratando dos diferentes tipos de demonstração e nos detendo mais detalhadamente 
em um deles: a demonstração por indução matemática.
Raciocínios dedutivo, indutivo e abdutivo
Um argumento pretende sempre justificar algo, convencer que alguma coisa 
é verdadeira. Eles podem ser bastante longos e elaborados. Aqui vamos discutir 
três argumentos bem simples e muito conhecidos, com o objetivo de ressaltar as 
diferenças que existem na forma de raciocinar.
O primeiro argumento é o seguinte: você tem na sua frente um saco de feijões e 
uma caixa com alguns feijões. Você não pode ver nem os feijões do saco nem os da 
caixa. Você é informado que (a) todos os feijões do saco são brancos e (b) os feijões 
da caixa vieram diretamente do saco. Você pode concluir que necessariamente os 
feijões da caixa são brancos. Observe que essa conclusão é necessária. A informação 
(a) é uma afirmação de caráter geral sobre os feijões do saco. A afirmação (b) 
informa que os feijões da caixa fazem parte do grupo tratado pela afirmação (a). 
O que vale para todos vale para alguns desses todos. Se as informações (a) e 
(b) são verdadeiras, então não há como escapar, a conclusão é verdadeira. Esse 
tipo de raciocínio é um raciocínio dedutivo, pois a conclusão é uma consequência 
necessária das premissas. A conclusão é deduzida das premissas.
Premissas são as informações, descritas por sentenças declarativas, que são usadas para 
justifi car ou fundamentar uma conclusão no contexto de um argumento.Ex
pl
or
Raciocínio dedutivo é um tipo de raciocínio que pretende que as premissas sejam 
provas suficientes para a conclusão ou, dito de outro modo, que a conclusão é uma 
consequência necessária das premissas.
As demonstrações matemáticas são sempre dedutivas. Pretendem sempre que 
as conclusões sejam consequências necessárias das premissas.
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UNIDADE Demonstrações matemáticas
O segundo tipo de argumento é o seguinte: você tem na sua frente um saco de 
feijões e uma caixa com alguns feijões. Você não pode ver os feijões do saco nem 
os da caixa. Você é informado que (a) os feijões da caixa vieram diretamente do 
saco. Você abre a caixa e vê que (b) todos os feijões da caixa são brancos. Você 
conclui que todos os feijões do saco são brancos.
Avalie esse raciocínio. A conclusão é uma consequência necessária das premissas (a) e (b)?Ex
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Não, não é verdade? Nada impede que, além de feijões brancos, haja outros tipos 
de feijão no saco. Isso pode ser pouco provável, mas não é possível ter certeza. 
Podemos fazer a generalização, mas as premissas não são garantia da conclusão. 
Esse tipo de raciocínio é chamado de indutivo, pois as premissas fornecem indícios 
convincentes de que a conclusão é verdadeira, mas não a garantem. De casos 
particulares, induzimos uma conclusão geral.
Procura-se quantificar a força de um raciocínio indutivo quantificando as 
probabilidades dos diferentes resultados. Isso é feito com auxílio da Estatística 
Inferencial. As ciências usam intensamente o raciocínio indutivo e as ferramentas 
da Estatística.
Raciocínio indutivo é um tipo de raciocínio que pretende que as premissas sejam provas 
convincentes para a conclusão, mas não garante que são suficientes. Dito de outro modo, no 
raciocínio indutivo a conclusão é uma consequência provável das premissas.
Ex
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O terceiro tipo de argumento é o seguinte: você tem na sua frente um saco 
de feijões e uma caixa com alguns feijões. Você examina o saco e verifica (a) que 
todos os feijões do saco são brancos. Você abre a caixa e vê que (b) todos os feijões 
da caixa são brancos. Você conclui que os feijões da caixa vieram do saco. Essa 
conclusãonão é uma consequência logicamente necessária, como na dedução, nem 
é uma generalização, como na indução. A conclusão na abdução é uma hipótese 
que é formulada a partir das observações experimentais. Nesse sentido, o filósofo 
americano Charles Peirce (1903, apud FANTI, 2013, p. 73) afirma o seguinte:
A abdução é o processo de formar uma hipótese explanatória. É a única operação 
lógica que introduz uma nova ideia; pois a indução nada mais faz do que determinar 
um valor e a dedução meramente desenvolve as consequências de uma hipótese pura.
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Papel da demonstração na construção
do conhecimento matemático
Como todo modelo explicativo, a divisão descrita no item anterior entre os 
diferentes tipos de raciocínio é uma simplificação da realidade, que sempre é 
mais complexa e rica de detalhes. Ela, no entanto é interessante porque permite 
chamar a atenção para a especificidade do raciocínio matemático dedutivo. 
Ressaltamos mais uma vez: as conclusões são inquestionáveis, desde que se 
aceitem as premissas. Uma compreensão efetiva disso passa pela experiência 
de “destrinchar” demonstrações e de fazer demonstrações. Segundo Almouloud 
(2007), “a demonstração em matemática é uma das competências indicadas nos 
PCN para o ensino fundamental e para o ensino médio como parte integrante do 
currículo da escola básica”. Na medida em que se pretende formar o ser humano, 
o aprendizado da Matemática não pode se restringir ao aprendizado de técnicas 
que tenham uma potencialidade futura. É importante que o aluno tenha vivência da 
especificidade da Matemática, e a experiência com algum tipo de demonstrações 
faz parte dessa vivência.
Dependendo de sua experiência com demonstrações, talvez você questione 
a viabilidade de desenvolver demonstrações com alunos da Educação Básica. 
Para aprofundar essa questão, sugerimos que procure textos de pesquisadores 
em Educação Matemática, como os professores Almouloud e Garnica, dos quais 
indicamos dois textos na rubrica “Explore”.
O texto do Prof. Almouloud citado acima está disponível na Web e merece ser lido. Esse texto 
pode ser baixado do site do 30º encontro da ANPED: https://goo.gl/Dhi34s
Além disso, o Prof. Garnica publicou na Bolema um artigo sobre as demonstrações na educação 
matemática (GARNICA, 2002), procurando ampliar os horizontes de signifi cado. O texto do Prof. 
Garnica pode ser encomendado no seguinte link: https://goo.gl/anW4d
Ex
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or
Nosso objetivo aqui é oferecer algumas ideias que possam orientar seu trabalho 
como professor ao lidar com demonstrações. Para isso, talvez ajude falarmos de 
alguma demonstração específica, mas antes é interessante ter em mente as funções 
que uma prova matemática pode ter (ALMOULOUD, 2007):
i) Verifi cação: convencimento próprio e dos outros a respeito da veracidade 
de uma afirmação;
ii) Explicação: compreensão do por que uma afirmação é verdadeira;
iii) Descoberta: de novas teorias, conjecturas ou resultados a partir da tentativa 
de se demonstrar uma conjectura;
iv) Comunicação: negociação do significado de objetos matemáticos;
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UNIDADE Demonstrações matemáticas
v) Desafio intelectual: satisfação pessoal pelo êxito na demonstração de 
um teorema;
vi) Sistematização: organização de resultados num sistema dedutivo de 
axiomas, conceitos e teoremas.
