CIRCUITOS ELÉTRICOS I - TEOREMAS ADICIONAIS SOBRE CIRCUITOS E ELEMENTOS ARMAZENADORES DE ENERGIA

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CIRCUITOS ELÉTRICOS ICIRCUITOS ELÉTRICOS I
TEOREMAS ADICIONAISTEOREMAS ADICIONAIS
SOBRE CIRCUITOS ESOBRE CIRCUITOS E
ELEMENTOSELEMENTOS
ARMAZENADORES DEARMAZENADORES DE
ENERGIAENERGIA
Autor: Esp. Afonso Genta Palandri
R e v i s o r : L i s a n d r o M a r t i n s d a S i l v a
I N I C I A R
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introduçãoIntrodução
Com o crescimento das áreas de aplicações de circuitos elétricos, houve uma
evolução na complexidade deles. Com isso, vários pro�ssionais desenvolveram
novos teoremas para facilitar a análise, tornando-a mais simples. Alguns desses
teoremas são Thévenin e Norton, os quais podem ser aplicados em análises de malha
e nó.
Sendo todos esses teoremas aplicados a circuitos lineares, discutiremos os conceitos
de linearidade, assim como a de�nição dos teoremas de superposição,
transformação de fonte e máxima transferência de ponteia. Após isso, serão
apresentados dois novos elementos de circuitos, indutores e capacitores, elementos
que levarão nossas análises a um nível mais avançado.
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A �m de aprofundarmos nossas análises de circuitos, devemos compreender
algumas propriedades dos circuitos, sendo assim, veremos sobre a linearidade e a
superposição, em seguida, será possível fazer a transformação de fontes de tensão e
corrente.
Linearidade e Superposição
Segundo Sadiku (2014, p. 182), linearidade pode ser de�nida como uma relação
constante de causa e efeito. Dessa maneira, a alteração de um valor de uma
quantidade é diretamente proporcional à de outra quantidade. Sendo assim, um
circuito linear é aquele que contém somente elementos lineares.
Logo, um circuito linear é constituído apenas por elementos e fontes linear es.
Resistores, capacitores e indutores são elementos lineares, já diodos, transistores,
ampli�cadores operacionais (AMP-OP) são elementos não lineares. Dessa maneira,
observe o circuito da Figura 2.1 e note que ele não possui fontes independentes. Ele
tem uma entrada conectada a uma carga R, considerando a saída como a
TeoremasTeoremas
Adicionais sobreAdicionais sobre
CircuitosCircuitos
Vs
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corrente que �ui na carga. De acordo com o princípio da linearidade, sempre que
ocorrer uma mudança no valor da entrada (tensão ), ocorrerá uma mudança
proporcional na saída (corrente ).
Entendendo a propriedade da linearidade, temos a ideia da superposição. Para
Burian e Lyra (2006, p. 48), dentro de circuitos formados por fontes independentes,
tendo elementos lineares, como resistores, e eventualmente fontes vinculadas,
existe a propriedade da superposição. Uma saída correspondente a várias entradas é
a soma das saídas correspondentes a cada entrada, de maneira isolada, anuladas
todas as demais.
Sendo assim, consideramos uma fonte independente por vez, e consideramos todas
as outras fontes independentes de tensão como curto circuito e as fontes
independentes de corrente, como circuitos abertos. (SADIKU; MUSA; ALEXANDER,
2014, p. 185).
Dessa forma, temos o seguinte procedimento para aplicar essa propriedade.
1. Desligue todas as fontes independentes, exceto uma. Encontra a saída
devido à fonte ativa.
Vs
Is
Figura 2.1 - Um circuito linear
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 183).
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2. Repita o passo 1 para cada uma das outras fontes independentes.
3. Encontre a contribuição total, adicionando algebricamente as
contribuições de cada fonte independente.
Transformação de Fonte
Para Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 187), a transformação de fonte é de�nida
como um processo de substituição de uma conta de tensão em série com um
resistor R por uma fonte de corrente Is em paralelo com um resistor R ou vice-versa.
