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BANCO DO BRASIL
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Olá pessoal, tudo bem? É com grande alegria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com você, que pretende ingressar no Banco do Brasil. Pensando nisso procurei uma maneira mais eficaz de abordarmos os principais tópicos de “matemática financeira” que poderão estar em seu concurso. 
No decorrer do nosso estudo, durante os comentários estaremos introduzindo alguns conceitos e métodos de resoluções. Ok?
Vamos lá!!!
MÓDULO I
Neste módulo serão apresentados métodos para resolução de questões de concursos públicos relacionados a problemas envolvendo:
· Matemática Financeira: Juros simples e composto. Desconto simples racional e comercial;
· Taxas nominal, taxa efetiva, taxas equivalentes, equivalência de capitais e fluxos de caixas.
Gostaria de sugerir um desafio antes de começarmos os nossos estudos, ok?
DESAFIO
Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos:
Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que
I – 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.
II – 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.
III – 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.
IV – 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.
Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é
a) 58%
b) 56%
c) 54%
d) 52%
e) 48%
Comentário ao final do módulo. 
Neste módulo proponho desenvolver, gradualmente, o raciocínio matemático financeiro e criativo, promovendo maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a interpretar tais questões por meio da prática e aplicação de métodos que facilitarão nas resoluções das questões. 
Em virtude de não haver muitas questões da banca disponíveis, o módulo é constituído com questões que seguem o mesmo formato. 
Antes de começarmos, vejamos uma questão para que você venha a entender como é importante a matemática financeira para o nosso dia-a-dia:
QUESTÃO 01. Imagine que você chega a um Shopping para comprar a televisão dos seus sonhos e ao entrar em uma loja verifica que o televisor é vendido conforme as seguintes opções:
I – R$ 5 000,00, à vista sem desconto.
II – R$ 1 000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4 500,00 em 1 (um) mês após a data da compra.
Suponhamos que você decide comprá-la, e na hora de efetuar o pagamento, a opção escolhida foi a segunda. A pergunta é a seguinte: A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção é de:
a) 30% b) 25% c) 20% d) 15% e) 12,5%
Comentário:
Sobre o saldo devedor estamos pagando 500,00 de juros, logo
4.000 _________ 100% 
500 _________ x
Resposta letra e. 
Então fica a dica, ou seja, sempre pagamos juros sobre o saldo devedor e quando o período da operação é apenas uma unidade de tempo, podemos responder por uma regra de três simples. Ok? Valeu!
Agora é a sua vez!!!
02. (CESPE) uma loja oferece a seus clientes duas opções de pagamento na compra de um bem cujo preço é R$ 1.210,00:
I à vista com 10% de desconto;
II em duas prestações mensais iguais e consecutivas, sem desconto, a primeira paga no ato da compra.
Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.
1. À vista o bem terá um preço inferior a R$ 1.000,00.
2.Na segunda opção de pagamento, a loja tem embutida uma taxa mensal de juros superior a 20%.
Gabarito: 1. e 2. c
1 . JUROS SIMPLES:
	Primeiramente vamos iniciar com alguns conceitos básicos, ou seja, os parâmetros necessários para que possamos interpretar os processos financeiros que serão utilizados:
 1. Juro: é a remuneração dada a qualquer título de capitalização, ou seja, pelo uso do capital aplicado, ou por uma atividade produtiva, durante um certo tempo e à uma determinada taxa. Esse intervalo de tempo utilizado na aplicação do capital à uma referida taxa, é denominado período financeiro ou período de capitalização.
	2. Tempo: Os juros são fixados através de uma taxa percentual, que sempre se refere à uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc. 
	3. Taxa: A taxa de juros mensura o custo da unidade de capital, no período (tempo) a que se refere. Essa taxa é fixada no mercado de capitais conforme a lei da oferta e procura, observando o regime utilizado, isto é, simples ou composto. É a razão entre os juros pagos ou recebidos e o capital aplicado, num determinado intervalo de tempo.
Os juros são classificados em simples e compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Juros simples são aqueles calculados somente sobre o capital inicial. É importante observar que no regime simples de capitalização, o nosso referencial é o capital, em o que o juro é calculado apenas uma vez e adicionado aos montantes, o que nos faz lembrar de uma progressão aritmética crescente. 
Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado (também chamado de principal ou ainda, valor presente) é diretamente proporcional ao seu valor (capital) e ao tempo de aplicação.
As relações entre as grandezas utilizadas são diretamente proporcionais, isto é, quanto maior o capital, maior o juro e quanto maior a taxa, também, maior o juro e por fim, quanto maior o tempo de aplicação, maior o juro. 
 O fator de proporcionalidade é a taxa de juros, sendo que varia linearmente ao longo do tempo (1% ao dia é igual a 30% ao mês, que é igual a 360% ao ano, etc.). É importante ressaltar que o juro simples obedece uma função o 1° grau. 
	Podemos observar que a reta representa a capitalização simples, ou seja, o crescimento é linear, a cada período é adicionado o mesmo valor (juro). 
	Vamos descrever as grandezas utilizadas nos juros simples:
	C: Capital (aplicação)
	t: tempo, o número de períodos em que esteve aplicado o capital ou valor presente (como o juro simples é dito comercial, usa-se o tempo comercial para os cálculos, ou seja, 30 dias no mês e 360 dias no ano).
	i : taxa 
	J: juros (rendimento) 
	M: montante C + J 
Vamos aprender como as grandezas se relacionam, ok?
Quais as fórmulas que temos que guardar? 
J = C. i . t
M = C + J
M = C + C . i . t
M = C (1 + i.t)
Vejamos alguns exemplos:
03. Ano: 2018 Banca: FUNRIO Órgão: AL-RR Prova: Economista
Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída.
A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 150,00, foi de
 a) 8,70%. 
 b) 7,50%.
 c) 6,25%.
 d) 5,10%.
Comentário:
No juro simples, o juro não é capitalizado, dessa forma calculamos o juro uma só vez e vamos adicionando aos montantes anteriores. Podemos aplicar tranquilamente uma regra de três simples para encontrar as grandezas, partindo do pressuposto que o capital será sempre 100%. 
Para ficar mais claro ainda, iremos resolver de duas formas.
(Forma algébrica). Pela fórmula:
De maneira algébrica, pela fórmula dos juros simples (J = C. i. t) para encontrar a taxa de juros, temos:
J = C. i. t, isolando a taxa (i).
i = J/ C . t 
i = 150/400 x 6 
i = 150/2400
i = 0,0625 ( x100) 
i= 6,25%
(Forma prática). Por regra de Três: 
Um trimestre corresponde a 3 meses, logo em 2 semestres, teremos 6 meses.
Juros mensal: 150 / 6 meses = 25,00 por mês (taxa linear mensal) 
Regra de três, em que o capital sempre vale 100%. 
400,00 ---------- 100 %
 25,00 ----------- X
400,00 X = 25,00 . 100 
X = 25,00 .100 / 400,00
X = 6,25%
Resposta letra c. 
04. Ano: 2018 Banca: FGV Órgão: Banestes Prova: Assistente Securitário
Caso certa dívida não seja paga na data do seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m. Se essa dívida for quitada com menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples.
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar:a) R$ 3.096,00; 
 b) R$ 3.144,00;
 c) R$ 3.192,00;
 d) R$ 3.200,00;
 e) R$ 3.252,00.