Em seguida, precisaremos apresentar alguma nomenclatura. Vamos distinguir 
três tipos de afirmações: uma conjectura, um teorema e um axioma.
Uma conjectura é uma sentença matemática que ainda não foi provada, isto é, não existe 
nenhuma demonstração reconhecida como válida para ela.
Um teorema é uma sentença matemática que já foi provada, isto é, existe uma 
demonstração reconhecida como válida para ela. Ou seja, todo teorema foi algum dia 
apenas uma conjectura.
Um axioma é uma sentença que não se prova, mas se considera como verdadeira. Por 
exemplo, as propriedades algébricas da soma e da multiplicação (comutatividade, 
associatividade,...) são consideradas axiomas ao se estudar formalmente os números reais.
Ex
pl
or
Todo teorema pode ser expresso na forma “Se P é verdade, então Q é verdade”. 
P constitui o conjunto de afirmações supostas verdadeiras a partir das quais se 
pretende provar Q, a tese do teorema. As sentenças que constituem P são as 
hipóteses do teorema. Por exemplo, o teorema de Pitágoras pode ser escrito 
assim: “Se ABC é um triângulo retângulo, o quadrado da medida de sua hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados das medidas de seus catetos.” A hipótese é: ABC 
é um triângulo retângulo. A tese é: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos.
Importante!
Atenção! Hipótese em outro contexto pode ser sinônimo de conjectura, isto é, de uma 
afirmação cuja verdade não está estabelecida. Aqui não é essa a questão. Aqui hipótese 
é um ponto de partida. Não é possível demonstrar nenhuma afirmação a partir do nada, 
sempre se usam pontos de partida. Esses pontos podem ser axiomas ou outros teoremas 
já provados. Vale a pena pesquisar no dicionário os diferentes significados de hipótese.
Importante!
 
O romance “O Teorema do Papagaio”, de Denis Guedj, publicado pela Companhia das Letras 
em 1999, tem como pano de fundo duas conjecturas da teoria dos números: aquela que é 
conhecida como o último teorema de Fermat e a conjectura de Goldbach. O último teorema 
de Fermat, agora Fermat-Wiles, foi provado em 1995 pelo matemático inglês Andrew Wiles. 
A conjectura de Goldbach ainda não foi provada. O romance percorre uma boa parte da 
história da Matemática acadêmica e é de leitura agradável.
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Vamos, então, ao exemplo de demonstração. Considere a afirmação “a soma 
de dois números inteiros pares é um número par.” Esse é o teorema que queremos 
provar. Para identificar qual é a hipótese e qual é a tese, vale a pena reescrever 
a afirmação como “se..., então...”: “Se n1 e n2 são dois números inteiros pares, 
então “n1 + n2 é um número par”. A hipótese é então “n1 e n2 são dois números 
inteiros pares”, e a tese a ser provada é “n1 + n2 é um número par”.
Se considerarmos, num primeiro momento, partir da ideia de que provar é 
convencer, dependendo de quem queremos convencer, a simples verificação da 
veracidade da tese para alguns pares de números pode ser suficiente. No entanto, 
vimos que isso não é logicamente suficiente.
Uma prova alternativa disso é a seguinte: “Todo número par pode ser pensado como 
o dobro de outro número. Isso é equivalente a dizer que todo número par nada mais 
é do que a soma de uma certa quantidade de 2’s. Somar dois números pares é somar 
duas somas de 2’s. Essa soma também terá apenas 2’s como parcelas, logo essa soma 
também é um número par.” Esse raciocínio pode ser esquematizado como na Figura 1.
n1 :
1 2 (K+1) K
... = K pares
n2 :
1 2 K r
... ... = r pares
n1 + n2 :
1 2 K r
... ...
r + K
... = r + K pares
Figura 1 – Representação gráfi ca da soma de dois números pares.
Essa argumentação pode ser considerada uma prova? Bem, partimos da hipótese, 
procuramos entendê-la de modo a desenvolver a tese a partir dela. Talvez algumas 
passagens gerem dúvidas, como, por exemplo, a afirmação “Isso é equivalente a dizer 
que todo número par nada mais é do que a soma de uma certa quantidade de 2’s”. Um 
exemplo pode esclarecer a dúvida: 10 é par, pois é o dobro de 5, e consequentemente 
é igual à soma de cinco 2s, como mostrado a seguir 10 = 2 + 2 +2 + 2+ 2.
Cada uma das afirmações pode ser tornada mais palpável por meio de exemplos 
para tornar a demonstração mais convincente. Mas é importante sublinhar que esses 
exemplos, essas ilustrações, não mudam nem para mais nem para menos a consistência 
dessa demonstração. Elas servem apenas para tornar a demonstração mais convincente. 
Esse processo de “convencimento” nada mais é do que o trabalho do professor.
Uma outra forma de demonstrar a sentença acima pode começar com a 
tradução da afirmação para o simbolismo matemático e seguir com o uso das 
regras matemáticas de manipulação desse simbolismo. Umaversão intermediária 
entre isso e o que fizemos acima seria a seguinte:
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UNIDADE Demonstrações matemáticas
i) Seja a soma dos números inteiros pares n1 e n2. (Hipótese do teorema.)
ii) Se n1 é par, ele é o dobro de um número inteiro k : n1 = 2k.
iii) Analogamente para n2: n2 = 2r.
iv) Usando (ii) e (iii), podemos reescrever a hipótese do seguinte modo:
n n k r1 2 2 2� � �� �
v) Podemos, então, colocar em evidência o 2 do lado esquerdo da igualdade:
n n k r1 2 2� � �� ��
vi) Como k e r são inteiros, a soma dos dois é um inteiro.
vii) Como n n k r1 2 2� � �� �� , n1 + n2 é o dobro de um número inteiro.
viii) Logo n1 + n2 é um número par  que é a tese que se quer provar.
O uso do simbolismo matemático permite, entre outras coisas, evitar ambiguidades 
e é característico do trabalho do matemático.
Segundo a Prof. Maria Cristina Barufi (1999), é característico do trabalho 
matemático seus resultados serem apresentados de forma descontextualizada, 
despersonalizada e atemporal. Em contrapartida, segundo ela, o trabalho do 
professor “precisa recontextualizar e repersonalizar o conhecimento que seus 
alunos precisam articular [...] Para isso, precisa encontrar situações significativas e 
motivadoras...” (BARUFI, 1999, p. 30). Essa distinção é sintetizada na Figura 2.
Matemático
pro�ssional
Resultados
que encontrou
Conhecimento
matemático
As ideias:
- Recontextualização
Os problemas:
- Repersonalização
A negociação dos signi�cados:
possibilita a construção
de signi�cados por
parte dos alunos
Professor de
matemática
A formalização:
construção do conhecimento
matemático por parte
dos alunos
Organiza os resultados
da maneira mais geral possível.
A maneira de comunicá-los é:
- descontextualizada
- despersonalizada
- atemporal
Figura 2 – O trabalho do matemático e o trabalho do professor.
 Fonte: BARUFI (1999).
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Para a construção do conhecimento matemático por parte dos alunos, 
é interessante colocá-los em situação análoga ao do matemático. Muito 
frequentemente, o foco é no desenvolvimento lógico-dedutivo da demonstração. 
