ANÁLISE DE VIABILIDADE 5

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DISCIPLINA: 
ANÁLISE DE VIABILIDADE 
ECONÔMICO-FINANCEIRA 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ernani João Silva 
 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
Neste encontro, estudaremos a importância da Engenharia econômica no 
processo da Análise de Viabilidade Econômico-Financeira (AVEF) por meio de 
cinco temas principais: 
 AVEF e os fundamentos da Engenharia Econômica; 
 regime de capitalização simples; 
 regime de capitalização composta; 
 taxas de juros (nominais, efetivas, equivalentes, reais etc.); 
 sistemas financeiros de amortização. 
Com base nesses temas, você será capaz de entender como o fluxo de 
caixa pode ser utilizado para a AVEF, segundo seus fundamentos básicos. Boa 
Aula! 
 
CONTEXTUALIZANDO 
O tempo interfere no valor do capital, seja em um cenário econômico 
inflacionário ou não. O que acontece é que, quando em um projeto se faz a 
injeção de capital, o investidor que o fez exige retorno sobre este. O que significa 
retorno para o investidor? Basicamente, uma remuneração que cubra tanto as 
oportunidades que foram perdidas quando da escolha desse projeto quanto os 
riscos que a operação em específico tem. Em conjunto, esses dois elementos 
formam Taxa Mínima de Atratividade (TMA) do investidor. E é a partir daqui que 
entra em cena a Engenharia Econômica, pois é ela que, resumidamente, fornece 
o instrumental que nos permite entender, em um processo de AVEF, quanto um 
projeto é favorável ou não ao longo do tempo para atender aos anseios dos 
investidores. Nesta aula, vamos refletir sobre alguns elementos básicos para que 
a AVEF possa utilizar a Engenharia Econômica com sucesso. 
 
PESQUISE 
O diretor da “Nós vamos ter sucesso Ltda.” recebeu um relatório do 
departamento financeiro dizendo que o novo projeto da empresa teria um retorno 
nominal aparente ao ano de 15% em relação ao valor a ser investido. Após 
refletir sobre o número, o diretor perguntou sobre o valor qual era a inflação 
prevista para o período, escutando de um de seus gerentes: “Segundo minhas 
 
 
3 
pesquisas, será de 10%, então nosso ganho real será de apenas 5%”. Ao escutar 
isso, o diretor balançou a cabeça e disse: “Sinto em dizer, meu caro colaborador, 
que o senhor está equivocado”. E agora? Quem é que está correto, o diretor ou 
o gerente? Reflita sobre isso, no final da aula, voltaremos a esta questão. 
 
TEMA 01: "ANÁLISE DE VIABILIDADE ECONÔMICO- FINANCEIRA" (AVEF) 
E OS FUNDAMENTOS DA ENG. ECONÔMICA 
Neste tema, abordaremos os elementos fundamentais que constituem o 
arcabouço da Engenharia Econômica. Para tanto, será explicado o que é um 
fluxo de caixa no processo analítico e como a taxa de juro representa o custo do 
capital na AVEF. Também teremos noções preliminares sobre capitalização 
(tempo e regime), bem como as modificações do capital ao longo do tempo (VP, 
VF etc.). 
Segundo Hirschfeld (2000, p. 21), o fluxo de caixa pode ser definido 
como “[...] a apreciação das contribuições monetárias (entradas e saídas de 
dinheiro) ao longo do tempo [...] representado de forma analítica ou gráfica”. A 
representação gráfica citada por Hirschfeld é o “diagrama do fluxo de caixa”, um 
eixo horizontal que representa o tempo, onde, por meio de duas áreas distintas, 
ocorrem as análises. A região superior desse eixo é área positiva do diagrama 
(encaixes) e a inferior, a área negativa (desencaixe), onde esses movimentos 
podem ocorrer de forma uniforme (valores sequenciais iguais) ou não. O 
diagrama é uma imagem que demonstra como ocorreu ou ocorrerá o movimento 
dos recursos de uma entidade ao longo de um dado período de tempo. 
Na figura abaixo, temos a visualização dessa explicação do fluxo de 
caixa. Observe que seu início é no valor zero (denominado de VP: Valor 
Presente) e o término na enésima posição, isto é, no momento “n” (denominado 
de VF: Valor Futuro): 
 
 
 
4 
Assim, o fluxo é construído dentro do limite a ser definido pelo valor dado 
em “n” – por exemplo: de 0 a 15 dias, de 0 a 12 meses, de 0 a 10 anos. Essa 
forma gráfica de representação pode ser usada de diversas maneiras, como para 
saber se o saldo final da conta disponível (Caixa, banco, aplicações) em um dado 
tempo futuro será suficiente para honrar o volume de saídas que é esperado – 
seja esta definida por provisões ou previsões. Ou, ainda, qual é o valor do fluxo 
de recursos dentro de um período, por meio de uma análise econômica, 
considerando, para tanto, o valor presente, uniforme ou futuro do capital. 
Quanto ao valor da taxa de juro, essa, como demonstra o diagrama, é o 
custo do capital da empresa. Isso nos leva às nossas aulas anteriores, onde 
vimos que o capital de um investimento tem duas fontes possíveis: capital próprio 
(Patrimônio Líquido: PL) e capital de terceiros (Passivos: P). 
 
Assim, o capital cuja origem seja do PL tem um custo de capital igual a 
“kp” valor; já o capital de origem no P, um custo de capital igual a “kt” valor – 
ambos na forma percentual. Desse fato, o custo do capital, isto é, a taxa de juro 
de uma empresa é igual ao custo de oportunidade e o prêmio de risco que os 
terceiros e os donos têm em relação ao investimento a ser feito (Ficou um tanto 
confuso? Dê uma olhada no tema 2 trabalhado na aula 1). 
Agora que já sabemos o que é um fluxo de caixa e quais elementos 
encontramos como variáveis nele, vamos entender o que devemos identificar 
para realizarmos cálculos e análises sobre seus dados: 
1º. Taxa de juro 
2º. Período do tempo 
3º. Regime de capitalização 
O primeiro item é aquele que acabamos de estudar (custo de 
oportunidade + prêmio de risco); o segundo é o valor do “n”, isto é, o tempo que 
a aplicação ocorrerá. Por fim, o terceiro indica como ocorrerá o processo de 
formação do juro e sua acumulação sobre o capital – por exemplo, juros simples 
exatos, juros compostos lineares, postecipado, antecipado etc. Enfim, se 
 
 
5 
tivermos esses dados em mãos, poderemos gerar importantes indicadores para 
um procedimento de AVEF, entre outros: VPL e VPLa; IBC e ROIA; Payback e 
TIR. Se você não entendeu as siglas, não se desespere, todas elas serão 
trabalhadas nesta e na próxima aula. 
Antes de encerrarmos, vamos entender que também existe na 
Contabilidade um instrumento analítico que trabalha o fluxo de caixa. Essa outra 
forma citada para a análise do fluxo de caixa é a da representação analítica, a 
qual, dentro de um contexto histórico, nos fornece a “Demonstração do Fluxo de 
Caixa” (DFC). Segundo Marion (2002, p. 64), este relatório contábil “[...] indica, 
no mínimo, as alterações ocorridas nos exercícios no saldo de caixa e 
equivalente de caixa, segregadas em fluxos das operações, dos financiamentos 
e dos investimentos”. Ou seja, ele apresenta sinteticamente o comportamento 
dos recursos em um dado período, conforme a qualidade das injeções e 
vazamentos de numerários. 
O “DFC” pode ser gerado por duas formas: direta e indireta. A primeira 
ocorre pela análise direta do movimento do caixa e das contas equivalente ao 
caixa, já a indireta, ocorre pela reconstrução do movimento dos recursos com 
base no resultado final apurado, seja este lucro ou prejuízo. A importância do 
DFC pode ser percebida na afirmação feita por Padoveze e Benedicto (2004, p. 
49) de que, para o “[...] gerenciamento da tesouraria, assim como para a 
avaliação da movimentação financeira pela controladoria, o fluxo de caixa 
[demonstrativo] considerando a acumulação dos dados da movimentação 
financeira é fundamental [...]”. Portanto, o fluxo de caixa é uma análise que pode 
ser abordada tanto pela ótica contábil retrospectiva (Demonstrativo) quanto pelo 
caráter prospectivo da Engenharia Econômica (Diagrama), pois o foco de ambos 
os métodos não é apenas realizar um registro do passado recente, e sim servir 
de orientação sobre as decisões a serem tomadas. 
 