Comentário: 
Vamos determinar as grandezas:
C: 3000,00
i : 12% a. m
t: 8 dias 
Obs.: é importante que a taxa e o tempo sejam correspondentes, ou seja, a taxa tem que estar de acordo com a capitalização. Dessa forma podemos transformar a taxa ao mês para uma taxa ao dia. 
Como fazer?
No regime simples, quando mudamos a capitalização, estamos trabalhando com taxas proporcionais. Duas taxas são proporcionais por meio das operações matemáticas: 
a) Multiplicação: quando queremos aumentar o tempo de capitalização;
b) Divisão: quando queremos diminuir o tempo de capitalização.
Na questão em lide, 12% a. m é proporcional a 12/ 30 = 0,4% a.d. 
i : 12% a. m = 0,04% a.d , não esquecer que para retirar o símbolo de porcentagem temos que dividir por 100. Dessa forma: 0,04% = 0,004 a.d.
ESQUEMA PARA TAXAS PROPORCIONAIS
Pela fórmula temos:
J = C . i . t 
J = 3.000 . 0,004 . 8 
J = 3000 .0,032
J = 96 
M = C + J 
M = 3.000 + 96 
M = 3.096
Resposta letra a. 
QUESTÃO 05. Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de:
a) 7 anos, 6 meses e 8 dias.
b) 8 anos e 4 meses.
c) 8 anos, 10 meses e 3 dias.
d) 11 anos e 8 meses.
e) 11 anos, 1 mês e 10 dias.
Comentário:
Pela Fórmula do Montante Simples temos:
Resposta letra b. 
06. Ano: 2018 Banca: FGV Órgão: Banestes Prova: Analista de Comunicação 
Marcela pagou uma conta vencida com 5% de juros. O valor pago por Marcela foi de R$ 420,00.
Se Marcela tivesse pagado a conta até o vencimento, ela teria economizado: 
 a) R$ 21,00;
 b) R$ 20,00; 
 c) R$ 19,00;
 d) R$ 18,00;
 e) R$ 17,00.
Comentário:
Essa questão iremos aplicar regra de três, ok? Porém se você quiser resolver de maneira algébrica, fórmula, fique à vontade. 
420 ----- 105%
C.(capital) ----------- 100%
105. C=42000
C=400,00
420,00 -400,00 = 20,00.
Resposta letra b. 
07. Ano: 2018 Banca: UERR Órgão: SETRABES Prova: Contador
Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 12.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 9.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de:
Assinale a alternativa correta. 
 a) 13 meses
 b) 30 meses
 c) 31 meses
 d) 20 meses
 e) 23 meses
Comentário: 
Pessoa P1: Pessoa P2:
C1=12000 C2=9000
i1=2% i2=4%
t1=t1 t2=(t1-2( meses)): tempo é 2 meses menor do que a aplicação da P1
Aplicando a fórmula do montante, temos:
M1=C1(1+i1.t1) M2=C2(1+i2.t2)
Momento em que os montantes forem iguais M1=M2
M1= M2
C1(1+i1.t1) = C2(1+i2.t2)
Substituindo os valores:
12000(1+0, 02.t1) = 9000[1+0,04(t1-2) ]
12000 + 240 t1 = 9000 + 360. (t1 – 2)
12000 + 240 t1 = 9000 + 360 t1 - 720
240 t1 - 360 t1 = 9000 – 720- 12000 
- 120 t1 = -3720
t1 = 31 meses.
Resposta letra c. 
08. Ano: 2018 Banca: MS CONCURSOS Órgão: SAP-SP Prova: Oficial Administrativo 
Durante 16 meses, um certo capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 18% ao ano e rendeu R$1440,00 de juros. O montante recebido pelo investidor, no final da aplicação, foi igual a: 
 a) R$5000,00
 b) R$5440,00 
 c) R$6000,00 
 d) R$6440,00
 e) R$7440,00
Comentário: 
Novamente vamos aplicar uma regra de três para resolver a questão, blz?
18% ao ano é proporcional a 1,5% ao mês. 
Juros do período completo: 1,5% x 16 meses = 24% no período completo.
Para resolver por regra de três, utilizaremos o seguinte raciocínio: se 1.440 representa 24% do valor aplicado, quanto vale esse valor (capital)?
1.440 -------------- 24% 
Capital (C) ------- 100%
Capital = 6.000
Como queremos o valor do montante, temos: M= C + J M = 6.000+ 1440 = 7.440.
Resposta letra e.
09. Ano: 2017 Banca: PR-4 UFRJ Órgão: UFRJ Prova: Assistente Administrativo - Complexo Hospitalar
Uma dívida bancária de R$ 950,00 foi quitada 2 quadrimestres depois de contraída. A taxa linear mensal praticada pela instituição financeira, que resultou na cobrança de juros de R$ 433,20, foi de:
 a) 5,7%
 b) 57%
 c) 4,7%
 d) 0,57%
 e) 47%
Comentário: 
2 quadrimestres equivalem a 2 x (4 meses) = 8 meses
Sabendo que:
J= 433,20
C=950,00
Taxa linear (i) =?
Aplicando a fórmula temos:
J=C . i . t
433,20=950 . 8 . i
433,20 = 7600. i 
i=433,20/ 7600
i= 0,057 x 100
i= 5,7% a.m
Resposta letra a. 
10. Ano: 2017 Banca: VUNESP Órgão: Prefeitura de Marília – SP 
Um produto foi comprado em 2 parcelas, a primeira à vista e a segunda após 3 meses, de maneira que sobre o saldo devedor, incidiram juros simples de 2% ao mês. Se o valor das 2 parcelas foi igual a R$ 265,00, o preço desse produto à vista é
 a) R$ 530,00.
 b) R$ 515,00.
 c) R$ 500,00.
 d) R$ 485,00.
 e) R$ 460,00.
COMENTÁRIO:
Vamos primeiramente separar algumas informações da questão:
1ª parcela à vista = 265,00 
2ª parcela com os juros = 265,00 
Valor total da compra = 530,00 reais
Precisamos saber quanto é o valor da 2ª parcela sem os juros para encontrarmos o nosso capital, ou seja, o valor à vista.
Temos que: 
M = C + J 
J = M – C, sendo o J = C. t. i, logo:
C. t. i = M – C 
M - C = C. 3. 0,02
265 - C = 0,06C
1, 06.C = 265
C = 250,00 reais (valor da 2ª parcela sem os juros)
Valor do produto à vista: 265,00 + 250,00 = 515,00 reais
Resposta letra b. 
2. JUROS COMPOSTOS:
De uma maneira bem simples para começarmos, a diferença entre o regime de juros simples e o de juros compostos, pode ser mais facilmente demonstrada por meio de um exemplo, vejamos: 
Seja um capital de 1.000,00 aplicado à taxa de 20% ao ano, por um período de 4 anos:
A juros simples e compostos temos:
C = 1.000,00
i = 20% a. a.
t = 4 anos
No caso dos juros simples, a formação é linear.
No caso dos juros compostos, a formação é exponencial (juros sobre juros).
Dica!!!
No primeiro período de tempo podemos observar tanto nos juros simples quanto nos juros compostos, que o montante é o mesmo. É notável no gráfico acima, em que t=1, os montantes nos dois regimes são de R$ 1200,00. 
Vejamos uma questão de concurso que relata bem a dica acima citada.
