ResMateriais_RF_2019

Prévia do material em texto

1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
1) INTRODUÇÃO 
 
O objetivo primário de um curso de mecânica dos materiais é o desenvolvimento das 
relações entre as cargas aplicadas a um corpo não-rígido e as resultantes solicitações 
internas e deformações provocadas no corpo. Sempre, desde o tempo de Galileo Galilei 
(1564-1642), os cientistas têm estudado assiduamente o problema da capacidade de carga 
de elementos de estruturas e de máquinas, e a análise matemática das solicitações 
internas e deformações produzidas por cargas aplicadas. Antes das suas investigações 
sobre o comportamento dos corpos sólidos sob a ação das cargas, os construtores 
seguiam exemplos precedentes ou regras empíricas. Galileo foi o primeiro a tentar explicar 
o comportamento de alguns elementos estruturais submetidos a cargas segundo uma base 
racional. A experiência e a observação dos cientistas e engenheiros nos últimos três 
séculos constituem a herança do engenheiro de hoje, provendo o conhecimento 
fundamental para o desenvolvimento de teorias e técnicas que permitem ao engenheiro 
moderno projetar, com competência e segurança, estruturas e máquinas de tamanho e 
complexidade sem precedentes. 
A resistência dos materiais ou mecânica dos materiais forma a base para a solução de 
três tipos gerais de problemas, como se segue: 
a) Dada uma certa função a executar (a transposição de um rio por meio de uma 
ponte, o transporte de instrumentos científicos para Marte num veículo espacial, a 
conversão do potencial hidráulico em energia elétrica), de que materiais deveria ser 
construída a máquina ou a estrutura, e quais deveriam ser as dimensões e proporções dos 
vários elementos ? Esta é a tarefa do projetista e, obviamente, não há solução única para 
qualquer problema dado. 
b) Dado um projeto completo, é ele adequado ? Isto é, perfaz a função 
economicamente e sem deformações excessivas ? Este é o problema da verificação. 
c) Dada uma estrutura ou máquina, qual é a sua capacidade de carga ? A estrutura 
pode ter sido projetada para alguma finalidade distinta desta na qual será usada agora. É 
ela adequada para o uso proposto ? Por exemplo, um edifício pode ter sido projetado para 
 2
escritórios, porém mais tarde descobre-se ser preferível seu uso como depósito. Neste 
caso, qual é o máximo carregamento que o piso suporta com segurança ? Este é o 
problema de avaliação. 
Como a abordagem completa destes problemas é muito extensa, restringimos ao 
estudo de elementos isolados e estruturas de máquinas muito simples. Para a 
consideração da estrutura ou máquina por inteiro, pesquisas bibliográficas proverão o 
conhecimento essencial para a análise completa dos três problemas descritos. 
Os princípios e métodos usados para encontrar o objetivo estabelecido no início deste 
capítulo dependem bastante, como pré-requisitos, de conhecimentos de matemática e de 
mecânica, suplementados ainda com conhecimentos adicionais de teoria da elasticidade e 
de propriedades da engenharia de materiais. As equações de equilíbrio da estática são 
usadas extensivamente, principalmente nos diagramas de corpo livre; nominalmente, a 
maioria dos corpos livres é isolada seccionando-se um elemento em vez da remoção de 
vínculos ou alguma outra ligação. Os esforços transmitidos pela seção cortada são 
solicitações internas. As intensidades destas solicitações internas (força por unidade de 
área) são chamadas tensões. 
 Será freqüentemente constatado que as equações de equilíbrio (ou movimento) não 
são suficientes para determinar todas as solicitações ou reações desconhecidas atuando 
num corpo. Em tais casos é necessário considerar a geometria (variação em tamanho ou 
forma) do corpo após a aplicação das cargas. A deformação por unidade de comprimento 
em qualquer direção ou dimensão é chamada deformação linear específica. Em alguns 
casos, a máxima deformação permitida, e não a máxima tensão admissível, limitará o 
carregamento máximo que um elemento pode suportar. Algum conhecimento de física e 
propriedades mecânicas dos materiais é requerido com o fim de se criar um projeto, avaliar 
um projeto dado, ou mesmo escrever a correta relação entre uma carga aplicada e a 
deformação resultante em um elemento carregado. 
 
1.1) ESTRUTURAS / OBJETIVOS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Estrutura é a parte resistente de uma construção. Uma estrutura se compõe de uma 
ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior, de modo a formar um conjunto estável, 
 3
isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e 
transmiti-las até seus apoios, onde elas encontrarão seu sistema de forças equilibrante 
(Sussekind, J. Carlos). 
Os tipos de peças estruturais são: 
i) blocos (blocos de fundação, barragens, etc.) 
ii) placas (planas – lajes) e cascas (curvas – abóbodas) 
iii) barras (vigas, pilares). 
 
Neste curso, somente as barras serão analisadas. Uma barra fica caracterizada por 
um eixo e uma seção transversal. O eixo (reto, poligonal ou curvo) é o lugar geométrico 
dos baricentros das seções transversais. A seção transversal é normal ao eixo (constante 
ou lentamente variável). Fibra é o sólido gerado pelo deslocamento paralelo ao eixo de um 
elemento de área da seção transversal. Camada é qualquer conjunto de fibras. 
As solicitações externas (forças internas ativas, cargas externas, carregamento, 
cargas) são: 
i) peso próprio, sobrecargas, pressão do vento, empuxo da água, cargas móveis, 
cargas decorrentes da variação da temperatura e do movimento dos apoios, etc. 
ii) pré-dimensionamento e avaliação das cargas de acordo com as NB (Normas 
Brasileiras), organizadas pela ABNT (Assoc. Bras. Normas Técnicas), que 
constituem a legislação da engenharia. 
 
iii) classificações das cargas: cargas fixas ou móveis, cargas permanentes ou 
acidentais, cargas concentradas ou distribuídas e cargas estáticas ou dinâmicas. 
 
A Resistência dos Materiais é desenvolvida a partir de análises teóricas e de 
resultados experimentais: 
• Análises teóricas do comportamento mecânico das peças em modelos idealizados 
que devem ter razoável correlação com a realidade. 
• Testes (ensaios) experimentais em laboratório que visam determinar as 
propriedades de resistência e rigidez dos materiais, usando corpos de prova 
adequados. 
 4
 
O desenvolvimento da Resistência dos Materiais é feito a partir de postulados 
fundamentais seguintes: 
i) Continuidade física: a matéria apresenta distribuição contínua (estrutura compacta, 
o que permite usar os recursos do Cálculo); 
ii) Desagregação (equilíbrio das partes): se um corpo está em equilíbrio, também está 
em equilíbrio qualquer elemento seu, isolado e submetido às ligações com seus vizinhos 
(ver diagrama de corpo livre); 
iii) Estado Natural: não existem tensões internas e deformações na ausência de forças 
aplicadas; 
iv) Pequenas deformações: as deformações devem ser bastante pequenas, 
comparadas com as dimensões da peça; 
v) Conservação da seção transversal: as seções transversais permanecem planas, 
normais ao eixo, com as formas primitivas; 
vi) Lei de Hooke: dentro de certos limites, as deformações são proporcionais aos 
esforços; 
vii) Princípio da superposição de efeitos: os efeitos causados por um sistema de 
forças internas são a soma dos efeitos produzidos por cada força, agindo independente e 
isoladamente das outras; 
 
 
 
RA = RA1 + RA2 
RB = RB1 + RB2 
HB = HB1 + HB2 
viii) Princípio de Saint-Venant: Sistemas de forças equivalentes causam idênticos 
efeitos em pontos suficientemente afastados da região de aplicação dos mesmos; 
 5
ix) Homogeneidade: o material é homogêneo, isto é, manifesta as mesmas 
propriedades em todos os pontos; 
x) Isotropia: o material é isótropo, isto é, manifesta a mesma propriedade em todas as 
direções. 
 
Além dos postulados fundamentais, a fim de tornar equacionáveis problemas de 
muitas variáveis,fazemos certas idealizações e adotamos Hipóteses Simplificadoras (HS) e 
Simplificações de Cálculo (SC): 
• Idealizações: os postulados acima, a idéia de carga concentrada, etc. 
• HS: desprezar a ação do vento ou o peso próprio (em certos casos) ou os efeitos 
da variação da temperatura, etc. 
• SC: valores aproximados das grandezas, desprezar infinitésimos de 2ª ordem (ε + 
ε2 ≅ ε), efetuar certas equivalências de infinitésimos (tg α= sen α = α (rd) para α 
pequeno), conservação da geometria da peça e dos pontos de aplicação das forças 
externas, etc. 
 
A fim de compensar erros inevitáveis ou decorrentes da adoção dos pressupostos, 
idealizações, HS e SC (erros estes supostos pequenos, mas não quantificados), é prevista 
na NB a adoção de coeficientes de segurança (n > 1). Consiste em multiplicar as cargas 
por n ou dividir por n os parâmetros que expressam as propriedades dos materiais. 
 
1.2) MÉTODO AS SEÇÕES/ESFORÇOS E TENSÕES INTERNAS 
 
1.2.1) O Método das Seções 
 
Seja uma barra em equilíbrio sob a ação das forças iF
v
 ( ,...,, 321 FFF
vvv
), cargas ou 
reações. 
 6
 
 
Para determinar os esforços e tensões em uma seção S, genérica, consideramos a 
barra desmembrada pela seção S em duas partes, E e D, cada uma delas em equilíbrio 
sob a ação das forças iF
v
 e de uma infinidade de forças moleculares em S. 
 
1.2.2) Esforços Internos 
 
Seja o sistema de forças moleculares em S reduzido ao baricentro da seção. 
 
 
 
 
 7
 
Em E: resultante R
v
 e momento resultante M
v
 
Em D: resultante 'R
r
 e momento resultante 'M
r
 
As direções e sentidos destes esforços são quaisquer no espaço. Analisando o 
equilíbrio das partes E e D conclui-se: 
 
 
 Sistema de forças iF
r
 equilibram Sistema de forças iF
r
 
em E equivalem a em D equivalem a 
( 'R
r
, 'M
r
) ( R
r
, M
r
) 
 
 
 
Portanto, 'R
r
= - R
r
 e 'M
r
 = - M
r
. O par de forças 'R
r
 e R
r
 e o par de momentos 
opostos 'M
r
 e M
r
 são os esforços internos em S. Um elemento de volume da barra de 
seção S e comprimento elementar dx está em equilíbrio sob a ação dos esforços internos. 
 
 
 Para melhor analisar os efeitos dos esforços internos no elemento de volume, eles 
serão decompostos segundo os seguintes referenciais: 
 8
 
para decomposição de R
r
e M
r
 para decomposição de 'R
r
e 'M
r
 
 
eixos x normal a S e eixos y e z no plano de S 
 
zyx RRRR
rrrr
++= e zyx MMMM
rrrr
++= as componentes são os esforços simples, que 
podem ser expressos por seus valores algébricos. 
 xR
r
 é a soma dos valores algébricos das componentes segundo o eixo x das forças 
iF
r
 à direita de S ( yR
r
 e zR
r
 têm definições semelhantes). 
xM
r
 é a soma dos valores algébricos dos momentos segundo o eixo x das forças iF
r
 à 
direita de S ( yM
r
 e zM
r
 têm definições semelhantes). 
Adotando o referencial oposto para decomposição de 'R
r
e 'M
r
, os valores algébricos 
serão os mesmos, bastando, nas definições acima, trocar direita por esquerda. Assim, 
cada esforço simples fica definido por um só valor algébrico e pode ser calculado com as 
forças situadas à direita ou à esquerda da seção. 
 
