AULA 01 MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA - Juros e Capitalização conceitos introdutórios

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CÁLCULO APLICADO 
Aula 01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ernani João Silva
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à disciplina de “Modelagem matemática aplicada às 
finanças”. Acredito que você está curioso sobre o que vem a ser esta tal de 
“modelagem matemática” e, logicamente, como ela é “aplicada às finanças”. 
Bem, vamos responder esta questão por partes. 
Modelagem significa fazer um modelo para alcançar uma melhor 
percepção sobre algo que necessita ser analisado. Por exemplo, antes de um 
alfaiate cortar tecidos caros para fazer um terno ele, sensatamente, faz uso de 
uma modelagem dessa vestimenta em materiais mais simples (em geral ele 
usa papel). Na mesma forma, uma artista antes de esculpir uma obra de arte 
de grandes proporções em um mármore e ela também faz antes um modelo 
em escala menor desse projeto. Entendeu? Uma modelagem nada mais é do 
que um artificio utilizado para entendermos o que pode ocorrer em um 
determinado evento que vai ser realizado. 
Seguindo essa linha de raciocínio, podemos dizer que uma modelagem 
matemática é o que os estudiosos fazem quando querem analisar como certo 
evento irá se comportar frente às possibilidades numéricas conhecidas. E isto 
pode ser feito em diferentes ciências, tais como: Economia, Física, Biologia, 
Sociologia, etc. No nosso caso, vamos aplicar a modelagem matemática em 
um cenário de finanças. Ou seja, vamos analisar questões da vida financeira 
por meio de modelos matemáticos, para assim buscar entendimento sobre o 
possível comportamento do capital ao longo do tempo. 
Nossa disciplina irá conduzi-lo nesse novo saber por meio de seis aulas 
(também chamadas de rotas), onde cada uma foi didaticamente dividida em 
cinco temas de aplicações de modelos matemáticos. Nessa primeira aula 
nossa estrutura em temas terá inicialmente uma visão geral sobre o que são 
juros (tema 1) e como eles impactam no capital (tema 2 e 3). Em seguida, 
veremos a formas de capitalização (tema 4) e, por fim, como os frutos desses 
rendimentos podem apresentar, dentre de um mesmo período de tempo, 
igualdade de resultados (tema 5). 
Ufa! Quanta coisa que será vista. Talvez você esteja perguntando: “Por 
que tudo isso?” Bem, nosso objetivo é que ao término dessa aula, você seja 
capaz de entender como os modelos da matemática financeira podem ser 
aplicados em nosso dia-a-dia. Além disso, queremos que você compreenda 
quais os cuidados que devem ser tomados quando taxas de juros são 
 
 
3 
utilizadas em cálculos e, obviamente, como elas devem ser interpretadas 
quando são citadas em projetos ou em investimentos financeiros. Dito isso só 
me resta dizer... Boa Leitura!!! 
CONTEXTUALIZANDO 
A expressão finança é algo comum nas conversas dessas pessoas, 
todavia, se você perguntar o que ela significa ou como ela surgiu, acredite no 
que digo, dificilmente encontrará alguém capaz de lhe responder. A palavra 
finança tem sua origem do francês “finance” e esta, por sua vez, de “finaare” 
que deriva do latim “finis”. O que significa? Bem, Finis era usado para 
expressar “fim” e Finace era uma expressão comum para indicar o “fim de uma 
dívida”. Sendo assim, durante esta aula vamos desenvolver nosso raciocínio a 
partir desse cenário linguístico. Ou seja, de que uma operação financeira, 
basicamente, envolve duas partes: uma que cede um capital (recurso 
financeiro) e outra que recebe este capital. E, dado esse fato, temos que 
analisar como deve ser o fim desta dívida (o valor a ser pago) ao longo do 
tempo. 
Bem, talvez você esteja pensando: Onde vou aplicar isso? A resposta é: 
Em muitos momentos de sua vida! Dentre outras aplicações temos aqueles 
exemplos onde: alguém empresta dinheiro para outra pessoa; alguém 
empresta dinheiro para um banco (o mercado chama isso de aplicação); 
alguém empresta dinheiro para uma empresa (o mercado chama isso de venda 
a prazo, de empréstimo comercial, participação acionária, etc.). 
Este, meu caro leitor, é o contexto que iremos abordar nessa aula. 
Juntos nós tentaremos entender como oportunidades, riscos, capital, tempo e 
juros podem ser modelados pelo uso da matemática para serem aplicados. 
TEMA 1 – JUROS: CONCEITO ECONÔMICO BÁSICO 
Como vimos acima, uma dívida ocorre quando alguém empresta algo 
que tem sobrando ao outrem que necessita. Acontece que o ser humano, pelo 
menos segundo a teoria econômica clássica e neoclássica, é um indivíduo 
racional, egoísta e maximizador do próprio bem-estar. Tudo bem, eu sei que 
estas não as palavras mais lindas para nos definir, porém entenda que é assim 
que a história registrou nossos feitos aos olhos de muitos economistas. Bem, 
dado os atributos apresentados, o ser humano para aceitar emprestar algo 
 
 
4 
para alguém precisar ter uma vantagem mínima para si, isto é, ele precisa ter 
um ganho que atenda seu egoísmo de tal maneira que sua razão diga que seu 
bem-estar aumentou de alguma forma. 
Para que possamos dizer que algo é melhor ou pior é necessário 
compará-lo com alguma coisa, ou seja, precisamos de uma régua. Nesse 
sentido, a razão econômica passou a considerar nos empréstimos duas 
variáveis nesse processo de comparação: custo de oportunidade e prêmio de 
risco. O custo de oportunidade considera o sacrifício que um empréstimo gera 
para quem empresta. Já o prêmio de risco é um valor adicional que é pago 
para quem cedeu o empréstimo dado o risco do dinheiro não ser devolvido 
segundo o acordo que foi feito. Ou seja, este último é um valor adicional que é 
pago para convencer alguém a sair de uma posição de risco menor para ir para 
uma posição de risco maior. A soma do custo de oportunidade com o prêmio 
de risco é o que chamamos de custo do capital ou juros. 
A palavra juro, como foi visto acima, representa, portanto, um valor de 
direito que alguém tem por ter cedido sua propriedade a outrem. Podemos 
dizer que o juro nada mais é do que o aluguel do dinheiro. Esta ideia vai de 
encontro com a própria origem da palavra, pois segundo alguns estudiosos, 
como demonstra Rodrigues (2014) juros deriva do “latim jus, juris (direito de 
propriedade, justiça, documento que estabelece um direito)”. Todavia, convém 
ressaltar que nem todas as nações usam o termo juro, os americanos usam 
“interest”, os espanhóis “Interés”, os franceses “intérêt”, assim por diante. 
Resumindo, muitos usam no lugar de “juro” a expressão “interesse”, ou seja, o 
valor que interessa para aquele que cede o dinheiro. Ficou um pouco confuso? 
Então veja este exemplo: 
Imaginemos que o Sr. João Honesto tem um amigo que está precisando 
de $ 200 mil reais emprestados, por certo período de tempo, para comprar um 
carro esportivo. O Sr. João tem este valor disponível, porém o dinheiro está 
aplicado em um banco. Além disso, por coincidência, para o mesmo período de 
tempo que o amigo deseja ficar com o dinheiro o contrato do banco diz que o 
capital do Sr. João vai ser remunerado em $ 10 mil. Ou seja, os $ 200 mil do 
nosso fictício personagem se ficar no banco vai aumentar para $ 210 mil. 
Agora, se Sr. João sacar o dinheiro para emprestá-lo ao amigo, obviamente, 
perderá a oportunidade de ganhar esse juro bancário. Sendo assim, o valor de 
$ 10 mil representa seu “custo de oportunidade”. 
 