11. (CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros
 a) compostos, sempre.
 b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
 c) simples, sempre.
 d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.
 e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
COMENTÁRIO:
a) errada. É mais vantajoso emprestar a juros compostos quando ultrapassar a primeira unidade de tempo e não sempre, como informa a alternativa.
b) errada. Ocorre exatamente é o inverso como citado na explicação da alternativa a.
c) errada. Não será sempre simples, porque se a unidade de tempo for maior que 1, torna-se mais vantajoso emprestar a juros compostos.
d) errada. Não será sempre simples, porque se a unidade de tempo for maior que 1, torna-se mais vantajoso emprestar a juros compostos.
e) certo. Ao observar o gráfico podemos verificar que a linha que representa os juros simples é maior que a de juros compostos, isso antes da primeira unidade de tempo. Portanto nesse caso o valor do juro simples é maior que o do composto.
Vejamos a fórmula dos juros compostos: 
M: montante;
C: capital;
i: taxa;
t: tempo.
Uma aplicação:
12. (FCC). Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentandoum montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a
a) R$ 17.853,75.
b) R$ 17.192,50.
c) R$ 16.531,25.
d) R$ 15.870,00.
e) R$ 15.606,50.
Comentário:
A questão trata do regime simples e composto de capitalização.
Primeiramente vamos calcular o capital, segundo o regime simples de capitalização.
Resposta letra d. 
2.1 TAXAS NOMINAL E EFETIVA:
No regime composto de capitalização é importante sabermos diferenciar as taxas nominais das efetivas, pois será de suma importância para os cálculos do montante desejado. 
As taxas efetivas podem ser utilizadas diretamente no cálculo de juros compostos, bastando observar se o período está representado na mesma unidade de tempo da taxa de juros. Ou seja, realizar uma aplicação com uma taxa de 2% a. b, com capitalização bimestral, uma outra aplicação de 30% a. t, com capitalização trimestral e assim por diante. Gosto de falar que a taxa efetiva é aquela que deve ser calculado sobre o capital, em outras palavras, a taxa que está na fórmula deve ser sempre efetiva, ok? Em suma, a taxa efetiva está de acordo com a capitalização.
Ao contrário da taxa efetiva, uma taxa nominal não pode ser empregada diretamente no cálculo de juros compostos, ou seja, não aplicamos a taxa nominal sobre o capital. Por exemplo, se você aplicou 10.000 à taxa nominal de 10% ao ano com capitalização mensal, quanto terá em dois anos? Se respondeu 12.100, está enganado pois calculou os 10% como se fosse uma taxa efetiva ao ano. Para calcular corretamente, primeiro converta essa taxa nominal para uma taxa efetiva. Agora como se transforma uma taxa nominal em taxa efetiva? Vamos lá!
Para melhor entendimento, irei apresentar um esquema para que você aprenda com facilidade, e não se esqueça: 
Dadas as taxas nominais abaixo, faremos as transformações:
a) “12% aa, com capitalização mensal” (nominal) - efetiva mensal
 12 = “1% am (taxa efetiva) ” {ano possui 12 meses, divide por 12)
b) “6% am, com capitalização bimestral (nominal) ” - efetiva bimestral
6 2 = “12% ab (taxa efetiva) ” {bimestre possui 2 meses, multiplica por 2)
c) “24% aa, com capitalização trimestral (nominal) ” - efetiva trimestral 
24 “6% at (taxa efetiva) ” {ano possui 4 trimestres, divide por 4) 
Não esquecer para transformar de nominal para efetiva, ou vice-versa, as taxas aumentam multiplicando ou diminuem dividindo.
Aplicação!
01. Ano: 2018 Banca: IBADE Órgão: Câmara de Vilhena – RO Prova: Analista Financeiro - Administração
Se uma taxa nominal de 12% ao ano tem capitalização trimestral, qual seria a sua taxa efetiva?
 a)2%
 b)3%
 c)1% 
 d)6%
 e)4%
Comentário: 
Temos uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa que está ao ano, não está de acordo com a capitalização trimestral, sendo assim iremos transformar de nominal para efetiva. Para transformamos de uma capitalização trimestral para anual, devemos dividir, certo? Quantos trimestres tem 01(um) ano? A resposta é 4(quatro), logo iremos dividir 12 % / 4 = 3% a.t. 
Dessa forma, temos que a taxa efetiva é igual a 3% a.t.
Resposta: b
2.2 TAXAS EQUIVALENTES:
Taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital, num mesmo período de tempo, produzem montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com muita atenção, em alguns financiamentos de longo prazo, somos apenas informados da taxa mensal de juros e não tomamos conhecimento da taxa anual ou dentro do período estabelecido, trimestre, semestre entre outros. 
Fique ligado!
É importante ressaltar que taxas equivalentes, só podem ocorrer de efetiva para efetiva, certo? Caso uma delas seja nominal, o primeiro passo é transformá-la em efetiva. 
O que fazemos quando realizamos uma equivalência entre taxas, nada mais é que alterar a capitalização de uma delas. 
COMO TRANSFORMAR DE UMA TAXA EFETIVA PARA OUTRA TAXA EFETIVA DE UMA MANEIRA MAIS PRÁTICA?
É importante ressaltar que para passar de uma taxa efetiva para outra efetiva, as operações utilizadas serão, potenciação e radiciação. Ok? 
	Vejamos o esquema abaixo:
	Exemplos de transformações de taxas efetivas, mudança de capitalização:
a) 10%am para %ab? (Potenciação) 
0,1 + 1= (1,1) = (1,1)2 = 1,21 – 1 = 0,21 X 100 = 21% ab. 
(Somamos o número “1” que é o fator de acumulação dos juros, após a operação retiramos e multiplicamos por 100 para transformar em %). 
b) 20% at para %as? (Potenciação)
0,2 + 1= (1,2)2 = (1,2)= 1,44 – 1 = 0,44 X 100 = 44% ab. 
(Somamos o número “1” que é o fator de acumulação dos juros, após a operação retiramos e multiplicamos por 100 para transformar em %). 
c) 21% aa para %as? (Radiciação) 
0,21 + 1 = 1,21 = = 1,1 -1 = 0,1 X 100 = 10%as. 
(Somamos o número “1” que é o fator de acumulação dos juros, após a operação retiramos e multiplicamos por 100 para transformar em %). 
d) 44%ab para %am? (Radiciação) 
0,44 + 1 = 1,44 = = 1,2 -1 = 0,2 X 100 = 20%as. 
(Somamos o número “1” que é o fator de acumulação dos juros, após a operação retiramos e multiplicamos por 100 para transformar em %). 
Fique ligado!
Ano: 2010 Banca: CESPE Órgão: Banco da Amazônia Prova: Técnico Científico - Economia
No que diz respeito às taxas de juros praticadas no mercado financeiro,
Julgue o item a seguir.
Na taxa equivalente, utiliza-se o regime de juros simples e, na taxa proporcional, o regime de juros compostos.
Comentário: 
No regime simples de capitalização denominamos taxas proporcionais, e as operações são de multiplicação e divisão. Já no regime composto de capitalização são chamadas taxas equivalentes ou correspondentes, em que as operações são de potenciação e radiciação. Não se esquecendo que taxas equivalentes só ocorrem de uma taxa efetiva para outra efetiva, se por acaso uma das taxas for nominal, primeiramente devemos transformá-la em efetiva.
Resposta : Errado.
Aplicações !!!