1.2.3) Classificação dos Esforços Simples 
 
RX = N = esforço normal (tração, se positivo e compressão, se negativo), produz o 
alongamento ou o encurtamento da dimensão dx do sólido elementar. 
Ry = Qy e Rz = Qz = esforços cortantes, produzem o deslizamento de uma face do 
sólido em relação à outra. O esforço cortante resultante será zy QQQ
rrr
+= 
Mx = Mt = T = momento torçor, produz a rotação em torno do eixo x de uma face em 
relação à outra. 
 9
My e Mz = momentos fletores, produzem a rotação em torno do eixo y ou z de uma 
face em relação à outra. O momento fletor resultante será zy MMM
rrr
+= 
Importante notar que os momentos fletores determinam alterações da dimensão dx do 
sólido elementar. Na figura abaixo, o momento fletor Mz positivo. 
 
1.2.4) Tensões Internas 
 
Sejam P um ponto genérico de S, ∆A um elemento de área em torno de P e ∆ F
r
 a 
força elementar em ∆A (direção e sentido quaisquer no espaço). A tensão média em ∆A é 
A
F
tm ∆
∆=
r
r
 e a tensão no ponto P é 
dA
Fd
A
F
t A
rr
r
=
∆
∆= →∆ 0lim . A decomposição segundo 
o referencial indicado vale zyx tttt
rrrr
++= . As tensões passam a ser conhecidas pelos 
seus valores algébricos: 
 
 
 tx = σx = tensão normal, sendo tração positiva e compressão negativa 
 10
 ty = τxy e tz = τxz = tensões tangenciais ou tensões de cisalhamento (de corte). 
A resultante, no plano da seção, é xzxy τττ
rrr += . 
 
Observações: 
 a) σx é a tensão normal na seção normal ao eixo x, direção do eixo x 
τxy é a tensão tangencial na seção normal ao eixo x, direção do eixo y 
τxz é a tensão tangencial na seção normal ao eixo x, direção do eixo z. 
Quando não houver possibilidade de confusão, os índices podem ser abandonados (σ 
, τ) e às vezes a tensão é expressa pelo módulo e uma indicação do sentido. 
 
b) Tensão é força por unidade de área. Seu dimensional é F.L-2. 
Unidades usuais: sistema técnico kgf/cm2, kgf/mm2, tf/cm2, tf/mm2; 
 sistema internacional (SI): 1 Pa = 1 N/m2 
 1 kPa = 103 Pa; 1 MPa = 106 Pa; 1 GPa = 109 Pa 
sendo 1 kgf/cm2 = 0,0981 MPa e 1 MPa = 10,2 kgf/cm2 
 
 c) Os valores das tensões normal e tangencial em um ponto P variam com a direção 
da seção que passa por P, caracterizando um estado de tensões em torno do ponto P. 
 
1.2.5) Relações entre Esforços e Tensões 
 
 Sejam os vetores unitários ji
rr
, e k
r
 segundo os eixos x, y e z. Se dAtFd .
rr
= e 
kjit xzxyx
rrrr
... ττσ ++= , então kdAjdAidAFd xzxyx
rrrr
)..()..()..( ττσ ++= . Os componentes de 
Fd
r
, em valores algébricos, são: dAdF xx .σ= , dAdF xyy .τ= e dAdF xzz .τ= 
 
 11
 
 
 Sejam y e z as coordenadas do ponto P, no plano yGz. De acordo com os 
conhecimentos de Mecânica, conclui-se que: 
 
∫ ∫===
A A
xxx dAdFNR .σ � ∫=
A
x dAN .σ 
∫ ∫===
A A
xyyyy dAdFQR .τ � ∫=
A
xyy dAQ .τ 
∫ ∫===
A A
zyzzz dAdFQR .τ � ∫=
A
xzz dAQ .τ 
∫ −==
A
zyx ydFzdFTM )..( � ∫ −=
A
xzxyx dAyzM )...( ττ 
∫ −=
A
xy zdFM ).( � ∫−=
A
xy dAzM ..σ 
∫=
A
xy ydFM ).( � ∫=
A
xz dAyM ..σ 
 
 12
 As propriedades acima permitem calcular as tensões se forem conhecidos os 
esforços e não houver problemas nas soluções das integrais. Por exemplo, se σx for 
constante em S, σx = σ (constante), então ∫ ∫ ===
A A
AdAdAN .. σσσ e, então 
A
N=σ . 
 As propriedades acima deixam claro que o esforço normal e os momentos fletores 
produzem tensões normais, enquanto que os esforços cortantes e o momento torçor 
produzem tensões tangenciais. 
 
Exercício 1) Em uma seção quadrada de lado a não existem tensões tangenciais e as 
tensões normais variam de acordo com o diagrama espacial dado. Calcule os esforços 
simples na seção. AA’BB’CD é o “sólido de tensões” e A’B’CD é a “superfície de tensões”. 
(respostas: N = σ0.a2/2, Mz = σ0.a3/12, demais esforços nulos) 
 
 
 
Equação da reta: x = Ay + B 
 x = 0 -> y = -a/2 e x = σ0 -> y = a/2 
 13
Então: 02
=+




 −= BaAx ∴ a
B
A
.2= 
 02
. σ=+





B
a
A ∴ 02
.
.2 σ=+











B
a
a
B
 ∴
2
0σ=B e 
a
A 0
σ= 
e a equação é: 2
. 00
σσ += y
a
x 
O esforço normal será: ∫
−





 +=
2/
2/
00 ..
2
.
a
a
dyay
a
N
σσ
 , com área dA = a.dy 
 
∴
2
.
.
2
.
22
..
2
1
44
.
2
.
2
.
2
.
2
0
0044
02/
2/0
2/
2/
2
0
a
a
aaa
a
aa
y
ay
N aa
a
a
σσσσσσ ==










 −−+










 +−=+= −− 
∫
−





 +=
2/
2/
00 ..
2
..
a
a
z dyaya
yM
σσ
 
 
∫ ∫
− −
−− +=+=
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2
0
2/
2/
3
0
0
20
2
.
2
.
3
...
2
...
a
a
a
a
a
a
a
az
yay
a
dyy
a
dyy
a
M σσσσ 
 
∴ 12
.
24
..2
444
.
2424
2
0
3
0
22
0
33
0 aa
a
aaaaa
a
M z
σσσσ ==










 +−+











−−= 
 
 
Exercício2) Em uma seção retangular b x h não existem tensões tangenciais e as tensões 
normais variam de acordo com o sólido de tensões dado. Calcule os esforços simples na 
seção. 
 (resposta: Mz = σ0.b.h2/6, demais esforços nulos) 
 14
 
 
 
 
 
Equação: yh
x .
.2 0σ= e, então 
∫
−
− =










+−===
2/
2/
22
02/
2/
2
00 0
88
..2
2
.
..2
..
.2h
h
h
h
hh
h
by
h
b
dyby
h
N
σσσ
 
=










 −−===




= ∫ ∫
− −
−
2/
2/
2/
2/
33
02/
2/
3
0200
2424
..2
3
.
..2
.
..2
..
..2
.
h
h
h
h
h
hz
hh
h
by
h
b
dyy
h
b
dyb
h
y
yM
σσσσ
 
6
..
12
..2 20
3
0 hbh
h
b σσ =





= 
 
Exercício 3) Idem ao exercício 2, para a figura abaixo. 
 
 15
 respostas: N = σ0.b.h/3, Mz = σ0.b.h2/9, demais esforços nulos 
 
 
equação: 




 += 1.4
3
0 y
h
x
σ
 
 
Obs: Adote o seguinte referencial 
 
 
 
1.3) Tensões Admissíveis ou Tensões de Projeto (σ ou σadm) 
 
As tensões admissíveis são obtidas através da tensão de escoamento (σy) ou da 
tensão ruptura (σR) do material divididas por um coeficiente de segurança. Sendo este fator 
de segurança um número maior que 1 (um), usado para corrigir incertezas nas forças 
atuantes e nas resistências dos materiais. 
 16
Então, 
1n
yσσ = para materiais dúteis e 
2n
yσσ = para materiais frágeis, sendo que n2 > 
n1 > n, sendo estes coeficientes de segurança com valores menores do que 1, onde σy é a 
tensão de escoamento. Também adota-se coeficiente de segurança para tensão de ruptura 
3n
Rσσ = . 
Temos, então, que Coeficiente de Segurança = C.S. = __Carga de ruptura___ 
 Carga admissível 
 
ou, se a correspondência linear for entre a carga aplicada e a tensão provocada pela carga, 
o coeficiente de segurança pode ser expresso por: 
 
Coeficiente de Segurança = C.S. = __Tensão de ruptura___ 
 Tensão admissível 
 
 Não sendo indicado o contrário, a tensão admissível será menor do que o limite de 
proporcionalidade e as deformações serão elásticas proporcionais. 
 
 
2) TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO / COMPRESSÃO SIMPLES (barras 
sujeitas apenas a esforços normais) 
 
Seja uma barra prismática AB de comprimento L e área A de seção transversal (no 
estado neutro), sujeita à carga axial P, de tração ou compressão. Seja a seção genérica S, 
de abscissa x (0 ≤ x ≤ L). Então N = P ou N = -P, constante de A até B. 
 
 17
 
 
 
2.1) Tensões Normais 
 
 As treliças são elementos estruturais cujas barras estão sujeitas somente ao esforço 
normal constante. Admite-se, então, que uma seção esteja sob tensão normal constante: 
σx = σ = N/A = P/A (se compressão, - P/A). Conseqüentemente, a tensão é também 
constante de A até B (vide figura abaixo). 
 
 
Sólido de tensões, vista longitudinal e variação de A até B para a tração. 
 
i) Se o corpo está sujeito somente ao esforço normal, a tensão é constante nesta seção. 
Se a tensão normal não for constante na seção, então o quociente N/A representa a tensão 
normal média na seção. 
ii) Se o esforço normal Nx e a área da seção transversal Ax variam com a abcissa x, então a 
tensão normal em cada seção é σx = Nx /Ax (constante em S, mas variável com x). 
iii) Uma distribuição uniforme de tensões só é possível se a linha de ação das forças 
aplicadas P passar pelo baricentro da seção considerada. 
 
 18
2.2) Tensões de Cisalhamento 
 
 Quando as forças P são aplicadas a uma barra AB na direção perpendicular a esta, 
ocorre um tipo de tensão muito diferente. 
 
 Se passarmos uma seção transversal pelo ponto C entre os pontos de aplicação das 
forças, concluímos que devem existir forças internas na seção transversal (vide figura) e 
que a resultante deve se igualar a P. 
 
Esta resultante, de intensidade P, chama-se força cortante na seção. Ao dividirmos 
a força cortante P pela área da seção transversal A, obtemos a tensão média de 
cisalhamento da seção. A tensão de cisalhamento ou de corte, é indicada pela letra τ 
(tau). Podemos escrever, então: A
P=τ , sendo 
4
. 2d
A
π= , d é o diâmetro nominal do 
parafuso ou rebite. 
 