Esse foco é importante, mas também é importante não esquecer a etapa anterior, a 
formulação da conjectura a ser demonstrada. Isso ajuda a contextualizar o processo 
de demonstração dentro de um trabalho de investigação matemática, o que amplia 
as chances de os alunos encontrarem significado na demonstração.
Os trabalhos do Prof. João Pedro da Ponte (p.ex. PONTE et al, 2007) discutem esse tipo de 
abordagem investigativa. Num outro contexto, a Prof. Kristy (1995) narra um exemplo dessa 
abordagem numa sala da educação básica, com o auxílio de calculadoras científi cas.
Ex
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Tipos de demonstração
Como vimos anteriormente, a demonstração é a validação por excelência do 
conhecimento matemático acadêmico. Conseguir elaborar uma demonstração 
inédita constitui uma contribuição significativa para o avanço desse conhecimento.
Estritamente falando, não é possível apresentar uma classificação exaustiva 
das demonstrações. Uma classificação possível é a seguinte: demonstrações 
por exaustão, demonstrações por contraexemplo, demonstrações diretas, 
demonstrações pela contrapositiva, demonstrações por contradição. Passamos a 
seguir a apresentar e ilustrar cada uma delas.
No caso de afirmações e teoremas sobre números naturais, além das 
demonstrações acima é possível usar o princípio da indução finita, ou indução 
matemática, como ferramenta para a demonstração. Isso será detalhado no 
próximo item.
Demonstrações por exaustão
Demonstrações por exaustão fazem sentido quando o que se pretende provar 
se refere a um número limitado de casos. Nessa situação, é possível verificar a 
afirmação a ser provada em cada um dos casos. Ainda que estritamente falando a 
afirmação tenha sido provada, há restrições a esse tipo de prova pela “força bruta”.
Veja a seguinte afirmação: “O quadrado de todo número inteiro positivo menor 
que 6 é menor ou igual à soma de 10 com seu quíntuplo”. Colocando-se na forma 
“se... então...”: “Se n é um número inteiro positivo menor que 6, então n² é menor 
ou igual à soma de 10 com o quíntuplo do número.”
A que números se refere a afi rmação acima? Escolha um deles. O que essa afi rmação diz sobre ele?Ex
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UNIDADE Demonstrações matemáticas
Ao tentar provar algo, é importante ter clareza do que se pretende provar. Por isso 
vale a pena reler várias vezes a afirmação a ser provada, procurando identificar a 
que números ela se refere e o que ela diz sobre cada um deles.
No caso acima, você percebe que ela se refere a números inteiros, mas não todos? 
Ela fala sobre números inteiros positivos, ou seja, estão excluídos todos os negativos e 
o zero. Simbolicamente, podemos escrever que ela se refere a n > 0. Mas essa não é a 
única condição. Os números também são menores que 6. Então a condição final é 0 < 
n < 6. Concorda? Vamos escolher um número inteiro entre 0 e 6, por exemplo, 4. O 
que a afirmação diz sobre ele? Ela fala que o quadrado do número (no caso 4² = 16) é 
menor ou no máximo igual a 10 + 5 vezes o número, ou seja, 10 + 5.4 = 10 + 20 = 
30. Ora, para 4, isso é verdade, pois 16 (4²) é menor que 30 (10 + 5.4).
Vamos formalizar isso. Como vimos acima, afirmações a serem demonstradas 
sempre têm a estrutura “se..., então...”. Ora, essa estrutura é a de uma implicação 
lógica: P → Q. Se P é verdade, então Q é verdade. No exemplo acima, P se refere 
aos números dos quais trata a afirmação: 0 < n < 6. E Q se refere à afirmação 
propriamente dita: n² < 10 + 5n. Então a afirmação completa fica do seguinte 
jeito: 0 6 10 52� � � � �n n n.
Como entre 0 e 6 há uma quantidade finita de números inteiros, podemos fazer 
o teste para cada um deles. O resultado está apresentado na Tabela 1.
Tabela 1 – demonstração por exaustão da afirmação: “0 6 10 52� � � � �n n n ”
n (número testado) n² 10 + 5n
Deu certo? 
Isto é, n2<10+5n?
1 1 10 + 5.1 = 10 + 5 = 5 Sim, pois 1 < 5
2 4 10 + 5.2 = 10 + 10 = 20 Sim, pois 4 < 20
3 9 10 + 5.3 = 10 + 15 = 25 Sim, pois 9 < 25
4 16 10 + 5.4 = 10 + 20 = 30 Sim, pois 16 < 30
5 25 10 + 5.5 = 10 + 25 = 35 Sim, pois 25 < 35
Ainda que teoremas relevantes em geral se refiram a conjuntos infinitos de 
números ou objetos, há um exemplo famoso de demonstração por exaustão: é 
a demonstração do teorema das quatro cores. Esse teorema afirma que quatro 
cores são suficientes para colorir qualquer mapa de modo que dois países vizinhos 
tenham cores diferentes. Esse problema foi enunciado em 1852 por Francis 
Guthrie e veio a ser demonstrado em 1977 por Kenneth Appel e Wolfgang Haken. 
Em 1994, Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul D. Seymour e Robin Thomas 
apresentaram uma demonstração mais simples. Em ambos os casos o problema 
teórico geral foi reduzido a um número finito de casos, isto é, demonstrou-se que se 
o teorema valesse para qualquer mapa desse conjunto finito, valeria para qualquer 
mapa que se pudesse imaginar. Em seguida os autores fizeram a demonstração por 
exaustão de que o teorema valia para cada um dos casos do conjunto finito. Essa 
verificação requereu o uso pesado de computação, pois os cálculos eram bastante 
complexos, mas foi realizada.
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A professora Lurdes Sousa descreve em detalhe esse teorema, sua história e suas relações com 
grafos. Você pode encontrar essa descrição em Sousa (2001).
Disponível em http://www.ipv.pt/millenium/Millenium24/12.pdf.
Último acesso em 10 de agosto de 2015.
Ex
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Demonstração por contraexemplo
Esse tipo de demonstração prova a falsidade de uma afirmação. Por exemplo, 
considere a afirmação “todos os números primos são ímpares”. Para provar que 
essa afirmação é falsa, basta apresentar n = 2. Nesse caso, n é primo e par.
Um exemplo muito conhecido é o seguinte: “O polinômio p(k) = k² + k + 1, 
onde k é um número inteiro, é um gerador de números primos.” Essa afirmação é 
verdadeira para – 40 ≤ k ≤ 40, mas é falsa para k = 41. Logo, ela é falsa.
O desafio desse tipo de demonstração é encontrar um contraexemplo adequado.Ainda falando do teorema das quatro cores, Martin Gardner publicou em 1975 
na Scientific American (GARDNER, 1975, apud WEISSTEIN) uma brincadeira de 
primeiro de abril: um contraexemplo que mostrava um mapa que não podia ser 
colorido com apenas quatro cores. O contraexemplo era evidentemente falso – 
evidentemente porque o teorema foi demonstrado verdadeiro e consequentemente 
não pode haver contraexemplo. Evidentemente falso também porque Weinsstein 
cita um outro trabalho que mostra como colorir esse contraexemplo usando apenas 
quatro cores.
