2 - Circuitos Elétricos I - Teoremas Adicionais Sobre Circuitos

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CIRCUITOS ELÉTRICOS ICIRCUITOS ELÉTRICOS I
TEOREMAS ADICIONAISTEOREMAS ADICIONAIS
SOBRE CIRCUITOS ESOBRE CIRCUITOS E
ELEMENTOSELEMENTOS
ARMAZENADORES DEARMAZENADORES DE
ENERGIAENERGIA
Autor: Esp. Afonso Genta Palandri
Revisor : L isandro Mart ins da S i lva
IN IC IAR
introdução
Introdução
Com o crescimento das áreas de aplicações de circuitos elétricos, houve uma
evolução na complexidade deles. Com isso, vários pro�ssionais
desenvolveram novos teoremas para facilitar a análise, tornando-a mais
simples. Alguns desses teoremas são Thévenin e Norton, os quais podem ser
aplicados em análises de malha e nó.
Sendo todos esses teoremas aplicados a circuitos lineares, discutiremos os
conceitos de linearidade, assim como a de�nição dos teoremas de
superposição, transformação de fonte e máxima transferência de ponteia.
Após isso, serão apresentados dois novos elementos de circuitos, indutores e
capacitores, elementos que levarão nossas análises a um nível mais avançado.
A �m de aprofundarmos nossas análises de circuitos, devemos compreender
algumas propriedades dos circuitos, sendo assim, veremos sobre a
linearidade e a superposição, em seguida, será possível fazer a transformação
de fontes de tensão e corrente.
Linearidade e Superposição
Segundo Sadiku (2014, p. 182), linearidade pode ser de�nida como uma
relação constante de causa e efeito. Dessa maneira, a alteração de um valor
de uma quantidade é diretamente proporcional à de outra quantidade. Sendo
assim, um circuito linear é aquele que contém somente elementos lineares.
Logo, um circuito linear é constituído apenas por elementos e fontes linear es.
Resistores, capacitores e indutores são elementos lineares, já diodos,
transistores, ampli�cadores operacionais (AMP-OP) são elementos não
lineares. Dessa maneira, observe o circuito da Figura 2.1 e note que ele não
possui fontes independentes. Ele tem uma entrada conectada a uma carga
TeoremasTeoremas
Adicionais sobreAdicionais sobre
CircuitosCircuitos
Vs
R, considerando a saída como a corrente que �ui na carga. De acordo com o
princípio da linearidade, sempre que ocorrer uma mudança no valor da
entrada (tensão ), ocorrerá uma mudança proporcional na saída (corrente
).
Entendendo a propriedade da linearidade, temos a ideia da superposição.
Para Burian e Lyra (2006, p. 48), dentro de circuitos formados por fontes
independentes, tendo elementos lineares, como resistores, e eventualmente
fontes vinculadas, existe a propriedade da superposição. Uma saída
correspondente a várias entradas é a soma das saídas correspondentes a
cada entrada, de maneira isolada, anuladas todas as demais.
Sendo assim, consideramos uma fonte independente por vez, e consideramos
todas as outras fontes independentes de tensão como curto circuito e as
fontes independentes de corrente, como circuitos abertos. (SADIKU; MUSA;
ALEXANDER, 2014, p. 185).
Dessa forma, temos o seguinte procedimento para aplicar essa propriedade.
Vs
Is
Figura 2.1 - Um circuito linear
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 183).
1. Desligue todas as fontes independentes, exceto uma. Encontra a
saída devido à fonte ativa.
2. Repita o passo 1 para cada uma das outras fontes independentes.
3. Encontre a contribuição total, adicionando algebricamente as
contribuições de cada fonte independente.
Transformação de Fonte
Para Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 187), a transformação de fonte é
de�nida como um processo de substituição de uma conta de tensão em
série com um resistor R por uma fonte de corrente Is em paralelo com um
resistor R ou vice-versa. Dessa maneira, a relação entre Vs e Is deve garantir
que as duas condições sejam equivalentes no que diz respeito aos nós a e b.