Então, temos os seguintes casos em que temos esforço cortante: 
1o caso: O esforço cortante atuando em conjunto com o momento fletor ao longo do 
comprimento de uma barra (viga) com cargas transversais. É o cisalhamento na flexão ou 
cisalhamento longitudinal, que só será estudado em Resistência dos Materiais II. 
 19
 
 
2o caso: Seções isoladas sujeitas a um esforço cortante, sendo desprezível o momento 
fletor, como o da seção AB do ressalto do pilar, que serve para o apoio da viga. 
 
 
2.2.1) TENSÕES DE CISALHAMENTO (Tensões Tangenciais) DEVIDO AO ESFORÇO 
CORTANTE EM SEÇÕES ISOLADAS 
 
É importante lembrar que o esforço cortante está situado no plano da seção (que é 
chamada seção de corte ou de cisalhamento). Admite-se a tensão de cisalhamento 
uniformemente distribuída na seção. Então: τ = Q/A , onde Q é o esforço cortante e A é a 
área da seção de corte. 
Na realidade, esta distribuição não é uniforme e o quociente Q/A representa a tensão 
média na seção. No entanto, utilizaremos a propriedade acima para resolver os problemas 
de dimensionamento, avaliação e verificação, desde que na condição de estabilidade τ ≤ 
 20
τadm. O valor de τadm deve ser escolhido convenientemente, através de ensaios para este 
fim específico. 
 
Exemplo 1) Conexão simples (pino ou parafuso sujeito a cisalhamento simples). As 
figuras seguintes mostram detalhes da articulação B da treliça embaixo. 
 
 
A seção transversal do pino que transmite a força N da barra para a chapa está sujeita 
ao esforço cortante Q = N. Sendo d o diâmetro do pino, a área de corte será A = π.d2/4 e 
a tensão tangencial será 
4/. 2d
N
A
Q
π
τ == . 
Como exemplo, temos uma ligação rebitada por superposição (ligação simples). 
 
 21
 Admite-se que cada rebite da ligação em cima transmite 1/6 da força N de uma 
chapa para a outra (ou 1/n de N se forem n rebites). Cada rebite está sujeito a 
cisalhamento simples, como o pino do exemplo acima, com Q = N/6 (ou Q = N/n para n 
rebites). 
Uma observação importante é que a disposição dos rebites deve ser simétrica em 
relação ao eixo das chapas. 
Exemplo 2) Conexão dupla (pino ou parafuso sujeito ao cisalhamento duplo). 
Se a ligação do exemplo anterior for executada com 2 chapas de espera: 
 
Cada uma da 2 seções indicadas do pino transmite a força N/2 da barra para cada 
uma das chapas de espera. Portanto: Q = N/2 e A = π.d2/4 e a tensão tangencial será 
4/.
2/
2d
N
A
Q
π
τ == 
Exemplo 2.a) Ligação rebitada de topo (com chapas de ligação cobre- juntas). 
 
 
 
 22
Sejam n rebites de cada lado (n = 4 no exemplo). Cada um deles tem 2 seções de 
corte, como o pino do exemplo 2. Se cada rebite transmite N/n (N/4 no exemplo), então o 
esforço cortante em cada seção é N/2n (N/8 no exemplo). 
 
Exemplo 3) Blocos de encaixe 
 
 Entre várias possibilidades de ruptura da ligação, há duas por cisalhamento: 
na peça A com τ1 = F/b.t e na peça B com τ2 = F/a.t, sendo t a espessura da peça e a e b 
a largura de contato, mostrada na figura abaixo. 
 
Haverá estabilidade se τ1 ≤ τadm e τ2 ≤ τadm . 
 
Exemplo 4) Colagem 
 
 23A distribuição de tensões não é uniforme. Nos bordos ocorre τmáx , difícil de avaliar. 
Calculamos, então, τo = τméd = F/a.t e, na condição de estabilidade, τo ≤ τadm . Usamos 
um valor adequado para τadm . 
 
2.2.3) TENSÕES DE CISALHAMENTO EM PLANOS NORMAIS ENTRE SI. 
CISALHAMENTO PURO. DISTORÇÃO ANGULAR 
 
Seja o elemento de volume representado na figura, com faces normais e arestas 
paralelas aos eixos cartesianos. Se a face direita está sujeita a uma tensão de 
cisalhamento τxy , então a face esquerda está sujeita a mesma tensão, mas com sentido 
oposto, de modo que ΣFy = τxy.dy.dz -τxy.dy.dz = 0. As faces horizontais superior e inferior 
estão sujeitas às tensões tangenciais τxy , também opostas, constituindo um binário capaz 
de equilibrar o binário das faces direita e esquerda, isto é, ΣMo = τxy.dy.dz.dx -τyx.dx.dz.dy 
= 0 -> τxy. = τyx. 
 (força) (dist.) (força) (dist.) 
 
 
Conclui-se que as forças tangenciais em faces (planos) normais entre si de um 
elemento volumétrico têm o mesmo módulo, convergindo para ou divergindo da aresta de 
interseção. Não esquecendo a natureza tridimensional do problema, passamos a 
representar o elemento volumétrico pela vista longitudinal (retângulo ABCD da figura 
acima). Para simplificar ainda mais, representaremos τxy. = τyx = τ. Se um elemento 
volumétrico estiver sujeito somente a estas tensões, diz-se que ele está sujeito ao 
cisalhamento puro. A deformação deste elemento será o alongamento da diagonal AC e o 
 24
encurtamento da diagonal BD, de modo que o retângulo fica distorcido (paralelogramo), 
conforme representado (com exagero) na figura abaixo. 
 
A medida desta deformação elementar será o quanto uma face deslizou em relação à 
face oposta dv (unidades de comprimento) e a deformação específica será 
)(sen rd
dx
dv γγ ≅= porque , sendo γ muito pequeno, sen γ ≈ tg γ ≈ γ (rd) e cos γ ≈ 1. 
Esta deformação específica γ = dv/dx é chamada distorção angular. O melhor dispositivo 
para se obter o diagrama τxy. Experimentalmente será o ensaio de torção em um tubo 
delgado. 
Verifica-se que para pequenas deformações, é valida a lei de Hooke: 
Gtgconst === α
γ
τ
 (constante do material): módulo de elasticidade transversal. 
Dimensional: F.L-2. Unidade prática: GPa ou kgf/cm2. Portanto, G=γ
τ
 ou 
G
τγ = . 
Observa-se, também, uma semelhança entre os diagramas σ x ε e τ x γ , mas com 
valores das tensões τ menores que os correspondentes valores das tensões σ (cerca de 
50 % a 60 % destas). Lembrando as propriedades ε = σ/E , εt = ν. ε e γ = τ/G, 
convém observar que existe uma relação entre as constantes E, ν e G, pois as 
deformações ε, εt e γ não são independentes uma das outras. Mais adiante, será 
demonstrado que 
)1(2 ν+
= EG . 
 25
OBS: O que foi deduzido par as tensões de cisalhamento τxy = τyx é válido também para as 
outras tensões de cisalhamento. 
 
 
 
 
Este valor é a média das tensões de cisalhamento. Ao contrário das tensões 
normais, a distribuição das tensões de cisalhamento na seção não pode ser assumida 
como uniforme. 
A tensão de cisalhamento ocorre normalmente em parafusos, rebites e pinos que 
ligam diversas partes das máquinas e estruturas. Os rebites e parafusos provocam 
tensões de esmagamento nas barras que estão ligando, ao longo da superfície de contato. 
Essas tensões, também chamadas de tensões de apoio, são calculadas, tomando como 
referência o plano diametral dos parafusos: dt
P
a .
=σ , onde t é a espessura da chapa e 
d é o diâmetro nominal do parafuso ou rebite. 
 
Exercício 1) Consideremos 2 chapas A e B ligadas pelo rebite CD. Ao aplicarmos 
uma força de tração P, aparecerão tensões na seção do rebite correspondente ao plano 
EE’. 
 26
 
 
Se as chapas forem de 5/8” e o conector de 7/8”, calcular a capacidade da ligação 
para o aço A24 e utilizando o rebite A502 tipo 1. 
Dados referentes ao rebite A502 tipo 1 (tabelado): 
• Limite admissível para tensão de corte tipo apoio: τ = 102,97 MPa = 102,97 
N/mm2; 
• Limite de pressão de apoio: σa = 274,59 N/mm2; 
• Limite de tração: σt = 137,29 N/mm2; 
 
Rebite 7/8”: d = 22,2 mm e área = π.d2/4 = 388 mm2; 
Chapa 5/8”: t = 15,8 mm 
Capacidade do rebite por apoio: 15,8 mm x 22,2 mm x 274,59 N/mm2 = 96315,2 N ou 96,3 
kN 
Esforço admissível de corte: 388 mm2 x 102,97 N/mm2 = 39952,4 N ou 39,9 kN 
 
 
 
Então, a capacidade de corte é determinante. A capacidade admissível da ligação será 4 
rebites x 39,9 kN = 159,6 kN. 
Exercício 2) Idem do exercício 1 para a chapa abaixo: 
 27
 
 
 Neste caso, o rebite está trabalhando com seção dupla e então: 
 
 
A
P
.
2
1=τ (corte), 
dt
P
.
.
2
1
1
1 =σ (apoio) e dt
P
.2
2 =σ (apoio) 
 
Se t1 = 1/2" = 12,7 mm , t2 = 5/8" = 15,8 mm e d = 7/8” = 22,2 mm, teremos: 
 
Capacidade admissível de apoio: 
Chapa 1: 2. t1 .d. σ1 = 2 x 12,7 mm x 22,2 mm x 274,59 N/mm2 = 154835,8 N ou 154,8 kN; 
Chapa 2: t2 .d. σ2 = 15,8 mm x 22,2 mm x 274,59 N/mm2 = 96315,2 N ou 96,3 kN; 
Sendo a área do parafuso igual a 388 mm2 , a capacidade admissível de corte é P = 2 x 
388 x 102,97 N/mm2 = 79904,7 N ou 79,9 kN; 
Neste exemplo, a capacidade de corte também é determinante. 
 
 
 
A capacidade de carga da ligação abaixo é 3 x 79,9 kN = 239,7 kN 
 
Exemplo: 
 28
A viga rígida BCD está ligada por parafusos à barra de controle em B, ao cilindro 
hidráulico em C e ao suporte fixo em D (veja figura abaixo). Os diâmetros dos parafusos 
usados são dB = dD = 8 mm, dC = 12 mm. Cada parafuso está sujeito a corte duplo, e é 
constituído de aço com tensão de cisalhamento última τU = 300 MPa. A barra de controle 
AB, com 9 mm de diâmetro, é feita de aço com tensão última de tração σU = 450 MPa. 
Determinar a maior força que o cilindro hidráulico pode aplicar, de baixo para cima, no 
ponto C, adotando para toda a estrutura o coeficiente de segurança 3,0. 
 
 
Solução: O coeficiente de segurança deve ser maior ou igual a 3,0 para cada um dos três 
parafusos, como também para a barra de controle. Vamos considerar separadamente 
cada um dos quatro casos. 
 
Corpo Livre: Viga BCD. Primeiramente determinamos a força em C em função da força em 
B e em função da força em D. 
 
