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que leˆ-se assim: zero e´ o limite da sequeˆncia 1/n ou a sequeˆncia tende a zero
Veremos adiante que ha´ sequeˆncias que tendem de diversas maneiras diferentes
a pontos, algumas va˜o decrescendo em valores como a (xn)n = 1/n, outras va˜o
crescendo como−1/n, outras va˜o oscilando e assim por diante, mas o que e´ importante
e´ que:
• elas entram em qualquer cerca estabelecida em torno de seu limite, desde
que se espere o tempo n� suficiente e
• depois de la´ entrarem na˜o mais saem.
Veremos tambe´m que podemos combinar sequeˆncias simples (cujo limite podemos
intuir facilmente) para criar sequeˆncias complicadas, das quais na˜o e´ poss´ıvel ter uma
intuic¸a˜o de seu limite (exceto algue´m com poderes para-normais ...). Mesmo assim
poderemos matematicamente determinar esses limites.
2. Limites de sequeˆncias
O conceito de limite e´ o conceito fundamental do Ca´lculo, de onde surgem out-
ras noc¸o˜es importantes como continuidade, derivada e integral. Por isso este e´ um
Cap´ıtulo um pouco mais extenso.
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 49
Imagine uma ma´quina, um sistema ou um processo tal que para um certo input
x da´ um certo output f(x). Agora imagine que para um input parecido x + h (com
h pequeno) da´ um output parecido: f(x+ h) = f(x) + δ, com δ pequeno.
Apesar de ser uma situac¸a˜o plaus´ıvel, da qual temos muitos exemplos no dia a dia,
tambe´m sabemos que ha´ exemplos da situac¸a˜o oposta, em que, apesar de x + h ∼ x
temos f(x + h) muito diferente de f(x). Essas duas possibilidades sa˜o t´ıpicas de
processos cont´ınuos e descont´ınuos, respectivamente.
O objetivo deste cap´ıtulo e´ definir essas noc¸o˜es precisamente, pois nelas se apoiam
os dois conceitos centrais do Curso: Derivada e Integral.
3. Definic¸a˜o e Propriedades fundamentais
Vamos comec¸ar com a Definic¸a˜o 3.1, que e´ mais precisa e importante do que
parece.
Nela destaco que ha´:
• uma enorme exigeˆncia: onde dizemos ∀� >, e
• uma imposic¸a˜o: a de que a partir de um certo n� a sequeˆncia na˜o mais saia
de uma regia˜o onde entrou.
Definic¸a˜o 3.1. Um sequeˆncia (xn)n tende a um ponto L se ∀� existe n� ∈ N tal que
se n ≥ n� enta˜o xn ∈ (−�+ L, L+ �).
Ha´ diferentes formas pelas quais uma sequeˆncia pode tender a um limite; em
particular, com diferentes velocidades.
Por exemplo, Afirmo que xn =
1
n2
tende a 0 mais rapidamente do que zn =
1
n
o
faz. Ou seja, Afirmo que o tempo n�(zn) de espera para ter zn < � e´ menor que o
tempo n�(xn) que tenho de esperar para ter xn < �. De fato,
1:
n�(zn) = d
√
1
�
e, n�(xn) = d1
�
e,
e e´ claro que
√
1
�
≤ 1
�
para � pequeno.
Nos argumentos discutidos abaixo teremos a`s vezes que esperar o tempo n su-
ficiente para que duas ou mais sequeˆncias se aproximem de onde queremos. Como
podem ser diferentes, por precauc¸a˜o tomamos o maior dentre eles, para que as duas
ou mais sequeˆncias estejam onde queremos.
Teorema 3.1. (Propriedades fundamentais de sequeˆncias)
Sejam (xn)n e (zn)n duas sequeˆncias, com
lim
n→+∞
xn = L1 e lim
n→+∞
zn = L2.
Enta˜o:
1) A sequeˆncia soma (xn + zn)n tem
lim
n→+∞
(xn + zn) = L1 + L2.
1onde d4e significa o primeiro nu´mero Natural maior ou igual que 4 ∈ R.
3. DEFINIC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 50
2) A sequeˆncia diferenc¸a (xn − zn)n tem
lim
n→+∞
(xn − zn) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a sequeˆncia (C · xn) tem
lim
n→+∞
(C · xn) = C · L1.
4) Seja (qn)n uma sequeˆncia qualquer tal que
∀n, |qn| ≤ K,
para algum K. Se L1 = 0 enta˜o limn→+∞(qn · xn) = 0
5) A sequeˆncia produto (xn · zn)n tem
lim
n→+∞
(xn · zn) = L1 · L2.
6) Se L2 6= 0, enta˜o:
• i) a partir de um certo n, zn 6= 0 e
• ii) limn→+∞ xnzn = L1L2 .
7) Suponha adicionalmente que a partir de um certo n, xn ≤ L1 e que, para uma
sequeˆncia qualquer qn, a partir de um certo n temos
xn ≤ qn ≤ L1.
Enta˜o
lim
n→+∞
qn = lim
n→+∞
xn = L1.
Demonstrac¸a˜o. (de alguns itens do Teorema 3.1)
Prova de 1) Nesse primeiro item, o ponto a lembrar e´ que xn e zn se aproximam
cada uma de um nu´mero a princ´ıpio distinto e que cada uma delas o faz possivelmente
com velocidade diferente.