01. Ano: 2019 Banca: IBFC Órgão: CGE – RN Prova: Analista Contábil
A taxa efetiva bimestral que é equivalente a uma taxa nominal anual de 36% capitalizados mensalmente é:
Considere: (1,032 = 1,0609); (1,36(1/6) = 1,0526) e (0,32 = 0,09)
 a) 6%
 b) 6,09%
 c) 9%
 d) 5,26%
Comentário: 
Temos uma taxa nominal de 36% a.a , com capitalização mensal, logo vamos transformá-la em uma taxa efetiva mensal, ou seja, 36 dividido por 12, pois o ano possui 12 meses. Assim teremos uma taxa efetiva de 3% a.m. 
A questão solicita uma taxa equivalente bimestral, dessa forma, podemos fazer a transformação, pois temos a taxa de 3% a.m. que será mudada sua capitalização para bimestre ( equivalência entre taxas) . Não se esquecendo que taxas equivalentes só podem ocorrer de efetiva para efetiva. 
Como queremos aumentar a capitalização, de meses para bimestre, iremos aplicar a potenciação, ok? 3% a.m para % a.b? (Potenciação)
0,03 + 1= (1,03)2 = (1,0609) = 1,0609 – 1 = 0,0609 X 100 = 6,09% ab. 
(Somamos o número “1” que é o fator de acumulação dos juros, após a operação retiramos e multiplicamos por 100 para transformar em %). 
Resposta: b
02. Ano: 2018 Banca: CESPE Órgão: SEFAZ-RS Prova: Auditor do Estado 
Um indivíduo investiu a quantia de R$ 1.000 em determinada aplicação, com taxa nominal anual de juros de 40%, pelo período de 6 meses, com capitalização trimestral.
Nesse caso, ao final do período de capitalização, o montante será de
 a) R$ 1.200.
 b) R$ 1.210.
 c) R$ 1.331.
 d) R$ 1.400.
 e) R$ 1.100.
Comentário: 
Para resolver a questão, temos as seguintes informações:
Capital: R$1.000,00
Taxa Nominal: 40% a.a., capitalizados trimestralmente
Período: 6 meses = 2 trimestres 
Montante: M 
Para iniciarmos, vamos primeiramente transformar a taxa nominal para efetiva, ou seja, 40% a.a. será dividida por 4, uma vez que o ano possui 4 trimestres. 
A taxa efetiva será igual a 10% a.t. 
Como já falamos anteriormente, a taxa que dever ser aplicado sobre o capital, será sempre a efetiva, assim:
M= C. (1 + i) t 
M = 1.000 (1 + 0,1) 2 
M= 1000. (1,1)2
M= 1.000. (1,21) = 1.210,00
Resposta: B
03. Ano: 2018Banca: FGV Órgão: Banestes Prova: Assistente Securitário - Banestes Seguros 
Um contrato de empréstimo é firmado com taxa anual de juros de 24% capitalizados trimestralmente sob regime de juros compostos.
A taxa semestral efetiva nessa contratação é:
 a)12,00%;
 b)12,25%;
 c)12,36%; 
 d)12,44%;
 e)12,56%.
Comentário: 
Temos uma taxa nominal de 24% a.a , com capitalização trimestralmente, logo vamos transformá-la em uma taxa efetiva mensal, ou seja, 24 dividido por 4, pois o ano possui 4 trimestres. Assim teremos uma taxa efetiva de 6% a.t. 
A questão solicita uma taxa equivalente semestral, dessa forma, podemos fazer a transformação, pois temos a taxa de 6% a.t. que será mudada sua capitalização para semestre (equivalência entre taxas). Não se esquecendo que taxas equivalentes só podem ocorrer de efetiva para efetiva. 
Como queremos aumentar a capitalização, de trimestre para semestre, iremos aplicar a potenciação, ok? 6% a.t para % a.s? (Potenciação) 
0,06 + 1= (1,06)2 = (1,1236) = 1,1236 – 1 = 0,1236 X 100 = 12,36% ab. 
(Somamos o número “1” que é o fator de acumulação dos juros, após a operação retiramos e multiplicamos por 100 para transformar em %). 
Resposta: C
04. Ano: 2015 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: Assistente Administrativo I
Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal de 20% ao ano.
A taxa de juros efetiva anual desse financiamento, se os juros são capitalizados semestralmente, é:
 a)12,10%
 b)20,21%
 c)21,00%
 d)22,10%
 e)24,20%
Comentário: 
Temos uma taxa nominal de 20% a.a., com capitalização semestralmente, logo vamos transformá-la em uma taxa efetiva semestral, ou seja, 20 dividido por 2, pois o ano possui 2 semestres. Assim teremos uma taxa efetiva de 10% a.s. 
A questão solicita uma taxa equivalente anual, dessa forma, podemos fazer a transformação, pois temos a taxa de 10% a.s. que será mudada sua capitalização para anual (equivalência entre taxas). Não se esquecendo que taxas equivalentes só podem ocorrer de efetiva para efetiva. 
Como queremos aumentar a capitalização, de semestre para ano, iremos aplicar a potenciação, ok? 10% a.s para % a.a? (Potenciação) 
0,1 + 1= (1,1)2 = (1,21) = 1,21 – 1 = 0,21 X 100 = 21,% aa. 
(Somamos o número “1” que é o fator de acumulação dos juros, após a operação retiramos e multiplicamos por 100 para transformar em %). 
Resposta: C
QUESTÕES COMENTADAS
01. Ano: 2018 Banca: UFLA Órgão: UFLA Prova: Administrador
A alternativa que apresenta o valor futuro correto de uma aplicação de R$ 100,00 à taxa de juros compostos de 10% ao ano pelo período de dois anos é:
 a) R$ 121,00
 b) R$ 112,00
 c) R$ 120,00
 d) R$ 110,00
COMENTÁRIO:
A questão pede o montante da operação no regime composto de capitalização, vejamos:
Capital: 100
Taxa: 10% a.a. 
Tempo: 2 anos
M = C (1 + i) t
M = 100 (1 + 0,1) 2
M = 100 (1,1)2
M = 100. 1,21
M= 121,00
Resposta letra a. 
02. Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: Assistente Administrativo
Um cliente fez um empréstimo de 200 mil reais, a taxa de 5% ao mês, no sistema de juros compostos, em jan/2018. Após exatos dois meses da data do primeiro empréstimo, em mar/2018, ele pegou mais 100 mil reais, mantendo a taxa e o sistema de juros. Em abr/2018, exatamente um mês após o último empréstimo, liquidou as duas dívidas, zerando o seu saldo devedor.
O valor pago pelo cliente, em milhares de reais, foi de, aproximadamente,
 a) 300,0
 b) 325,6
 c) 336,5
 d) 345,0
 e) 347,3
COMENTÁRIO:
M = montante, C = capital, i = taxa de juros e t = número de períodos que o principal C (capital inicial) foi aplicado. M = C. (1 + i) t
M= 200
i= 5%= 5/100= 0,05
t=2
M= 200(1+0,05) ²
M=200. (1,05) ²
M = 200. 1,1025
M = 220,50
M =220,50+100
M =320,50 
i = 5% =5/100= 0,05
t= 1
M =320,50. (1+0,05) ¹
M = 320, 50. (1,05)
M = 336.525,00
Resposta letra c. 
03. Ano: 2018 Banca: FGV Órgão: Banestes Prova: Técnico Bancário
João recebeu sua fatura do cartão de crédito no valor de R$ 4.000,00 e, no dia do vencimento, pagou o valor mínimo exigido (que corresponde a 15% do valor total). O restante foi quitado um mês depois.