TEMA 02: ALGUNS CUIDADOS NO USO DA ENG. ECONÔMICA NA AVEF: 
REGIMEDE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
Neste tema, nosso foco é o regime de capitalização simples. Aqui, serão 
explicados os conceitos lógicos que sustentam uma análise sobre o fluxo de 
caixa pela ótica do “capital /valor presente” original e a formas possíveis para 
seu cálculo (por exemplo, ano civil e comercial). 
 
 
6 
Nesta forma de cálculo do valor do capital ao longo do tempo, temos que 
entender que nele a formação do valor do juro se dá sempre em relação ao valor 
original, isto é, em relação ao VP. Assim, sua fórmula é definida pela seguinte 
forma: 
VF = VP + J 
VF = VP + Σ J parciais 
 
Onde: 
VF = Valor futuro 
VP = Valor presente 
J = Valor monetário total do Juro no período 
Σ J parciais = somatória do juros parciais 
 
Sendo “J” o somatório dos juros parciais do período, temos aqui, onde 
os juros parciais são todos iguais (pois o cálculo será sempre em relação ao 
valor do VP), que a fórmula do juro total pode ser obtida multiplicando o valor de 
juro parcial pela “n” quantidade de vezes que ele aparece no período: 
 
VF = VP + Σ J parciais 
VF = VP + J parcial . n 
 
Por fim, como o valor “J parcial”, no juro simples, é o resultado do VP · 
a taxa de juro “i”, temos, portanto, que a fórmula dos juros simples é: 
 
VF = VP + J parcial . n 
VF = VP + VP . i . n 
VF = VP . ( 1 + i . n) => fórmula-base do VF no regime de juro simples 
J = VP . i . n => fórmula-base do valor do juro total no período 
 
Agora que já sabemos as fórmulas-base, vamos ver quais são e como 
podemos utilizá-las. Neste sentido, temos três possibilidades: regime de juros 
exatos, ordinários e pela regra do banqueiro. Qual é a diferença? Na fórmula, 
nenhuma mudança ocorre nos três tipos, o que muda, na verdade, é como 
vamos preparar os dados que serão usados. Acontece que, para fazer o cálculo, 
os valores de “i” e “n” precisam estar na mesma unidade de tempo, por exemplo: 
 
 
7 
taxa de juro “i” ao dia e “n” tempo em dias; “i” ao ano e “n” em anos; “i” ao mês e 
“n” em meses etc. 
Na forma de cálculo exato, o tempo é contado “exatamente” com ele 
ocorre, por exemplo, uma taxa de juro de 36% ao ano, em cálculo em dias vira 
36% / 365 dias = 0,0986%, na mesma forma, janeiro/2015 e fevereiro/2015 são 
dois meses que, juntos, somam 59 dias (31 + 28). Já no cálculo do juro simples 
ordinal, a história é outra: neste, as conversões são feitas por padronizações 
comerciais e, assim, todos os meses têm 30 dias e qualquer ano escolhido terá 
360 dias. Vamos rever o exemplo: uma taxa de juro de 36% ao ano, em cálculo 
em dias, a taxa vira 36%/360 dias = 0,01%, na mesma forma, janeiro/2015 e 
fevereiro/2015 são dois meses que, juntos, somam 60 dias (30 + 30). Bem 
simples, não acha? Por fim, temos a regra do banqueiro, aqui a conversão do 
período “n” segue a regra do cálculo exato, já a conversão dos anos é pela regra 
ordinal, vamos retornar no exemplo: uma taxa de juro de 36% ao ano, em cálculo 
em dias, vira 36%/360 dias = 0,01%, na mesma forma, janeiro/2015 e 
fevereiro/2015 são dois meses com 59 dias (31 + 28). 
 
Vamos fazer um exercício com as três formas de cálculo... 
 
a) Contexto 
No ano de 2016, você emprestou, no dia 30 de março, a um amigo o 
valor de R$ 150,00 para ser devolvido no dia 30 de junho na seguinte 
condição: taxa de 21,6% ao ano e regime de capitalização por juro 
simples. Qual é o valor “total” e do “juro” que você vai receber? 
 
Dados brutos: PV: R$ 150 ; i : 21,6% ao ano ; n: 3 meses (abr., maio, 
jun.). 
Obs.: vamos usar PV e FV no lugar de VP e VF para ficar igual a 
nomenclatura da HP 12c. 
 
b) Cálculo pelo regime ordinal 
FV = PV . ( 1 + i . n ) 
FV = 150 . ( 1 + 21,6% /360 dias . 3 . 30 dias) 
FV = 150 . ( 1 + 0,06% ao dia . 90 dias) 
 
 
8 
FV = 150 . ( 1 + 5,4 % no período) 
FV = 150 . ( 1,054 ) = R$ 158,10 (resposta valor total) 
 
J = FV – PV 
J= 158,10 – 150 = 8,10 
ou 
J = PV . i . n 
J = 150 . 0,06% . 90 
J = 150 . 0,054 => R$ 8,10 (resposta Juro) 
 
Na HP 12c 
150 CHS PV (saiu do seu bolso) 
21,6 i (na HP, taxa é anual no juro simples) 
90 n (na HP, prazo é sempre em dias no juros simples) 
F INT (comando para acionar o cálculo do juro simples ordinal)... 
Aparece na tela o valor do juro do período: R$ 8,10 (resposta juro) 
+ 
Aparece na tela o valor montante (FV) : R$ 158,10 (resposta total) 
 
c) Cálculo pelo regime exato 
Primeiramente, precisamos achar o valor exato do “n”: 
 
1 dia em março + 30 em abril + 31 em maio + 30 em junho = 92 dias 
Agora, vamos para o cálculo dos valores solicitados: 
FV = PV . ( 1 + i . n ) 
FV = 150 . ( 1 + 21,6% /365 dias . 92 dias) 
FV = 150 . ( 1 + 0,0592% ao dia . 92 dias) 
FV = 150 . ( 1 + 5,4464 % no período) 
 
 
9 
FV = 150 . ( 1,054464 ) = R$ 158,17 (resposta valor total) 
J = FV – PV => 158,17 – 150 => R$ 8,17 (resposta Juro) 
 
Na HP 12c 
g D.MY (este comando ativa o formato: Dia. Mês Ano) 
30.032016 Enter (informamos a data inicial do cálculo) 
30.062016 (informamos a data final do cálculo) 
g ΔDYS (variação da data) 
Aparece na tela: 92 dias 
 
150 CHS PV (saiu do seu bolso) 
21,6 i (na HP, taxa é anual no juro simples) 
92 n (na HP, prazo é sempre em dias no juros simples) 
F INT R (comando para acionar o cálculo do juro simples 
exato)... 
Aparece na tela o valor original (PV): R$150 
+ 
Aparece na tela o valor montante (FV) : R$158,17 (resposta total) 
RCL PV + 
Aparece na tela o valor do juro do período: R$ 8,17 (resposta juro) 
 
d) Cálculo pela regra do banqueiro 
FV = PV . ( 1 + i . n ) 
FV = 150 . ( 1 + 21,6% /360 dias . 92 dias) 
FV = 150 . ( 1 + 0,06% ao dia . 92 dias) 
FV = 150 . ( 1 + 5,52 % no período) 
FV = 150 . ( 1,0552 ) = R$ 158,28 (resposta valor total) 
J = FV – PV = 158,28 – 150 = 8,28 
 
Na HP 12c 
150 CHS PV (saiu do seu bolso) 
21,6 i (na HP, taxa é anual no juro simples) 
92 n (na HP, prazo é sempre em dias no juros simples) 
F INT (comando para acionar o cálculo do juro simples ordinal)... 
 