 ΣMD = 0: -B. (350 mm ) + C.(200 mm) = 0 ∴ C = 1,75 B 
 29
 ΣMB = 0: D. (350 mm ) - C.(150 mm) = 0 ∴ C = 2,33 D 
 
• Barra de controle: Para o coeficiente de segurança 3,0 vamos ter 
 MPa
MPa
SC
U
adm 1500,3
450
..
===
σσ 
 A força admissível na barra de controle é 
 B = σadm.(A) = (150 MPa).π/4.(9 mm)2 = 9,54 kN 
 Como C = 1,75 B, então, o maior valor possível em C será C = 1,75.(9,54 kN) 
 ∴ C = 16,70 kN 
• Parafuso no ponto B: 
 τadm = τU/C.S. = (300 MPa)/3 = 100 MPa 
 Como o parafuso está sujeito a corte duplo, a força admissível em B é 
 B = τadm.(2A) = (100 MPa).2.π/4.(8 mm)2 = 10,05 kN 
 Como C = 1,75 B, então C = 1,75.(10,05 kN) ∴ C = 17,59 kN 
• Parafuso no ponto D: Este parafuso é igual ao do ponto B e a força admissível é D = 
B = 10,05 kN. 
 Como C = 2,33 D, então C = 2,33.(10,05 kN) ∴ C = 23,4 kN 
• Parafuso no ponto C: Novamente temos τadm = 100 Mpa e escrevemos 
C = τadm (2A) = (100 Mpa).2. π/4.(12 mm)2 = 22,6 kN 
 
Resumo: Obtivemos separadamente para cada caso quatro valores admissíveis para 
a força em C. Devemos escolher o menor desses valores, de modo a satisfazer os 
quatro casos, ou seja, C = 16,70 kN. 
 
 
 
 
 
 
 30
2.3) UNIÕES SOLDADAS 
 
As uniões entre chapas metálicas, tubos, cantoneiras e perfis, com frequência, são 
executadas por soldagem, através da fusão de material que preenche o espaço entre as 
partes a serem ligadas ou para formar um cordão. 
A figura abaixo mostra alguns exemplos de ligações através do uso da solda, sendo 
(a) ligação de topo, (b) ligação de topo com solda em “V”e (c) cordão de solda. 
 
 
O material fundido deve ser isolado da atmosfera para evitar formação de impurezas 
na solda. O isolamento pode ser feito de diversas maneiras; as mais comuns são indicadas 
na figura abaixo: 
a) Eletrodo manual revestido. O revestimento é consumido juntamente com o 
eletrodo, transformando-se parte em gases inerte, parte em escória. 
b) Arco submerso em material granular fusível. O eletrodo é um fio metálico, porém 
o arco voltaico e o metal fundido ficam isolados pelo material granular. 
c) Arco elétrico com proteção gasosa (também conhecido como MIG/MAG – Metal 
Inert Gas/Metal Active Gas). O eletrodo é um arame sem revestimento, e a 
proteção da poça de fusão é feita pelo fluxo de um gás (ou mistura de gases) 
lançado pela tocha de soldagem. 
d) Arco elétrico com fluxo no núcleo. O eletrodo é um tubo fino preenchido com o 
material que protege a poça de fusão. 
 31
 
A solda de eletrodo de eletrodo manual é a mais utilizada na indústria. Apresenta 
enorme versatilidade, podendo ser empregado tanto em instalações industriais pesadas 
quanto em pequenos serviços de campo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32
 Os eletrodos utilizados nas soldas por arco são varas de aço-carbono ou aço 
de baixa liga. Os eletrodos com revestimento são designados segundo a norma ASTM por 
expressões do tipo E70XY, onde: 
E = eletrodo; 
70 = resistência à ruptura da solda em ksi; 
X = número que se refere à posição de soldagem satisfatória (1 – qualquer 
 posição; 2 – somente posição horizontal); 
Y = número que indica tipo de corrente e de revestimento do eletrodo. 
 
Os principais tipos de eletrodos empregados na indústria são: 
E60 = fruptura = 60 ksi = 415 MPa 
E70 = fruptura = 70 ksi = 485 MPa 
 
A norma NBR 7165 apresenta os símbolos gráficos de solda, baseado na American 
Welding Society: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 33
 
 
 
Soldas de Filete: 
 
 
 
 
O formato da seção transversal do cordão de solda tipo filete se assemelha a um 
quadrante de círculo, porém, devido ao brusco resfriamento, sua superfície em contato com 
a atmosfera sofre fissuras, fazendo com que apenas a parte em forma de triângulo 
retângulo isósceles seja considerada íntegra para resistir aos esforços cisalhantes. 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra um cordão de solda tipo filete. A garganta do cordão, no 
plano segundo o qual a tensão de cisalhamento é máxima, ocorre porque a área é mínima, 
dada por: 
ohaA 45cos..= 
 34
 
 
 
Tabela 1 - Dimensões Mínimas de Filetes de Solda (AISC, NBR 8800) 
 
Espessura da 
chapa mais 
fina em mm 
Perna do filete 
(bmin) 
Até 6,3 3 mm 
6,3 – 12,5 5 mm 
12,5 – 19 6 mm 
> 19 8 mm 
 
 
Tabela 2 - Dimensões máximas de Filetes de Solda (AISC, NBR 8800) 
 
 
 
Tabela 3 - Tensões Admissíveis de cisalhamento (MPa) em soldas de filete 
 
 AISC AASHO NB117 
Aço A36, A242, Eletrodo E60 93,2 - 88,3 
Aço A36, Eletrodo E70 107,9 85,3 88,3 
Aço A242, Eletrodo E70 107,9 101,0 - 
 
 
 
 35
Exemplo 1: A cantoneira de abas desiguais está submetida a um estado de tração 
pura, pela força P = 200 kN, aplicada no centroide da área da seção do perfil. Pede-
se determinar os comprimentos dos dois cordões de solda de forma a que a tensão 
cisalhante despertada na união não ultrapasse 30 MPa. 
 
 
Solução: o equilíbrio das forças atuantes na cantoneira nos permite escrever: 
ΣF = 0 -> F1 + F2 = 200 kN 
Momento no CG -> F1 x 160 mm = F2 x 40 mm 
Portanto, F1 = 40 kN e F2 = 160 kN 
 
Os comprimentos dos cordões são calculados escrevendo-se: 
τ = F2/Área2 = F1/Área1 onde Área = a x h x cos 45o 
τ = 30 x 106 =160 x 103 / a2 x 10 x 0,707 x 10-6 = 40 x 103 / a1 x 10 x 0,707 x 10-6 
obtendo-se, finalmente: a1 = 189 mm e a2 = 754 mm. 
 
 36
 Caso um terceiro cordão fosse 
acrescentado na extremidade da cantoneira, 
uma força F3 seria adicionada, permitindo a 
diminuição dos comprimentos dos dois 
cordões laterais. 
 Admitindo que o terceiro cordão (com a 
mesma dimensão de 10 mm) se estenda 
pelos 200 mm da alma da cantoneira e que a 
tensão nele presente atinja o valor admissível 
de 30 MPa, teremos (ver nota 1): 
 
 
F3 = 30 x 10
6 x 200 x 10 x 0,707 x 10-6 e F3 = 42,4 kN. 
Tomando os momentos em relação à quina A: 
200 x 40 = F1 x 200 + 42,4 x 100 e F1 = 18,8 kN enquanto F2 = 138,8 kN, já que ΣF 
= 0, ou seja F1 + F2 + F3 = 160 + 40. 
Os novos comprimentos dos cordões laterais seriam dados por: 
τ = 30 x 106 =18,8 x 103 / a1 x 10 x 0,707 = 138,8 x 103 / a2 x 10 x 0,707 e portanto, a1 
= 88,6 mm e a2 = 654,4 mm. 
Note que, nos dois casos, a soma dos comprimentos dos cordões é a mesma: 189 + 754 = 
88,6 + 654,4 + 200 = 943 mm. 
 
Nota 1: Apesar de a resistência de um cordão de solda transversal seja 30 % maior que a de 
um cordão longitudinal, adotaremos valores iguais, mantendo o multiplicador 0,707 nos 
cálculos. 
 
Exemplo 2: A coluna circular de diâmetro D é soldada em sua base por um cordão de 
solda circunferencial de largura b e submetido a um torque T. Calcule o valor 
admissível para o torque, supondo uma tensão tangencial admissível na solda de 
valor τ (supor a dimensão b muito pequena na presença de D). 
 
 37
Solução: Admitindo que a tensão tangencial é 
uniformemente distribuída ao longo da garganta 
circunferencial da solda, podemos escrever (já que 
D>>b – ver Nota 2): 
Momento = Torque T = F x distância d 
τ = F/A ∴ F = τ.A ∴T/d = τ.A ∴T= τ.A.d 
sendo Área = b.h/2 = (b/2).(D/2) onde h = raio e 
d = raio x θ , então variação de d = D/2.dθ 
..)4/()2/)(2/)()(2/.( 2
2
0
bDDbdDT τπθτ
π
∫ == 
 distância x área 
 
Nota 2: ao admitirmos a área da garganta como uma superfície cônica de raio D/2, e não 
(D/2)+ (b/4).cos 45º , estaremos utilizando uma área um pouco menor que a verdadeira, 
obtendo um valor de T admissível um tanto menor que o máximo (a favor da segurança). 
 
Exemplo 3) Dimensionar a ligação com solda de filete indicada na figura (a) abaixo, 
para o aço A24 e eletrodo E60, para o esforço estático de 294,3 kN. 
 
 
 
 Tratando-se de chapas de espessura 5/8” (15,87 mm), vemos na Tabela 1 que o 
lado mínimo do filete de solda é 6 mm. Na tabela 2, verificamos que o filete não deve 
ultrapassar a dimensão bmáx = 15,87 mm – 1,5 mm = 14,37 mm. Construtivamente, o 
lado do filete de solda pode ser adotado com qualquer valor entre 6 mm e 14,4 mm. 
 38
 Vamos inicialmente supor a solda, como é indicado na figura (b), com lado do filete 8 
mm e eletrodo E60. Desprezando os prolongamentos da solda nos cantos, a área de 
solda (garganta) será: 
 
2
11 ..31,11707,0.8..245cos.. mmlmmlhaA
o === 
 Segundo a tabela 3, a tensão admissível da solda pela NBR 117 para o aço A24 (ou 
A242), eletrodo E60 vale 88,3 MPa. O comprimento l1 é calculado de acordo com a 
expressão: 11,31. l1 x 88,3 N/mm2 = 294300 N ∴ l1 = 294,7 mm ≈ 30 cm 
 Na figura (c) há uma outra disposição da solda. A área de solda (na garganta), será 
neste caso, ainda com filete de 8 mm: 
[11,31. l2 + (178 mm x 8 mm x 0,707)] x 88,3 N/mm2 = 294300 N ∴ 
(11,31. l2 + 1006,8) x 88,3 N/mm2 = 294300 N ∴ l2 = 205,7 mm ≈ 21 cm 
Vemos que a disposição da figura c produz uma ligação mais compacta que a da 
figura b. 
 