 
5 
Quanto ao risco, temos que no banco o risco do Sr. João Honesto é 
praticamente zero, pois lá ele tem liquidez diária (pode sacar seu dinheiro a 
qualquer momento) e, além disso, como o banco é sólido (tradicional e bem 
capitalizado), o risco do banco não devolver o dinheiro é inexpressivo. Agora o 
mesmo não ocorre com o amigo do Sr. Honesto, pois ele pode perder o 
emprego, pode fugir, etc. Seja qual for o caso, acabou o dinheiro e a amizade. 
Por isso tudo, para que o Sr. João Honesto seja convencido a tirar seu dinheiro 
do banco, ele precisa ter alguma vantagem nesse empréstimo para o amigo. 
Quanto de vantagem? Pelo menos um valor que supere os ganhosdo banco 
dado o risco que ele terá que assumir. Em outras palavras, ele precisa receber 
um valor adicional que cubra, segundo sua análise, o risco que está assumindo 
pelo tempo que ficará longe de seu dinheiro. Ele precisa receber um valor 
denominado pelo mercado como “prêmio de risco”. 
Convém ressaltar que o valor de um “prêmio de risco” é algo muito 
pessoal, por isso alguns estipulam quantias maiores e outros valores menores 
do que nós, muitas vezes, acreditaríamos ser certo e/ou justo. Bem, para 
resumirmos a história, vamos supor que o Sr. João considere justo receber um 
prêmio de risco de $ 5 mil pelo empréstimo dos $ 200 mil. Sendo assim, temos 
que o juro a ser cobrado pelo nosso personagem para ceder o empréstimo é de 
$ 15 mil ($ 10 mil de custo de oportunidade mais $ 5 mil de prêmio de risco). A 
partir desse conceito podemos elaborar nosso primeiro modelo matemático a 
ser aplicado em finanças: 
K = J = COp + PR 
Onde: 
K ........... : Custo do capital( em unidades monetárias) 
J ............ : Juros (em unidades monetárias) 
COp ...... : Custo de Oportunidade(em unidades monetárias) 
PR ......... : Prêmio de Risco (em unidades monetárias) 
(1) 
Mas atenção! Este modelo 1, o qual aborda os valores monetários para 
explicar o comportamento do juro é apenas a ponta do iceberg, mas tarde 
veremos uma vertente mais famosa dessa lógica (modelo 4). Acredite, você vai 
gostar! Mas até lá temos um caminho a percorrer, o qual começa com o 
conceito de montante. 
 
 
6 
TEMA 2 – MONTANTE, PRINCIPAL E JUROS: CONCEITOS FINANCEIROS 
Como vimos anteriormente uma dívida tem, no mínimo, dois atores 
envolvidos: alguém que cede um empréstimo e alguém que recebe o 
empréstimo. Aquele que cede o empréstimo deseja receber, além do valor 
emprestado, um valor adicional chamado de juro. Agora quando os juros são 
somados ao valor principal (isto é, ao valor original) o que obtemos é o valor 
total que quita uma dívida, isto é, o valor montante da dívida (modelo 2)1: 
M = P + J 
Onde: 
M .. : Montante = valor original acrescido de juro 
P ... : Principal = valor original do dinheiro emprestado 
J ... : Juro = custo do capital 
(2) 
Portanto, logicamente, é possível deduzir que se for conhecido dois dos 
três elementos desse modelo análise, o terceiro pode ser facilmente 
encontrado. Vamos retornar ao caso do Sr. João Honesto, porém 
transformando-o em quatro questões para ilustrar a aplicação do modelo: 
 
a) Qual é o valor pago para quitar uma dívida cujo valor emprestado foi de 
$200 mil e o juro cobrado foi de 15 mil? 
 
Resolução: 
M = P + J  M = $ 200 mil + $ 15 mil  M = $ 215 mil 
 
b) Qual foi o valor emprestado sabendo que uma dívida foi quitada com um 
pagamento de $ 215 mil e o juro cobrado foi de $ 15 mil? 
 
Resolução: 
M = P + J  $215 mil = P + $15 mil  P = $215 mil – $5 mil  P = $ 200 mil 
 
c) Qual foi o valor do juro cobrado sabendo que uma dívida de $ 200 mil foi 
quitada por $ 215 mil? 
 
Resolução: 
M = P + J  $215 mil = $200 mil + J  J= $215 mil – $200 mil  J = $15 mil 
 
1 O valor principal “P” pode aparecer em alguns livros como “C”, pois eles tratam o valor original 
como Capital, nesses casos a fórmula será: M = C + J. Todavia, o conceito é teórico é o mesmo. 
 
 
7 
 
Já sei o que você está pensando: “Credo, que coisa mais fácil! É só 
isso?”. Bem, já que é assim... Vamos complicar um pouco mais as coisas. Até 
aqui tratamos todos os valores que compõem os juros em termos monetários 
(ou seja, tudo em unidade de dinheiro), porém o mercado não costuma tratá-los 
dessa forma, ele prefere usar as unidades percentuais nos processos 
analíticos. O motivo? Porque assim é mais fácil analisar os custos do capital 
em diferentes possibilidades financeiras. Venha comigo, vou explicar como isso 
é feito. 
Uma percentagem é uma representação simplificada de uma razão 
matemática onde o consequente (ou denominador) apresenta valor igual a 100 
e o antecedente (ou numerador) apresenta... Hum! Ficou um pouco confuso, 
acho melhor exemplificarmos este conceito com uma regra de três simples e o 
caso do Sr. João Honesto. 
Você lembra que o Sr. João Honesto para emprestar seu dinheiro 
desejava receber $ 215 mil, que era os $ 200 mil que emprestará e mais $ 15 
mil referentes ao juro, pois bem, esses $ 15 mil podem ser transformados em 
um valor percentual, como demonstram os sete passos que seguem: 
 
a) Forma de regra de três simples: 
$ % 
200 mil (valor original). 100 
15 mil (valor do juro). x 
b) Dados da regra de três na forma de razão: 
200 𝑚𝑖𝑙
15 𝑚𝑖𝑙
= 
100
𝑥
 
c) Aplicando a 1º propriedade das proporções (multiplicação cruzada): 
200 𝑚𝑖𝑙 . 𝑥 = 100 . 15 𝑚𝑖𝑙  x = 
100 .15 𝑚𝑖𝑙
200 𝑚𝑖𝑙 
 
d) Como sempre teremos o 100 da % neste tipo de conta, vamos destacá-lo: 
𝑥 = 100 .
 15 𝑚𝑖𝑙
200 𝑚𝑖𝑙 
 
e) Resolvendo a razão, isto é, dividindo em cima e em baixo por 200 mil: 
𝑥 = 100 .
 0,075
1 
 