Demonstração direta
Quando a conjectura, a afirmação a ser provada, abrange uma quantidade 
infinita de casos, a demonstração por exaustão é inexequível. Uma possibilidade 
é a demonstração direta. Na demonstração direta, partimos da hipótese (P) e, 
usando as regras da lógica, da matemática, avançamos procurando chegar à tese 
(Q). Um exemplo disso foi a demonstração da asserção “a soma de dois números 
pares é um número par” feita acima. Um segundo exemplo pode ser dado para a 
afirmação “a soma de dois números ímpares é um número par”.
i) Seja a soma dos números inteiros pares n1 e n2 (Hipótese do teorema.)
ii) Se n1 é ímpar, ele é 1 a mais do que o dobro de um número inteiro
n1 : n1 = 2k1 + 1
iii) Analogamente para n2: n2 = 2k2 + 1
iv) Usando (ii) e (iii) podemos reescrever a hipótese do seguinte modo:
n n k k1 2 1 22 1 2 1� � �� � � �� �� �
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UNIDADE Demonstrações matemáticas
v) Podemos, então, abrir os parênteses e colocar em evidência o 2 do lado 
esquerdo da igualdade:
n n k k
n n k k
n n k k
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 2 1
2 2 2
2 1
� � � � �
� � � �
� � � �� �
�
�
�
vi) Como k1 e k2 e 1 são os três números inteiros, a soma dos três é 
um inteiro.
vii) Como, n1 + n2 = 2(k1+ k2+1), n1 + n2 é o dobro de um número inteiro.
viii) Logo, n1 + n2 é um número par  que é a tese que se quer provar.
O desafio para uma demonstração direta é encontrar o caminho a ser desenvolvido 
a partir da hipótese para se chegar à tese. Não é possível seguir um roteiro único. 
O estudo de outras demonstrações e o domínio das propriedades algébricas dos 
números, além do conhecimento de outros teoremas, constituem uma bagagem 
que ajuda muito a desenvolver um maior domínio de demonstrações. Para encerrar 
esta parte, mais um exemplo.
Considere a afirmação “Se ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais 
e a ≠ 0, então x b b a c
a
�
� � �2 4
2
. .
.
 ”. Como é que se faz a demonstração direta dessa 
afirmação? Como é que se faz a demonstração direta da fórmula conhecida como 
fórmula de Báscara?
Demonstrar diretamente nesse caso é partir da equação e chegar à fórmula. O 
desafio é encontrar o caminho. Ajuda muito se você já viu problemas parecidos 
antes. Você com certeza sabe resolver certas equações do 2º grau sem usar a 
fórmula de Báscara. Por exemplo, x² = 9. Você sabe que é só tirar a raiz quadrada 
dos dois lados: x x� � � �9 3 ou x = -3 .
A ideia é procurar transformar a equação acima de modo que ela fique na 
mesma forma de “x² = 9”, isto é, algo como α² = β, onde a é uma expressão que 
depende de x e β é uma expressão que não depende de x. Se conseguirmos fazer 
isso, então é só tirar a raiz quadrada e � �� � .
Para poder fazer isso, teremos de fazer aparecer um trinômio quadrado perfeito 
para podermos usar o seguinte produto notável: (p + q)² = p² + 2pq + q². Vamos 
apresentar a demonstração a seguir:
Lembra? O quadrado da soma de dois números p e q é igual ao quadrado do 
primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. 
Simbolicamente (p + q)² = p² + 2pq + q²
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17
1. ax bx c2 0� � � equação original (hipótese)
2. x b
a
x
c
a
2 0� � � dividimos tudo por a
3. Os termos x2 e 
b
a
x podem ser considerados os dois primeiros termos do 
trinômio quadrado perfeito. Precisamos fazer aparecer o terceiro termo. Para 
isso, precisamos identificar quem é o “segundo” no trinômio:
4. p² = x²  o primeiro é p = x
5. 2pq = b
a
x  logo pq = 
b
a
x
2
6. Se pq é b
a
x
2
 (passo 5) e p é x (passo 4), então q = b
a2
�
�
�
�
�
�, e consequentemente 
q² = b
a2
�
�
�
�
�
�
2, termo que falta na equação (2)
7. Resumindo 3, 4, 5 e 6. Se quisermos transformar x
b
a
x2 + num trinômio 
quadrado perfeito, temos de fazer aparecer na equação (2) o termo � b
a
b
a2 4
2 2
2
�
�
�
�
�
� �
8. Somando e subtraindo �
b
a2
2
�
�
�
�
�
� na equação 2:
�x
b
a
x
b
a
b
a
c
a
2
2
2
2
24 4
0� � � � �
9. Usando em 8 o produto notável (a + b)² = a² + 2ab + b²
�x
b
a
b
a
c
a
��
�
�
�
�
� � � �2 4
0
2 2
2
10. Isolando o termo com x:
�x
b
a
b
a
c
a
��
�
�
�
�
� � �2 4
2 2
2
11. Chegamos finalmente à expressão do tipo “x² = 9”. Agora é tirar a raiz quadrada:
�x
b
a
b
a
c
a
� � � �
2 4
2
2
12. Fazendo a subtração dentro da raiz:
�x
b
a
b ac
a
� � �
�
2
4
4
2
2
13. Tirando o denominador para fora da raiz:
�x
b
a
b ac
a
b ac
a
b ac
a
� � �
�
� �
�
� �
�
2
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
17
UNIDADE Demonstrações matemáticas
14. Isolando o x:
�x
b
a
b ac
a
x
b b ac
a
� � �
�
�
� � �
2
4
2
4
2
2
2
E está demonstrada a afirmação.
Demonstração pela contrapositiva
Dados uma conjectura ou um teorema, pode-se sempre associar a essa afirmação 
uma afirmação logicamente equivalente com a seguinte característica: a hipótese da 
contrapositiva é a negação da tese da afirmação original; a tese da contrapositiva 
é a negação da hipótese da afirmação original.
Vamos tomar como exemplo a afirmação “a soma de dois números ímpares 
é um número par”. A hipótese P nesse caso é “n1 e n2 são ímpares”, e a tese Q 
é “n1+n2 é par”. A negação da hipótese P (chamaremos essa negação de P’) é, 
então, “n1 e n2 não são ambos ímpares”, e a negação da tese Q (chamaremos 
essa negação de Q’) é “n1+n2 não é par”. A contrapositiva é, então, a seguinte 
afirmação: “se n1+n2 não é par, então n1 e n2 não são ambos ímpares.” Isso está 
sumarizado no Quadro 1.
Quadro 1 – relação entre a afirmação original e sua contrapositiva.
Afirmação Enunciado Hipótese Tese
Original (P  Q) “Se n1 e n2 são ímpares, então n1+n2 é par”
“n1 e n2 são ímpares” 
(P)
“n1+n2 é par” 
(Q)
Contrapositiva (Q’P’) “Se n1+n2 não é par, então n1 e n2 não são ambos ímpares”
“n1+n2 não é par” 
(Q’)
“n1 e n2 não são ambos 
ímpares” 
(P’)
A questão agora é perceber que a afirmação original e sua contrapositiva são 
sempre equivalentes. O que diz a afirmação original? Diz que se P é verdadeira, 
necessariamente Q é verdadeira. O que diz a contrapositiva? Diz que se Q é falsa, 
necessariamente P é falsa.