Exemplo 4) Dimensionar a ligação com solda de filete indicada na figura (a) abaixo, para a 
carga admissível à tração da cantoneira L 5 x 3 ½ x ½ em aço Corten C (σadm = 196,2 
MPa), com eletrodo E70 tipo baixo hidrogênio. Dado: área da cantoneira = 2580 mm2 
 
 
 
Carga admissível à tração da cantoneira: 2580 mm2 x 196,2 N/mm2 = 506196 N = 
506,2 kN. 
Pelas tabela acima, o cordão de solda fica condicionado por dois limites: 
Lado mínimo para chapa 5/8” : 6 mm (tabela 1) 
 39
Lado máximo para a chapa 1/2": 12,7 mm – 1,5 mm = 11,2 mm (tabela 2) 
 
Adotaremos o filete de 8 mm. Pela Tabela 3, a tensão admissível da solda de filete, 
segundoa norma AISC vale τ = 107,9 MPa. 
Considerando a distribuição mostrada em (b) da figura anterior, procuraremos 
determinar l1 e l2 de maneira que a resultante dos esforços da solda coincida com a 
projeção do centro de gravidade da cantoneira no plano da solda. Admitimos que o 
eixo do filete de solda coincida com o bordo do perfil. Escrevemos duas equações de 
equilíbrio: 
 
 
Σ Fhoriz = 0 ∴ 8 mm x 0,707 x 107,8 N/mm2 (l1+l2) 
 = 506196 N 
Σ MA = 0 ∴(103,9 mm x l1) = (23,1 mm x l2) 
 
Resolvendo o sistema, encontramos: 
l1 = 151 mm = 15,1 cm 
l2 = 679,2 mm = 68 cm 
 
Tomemos, agora, a distribuição apresentada em (c) na figura, mantendo o filete de 8 
mm. As equações de determinação de l3 e l4 são: 
 Σ Fhoriz = 0 ∴ 8 mm x 0,707 x 107,8 N/mm2 (l3+l4 + 127 mm) = 506196 N 
 Σ MA = 0 ∴(103,9 mm x l3) = (23,1 mm x l4) + 127 mm x (127/2 mm – 23,1 mm) 
 Resolvendo o sistema, encontramos: 
 l3 = 170 mm = 17 cm , l4 = 534 mm = 53,4 cm 
 
 Note que a soma dos comprimentos dos filetes de solda é o mesmo: 15,1 cm + 68 cm = 
17 cm + 12,7 cm + 53,4 cm. 
Os comprimentos de solda poderiam ser reduzidos adotando-se um filete de maior lado, 
por exemplo, b = 10 mm. 
Segue a simbologia das soldas segundo NBR 7165. 
 40
 
 41
2.4) Tensões em Planos Oblíquos. 
 
 
 
 
 42
2.5) Tensor de Tensões 
 
 
 43
 
 
 44
 
 
 
 
Ex: Complete o estado tensional e represente-o pelo tensor de tensões: 
 
OBS: As tensões axiais de compressão são negativas e de tração são positivas. As 
tensões cisalhantes dependem da direção do plano normal: se for na mesma direção, é 
positiva e se a direção da força neste plano for a mesma do referencial, é positiva e, então, 
positivo com positivo dá positivo. 
 45
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 46
 
 
O estado de tensão em torno de um ponto está definido quando as tensões estão 
perfeitamente determinadas para qualquer orientação do elemento de superfície a que se 
refiram. No entanto para se ter o estado de tensão em torno de um ponto não é necessário 
conhecer todas as tensões referentes a esse ponto e sim conhecer algumas capazes de 
permitir a determinação de todas as outras através de expressões simples, que 
mostraremos no item seguinte com o auxílio do círculo de Mohr . 
 
 
 
Notação usada: 
 
a) Tensão normal : O índice indica a direção 
b) Tensões tangenciais : O 1o índice indica a direção normal à faceta em que atua a 
tensão tangencial e o 2o índice indica a direção da tensão tangencial. 
 
 47
Convenção de Sinal: 
Uma tensão é positiva, quando referindo-se a uma face positiva, tiver ela própria a direção 
positiva, ou quando referida a uma face negativa, tiver sentido negativo. 
 
A determinação das Tensões Usando o Círculo de Mohr, seguem algumas regras para o 
seu traçado: 
 
1) Consideremos um ponto P onde o estado de tensão está definido por σx, σy e τx. Vamos 
tomar um sistema de eixos coordenados σ x τ e marquemos dois pontos: 
M : (σx, -τx) 
M’ : (σy , τy) 
 
2) Liguemos M a M’ determinando o ponto C sobre o eixo das abcissas; 
 
3) Tracemos um círculo com centro no ponto C e raio CM=CM’ , que cortará o eixo dos Oσ 
em A e B. 
 
Círculo de Mohr. 
 
 
 
 48
No círculo de Mohr podemos obter: 
 
22
yxyx
yc
σσσσ
σσ
+
=
−
+= 
 
Cálculo do Raio: 
 
Do triângulo CEM, temos: 2
2
2
2 x
yx
R τ+




 σ−σ
=
 
( ) 222 4*
4
1
4
1
xYxR τ+σ−σ= 
 
 
( ) 22 4
2
1
xYxR τ+σ−σ= 
 
Tensões e Direções Principais 
 
Os pontos B e A definem as direções I e II, respectivamente. 
 
( ) 22 4
2
1
2 xYx
yx
i
cI RROCOB
τ+σ−σ+
σ+σ
=σ
+σ=σ⇒+=
 
 
( ) 22 4
2
1
2 xYx
yx
iI
cII RROCOA
τ+σ−σ−
σ+σ
=σ
−σ=σ⇒−=
 
 
Temos que a direção principal I e dada pelo ângulo MAB = αI 
 
Da figura, temos: 
( )
( )
yx
x
I
yx
xI CEeEMonde
CE
EM
σ−σ
τ
=α
σ−σ
=τ==α
2
2tan
2
,2tan
 
 
90+α=α III 
 
 49
2.5) Deformações Longitudinais (alongamento para tração e encurtamento para 
compressão) 
 
Seja um elemento de volume genérico de seção S e comprimento elementar dx: 
 
 estado neutro barra tracionada 
 
Deformação longitudinal total da barra: ∆L = δ (dimensional: L); 
Deformação longitudinal do elemento de volume: du (dimensional: L); 
Deformação longitudinal específica (deformação por unidade de comprimen 
 to): 
dx
du=ε (adimensional); 
Então: dxdu .ε= e ∫ ∫==∆
L L
x dxduL
0 0
.ε , onde εx varia com x, de um modo geral. 
No caso particular do item 1.3, εx = ε é constante de A até B, portanto, ∆L = ε.L e, então 
ε = ∆L/L. 
Analisamos, por enquanto, somente as deformações longitudinais. Mais tarde, 
analisaremos as deformações transversais. 
As deformações podem ser elásticas (regridem se a barra for descarregada) ou 
plásticas (permanentes). 
 
2.6) Componentes de Deformação 
 50
 
 51
 
 52 
 53
 
 54
 
É o que mostra a Figura (b) abaixo: 
 
Exemplo: 
 
 55
Para r1: d1 = (0,16 x 10
2 + sin 3 (rd))i + (0,1 x 10 + 10/27) j + 0,004 k 
 d1 = (16,141)i + (1,37) j + 0,004 k 
Para r2: d2 = (2,56 + 0,141)i + (0,1 x 4 + 4/27) j + 0,004 k 
 d2 = (2,701)i + (0,548) j + 0,004 k 
 ___________________________ 
d = √ (x1-x2)2 + (y1-y2)2 + (z1-z2)2 = 
 _____________________________________________ 
 √ (16,141-2,701)2 + (1,37-0,548)2 + (0,004-0,004)2 = 13,46 
 
2.6) O Teste ou ensaio de Tração 
 
O objetivo é determinar as propriedades dos materiais ou verificar a qualidade dos 
mesmos. Na barra tracionada do item 1.3, façamos a carga P aumentar lenta e 
gradualmente (carga estática). Medindo em cada instante do ensaio a carga P e a 
deformação total ∆L,obtém-se o diagrama P x ∆L (carga x deformação total) e, a partir 
deste, o diagrama σ x ε (tensão por deformação específica), onde σ = P/A e ε = ∆L/L. 
Os aspectos mais comuns do diagrama σ x ε são os seguintes: 
 
 
 
 56
(a) material frágil (se rompem com pequenas deformações): ε < 5 % em R (no instante 
da ruptura). Exemplos: concreto, vidro, ferro fundido; 
(b) e (c) materiais dúteis (suportam grandes deformações antes de chegar a ruptura): ε 
>> 5 % em R. Exemplos: aço, alumínio; 
(b) material dútil sem escoamento definido. Exemplo: aços especiais; 
(c) material dútil com patamar definido (trecho AB = patamar de escoamento, em que há 
aumento de deformação com a tensão aproximadamente constante). Exemplo: aço 
comum. 
 
A relação que envolve tensão (σ) e deformação específica (ε) é conhecida como Lei de 
Hooke : 
εεεεσσσσ *E= 
 
onde : E é o Módulo de elasticidade longitudinal ou Módulo de Young, com o mesmo 
dimensional e mesmas unidades práticas de tensão, sendo uma constante de cada 
material, obtido através de ensaios, como mostrado no item a seguir. 
 Se o esforço normal é P ou –P e a tensão normal é 
A
P
x == σσ , a deformação 
total será EA
PL
E
L
LL ===∆ σε . 
 
2.6.1) Detalhes do Diagrama σ x ε para o aço comum (diagrama convencional com 
aspecto simplificado): 
 
0 – 1: fase elástica proporcional (diagrama linear), obedecendo a Lei de Hooke: σ/ε = 
const = tg α = E σ/ε = E, então, ε = σ/E. 
 σ1 = limite de proporcionalidade onde as deformações são elásticas. 
 
 57
 
1 – 2: fase elástica não proporcional (reduzida). O material já não obedece à Lei de 
Hooke e as deformações, a partir daí, serão plásticas, ou seja, mesmo que sejam 
aliviadas as cargas, o material não irá retornar a sua forma inicial. 
(para fins práticos, consideramos 0 – 2 como fase elástica) 
2 – 3: fase plástica pré-escoamento (reduzida ou inexistente); 
3 – 4: patamar de escoamento (tensão de escoamento σe = σy = fy ). O material se 
deforma com pequenos acréscimos de tensões. 
4 – 5: encruamento ou endurecimento. O ponto 5 corresponde a tensão máximado 
ensaio ou limite de resistência do material (σR); 
(para fins práticos, consideramos 2 – 5 como fase plástica) 
5 – 6: fase de ruptura ou estricção, em que a diminuição da carga P e uma diminuição 
mais acentuada da área A (em uma determinada seção), chamada fuso de estricção. 
 
 
 
Em 5, a tensão de ruptura vale σR = fst (max). Em 6, há a ruptura definitiva. 
 
Abaixo segue outra figura onde é mostrado cada parte do diagrama σ x ε. 
 
 58
 
 
Este diagrama tensão x deformação é típico de ligas metálicas de baixa dureza, como 
aço com baixo teor de carbono (aço doce) e o alumínio. 
 