 
 
8 
f) Efetuando a multiplicação da fração em cima e em baixo por 100: 
𝑥 = 
7,5
100 
 = 7,5 por 100 = 7,5% (este valor é chamado de taxa de juro) 
g) Como em finanças o símbolo da taxa de juro é a letra “i” (por causa da 
“interest”) vamos substituir o “x” por “i” para indicar a taxa de juro desse 
empréstimo: i = 7,5% 
 
E, sendo assim, podemos extrair nosso próximo modelo: 
 
i = ( J / P ) . 100 
Onde: 
i ..... : taxa de juro ” para o período de tempo t ” 
J ... : Juro = custo do capital para o período “t” 
P .. : Principal = valor original 
(3) 
 
Resumindo a ópera, temos que $ 15 mil de juros em $ 200 mil 
emprestados é a mesma coisa que uma taxa de juro de 7,5%, ou seja, o 
mesmo que $ 7,5 de juros a cada $ 100,00. Lembra-se do modelo 1? Pois bem, 
agora ele, por causa do uso das taxas, fica assim: 
 
k = i = COp + PR 
Onde: 
k ...... : Custo do capital ( valor em %, k minúsculo) 
i ....... : Taxa de Juros 
COp : Custo de Oportunidade ( valor em %) 
PR ... : Prêmio de Risco ( valor em %) 
 
(4) 
Agora uma dica, considerado o modelo-1 e o modelo-4, o modelo-4 é o 
mais importante, porque ele usa taxas em vez de unidades monetárias, e tanto 
o mercado como a academia preferem analisar o custo do capital por meio de 
percentagens. Por quê? Ora, porque assim é mais fácil comparar as 
aplicações, pois precisamos olhar apenas as variações percentuais que elas 
oferecem. Na mesma forma, fic’’a mais fácil para simularmos operações com 
outros valores de empréstimos com mesmas condições de oportunidade e 
risco. Por exemplo, caso o Sr. Honesto quisesse emprestar mais dinheiro para 
o amigo, veja só como seria os juros e o montante para uma quantia de $ 300 
mil de dinheiro cedido a uma taxa de 7,5% para o período: 
 
 
9 
 
a) Forma de regra de três simples: 
$ % 
300 mil (valor original). 100 
x (valor do juro). 7,5 (taxa de juro) 
 
b) Dados da regra de três na forma de razão: 
300 𝑚𝑖𝑙
𝑥
= 
100
7,5
 
 
c) Aplicando a 1º propriedade fundamental da proporção: 
300 𝑚𝑖𝑙 . 7,5 = 100 . 𝑥  x = 
300 𝑚𝑖𝑙 .7,5
100 
 
 
d) Como sempre estarão presentes neste tipo de conta tanto o valor 100 da % 
e o valor da taxa de juros, vamos destacá-los: 
𝑥 = 300 𝑚𝑖𝑙 . 7,5
100 
  𝑥 = $ 300 𝑚𝑖𝑙 . 0,075 = $ 22.500,00 ; 
 
O que, por sua vez, é a mesma coisa que dizer: 
 
$ 300 𝑚𝑖𝑙 . 7,5% = $ 22.500 
 
E sendo: $300 mil = P ; $ 22,5 mil = J ; 7,5% = i; então podemos extrai com 
esses dados o nosso modelo 5: 
J = P . i 
Onde: 
J ...... : Juros cobrados no período 
P ..... : Principal (valor no início do período) 
i ....... : Taxa de juro para o período 
 
(5) 
e) Como o juro é de $ 22.500,00 podemos encontrar facilmente o montante: 
M = P + J => M = $ 300 mil + $ 22.500 => M = $ 322.500,00 
 
Convenhamos, é bem legal! Mas pode ficar melhor, pois podemos 
modelar tudo isso. Pense comigo...10 
1º O Montante de $ 322,5 mil é a soma do Principal ($ 300 mil) com os Juros 
($ 22,5 mil), sendo assim: M = P + J 
 
2º O Juro de $ 22,5 mil é o produto dos $ 300 mil (Principal) com 7,5% da taxa 
de juro (veja o item “d”, modelo-5), portanto: J = P . i 
 
3º Trocando na fórmula “M = P + J” o J por “P . i ” teremos: M = P + P . i 
 
4º Se colocarmos o P em evidência, o que teremos? Ora, simplesmente a 
fórmula base da matemática financeira para um período, a qual, por sua 
vez, representa nosso próximo modelo matemático: 
 
M = P + J  M = P . ( 1 + i ) 
Onde: 
M ........ : Montante (valor no término do período) 
J ......... : Juros cobrados no período 
P ......... : Principal (valor no início do período) 
i .......... : Taxa de juro para o período 
(6) 
 
Vamos testar! 
a) Montante: 
M = P. (1 + i)  M = 300 mil . (1+ 7,5%)  M= 300 mil . 1,075 = $ 322,5 mil 
 
b) Juros: 
J = P . i  J = $300 mil . 7,5%  J = $ 22,5 mil (resposta juros) ou 
M = P + J  $322, 5 mil = $300 + J  J = $ 22,5 mil (resposta juros) 
 
Viu? O valor obtido com o modelo ficou igual ao valor feito por regra de 
três, só que o cálculo foi bem mais fácil com ele. Acredito que você está 
começando a entender como é legal aplicar a modelagem matemática em 
finanças. Bem vamos complicar um pouco mais as coisas? Que bom que você 
concordou! Então vamos lá, vamos para o tema 3. 
TEMA 3 – CAPITALIZAÇÃO: AJUSTES DE PERÍODOS E TAXAS 
No exemplo que fizemos até agora eu disse que o empréstimo do Sr. 
João Honesto ocorria em certo período, porém não disse qual era a unidade de 
medida desse período (se era dias, semanas, meses ou anos). Além disso, 
 