Caso a polaridade de Vs seja invertida, a orientação de Is deve ser invertida da
mesma maneira, para que a relação mantenha a equivalência (NILSSON;
RIEDEL, 2009, p. 81).
“A transformação de fonte também se aplica a fontes dependentes, desde
que as variáveis dependentes sejam manipuladas” (SADIKU; MUSA;
ALEXANDER, 2014, p. 188).
Vs
Figura 2.2 - Transformação de fontes independentes
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 188).
Figura 2.3 - Transformação de fontes dependentes
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 188).
A transformação de fontes é uma ferramenta poderosa que pode auxiliar de
maneira signi�cativa na resolução da análise de circuitos complexos.
praticar
Vamos Praticar
Analise a �gura a seguir.
saibamais
Saiba mais
O IEEE – Institute of Electrical and Electronic
Engineers é uma sociedade técnico-
pro�ssional internacional dedicada ao
avanço da teoria e da prática da engenharia
nos campos da eletricidade, eletrônica e
computação.
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Fonte: IEEE (2020).
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As concessionárias de energia elétrica, normalmente, fazem a cobrança a
consumidores residenciais pela quantidade de energia consumida, medida em
quilowatt-hora (kWh), porém, mesmo que não haja consumo em um dado mês, é
cobrada uma taxa mínima de consumo. Dado o circuito da �gura apresentada,
assinale a alternativa que apresenta o valor de V0 antes e depois da transformação
da fonte de corrente em fonte de tensão.
a) = 30 V, após a transformação,  = 35 V.
b)  = 30 V, após a transformação,  = 30 V.
c)  = 40V, após a transformação,  = 40V.
d)  = 32,5 V, após a transformação, = 30 V.
e)  = 6 V, após a transformação, = 6 V.
Fonte: Sadiku (2014, p. 189).
V0 V0
V0 V0
V0 V0
V0 V0
V0 V0
Vários pro�ssionais têm buscado desenvolver formas de simpli�car as
análises de circuitos complexos. Nessas buscas foram desenvolvidos os
teoremas de Thévenin e Norton. Esses teoremas nos levam a encontrar a
máxima potência que um circuito pode levar a carga, informação
extremamente importante para várias situações práticas.
Teorema de Thévenin e Norton
Teoremas de Thévenin e Norton são técnicas de simpli�cação de circuitos que
dão foco ao comportamento de terminais, por isso, são extremamente
importantes (NILSSON; RIEDEL, 2009, p. 84).
Burian e Lyra (2006, p. 50) de�nem esses teoremas como sendo um circuito
formado por fontes independentes, resistores lineares e eventualmente
Transferência deTransferência de
Potência ePotência e
E�ciênciaE�ciência
EnergéticaEnergética
fontes vinculadas, ligado por apenas dois nós a um circuito (que será
chamado de carga), pode ser substituído por um circuito equivalente de
Thévenin, sendo este uma fonte ideal de tensão em série com um resistor
linear ou um circuito equivalente de Norton, constituído por uma fonte ideal
de corrente em paralelo com um resistor linear.
Para esses circuitos, a fonte de tensão deve ter a tensão em aberto do circuito
original e a fonte de corrente deve ter corrente igual à corrente em curto-
circuito do circuito original. A resistência do resistor é chamada de resistência
de Thévenin, nos dois casos, é equivalente à resistência do circuito original
com todas as fontes independentes anuladas. Sendo ela obtida como a
relação entre a corrente em curto-circuito e a relação de tensão aberta,
ambos do circuito original (BURIAN; LYRA, 2006, p. 50).
Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 191) estabelece quatros passos para a
aplicação do teorema de Thévenin:
Figura 2.4 - Substituindo um circuito linear de dois terminais pelo seu
equivalente de Thévenin: (a) circuito original; (b) circuito equivalente de
Thévenin
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 191).
