Fisica-matematica-George-Arfken-e-Hans-Weber

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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 5 — #15
1. ANÁLISE VETORIAL 5
é a abordagem das duas mais poderosas e mais sofisticadas definições de vetor que serão discutidas na próxima
seção. Contudo, x̂, ŷ e ẑ enfatizam a direção.
Até aqui definimos as operações de adição e subtração de vetores. Nas próximas seções serão definidas três
variedades de multiplicação com base em sua aplicabilidade: um produto escalar, ou interno, um produto vetorial
peculiar ao espaço tridimensional e um produto direto, ou externo, que resulta em um tensor de segunda ordem. A
divisão por um vetor não é definida.
Exercı́cios
1.1.1 Mostre como encontrar A e B, dados A + B e A−B.
1.1.2 O vetor A, cuja grandeza é 1,732 unidade e faz ângulos iguais com os eixos coordenados. Ache
AxAy e Az .
1.1.3 Calcule as componentes de um vetor unitário que se encontra no plano xy e faz ângulos iguais com
as direções positivas dos eixos x e y.
1.1.4 A velocidade do veleiro A em relação ao veleiro B, vrel, é definida pela equação vrel = vA − vB ,
onde vA é a velocidade de A e vB é a velocidade de B. Determine a velocidade de A em relação a
B se
vA = 30 km/h no sentido leste
vB = 40 km/h no sentido norte.
Resposta: vrel = 50 km/h, 53, 1◦ no sentido sudeste.
1.1.5 Um veleiro navega durante 1 h a 4 km/h (em relação à água) no rumo constante de bússola de 40◦
nordeste. O veleiro é levado simultaneamente por uma corrente. Ao final de uma hora o barco está
a 6,12 km de seu ponto de partida. A reta entre seu ponto de partida e sua localização está a 60◦
nordeste. Ache as componentes x (rumo leste) e y (rumo norte) da velocidade da água.
Resposta: vleste = 2, 73 km/h, vnorte ≈ 0 km/h.
1.1.6 Uma equação vetorial pode ser reduzida à forma A = B. A partir disso, mostre que a equação
vetorial única é equivalente a três equações escalares. Admitindo a validade da segunda lei de
Newton, F = ma, como uma equação vetorial, isso significa que ax depende somente de Fx e é
independente de Fy e Fz .
1.1.7 Os vértices A,B e C de um triângulo são dados pelos pontos (−1, 0, 2), (0, 1, 0) e (1,−1, 0),
respectivamente. Ache o ponto D, tal que a figura ABCD forme um paralelogramo plano.
Resposta: (0,−2, 2) ou (2, 0,−2).
1.1.8 Um triângulo é definido pelos vértices de três vetores A,B e C, que se estendem da origem. Em
termos de A,B e C, mostre que a soma vetorial dos lados sucessivos do triângulo (AB+BC+CA)
é zero, sendo que o lado AB vai de A a B etc.
1.1.9 Uma esfera de raio a tem centro em um ponto r1.
(a) Escreva a equação algébrica para a esfera.
(b) Escreva uma equação vetorial para a esfera.
Resposta: (a) (x− x1)2 + (y − y1)2 + (z − z1)2 = a2.
(b) r = r1 + a, com r1 = centro.
(a assume todas as direções mas tem uma grandeza fixa a.)
1.1.10 Um refletor de canto é formado por três superfı́cies refletoras mutuamente perpendiculares. Mostre
que um raio de luz que incide sobre esse refletor (atingindo todas as três superfı́cies) é refletido de
volta ao longo de uma linha paralela à linha de incidência.
Sugestão: Considere o efeito de uma reflexão sobre as componentes de um vetor que descreve a
direção do raio de luz.
1.1.11 Lei de Hubble. Hubble descobriu que galáxias distantes estão se afastando com uma velocidade
proporcional à sua distância do local onde estamos na Terra. Para a i-ésima galáxia,
vi = H0ri,
tendo nós na origem. Mostre que esse afastamento das galáxias em relação a nós não implica que
estamos no centro do universo. Especificamente, considere a galáxia em r1 uma nova origem e
mostre que ainda assim a lei de Hubble é obedecida.