 
10 
Aparece na tela o valor do juro do período: R$ 8,28 (resposta juro) 
+ 
Aparece na tela o valor montante (FV) : R$158,28 (resposta total). 
 
Essas são as formas de cálculo do valor do tempo segundo o regime de 
juro simples. 
 
 
TEMA 03: ALGUNS CUIDADOS NO USO DA ENG. ECONÔMICA NA AVEF: 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Neste tema, nosso foco é o regime de capitalização composta. Aqui, 
serão explicados os conceitos lógicos que sustentam uma análise sobre o fluxo 
de caixa pela ótica dos “montantes/valores futuros” intermediários e as formas 
possíveis para seu cálculo (por exemplo, métodos exponencial e linear). Vamos 
começar nossa conversa respondendo à questão: O que são juros compostos? 
Basicamente, a taxa de juros incide nos saldos futuros parciais... é 
aquela velha história de juro sobre juro. Mas qual será sua lógica econômica? 
Muitas pessoas dizem que essa forma de cálculo é injusta, pois cobra, como já 
dito, juros sobre os juros anteriores calculados, não vamos entrar no mérito se 
isso está certo ou errado, mas, sim, entender o porquê disso ser feito. 
Imagine que você sobrevive comprando canetas a R$ 1,00 e as 
revendendo com 10% de ganho. Assim, com R$ 100,00 de capital, você compra 
100 canetas e tem um lucro R$ 10,00. Certo dia, um amigo lhe pede R$ 100,00 
emprestado, então você explica que, se der esse dinheiro para ele, deixará de 
ganhar 10% por mês, por isso, para dar o empréstimo, vai precisar cobrar esta 
taxa dele. Ele concorda. Ao término de três meses depois, ele volta e lhe entrega 
R$ 130,00 [ = VP . (1+ i . n) = 100 . (1 + 10%.3) ] e agradece o favor prestado. 
Você recebe o dinheiro e diz que ele não está certo, pois, se o empréstimo não 
tivesse sido feito, você teria com R$ 100,00 comprado 100 canetas, com a venda 
teria gerado no primeiro mês R$ 110,00[ = 100 . (1 + 10%) ], com este novo 
valor teria comprado 110 canetas e com elas feito R$ 121,00 [ = 110 . (1+10%) ] 
e, por fim, com este capital você compraria 121 canetas e conseguiria ter, após 
a venda, R$ 133,10 de capital, ou seja, o amigo lhe devia ainda R$ 3,10. O amigo 
fica bravo com você e diz que isso não está certo, que os R$ 130,00 era o valor 
 
 
11 
pelo cálculo do juro simples e que R$133,10 era conta de juro sobre juro. Assim, 
você perde o amigo e, também, deixa de ganhar R$ 3,10. 
Bem, esta é a lógica do juro composto, ele é um cálculo que considera 
as oportunidades perdidas por não estarmos de posse dos juros intermediários 
para realizarmos novas operações. Não estou dizendo que ele é mais justo ou 
menos justo, somente como é sua lógica econômica. Agora, vamos entender a 
conta, usando o exemplo da caneta: 
 
R$ 100,00 . ( 1 + 10%) => R$ 100 . ( 1 + 10/100) = R$ 110,00 
R$ 110,00 . ( 1 + 10%) = R$ 121,00 
R$ 121,00 . ( 1 + 10%) = R$ 133,10 
 
Como todas as contas foram multiplicadas por (1+10%), podemos 
reescrever assim: 
R$ 133,10 = R$ 100 . (1+10%)3 => VF = VP . ( 1 + i )n 
 
Ou seja, ele equivale a: 
 VP + J1 + J2 + J3 = VF 
R$ 100 + R$ 10 + R$ 11 + R$ 21,1 = R$ 133,10 
R$ 100 + R$ 100.10% + R$ 110 . 10% + R$ 121 . 10% = R$ 133,10 
 
Agora que você entendeu a lógica prática do cálculo, vamos ver essa 
questão por meio de expressões matemáticas: 
 
VF = VP + J 
VF = VP + Σ J parciais 
 
Onde: 
VF = Valor futuro 
VP = Valor presente 
J = Valor monetário total do Juro no período 
Σ J parciais = somatória do juros parciais 
 
Sendo “J” o somatório dos juros parciais do período, aqui, onde os juros 
parciais são todos diferentes (pois o cálculo será sempre em relação ao valor do 
 
 
12 
VF parcial), a fórmula do juro total pode ser obtida elevando os valores de cálculo 
do juro parcial em “n” quantidades vezes que ele aparece no período: 
 
VF = VP + Σ J parciais 
VF = VP + J 1 + J 2 + ... + J n 
Onde: 
Se for considerado que o VP original é o zero (VP0) e os 
VF parciais (VF1, VF2, etc.) são os novos VP dos cálculos, temos que: 
 
J 1 = VP0 . i => VF1 = VP0 + VP0 . i => VF1 = VP0 . (1+ i) => VF1 = VP1 
 
J 2 = VP1 . i => VF2 = VP1 + VP1 . i => VF2 = VP1 . (1+ i) => VF2 = VP0 . (1+ i) . 
(1+i) 
 
Ou seja, 
VF2 = VP0 . (1+ i) . (1+i) => VF2 = VP0 . (1+i)2, o que significa que VF2 = VP . 
(1+i)2 
 
Então: 
J n = VPn-1 . i => VFn = VPn-1 + VPn-1 . i => VFn = VP0 . (1+i)n, 
 
Por fim, 
sendo “VP0” o valor presente original e “VFn” o valor futuro final, temos que: 
 
VF = VP + J 
VF = VP + Σ J parciais 
VF = VP + J 1 + J 2 + ... + J n 
VF = VP . (1+i)n => fórmula-base do valor total no período 
J = VF – VP => fórmula-base do juro total no período 
 
Como podemos ver no cálculo do juro composto, assim como no juro 
simples, a taxa de juro (i) também é constante. Todavia, agora a base de cálculo 
sobre a qual incide a taxa de juro é variável, pois se trata do valor montante 
intermediário (= parciais). Ou seja, a base de cálculo agora não é mais o Valor 
Presente original (= capital), mas o capital atualizado (= montante) até o 
 
 
13 
momento anterior ao da próxima capitalização. Com base nessa constatação, 
isto é, partindo da fórmula básica “VF = VP . (1+i)n “foi possível derivar várias 
outras igualmente importantes, tanto para fluxos com pagamentos ou 
recebimentos constantes quanto para fluxos não constantes (= não uniformes). 
Neste tema, vamos abordar apenas o fluxo de caixa uniforme, sobre o 
não uniforme conversaremos na aula 6. Assim, a fórmula básica do pagamento 
uniforme é: 
PMT = VP . 
 (1+i) 
𝑛
 . i 
(1+i) 
𝑛
 − 1
 
 Onde: 
 PMT = Parcelas uniformes ( U ) = Pagamentos constantes (PGTO) 
 
