equilíbrio para o estado triplo de tensões

Prévia do material em texto

Exercício 1: Deduzir as equações de equilíbrio para o estado triplo de tensões. 
 
Consideremos um ponto paralelepípedo elementar em torno do ponto “P” 
conforme mostrado na Figura 1, com as faces do paralelepípedo são normais aos eixos 
e considera-se que estas faces estejam suficientemente próximas para considerar o 
material homogêneo com tensões uniformes. Tendendo uma das dimensões do 
paralelepípedo a zero em detrimento das demais é possível compreender que as 
componentes das tensões em duas faces opostas são iguais em módulo e têm sentidos 
contrários. 
 
Figura 1: Tensões nas faces do paralelepípedo elementar. 
 
Fonte: Neto, E. S. A. (2017). 
 
O equilíbrio das ações de momento leva a lei de reciprocidade das componentes 
de tensões tangenciais a um eixo x’ hipotético paralelo ao eixo x do plano levam ao 
apresentado na Figura 2 e Figura 3. Tal consideração matemática concluí que: 
 
 
 
 
Figura 2: Somatório dos Momentos. 
 
 
Figura 2: Reciprocidade das componentes das tensões tangenciais. 
 
 
Extrapolando estas considerações para um plano qualquer consideremos um 
tetraedro infinitesimal da Figura 4 que envolve o ponto “P” e é delimitado pelo triedro 
Oxyz e um plano arbitrário caracterizado pelo versor normal n= nxi + nyj + nzk. Na 
mesma base, o vetor tensão no plano arbitrário é expresso por: 
𝑡(𝑛) = 𝑡 𝑖 + 𝑡 𝑗 + 𝑡 𝑘 
 
 
 
As áreas das faces normais aos eixos x, y, z podem ser escritas em função da 
área dA da face normal a n, 
𝑑𝜆 = 𝑛 𝑑𝐴, 𝑑𝜆 = 𝑛 𝑑𝐴, 𝑑𝜆 = 𝑛 𝑑𝐴. 
 Ao escrever as equações de equilíbrio é conveniente usar as 
componentes dos vetores tensão, as quais podem ser admitidas constantes nas faces 
do tetraedro infinitesimal da Figura 5. 
 
 
Multiplicando as componentes pelas respectivas áreas e somando em cada 
direção, obtemos as seguintes equações de equilíbrio: 
𝑡 𝑑𝐴 = 𝜎 𝑛 𝑑𝐴 + 𝜏 𝑛 𝑑𝐴 + 𝜏 𝑛 𝑑𝐴; 
𝑡 𝑑𝐴 = 𝜏 𝑛 𝑑𝐴 + 𝜎 𝑛 𝑑𝐴 + 𝜏 𝑛 𝑑𝐴; 
𝑡 𝑑𝐴 = 𝜏 𝑛 𝑑𝐴 + 𝜏 𝑛 𝑑𝐴 + 𝜎 𝑛 𝑑𝐴; 
Se fizermos esta área tender a zero temos na forma matricial: 
𝑡
𝑡
𝑡
=
𝜎 𝜏 𝜏
𝜏 𝜎 𝜏
𝜏 𝜏 𝜎
× 
𝑛
𝑛
𝑛
 
Lembrando que 𝑛 é o versor, que é composto pelo vetor multiplicado pelo seu 
cosseno diretor. Dessa forma, trazendo novamente as condições iniciais deste tetraedro 
e conhecidas as tensões atuantes no elemento, é possível determinar os componentes 
de tensão em um plano qualquer. O vetor tensão 𝒕(𝒏) pode ser decomposto num 
vetor normal, 𝝈 = 𝝈(𝒏), e noutro tangencial ao plano, 𝝉 = 𝒕 − 𝝈, denominados 
vetor tensão normal e tangencial no ponto “P” e plano 𝒏. Conhecido o vetor 𝒕, o 
cálculo de 𝝈 𝒆 𝝉 é imediato, portanto: 
𝝈 = 𝒕𝒏 = 𝒕𝒙𝒏𝒙 + 𝒕𝒚𝒏𝒚 + 𝒕𝒛𝒏𝒛 
𝝉 = 𝒕 − 𝝈 = 𝒕 − 𝝈(𝒏) = (𝒕𝒙 − 𝝈(𝒏)𝒙)𝒊 + 𝒕𝒚 − 𝝈(𝒏)𝒚 𝒋 + (𝒕𝒛 − 𝝈(𝒏)𝒛)𝒌. 
 