Dessa maneira, a relação entre Vs e Is deve garantir que as duas condições sejam
equivalentes no que diz respeito aos nós a e b. Caso a polaridade de Vs seja
invertida, a orientação de Is deve ser invertida da mesma maneira, para que a relação
mantenha a equivalência (NILSSON; RIEDEL, 2009, p. 81).
“A transformação de fonte também se aplica a fontes dependentes, desde que as
variáveis dependentes sejam manipuladas” (SADIKU; MUSA; ALEXANDER, 2014, p.
188).
Vs
Figura 2.2 - Transformação de fontes independentes
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 188).
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Figura 2.3 - Transformação de fontes dependentes
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 188).
saibamaisSaiba mais
O IEEE – Institute of Electrical and Electronic
Engineers é uma sociedade técnico-pro�ssional
internacional dedicada ao avanço da teoria e da
prática da engenharia nos campos da
eletricidade, eletrônica e computação.
Para saber mais, acesse o link a seguir.
Fonte: IEEE (2020).
ACESSAR
http://www.ieee.org.br/
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A transformação de fontes é uma ferramenta poderosa que pode auxiliar de maneira
signi�cativa na resolução da análise de circuitos complexos.
praticarVamos Praticar
Analise a �gura a seguir.
As concessionárias de energia elétrica, normalmente, fazem a cobrança a consumidores
residenciais pela quantidade de energia consumida, medida em quilowatt-hora (kWh),
porém, mesmo que não haja consumo em um dado mês, é cobrada uma taxa mínima de
consumo. Dado o circuito da �gura apresentada, assinale a alternativa que apresenta o
valor de V0 antes e depois da transformação da fonte de corrente em fonte de tensão.
Fonte: Sadiku (2014, p. 189).
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a) = 30 V, após a transformação,  = 35 V.
b)  = 30 V, após a transformação,  = 30 V.
c)  = 40V, após a transformação,  = 40V.
d)  = 32,5 V, após a transformação, = 30 V.
e)  = 6 V, após a transformação, = 6 V.
V0 V0
V0 V0
V0 V0
V0 V0
V0 V0
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Vários pro�ssionais têm buscado desenvolver formas de simpli�car as análises de
circuitos complexos. Nessas buscas foram desenvolvidos os teoremas de Thévenin e
Norton. Esses teoremas nos levam a encontrar a máxima potência que um circuito
pode levar a carga, informação extremamente importante para várias situações
práticas.
Teorema de Thévenin e Norton
Teoremas de Thévenin e Norton são técnicas de simpli�cação de circuitos que dão
foco ao comportamento de terminais, por isso, são extremamente importantes
(NILSSON; RIEDEL, 2009, p. 84).
Burian e Lyra (2006, p. 50) de�nem esses teoremas como sendo um circuito formado
por fontes independentes, resistores lineares e eventualmente fontes vinculadas,
Transferência deTransferência de
Potência ePotência e
E�ciênciaE�ciência
EnergéticaEnergética
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ligado por apenas dois nós a um circuito (que será chamado de carga), pode ser
substituído por um circuito equivalente de Thévenin, sendo este uma fonte ideal de
tensão em série com um resistor linear ou um circuito equivalente de Norton,
constituído por uma fonte ideal de corrente em paralelo com um resistor linear.
Para esses circuitos, a fonte de tensão deve ter a tensão em aberto do circuito
original e a fonte de corrente deve ter corrente igual à corrente em curto-circuitodo
circuito original. A resistência do resistor é chamada de resistência de Thévenin, nos
dois casos, é equivalente à resistência do circuito original com todas as fontes
independentes anuladas. Sendo ela obtida como a relação entre a corrente em
curto-circuito e a relação de tensão aberta, ambos do circuito original (BURIAN;
LYRA, 2006, p. 50).
Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 191) estabelece quatros passos para a aplicação
do teorema de Thévenin:
1. Faça a remoção temporária da porção do circuito que não será substituída
pelo equivalente de Thévenin. Marque os terminais da porção restante.
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2. Determine a resistência de Thévenin como o elemento resistivo visto
pela perspectiva dos terminais com todas as fontes anuladas (sendo que as
fontes de tensão são substituídas por curtos-circuitos e as fontes de
corrente substituídas por circuitos abertos).
3. Determine a tensão de Thévenin como a tensão de circuito aberto
entre os terminais do circuito.
4. Construa o circuito equivalente de Thévenin conectando   e   em
série. Observando a polaridade adequada para a tensão. Recoloque a
porção do circuito que foi removida no passo 1.
Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 196) também estabelece quatro passos para a
aplicação do teorema de Norton:
1. Remova temporariamente a porção do circuito que não será substituída
pelo equivalente de Norton. Marque os terminais a-b da porção restante.
2. Determine a resistência de Norton , como a resistência vista através
dos terminais a-b do circuito, com todas as fontes anuladas (sendo as
fontes de tensão substituídas por curtos-circuitos e as fontes de corrente
substituídas por circuitos abertos).
Rth
Vth
Vth Rth
Figura 2.5 - Substituindo um circuito linear de dois terminais pelo seu equivalente de
Norton: (a) circuito original; (b) circuito equivalente de Norton
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 196).
Rn
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3. Determine a tensão de Norton In como a corrente de curto-circuito
através dos terminais a-b.
4. Construa o circuito equivalente de Norton conectando ,   e   em
paralelo. Observando a polaridade adequada para a fonte de corrente de
Norton, recoloque a porção do circuito que foi removida no passo 1.
Máxima Transferência de Potência
Em muitas situações práticas, um circuito é projetado para fornecer potência a uma
carga. Minimizar as perdas de potência no processo de transmissão e distribuição
em um circuito é um ponto crítico para a e�ciência e por razões econômicas.
O equivalente de Thévenin é útil para encontrar a máxima potência que um circuito
linear pode entregar a carga. Observando a Figura 2.6, faremos algumas
considerações. Assumindo que a resistência RL pode ser ajustada. Todo circuito
pode ser substituído pelo seu equivalente de Thévenin, exceto a carga, sendo assim,
a potência entregue é:
In Rn
Figura 2.6 - Circuito para demonstrar a máxima transferência de potência
Fonte: Sadiku (2014, p. 196).
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Para um determinado circuito, Vth e Rth são �xos, variando-se a carga RL, a potência
entregue à carga varia conforme o grá�co da Figura 2.6, neles podemos observar
que a máxima transferência de potência ocorre quando:
 
Dessa maneira, fazendo a análise matemática, a potência máxima do circuito é dada
pela seguinte equação:
 
Sendo esta aplicada somente quando . Para qualquer outra situação,
calculamos a potência entregue à carga utilizando a Equação 2.1
praticarVamos Praticar
Circuitos elétricos cuja associação é feita em série e paralelo possuem diversas aplicações
em itens utilizados no nosso cotidiano. Eles estão presentes em muitos dispositivos
eletrônicos, como rádios, televisões, computadores e diversos sensores. Analise a �gura a
seguir.
P = R = ( ) (2.1)I 2  Vth
+Rth RL
=   (2.2)RL Rth
= (2.3)PMAX
Vth
2
4Rth
=  RL Rth
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Dado o circuito da �gura apresentada, assinale a alternativa que apresenta o equivalente
de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais a-b.
a)  = 4V e  = 40Ω.
b) = 10V e = 26 Ω.
c)  = 4V e  = 4 Ω.
d)  = 10V e  = 40 Ω
e)  = 40V e  = 4 Ω.
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 193).
Vth Rth
Vth Rth
Vth Rth
Vth Rth
Vth Rth
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Até o momento, trabalhamos com elementos que dissipam energia (resistores).