Essa fórmula nos permite estabelecer o valor constante de pagamento 
que atenda à lógica do juro composto. Vejamos como ela funciona no caso das 
canetas, isto é, vamos ver como seu amigo poderia ter pago a divida em três 
prestações uniformes: 
 
PMT = R$ 1000 . 
 (1+10%) 
3
 . 10% 
(1+10%) 
3
 − 1 
 
PMT = R$ 1000 . 
 (1+0,10) 
3
 . 0,10 
(1+0,10) 
3
 − 1 
 
 
PMT = R$ 1000 . 
 0,1331 
0,3310
 
 
PMT = R$ 1000 . 0,402115 => PMT = R$ 402,11 por mês 
 
n Juros Deve Pagou Saldo 
0 R$ - R$ 1.000,00 R$ - R$ 1.000,00 
1 R$ 100,00 R$ 1.100,00 R$ 402,11 R$ 697,89 
2 R$ 69,79 R$ 767,67 R$ 402,11 R$ 365,56 
3 R$ 36,56 R$ 402,11 R$ 402,11 R$ 0,00 
 . 
Ou seja, no ato do empréstimo (momento zero), seu amigo devia R$ 1 
000, um mês depois, com o juro de 10%, ele devia R$ 1.100, mas, como pagou 
 
 
14 
R$ 402,11, ficou devendo apenas R$ 697,89. O saldo da dívida do mês 1 com 
os juros de 10% virou R$ 767,67, mas, como ele pagou R$ 402,11, ficou devendo 
ainda R$ 365,56, que, com 10% de juros, tornaram-se R$ 402,11, que foi 
liquidada com a última parcela. Bem legal! Não acha? Essa forma de cálculo é 
chamada de “postecipada”, isto é, a primeira parcela é posterior ao mês do 
empréstimo. Todavia, existe outra forma de fazer a conta, a “antecipada: 
Se ................ : PMT = VP . 
 (1+i) 
𝑛
 . i 
(1+i) 
𝑛
 − 1
 . 
 1 
 (1+i) 
1 
Então ........... : PMT = VP . 
 (1+i) 
𝑛
 . i 
(1+i) 
𝑛
 − 1
 . 
 (1+i) 
−1
 
1 
 
Portanto ....... : PMT = VP . 
 (1+i) 
(𝑛−1)
 . i 
(1+i) 
𝑛
 − 1
 
 
Vejamos como ela funciona no caso das canetas: 
 
PMT = R$ 1 000 . 
 (1+10%) 
(3−1)
 . 10% 
(1+10%) 
3
 − 1 
 
PMT = R$ 1 000 . 
 (1+0,10) 
(3−1)
 . 0,10 
(1+0,10) 
3
 − 1 
 
 
PMT = R$ 1 000 . 
 0,1210 
0,3310
 
PMT = R$ 1 000 . 0,36556 => PMT = R$ 365,56 por mês 
 
n Juros Deve Pagou Saldo 
0 R$ - R$ 1.000,00 R$ 365,56 R$ 634,44 
1 R$ 63,44 R$ 697,89 R$ 365,56 R$ 332,33 
2 R$ 33,23 R$ 365,56 R$ 365,56 R$ - 
3 -x-x-x- -x-x-x- -x-x-x- -x-x-x- 
 
Como é possível perceber pela tabela, a forma antecipada também tem 
três pagamentos, todavia o primeiro é no ato, como entrada. Essa forma de 
 
 
15 
cálculo é muito comum em compras parcelas que dizem: uma entrada + n vezes, 
onde todos os valores são iguais. 
Para encerrarmos nossa conversa, falta apenas apresentarmos as 
formas de cálculo linear e exponencial para a obtenção do valor futuro. A primeira 
coisa que você precisa saber sobre isso é que somente existe diferença entre 
essas duas formas se o valor do “n” (isto é, o tempo) for um número quebrado, 
por exemplo: 3,5 meses. Vamos ver as diferenças nas fórmulas usando o 
exemplo das canetas, todavia mudando o n = 3 para n = 3,5: 
 
a) Convenção exponencial : FV = PV . ( 1 + i ) n 
 
FV = R$1.000 . (1 + 10%) 3,5 => FV = R$1.395,96 
 
b) Convenção linear: FV = PV . (1 + i ) “n” parte inteira . (1 + i .“n” parte fracionária) 
 
 FV = R$ 1.000 . (1 + 10%) 3 . ( 1 + 10% . 0,5 ) 
 FV = R$ 1.331 . ( 1 + 10% . 0,5 ) 
 FV = R$ 1.397,55 
 
Resumindo, na forma exponencial, todo o valor do “n” é usado como uma 
potencial (100% juro composto). Na forma linear, a parte inteira do “n” é para juro 
composto e a parte fracionária (a parte quebrada) é utilizada na forma de juro 
simples. Talvez, você esteja pensando: “Engraçado, se o linear faz uso do juro 
simples, então por que ele dá um resultado maior?”. Bem, a resposta está na 
Matemática. Quando a gente faz o cálculo de uma potência com a parte 
quebrada de um número, estamos tirando uma raiz, veja o exemplo: 
 
√16
2
 = 4; na verdade, essa expressão tem a seguinte fórmula=> 161/2 => 16 0,5 = 
4. 
 
Entendeu? Quando usamos o “n” fracionário no cálculo exponencial, 
aquela parte é uma raiz. Todavia,quando usamos a parte fracionária no juro 
simples, ela é uma percentagem. Veja este exemplo: 16 . 0,5 = 8. Preste atenção: 
16 0,5 =4 ( 4 x 4 =16), agora 16 x 0,5 = 8 (8 é 50% do valor de 16). Ou seja, 
quando usamos partes fracionárias em cálculos de potência, o resultado obtido 
 
 
16 
é menor se comparado com seu uso em cálculo de multiplicação. Assim, o uso 
do valor fracionado de “n” na forma linear, por causa dessa lógica, é que torna 
seu resultado maior. 
Obs.: 
Antecipado e postecipado somente têm diferença em cálculo de parcelas 
(PMT). 
Linear e exponencial somente têm diferença em cálculo de Valor Futuro 
(VF). 
 
Para deixar você feliz, veja essas situações resolvidas na HP12c. Para 
tanto, vamos voltar para nosso exemplo das canetas: 
 
a) Valor Futuro Exponencial 
Vamos usar o exemplo com n = 3,5 nos itens a) e b) (assim, você pode 
comparar com os exercícios feitos anteriormente). 
 
Primeiro passo: vamos ativar a forma exponencial da HP12c 
 “STO ” + “ EEX ” = Ativa/Desativa o “c” 
 
Forma exponencial ativada: 
Aparece no visor um “c” no lado direito. 
Juro composto da parte fracionária de “n”. 
 
Segundo passo: com “c” na tela, vamos calcular. 
1000 CHS PV (saiu do nosso bolso o dinheiro, pois usamos o CHS) 
3,5 n 
10% i 
FV => aparece na tela o valor a ser pago pelo amigo => R$ 1.395,96 
 
b) Valor Futuro Linear 
Primeiro passo: vamos ativar a forma exponencial da HP12c. 
 “ STO ” + “ EEX ” = Ativa/Desativa o “c” 
 
Forma linear ativada: 
O visor não tem o “c” no lado direito. 
 
 
17 
Juro é simples na parte fracionária de “n”. 
 
Segundo passo: sem “c” na tela vamos calcular. 
1000 CHS PV (saiu do nosso bolso o dinheiro, pois usamos o CHS) 
3,5 n 
10% i 
FV => aparece na tela o valor a ser pago pelo amigo =>R$ 1.397,55 
 
c) Valores Constantes Postecipados 
Vamos agora usar o exemplo com n = 3 nos itens c) e d) (assim, você pode 
comparar com os exercícios feitos anteriormente). 
 