Se a administradora do cartão de João cobra juros de 216% ao ano com capitalização mensal, sob regime de juros compostos, então o valor pago no ato da liquidação da dívida foi:
 a) R$ 4.000,00;
 b) R$ 4.012,00;
 c) R$ 4.100,00;
 d) R$ 4.120,00;
 e) R$ 4.230,00.
COMENTÁRIO:
Temos as seguintes informações:
Valor total fatura: R$ 4.000
Valor pago: R$ 600 (15% de R$ 4.000)
Valor restante: R$ 3.400
Juros de 216% ao ano (taxa nominal) = juros de 18% ao mês (taxa efetiva). 
Obs.: Não trabalhamos com taxas nominais, ou seja, uma taxa que não está de acordo com a capitalização. No regime composto de capitalização, as taxas calculadas sobre o capital são denominadas efetivas, logo temos que transformar as taxas nominais em efetivas.
Para transformarmos uma taxa nominal em efetiva, temos que multiplicar ou dividir. Ok?
t = 1
M = C (1+i) t
M = 3.400 (1,18)1
M = 4.012
Resposta letra b. 
04. Ano: 2018 Banca: FGV Órgão: Banestes Prova: Assistente Securitário 
Um capital de R$ 2.662,00 é capitalizado sob regime de juros compostos, ao longo de 4 meses, à taxa efetiva de 10% ao mês, produzindo um montante M.
Para que R$ 2.000,00 produzam o mesmo montante M, ele deve ser capitalizado nessas mesmas condições durante um período igual a:
 a) 8 meses;
 b) 7 meses;
 c) 6 meses;
 d) 4 meses;
 e) 3 meses.
COMENTÁRIO:
Vamos lá!!!
Primeiro momento:
M = C. (1 + i) t
M = 2662. (1 + 0,1)4 
M = 2662. 1,4641
M = 3.897,43
Segundo momento:
M = C. (1 + i) t
M = 2000. (1 + 0,1) t
M = 2000. (1,1) t
Como os montantes devem ser iguais:
2000 . (1,1) t = 2662. (1,1) 4
(1,1) t / (1,1)4 = 2662 / 2000
(1,1) t-4 = 1,331
(1,1) t-4 = (1,1)3
t – 4 = 3
t = 3 + 4
t= 7 meses
Resposta letra b. 
05. Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8 000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:
a) 20%.
b) 18,4%.
c) 18%.
d) 15,2%.
e) 15%.
Comentário: 
Resposta letra d. 
06. Saulo aplicou R$ 45.000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135.000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa?
a) 15.
b) 12.
c) 10.
d) 9.
e) 6.
Comentário:
A questão solicita quanto tempo será necessário para que o fundo de investimento se torne igual ao valor da casa para que Saulo consiga comprar.
Podemos inferir que o montante do investimento seja igual ao valor do imóvel pela seguinte relação:
Obs.: Considerando log3 = 0,48.
Resposta letra b. 
07. Pretendendo fazer uma viagem à Europa, Mazza foi certo dia a uma Agência do Banco do Brasil comprar euros e dólares. Sabe-se que ela usou R$ 6.132,00 para comprar € 2.800,00 e que, com R$ 4.200,00 comprou US$ 2.500,00. Com base nessas duas transações, é correto afirmar que, nesse dia, a cotação do euro em relação ao dólar, era de 1 para
a) 1,3036.
b) 1,3606.
c) 1,3844.
d) 1,4028.
e) 1,4204.
Comentário:
Essa questão se refere a uma proporção em que teremos o seguinte:
Resposta letra a.
08. (FCC) Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a
a) R$ 17.853,75.
b) R$ 17.192,50.
c) R$ 16.531,25.
d) R$ 15.870,00.
e) R$ 15.606,50.
Comentário:
A questão é de matemática financeira e se trata do regime simples e composto de capitalização.
Primeiramente vamos calcular o capital, segundo o regime simples decapitalização.
Resposta letra d. 
2.3 FLUXO DE CAIXA E CAPITAIS EQUIVALENTES
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as movimentações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise.
As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Caso você queira considerar o contrário, não altera, pois o que interessa é que as entradas estejam para um sentido e as saídas estejam para outro.
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
Gosto muito de construir o fluxo de caixa para verificar os períodos de capitalização e descapitalização, ou seja, com o diagrama fica muito mais fácil interpretarmos as questões, assim sugiro que você construa, ok? 
2.3.1 Capitalização e descapitalização: 
Para que possamos trabalhar com o fluxo de caixa, é importante entendermos que os capitais poderão ser movimentados nos períodos do fluxo, conforme a necessidade, logo é importante aprendermos dois detalhes:
Capitalizar:
Para não esquecer, é importante pensar assim, quando queremos movimentar o capital para frente, basta multiplicarmos pelo fator de acumulação do capital que é (1 + i )2.
Descapitalizar: 
Agora quando queremos descapitalizar, é importante pensar assim, quando queremos movimentar o capital para trás, basta dividirmos pelo fator de acumulação do capital que é (1 + i )2.
2.3.2 Capitais equivalentes:
Dois capitais são equivalentes se comparados em uma mesma data, descontados ou capitalizados por uma mesma taxa de juros produzem um mesmo valor presente. De uma maneira mais simples, devemos pensar que dois ou mais capitais são equivalentes quando forem projetados para um mesmo foco, denominado data focal, ou seja, na data focal os capitais podem ser somados ou subtraídos. 
Dessa forma quando temos um fluxo de caixa, torna-se importante entendermos que os capitais serão projetados, capitalizando ou descapitalizando, para uma mesma data, e naquele local os capitais serão equivalentes. 
Vejamos algumas aplicações:
01. Se uma empresa optar por um investimento, na data de hoje, receberá no final de 2 anos o valor de R$ 14.520,00. Considerando a taxa mínima de atratividade de 10% ao ano (capitalização anual), o valor atual correspondente a este investimento é
a) R$ 13.200,00
b) R$ 13.000,00
c) R$ 12.500,00
d) R$ 12.000,00
e) R$ 11.500,00
Comentário:
 Vamos construir um fluxo de caixa:
Resposta letra d. 
02. Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano:
O valor de X é igual a
a) R$ 11 000,00
b) R$ 11 550,00
c) R$ 13 310,00
d) R$ 13 915,00
e) R$ 14 520,00
Comentário:
Para resolver essa questão, vamos aprender de maneira simples e prática, mais um conceito importante, ok? 
Taxa interna de retorno: 
É uma taxa quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas (saídas), trazidos ao valor presente, seja igual aos valores dos retornos (entradas) dos investimentos, também trazidos ao valor presente.
Resposta letra e. 
03. Ano: 2018 Banca: FCC Órgão: SEFAZ-GO Prova: Auditor-Fiscal da Receita Estadual
O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário para adquirir esse imóvel pagando-o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 ano e a terceira depois de 2 anos. O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados juros compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por Jorge, em reais, deverá ser igual a 
 a) 120.000,00. 
 b) 90.000,00. 
 c) 100.000,00. 
 d) 70.000,00. 
 e) 130.000,00.
Comentário:
Temos uma questão que envolve fluxos de caixa e capitais equivalentes, assim temos:
Partindo como data focal o ano 2, iremos projetar todos os capitais para essa data (2), pois assim podemos realizar as operações de soma e subtração, uma vez que eles agora os capitais são equivalentes. 
VE = VS
210.000 (1 +i)2 = x (1 +i)2 + x (1 +i)1 + x
210.000 (1 +1)2 = x (1 +1)2 + x (1 +1)1 + x
210.000 (2)2 = x (2)2 + x (2)1 + x
210.000 .4 = x .4 + x .2 + x
840000= 7 x 
X = 120.000
Resposta letra A.