Como queríamos demonstrar. 
Exercício 2: Dado o estado de tensão. 
 
{𝜎} = 
2,2 1,0 1,5
1,0 1,5 2,0
1,5 2,0 1,0
 (𝑀𝑃𝑎) 
Determinar: 
a) Invariantes de tensão. 
b) Tensões principais. 
c) Direções dos planos principais. 
d) Mostrar que os planos principais são ortogonais entre si. 
e) Tensões octaédricas normal e cisalhante 
Resolução 
a) Invariantes de tensão. 
Da demonstração anterior, onde obtivemos o estado triplo de tensões, a solução 
da equação para determinação das tensões principais para um determinado plano 
resultará em uma equação do terceiro grau com 3 fatores denominados invariantes de 
tensão. Suprimindo aqui as demonstrações, obtemos as seguintes equações: 
𝐼 = 𝜎 + 𝜎 + 𝜎 
𝐼 = 𝜎 𝜎 + 𝜎 𝜎 + 𝜎 𝜎 − 𝜏 − 𝜏 − 𝜏 
𝐼 = 𝜎 𝜎 𝜎 + 2𝜏 𝜏 𝜏 − 𝜎 𝜏 − 𝜎 𝜏 − 𝜎 𝜏 
Substituindo os valores dados no estado de tensão na equação anterior temos: 
𝐼 = 2,2 + 1,5 + 1,0 = 4,70 𝑀𝑃𝑎 
𝐼 = 2,2 × 1,5 + 1,5 × 1 + 2,2 × 1 − 1 − 2 − 2,5 = −0,25 𝑀𝑃𝑎² 
𝐼 = 2,2 × 1,5 × 1 + 2(1 × 2 × 1,5) − 2,2 × 2 − 1,5 × 1,5 − 1 × 1 = −3,8 𝑀𝑃𝑎³ 
 
b) Tensões principais. 
Com os invariantes de tensão, podemos calcular as tensões principais 
𝜎 − 𝐼 𝜎 + 𝐼 𝜎 − 𝐼 = 0 
𝜎 − 4,70 × 𝜎 − 0,25 × 𝜎 + 3,80 = 0 
Solucionando a equação do terceiro qual, obtemos as três raízes. Que aqui representam 
as tensões principais do plano. 
𝜎 = 4,57 𝑀𝑃𝑎 
𝜎 = 0,99 𝑀𝑃𝑎 
𝜎 = −0,86 𝑀𝑃𝑎 
c) Direções dos planos principais. 
Utilizando-se agora do estado de tensão inicial e das tensões principais podemos 
determinar a direção do plano principal deste estado. 
(𝜎 − 𝜎 ) 𝜏 𝜏
𝜏 (𝜎 − 𝜎 ) 𝜏
𝜏 𝜏 (𝜎 − 𝜎 )
×
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛾
= 
0
0
0
 
Substituindo os valores temos para 𝜎 : 
(2,20 − 4,57) 1 1,50
1 (1,50 − 4,57) 2
1,50 2 (1 − 4,57)
×
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛾
= 
0
0
0
 
No entanto este sistema é linearmente dependente, sendo necessário utilizar a relação 
(𝑐𝑜𝑠𝛼) + (𝑐𝑜𝑠𝛽) + (𝑐𝑜𝑠𝛾) = 1, para solucionarmos o sistema linear. 
Solucionando: 
(−2,37) 1 1,50
1 (−3,07) 2
1,50 2 (−3,57)
×
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛾
= 
0
0
0
 