Primeiro passo: vamos ativar a forma postecipada da HP12c. 
 “g” + “end” (o “end” é a função azul que está abaixo da tecla 8). 
 
Forma exponencial ativada: 
“NÃO” aparece “Begin” na tela. 
 
Segundo passo: sem “begin” na tela, vamos calcular. 
1000 CHS PV (saiu do nosso bolso o dinheiro, pois usamos o CHS) 
3 n 
10% i 
PMT => aparece na tela o valor das parcelas => R$ 402,11 
 
d) Valores Constantes Antecipados 
Primeiro passo: vamos ativar a forma postecipada da HP12c. 
 “g” + “begin” (o “begin” é a função azul que está abaixo da tecla 7). 
 
Forma exponencial ativada: 
APARECE “Begin” na tela. 
 
Segundo passo: com “begin” na tela, vamos calcular. 
1000 CHS PV (saiu do nosso bolso o dinheiro, pois usamos o CHS) 
3 n 
10% i 
 
 
18 
FV => aparece na tela o valor a ser pago pelo amigo => R$ 365,56 
 
 
TEMA 04: ALGUNS CUIDADOS NO USO DA ENGENHARIA ECONÔMICA 
NA AVEF: TAXAS DE JUROS (NOMINAL, EFETIVA ETC.) 
Neste tema, nossa pauta são as possíveis formas de apresentação 
analítica da taxa de juro: nominal, proporcional, efetiva, equivalente, aparente e 
real. Aqui, serão abordados os elementos teóricos e cálculos tidos como 
relevantes para o processo da análise de viabilidade econômico-financeira 
(AVEF). Então, vamos começar pela taxa nominal. 
Quando vamos ao banco para fazer uma aplicação ou em uma loja para 
comprar um bem na condição a prazo, geralmente recebemos dos 
representantes dessas entidades que a taxa anual da operação será de “x”% ao 
ano. Todavia, também costumamos receber, em seguida, que a forma de cálculo 
será mensal. Como isso é possível? Eles podem fazer isso? Se você acredita 
que isso é apenas uma forma usada por eles para enganar o cliente, pense 
nisso: se o banco usa esse artifício para vender um título que vai lhe pagar juros, 
e a loja usa o mesmo modelo de exposição para lhe cobrar juro, será que esta 
sua suspeita faz sentido? Claro que não, e o motivo disso ser feito assim é, 
simplesmente, porque não está errado. Eles estão usando uma forma de 
linguagem que é aderente com nossa base cultural, ou seja, estão nos 
fornecendo a taxa nominal do juro. A taxa nominal é o nome da taxa, o valor que 
a identifica em um dado tempo, sem considerar a forma como ela será utilizada 
efetivamente nos cálculos. Por exemplo: uma taxa nominal anual pode ser usada 
na condição ao dia, ao mês, ao trimestre, ao semestre, e, sim, também, ao ano. 
Quando a taxa nominal é convertida em uma taxa de uso, este valor 
convertido é denominado ou de taxa proporcional (regime de capitalização 
simples) ou de taxa efetiva (regime de capitalização composto). No caso do juro 
simples, precisamos homogeneizar a referência temporal entre a taxa “i” e o 
período “n”. Quando o ajuste é feito na taxa, dizemos que estamos convertendo 
a taxa nominal em taxa proporcional, por exemplo: uma taxa nominal de 24% ao 
ano, em um processo de capitalização simples, considerando 3 meses de 
aplicação precisa ser ajustada para sua forma proporcional aos meses, ou seja, 
precisa ser dividida por 12 meses => 24% ao ano / 12 meses = 2% ao mês (taxa 
proporcional). 
19 
O mesmo procedimento é adotado na taxa efetiva, ou seja, quando 
vamos usar a taxa nominal, precisamos primeiro ajustá-la para ficar em 
homogeneidade com o período “n”. Por exemplo: uma taxa nominal de 24% ao 
ano em um processo de capitalização composta, considerando 3 meses de 
aplicação, precisa ser ajustada para sua forma proporcional a dos meses, ou 
seja, precisa ser dividida por 12 meses => 24% ao ano / 12 meses = 2% ao mês 
(taxa proporcional). Se a forma de conversão é igual, por que os nomes são 
diferentes, taxa proporcional para juro simples e taxa efetiva para juro composto? 
Antes de responder a essa questão, veja esta passagem de Vieira Sobrinho 
(1981, p. 80): 
O conceito de taxas proporcionais é utilizado somente para 
capitalização simples, no sentido de que o valor dos juros é 
linearmente proporcional ao tempo. [...] A proporcionalidade 
linear é uma característica da capitalização simples. 
O que a citação nos apresenta é que, por mais que a conta seja a mesma 
entre a taxa efetiva e a taxa proporcional, o uso delas apresenta resultados 
distintos. No caso do juro simples, as taxas proporcionais não alteram, dentro de 
um mesmo período, o resultado do VF, não importa a forma de capitalização 
(diária, mensal, anual). No juro composto, a taxa efetiva não ocorre. Vamos 
entender isso com dois exemplos com os mesmos dados: 
Dados: Valor presente .... : R$ 1000 
Período “n” ......... : 12 meses (= 360 dias; = 1 ano) 
Taxa nominal ..... : 24 % ao ano 
1º Exemplo: Regime de juro simples => VF = VP . ( 1 + i . n ) 
a) Taxa proporcional anual: 24% ao ano
VF = R$ 1 000 . (1 + 24% ao ano . 1 ano)
VF = R$ 1 240,00
b) Taxa proporcional mensal: 24% / 12 meses=> 2% ao mês
VF = R$ 1 000 . (1 + 2% ao mês . 12 meses)
VF = R$ 1 240,00
20 
c) Taxa proporcional diária: 24% / 360 dias=> 0,06667% ao dia
VF = R$ 1 000 . (1 + 0,6667% ao dia . 360 dias)
VF = R$ 1 240,00
Como demonstram os três itens do primeiro exemplo, o VF não se altera 
com uso das taxas proporcionais. Agora, vamos replicar o teste com a 
capitalização composta: 
2º Exemplo: Regime de juro compostos => VF = VP . ( 1 + i )n 
a) Taxa efetiva anual: 24% ao ano
VF = R$ 1 000 . (1 + 24% ao ano) 1 ano
VF = R$ 1 240
b) Taxa efetiva mensal: 24% / 12 meses=> 2% ao mês
VF = R$ 1 000 . (1 + 2% ao mês) 12 meses
VF = R$ 1 268,24
c) Taxa proporcional diária: 24% / 360 dias=> 0,06667% ao dia 
VF = R$ 1 000 . (1 + 0,0667% ao ano) 360 dias
VF = R$ 1 271,15 
Como demonstram os três itens do segundo exemplo, o VF se altera 
com uso das taxas efetivas, uma vez que elas não apresentam a citada 
proporcionalidade linear. Agora que já sabemos o que são taxas de juros 
nominais, proporcionais e efetivas, vamos ver o que são taxas equivalentes. 
A palavra equivalente, em nossa língua portuguesa,apresenta, entre 
outros sinônimos, os termos igual e idêntico. Partindo desse gancho, duas taxas 
são equivalentes, se as usarmos em nossos cálculos, elas produziram o mesmo 
resultado final ao término de certo período, apesar de apresentarem valores de 
capitalizações diferentes. Veja os exemplos anteriores de juro simples, 24% ao 
ano em capitalização anual é uma taxa equivalente de 2% ao mês em 
capitalização mensal, pois dentro do período de um ano (= 12 meses) as duas 
apresentam o mesmo VF, isto é, R$1 240. E sempre será assim nos regimes de 
juro simples, é por esse motivo que a expressão “taxas equivalentes” não é muito 
 