 
11 
também afirmei que a taxa de juros era referente a este período como um todo 
(veja que os modelos 3, 5 e 6 têm o termo “para o período” em destaque na 
taxa de juro). Todavia, nem sempre isso acontece, pois a capitalização (o 
processo de geração do juro) na maioria das vezes é feito em mais de um 
momento dentro de um mesmo período de tempo. Por fim, o cálculo pode ou 
não considerar juros intermediários e, por isso... Hum! Acho que você ficou 
confuso de novo. Bem, meu caro leitor, fique tranquilo, pois nesse tema eu vou 
explicar tudo isso de um jeito bem fácil. 
3.1 Período de aplicação e período de capitalização 
Como vimos agora a pouco, quando usamos a expressão capitalização 
em finanças estamos nos referindo ao processo de geração de juros ( J ) por 
meio do uso de uma taxa de juro ( i ) dentro de um certo período de aplicação. 
Acontece que essa capitalização dentro do período de aplicação pode ocorrer 
em diferentes quantidades, por exemplo: capitalização diária significa que o 
juro será gerado todos os dias dentro do período de aplicação; capitalização 
mensal significa que o juro será gerado somente a cada mês dentro do período 
de aplicação; capitalização anual significa que o juro será gerado apenas cada 
ano; assim por diante. Ou seja, dentro de um período de aplicação teremos, 
conforme a condição de capitalização, “n” períodos de capitalizações, onde 
pelos menos um dos três cenários que segue ocorrerá: 
 
a) Quando o período “t” (tempo de aplicação) é igual ao da condição de 
capitalização então o valor de “n” será igual a 1, por exemplo: 
 Período de tempo 1 ano , capitalização anual => n = 1 capitalização 
 Período de tempo 1 mês, capitalização mensal => n = 1 capitalização 
 
b) Quando o período de tempo “t” é maior que o da condição da capitalização 
o valor de “n” será maior que 1. Por exemplo, um período de tempo 1 ano 
com capitalização mensal terá 12 períodos de capitalização (n=12), pois: 
Regra de três simples 
Tempo (condição e 
Período) 
n 
(capitalizações) 
Condição da capitalização => 1 mês 1 
Período da aplicação ajustado => 1 ano = 12meses. x 
 
 
 
12 
1
12
= 
1
𝑥
  1. x = 12 . 1  x = 12  n = 12 capitalizações 
 
Aqui temos algo muito importante na matemática financeira: sempre 
devemos ajustar a unidade de medida do “período de aplicação” para ficar igual 
a unidade da “condição da capitalização”, somente depois é que acharmos o 
número “n” de períodos de capitalização. Nesse caso, a condição de 
capitalização era mensal e o período de aplicação era anual, por isso, 1 ano 
virou 12 meses. 
 
c) Quando o período de tempo “t” é menor que o da condição da capitalização 
o valor de “n” será menor que o número 1. Por exemplo, um período de 
tempo 1 mês com capitalização anual tem 0,0833 períodos de capitalização 
(n= 0,0833), pois: 
 
Regra de três simples Tempo n 
Condição da capitalização => 1 ano 1 
Período da aplicação ajustado=> 1 mês = 1/12 ano. x 
 
1
1/12
= 
1
𝑥
  1. x = 1 / 12 . 1  x = 
1
12
  n = 0,0833 capitalizações 
 
Como você pode observar no item “b” e “c” sempre que o período de 
aplicação é ajustado para a unidade de tempo da condição de capitalização, o 
valor que obtemos no ajuste é igual ao valor do próprio “n” (período de 
capitalizações). Então, por conseguinte, basta realizarmos o ajuste das 
unidades para termo o valor de “n”. Vamos exercitar essa questão de ajuste de 
unidade de tempo para você ter certeza disso: 
 
a) Período de aplicação de 2 anos, capitalização bienal: 
n = 1 capitalização, pois aplicação é igual a condição de capitalização 
 
b) Período de aplicação de 2 anos, capitalização mensal: 
1 ano = 12 meses  n= 12 meses/ ano . 2 anos  n = 24 capitalizações 
 
c) Período de aplicação de 6 meses, capitalização anual: 
6 meses = 0,5 ano  n = 0,5 capitalização 
 
 
13 
 
d) Período de aplicação de 1/3 trimestre, capitalização semestral: 
1 trimestre = 1/2 semestre  n =1/2 semestre/ trimestre .1/3 de trimestre  
 n= 1/6 capitalizações = 0,16667 capitalizações 
 
Convenhamos é bem fácil transformar o período do tempo de aplicação 
em um número “n” de quantidades de capitalizações, basta verificar quantas 
capitalizações ocorrem dentro daquele período. Agora uma dica muito 
importante!!! Quando falamos de capitalização em “tempo comercial ou 
ordinário”, saiba que os anos sempre terão 360 dias e os meses sempre terão 
30 dias. Agora se falarmos em capitalização em “tempo civil ou normal”, faça a 
contagem dos anos com 365 dias para os anos normais e 366 dias para os 
anos bissextos, já os meses devem ser contatos segundo os dias que 
realmente apresentarem (obs.: se não for dito qual é o mês use 30 dias como 
regra geral). 
Bem, agora vamos falar sobre as taxas de juros e as capitalizações. 
Para começo de conversa existem várias formas de identificar uma taxa de 
juro: Taxa Nominal, Taxa Proporcional, Taxa Efetiva, Taxa equivalente, Taxa 
Aparente e Taxa Real. Todavia, nesse tema, vamos abordar apenas as duas 
primeiras taxas no próximo tópico. 
3.2 Taxa de juro nominal e taxa de juro efetiva 
A Taxa de Juro Nominal é o nome que uma taxa recebe quando não 
sabemos qual é a capitalização que será feita ou quando a unidade de tempo 
da taxa não bate com a unidade de tempo da capitalização. Por exemplo, se 
alguém falar para você que a taxa de juro é de 12% ao ano e não diz qual é a 
capitalização, então 12% ao ano é uma taxa nominal. Na mesma forma, se lhe 
for dito que a taxa de juro é de 12% ao ano e a capitalização é mensal, então 
12% ao ano também é uma taxa nominal, pois nesse caso a unidade de tempo 
da taxa é ano e a unidade da capitalização é mês. 
A taxa efetiva, por sua vez, nada mais é do que uma taxa que 
efetivamente é usada no cálculo de matemática financeira, pois sua unidade de 
tempo é igual a unidade de tempo da condição de capitalização. Por exemplo, 
12% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva; como 2% ao mês com 
capitalização mensal também é uma taxa efetiva. Agora quando recebemos 
 
 
14 
uma taxa de juro e ela não apresenta igualdade para com a unidade de tempo 
da capitalização dizemos que ela é apenas uma taxa nominal e, sendo assim, 
precisa ser convertidaem uma taxa efetiva de juro para poder ser usada nos 
cálculos. Por exemplo, 36% ao ano com capitalização mensal é uma taxa 
nominal, porém utilizando o conceito de proporcionalidade podemos 
transformá-la em 3% ao mês, a mágica é a seguinte: 
 
Resolução por 
Regra de três simples 
Taxas de juro 
( i ) 
Período 
(unid. capitalização) 
Taxa nominal => 36% = 0,36 12 meses 
Taxa efetiva => x . 1 mês 
 
0,36
𝑥
= 
12
1
  12. x = 0,36 . 1  x = 
0,36.1
12
  x = 0,03  i = 3% 
 
Ou seja, para transformar uma taxa nominal e uma taxa efetiva 
precisamos ajustá-la, o que, por sua vez, pode ser feito facilmente por meio de 
uma regra de três ou por meio de um modelo que pode ser derivado desse 
procedimento lógico: 
 
x = 0,24 . 
 1 mês
12 meses
  i efetivo = i nominal . 
condição capitalização
período da taxa nominal
 (7) 
 