O que queremos provar? Queremos saber se, esperando um tempo n� suficiente,
conseguimos que:
xn + zn ∈ (−�+ L1 + L2, L1 + L2 + �),
ou seja, como ja´ explicamos, se |xn+ yn− (L1+L2)| < �. Vamos traduzir esta u´ltima
condic¸a˜o de outro modo, que leva em conta as duas hipo´teses sobre xn e zn
2:
|xn + yn − (L1 + L2)| = |xn − L1 + yn − L2| ≤
≤ |xn − L1|+ |yn − L2|.
Agora fazemos o seguinte: esperamos tempo suficiente n� para que tenhamos
∀n ≥ n�, |xn − L1| < �
2
e |zn − L2| < �
2
.
2No u´ltimo passo uso uma desigualdade (chamada desigualdade triangular, ver Exerc´ıcio 6.3)
que vale para quaisquer nu´meros Reais � e 4:
|�+4| ≤ |�|+ |4|
, no nosso caso aplicadoa para � = xn − L1 e 4 = yn − L2
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 51
Enta˜o obtemos de acima:
|xn + yn − (L1 + L2)| ≤ |xn − L1|+ |yn − L2| < �
2
+
�
2
= �,
exatamente o que quer´ıamos provar.
Prova de 2): Ana´loga a` do 1), apenas fazendo agora:
|(xn − yn)− (L1 − L2)| = |xn − L1 + L2 − zn| ≤ |xn − L1|+ |L2 − zn|.
Prova de 3): agora queremos que a partir de um certo n�:
|C · xn − C · L1 | < �.
E´ claro que posso supor C 6= 0, sena˜o tudo e´ o´bvio.
Ora enta˜o o que queremos e´ provar que:
|C · (xn − L1) | < �,
ou seja3 queremos que
|C| · |xn − L1| < �.
Noto agora que, se espero tempo n� suficiente, tenho:
|xn − L1| < �
C
, onde C 6= 0
pois xn se aproxima tanto quanto quisermos de L1. Enta˜o juntando as informac¸o˜es:
|C · xn − C · L1| = |C| · |xn − L1| < C · �
C
= �,
exatamente o que quer´ıamos.
Prova de 4): Aqui o que fazemos e´ esperar o tempo n� suficiente para que |xn| < �K
(estou supondo que K 6= 0, pois se K = 0, enta˜o a h´ıpo´tese |qn| ≤ 0 diz que qn = 0
∀n e tudo e´ o´bvio, pois a sequeˆncia 0 · xn e´ a sequeˆncia constante, igual a 0). Enta˜o
para n ≥ n� :
|qn · xn| = |qn| · |xn| < K · �
K
= �,
como quer´ıamos.
Prova de 5): Queremos fazer
| xn · zn − L1 · L2 | < �.
dese que n cresc¸a o suficiente.
Mas posso escrever:
| xn · zn − L1 · L2 | =
= | xn · zn−xn · L2 + xn · L2︸ ︷︷ ︸
0
−L1 · L2 | =
= | xn · (zn − L2) + L2 · (xn − L1) | ≤
≤ | xn · (zn − L2) |+ |L2 · (xn − L1) | =
= | xn| · | (zn − L2) |+ |L2 | · | (xn − L1) |
3Para quaiquer nu´meros Reais � e 4 sempre vale:
|� · 4| = |�| · |4|;
no nosso caso, uso para � = C e 4 = xn − L1
3. DEFINIC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 52
E agora noto que |xn| ≤ K para alguma K , pois xn tende ao L1 ∈ R. E tanto
| (xn−L1) | quanto | (zn−L2) | se faz ta˜o pequeno quanto quisermos, pois zn tende a
L2 e xn tende a L1.
Logo | xn · zn − L1 · L2 | fica ta˜o pequeno quanto quisermos.
Prova de 6): Primeiro afirmo que a partir de um certo n temos
|L2
2
| < |zn|.
Se L2 > 0, a partir de um certo n temos
0 <
L2
2
< zn
pois L2
2
< L2 = lim zn. E se L2 < 0, a partir de um certo n
zn <
L2
2
< 0
pois lim zn = L2 <
L2
2
.
Ou seja, a partir de um certo n:
|L2
2
| < |zn|
e em particular a partir desse n, temos zn 6= 0.
No que segue ja´ suponho que tomei esse n para que a partir dele:
|L2
2
| < |zn|.
Enta˜o ale´m de podermos dividir pelos zn, podemos afirmar que
|L2|2
2
< |zn| · |L2|
e portanto
1
|zn · L2| <
2
|L2|2 .
Portanto
| 1
zn
− 1
L2
| = |L2 − zn
zn · L2 | =
= | 1
zn · L2 | · |L2 − zn| ≤
≤ 2|L2|2 · |L2 − zn|.
Mas |L2−zn| se faz ta˜o pequeno quanto quisermos, desde que esperemos possivelmente
um tempo n ainda maior, ja´ que lim zn = L2.
Por exemplo, podemos esperar um n a partir do qual valha |L2
2
| < |zn| e tambe´m
|L2 − zn| < � · L
2
2
2
,
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 53
o que da´
| 1
zn
− 1
L2
| < 2|L2|2 ·
� · L22
2