Atenção! Não caia na tentação de achar que se P é falso, Q é falso. Veja no 
exemplo acima: “a soma de dois números inteiros ímpares é um número par.” Ora, 
P pode ser falso e ainda assim Q ser verdadeiro. Basta que n1 e n2 sejam os dois 
pares, correto?
Voltando à contrapositiva. Tem como ela ser verdadeira e a afirmação original 
ser falsa? Não. Veja, se a contrapositiva é falsa, Q falso implica automaticamente 
que P é falso. Então, se P é verdadeiro (hipótese original), não tem como Q ser 
falso. Q é verdadeiro (tese original). Vejamos no sentido contrário? Tem como a 
18
19
afirmação original ser verdadeira e a contrapositiva falsa? Não. Veja, se a afirmação 
original é verdadeira, P verdadeiro implica automaticamente que Q é verdadeiro. 
Então, se Q é falso (hipótese da contrapositiva), não tem como P ser verdadeiro. P 
é falso (tese da contrapositiva).
Em termos práticos, muitas vezes é mais fácil provar a contrapositiva do que a 
afirmação original.
Em lógica, a contrapositiva de P  Q é Q’  P’
Vamos agora apresentar dois exemplos. Primeiramente, consideremos a 
afirmação “se o quadrado de um número inteiro é par, então o número inteiro 
é par”. A hipótese P é “n² é par”, e a tese Q é “n é par”. Vamos construir a 
contrapositiva. A negação de Q é “n não é par”, o que é equivalente a “n é ímpar”. 
Então Q’ é “n é ímpar”. A negação de P é “n² não é par”, o que é equivalentea 
“n² é ímpar”. Em outras palavras, provar que “se o quadrado de um número inteiro 
é par, então o número inteiro é par” (afirmação inicial) é equivalente a provar que 
““se um número inteiro é ímpar, então seu quadrado é ímpar”.
Vamos provar isso usando a contrapositiva:
i) n = 2k + 1 hipótese Q’ da contrapositiva: n é ímpar
ii) n k
n k k
n k k
2 2
2 2
2 2
2 1
4 4 1
2 2 2 1
� �
� � �
� � �
( )
( )
 desenvolvendo Q’
iii) Em (iii) k e k² são inteiros, logo 2k² + 2k é inteiro. E consequentemente 
n² = 2q + 1, onde q é um número inteiro.
Consequentemente n² é ímpar e está provada P’.
Provamos então Q’  P’. Isso é equivalente a provar P  Q. No exemplo, 
provamos “se um número inteiro é ímpar, então seu quadrado é ímpar”, o que é 
equivalente a provar “se o quadrado de um número inteiro é par, então o número 
inteiro é par”.
Vamos ao segundo exemplo. A afirmação a ser provada é “Se y = ax + b é uma 
função definida sobre todos os reais, então ela é injetora.” Lembre-se, uma função 
injetora é uma função tal que as imagens de todos os elementos do domínio são 
diferentes. Isto é, se x1 ≠ x2 , então (ax1+b) ≠ (ax2+b). A hipótese P é “ x1 ≠ x2”. Sua 
negação é x1 = x2. A tese Q é (ax1+b) ≠ (ax2+b). Sua negação é (ax1+b) = (ax2+b). 
A contrapositiva é então:
“Se ax b ax b1 2�� � � �� � , então x x1 2= "
19
UNIDADE Demonstrações matemáticas
Demonstrando a contrapositiva:
i) ax b ax b1 2�� � � �� � hipótese Q’ da contrapositiva
ii) ax b ax b1 2� � � – desenvolvendo Q’
ax ax b b
ax ax
x
ax
a
x x
1 2
1 2
1
2
1 2
� � �
�
�
�
Está, então provada P’.
iii) Provamos a contrapositiva (Q’P’) “Se ax b ax b1 2�� � � �� � , então x x1 2= " 
 consequentemente provamos a afirmação “se x1 ≠ x2, então ax b ax b1 2�� � � �� � ≠ 
ax b ax b1 2�� � � �� � ” que equivale à afirmação original “Se y = ax + b é uma função definida 
sobre todos os reais, então ela é injetora.”
Demonstração por redução ao absurdo (ou por contradição)
Na demonstração por redução ao absurdo, a argumentação usada tem a seguinte 
organização (lembre-se, o objetivo é provar P  Q):
 · Hipótese de trabalho: P é verdadeiro e Q é falso (isto é, PQ é falso).
 · A partir da hipótese de trabalho demonstramos alguma contradição 
ou absurdo.
 · Se a demonstração está correta e o resultado é absurdo, isso quer dizer 
que a hipótese de trabalho é falsa; consequentemente, a sua negação é 
verdadeira.
Vamos a um primeiro exemplo: “se um número real somado a ele mesmo é 
igual a ele mesmo, então ele é zero”.
Primeiramente, identifiquemos P e Q. A hipótese P é “um número real somado 
a ele mesmo é igual a ele mesmo”. A tese Q é “esse número é zero”. Precisamos 
da negação de Q. Essa negação (Q’) é “esse número não é zero”. A hipótese de 
trabalho é, então, “um número real somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, mas 
ele não é zero.” Vamos provar agora que isso implica um absurdo.
1) x + x = x Parte da hipótese de trabalho
2) 2x = x Desenvolvendo (1)
3) 2 = x/x É possível fazer pois x ≠ 0
4) 2 = 1 ABSURDO!
20
21
Se chegamos a um absurdo, isso quer dizer que a hipótese de trabalho é falsa. 
Isto é, não é possível que as afirmações P e Q’ sejam ambas verdadeiras. Ou seja, 
há duas alternativas:
i) Se P é verdadeira, Q’ deve ser falsa e, consequentemente, sua negação Q deve 
ser verdadeira. Em outras palavras, P  Q e o teorema está demonstrado.
ii) Se Q’ é verdadeira, P deve ser falsa. Em outras palavras, Q’ P’ e o teorema 
está demonstrado pela contrapositiva.
Passemos a um segundo exemplo. Considere a afirmação “o produto de dois 
números ímpares é um número ímpar”. Nesse caso, a hipótese P é “n1 e n2 são 
ímpares” e a tese Q, se chamarmos “n3 = n1n2”, é “n3 é ímpar”. A negação de Q 
é “n3 não é ímpar”, o que equivale a “n3 é par”. E a hipótese de trabalho é n1 e n2 
são ímpares, e n3 é par, onde n3 = n1n2. Vamos provar agora que isso implica um 
absurdo.
1) n1 = 2k1 + 1, onde k1 é inteiro n1 é ímpar (parte da hipótese de trabalho)
2) n2 = 2k2 + 1, onde k2 é inteiro n2 é ímpar (parte da hipótese de trabalho)
3) n3 = 2k3, onde k3 é inteiro n3 é par (parte da hipótese de trabalho)
4) n3 = n1n2 (parte da hipótese de trabalho)
5) 2k3 = (2k1+1)(2k2+1) Substituindo (1), (2) e (3) em (4) e desenvolvendo
2k3 = 4k1k2+2k1+2k2+1
6) k3 = 2k1k2+k1+k2+0,5 Dividindo o resultado de (5) por 2
Analise (6): do lado esquerdo temos um número inteiro (passo 3), do lado direito 
temos “2k1k2+k1+k2+0,5”. As três primeiras parcelas são números inteiros, mas 
a quarta não. Concorda? Então, como a soma de três números inteiros com um 
número não inteiro pode ser igual a um número inteiro? Não dá. Isso é um absurdo.