Vamos fazer alguns exercícios com este modelo com ajuda de Castanheira e 
Macedo (2010, p.68-69): 
 
a) Taxa 24% ao ano, capitalização mensal: 
i efetivo = 24% . 
 1 𝑚ê𝑠
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
  i efetivo = 0,24 . 0,0833  i efetivo = 2% ao mês
2 
 
b) Taxa 36% ao ano, capitalização bimestral: 
i efetivo= 36% . 
 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
  i efetivo= 0,36 . 0,1667  i efetivo= 6% ao bimestre 
ou 
i efetivo= 36% . 
 1 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
6 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
  i efetivo= 0,36. 0,1667 i efetivo= 6% ao bimestre 
 
2 A simbologia “” significa “portanto” 
 
 
15 
 
c) Taxa 20% ao semestre, capitalização trimestral: 
i efetivo= 20% . 
 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
  i efetivo= 0,20 . 0,5  i efetivo= 10% ao trimestre 
ou 
i efetivo= 20% . 
 1 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
2 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
  i efetivo= 0,20. 0,5 i efetivo= 10% ao trimestre 
 
Viu? O ajuste da taxa é muito fácil, todavia, exige atenção. Bem agora 
que já sabemos ajustar os períodos e as taxas de juros às condições de 
capitalização, vamos estudar quais são as duas principais formas de geração 
de juro: Capitalização simples e Capitalização composta. 
TEMA 4 – CAPITALIZAÇÃO: REGIME SIMPLES E COMPOSTO DE JUROS 
O processo de capitalização, como já vimos de forma bem sintética no 
tema 1, consiste no ato de gerar um valor de juro em certo período de tempo 
com base em uma taxa de juro “i”. Até aqui esta lógica estava expressa no 
seguinte modelo: M = P + J  M = P + P . i  M= P . ( 1 + i ) 
Acontece que este modelo trata o processo de capitalização como sendo 
n = 1, ou seja, a capitalização somente ocorreu uma vez dentro do período de 
tempo da aplicação. Todavia, como vimos anteriormente, dentro de um período 
de aplicação o processo de capitalização pode ocorrer também com valores de 
n < 1 (uma fração do período de aplicação) ou com valores de n > 1 (mais de 
uma vez dentro do período de aplicação). E, dado esse fato, precisamos 
evidenciar a variável “n” em nossos cálculos. Para tanto, devemos considerar 
que o “J” é na verdade um caso de n=1 e, sendo assim, devemos mudar nossa 
fórmula: 
 
M = P + ∑ .𝑛𝑗=1 J j  M = P + ( J 1 + J 2 +...+J n) 
Onde: 
M : Montante (valor final) 
P : Principal (valor original) 
 J : Somatório d os juros formados no período (de j=1 até j=n) 
J1 : Juro formado na primeira capitalização ( j = 1) 
J2 : Juro formado na segunda capitalização ( j = 2) 
Jn : Juro formado na “enésima” capitalização (última capitalização; j =n) 
 
 
16 
 
O pulo do gato aqui é saber que existem duas formas diferentes de gerar 
os juros: capitalização simples de juros e capitalização composta de juros. A 
capitalização simples é uma forma na qual a taxa de juro “i” somente terá 
impacto sobre o valor principal (valor original do capital), já a capitalização 
composta a taxa “i”, por sua vez, irá impactar em cada etapa da capitalização 
tanto no principal como também no valor do juro acumulado até então. Vamos 
entender essa lógica! 
4.1 Capitalização Simples 
Se adaptarmos o modelo “M = P + J” para um cenário de várias 
capitalizações com a taxa impactando apenas no valor do P, o que teremos 
será um valor constante para cada item do J j , pois: 
 
M = P + ∑ .𝑛𝑗=1 J j  M = P + J1 + J2 +...+Jn 
 
Onde: J1 = P . i ; J2 = P . i ; Jn = P . i ; 
 
Ou seja: J1 = J2 = ...= Jn = J  ∑ .𝑛𝑗=1 J j = n . J ou J . n 
 
Sendo assim: M = P + ∑ .𝑛𝑗=1 J j  M = P + J . n  M = P + P . i . n 
 
Portanto, todos os juros que serão gerados terão o mesmo valor e, por 
isso, para acharmos o valor do juro total ( J), basta multiplicar quantas vezes 
este valor único de juro aparece: “J . n” ou “P. i . n”. Agora se deixarmos em 
evidência o P na fórmula “M = P + P . i . n” teremos a modelagem matemática 
que representa a capitalização simples dos juros: 
 
M = P . ( 1 + i . n ) 
Onde: 
M .......... : Montante (valor no término do período de tempo) 
P ........... : Principal (valor no início do período “t”) 
i ............. : Taxa de juro ajustada à condição de capitalização 
n ........... : Período de capitalização 
(8) 
 
Vamos exercitar! Relembrando o cenário original do Sr. João Honesto, 
temos que eram R$ 200 mil de empréstimos com um juro de 7,5% para o 
17 
período como um todo. Agora vamos alterar um pouco as coisas para 
entendermos o que é a capitalização simples dos juros. Imaginemos que este 
período do empréstimo é de 1 ano e que Sr. Honesto resolveu que seria justo 
que os 15% de juro do período (isto é, ao ano) fossem considerados por 
capitalização mensal em regime de cálculo por juros simples. Quanto será 
cobrado de juro neste um ano e quanto será o montante a ser pago ao final do 
empréstimo? (Obs.: só para facilitar a demonstração vamos omitir a “mil” na 
resolução e adicioná-lo somente no final) 
a) Resolução método extenso (somente para fins didáticos):
Antes de efetuarmos os cálculos 
precisamos verificar se a taxa de 
juro é nominal ou efetiva3: 
Se a taxa é de 15% ao ano e a 
capitalização é mensal, temos 
aqui apenas taxa nominal de juro. 
Sendo assim, precisamos 
transformá-la em taxa efetiva: 
i = 15% / 12 = 1,25% ao mês 
Nesta tabela de capitalização simples fica evidente que o valor do juro é 
sempre o mesmo, pois a taxa de juro sempre vai impactar apenas no valor do 
Principal no momento zero. Sendo assim, ao término do período de aplicação 
(ou seja, na data de devolução do empréstimo) o Sr. João Honesto precisa 
receber seus R$ 200 mil mais R$ 30 mil de Juros referentes aos 0,0125% ao 
mês de taxa de juro. 
3 É importante deixar bem claro que nem todos usam o termo “taxa efetiva” para a taxa utilizada no 
cálculo de capitalização simples de juros. Em geral, se reserva o termo “taxa efetiva” para a 
capitalização composta de juros, assim, no juro simples o termo mais usado é “taxa proporcional”. 
Todavia, por uma questão de coerência semântica vamos usar aqui na aula o termo “taxa efetiva”, 
dado o fato que é ela (esta taxa proporcional) que efetivamente é usada no cálculo. 
 