 
21 
usada nestes casos de juros simples, pois trata-se de algo que é inerente ao 
cálculo. É como se uma empresa de água mineral colocasse no rótulo: esta água 
mineral não tem colesterol, isso é verdade... mas nenhuma água mineral tem 
colesterol, então isso não é especial para ser divulgado. Agora, usar o termo 
“taxas equivalentes” no regime de juros compostos já faz sentido, pois as taxas 
equivalentes não apresentam a mesma característica das “taxas proporcionais”, 
voltemos aos exemplos, agora dos juros compostos: 
 
Taxa nominal: 24% ao ano 
 
Taxa efetiva: 2% ao mês 
 
Período do cálculo 1 ano = 12 meses 
VF = R$ 1 000 . (1 + 2% ao mês) 12 meses 
VF = R$ 1 268,24 
 
A “taxa equivalente anual” da “taxa equivalente mensal” será “taxa 
efetiva anual” que dê R$ 1 268,24 (VF), partindo do R$ 100 (VP), 
dentro do mesmo horizonte de tempo (1 ano = 12 meses): 
 
VF = R$ 1000 . (1 + i ao ano) 1 ano 
R$ 1 268,24 = R$ 1 000 . (1 + i ao ano) 1 ano 
R$ 1 268,24 / R$ 1 000 = 1 + i ao ano 
1,26824 = 1 + i ao ano 
0,26824 = i ao ano 
i ao ano = 0,26824 = 26,824% 
 
Nesse exemplo de juros compostos, vimos que 24% é a taxa nominal, 
2% ao mês é a taxa efetiva do cálculo de capitalização mensal, e, por fim, 
descobrimos que para 1 ano de aplicação, em regime de capitalização anual, a 
taxa equivalente é de 26,8240% ao ano. Resumindo, se tivéssemos que escolher 
entre dois projetos para aplicar nossos recursos durante 1 ano, um pagando uma 
taxa efetiva de 2% ao mês e outro uma taxa efetiva de 26,8240% ao ano, para 
nós, seria indiferente, qualquer um desses investimentos estaria bom, pois, 
olhando este horizonte de 1 ano de aplicação, as taxas são equivalentes entre 
 
 
22 
si. Agora, vamos ver uma fórmula que nos dá facilmente esse valor de 
equivalência: 
i q = (1 + i t) q / t ̶ 1 
Onde; 
i q : taxa que eu quero 
i t : taxa que eu tenho 
q : tempo da taxa que eu quero 
t : tempo da taxa que eu tenho 
 
Vamos aplicar essa fórmula em nosso exemplo de taxa de equivalência anual: 
 
Obs.: antes de começar, precisamos transformar 1 ano em meses, pois a taxa 
que temos é “ao mês” (lembre-se de sempre homogeneizar unidade da taxa e 
do período), então => q = 1 ano = 12 meses. 
 
i q = (1 + i t) q / t ̶ 1 
i anual = (1 + 2% ao mês) 12 meses / 1 mês ̶ 1 
i anual = 1,26824 ̶ 1 => 0,26824 => 26,824% 
 
Ficou na dúvida como usar a fórmula? 
Então, veja este outro exemplo: 
 
Qual é a taxa equivalente trimestral para uma taxa efetiva de 2% ao mês, 
considerando um ano de aplicação? 
 
Obs.: antes de começar, precisamos transformar 1 trimestre em meses, pois a 
taxa que temos é “ao mês” (lembre-se de sempre homogeneizar unidade da taxa 
e do período), então => q = 1 trimestre = 3 meses. 
 
i q = (1 + i t) q / t ̶ 1 
i trimestral = (1 + 2% ao mês) 3 meses / 1 mês ̶ 1 
i trimestrall = 1,061208 ̶ 1 => 0,061208 => 6,1208% 
 
Vamos testar olhando um horizonte de tempo de 1 ano (= 4 trimestre): 
VF = R$ 1000 . (1 + 6,1208 % ao trimestre) 4 trimestre 
VF = R$ 1000 . 1,26824 
VF = R$ 1268,24 
 
 
 
23 
Ou seja, as taxas efetivas 2% ao mês; 6,1208% ao trimestre; 26,824% ao 
ano são taxas equivalentes, pois, quando comparamos seus VF em um mesmo 
prazo de aplicação, eles são iguais. Agora, só nos falta ver o que é uma taxa 
aparente e o que é uma taxa real. 
Taxa aparente é aquela que “aparentemente” é aquele valor. Segundo 
Vieira Sobrinho (1981), a taxa nominal é uma taxa aparente. Por exemplo, 
quando falamos que uma taxa nominal é de 24% ao ano, aparentemente esse é 
o valor que receberemos (ou pagaremos), todavia, como foi visto no exemplo do 
juro composto, somente depois dos cálculos realizados é que realmente 
poderemos ver qual será o valor gerado pela capitalização usada. Bem, o citado 
autor está coerente em sua lógica, porém isso é tão óbvio que aqui nessas 
páginas vamos usar outro conceito. Vamos seguir a linha de raciocínio dos 
professores Castanheira e Macedo (2010), os quais distinguem taxa aparente (= 
taxa efetiva) e taxa real (valor sem impacto inflacionário). Essa lógica é mais ou 
menos a seguinte: quando descobrimos lá nos exemplos anteriores um valor de 
taxa efetiva anual de 26,824% ao ano, ela “aparentemente” significava que, se 
aplicássemos nosso capital nesse investimento, aumentaríamos nossa riqueza 
após um ano em 26,824%. Todavia, não podemos ter certeza disso, pois 
precisamos verificar se teve inflação no período, é por isso que ela é chamada 
de “taxa aparente”. Então, se olharmos que durante aquele ano não teve 
inflação, então a taxa aparente é também a “taxa real”. Mas se teve inflação? O 
que fazemos? 
A inflação é um aumento generalizado de preço que ocorre em uma 
economia em um dado período de tempo. Seu valor é obtido comparando o custo 
de uma cesta de produtos em uma determinada data preterida (data de partida) 
em relação ao seu novo custo em outra data futura (data de término da variação). 
Dentro da cesta, há produtos que ficaram mais caros; outros, mais baratos; 
outros que não se alteraram. Todavia, o que importa para nós é quanto variou o 
custo total da cesta: se ela ficou mais cara, temos inflação; se ela ficou mais 
barata, temos deflação. Resumindo: com a inflação, o valor do dinheiro cai, pois 
precisamos dar mais dinheiro para comprar a mesma cesta de bens e serviços. 
Então, seguindo esta lógica, se falamos que em um ano a inflação foi de 10%, 
então é claro que nossa taxa efetiva de 26,824% é apenas aparente, ela não 
representa nosso real ganho, pois não significa que podemos comprar 26,824% 
a mais de cesta. 
 