Material sem Patamar de Escoamento Definido: Assim como no diagrama anterior, este 
diagrama tensão x deformação é linear até o ponto B, também denominado limite de 
proporcionalidade, ou seja, neste trecho o material obedece a Lei de Hooke e as 
deformações são elásticas; 
 
 Diagrama σσσσ x εεεε 
 59
Não há patamar definido, como no caso anterior, a tensão de escoamento (σy) é 
definida por uma reta correspondente a 2‰ paralela ao segmento linear do diagrama; 
Este diagrama tensão x deformação é típico de materiais com alta dureza, como aço 
com alto teor de carbono, ferro fundido etc. 
Ambos os diagramas apresentados, são chamados de convencionais, ou seja, ao 
longo de todo o ensaio as tensões são obtidas com a área inicial do corpo de prova. Caso 
fossem obtidos com a área real do corpo de prova, os diagramas teriam as seguintes 
formas: 
 
 
 
 
 
 
O dado mais importante obtido da curva tensão x deformação é o módulo de 
elasticidade longitudinal do material (E), que é igual a inclinação da reta OB. 
 
• O diagrama convencional admite σ = P/A constante, porém o diagrama real σ’ = 
P/A’, em que a área é variável, diminuindo na tração, por exemplo. 
 
 60
• Descarga e Recarga: na fase elástica, o retorno é pelo mesmo diagrama da carga. 
Na fase plástica, o retorno se dá por uma paralela a 0 – 1 (vide figura abaixo), 
significando que a deformação total é parcialmente elástica e parcialmente plástica: 
εt = εe + εp . No início do escoamento: εe = 0,2 % 
• Na figura abaixo, 0 0’ é a deformação permanente e 0’ 1 é a recuperação elástica do 
material. 
 
 aço comum (classe A) aço especial (classe B) 
O limite de escoamento convencional para o aço especial (tipo B) é a tensão para a 
qual a deformação permanente é εp = 0,2 %. 
 
 Outros Tipos de Diagramas para Diferentes Materiais 
 
 (a) (b) (c) (d) 
(a) material perfeitamente elástico (b) material perfeitamente plástico 
(c) material elástico perfeitamente plástico (d) material elástico-plástico 
 61
Energia de deformação : quando um material é deformado por uma carga externa, 
tende a armazenar energia internamente ao longo de todo o seu volume. Esta energia 
chama-se energia de deformação e é chamada de densidade da energia de deformação, 
dada pela expressão: 
εσ ..
2
1=
∆
∆=
V
U
u 
 
Se o comportamento do material for linear-elástico, então a lei de Hooke se aplica 
σ=E.ε e, portanto, podemos expressar a densidade da energia de deformação em termos 
da tensão uniaxial como: 
E
u
.2
.1 2σ= 
 
Módulo de Resiliência : Em particular, quando a tensão σ atinge o limite de 
proporcionalidade, a densidade da energia de deformação, como calculada acima, é 
denominada Módulo de Resiliência, dado por: 
 
 
 
Pela região elástica mostrada no gráfico σ x ε, ur é equivalente à área triangular 
mostrada. Fisicamente, a resiliência de um material representa sua habilidade para 
absorver energia sem sofrer qualquer dano permanente. 
 
Módulo de Tenacidade : 
 62
Representa toda a área sob o diagrama 
tensão-deformação e, portanto, indica a 
densidade de energia de deformação do 
material imediatamente antes da ruptura. Esta 
propriedade é importante quando se projetam 
elementos que possam ser sobrecarregados 
acidentalmente. Materiais com módulo de 
tenacidade alto distorcem muito devido à 
sobrecarga. 
Porém, são preferíveis estes materiais aos de 
baixo valor, uma vez que os materiais que tem 
ur baixo podem romper-se subitamente sem dar 
sinais de ruptura iminente. Ligas de metais 
também mudam sua resiliência e tenacidade. 
Os diagramas ao lado mostram como os graus 
de resiliência e tenacidade podem mudar, 
conforme muda a porcentagem de carbono no 
aço. 
 
2.7) Ensaio de Compressão 
 O corpo de prova deve ter dimensões adequadas, para se evitar a flambagem. No 
caso do aço, o comportamento é o mesmo do ensaio de tração, exceto a estricção. Em 
valor absoluto, o mesmo diagrama σ x ε e os mesmos parâmetros (E, ν, σe , σR). 
 
 63
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 64
2.8) O ENSAIO DE TORÇÃO 
 
 
 
 
2.9) ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
2.9.1) Homogeneidade Dimensional 
 
“O princípio da homogeneidade dimensional decorre da condição de que toda 
equação, ou, de modo mais geral, toda relação funcional que exprima matematicamente 
uma lei natural ou um processo físico, deve ser invariante relativamente a qualquer 
 65
mudança de unidades empregado”. [Fourier, J.B., Comte, A., Palácios, J, Langhaar, H.L. 
Carneiro, L, Maxwell, J.C., Brand, L, Pankhurst, R.C. ] 
“O princípio da homogeneidade dimensional consiste em que toda equação que 
exprima uma lei física ou descreva um processo físico deve ser homogênea, relativamente 
a cada grandeza de base. Desse modo essa equação continuará válida, se forem mudada 
as magnitudes das unidades fundamentais” [Carneiro, L] 
Consequência: uma equação com n parâmetros pode ser reduzida a uma equação 
entre n – r grupos adimensionais sendo r o número de unidades básicas que seria 
estritamente necessário para descrever o fenômeno. Esses grupos são produtos de 
potências dos parâmetros originais, e são denominados “números π”; r é o posto da matriz 
dimensional. Este teorema é conhecido como “teorema de π “ ou de Vaschy-Buckingham. 
Fourier e Comte: As mudanças de unidades não devem afetar as relações funcionais 
que exprimem matematicamente leis ou processos físicos. Dois casos podem ocorrer: 
a) A grandeza correspondente ao parâmetro considerado é fundamental ou de base, 
isto é, é uma grandeza cuja unidade de medida pode ser escolhida arbitrariamente; 
b) A grandeza é derivada e, neste caso, sua unidade de medida é subordinada às 
unidades fundamentais. 
Sejam: x1, y1, ..., z1 diversos parâmetros pertencentes a uma mesma grandeza A1; x2, 
y2, ..., z2 diversos parâmetros pertencentes a uma mesma grandeza A2, etc; Os índices 
1,2, ..., n correspondem às grandezas A1, A2, ..., An 
Se para as grandezas A1, A2, ..., An forem adotadas novas unidades de medida k1, k2, 
..., kn vezes menores, os valores numéricos dos parâmetros x1, y1, ..., z1 ficarão 
multiplicados por k1, os dos parâmetros x2, y2, ..., z2 por k2, etc. 
Os fatores ki deverão ser positivos e diferentes de zero, em razão de sua própria 
origem, as mudanças de unidades: k1 >0, k2 > 0, ..., kn > 0 
Seja f(x1, y1, ..., z1; x2, y2, ..., z2 ; ...; xn, yn, ..., zn) = 0 a equação que exprime 
matematicamente um processo físico. 
 66
 Para que essa equação permaneça inalterada com a mudança de unidades é 
necessário e suficiente que a função f satisfaça à seguinte condição: 
f(k1x1, k1y1, ...,k1z1;k2x2, k2y2, ..., k2z2; ...; knxn, knyn, ..., knzn) = k.f(x1, y1, ..., z1; x2, y2, ..., 
z2 ; ...; xn, yn, ..., zn) , sendo k independente dos valores de x1, y1, ..., zn , e função 
exclusivamente dos k1, k2, ..., kn . 
 k = φ (k1, k2, ..., kn ) > 0 
Desse modo a equação original permanece inalterada com a mudança de unidades. 
As funções que satisfazem a essa condição são modernamente designadas como funções 
homogêneas generalizadas.No caso (a) (função somente com grandezas fundamentais), todos os k são arbitrários 
(k > 0). Em (b) (grandezas subordinadas às grandezas fundamentais) idem. 
Teoria da Homogeneidade Dimensional. Matriz Dimensional: Parâmetros que figura 
nas equações ou relações funcionais que exprimem matematicamente leis ou processos 
físicos: 
• Variáveis (independente ou dependente). São medidas de magnitude de 
 grandezas físicas e dependem das unidades de medida adotadas; 
• Constantes físicas específicas; 
• Constantes físicas universais. 
MATRIZ DIMENSIONAL: 
Linhas: grandezas fundamentais relacionadas com o problema 
Colunas: parâmetros 
Os elementos da matriz são as dimensões (ou expoentes de dimensão) dos 
parâmetros, relativamente a cada grandeza fundamental. Os fatores de forma (variáveis 
adimensionais) não se incluem geralmente na matriz. 
Teorema de π ou de Vaschy-Buckinghan: “Sejam a1, a2, ..., an na grandezas físicas, 
das quais as r primeiras são referidas a unidades fundamentais distintas, e as (n - r) 
restantes a unidades derivadas dessas r unidades fundamentais (por exemplo, a1 pode ser 
comprimento, a2 uma massa, a3 um tempo, e as outras (n - r) grandezas seriam forças, 
 67
velocidades etc..; (neste caso, r = 3). Se entre essas n grandezas existe uma relação F(a1, 
a2, ..., an ) = 0, que subsista sejam quais forem as magnitudes arbitrárias das unidades 
fundamentais, essa relação pode ser reduzida a uma outra entre, no máximo (n – r) 
parâmetros, seja 
 f (X1, X2, ..., Xn-r) = 0, sendo X1, X2, ..., Xn-r funções monômias de a1, a2, ..., an (por 
exemplo, X = Aa1
α1. a2
α2... ar
αr).” Vaschy, 1892. 
 
“Toda relação homogênea entre n grandezas, cujos valores numéricos dependem das 
unidades escolhidas, é redutível a uma relação entre (n – r) parâmetros que são 
combinações monômias de a1, a2, ..., an , r possam ser escolhidas arbitrariamente. Este 
número r não pode evidentemente ser superior ao número de unidades fundamentais” 
Vaschy, 1896 
Exemplo: 
1) Pêndulo Simples 
Os parâmetros do fenômeno são o comprimento l do pêndulo, sua massa m (ou 
seu peso w), a intensidade da gravidade g, a amplitude angular inicial das 
oscilações αo e o período T, que é a variável dependente. O parâmetro αo é 
adimensional e não precisa ser incluído na matriz dimensional, pois já é um 
número π. Tem-se, assim, T = f(l , m, g, αo) 
 
• posto da matriz r = 3 (= no de linhas) 
• número de incógnitas n = 4 
 (n – r) = 1 
 Com α4 = 1, obtém-se: 
 
2
1
,0,
2
1
123 −=== ααα
 68
Portanto: ou 
 
 
A experiência ou a teoria mostram 
que, para valores relativamente 
pequenos, f ( αo ) é aproxima-
damente constante e igual a 2 π. 
As pequenas oscilações são 
aproximadamente sincronizadas, 
como verificou Galileu (vide figura 
ao lado). 
A massa m , embora tenha sido 
incluída na matriz dimensional, 
não figura em nenhum número π. 
 