 
18 
b) Resolução por modelagem (o que deve ser feito sempre) 
 
Fórmula para encontramos o montante: M = P . ( 1 + i . n ) 
 
M= 200.(1+1,25%.12)  M=200.(1+1,25/100. 12)  M= 200.(1+0,0125 .12) 
M= 200 . (1 + 0,1500)  M = 200 . 1,15  M = R$ 230 mil (montante) 
 
Fórmula para encontramos o juro: J = P . i . n 
J = 200 . 1,25% . 12  J = 200 . 1,25/100 . 12  J= 200 . 0,0125 .12 
J = 200 . 0,15  J = R$ 30 mil (juro) 
 
Usando os dois modelos que deduzimos na explicação teórica, 
obtivermos os mesmos valores da tabela. Agora, você percebeu que no juro 
simples 15% ao ano e 1,25% ao mês terão o mesmo resultado? Pois é, isso 
sempre acontecerá na capitalização simples de juro, mas o motivo eu só vou 
explicar no tema cinco dessa aula. Então segura a curiosidade até lá. 
4.2 Capitalização Composta 
Adaptando agora o modelo básico que vimos para um cenário de várias 
capitalizações para uma condição onde a taxa de juros incide tanto no valor do 
P como também nos jurosacumulados, o que teremos serão valores diferente 
para cada item do J j : 
 
M = P + ∑ .𝑛𝑗=1 J j  M = P + J1 + J2 +...+Jn 
 
Onde: J1 = P0 . i ; J2 = P1 . i ; Jn = Pn . i 
 
Ou seja: ∑ .𝑛𝑗=1 J j = J1 + J2 +...+Jn = ( P. i ) + ( P1 . i ) + ... + ( Pn . i ) 
 
Sendo assim: P1 = P + P . i  P1 = P . ( 1 + i )  
P2=P1 + P1 . i  P2 = P1 .(1+ i )  P2 = P. ( 1 + i ) . (1 + i ) P2 = P . (1 +i )2 
 
Portanto, para encontrar o valor de cada novo “P” dentro do período de 
aplicação basta multiplicar o valor do P original por (1 + i ) elevado ao período 
de capitalização, aqui foi 2, sendo assim: Pn = P . (1 +i )n. 
Por fim, temos que sendo Pn o último valor capitalizado ele é, em 
verdade, o próprio valor Montante do período de capitalização, o que, por sua 
19 
vez, no permite obter a modelagem matemática que representa a capitalização 
composta dos juros: 
M = P . ( 1 + i )n 
Onde: 
M .. : Montante (valor no término do período de tempo) 
P .. : Principal (valor no início do período “t”) 
i .... : Taxa de juro ajustada à condição de capitalização 
n ... : Período de capitalização 
(9) 
Vamos exercitar! Novamente vamos relembra o cenário original do Sr. 
João Honesto e de novo vamos alterar um pouco as coisas para entendermos, 
agora, o que é a capitalização composta dos juros. Imaginemos que este 
período do empréstimo é de 1 ano e que Sr. Honesto resolveu que seria justo 
que os 15% de juro do período (isto é, ao ano) fosse por capitalização mensal 
em regime de calculo por juros composto. Quanto será cobrado de juro neste 
um ano e quanto será o montante a ser pago ao final do empréstimo. (Obs.: só 
para facilitar a demonstração vamos, novamente, omitir a “mil” na resolução) 
a) Resolução método extenso (somente para fins didáticos):
Nesta tabela de capitalização composta fica evidente que o valor do juro 
é diferente em cada momento de capitalização, pois a taxa de juro sempre vai 
impactar no valor do Principal no momento zero mais o valor acumulado de juro 
até aquele momento novo. Sendo assim, ao término do período de aplicação 
 
 
20 
(ou seja, na data de devolução do empréstimo) o Sr. João Honesto precisa 
receber seus R$ 200 mil mais R$ 32,15 mil de Juros referentes aos 1,25% ao 
mês de taxa de juro. Ou seja, ele precisa receber R$ 2,15 mil a mais que o 
valor do juro simples. O mercado chama isso de juros sobre juros. 
Agora, você notou que o cálculo para transformar a taxa nominal em 
taxa efetiva é o mesmo que no juro simples? Pois é, não existe diferença nesse 
ponto. Também não existe diferença de valores no momento n=1. O motivo? 
Ora, quando é n = 1 no juro simples temos que “(1 + i . n) = (1 + i .1) = (1 + i)”; 
já no juros compostos “( 1 + i ) n = ( 1 + i ) 1 = ( 1 + i )”. Ou seja, tanto no juro 
simples como no juro composto, quando é n=1 , o valor multiplicado de P é 
apenas (1 + i). Aposto que você entendeu porque é que quando temos apenas 
uma capitalização dentro do período de aplicação podemos usar apenas a 
fórmula “M = P . ( 1 + i )” que foi vista no tema 2. 
Bem, como já sabemos qual é a diferença entre juros simples e juros 
compostos, vamos ver como podemos ter para um mesmo Valor Principal um 
mesmo resultado de montante, em condições de capitalização diferentes, 
dentro de um mesmo período de tempo de aplicação. Chegou a hora de 
estudarmos o que são taxas equivalentes e proporcionais. 
TEMA 5 – TAXAS EFETIVAS: PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES 
Intuitivamente, talvez você espere que um mesmo valor principal de 
capital, dentro de um mesmo período de aplicação, em condições de 
capitalizações diferentes, tenha sempre para taxas efetivas distintas também 
valores Montantes diferentes. Todavia, se olharmos bem as fórmulas que foram 
estudas até aqui podemos deduzir que, em verdade, nem sempre isso 
ocorrerá. Por quê? Simplesmente, porque em matemática financeira existe 
tanto a condição das “taxas proporcionais” nos juros simples como a condição 
das “taxas equivalentes” nos juros compostos. Ou seja, existem cenários 
financeiros em que taxas efetivas diferentes, para um mesmo valor de 
Principal, geram, conforme a condição de capitalização, resultados iguais de 
Montante em um mesmo período de aplicação. Vamos agora estuda-los! 
5.1 Capitalização Simples: Taxas Proporcionais 
Este, por certo será um dos mais curtos tópicos dessa aula, pois ele 
apenas apresenta a constatação de um fato que está explícito na fórmula de 
 
 
21 
capitalização simples. Para tanto, vamos usar alguns exemplos de 
capitalização diferentes para uma taxa de juro anual de 24% (taxa nominal) 
aplicada em um valor principal de R$ 10 durante um período de aplicação igual 
a 2 anos: 
 
a) Capitalização diária, juros simples (ano comercial): 
 
1º) Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano / 360 dias = 0,066667% ao dia (taxa efetiva) 
n= 2 anos . 360 dias = 720 dias = 720 capitalizações 
 
2º) Cálculo do valor montante: 
M= P.(1 + i.n ) => M= $10.(1+0,06667% . 720) => M= $10.(1 + 48%)  
M= $10 . 1,48 => M = R$ 14,80 
 
b) Capitalização mensal, juros simples: 
 
1º) Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano / 12 meses = 2 % ao mês (taxa efetiva) 
n= 2 anos .12 meses = 24 meses = 24 capitalizações 
 
2º) Cálculo do valor montante: 
M= P.(1 + i.n ) => M= $10 . ( 1 + 2% . 24) => M = $10 . (1 + 48%)  
M = $ 10 . 1,48 => M = R$ 14,80 
 
c) Capitalização anual, juros simples: 
 
1º) Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano (taxa efetiva) 
n= 2 anos 
 