04. Ano: 2018 Banca: FCC Órgão: Câmara Legislativa do Distrito Federal Prova: Consultor Técnico-Legislativo - Economista
Um investidor obteve um empréstimo à taxa de juros de 2% ao mês e ainda restam três parcelas mensais, iguais e consecutivas para sua liquidação. O valor de cada parcela é R$ 520.200,00 e a primeira das três parcelas vencerá daqui a 30 dias. O investidor quer alterar a forma de pagamento mantendo a mesma taxa de juros e propõe à instituição financeira a liquidação da seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 200.000,00 hoje.
− Uma parcela (X) daqui a 60 dias.
O valor da parcela (X) que o investidor terá que desembolsar para liquidar o empréstimo é, em reais, 
 a) 1.352.724,00. 
 b) 1.360.600,00. 
 c) 1.300.196,08. 
 d) 1.360.804,00. 
 e) 1.326.200,00.
Comentário:
Vamos encontrar o valor presente, descapitalizando as parcelas, projetando todas para o tempo zero. 
1º parcela para o valor presente: 520200 / 1,02 = 510.000,00
2º parcela para o valor presente: 520200 / 1,0404 = 500.000,00
3º parcela a valor presente: 520200 / 1.061208 = 490.196,00
Soma Valor Presente: 1.500.196,00 (-) 200.000,00 à vista: R$ 1.300.196,00
Projetando o valor presente para o segundo mês, parcela (X). 
2% ao mês por 2 meses = (1,02)2 1,0404
1.300.196,00 x 1,0404 = 1.352.724,00
Resposta letra A. 
05. Ano: 2015 Banca: CESPE Órgão: MPU Prova: Analista do MPU - Atuarial
Julgue o item subsecutivo, relativo à taxa interna de retorno (TIR).
Considere que um investimento de R$ 10,00 produza dois pagamentos mensais sucessivos: o primeiro, pago um mês após a data da aplicação, de R$ 6,00, e o segundo, de R$ 5,50. Nessa situação, a TIR para essa aplicação é superior a 9%.
Comentário:
Temos uma assertiva que afirmar ser maior que 9% a TIR. Nesse caso utilizemos essa taxa para os cálculos, uma vez que fica mais fácil do que tentar encontrar o valor exato da TIR. Caso queira encontrar o valor teremos que resolver uma equação do 2° grau, o que dará muito trabalho e contas “chatas”. 
Para melhor compreensão iremos construir o fluxo de caixa, sabendo que a taxa interna de retorno iguala o valor das entradas (soma) ao valor das saídas (soma). Não esquecendo que para fazer essa igualdade, os capitais devem ser equivalentes. 
Vamos para o fluxo:
A data focal está no segundo mês, assim nos capitais de entrada e saída serão projetados para o segundo mês, se tornando equivalentes. 
A taxa interna de retorno iguala os valores de saída (VS) aos valores de entrada (VE). 
VS = VE
10(1+i )2 = 6(1+i)1 + 5,50
Como temos uma assertiva, se torna mais fácil verificar se a TIR realmente iguala as saídas com as entradas. 
10(1+0,09 )2 = 6(1+0,09)1 + 5,50
10(1,09 )2 = 6(1,09)1 + 5,50
10(1,09 )2 = 6(1,09)1 + 5,50
10 x 1,1881 = 6,54 + 5,50
11,881 = 12,04
Analisando a igualdade, podemos inferir que a taxa de 9% não faz os valores do primeiro e segundo membros são iguais. Assim a taxa interna de retorno será maior que 9%. 
Daí você se pergunta: como irei saber se é maior ou menor que 9%? Vamos lá!
No primeiro membro temos uma potência de grau 2, o que eleva de maneira mais rápida o resultado da operação, já no segundo membro temos uma potência de grau 1, crescimento linear. 
Como o primeiro membro está menor que o segundo, podemos dizer que ele conseguirá em algum momento alcançar o segundo membro que cresce de maneira mais ponderada. 
Resposta: errado. 
06. Ano: 2016 Banca: CESPE Órgão: TCE-SC Prova: Auditor Fiscal de Controle Externo - Contabilidade 
Em cada um do item que se segue, é apresentada uma situação hipotética a respeito de avaliação de investimentose de taxas de juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.
João comprou um equipamento, cujo preço à vista era de R$ 800, em duas prestações mensais, consecutivas e distintas. A primeira prestação, de R$ 440, foi paga um mês após a compra, e a taxa de juros compostos desse negócio foi de 10% ao mês. Nessa situação, o valor da segunda prestação foi superior a R$ 480.
Comentário:
Para melhor compreensão vamos construir um fluxo de caixa para encontrar o valor da segunda prestação: 
Para que possamos somar ou subtrair capitais, os mesmos devem ser equivalentes, ou seja, precisam se encontrar na mesma data focal. 
Como fazer para deslocar o capital para uma determinada data focal?
Temos duas situações: capitalizar ou descapitalizar.
Capitalizar: projetamos o capital (C) para uma data futura, temos multiplicá-lo pelo fator ( 1 + i )t: C( 1 + i )t 
Descapitalizar: projetamos o capital(C) para uma data passada, temos que dividi-lo pelo fator (1 + i)t: 
Assim com o auxilio do fluxo de caixa, iremos capitalizar o capital R$ 440,00 e o capital de 800,00 para da data focal “2”. Uma dica bacana, é que você escolha como data focal o mês em que se encontra a sua pergunta, ou seja, a prestação x. 
Agora sim, vamos fazer com que os capitais sejam equivalentes:
Taxa de juros = 10%a.m.
C( 1 + i )t = 800. ( 1 + 0,1 )2 = 800. 1,21 = 968,00
 C( 1 + i )t = 440. ( 1 + 0,1 )1 = 440. 1,1 = 484,00
Para encontrarmos o valor da prestação podemos utilizar o seguinte raciocínio: os valores de entrada são iguais aos valores de saída. Beleza?
800. (1 + 0,1)2 = 440. (1 + 0,1)1 + x 
968 = 484 + x 
x = 484
Resposta: certo.
07. (FCC) Uma máquina com vida útil de 3 anos é adquirida hoje (data 0) produzindo os respectivos retornos: R$ 0,00 no final do primeiro ano, R$ 51.480,00 no final do segundo ano e R$ 62.208,00 no final do terceiro ano.
O correspondente valor para a taxa interna de retorno encontrado foi de 20% ao ano. Então, o preço de aquisição da máquina na data 0 é de
a) R$ 86.100,00.
b) R$ 78.950,00.
c) R$ 71.750,00.
d) R$ 71.500,00.
e) R$ 71.250,00.
Comentário:
Primeiramente vamos construir um fluxo de caixa para representar as saídas e entradas.
R1 = R$ 0,00 
R2 = R$ 51.480,00 
R3 = R$ 62.208,00
Resposta letra c. 
08. (FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a
a) R$ 30 000,00
b) R$ 40 000,00
c) R$ 45 000,00
d) R$ 50 000,00
e) R$ 60 000,00
Comentário:
Resposta letra a. 
09. (FCC) O gráfico abaixo representa o fluxo de caixa referente a um projeto de investimento com a escala horizontal em anos.