Vamos introduzir agora elementos armazenadores de energia, indutores e
capacitores.
Indutores
Nilsson e Riedel (2009, p. 131) de�nem os indutores como componentes elétricos
que se opõem a qualquer alteração na corrente elétrica. Sendo o comportamento
desse elemento baseado em fenômenos associados a campos magnéticos. A fonte
dos campos magnéticos são as correntes elétricas, assim, se uma corrente varia com
o tempo, o campo magnético irá responder dessa maneira também.
DispositivosDispositivos
Armazenadores deArmazenadores de
EnergiaEnergia
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Para Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 262), “um indutor consiste em uma bobina
de condutor de �o em volta de algum núcleo que pode ser o ar ou algum material
magnético”.
A indutância é o parâmetro de circuito para descrever um indutor. Simbolizada pela
letra L, é medida em henrys (H), e representada conforme a Figura 2.8. A tensão
sobre um indutor é dada pela seguinte equação:
 
Figura 2.8 - Símbolo para um indutor ideal
Fonte: Sadiku (2014, p. 262).
v = L (3.1)
di
dt
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Onde v é medido em volts, L em henrys, i em amperes e t em segundos.
Analisando a Equação 3.1, podemos fazer duas observações importantes. Caso não
haja variação de corrente em função do tempo, a tensão no mesmo é igual a zero. O
indutor tem como característica o comportamento de um curto-circuito quando este
está na presença de uma corrente constante, ou contínua. A segunda é que a
corrente no elemento não pode variar instantaneamente, pois, para que uma
variação como essa aconteça, seria necessário tensão in�nita, sendo esta impossível
de existir em termos práticos.
Fazendo a análise matemática para expressarmos a corrente em função da tensão
no indutor, chegamos à seguinte equação:
 
Onde i(t) é a corrente correspondente em função do tempo.
Capacitores
Nilsson e Riedel (2009, p. 131) de�nem capacitor como um componente elétrico que
consiste em dois condutores separados por um material isolante ou dielétrico.
Sendo ele o único dispositivo, exceto baterias, que armazenam carga elétrica. Seu
comportamento é baseado em funções do campo elétrico, sendo este a separação de
cargas (tensão), caso esta varie com o tempo, o campo responderá da mesma
maneira.
i (t) = v (τ)  dτ   + i (t0) (3.2)
1
L
∫
t0
t
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O parâmetro desse elemento é a capacitância, representada pela letra C, medido em
farads (F), seu símbolo é representado pela Figura 2.10.
Nos terminais do componente, a corrente é proporcional à taxa de variação
temporal da tensão no mesmo, ou seja:
 
Onde i é medido em amperes, C, em farads, v, em volts e t, em segundos.
Figura 2.9 - Vários tipos de capacitores
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 232).
i (t) = C (3.3)
dv
dt
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Analisando a Equação 3.3, podemos fazer duas observações importantes. A tensão
não pode variar instantaneamente nos terminais do componente, visto que caso
esta ocorresse, ocasionaria uma corrente in�nita, o que não é possível �sicamente. A
segunda é que, se a tensão for constante, a corrente é equivalente a zero, sendo
assim, o mesmo se comporta como um circuito aberto nessa situação.
Figura 2.10 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku (2014, p. 231).
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A tensão de um capacitor em função do tempo é dada por:
Onde v(t) é a tensão em função do tempo.
Combinação de Indutância e
Capacitância em Série e Paralelo
Exatamente como combinações de resistores em série e em paralelo podem ser
reproduzidas por um único elemento equivalente, a combinação de capacitores e
indutores poder ser reproduzida por um único capacitor e indutor equivalente.
reflitaRe�ita
Se um capacitor é um dispositivo que
armazena energia, o que o diferencia de
uma pilha alcalina?