2º) Cálculo do valor montante: 
M= P. (1 + i.n ) => M = $ 10 . ( 1 + 24% . 2) => M = $ 10 . (1 + 48%)  
M = $ 10 . 1,48 => M = R$ 14,80 
 
 
22 
Pense comigo! Se para realizarmos um cálculo de valor Montante 
precisamos ajustar o período do tempo e a taxa de juros para condição de 
capitalização, isto é, precisamos deixá-las na mesma unidade de tempo da 
condição... Então, nos juros simples, por “i” e “n” serem fatores de uma 
multiplicação, sempre teremos para uma mesma taxa nominal, dentro de um 
mesmo período de aplicação, o mesmo valor montante como resultado, não 
importa a condição de capitalização. Está duvidando? Então veja isso: Valor 
principal de R$ 20; Tempo de aplicação 3 anos; taxa de juro de 1% ao dia 
(considerar ano comercial) com condição de... 
 
a) Capitalização mensal, juros simples: 
M=20.(1+(1%.30).(3.12) )= 20.(1+ 3 . 36) = 20.(1+10,8) = 20.11,8 = $236,00 
 
b) Capitalização anual, juros simples: 
M=20.(1+(1%.360). 3 ) = 20.(1+ 3,6 . 3) = 20.(1+10,8) = 20.11,8 = $236,00 
 
c) Capitalização trienal, juros simples: 
M=20.(1+(1%.3.360).(3/3))=20.(1+10,8 .1)=20.(1+10,8)=20.11,8 = $236,00 
 
Viu? Mesmo com taxa nominal ao dia, tempo de aplicação em anos os 
resultados são sempre os mesmos para o valor montante. Pois, na 
capitalização simples as taxas proporcionais obtidas geram resultados iguais 
de montantes para o mesmo período de aplicação. 
5.2 Capitalização Composta: Taxas Equivalentes 
Vamos ver agora o que acontece na capitalização composta. Vamos 
começa fazendo os três exemplos do tópico anterior: taxa de juro anual de 24% 
(taxa nominal) para um valor principal de R$ 10 durante um período de 
aplicação igual a 2 anos: 
 
a) Capitalização diária, juros compostos (ano comercial): 
 
1º) Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano / 360 dias = 0,066667 % ao dia (taxa efetiva) 
n= 2 anos .360 dias = 720 dias 
 
 
23 
 
2º) Cálculo do valor montante: 
M=P.(1+ i )n => M= $10.( 1+0,06667%)720 => M= $10. (1,0006667)720  
M = $ 10 . 1,615816 => M = R$ 16,16 
 
b) Capitalização mensal, juros compostos: 
 
1º) Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano / 12 meses = 2 % ao mês (taxa efetiva) 
n= 2 anos .12 meses = 24 meses 
 
2º) Cálculo do valor montante: 
M = P.( 1 + i )n => M= $ 10 . ( 1 + 2%) 24 => M = $ 10 . (1,02)24  
M = $ 10 . 1,608437 => M = R$ 16,08 
 
c) Capitalização anual, juros compostos: 
 
1º) Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano (taxa efetiva) 
n= 2 anos 
 
2º) Cálculo do valor montante: 
M = P . ( 1 + i )n => M = $ 10 . ( 1 + 24%)2 => M = $ 10 . (1,24)2  
M = $ 10 . 1,5376 => M = R$ 15,38 
 
Como você pode ver, agora não temos com o uso das taxas 
proporcionais valores iguais de montante. O motivo? Simples, o valor de “n” no 
juro composto é utilizado na forma de potência. Por isso, na capitalização 
composta de juros, para obtermos um mesmo valor montante para certo valor 
de principal, dentro de um mesmo período, se faz necessário o uso de uma 
taxa de equivalência. Ou seja, não basta simplesmente fazer a taxa 
proporcional de uma mesma taxa nominal. Veja como esta taxa efetiva 
equivalente a pode ser obtida, por meio desse exemplo: Vamos encontrar a 
“taxa equivalente anual” da “taxa efetiva diária 0,06667%”: 
 
 
 
24 
Se: 
M=P.( 1 + i )n = $10.(1+0,06667%)720 dias = 16,15816 = $ 16,16 
 
Então: 
16,15816 = 10.(1+ i )2 anos  16,15816/10 = (1+ i)2  1,615816 = (1+ i)2  
 
1+i =√1,615816
2
 (raiz de índice 2)1+i =1,6158161/2 1+i =1,271147  
 
i =1,271147 - 1  i = 0,271147 = 27,1147% 
 
Vamos testar: 
M=P.( 1 + i )n = $10.(1+27,1147%)2 anos = $ 16,158 = $ 16,16 
 
Lógica aprovada, vamos modelar para achar i que queremos (i q): 
 
10.(1+ i q)2 anos=10.(1+0,06667%)720 dias; vamos simplificar o valor 10 
 
(1+ i q)2 anos = (1+0,06667%)720 dias 1 + i q = [ (1+0,06667%)720 dias] 1/2 anos  
 
1 + i q = (1+0,06667%) 720 dias / 2 anos  i q = (1+0,06667%) 360 / 1 - 1 
 
Vamos interpretar o que significa a potência “360/1”. Ela demonstra uma 
razão entre as duas unidades de tempo do cálculo; onde temos que, 
logicamente, são necessários 360 dias para cada 1 ano. Todavia, também 
podemos interpretar esse cenário como sendo que a taxa diária de 0,06667% 
(a taxa efetiva que temos) precisa ser elevada por 360 dias (= 1 ano, condição 
de capitalização que queremos) para ser convertida em uma taxa efetiva anual 
(taxa efetiva que queremos). Sendo assim, podemos transformar nossa lógica 
financeira na seguinte modelagem matemática: 
 
i 
q
 = ( 1 + i 
t
 ) nq / nt ─ 1 
Onde: 
i 
q
 .. : taxa efetiva de juro que quero 
i 
t 
 .. : taxa efetiva de juro que tenho 
n 
q 
 : período de capitalização que quero (na unidade de n 
t 
) 
n 
t
 . : Período de capitalização que tenho 
(10) 
 
Vamos testar! 
 
