Atividade 3 calculo numerico e computacional Nilton Lopes

Prévia do material em texto

ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar pelo método gráfico, na tabela em Excel, que temos 3 raízes, 
e estas encontram-se entre os pontos: 
y= 0 / -5<x<-4 (negativa) ; 1<x<2 (positiva) ; 4<x<5 (positiva) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
f(x) = x3 - 2x2 - 20x + 30 
(verde) 
g(x) = x3 - 2x2 
(vermelho) 
h(x) = 20x – 30 
(rosa) 
 
 
x g(x) h(x)
-10 -1200 -230
-9 -891 -210
-8 -640 -190
-7 -441 -170
-6 -288 -150
-5 -175 -130
-4 -96 -110
-3 -45 -90
-2 -16 -70
-1 -3 -50
0 0 -30
1 -1 -10
2 0 10
3 9 30
4 32 50
5 75 70
6 144 90
7 245 110
8 384 130
9 567 150
10 800 170
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,0380859375 0,198242 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 
𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 
3,16227766033262 1,03875E-09 5,8902E-09 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎: √10 = 3,1622776602 
 
𝐸 = 3,1622776602 −3,16227766033262 = -0,00000000013262 (-0,0000000042%) 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−1 5 (x4) -2,34375 0,02835 
10−4 12 (x11) -2,354248046875 -0,000014309650 
10−9 29 (x28) -2,35424275882542 -0,00000000163058 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = -2,35424275882542 - (-2,3542427582235 )= -0,00000000060192 (0,000000025568%) 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,866753875087241 0,00385523966289814 0,005068762 
𝑥15 0,865474058648975 0,0000000768602201883795 0,00000010094556590623 
𝑥18 0,865474032107809 -0,0000000029899004383438 0,00000000133053834616703 
𝑥32 0,865474033101614 0,00000000000000000000000 0,000000000000000999200722162641 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
 
 
 
 
E = 0,865474033101614- 0,8654740331058 = -0,000000000004186 (-0,000000000483638%) 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(𝑥) 𝑥3- cos(x)=0 
𝑥3= cos(x) 
𝑥 = ∛cos (𝑥) 
𝐹(𝑥) = ∛cos (𝑥) 
 
Convergente 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(𝑥) 𝑥3- cos(x)=0 
𝑥3= cos(x) 
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥3) 
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥3) 
 
Divergente 
Pois a equação não é contínua no intervalo. 
𝑥0: 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,5
3) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,125) = 1,44 
𝑥1: 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1,44
3) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(2,98) = 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
Cosseno varia entre -1 e 1, portanto não existe 
arcos(2,98). 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
Podemos observar que os métodos numéricos para obtenção de raízes de equações são uma ferramenta 
importante para aplicação em diversas áreas do conhecimento. 
Os experimentos acima demonstraram os vários métodos podem nos ajudar no dia-a-dia, porém eles vem com 
erros embutidos que devem ser analisados e considerados durante sua aplicação. 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987