1. Faça a remoção temporária da porção do circuito que não será
substituída pelo equivalente de Thévenin. Marque os terminais da
porção restante.
2. Determine a resistência de Thévenin como o elemento resistivo
visto pela perspectiva dos terminais com todas as fontes anuladas
(sendo que as fontes de tensão são substituídas por curtos-circuitos
e as fontes de corrente substituídas por circuitos abertos).
3. Determine a tensão de Thévenin como a tensão de circuito
aberto entre os terminais do circuito.4. Construa o circuito equivalente de Thévenin conectando  e 
  em série. Observando a polaridade adequada para a tensão.
Recoloque a porção do circuito que foi removida no passo 1.
Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 196) também estabelece quatro passos
para a aplicação do teorema de Norton:
Rth
Vth
Vth Rth
Figura 2.5 - Substituindo um circuito linear de dois terminais pelo seu
equivalente de Norton: (a) circuito original; (b) circuito equivalente de Norton
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 196).
1. Remova temporariamente a porção do circuito que não será
substituída pelo equivalente de Norton. Marque os terminais a-b da
porção restante.
2. Determine a resistência de Norton , como a resistência vista
através dos terminais a-b do circuito, com todas as fontes anuladas
(sendo as fontes de tensão substituídas por curtos-circuitos e as
fontes de corrente substituídas por circuitos abertos).
3. Determine a tensão de Norton In como a corrente de curto-circuito
através dos terminais a-b.
4. Construa o circuito equivalente de Norton conectando ,  e  em
paralelo. Observando a polaridade adequada para a fonte de
corrente de Norton, recoloque a porção do circuito que foi removida
no passo 1.
Máxima Transferência de Potência
Em muitas situações práticas, um circuito é projetado para fornecer potência
a uma carga. Minimizar as perdas de potência no processo de transmissão e
distribuição em um circuito é um ponto crítico para a e�ciência e por razões
econômicas.
Rn
In Rn
O equivalente de Thévenin é útil para encontrar a máxima potência que um
circuito linear pode entregar a carga. Observando a Figura 2.6, faremos
algumas considerações. Assumindo que a resistência RL pode ser ajustada.
Todo circuito pode ser substituído pelo seu equivalente de Thévenin, exceto a
carga, sendo assim, a potência entregue é:
Para um determinado circuito, Vth e Rth são �xos, variando-se a carga RL, a
potência entregue à carga varia conforme o grá�co da Figura 2.6, neles
podemos observar que a máxima transferência de potência ocorre quando:
Dessa maneira, fazendo a análise matemática, a potência máxima do circuito
é dada pela seguinte equação:
Figura 2.6 - Circuito para demonstrar a máxima transferência de potência
Fonte: Sadiku (2014, p. 196).
P = R = ( ) (2.1)I 2  Vth
+Rth RL
=   (2.2)RL Rth
Sendo esta aplicada somente quando . Para qualquer outra
situação, calculamos a potência entregue à carga utilizando a Equação 2.1
praticar
Vamos Praticar
Circuitos elétricos cuja associação é feita em série e paralelo possuem diversas
aplicações em itens utilizados no nosso cotidiano. Eles estão presentes em muitos
dispositivos eletrônicos, como rádios, televisões, computadores e diversos sensores.
Analise a �gura a seguir.
= (2.3)PMAX
Vth
2
4Rth
=  RL Rth
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 193).
Dado o circuito da �gura apresentada, assinale a alternativa que apresenta o
equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais a-b.
a)  = 4V e  = 40Ω.
b) = 10V e = 26 Ω.
c)  = 4V e  = 4 Ω.
d)  = 10V e  = 40 Ω
e)  = 40V e  = 4 Ω.
Vth Rth
Vth Rth
Vth Rth
Vth Rth
Vth Rth
Até o momento, trabalhamos com elementos que dissipam energia
(resistores). Vamos introduzir agora elementos armazenadores de energia,
indutores e capacitores.