Novamente, se chegamos a um absurdo, isso quer dizer que a hipótese de 
trabalho é falsa. Isto é, não é possível que as afirmações P e Q’ sejam ambas 
verdadeiras. Ou seja, há duas alternativas:
i) Se P é verdadeira, Q’ deve ser falsa e, consequentemente, sua negação Q deve 
ser verdadeira. Em outras palavras, P  Q e o teorema está demonstrado.
ii) Se Q’ é verdadeira, P deve ser falsa. Em outras palavras, Q’  P’ e o teorema 
está demonstrado pela contrapositiva.
Vamos a um terceiro e último exemplo extremamente conhecido: “a raiz quadrada 
de 2 não pode ser representada por uma fração”. A demonstração por redução 
ao absurdo é útil em casos como esse, em que o que se pretende mostrar uma 
impossibilidade. Nesse caso, P é dado por “ x = 2 ” e Q é dado por “não existem p 
21
UNIDADE Demonstrações matemáticas
e q inteiros e q não nulo, tais que x pq= . Q’ então é dado por “existem p e q inteiros 
e q não nulo, tais que x pq= . Nosso objetivo é provar que P e Q’ são verdadeiras, 
isto é, que, se p e q existem tais que 2 = p
q
, isso leva necessariamente a um absurdo.
Como ponto de partida, lembremos que se existir um par p e q tal que Q’ seja 
verdadeira, existirão infinitos, pois sempre há infinitas frações equivalentes . Veja 
dois exemplos de frações equivalentes: 12 24 36� � ��..., ou então 75 1410 2115� � ��... 
No primeiro caso, todas as frações são equivalentes a ½ e podem ser representadas 
por 0,5. No segundo caso, todas as frações são equivalentes a 75 1410 2115� � �� e podem ser 
representadas por 1,4. Essa multiplicidade de frações equivalentes coloca o seguinte 
problema: com quais p e q vamos trabalhar? Escolhemos trabalhar com os menores, 
aqueles que não podem mais ser simplificados, isto é, escolhemos trabalhar com uma 
fração irredutível. Isso afeta a generalidade da demonstração? Não, pois dada uma 
fração redutível ela sempre pode ser simplificada até se obter uma fração irredutível.
Assim, a hipótese de trabalho fica a seguinte: “existem p e q inteiros, e q ≠ 0, 
tais que 2 = pq , onde 2 =
p
q é uma fração irredutível. Vamos demonstrar que isso implica 
um absurdo.
1) 2 =
p
q parte da hipótese de trabalho
2) 2
2
2=
p
q
 Elevando (1) ao quadrado
3) p q² ²= 2 Eliminando o denominador
4) p2 é par Pois é o dobro de um número inteiro q²
5) p é par Pois seu quadrado é par
6) p = 2k, onde k é inteiro Pois p é par
7) p k k² ² ²� � � �2 4 Elevando (5) ao quadrado
8) 4 2k q² ²= Igualando (3) e (7)
9) q
k
q k²
²
² ²� � �
4
2
2 Desenvolvendo (8)
10) q2 é par Pois é o dobro de um inteiro k²
11) q é par Pois seu quadrado é par
Analisemos (5) e (11). Acabamos de descobrir que o numerador p e o denominador 
q da fração p/q são ambos pares. Ora, se os dois são pares, a fração pode ser 
simplificada dividindo em cima e em baixo por 2. Em outras palavras, a fração 
não é irredutível, o que contradiz a hipótese de trabalho. Onde está o problema? 
Admitimos que exista uma fração que represente a raiz quadrada de 2. Essa fração 
não existe, pois se existisse, teria uma fração irredutível equivalente, o que acabamos 
de provar que não é possível. A Figura 3 representa isso esquematicamente.
22
23
√2 pode ser
representada por uma fração
Existe uma fração irredutível
que representa √2
NÃO É VERDADE que √2 pode
ser representada por uma fração
√2 NÃO pode ser
representadapor uma fração
Essa fração pode ser
simplificada
CONTRADIÇÃO!
ABSURDO!
Figura 3 – Esquema ilustrativo da demonstração por redução absurdo de: “a raiz quadrada de 2 não pode ser 
representada por uma fração”.
Demonstrações pelo Princípio da Indução Finita
O princípio da indução finita ou indução matemática, que chamaremos a partir 
de agora de PIF, está ligado a uma das propriedades dos números naturais: todo 
número natural tem um sucessor imediato: 2 sucede ao 1, 3 sucede ao 2, 4 sucede 
ao 3, e assim por diante. O PIF é consequência direta do último dos postulados de 
Peano para os números naturais (ÁVILA, 2005, p. 13).
O PIF afirma o seguinte: se uma afirmação vale para um certo número natural 
N, e se ela valendo para um número natural maior que N valerá necessariamente 
para o número natural seguinte, então ela valerá para todo número natural maior 
ou igual a N.
Princípio da indução fi nita: Seja N um número natural e P(n) uma propriedade 
referente ao número natural n ≥ N. Suponhamos que P(N) é verdadeira e que se 
P(k) é verdadeira, onde k ≥ N, então P(k + 1) também é verdadeira. Então P(n) é 
verdadeira qualquer que seja n ≥ N.
Vamos primeiramente descrever uma analogia que pode ajudar a entender o 
que o PIF quer dizer para depois mostrar como usá-lo. Imagine um arranjo como 
o mostrado na Figura 4. Uma grande quantidade de dominós é colocada em pé 
em fila, um em frente ao outro. Terminada a montagem, o 1º dominó da fila é 
tombado. Ao tombar, ele faz tombar o seguinte, e assim por diante, de modo que 
todos os dominós irão tombar.
23
UNIDADE Demonstrações matemáticas
Figura 4 – Arranjo de dominós. Terminada a montagem dessa fila de dominós, o 1º dominó da fila é tombado. Ao 
tombar, ele faz tombar o seguinte, e assim por diante, de modo que todos os dominós irão tombar.
Vamos considerar a afirmação: “a soma dos n primeiros números naturais é igual 
a n n �� �1
2
”. Essa é a afirmação P que depende de n. Isso está detalhado no Quadro 2.
Quadro 2 – detalhamento de P(n) para todo n > 1;
n P(n)
1 o 1º número natural é igual a 
1 1 1
2
1
�� �
�
2 a soma dos 2 primeiros números naturais é igual 
2 2 1
2
3
�� �
�
3 a soma dos 3 primeiros números naturais é igual 
3 3 1
2
6
�� �
�
4 a soma dos 4 primeiros números naturais é igual 
4 4 1
2
10
�� �
�
... ...
n a soma dos n primeiros números naturais é igual a 
n n �� �1
2
Esse conjunto de afirmações pode ser associado ao conjunto de dominós em pé. 
Dizer que todas essas afirmações são verdadeiras corresponde a dizer que todos os 
dominós irão tombar.