 
24 
Então, qual foi nosso ganho real, ou seja, qual é a nossa taxa real? Muito 
provavelmente você pensou em fazer: 26,824% – 10% = 16,824%. Se fez isso, 
sinto dizer que errou. A taxa real representa quanto foi “realmente” a variação do 
capital em certo período (aumento ou perda do poder aquisitivo). Assim, 
precisamos primeiro reajustar o capital original com a inflação, a fim de manter 
seu valor original de compra e, depois, comparar esse valor ajustado com o 
aparente da aplicação. Vamos ver isso no exemplo a seguir (na fórmula, vai 
aparecer o símbolo “”, ele representa a taxa da inflação): 
 
Valor original ajustado com a inflação (VP ajustado) = VP original . (1 +  ) 
 
Valor original ajustado com a inflação: 
VP ajustado = R$ 1000 . (1 + 10% ao ano) = R$ 1.100 
 
Valor futuro obtido com a taxa aparente sobre o valor original sem ajuste: 
VF = R$ 1000 . (1 + 26,824% ao ano)1 ano = R$ 1.268,24 
 
Por fim, vamos achar a taxa real “r” da aplicação: 
VF = VP ajustado . ( 1 + r ) 
1268,24 = 1100 . ( 1 + r) 
1268,24 / 1100 = 1 + r 
1,152945 = 1 + r 
0,152945 = r 
r = 15,2945% (esta é a taxa real da aplicação, considerando o impacto 
inflacionário) 
 
Agora, para encerramos o tema, vamos ver como é a fórmula simplificada da 
taxa aparente: 
r = 
( 1+i )
(1+ )
 ̶ 1 
Onde; 
r: taxa real 
i: taxa aparente = taxa efetiva 
 : taxa de inflação 
Aplicando a fórmula em nosso exemplo, temos: 
 
 
25 
r = 
( 1+i )
(1+ )
 ̶ 1 => 
( 1+26,824% )
(1+10% )
 ̶ 1 => 1,152945 ̶ 1 => 0,152945 => 
15,2945% 
 
Com esse último cálculo, encerramos nosso tema 4, o qual nos deu uma 
noçãosobre alguns cuidados que temos que ter ao usarmos as taxas em nossas 
análises de viabilidade. Espero que você tenha gostado dessa revisão da 
matemática financeira, pois ela será muito útil no seu dia a dia. 
 
 
TEMA 05: ALGUNS CUIDADOS NO USO DA ENGENHARIA ECONÔMICA 
NA AVEF: SISTEMAS FINANCEIROS DE AMORTIZAÇÃO 
Neste tema, nossa pauta será sobre as diferentes formas de 
apresentação dos sistemas financeiros de amortização: Sistema de amortização 
americano (SAA), Sistema de amortização constante (SAC), Sistema [de 
amortização] por preço constante (SPC ou Price) – neste último, o Price, serão 
abordadas as condições de cálculo: postecipado e antecipado. 
Para este tema, vamos trabalhar utilizando como exemplo um 
empréstimo de R$ 150,00 que será pago em 5 meses, mediante uma taxa de 
juro efetiva de 10% ao mês, com capitalização mensal por regime de juros 
compostos. Com esses dados, vamos explicar qual é o valor total de juros que a 
operação gerará e, por consequência, qual o valor total que foi pago pelo 
empréstimo recebido. 
 
a) SAA: (Amortização Americano) 
O “SAA” utiliza a seguinte lógica financeira: as parcelas que serão pagas 
no período do empréstimo se referem unicamente ao valor do juro do capital 
emprestado. Assim, as parcelas são constantes, pois os juros são constantes. O 
motivo? Ora, se todo mês pagamos o juro que é gerado, o saldo devedor não se 
altera, por isso, taxa efetiva sempre incide sobre o mesmo valor. Até parece juros 
simples, porém não é! No caso dos Juros simples, a gente paga tudo ao término 
do empréstimo, aqui nós temos pagamentos parciais, caso eles não sejam feitos, 
os saldos intermediários são alterados e, sendo assim, o valor das parcelas 
também. Vejamos como fica nosso exemplo neste sistema: 
 
 
 
26 
 
 
Como é possível perceber na última prestação, tivemos que pagar o 
valor principal (R$ 150) mais a parcela do quinto mês (R$ 15). Por fim, ao 
somarmos todas as parcelas, foi pago R$ 75 de juros. Esse sistema é o que os 
americanos chamam de hipoteca. 
 
b) SAC: Sistema de Amortização constante 
Aqui, temos a seguinte lógica: se na capitalização composta a taxa de 
juro incide sobre os saldo intermediários, se a gente pegar o valor original do 
capital e dividi-lo em partes iguais no período do empréstimo, então, em cada 
parcela, reduziremos o saldo devedor de igual maneira – ou seja, amortizaremos 
constantemente o débito. Vejamos como fica esse sistema em nosso exemplo: 
 
 
 
A cada mês nossa divida reduziu R$ 30 (= amortização constante), por 
esse motivo, o valor dos juros que tivemos que pagar foi caindo gradativamente, 
acompanhando a queda do saldo devedor. No final, quando somamos o total 
pago de juros, o valor obtido foi de R$ 45,00. Ou seja, o SAC cobra menos juros 
que o SAA, todavia, ele exige pagamento de parcelas maiores no início do 
pagamento. 
 
 
27 
 
c) SPC Postecipado: Sistema de Pagamento Constante Postecipado 
O “SPC/Postecipado” (ou Price/Postecipado) é a forma o pagamento de 
parcelas constante que foi visto no tema três. Ou seja, é aquela história de juros 
sobre juros considerando que todas as parcelas terão o mesmo valor durante o 
período do empréstimo. Então, vamos ao exemplo: 
 
 
 
Pela tabela, fica claro qual é a lógica do sistema. Para que as parcelas 
sejam constantes, precisamos ter amortizações diferentes para compensar as 
diferenças dos juros de cada período. Como os juros iniciais são altos, então as 
amortizações iniciais são baixas. Em poucas palavras, nesse sistema, a 
amortização da dívida é pequena no começo. Você já deve ter ouvido ou passou 
por uma situação na qual, depois de uma série de pagamento nesse sistema, 
percebeu que ainda faltava muito para ser pago... pois é, este é o motivo! Pouca 
amortização no início. Aqui no exemplo, em dois meses foi pago em parcelas R$ 
79,14 (R$ 39,57 + R$ 39,57), mas a dívida só caiu R$ 51,60 (R$ 24,57 + R$ 
27,03). Agora, não podemos dizer que esse sistema é aquele que mais cobra 
juros (R$ 47,85) ou, ainda, que ele é o que tem a menor parcela para o bolso 
(R$ 39,57). O “SAA” cobrou mais juros (R$ 75,00) e teve as menores parcelas 
(R$ 15,00). O “SAC” pode até, no início, ter parcelas um tanto amargas para o 
bolso, porém, depois, elas caem abaixo do “SPC” (nos exemplos, foi a partir do 
3º mês). 
 
d) SPC Antecipado: Sistema de Pagamento Constante Antecipado 
Aqui, tudo é igual a lógica do postecipado, a única coisa que muda é que 
vamos fazer uso de uma entrada. O que acontece é que, por esse sistema, na 
 
 
28 
prática, não estamos financiando 100% de um bem. No nosso exemplo, ao 
comprarmos um bem que custava R$ 150 pelos sistemas “SAA”, “SAC” e 
“SPC/Postecipado”, nós estávamos financiando todos os R$ 150. Aqui não, pois 
no SPC/Antecipado será feita uma entrada. No caso do exemplo, vamos dar uma 
entrada de R$ 35,97 no ato da compra, portanto, o valor do saldo inicial devedor 
não será de R$ 150, mas R$ 114,03. Por causa disso, os juros serão todos mais 
baixos dos que os dos sistemas anteriores. Entendeu? Você pagará menos 
juros, porque emprestou menos dinheiro. 
 
 
 
Durante este tema, usamos os conceitos dos temas anteriores para 
entender a lógica dos sistemas financeiros de amortização: SAA, SAC, SPC 
(postecipado e antecipado). Agora, vamos ver como a Hp 12c nos ajuda a 
resolver o SPC postecipado (o qual, por sinal, é o mais comumente encontrado 
no mercado). Para tanto, vamos buscar nossa tabela para entendermos o que 
está sendo feito na calculadora: 
 
 
 
 
Primeiro passo: vamos calcular as parcelas constantes 
 
 
29 
 g END (porque é postecipado) 
 150 PV (o valor emprestado entrou em nosso bolso, por isso é positivo) 
 10 i 
 PMT => Aparece na tela menos R$ 39,57 (= parcela que teremos que pagar) 
 
Segundo passo: vamos calcular saldos e o total dos juros 
Com o valor de “-39,57” na tela da HP12c, vamos digitar que momento queremos 
analisar, vamos começar com o 1º mês. 
 