Indutores
Nilsson e Riedel (2009, p. 131) de�nem os indutores como componentes
elétricos que se opõem a qualquer alteração na corrente elétrica. Sendo o
comportamento desse elemento baseado em fenômenos associados a
campos magnéticos. A fonte dos campos magnéticos são as correntes
elétricas, assim, se uma corrente varia com o tempo, o campo magnético irá
responder dessa maneira também.
DispositivosDispositivos
Armazenadores deArmazenadores de
EnergiaEnergia
Para Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 262), “um indutor consiste em uma
bobina de condutor de �o em volta de algum núcleo que pode ser o ar ou
algum material magnético”.
A indutância é o parâmetro de circuito para descrever um indutor.
Simbolizada pela letra L, é medida em henrys (H), e representada conforme a
Figura 2.8. A tensão sobre um indutor é dada pela seguinte equação:
Onde v é medido em volts, L em henrys, i em amperes e t em segundos.
Figura 2.7 - Vários tipos de indutores
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 267).
Figura 2.8 - Símbolo para um indutor ideal
Fonte: Sadiku (2014, p. 262).
v = L (3.1)
di
dt
Analisando a Equação 3.1, podemos fazer duas observações importantes.
Caso não haja variação de corrente em função do tempo, a tensão no mesmo
é igual a zero. O indutor tem como característica o comportamento de um
curto-circuito quando este está na presença de uma corrente constante, ou
contínua. A segunda é que a corrente no elemento não pode variar
instantaneamente, pois, para que uma variação como essa aconteça, seria
necessário tensão in�nita, sendo esta impossível de existir em termos
práticos.
Fazendo a análise matemática para expressarmos a corrente em função da
tensão no indutor, chegamos à seguinte equação:
Onde i(t) é a corrente correspondente em função do tempo.
Capacitores
Nilsson e Riedel (2009, p. 131) de�nem capacitor como um componente
elétrico que consiste em dois condutores separados por um material isolante
ou dielétrico. Sendo ele o único dispositivo, exceto baterias, que armazenam
carga elétrica. Seu comportamento é baseado em funções do campo elétrico,
sendo este a separação de cargas (tensão), caso esta varie com o tempo, o
campo responderá da mesma maneira.
i (t) = v (τ)  dτ   + i (t0) (3.2)
1
L
∫
t0
t
O parâmetro desse elemento é a capacitância, representada pela letra C,
medido em farads (F), seu símbolo é representado pela Figura 2.10.
Nos terminais do componente, a corrente é proporcional à taxa de variação
temporal da tensão no mesmo, ou seja:
Onde i é medido em amperes, C, em farads, v, em volts e t, em segundos.
Figura 2.9 - Vários tipos de capacitores
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 232).
i (t) = C (3.3)
dv
dt
Analisando a Equação 3.3, podemos fazer duas observações importantes. A
tensão não pode variar instantaneamente nos terminais do componente,
visto que caso esta ocorresse, ocasionaria uma corrente in�nita, o que não é
possível �sicamente. A segunda é que, se a tensão for constante, a corrente é
equivalente a zero, sendo assim, o mesmo se comporta como um circuito
aberto nessa situação.
Figura 2.10 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku (2014, p. 231).
A tensão de um capacitor em função do tempo é dada por:
Onde v(t) é a tensão em função do tempo.
Combinação de Indutância e
Capacitância em Série e Paralelo
Exatamente como combinações de resistores em série e em paralelo podem
ser reproduzidas por um único elemento equivalente, a combinação de
capacitores e indutores poder ser reproduzida por um único capacitor e
indutor equivalente.
reflita
Re�ita
Se um capacitor é um dispositivo que
armazena energia, o que o diferencia
de uma pilha alcalina?
v (t) = i (τ)  dτ + v ( ) (3.4)
1
C
∫
t0
t
t0
Ao observarmos a Figura 2.11, podemos perceber que os indutores são
forçados a conduzir a mesma corrente. Fazendo a soma das quedas de
tensão em cada elemento, �ca claro que a indutância equivalente de
indutores ligados em série é a soma das indutâncias individuais:
Indutores em paralelo, conforme a Figura 2.10, tem a mesma tensão terminal.
