resumo aula-15-tautologia-contingencia-e-contradicao

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Tautologia, Contingência e Contradição
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TAUTOLOGIA, CONTINGÊNCIA E CONTRADIÇÃO
TAUTOLOGIA
Trata-se de uma proposição composta, formada por duas ou mais propo-
sições, que sempre será verdadeira, independentemente da verdade de seus 
termos. Na filosofia e em outras áreas das ciências humanas, um argumento é 
tautológico quando se explica por ele próprio, às vezes, de forma redundante ou 
falaciosa; por exemplo: "o mar é azul porque reflete a cor do céu e o céu é azul 
por causa do mar". Da mesma forma, um sistema é caracterizado como tauto-
lógico quando não apresenta saídas à sua própria lógica interna; por exemplo: 
exige-se curso universitário de um trabalhador para que ele seja empregado, 
mas ele precisa ter um emprego para custear as despesas do curso universitário. 
A proposição (A → B) ↔ (~A v B) é uma tautologia. 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (RESOLUÇÃO DE FORMA CONVENCIONAL)
1. (CESPE/2008) Se A e B são proposições, então a proposição A v B ↔ (¬A) 
^ (¬B) é uma tautologia.
Resolução
A B ¬A ¬B A v B ¬A ^ ¬B A v B ↔ (¬A) ^ (¬B)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V F V F
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2. (CESPE/PMDF/2009) A proposição (A ^ B) → (A v B) é uma tautologia. 
Resolução
A B A ^ B A v B (A ^ B) → (A v B)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
3. (CESPE/DEPEN/2013) A proposição [(P ̂ Q) → R] v R é uma tautologia, ou seja, 
ela é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de P, Q e R.
Resolução
P Q R P ^ Q P ^ Q → R [(P ^ Q) → R] v R
V V V V V V
V V F V F F
V F V F V V
V F F F V V
F V V F V V
F V F F V V
F F V F V V
F F F F V V
DESAFIO
(CESPE/UnB) A proposição [(P → Q) ̂ (Q → R)] → (P → R) é uma tautologia. 
Resolução
[(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R)
∪ CC C
R
Q
P
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (resolução de forma prática)
1. (CESPE/2008) Se A e B são proposições, então a proposição A v B ↔ (¬A) 
^ (¬B) é uma tautologia.
Resolução
Uma proposição é a negação da outra. A proposição bicondicional será verda-
deira se seus valores lógicos forem iguais, o que não é o caso da questão. 
A v B ↔ (¬A) ^ (¬B)
V ↔ F = F
F ↔ V = F
2. (CESPE/PMDF/2009) A proposição (A ^ B) → (A v B) é uma tautologia.
Resolução
A dica é considerar a proposição como falsa, porque, somente em uma 
circunstância, a proposição condicional será falsa: antecedente verdadeiro e 
consequente falso.
(A ^ B) → (A v B)
V→ F = F
Para a proposição A ^ B ser verdadeira, ambos os valores lógicos devem 
também devem ser verdadeiros. Como A e B são verdadeiros, a proposição A 
v B também será verdadeira, visto que basta uma verdade para que a disjun-
ção também o seja. Portanto, a proposição (A ^ B) → (A v B) será verdadeira. 
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3. (CESPE/DEPEN/2013) A proposição [(P ̂ Q) → R] v R é uma tautologia, ou seja, 
ela é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de P, Q e R.
Resolução
A dica é novamente considerar a proposição como falsa, porque, somente 
em uma circunstância, a disjunção será falsa: antecedente e consequente falsos.
[(P ^ Q) → R] v R = F
 F v F = F
Para a proposição P ^ Q → R ser falsa, os valores lógicos de P e Q devem 
ser verdadeiros, uma vez que R é falso. Como antecedente (P ^ Q → R) e 
consequente (R) são falsos, a proposição composta também será falsa, visto 
que essa é a condição para que a disjunção seja falsa. Portanto, a proposição 
[(P ^ Q) → R] v R pode ser falsa quando P e Q forem verdadeiros e R, falso. 
DESAFIO
(CESPE/UnB) A proposição [(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R) é uma tautologia. 
Resolução
A dica é considerar a proposição como falsa, porque, somente em uma cir-
cunstância, a proposição condicional será falsa: antecedente verdadeiro e con-
sequente falso.
[(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R) = F
 V → F = F
• A conjunção [(P → Q) ^ (Q → R)] será verdadeira quando antecedente (P 
→ Q) e consequente (Q→R) forem verdadeiros.
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• A condicional (P → R) será falsa quando P for verdadeiro e R for falso.
• Para a condicional (P → Q) ser verdadeira, Q deve ser verdadeiro, visto 
que P também é.
• Para a condicional (Q → R) ser verdadeira, sendo R falso, Q deveria, 
necessariamente, ser falso, o que não acontece. 
Portanto, não é possível considerar a proposição [(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → 
R) falsa. 
[(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R) = F
V F
v v
v v
FF
CONTRADIÇÃO 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma 
contradição (ou contraválida) se ela for sempre falsa, independentemente da 
verdade de seus termos. 
EXEMPLO: 
Uma proposição é uma contradição quando for sempre falsa. Verifique se a 
proposição composta P ^ ~P é uma contradição.
P ¬ P P ^ ¬ P
V F F
F V F
V F
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CONTINGÊNCIA 
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for 
uma tautologia nem uma contradição. Ao construir a tabela-verdade de uma 
proposição composta, verificaremos se a proposição é uma tautologia (só resul-
tados V) ou uma contradição (só resultados F); por exceção, será uma contin-
gência. As contingências são também denominadas proposições contingen-
tes ou proposições indeterminadas.
EXEMPLO: 
1. (2016/IADES) Em relação à proposição (p ↔ q) ∧ (p → q), assinale a alter-
nativa correta.
a. É uma tautologia. 
b. É uma contingência. 
c. É uma contradição.
d. A tabela verdade que a representa é formada por oito linhas.
e. É uma proposição composta formada a partir de três proposições simples. 
Resolução
(p ↔ q) ∧ (p → q)
 V ∧V = V
 F∧F = F
 F∧V = F
 V∧V = V
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2. (2016/CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o 
seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algu-
mas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por 
meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, 
por exemplo:
P: Cometeu o crime A. 
Q: Cometeu o crime B. 
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. 
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. 
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o cri-
me B, lembrou que ele era inafiançável. 
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue: 
A sentença (P→Q)↔[(~Q)→(~P)] será sempre verdadeira, independente-
mente das valorações de P e Q como verdadeiras ou falsas.
Resolução
(P→Q)↔[(~Q)→(~P)]
As proposições (P→Q) e [(~Q)→(~P)] são equivalentes, visto que:
P→Q = ~Q → ~P
A bicondicional será verdadeira quando seus valores lógicos forem iguais, por-
tanto: 
(P→Q)↔[(~Q)→(~P)]
 V↔V = V
 F↔F = V
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P Q ~P ~Q P→Q ~Q → ~P (P→Q)↔[(~Q)→(~P)]
V V F FV V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
GABARITO
Forma convencional
1. E
2. C
3. E
Desafio: C
Forma prática
1. E
2. C
3. E
Desafio: C
1. b
2. C
������Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a 
aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.
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