Se a taxa interna de retorno correspondente é igual a 20% ao ano, então X é igual a 
a) R$ 21.600,00 
b) R$ 20.000,00 
c) R$ 18.000,00 
d) R$ 15.000,00 
e) R$ 14.400,00 
Comentário: 
Dado fluxo de caixa:
36.000 = x + 18.000 
x = 36.000 – 18.000 
x = 18.000,00 
Resposta letra c. 
3. DESCONTO SIMPLES:
Antes de iniciarmos o estudo do desconto simples vamos entender alguns termos que poderão ser utilizados no decorrer deste módulo, ok?
1. NOTA PROMISSÓRIA: É um título onde uma pessoa confessa que deve a outra uma certa importância a ser paga em determinado local, numa determinada data.
A pessoa que se confessa devedora é chamada de EMITENTE, pois é ela quem emite o documento. A pessoa a quem esse documento é dirigido (a que deve receber a dívida) é chamada de CREDOR ou TOMADOR ou BENEFICIÁRIO. A data marcada para o pagamento é chamada de DATA DE VENCIMENTO e o valor a ser pago na data do vencimento é chamado de VALOR NOMINAL do compromisso. O valor nominal é sempre o montante do valor que foi emprestado.
2. LETRA DE CÂMBIO: É um título pelo qual uma pessoa ordena a outra que pague a um terceiro uma certa quantia em determinada época.
Chama-se SACADOR a pessoa que ordena o pagamento e SACADO a pessoa a quem é dirigida essa ordem. BENEFICIÁRIO ou TOMADOR é a pessoa que irá receber o valor grafado na letra de câmbio.
Da mesma forma que na nota promissória, o valor grafado na letra de câmbio é chamado de VALOR NOMINAL e a data que deve ser resgatada é chamada de DATA DE VENCIMENTO.
3. DUPLICATA:
É um título de crédito que só existe no Brasil, estritamente utilizado em operações de compra e venda de mercadorias.
O comerciante (EMITENTE), ao vender uma mercadoria a prazo, emite uma duplicata na qual consta o nome do cliente devedor (SACADO), o valor nominal e a data de vencimento, além de outros dados. Após a emissão da duplicata, o cliente deverá assiná-la, isto é, dar o seu ACEITE, que garantirá ao comerciante o recebimento do valor da venda em questão.
A duplicata deve estar associada a uma nota fiscal ou fatura, na qual o vendedor especifica a natureza e a qualidade dos artigos adquiridos pelo comprador, seus respectivos preços, descontos etc., e a importância líquida a ser paga. 
FONTE: acjconcursos.com.br/biblioteca-mafin
Para que possamos entender como ocorre o processo de uma antecipação de título qualquer, basta construirmos o esquema a seguir:
Dica!!!
Os títulos mencionados acima podem ser negociados pelo seu possuidor antes da data do seu vencimento. Por exemplo, um comerciante, de posse de uma nota promissória ou duplicata no valor de R$ 10.000,00 e que irá vencer daqui a 6 meses, necessitando de dinheiro, pode transferi-la a um banco mediante uma operação denominada DESCONTO. O banco irá “comprar” este título e se encarregará de cobrá-lo de quem se confessa devedor, na data do vencimento. 
Para o comerciante, é como se o pagamento da dívida tivesse sido ANTECIPADO em nome de TEMPO DE ANTECIPAÇÃO. O valor pago pelo banco na data do desconto é chamado de VALOR ATUAL (antecipação) (Va) ou VALOR DESCONTADO e o seu cálculo será feito a partir do VALOR NOMINAL (N) ou VALOR DE FACE do título. É evidente que o valor atual é menor do que o valor nominal, pois, teoricamente, deveríamos retirar o juro relativo ao prazo de antecipação; iremos chamar esse juro de DESCONTO (D). 
A diferença entre o VALOR NOMINAL (N) e o DESCONTO (D) é igual ao VALOR ATUAL (Va).
Va = N – D 
TIPOS DE DESCONTOS
Existem duas convenções para o cálculo do desconto simples. Sendo que cada tipo conduz a um resultado diferente: podemos utilizar o conceito de DESCONTO RACIONAL (também chamado de DESCONTO POR DENTRO OU REAL) ou o conceito de DESCONTO COMERCIAL (também chamado de DESCONTO POR FORA OU BANCÁRIO).
Se liga na Dica!!!!
Para memorizar essas diferentes nomenclaturas, pense no exemplo do livro: a parte racional é o seu conteúdo, ou seja, o que está dentro; a parte comercial, responsável pela propaganda desse tipo de produto e que induz as pessoas a comprá-lo, é a sua capa, que está fora. Em suma, racional = dentro; comercial = fora. 
3.1 DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO
No DESCONTO RACIONAL simples, temos como referencial o Valor Atual, ou seja, o cálculo (desconto) é realizado sobre o valor atual. Podemos até fazer uma comparação com uma capitalização simples, em que o valor atual (Va) corresponde a um capital (C), aplicado a juros simples, pelo prazo de antecipação, e o valor nominal (N) corresponde ao montante (M) produzido por essa aplicação.
Vimos que a fórmula do montante a juros simples é dada por:
M = C (1 + in)
Substituindo M por N, e C por Va, obtemos:
N = Va (1 + in)
Isolando Va, temos:
Va = N/1 + in
Esta última fórmula permite calcular o VALOR DESCONTADO racional simples do título (Va) a partir do seu VALOR DE FACE (N), da taxa de desconto (i) e do número de períodos de antecipação (n). E para calcular o desconto racional simples, basta fazer D = N – Va.
Aplicação!!!
1. Com a fórmula:
Vejamos um exemplo concreto.
André possui uma nota promissória com o valor nominal de R$ 440,00 que vai vencer dentro de dois meses, porém ele precisa de dinheiro agora e por isso resolveu descontá-la. Foi até um banco para que antecipar o pagamento dessanota promissória. Suponhamos que a taxa de juros adotada pelo banco seja de 5% a.m, assim o valor pago pelo banco será igual: 
N = 440
i = 5% a.m.
n = 2 meses
Fórmula: N = Va (1 + in)
 440 = Va ( 1 + 0,05. 2) 
 440 = Va( 1+ 0,1)
 440 = Va . 1,1 
 Va = 440/1,1 = 400
Conclusão: André receberá do banco a quantia de R$ 400,00 pela venda de um título de valor nominal igual a R$ 440,00, resgatável somente daqui a 2 meses.
2. Sem a fórmula: 
Iremos construir o esquema abaixo, em que a primeira caixa (esquerda) será sempre o valor atual e a segunda (direita) o valor nominal. O importante é sobre qual dos valores será incidido o desconto. No caso do desconto por dentro, o referencial será o valor atual, ou seja, ele será o 100%. Assim para resolver essas questões de desconto, basta aplicarmos uma regra de três simples.
110% --------------440
100% -------------VA
110 Va = 44000
Va = 44000/110 
Va = 400
3.1 DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA
O desconto comercial tem estrutura de cálculo mais simples do que a do desconto racional, sendo amplamente adotado no Brasil, sobretudo em operações de crédito bancário a curto prazo.
O desconto comercial simples nada mais é do que os juros que seriam produzidos pelo valor nominal se ele fosse aplicado pelo prazo de antecipação, à taxa do desconto dada. Sendo assim, temos as seguintes fórmulas para o desconto e valor atual, respectivamente:
Dcs = N. i. n
Vacs = N (1 – i. n)
Como dissemos anteriormente e como você pode constatar pela fórmula acima, o desconto comercial incide sobre o valor nominal do título. Em cima desse valor aplicamos a taxa desconto e multiplicamos pelo número de períodos do prazo de antecipação.