 
 
2) Deformação das estruturas 
• Variável dependente: deslocamento δ de um ponto do corpo, em uma dada direção. 
• As forças aplicadas, representadas por F são, agora, dados do problema, isto é, 
variáveis independentes; como os deslocamentos são calculados na fase elástica, o 
material é caracterizado pelo seu módulo de elasticidade E no lugar da tensão 
característica σk e por seu peso específico γ. Então, a matriz dimensional, na base 
LF será: 
 
 
 
 
)( 0απ fl
g
T == )(. 0αfg
l
T =
 69
 
 
Com α5 = 1, α3 = α4 = 0 : 
Com α4 = 1, α5 = α3 = 0 : (número de Hooke) 
Com α4 = 1, α5 = α3 = 0 : (número de Galileu modificado) 
 
O deslocamento será dado, em forma adimensional, por: 
Observe que π1= δ/l não é um fator de forma, embora exprima a relação entre duas 
grandezas do mesmo tipo, porque é a incógnita do problema. δ não é um dado do 
problema. 
Quando o peso próprio é desprezível, o número π3 pode ser desconsiderado, 
restando somente π2 número de Hooke e os fatores de forma. Se, além da linearidade 
física, isto é, do comportamento elástico linear do material , consideram-se apenas casos 
de pequenos deslocamentos, o número π1 será proporcional ao número π2 e a um fator 
numérico função dos fatores de forma. O número π2 será um fator de proporcionalidade: 
 e proporcional para corpos geométrica- 
 mente semelhantes. Se adotarmos que l2 representa uma área A da seção transversal da 
estrutura, podemos reescrever a equação acima como 
 
 
 
l
δπ =1
HoNlE
F ==
22 .
π
mod.3
.
GalNE
l == γπ





= formadefatores
E
l
lE
F
f
l
..,
.
,
. 2
γδ
( )formadefatoresf
lE
F
l
...
. 12
=δ
2.
::
lE
F
l
δ
AE
lF
.
.=δ
 70
2.10) DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL 
 
Na Figura a seguir, se tivermos σz = σy = 0 e somente σx ≠ 0, podemos imaginar que 
as deformações específicas εy e εz são também iguais a zero. Isto, entretanto, não ocorre. 
Em todos os materiais, o alongamento produzido por uma força P na direção dessa força é 
acompanhado por uma contração em qualquer direção transversal. 
 
Estado múltiplo de tensões. 
 
 
Assumimos que o material em estudo é homogêneo, isto é, consideramos que suas 
várias propriedades mecânicas são independentes do ponto considerado. Vamos, agora, 
assumir que o material é isotrópico, isto é, consideramos que suas várias propriedades 
mecânicas são também independentes da direção considerada. Com esta suposição 
adicional, a deformação específica deve ser a mesma para qualquer direção transversal: εx 
= εy. Este valor é chamado de deformação específica transversal. O valor absoluto da 
relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal é 
chamado coeficiente de Poisson (ν), relacionando, então, as deformações específicas entre 
as direções x, y e z. 
 
 O coeficiente de Poisson é definido como: 
 
 ν =  deformação espe. transv._ 
  deformação específica  
 
 71
 e 
xz
xy
νε−=ε
νε−=ε
 
 
Nas fórmulas acima o sinal de menos, representa fisicamente o que ocorre com a 
deformação transversal, ou seja se há um alongamento na direção x, nas direções y e z 
haverá um encurtamento dos lados da seção transversal. 
 
• A deformação transversal é dada como se segue: 
a = dimensão transversal original; 
∆a = deformação transversal total correspondente (tração: ∆a > 0 – diminui a 
 espessura e compressão: ∆a < 0); 
εa= ∆a/a = deformação específica. 
εa é proporcional a εx, isto é, εa = - ν. εx, onde ν é o coeficiente de Poisson, descrito 
anteriormente e constante para cada material. (εy = - ν. εx e εz = - ν. εx). 
 
seção transversal 
 
Exemplo: Uma barra de material homogêneo e isotrópico tem 500 mm de comprimento e 
16 mm de diâmetro. Sob a ação axial de 12 kN, o seu comprimento aumenta de 300 µ m 
e seu diâmetro se reduz de 2,4 µm. Determinar o módulo de elasticidade e o coeficiente 
de Poisson do material. 
 72
 
 
 
A área da seção transversal da barra é A = π.r2 = π.( 8 x 10-3 m)2 = 201 x 10-6 m2 
Consideremos o eixo x coincidente com o eixo da barra para escrevermos então (vide 
figura): 
 
MPa
mx
Nx
A
P
x 7,5910201
1012
26
3
=== −σ 
610600
500
300 −=== x
mm
m
L
x
x
µδε 
610150
16
4,2 −−=−== x
mm
m
d
y
y
µδε 
 
Da Lei de Hooke, σx = E. εx, obtemos: 
 
 GPa
x
MPa
E
x
x 5,99
10600
7,59
6
=== −ε
σ
 
 
e, então: 25,0
10600
10150
6
6
=−=−= −
−
x
x
x
y
ε
ε
ν 
 
 
 73
2.11) ESTADOS MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO 
 
 
Nosso estudo até agora limitou-se à análise das barras delgadas submetidas a cargas 
axiais, isto é, dirigidas ao longo de um eixo somente.Considerando esse eixo como o eixo 
x e chamando a força interna de P, calculamos as componentes da tensão, que são σx = 
P/A, σy = 0 e σz = 0. 
 
 
Passamos a considerar elementos estruturais sujeitos à ação de carregamentos que 
atuam nas direções dos três eixos coordenados, produzindo tensões normais σx , σy e σz , 
todas diferentes de zero. Temos, então, um estado múltiplo de carregamento ou um 
carregamento multiaxial. Devemos notar que este não é o caso geral de tensões, pois não 
estão incluídas as tensões de cisalhamento entre aquelas indicadas na figura acima. 
Vamos representar um cubo elementar de um certo material, adotando para suas 
dimensões arestas de comprimento unitário. Sob a ação do carregamento multiaxial, o 
cubo elementar se deforma, tornando-se um paralelepípedo-retângulo cujos lados têm 
comprimentos, respectivamente 1 + εx, 1 + εy e 1 + εz. εx , εy e εz são as deformações 
específicas nas direções dos três eixos coordenados (vide figura). Devido às deformações 
que aparecem em elementos vizinhos do mesmo material, o cubo elementar pode também 
 74
sofrer uma translação, que no momento não interessa considerar, uma vez que estudamos 
apenas a deformação do próprio elemento, e não um deslocamento qualquer que ele possa 
ter como corpo rígido. 
Queremos escrever, agora, as componentes de deformação εx, εy e εz em função das 
componentes de tensão σx, σy e σz . 
 
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x
σσσσνσνσνσνσνσνσνσνσεεεε
νσνσνσνσσσσσνσνσνσνσεεεε
νσνσνσνσνσνσνσνσσσσσεεεε
+−−=
−+−=
−−=
 
 
As equações acima exprimem a generalização da Lei de Hooke para carregamento 
multiaxial. Os resultados são válidos para o caso de tensões que não excedam o limite de 
proporcionalidade do material e deformações pequenas. Um valor positivo de deformação 
específica significa expansão na direção respectiva e um valor negativo indica contração. 
Sabendo que 
)1(2 ν+
= EG , sendo G = Módulo de Elasticidade Transversal, E = 
Módulo de Elasticidade Longitudinal e ν = coeficiente de Poisson, podemos escrever de 
forma geral: 
 
 75
 
 
 
 76
 
 
Exemplo: A figura abaixo mostra um bloco de aço submetido à ação da pressão 
uniforme em todas as faces. Mediu-se a variação do comprimento AB, que foi de 24 µm (1 
µm = 10-6 m). Determinar: a) a variação de comprimento das outras duas arestas; b) a 
pressão aplicada p às faces do bloco. Adotar E = 200 GPa e ν = 0,29. 
 
 77
a) alteração no comprimento de outras arestas: Substituindo σx = σy = σz = -p nas 
equações que generalizam a Lei de Hooke, verificamos que as três componentes de 
deformação específica têm um valor comum 
 εx = εy = εz = ( )ν21−− E
p
 
negativo porque comprime em todas as direções. Como εx = δx/AB = - 24 µm/80 mm 
= - 300 µ, vamos ter εx = εy = εz = - 300 µ, donde segue que δy = εy(BC) = (-300 µ)(40 
mm) = -12 µm 
 δz = εz(BD) = (-300 µ)(60 mm) = -18 µm 
 
b) Pressão: da equação do item (a), escrevemos: 
( )( )
MPa
GPaE
p x 9,142
58,01
300.200
21
.
=
−
−−=
−
−= µ
ν
ε
 
 
3.0) TENSÕES AXIAIS - TENSÕES TÉRMICAS 
 
Um corpo submetido a uma variação de temperatura irá sofrer um alongamento, se 
houver um acréscimo de temperatura (∆T positivo) ou um encurtamento, se houver um 
decréscimo de temperatura (∆T negativo) dado pela expressão: 
 
TLL ∆α=∆ 
Onde: 
∆L : Alongamento ou encurtamento sofrido pelo corpo; 
α : Coeficiente de dilatação linear; 
L : Comprimento inicial do corpo; 
∆T : Variação de temperatura, dado por TF - TI . 
 
Caso a condição de vinculação do corpo impeça a deformação devida à variação de 
temperatura, aparecerá tensão axial dada pela expressão: 
 78
 
TE ∆= αααασσσσ 
 
Ex: Os trilhos de uma estrada de ferro foram assentados com uma folga de 3.5 mm entre 
as suas extremidades e à temperatura de 15º C. O comprimento de trilho é igual a 12 m. 
Pede-se determinar: 
a) A folga entre os trilhos, quando a temperatura é igual a -25º C. 
b) A temperatura em que a folga se anula. 
c) A tensão de compressão atuante nos trilhos, quando a temperatura é igual a 45º C. 
 
Dado: α= 1.2 x 10-5/oC (Coeficiente de dilatação linear do aço). 
 
Solução: 
 
a) CTTt oIF 401525 −=−−=−=∆ ; L=12 m (12000 mm) 
 
 tLl ∆=∆ αααα ∴ )40()12000()/102.1( 05 CxmmxCxl o −=∆ − = - 5.76 mm 
 
 Folga Final = Folga Inicial - ∆l = 3.5 – (-5.76) = 9.26 mm 
 
 
b) Folga Inicial – ∆l = 0 ∴ Folga Inicial = ∆l 
 
 )()12000()/102.1(5.3 5 txmmxCxmm o ∆= − ∴ ∆t = 24.3º C 
 
 IF TTt −=∆ ∴ tTT IF ∆+= ∴ CT
o
F 3.393.2415 =+= 
 
c) CTTt oIF 301545 =−=−=∆ 
 
 mmCxmmxCxl o 32.4)30()12000()/102.1( 05 ==∆ − 
 
mmmmmmaFollTensão 82.05.332.4lg =−=−∆=∆ (encurtamento) 
 
226 /5.143
)(12000
)(829.0
)/(101.2 cmkgf
mm
mm
xcmkgfx
L
l
E −=−=∆=σσσσ
 (Tensão Compressiva) 
 
 
3.1) Concentração de Tensões 
 
 O valor das tensões nas proximidades dos pontos de aplicação de cargas 
concentradas é muito maior que a tensão média ao longo da peça. Quando a peça 
 79
estrutural contém descontinuidades, como furos ou variação brusca da seção, podem 
ocorrer altos valores de tensões nesses pontos de descontinuidade. 
 