Com isso, para realizarmos a soma das correntes que passam por cada
indutor e interpretando a equação resultando, temos que:
Figura 2.11 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 267).
=   +   +   +  . . .   +   (3.5)Leq L1 L2 L3 Ln 
= + +. . . + (3.6)
1
Leq
1
L1
1
L2
1
LN
Já capacitores em série podem ser reduzidos a um único capacitor
equivalente, visto que a mesma corrente percorrerá todos os capacitores,
conforme a Figura 2.12. Fazendo a análise matemática da soma das quedas
de tensão em cada elemento e interpretando o circuito,temos a seguinte
equação para a capacitância equivalente:
Figura 2.12 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku (2014, p. 268).
= + +. . . + (3.7)
1
Ceq
1
C1
1
C2
1
CN
Capacitores em paralelo podem também ser reduzidos a um único capacitor
equivalente, visto que a mesma corrente se dividirá em todos os capacitores,
e a tensão terminal será a mesma em todos, conforme a Figura 2.13. Fazendo
a análise matemática da divisão de corrente em cada elemento e
interpretando o circuito, temos a seguinte equação para a capacitância
equivalente:
Figura 2.13 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 234).
=   +   +   +  . . .   +   (3.8)Ceq C1 C2 C3 Cn 
O uso das propriedades de associação de capacitores será de grande ajuda
para a análise de sistemas mais complexos, haja vista as expressões de
tensão e corrente.
praticar
Vamos Praticar
Analise a �gura a seguir:
Figura 2.14 - Símbolo para um capacitor ideal
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 233).
A maioria dos dispositivos eletrônicos que utilizamos no dia a dia, como celulares,
computadores, tablets, contém circuitos integrados. Estes são compostos por um
elemento em comum, os transistores. Esses circuitos têm a aplicação nas mais
diversas áreas da eletrônica.
Dado o circuito da �gura apresentada, assinale a alternativa que apresenta a
indutância equivalente do circuito.
a)  = 18H.
b) = 20H.
c)  = 48H.
d) = 22,5H.
e)  = 8H.
Fonte: Sadiku (2014, p. 268).
Leq
Leq
Leq
Leq
Leq
indicações
Material
Complementar
FILME
A vida por um �io
Ano: 2016
Comentário: O �lme relata um pouco de como é a vida
dos pro�ssionais que trabalham com manutenção de
redes de alta-tensão. Dada uma tempestade durante
uma manutenção, surge um desa�o para que eles
sobrevivam.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a
seguir.
TRA ILER
LIVRO
Circuitos Elétricos
Autor: Yaro Burian Jr.
Editora: Pearson Prentice Hall
Comentário: O livro aborda a análise de circuitos
elétricos de uma maneira que o estudante consegue
fazer análises de maneira rápida para todos os tipos de
circuitos.
conclusão
Conclusão
Nesta unidade conseguimos conhecer novos teoremas para análise de
circuito, partindo da propriedade da linearidade e superposição, após isso,
entendemos como realizar a transformação de fontes de tensão e correntes,
e vice-versa. Em seguida, vimos dois teoremas extremamente importantes
para as análises de circuitos, Thévenin e Norton, com os quais podemos
redesenhar circuitos, deixando-os com somente dois elementos e que nos
permitem identi�car as condições às quais estes podem fazer a máxima
transferência de potência. Fomos apresentados a dois novos elementos,
indutores e capacitores, vendo o comportamento da tensão e corrente em
cada um deles e como fazer a associação destes.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BURIAN JR, Y.; LYRA, A. C. C. Circuitos elétricos . São Paulo: Prentice-Hall,
2006.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos elétricos . 8. ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2009.
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, C. K. Análise de circuitos
elétricos com aplicações. 5. ed. São Paulo: Editora AMGH, 2014.