v (t) = i (τ)  dτ + v ( ) (3.4)
1
C
∫
t0
t
t0
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Ao observarmos a Figura 2.11, podemos perceber que os indutores são forçados a
conduzir a mesma corrente. Fazendo a soma das quedas de tensão em cada
elemento, �ca claro que a indutância equivalente de indutores ligados em série é a
soma das indutâncias individuais:
Indutores em paralelo, conforme a Figura 2.10, tem a mesma tensão terminal. Com
isso, para realizarmos a soma das correntes que passam por cada indutor e
interpretando a equação resultando, temos que:
 
=   +   +   +  . . .   +   (3.5)Leq L1 L2 L3 Ln 
= + +. . . + (3.6)
1
Leq
1
L1
1
L2
1
LN
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Já capacitores em série podem ser reduzidos a um único capacitor equivalente, visto
que a mesma corrente percorrerá todos os capacitores, conforme a Figura 2.12.
Fazendo a análise matemática da soma das quedas de tensão em cada elemento e
interpretando o circuito, temos a seguinte equação para a capacitância equivalente:
 
Figura 2.12 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku (2014, p. 268).
= + +. . . + (3.7)
1
Ceq
1
C1
1
C2
1
CN
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Capacitores em paralelo podem também ser reduzidos a um único capacitor
equivalente, visto que a mesma corrente se dividirá em todos os capacitores, e a
tensão terminal será a mesma em todos, conforme a Figura 2.13. Fazendo a análise
matemática da divisão de corrente em cada elemento e interpretando o circuito,
temos a seguinte equação para a capacitância equivalente:
Figura 2.13 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 234).
=   +   +   +  . . .   +   (3.8)Ceq C1 C2 C3 Cn 
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O uso das propriedades de associação de capacitores será de grande ajuda para a
análise de sistemas mais complexos, haja vista as expressões de tensão e corrente.
praticarVamos Praticar
Analise a �gura a seguir:
Figura 2.14 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 233).
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A maioria dos dispositivos eletrônicos que utilizamos no dia a dia, como celulares,
computadores, tablets, contém circuitos integrados. Estes são compostos por um elemento
em comum, os transistores. Esses circuitos têm a aplicação nas mais diversas áreas da
eletrônica.
Dado o circuito da �gura apresentada, assinale a alternativa que apresenta a indutância
equivalente do circuito.
a)  = 18H.
b) = 20H.
c)  = 48H.
d) = 22,5H.
e)  = 8H.
Fonte: Sadiku (2014, p. 268).
Leq
Leq
Leq
Leq
Leq
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indicações
Material
Complementar
F I L M E
A vida por um �io
Ano: 2016
Comentário: O �lme relata um pouco de como é a vida dos
pro�ssionais que trabalham com manutenção de redes de
alta-tensão. Dada uma tempestade durante uma
manutenção, surge um desa�o para que eles sobrevivam.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a seguir.
T R A I L E R
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L IVRO
Circuitos Elétricos
Autor: Yaro Burian Jr.
Editora: Pearson Prentice Hall
Comentário: O livro aborda a análise de circuitos elétricos
de uma maneira que o estudante consegue fazer análises de
maneira rápida para todos os tipos de circuitos.
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade conseguimos conhecer novos teoremas para análise de circuito,
partindo da propriedade da linearidade e superposição, após isso, entendemos como
realizar a transformação de fontes de tensão e correntes, e vice-versa. Em seguida,
vimos dois teoremas extremamente importantes para as análises de circuitos,
Thévenin e Norton, com os quais podemos redesenhar circuitos, deixando-os com
somente dois elementos e que nos permitem identi�car as condições às quais estes
podem fazer a máxima transferência de potência. Fomos apresentados a dois novos
elementos, indutores e capacitores, vendo o comportamento da tensão e corrente
em cada um deles e como fazer a associação destes.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BURIAN JR, Y.; LYRA, A. C. C. Circuitos elétricos. São Paulo: Prentice-Hall, 2006.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
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SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, C. K. Análise de circuitos elétricos
com aplicações. 5. ed. São Paulo: Editora AMGH, 2014.
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