 1 F (o nº 1 é o primeiro mês e o “F” é para ativar as funções laranjas) 
 Amort (comando laranja que indica a amortização do SPC postecipado): 
Na tela, vai aparecer o valor total de juro pago até o mês 1: – R$ 15,00. 
 X >< Y (comando para trocar o registo “x” com o registro “y) 
Na tela, vai aparecer o valor total amortizado: – R$ 24,57. 
 RCL PV (comando para recuperar o valor presente): 
Na tela, vai aparecer o saldo atual da dívida: R$ 125,43. 
 
Pode conferir na tela, você verá que os valores que a HP 12c forneceu 
são idênticos ao que foi calculado e demonstrado na tabela. Vamos fazer mais 
um exemplo, agora com o segundo mês, por isso não limpe os registros da 
calculadora: 
 
Obs.: Antes de tudo, porém, precisamos adicionar novamente o valor presente 
original, pois, caso contrário, a Hp 12c vai fazer os cálculos a partir do saldo 
da última operação, aqui no exemplo foi o R$ 125,43. 
 
 150 PV (alimentamos novamente o valor do empréstimo) 
 2 F ( o nº 2 é o segundo mês e o “F” é para ativar as funções laranjas) 
 Amort (comando laranja que indica a amortização do SPC postecipado): 
Na tela, vai aparecer o valor total de juro pago até o mês 2: – R$ 27,54 (= 15 
+ 12,54). 
 X >< Y (comando para trocar o registo “x” com o registro “y) 
Na tela, vai aparecer o valor total amortizado: – R$ 51,60 (= 24,57 + 27,03) 
 
 
30 
 RCL PV (comando para recuperar o valor presente): 
Na tela, vai aparecer o saldo atual da dívida: R$ 98,40. 
 
 
Leitura Obrigatória 
 Livro Engenharia Econômica: 
Para aprofundar seus estudos sobre a matemática financeira, leia o capítulo 1 
dessa obra, páginas de 15 a 44 (disponível em nossa biblioteca virtual). 
 
 
TROCANDO IDEIAS 
Durante temas trabalhados nesta aula, vimos alguns cuidados que 
devemos ter para o uso da Engenharia Econômica nos cálculos de Análise de 
Viabilidade Econômico-Financeira. Agora, acesse o fórum da disciplinae, com 
base no que estudou, reflita com seus pares a situação a seguir: Você acredita 
que o todo esse conhecimento que foi visto é aplicado corretamente no dia a dia 
das empresas, como o uso da taxa real? Se sua resposta for “não”, isso é um 
problema sério? Se sua resposta for sim, então o que poderia ser feito para 
corrigir este fato? 
 
NA PRÁTICA 
Leitura do caso 
 
Uma empresa comprou uma máquina na seguinte condição: 
 
Valor da máquina: R$ 250 mil 
Financiamento: 100% o valor da máquina 
Número de prestações: 120 meses 
Taxa de juro nominal: 36% ao ano 
Regime de capitalização: juros compostos mensais postecipados 
 
Quanto ela pagou de juro até a 100ª parcela e qual será o saldo devedor 
depois de pagar essa parcela? 
 
 
 
31 
Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o 
problema 
 
Use os conhecimentos vistos nos temas 3, 4 e 5 
Use a HP 12c ou a fórmula vista 
 
Apresentação da solução do problema 
 
Resolução pela HP 12c 
1º Passo: ajustar dados informados para o uso do instrumento da Engenharia 
Econômica. 
 VP: 250.000,00 ; n: 120 meses ; i : 36% / 12 meses = 3 % ao mês 
 
2º Passo: obter o valor constante das prestações 
 g End (postecipado) 
 250 000 PV 
 120 n 
 3 i 
 PMT => R$ 7.722,48 (é negativo porque vamos ter que pagar) 
 
3º Passo: obter os dados solicitados 
 100 F ( o nº 100 é a 100ª parcela paga e o “F” é para ativar as funções 
laranjas) 
 Amort (comando laranja que indica a amortização do SPC postecipado): 
Na tela, vai aparecer o valor total de juro pago até a parcela 100: – R$ 
637.138,91. 
 X >< Y (comando para trocar o registo “x” com o registro “y) 
Na tela, vai aparecer o valor total amortizado: – R$ 135.1091,09 
 RCL PV (comando para recuperar o valor presente): 
Na tela, vai aparecer o saldo atual da dívida: R$114.890,91 
 
Resposta: 
 
 
32 
O total pago de juros até 100ª parcela: R$ 637.138,91 
Saldo que ainda tem que pagar: R$ 114.890,91 
 
Obs.: Olhe o perigo do juro! 
A máquina custava à vista R$ 250 mil. 
Após pagar 100 prestações fixas de R$ 7.722,48 = R$ 772.224,80 (pagos), 
a empresa ainda deve R$ 114.890,91. 
 
Resolução pela fórmula: 
 
PMT = VP . 
 (1+i) 
𝑛
 . i 
(1+i) 
𝑛
 − 1
 
PMT = 250 000 . 
 (1+3%) 
120
 . 3% 
(1+3%) 
120
 − 1
 
PMT = 250 000 . 
 (1+0,03) 
120
 . 0,03 
(1+0,03) 
120
 − 1
 
PMT = 250 000 . 
1,04133
33,71099
 
PMT = 250 000 . 0,03089 
PMT = R$ 7.722,48 
 
 
SÍNTESE 
Neste encontro, abordamos alguns dos elementos-chave para o uso da 
Engenharia Econômica nos processos de AVEF, sendo estes: 
a) os elementos fundamentais do fluxo de caixa (VP, VF, i , n, série uniforme e 
não uniforme); 
b) as formas de regime de capitalização: simples e composta; 
c) as diferentes formas de apresentação da taxa de juro (nominal, efetiva, 
equivalente e real); 
d) os sistemas financeiros de amortização (SAA, SAC,SPC – postecipado e 
antecipado). 
 
 
 
33 
Esta aula se fez necessária porque, a partir destes citados pressupostos, 
torna-se possível o desenvolvimento de análises mais avançadas, tais como: 
VPL, Payback descontado, TIR, ROIA, entre outras tantas possíveis com base 
em um fluxo de caixa. 
Bem, vamos resolver o problema do diretor, aquele visto lá no início da 
aula sobre a inflação. Durante o quarto tema, vimos que a taxa real é obtida pela 
fórmula: r = [ (1+i) / (1+π) ] – 1. Assim, o retorno real do novo projeto da empresa 
seria, segundo os dados informados: 
 
r = [ (1+ 15%) / (1+10%) ] – 1 => r = [ 1,15 / 1,10 ] – 1 => r = 1,04555 – 1  
r = 0,04555 => transformando em taxas => r = 0,04555 . 100 => r = 4,55 % 
 
Assim, o diretor estava correto ao dizer que o gerente errou quando 
simplesmente fez “15% – 10%”. Até logo, nos vemos na aula 6! 
 
 
REFERÊNCIAS 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: Intersaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2010. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Taxa de juros: nominal, efetiva ou 
real? Revista administração de empresas. São Paulo, v. 21, n. 1, p. 77-
82, mar. 1981. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/pdf/rae/v21n1/v21n1a08.pdf>. Acesso em: 2 set. 2016.