24
25
O PIF afirma que isso é verdade se duas condições forem atendidas. A 1ª condição 
afirma que a 1ª afirmação é verdadeira. Isso corresponde a dizer que o 1º dominó 
vai tombar. A 2ª condição afirma que se uma afirmação qualquer é verdadeira, a 
seguinte também é. Isso corresponde a dizer que o arranjo dos dominós é tal que 
se algum qualquer do meio da fila tombar, o seguinte tombará também. Você pode 
bem imaginar que, dependendo do arranjo, isso pode não acontecer: o seguinte 
está muito distante, ou então, numa curva, os ângulos são tais que ainda que um 
caia, ele apenas encosta no seguinte. Isso corresponde a dizer que, conforme o 
tipo de afirmação, não é porque ela vale para um certo valor de n que sempre 
valerá para o n seguinte – isso vai depender da afirmação.
Vamos agora provar a afirmação acima usando o PIF. Lembrando que dissemos 
que o PIF afirma que a afirmação será verdadeira para todo n ≥ N se:
1) vale para N (neste caso N = 1)
2) e se ela valer para um número natural k maior que N, valerá necessariamente 
para (k + 1), isto é, o número natural seguinte.
A parte “se vale para k” é a chamada hipótese de indução; a parte “vale para 
k+1” é a tese da indução. A ideia é deduzir a tese a partir da hipótese.
A 1ª etapa já está feita: corresponde à 1ª linha do Quadro 2. A soma do 1º 
número natural nada mais é do que o próprio número: 1.
A 2ª etapa é mais elaborada. Comecemos pela hipótese de indução: a soma dos 
k primeiros números é igual a k k �� �1
2
. Isso pode ser escrito como:
1 2 3
1
2
� � � � �
�� �
... k
k k
 (Eq. 1)
Vamos escrever agora a tese da indução, isto é, a afirmação para k+1: a soma 
dos (k + 1) primeiros números é igual a ( )( ) ( )( )k k k k� � � � � �1 1 1
2
1 2
2
. Isso pode ser 
escrito como:
1 2 3 1
1 2
2
� � ��� � �� � � �� � �� �k k k k (Eq. 2)
A ideia é deduzir a Eq.2 a partir da Eq.1. Compare o lado esquerdo das duas. 
Perceba que a soma da Eq.2 nada mais é que a soma da Eq.1 acrescida da parcela 
(k+1). Vamos somar essa parcela aos dois lados de Eq.1. Como a Eq.1 é verdadeira, 
o resultado continuará sendo verdadeiro.
1 2 3 1
1
2
1� � ��� � �� � � �� � � �� �k k k k k (Eq.3)
25
UNIDADE Demonstrações matemáticas
Compare a Eq.3 com a Eq.2. O lado esquerdo das duas é o mesmo. Agora 
devemos provar que o lado direito da Eq.3 é igual ao lado direito da Eq.2. Vamos 
começar somando as duas parcelas, pois na Eq.2 só há uma fração:
k k
k
k k k�� �
� �� � � �� � � �� �1
2
1
1 2 1
2
 (Eq.4)
Vamos agora colocar (k+1) em evidência do lado direito:
k k
k
k k�� �
� �� � � �� � �� �1
2
1
1 2
2
 (Eq.5)
Compare o lado esquerdo de Eq.5 com o lado direito de Eq.3. É a mesma 
coisa. Compare o lado direito de Eq.5 com o lado direito de Eq.2. Também é a 
mesma coisa. Ou seja, provamos que o lado direito da Eq.3 é igual ao lado direito 
da Eq.2. Isso quer dizer que, partindo da hipótese de indução (Eq.1), chegamos 
à tese da indução (Eq.2). Em outras palavras, a condição 2 do PIF é atendida e, 
consequentemente, a afirmação é verdadeira.
Vamos fazer um segundo exemplo. Considere a afirmação “a soma dos quadrados 
dos n primeiros números naturais é igual a n n n�� � �� �1 2 1
6
”. Nesse caso, N = 1. Para 
testar a condição 1 do PIF, basta substituir na fórmula n = 1. O resultado é 1, que é 
igual ao quadrado do 1º número natural. Ou seja, a afirmação passa pela condição 1.
Para testar a condição 2, vamos seguir um caminho similar ao do exemplo 
anterior.
1. Vamos escrever a hipótese de indução:
1 2
1 2 1
6
2² ²+ + . . .+ =
+( ) +( )
k
k k k
2. Vamos escrever a tese da indução:
1 2 1
1 2 2 1 1
6
1 2 1
2 2
2 2
² ²
² ²
+ + . . .+ + +( ) =
+( ) +( ) +( ) +( )
+ + . . .+ + +( ) =
k k
k k k
k k
k ++( ) +( ) +( )1 2 2 3
6
k k
3. Vamos seguir o mesmo caminho do exemplo anterior: alterar o lado 
esquerdo de (1) para fazê-lo igual ao lado esquerdo de (2) e mostrar que como 
consequência, o lado direito de (1) também fica igual ao lado direito de (2). Como a 
expressão do lado direito de (2) é um pouco mais complicada, vamos desenvolvê-la 
abrindo os parênteses:
26
27
1 2 1
1 2 2 3
6
1 2 1
2 2
2 2
² ² ...
² ² ...
� � � � �� � � �� � �� � �� �
� � � � �� � �
k k
k k k
k k
k ²²
² ² ...
²
²
� � �� � �� �
� � � � �� � � � �� � �� �
�
k k k
k k
k k k
2 2 2 3
6
1 2 1
3 2 2 3
6
1 2
2 2
²² ...
³ ² ²
² ² ...
� � � �� � � � � � � �� �
� � � � �� �
k k
k k k k k
k k
2 2
2 2
1
2 3 6 9 4 6
6
1 2 1 ��
� � �� �2 9 13 6
6
k k k³ ²
4. Voltemos agora à hipótese de indução. Vamos procurar transformá-la na tese. 
Fazemos isso somando (k + 1)² dos dois lados da expressão (1), de modo a 
transformar o lado esquerdo da hipótese igual ao lado esquerdo da tese de indução:
1 2 1
1 2 1
6
12
2 2
² ² ...� � � � �� � � �� � �� � � �� �k k k k k k
5. Desenvolvendo o lado direito, para mostrar que ele é igual ao da tese 
(expressão 2):
1 2 1
1 2 1
6
1
1 2 1
2 2 2 2 2
2 2 2
� � � � �� � � �� � �� � � �� �
� � � � �� �
...
...
k k
k k k
k
k k
22
2
2 2 2 2
1 2 1
6
6 1
6
1 2 1
2 1
�
�� � �� �
�
�� �
� � � � �� � � �� � �� � �
k k k k
k k
k k k
...
² 66 2 1
6
1 2 1
2 2 6 12 6
6
1
2 2 2 2
2
k k
k k
k k k k k k
²
...
³ ² ² ²
� �� �
� � � � �� � � � � � � � �
� 22 1
2 9 13 6
6
2 2 2� � � �� � � � � �... ³ ²k k k k k
Compare a expressão final de (5) com a expressão final de (3). São iguais. Isso 
mostra que conseguimos deduzir a tesede indução a partir da hipótese de indução. 
Ou seja, a 7 afirmação passa pela condição 2 também.