Aplicação!
Utilizando o desconto comercial simples, vamos analisar como ficaria o desconto da nota promissória de R$ 440,00 mencionada anteriormente. O prazo de antecipação era de 2 meses e a taxa de desconto, 5% ao mês. Teríamos então que:
1. Com a fórmula:
Dcs = N.i.n
Dcs = 440 . 0,05 . 2
Dcs = 44
Vacs = N – Dcs = 440 – 44 = 396,00
ou utilizando a fórmula que nos fornece diretamente o valor atual:
Vacs = N(1 – in)
Vacs = 440(1 – 0,05 . 2) = 440 . 0,90 = 396,00
Vimos anteriormente que pelo critério de desconto racional simples eu receberia, pela nota promissória entregue ao banco, o valor de R$ 400,00 correspondente a um desconto de R$ 40,00; agora, pelo critério de desconto comercial simples, recebo R$ 396,00, correspondente a um desconto de R$ 44,00. Podemos perceber, então, que
Para a mesma taxa e mesmo prazo de antecipação, o desconto comercial é maior que o desconto racional.
2. Sem a fórmula: 
Iremos construir o esquema abaixo, em que a primeira caixa (esquerda) será sempre o valor atual e a segunda (direita) o valor nominal. O importante é sobre qual dos valores será incidido o desconto. No caso do desconto por fora, o referencial será o valor nominal, ou seja, ele será o 100%. Assim para resolver essas questões de desconto, basta aplicarmos uma regra de três simples.
100% ---------------440,00
90% -----------------Va
100 . Va = 90. 440
100 . Va = 39600
Va = 39600 / 100 
Va = 396,00
QUESTÕES COMENTADAS
01. Ano: 2019 Banca: FCC Órgão: BANRISUL Prova: Escriturário
Uma duplicata é descontada em um banco 4 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples, com uma taxa de desconto de 24% ao ano. O valor do desconto dessa operação foi de R$ 1.800,00. Caso a taxa de desconto utilizada tivesse sido de 18% ao ano, o valor presente teria sido, em R$, de 
 a) 20.680,00.
 b) 22.560,00.
 c) 20.700,00.
 d) 23.500,00. 
 e) 21.150,00.
Comentário:
Fique ligado (a) !!!
Nas questões de descontos podemos também aplicar um método mais simples e prático, ou seja, responder com regra de três simples. 
O que devemos prestar atenção, é quanto ao referencial, ou seja, sobre quem estamos calculando o desconto. 
Se o desconto for RACIONAL (POR DENTRO), o nosso referencial será o valor atual, sendo ele igual a 100% na regra de três. 
Se o desconto for COMERCIAL (POR FORA), o nosso referencial será o valor nominal, sendo ele igual a 100% na regra de três. 
O desconto é de R$1.800,00 e taxa do período de antecipação corresponde a (4 x 2%am = 8%).
Podemos fazer uma regra de três para encontrar o valor nominal:
Valor Nominal -----------------------100%
Desconto período -------------------8%
Valor Nominal -----------------------100%
1800,00-------------------8%
Valor nominal = 22.500,00
Como já encontramos o valor nominal é de 22.500,00 e considerando que a taxa será de 18% ao ano, iremos encontrar o valor presente (atual). 
Temos agora que o valor atual é de 22.500, 00 correspondendo a 100%, logo o valor atual corresponderá a 94%, dessa forma:
22.500 ----------------100%
Valor Atual -----------(100% - 6%)
22.500 ----------------100%
Valor Atual (VA) -----------(94%)
100.VA = 22.500 x 94 
VA = 2.115.000/100
VA = 21.150,00
Resposta letra E. 
02. (FCC) Uma duplicata foi descontada em R$ 700,00, pelos 120 dias de antecipação. Se foi usada uma operação de desconto comercial simples, com a utilização de uma taxa anual de desconto de 20%, o valor atual do título era de:
a) R$ 7.600,00.
b) R$ 8.200,00.
c) R$ 9.800,00.
d) R$ 10.200,00.
e) R$ 10.500,00.
Comentário:
Temos um desconto comercial simples, em que o referencial é o valor nominal (100%).
O desconto é de 700,00, a uma taxa de desconto de 20% a.a., com o tempo de antecipação de 120 dias.
O primeiro passo é transformar a taxa para a capitalização adequada, logo temos que:
Resposta letra c
03. (FCC) Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de
a) R$ 42.160,80.
b) R$ 41.529,60.
c) R$ 40.664,40.
d) R$ 39.799,20.
e) R$ 38.934,00.
Comentário:
Nessa questão temos a aplicação de desconto racional e comercial simples.
Primeiramente temos uma operação de desconto racional simples com os seguintes dados:
– Tempo de antecipação: 2 meses
– Taxa de desconto: 18%a.a.
– Valor atual: R$ 21.000,00
– Valor nominal: x
Resposta letra e. 
04. Uma empresa desconta em um banco um título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 19 800,00. Sabe-se que a operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Caso tivesse sido aplicada a de desconto racional simples, com a mesma taxa de desconto anterior i (i > 0), o valor que a empresa receberia seria de R$ 20 000,00. O valor nominal deste título é de
a) R$ 21 800,00
b) R$ 22 000,00
c) R$ 22 400,00
d) R$ 22 800,00
e) R$ 24 000,00
Comentário:
O desconto é comercial: (a referência será o Valor Nominal, isto é 100%)
Resposta letra b. 
05. Um Título de valor nominal igual a R$ 25 000,00 foi descontado por uma empresa 40 dias antes de seu vencimento, segundo a operação de desconto comercial simples, à taxa de desconto de 3% ao mês. Considerando a convenção do ano comercial, a empresa recebeu, no ato da operação,
a) R$ 24 000,00
b) R$ 23 850,00
c) R$ 23 750,00
d) R$ 23 500,00
e) R$ 22 500,00
Comentário:
Resposta letra a. 
Agora é a sua vez!
Responda as 03(três) questões abaixo:
01. CESPE - AFA (SEFAZ RS) / SEFAZ RS/2018 
Um título cujo valor nominal era de R$ 18.200,00 com vencimento para daqui a 6 meses, foi pago na data de hoje à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o título foi pago pelo valor de 
 a) R$ 14.000,00. 
 b) R$ 12.740,00. 
 c) R$ 17.333,33. 
 d) R$ 17.290,00. 
 e) R$ 15.470,00.
02. CESPE - AFRE (SEFAZ RS) /SEFAZ RS/2019
Um título com valor nominal de R$ 2.250 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento à taxa de desconto comercial simples de 36% ao ano. Nesse caso, o valor atual(valor descontado comercial) foi igual a 
 a) R$ 1.710. 
 b) R$ 1.980. 
 c) R$ 1.992. 
 d) R$ 1.999. 
 e) R$ 2.009. 
03. CESPE - AFA (SEFAZ RS) /SEFAZ RS/2018
Um título cujo valor nominal era de R$ 1.450 foi descontado 4 meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 12% ao ano. Nesse caso, o valor descontado foi igual a 
 a) R$ 1.392. 
 b) R$ 1.334. 
 c) R$ 1.276. 
 d) R$ 1.406. 
 e) R$ 1.363.
Gabarito: 1 A; 2 B; 3 A. 
COMENTÁRIO DO DESAFIO. 
Somando os valores das áreas sombreadas teremos:
18 + 8 + 2 + 28 = 56%
Resposta letra b.