𝑐𝑜𝑠𝛽 = 0,944. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 0,949. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 
Utilizando do artifício matemático: 
(𝑐𝑜𝑠𝛼) + (0,944 × 𝑐𝑜𝑠𝛼) + (𝑐𝑜𝑠𝛾) = 1 
Solucionando o sistema de equações obtemos: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜎 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±0,599 𝑐𝑜𝑠𝛽 = ∓0,565 𝑐𝑜𝑠𝛾 = ∓0,568 
Em graus: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜎 → 𝛼 = 53,20º/126,80º 𝛽 = 124,40º/55,60º 𝛾 = 124,61º/55,39º 
Substituindo os valores temos para 𝜎 : 
(2,20 − 0,99) 1 1,50
1 (1,50 − 0,99) 2
1,50 2 (1 − 0,99)
×
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛾
= 
0
0
0
 
Temos: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜎 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±0,777 𝑐𝑜𝑠𝛽 = ∓0,582 𝑐𝑜𝑠𝛾 = ∓0,240 
Em graus: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜎 → 𝛼 = 39,01º/140,99º 𝛽 = 125,59º/54,41º 𝛾 = 103,87º/76,11º 
Substituindo os valores temos para 𝜎 : 
(2,20 − (−0,86)) 1 1,50
1 (1,50 − (−0,86)) 2
1,50 2 (1 − (−0,86))
×
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛾
= 
0
0
0
 
Temos: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜎 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±0,199 𝑐𝑜𝑠𝛽 = ±0,583 𝑐𝑜𝑠𝛾 = ∓0,788 
Em graus: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜎 → 𝛼 = 78,52º/101,48º 𝛽 = 54,34º/125,66º 𝛾 = 142º/38º 
 
d) Mostrar que os planos principais são ortogonais entre si 
Os cossenos diretores de um plano constituem as componentes do versor normal a este 
plano, por definição. 
𝑢 = (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾), |𝑢| = 1 
A ortogonalidade entre vetores pode ser verificada pelo produto escalar entre eles, que 
correlaciona o ângulo existente entre dois vetores não nulos: 
〈𝑢, 𝑣〉 = 𝑢 𝑣 + 𝑢 𝑣 + 𝑢 𝑣 
〈𝑢, 𝑣〉 = |𝑢||𝑣| cos(𝑢, 𝑣) ⇒ cos(𝑢, 𝑣) = 
〈𝑢, 𝑣〉
|𝑢||𝑣|
 
Sendo os versores dos planos principais. 
𝑢 = (0,599; 0,565; 0,568) 
𝑣 = (0,777; −0,582; −0,240) 
𝑤 = (0,199; 0,583; −0,788) 
Com os versores é possível determinar o cosseno do ângulo entre eles, que é 
numericamente igual ao seu produto escalar. 
〈𝑢, 𝑣〉 = 0,599 × 0,777 + 0,565 × −0,582 + 0,568 × −0,240 = 4,4 × 10 = 0 
〈𝑢, 𝑤〉 = 0,599 × 0,199 + 0,565 × 0,583 + 0,568 × −0,788 = 1,3 × 10 = 0 
〈𝑤, 𝑣〉 = 0,199 × 0,777 + 0,583 × −0,582 − 0,788 × −0,240 = 5 × 10 = 0 
Como o cosseno entre os versores é nulo, o valor do ângulo entre eles é de 90º. 
 
e) Tensões octaédricas normal e cisalhante 
As tensões octaédricas normal e cisalhante podem ser determinadas pelas expressões: 
 
𝜎 =
𝐼
3
=
4,7
3
= 1,57 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜏 =
1
3
[(𝜎 − 𝜎 ) + (𝜎 − 𝜎 ) + (𝜎 − 𝜎 ) ] 
𝜏 =
1
3
[(4,57 − 1,57) + (0,99 − 1,57) + (−0,86 − 1,57) ] 
𝜏 = ± 2,25 𝑀𝑃𝑎