27
UNIDADE Demonstrações matemáticas
Para praticar
Enunciados
1) Prove por demonstração direta que dados três números inteiros consecutivos 
a, b e c, tais que a < b < c, b é a média aritmética de a e c.
2) Prove que se dois números inteiros são divisíveis por um número inteiro x, a 
soma dos dois também é. Faça uma demonstração direta.
3) Demonstre por contraposição a seguinte afirmação: dado um número natural 
maior que 3, o quadrado de um número é maior do que o dobro desse número mais três.
4) Demonstre por indução matemática que a soma das n primeiras potências é dada por:
Sn
i
n
i n
n
� � � � ��� �
�
�
�
� ��
0
1
1 1
7 1 7 49 7
7 1
6
Respostas
1) Prove por demonstração direta que dados três números inteiros consecutivos 
a, b e c, tais que a < b < c, b é a média aritmética de a e c.
Resolução:
Sejam b = a + 1; c = b + 1 = a + 2; e m a média de a e c.
m é calculada por m a c� �
2
 
Substituindo a e c:
m
a a a
a�
� �
�
�
� �
2
2
2 2
2
1
b = a +1  m = b
Está provada a afirmação.
2) Prove que se dois números inteiros são divisíveis por um número inteiro x, a 
soma dos dois também é. Faça uma demonstração direta.
a – 1º número  a é divisível por x  existe p inteiro tal que a = px
b – 2º número  b é divisível por x  existe q inteiro tal que b = qx
c = a + b
Devemos provar que c é divisível, isto é, que existe um número inteiro k tal que c = kx
28
29
Se a = px e b = qx  a + b = px + qx
c = px + qx  c = (p + q)x
(p + q) é inteiro, pois é a soma de dois inteiros.
Chamando k = p + q
c = kx
c é divisível por x
Está provada a afirmação.
3) Demonstre por contraposição a seguinte afirmação: dado um número natural 
maior que 3, o quadrado de um número é maior do que o dobro desse número 
mais três.
Encontrando a contrapositiva que deve ser demonstrada
Tese da afirmação original: n² > 2n + 3  hipótese da contrapositiva:
n² ≤ 2n + 3
Hipótese da afirmação original: n > 3  tese da contrapositiva: 0 < n ≤ 3
Manipulando a hipótese da contrapositiva
n² ≤ 2n + 3
n² - 2n - 3 ≤ 0
Fazendo o estudo do sinal de f(n) = n² - 2n – 3
a > 0  parábola com boca para cima  f(n) é negativo entre as raízes.
Cálculo das raízes
∆ = −( ) − −( )
∆ =
=
−
= −
=
+
=
2 4 1 3
16
2 16
2 1
1
2 16
2 1
3
2
1
1
2
2
. .
.
.
n
n
n
n
Ou seja, f(n) = n² - 2n – 3 ≤ 0 quando – 1 ≤ n ≤ 3
Como n é natural, n ≥ 0
Logo, se n² ≤ 2n + 3  0 < n ≤ 3
E está provada a afirmação.
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UNIDADE Demonstrações matemáticas
4) Demonstre por indução matemática que a soma das n primeiras potências é 
dada por:
Sn
i
n
i n
n
= = + + +…+ =
−
=
−
− −∑
0
1
1 17 1 7 49 7
7 1
6
Passo inicial: Vale para n = 1?
S1 = 1
7 1
6
7 1
6
6
6
1
1 �
�
�
� �
Passo indutivo
Hipótese de indução
Existe k tal que
Sk
k
k
= + + + . . .+ =
−−1 7 49 7
7 1
6
1
Provar que 
Sk
k k
k
+
−
+
= + + + . . .+ + =
−
1
1
1
1 7 49 7 7
7 1
6
Começando:
1 7 49 7
7 1
6
1 7 49 7 7
7 1
6
7
7 1
6
7
1
1
1
+ + + . . .+ =
−
+ + + . . .+ + =
−
+
=
−
+
−
−
+
k
k
k k
k
k
k
k
kS
Skk
k k
k
k k
k
k
k
k
S
S
S
+
+
+
+
=
−
+
=
− +
=
+( ) −
=
−
1
1
1
1
7 1
6
6 7
6
7 1 6 7
6
7 1 6 1
6
7 7 1
6
.
.
.
SSk
k
+
+
=
−
1
17 1
6
Está provado o passo indutivo e consequentemente está provada a afirmação.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
The longest domino line in world history
De SHANES DOMINOEZ. Duração: 2 minutos e 10 segundos. Acesso em: 23 out. 2015.
https://www.youtube.com/watch?v=UJLwybR58Nw
10,000 iPhone 5 Domino
De AATMASTUDIO. Duração: 01 minuto e 24 segundos. Acesso em: 23 out. 2015.
https://www.youtube.com/watch?v=tj7al6MXu7U
PIF – Princípio da Indução Finita – Indução
De MATEMÁTICA RIO. Duração: 23 minutos e 01 segundo. Acesso em: 23 out. 2015.
https://www.youtube.com/watch?v=PzHYlqL4Hpw
 Sites
O link a seguir mostra uma brincadeira de 1º de abril relativa ao teorema das 
quatro cores. A referência de Weisstein mostra o furo nessa pseudo-demonstração
por contraexemplo:.
http://dererummundi.blogspot.com.br/2009/04/o-teorema-das-4-cores-e-falso.html
O link a seguir tem um texto mais aprofundado sobre indução matemática, de 
autoria do Prof. Elon Lages Lima, pesquisador do IMPA:
http://goo.gl/8JauH3
 Leitura
O princípio da indução finita – uma abordagem no ensino médio.
PEREIRA, Paulo César Antunes. Dissertação em Ensino de Matemática. Instituto de 
Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Rio de Janeiro, 2013.
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UNIDADE Demonstrações matemáticas
Referências
ALMOULOUD, Saddo Ag. Prova e demonstração em matemática: problemática 
de seus processos de ensino e aprendizagem. 30ª reunião anual da ANPED (GT 
19 – Educação Matemática). Caxambu – MG, 7 a 10 de outubro. Timbauda-PE: 
Espaço Livro, 2007, v. 1 p.1 - 18.
ÁVILA, Geraldo. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Edgard 
Blücher, 2005.
BARUFI, Maria Cristina Bonomi. A construção/negociação no curso 
universitário inicial de cálculo diferencial e integral. Tese de doutorado em 
Educação. Faculdade de Educação da USP, 1999.
GARNICA, A. V. M. As demonstrações em educação matemática: um ensaio. 
Bolema, nº. 18, 2002, p. 91-122.
FANTI, Renato. Clareza e distinção das ideias: uma abordagem peirciana. 
Dissertação de mestrado em Filosofia. PUC-SP, 2013.
SOUSA, Lurdes. O teorema das quatro cores. Millenium – revista do Instituto 
Politécnico de Viseu, Portugal, nº. 24, 2001, p. 125–151. Disponível em: <http://
www.ipv.pt/millenium/Millenium24/12.pdf>. Acesso em: 10 ago. 2015.
WEISSTEIN, Eric W. Four-Color Theorem. In: MathWorld - A Wolfram Web 
Resource. Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/Four-ColorTheorem.
html>. Acesso em: 10 ago. de 2015.
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