 A figura acima se refere ao caso da variação brusca de seção, mostrando a 
distribuição de tensões na seção crítica. Trata-se de uma barra chata que consiste de duas 
seções transversais diferentes, com frisos efetuando a transição da forma da seção; a 
figura mostra a distribuição de tensões na parte mais estreita da transição, onde ocorrem 
as maiores tensões. 
Tais resultados foram obtidos experimentalmente através de método fotoelástico. O 
engenheiro que tiver de projetar ou estudar peças deste tipo não necessitará levar a efeito 
uma análise fotoelástica, pois os resultados obtidos são independentes das dimensões das 
peças e do material usado; eles dependem unicamente das relações entre os parâmetros 
geométricos envolvidos, isto é, da relação r/d no caso do furo circular e das relações r/d e 
D/d no caso de frisos (veja figura abaixo). Além disso, interessa ao projetista o valor 
máximo da tensão em certa seção, sendo a distribuição real de tensões um dado de menor 
importância, pois o dimensionamento é conduzido buscando-se evitar que o valor máximo 
de tensão ultrapasse os valores admissíveis para o material. Por isso, define-se a relação 
méd
máxK
σ
σ
= entre a tensão máxima e a tensão média calculada na seção crítica (mais 
estreita) de descontinuidade. Essa relação é chamada de coeficiente de concentração de 
tensões para a descontinuidade em estudo. Os coeficientes de concentração de tensões 
podem ser determinados uma única vez, e expressos em termos de relações entre os 
 80
parâmetros geométricos envolvidos. Os resultados obtidos são colocados em forma de 
tabelas ou gráficos como o da figura abaixo. Assim, para determinação da tensão máxima 
atuante nas proximidades de um ponto de descontinuidade, o projetista determina a tensão 
média σméd = P/A na seção crítica, e multiplica o resultado obtido pelo coeficiente de 
concentração de tensões K apropriado. Este procedimento é válido para valores de tensão 
σmáx que não ultrapassem o limite de proporcionalidade do material, pois os valores de K 
marcados na Figura abaixo foram obtidos adotando-se uma relação linear entre as tensões 
e deformações específicas. 
 
 
 
Coeficientes de concentração de tensões para barras chatas sob carga axial. A tensão 
média deve ser calculada para a seção menor: σméd = P/td, onde t é a espessura da chapa. 
 
 
Exemplo: Uma barra chata de aço é constituída de duas partes de 10 mm de espessura, 
uma com 40 mm e outra com 60 mm de largura, ligadas por uma região de transição com 
frisos de 8 mm de raio (r). Determinar a máxima carga axial P que pode ser suportada com 
segurança pela barra, sendo a tensão admissível do material que a compõe σadm = 165 
MPa. 
 81
Inicialmente calculamos as reações: 
 
Do gráficoacima, usando a curva correspondente a w/h = 1,50, encontramos o valor do 
coeficiente de concentração de tensões para r/h = 0,20: K = 1,72 
Então se 
méd
máxK
σ
σ
= , então 72,1
máx
méd
σσ = , porém σmáx não pode exceder a tensão 
admissível σadm = 165 MPa. Adotando este valor para σmáx encontramos que a tensão 
média na parte mais estreita (d = 40 mm) na barra não pode exceder o valor 
MPa
MPa
méd 9672,1
165 ==σ . Lembrando que σméd=P/A, temos 
P = A. σméd = (40 mm).(10 mm).(96Mpa) = 38,4 kN 
 
3.5) Deformações Plásticas 
 
 Os resultados a que chegamos até aqui foram baseados na suposição de uma 
relação linear entre tensões e deformações específicas. Dizendo de outro modo, 
assumimos que o limite de proporcionalidade do material não foi atingido em nenhum dos 
casos vistos. Para os fins práticos o limite de proporcionalidade coincide com o limite de 
elasticidade e com a tensão de escoamento do material, de modo que também assumimos 
que o material se comportou como elástico, voltando à forma inicial uma vez retirado o 
carregamento. Se, por qualquer razão, a tensão de escoamento do material é excedida em 
qualquer ponto da peça em estudo, ocorrem deformações plásticas, e a maior parte dos 
resultados obtidos anteriormente deixam de ter validade. Se isso ocorrer, devemos levar a 
efeito uma análise mais minuciosa do problema, baseada em relações não lineares entre 
tensões e deformações. 
 Uma análise que leve em conta as relações reais envolvendo tensões e 
deformações está fora do escopo deste curso, mas podemos adentrar um pouco no estudo 
do comportamento plástico dos materiais, considerando um material elasto-plástico ideal, 
 82
para o qual o diagrama tensão-deformação consiste de dois segmentos de reta como 
mostra a figura abaixo. 
 O diagrama tensão-deformação para o aço doce, na região de elasticidade e na 
zona plástica, é parecido com esta idealização. Enquanto a tensão σ não excede a tensão 
de escoamento σy, o material se comporta como elástico e obedece à Lei de Hooke, σ = 
E.ε. Quando σ atinge o valor de σy, o material começa a escoar, e se deforma 
plasticamente sob carregamento constante. 
 
 
 
 
 Se o carregamento é removido, a linha de descarregamento no diagrama é a reta 
CD, paralela à porção inicial AY da curva de carregamento. O segmento AD do eixo 
horizontal leva à deformação plástica permanente, que se obtém a partir do carregamento 
e descarregamento do material. Apesar de que nenhum material se comporta exatamente 
como mostrado na figura acima, esse diagrama tensão-deformação será útil na análise de 
deformações plásticas dos materiais dúcteis, como o aço doce. 
 
Exemplo 1: Uma barra de comprimento L = 500 mm e área da seção transversal A = 60 
mm2 é feita de material elasto-plástico, com módulo de elasticidade E = 200 GPa na zona 
elástica e tensão de escoamento σy = 300 MPa. A barra está submetida à carga axial até 
 83
que seu alongamento atinja o valor de 7 mm, quando o carregamento é removido. Qual é a 
deformação permanente resultante ? 
 
De acordo com o gráfico acima, vemos que a máxima deformação específica, representada 
pela abscissa do ponto C, é: 
31014
500
7 −=== x
mm
mm
L
C
C
δε 
Por outro lado, a deformação específica no escoamento representada pela abscissa do 
ponto Y, é: 
3
9
6
105,1
10200
10300 −=== x
Pax
Pax
E
Y
Y
σε 
A deformação específica após o descarregamento é representada pela abscissa εD do 
ponto D. Vemos, pelo gráfico, que 
 εD = AD = YC = εC - εY = 14 x 10-3 – 1,5 x 10-3 = 12,5 x 10-3 
A deformação permanente é δD, correspondente à deformação específica εD. Temos, 
então, δD = εD.L = (12,5 x 10-3).(500 mm) = 6,25 mm 
 
Exemplo 2: Uma barra circular de 800 mm de comprimento e área da seção transversal Ab 
= 45 mm2 é colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento e área de seção 
transversal At = 60 mm
2. As extremidades do tubo e da barra são presas a um apoio fixo e 
a uma placa rígida como mostra a seção longitudinal da figura abaixo. A barra e o tubo são 
de material elasto-plástico, com módulos de elasticidade Eb = 200 GPa e Et = 100 GPa, e 
tensões de escoamento (σb)y = 200 MPa e (σt)y = 250 MPa. Desenhar o diagrama força-
deformação do conjunto barra-tubo, quando uma força P é aplicada à placa. 
 84
 
 
Inicialmente determinamos o esforço interno e o alongamento da barra quando começa o 
escoamento: (Pb)y = (σb)y.Ar = (200 MPa)(45 mm2) = 9 kN 
( ) ( ) ( ) mmmm
GPa
MPa
L
E
L
b
yb
ybyb 8,0)800.(200
200
.. ====
σ
εδ 
Como o material é elasto-plástico, o diagrama força-deformação da barra consiste em uma 
reta inclinada e uma reta horizontal, como mostra a figura abaixo. 
 
 
Adotando a mesma seqüência para o tubo, temos: 
 (Pt)y = (σt)y.At = (250 MPa)(60 mm2) = 15 kN 
( ) ( ) ( ) mmmm
GPa
MPa
L
E
L
t
yt
ytyt 2)800.(100
250
.. ====
σ
εδ 
O diagrama carga-deslocamento apenas do tubo é mostrado no gráfico a seguir. 
 85
 
O carregamento e o alongamento do conjunto barra-tubo são, respectivamente, 
P = Pb + Pt δ = δb + δt 
 
Desenhamos, então, o diagrama força-deslocamento desejado, somando as ordenadas 
dos diagramas obtidos para a barra e para o tubo separadamente: 
 
 Os pontos Yb e Yt correspondem ao início do escoamento na barra e no tubo, 
respectivamente. Quando se somam as deformações (0,8 + 0,8 = 1,6), o carregamento 
resultante é a soma (9 + 12 = 21). 
 86
 A discussão sobre concentrações de tensões no item 1.10 foi conduzida assumindo-
se para o material uma relação tensão-deformação linear. As distribuições de tensões 
mostradas na figura da página 40 bem como os coeficientes de concentração de tensões 
mostrados na página 41 não podem ser usados quando ocorrem deformações plásticas, 
isto é, quando o valor de σmáx obtido ultrapassa a tensão de escoamento σy. 
 
3.6) Sistemas Estaticamente Indeterminados 
 
São aqueles em que o número de equações disponíveis é menor que o número de 
incógnitas. Para a solução de tais problemas empregaremos além das equações da 
estática as obtidas na teoria da Resistência dos Materiais. 
 
O exemplo a seguir irá esclarecer: 
O elemento estrutural cilíndrico é constituído por um núcleo de alumínio com módulo 
de elasticidade igual a Eal e seção transversal igual a Aal, e um tubo externo de aço, com 
módulo de elasticidade igual a Eaço e seção transversal igual a Aaço. Este elemento 
estrutural suporta uma carga P de compressão, ver Figura abaixo. Quais as parcelas da 
carga P que serão absorvidas pelo aço e pelo alumínio, respectivamente. 
 
 
Elemento estrutural constituído de Aço e Alumínio. 
 
 
 
 87
Solução: 
 
Da estática, temos : P = Paço + Pal (1) 
 
Da resistência dos materiais, temos: ∆L = ∆Laço = ∆Lal (2) 
 
De (2), temos: 
açoaço
alal
açoal
alal
al
açoaço
aço
AE
AE
PP
AE
LP
AE
LP
=→= , substituindo em (1), vem: 
 








+
=








+
=
alalaçoaço
alal
al
alalaçoaço
açoaço
aço
AEAE
AE
PP
AEAE
AE
PP
 
 
 
3.2 ESFORÇOS NORMAIS - Sistemas Estaticamente Indeterminados (Hiperestáticos) 
 
Nesta seção, daremos ênfase somente a exemplos simples, com cargas axiais, cujo 
objetivo é a utilização de uma equação de coerência de deformações, juntamente com as 
equações de equilíbrio da Estática, para resolver sistemas com apenas 1 grau de 
indeterminação. Assim, o aluno adquire embasamento para, mais tarde, resolver sistemas 
com maior grau de indeterminação por métodos apropriados. 
 
Exemplo 1) Calcular as reações de apoio da peça abaixo, de peso próprio 
desprezível, sujeita à carga axial P na seção B. 
 
 88
 
 
 
 
 
Da Estática tiramos: Σ FH = 0 ∴ RA + RC + P = 0 (1) 
Deformação total: ∆AB + ∆BC = 0 (equação de compatibilidade) 
0
.
.
.
.
2211
=+
−
AE
bR
AE
aR CA ∴ 
a
b
AE
AE
R
R
C
A .
.
.
22
11= (2) 
 
Resolvendo o sistema