4 - EDO não homogênea

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Cálculo II - Lista 4
Equipe Cálculo II-Unificado-2020
Instituto de matemática - Universidad Federal do Rio de Janeiro
EDO Linear com coeficientes constantes e não homogênea.
O objetivo desta lista é estudar a equação:
ay′′ + by′ + cy = R(x), (1)
onde e a, b, c ∈ R, a ̸= 0 e R(x) é uma função cont́ınua não nula.
Exercise 1. É a função y(x) = x solução da equação linear
x2y′′ +
1
x
y′ = exy + cos(x).
Exercise 2. Resolver as seguintes EDO’s:
(a) y′′ − 2y′ = 6. (j) y′′ + 9y = x2ex.
(b) y′′ = ex. (k) y′′ + 4y = x sin(2x).
(c) y′′ − y′ − 6y = e−x. (l) y′′ − 2y′ + y = x2 sin(x).
(d) y′′ − 2y′ + y = 2x. (m) y′′ − 2y′ + y = cos2(x).
(e) y′′ + y′ − 2y = 4x. (n)y′′ − 2y′ + y = cos4(x).
(f) y′′ + 4y = e3x + cos(2x). (o) y′′ + 4y = tan(2x).
(g) y′′ + y′ = 3ex + 4x2. (p) y′′ + 2y′ + y = e−x log(x).
(h) y′′ − 2y′ − 3y = 64xe−x. (q) y′′ + 2y′ + 5y = e−x sec(2x).
(i) y′′ + 4y′ + 4y = xe−2x + x+ cos(x). (r)y′′ − 3y′ + 2y = 1
1+e−x .
Exercise 3. Sabe-se que y′′ + by′ + y = ex tem uma solução particular da forma y(x) = Ax2ex,
para alguma constante real A ∈ R. Quanto vale b?
Exercise 4. Sabendo que cos2(x) = 1+cos(2x)2 , resolver a EDO
y′′ − 2y′ + y = cos4(x)
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Exercise 5. Achar todas as soluções da forma y(x) = Ax+B da EDO
y′′ + x(y′)2 = 4x.
Exercise 6. Determine uma EDO linear de segunda ordem tal que
y(x) = e−x
2/2(c1 cos(x) + c2 sin(x)), c1, c2 ∈ R
seja solução geral.
Exercise 7. Sejam y1(x), y2(x) soluções da equação
y′′ + 2y′ − 3y = 5ex
tais que y′1(0) = y
′
2(0). Mostrar que y(x) = y1(x)− y2(x) = c(3ex + e−3x), c ∈ R.
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Cálculo II - Lista 4
Equipe Cálculo II-Unificado-2020
Instituto de matemática - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Exercise 8. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) Se y1, y2 são soluções da equação y
′′ + y = cos(x). É y = y1 + y2 solução da equação
(b) Se y1 é solução da equação y
′′ + y + y = 1. É y2 = xy1 solução
(c) As soluções y′′ − 3y′ + 2y = e−4x convergem para zero quando x → ∞.
(d) y(x) = sin(x) é solução da equação y′′ + y′ + y = cos(x).
(e) y(x) ≡ 0 é solução da equação y′′ + y′ + y = 0.
(f) y(x) ≡ 0 é solução da equação y′′ + y′ + y = cos(x).
(g) y(x) = −e2x + 7e−2x é solução da equação y′′ − 4y = 0.
(h) A equação y′′ − y = ex tem uma solução particular da forma yp(x) = Aex.
(i) A equação y′′ + 2y′ + y = 5 tem uma solução particular da forma yp(x) = Ae
−x.
(j) A equação y′′ + 2y′ + 2y = e−x cos(x) tem uma solução particular da forma yp(x) =
Axe−x(B cos(x) + C sin(x)).
(k) A equação y′′+2y′+2y = cos(x) tem uma solução particular da forma yp(x) = x(B cos(x)+
C sin(x)).
Exercise 9. Uma função é dita limitada se existe uma constante M > 0 tal que |f(x)| < M
para todo x ∈ R. Assim, qual o valor de α tal que a equação
y′′ + 2y = sin(αx)
tenha soluções y(x) não limitadas?
Exercise 10. Considere a equação
y′′ − 2y′ + 5y = cos(αx). (2)
Para que valores de α as soluções de (2) não tem soluções limitadas (não nulas).
Exercise 11. Resolva a EDO
y(3) + y′′ = 3ex + 4x2
(a) Usando a mudança de variável u = y′′.
(b) Usando a mudança de variável u = y′.
NOTA: A notação y(3) significa a derivada de ordem 3.
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