 
25 
a) Taxa equivalente anual da taxa efetiva diária 0,06667% (ano comercial): 
i q = ( 1 + i t ) nq / nt – 1  i q = ( 1 + 0,06667%) 360 dias / 1 dias – 1  
i q = 1,000667 360 – 1  i q = 1,271147 – 1  i q = 27,1147% 
 
Comprovando a taxa de equivalência: período de aplicação de 2 anos: 
 
M= P.(1 + i )n => M = $10.(1+0,06667% ao dia ) 720 dias => M = R$ 16,16 
 
M= P. (1 + i )n => M = $10.(1+27,1147% ao ano) 2 anos => M = R$ 16,16 
 
Conclusão: montantes iguais, portanto, as taxas são equivalentes. 
 
b) Taxa equivalente mensal da taxa efetiva diária 0,06667% (ano comercial): 
i q = ( 1 + i t ) nq / nt - 1  i q = ( 1 + 0,06667%) 30 dias / 1 mês - 1  
i q = 1,000667 30 – 1  i q = 1,020195 – 1  i q = 0,020195 = 2,0195% 
 
Comprovando a taxa de equivalência: período de aplicação de 24 meses: 
 
M= P.(1 + i )n => M = $10.(1+0,06667% ao dia ) 720 dias => M = R$ 16,16 
 
M= P. (1 + i )n => M = $10.( 1 + 2,0195% ao mês) 24 meses => M = R$ 16,16 
 
Conclusão: montantes iguais, portanto, as taxas são equivalentes. 
Resumindo a opera, temos que na capitalização composta de juros: 
i=0,06667% a.d. equivale a i=2,0195% a.m. que equivale a i=27,1147% a.a. 
Onde: a.d. = ao dia ; a.m. = ao mês ; a.a = ao ano 
Ou seja, essa em um mesmo período de aplicação, qualquer valor 
Principal terá o mesmo valor Montante, quando essas taxas efetivas forem 
utilizadas. Todavia, diferente do que ocorre na capitalização simples de juros, 
essas taxas efetivas apresentam taxas nominais anuais diferentes entre si: 
 Taxa efetiva 0,06667% a.d. . 360 dias = taxa nominal de 24,0000% ao ano 
 Taxa efetiva 2,0195% a.m . 12 meses = taxa nominal de 24,2335% ao ano 
 Taxa efetiva 27,1147% a.a . 1 ano = taxa nominal de 27,1147% ao ano 
 
Então não se esqueça de que: 
 
 
26 
 
1) Taxas proporcionais da taxa nominal, na capitalização simples de juros, 
geram valores montantes iguais para um mesmo valor de principal 
(capital original) dentro de um mesmo período de capitalização; 
 
2) Taxas efeitivas equivalentes, na capitalização composta de juros, geram 
valores montantes iguais para um mesmo valor de principal (capital 
original) dentro de um mesmo período de capitalização. Todavia, não 
apresentam, necessariamente, igualdade nas taxas nominais quando 
usada o princípio da proporção. 
 
TROCANDO IDEIAS 
Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos as 
bases da matemática financeira e vimos sinteticamente como a economia 
interpreta o juro e a capitalização composta e simples. Agora entre no fórum da 
disciplina e usando este conhecimento geral adquirido reflita com seus pares 
como a AVEF, se a capitalização composta de juros é justa ou não, para tanto, 
usem como base o seguinte texto on-line: 
 
http://profmoney.com.br/investimentos/juros-compostos-por-que-e-justo/ 
Acessado em 25/julho/2017 
 
NA PRÁTICA 
A) Leitura do caso 
O Sr. Kenenóis tem uma aplicação no Banco “A” no valor de R$ 100 mil, 
onde a capitalização é mensal, com taxa de 18,6% ao ano. Acontece que o Sr. 
Kenenóis pediu ao Banco “B” uma proposta de taxa para sua aplicação, para 
ver se valeria a pena transferir seus recursos do Banco “A” para o Banco “B”. 
Na análise o Sr. Kenenóis precisa considerar que: (i) o banco “B” somente 
trabalha com a condição de capitalização anual; (ii) na opinião do nosso 
personagem, o Banco “A” tem um risco zero e o Banco “B” tem um risco efetivo 
de 2,73% ao ano. Sabendo que ambos as aplicações são capitalizações 
compostas de juro, responda: qual deve ser a taxa efetiva mínima anual no 
http://profmoney.com.br/investimentos/juros-compostos-por-que-e-justo/
27 
banco “B” para que este homem considere a possibilidade e mudar sua 
aplicação de banco e, também, quanto ele terá de montante após 6 meses de 
aplicação caso mude de banco? 
B) Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o
problema
Para resolver esse problema precisamos encontra a taxa efetiva do 
banco “A” (tema 3), depois precisamos determinar a taxa equivalente anual da 
taxa mensal do Banco “A” (Tema 5) – ela será o custo de oportunidade o Sr. 
Kenenóis. Depois, precisamos encontra a taxa mínima para banco “B” 
considerando o custo de oportunidade e o prêmio de risco (tema 1). Por 
fim, vamos calcular o valor montante, por meio de uma capitalização composta, 
que exige ajuste de período (respectivamente, tema 4 e 3). 
C) Apresentação da solução do problema
1º passo: encontrar a taxa efetiva mensal do banco “A” 
18% ao ano com capitalização mensal => 18% / 12 meses => i = 1,55% a.m. 
2º passo: encontrar a taxa efetiva equivalente anual da taxa efetiva 
mensal 
 i q = ( 1 + i t ) nq / nt - 1 ∴ i q = ( 1 + 1,55%) 12 meses / 1 mês - 1 = 20,27% 
3º passo: encontrar a taxa efetiva anual para transferência 
i = COp + PR ∴ i = 20,27% + 2,73% ∴ i = 23% 
4º passo: Ajustar o período para o cálculo do juro composto 
Condição de capitalização anual ∴ 
Período de aplicação 6 meses = Período de capitalização 0,5 ano 
5º passo: Calcular o valor montante 
M = P . (1 + i ) n ∴ M = 100 . (1 + 23% ) 0,5 ∴ M = 110,9056 = $ 110,91 
Resposta: Taxa efetiva mínima anual 23% ; M = $ 110,91 
 
 
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FINALIZANDO 
Então, meu caro leitor, como foi visto nesta aula, em finanças o valor 
inicial “P” do capital sofre incrementos ao longo de um período de aplicação em 
virtudedo impacto que a taxa de juro efetiva “i” tem sobre ele. Todavia, para 
que o juro “J” e o valor montante “M” possam ser definidos se faz necessário 
conhecer, antes de tudo, as condições de capitalização estabelecidas entre a 
parte que cede e a parte que recebe o capital (quando o juro será criado). O 
motivo? Pois somente assim podemos transformar o período da 
aplicação/empréstimo em um valor de “n” períodos de capitalização e, também, 
ajustar os valores das taxas nominais para valores de taxas efetivas. Além 
disso, também vimos que para realização dos cálculos, também precisamos 
saber se a capitalização dos juros será realizada de forma simples (apenas 
sobre o Principal) ou de forma composta (juros sobre juros). E convém lembrar 
que nessa rota também vimos que a taxa de juros é composta basicamente por 
duas variáveis (custo de oportunidade e prêmio de risco) e que ela, além de 
poder ser tratada de como informação nominal e efetiva, também pode ser 
analisada segundo a percepção da equivalência (taxa proporcional para juros 
simples, taxa equivalente para juros compostos). E, antes de terminarmos, não 
se esqueça de sempre ajustar o período de aplicação para período de 
capitalização, como também equalizar as unidades das taxas de juros para a 
condição de capitalização. E isso é tudo pessoal....por enquanto! 
 
REFERÊNCIAS 
 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W., Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: Intersaberes, 2013 
CASTANHEIRA, N.P; MACEDO, L.R.D.Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2010 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011 
RODRIGUES, S. Juros, o roubo do tempo. Coluna Sobre Palavras. Revista 
Veja. Out. 2014. Disponível em :<< http://veja.abril.com.br/blog/sobre-
palavras/juros-o-roubo-do-tempo/>> acesso 25/07/2017.