Lista de Exercícios - Modelagem de representação cromossômica e função fitness

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Lista	
  de	
  Exercícios	
  -­‐	
  Modelagem	
  de	
  representação	
  cromossômica	
  e	
  
função	
  fitness	
  
 
Para	
  cada	
  um	
  dos	
  problemas	
  descritos	
  abaixo:	
  
	
  
• crie	
   uma	
   ou	
   mais	
   representações	
   “cromossômicas”	
   capazes	
   de	
   representar	
   uma	
  
solução	
  para	
  o	
  problema,	
  deixando	
  claro	
  qual	
  é	
  o	
  alfabeto	
  que	
  pode	
  ser	
  utilizado	
  para	
  
instanciar	
   os	
   genes.	
   No	
   caso	
   de	
   sua	
   representação	
   não	
   ser	
   “autoexplicativa”,	
  
acrescente	
  uma	
  discussão	
  textual	
  sobre	
  ela.	
  
• crie	
  uma	
  função	
  fitness	
  (função	
  de	
  avaliação)	
  adequada	
  para	
  avaliar	
  os	
  cromossomos.	
  
Determine	
   o	
   intervalo	
   em	
   que	
   essa	
   função	
   deve	
   ser	
   otimizada.	
   Especifique	
   se	
   é	
   um	
  
problema	
  de	
  minimização	
  ou	
  maximização;	
  
• para	
   cada	
   representação	
   cromossômica	
   que	
   você	
   criar,	
   mostre	
   uma	
   solução	
  
representada	
  e	
  o	
  seu	
  valor	
  de	
  fitness;	
  
• discuta	
   as	
   representações	
   criadas	
   quanto	
   à	
   possibilidade	
   de	
   criação	
   de	
   soluções	
  
infactíveis	
   quando	
   operadores	
   de	
   crossover	
   ou	
   mutação	
   são	
   aplicados	
   sobre	
   os	
  
cromossomos.	
  Ilustre	
  sua	
  resposta;	
  
• no	
   caso	
   dos	
   operadores	
   de	
   crossover	
   ou	
   mutação	
   criarem	
   soluções	
   infactíveis,	
  
proponha	
  uma	
  estratégia	
  de	
  correção	
  das	
  soluções	
  e	
  analise	
  se	
  tal	
  estratégia	
  é	
  viável	
  
ou	
  se	
  a	
  solução	
  deve	
  ser	
  penalizada	
  pela	
  função	
  fitnnes;	
  
	
  
Obs.:	
  Esse	
  exercício	
   tem	
  o	
  propósito	
  de	
  exercitar	
  a	
   sua	
  capacidade	
  de	
  modelar	
  um	
  algoritmo	
  
genético.	
   Sempre	
   que	
   você	
   tiver	
   dificuldades	
   para	
   resolver	
   uma	
   questão,	
   transforme	
   o	
  
problema	
   em	
   um	
   problema	
  mais	
   fácil	
   e	
   resolva	
   o	
   problema	
   relaxado.	
   Depois,	
   acrescente	
   as	
  
dificuldades	
  aos	
  poucos	
  em	
  sua	
  modelagem.	
  
 
a.	
  Problema	
  de	
  Mochila	
  
 
Dado	
  um	
  conjunto	
  de	
  n	
  objetos	
  e	
  uma	
  mochila	
  com:	
  
• cj	
  	
  	
  =	
  benefício	
  do	
  objeto	
  j	
  
• wj	
  	
  	
  =	
  peso	
  do	
  objeto	
  j	
  
• b	
  	
  =	
  capacidade	
  da	
  mochila	
  
Determinar	
  quais	
  objetos	
  devem	
  ser	
  colocados	
  na	
  mochila	
  para	
  maximizar	
  o	
  benefício	
  total	
  de	
  
tal	
  forma	
  que	
  o	
  peso	
  da	
  mochila	
  não	
  ultrapasse	
  sua	
  capacidade.	
  
 
b.	
  Problema	
  de	
  escalonamento	
  de	
  tarefas	
  
 
Considere	
  	
  um	
  	
  conjunto	
  	
  de	
  	
  N	
  	
  jobs	
  	
  J={J1,	
  	
  J2,	
  	
  ...,	
  	
  JN}	
  	
  a	
  	
  serem	
  	
  processados	
  	
  em	
  	
  M	
  	
  máquinas	
  
paralelas	
  	
  de	
  	
  igual	
  	
  poder	
   de	
  	
  processamento	
  	
  disponíveis	
   M={M1,	
  	
  M2,	
  	
  ...,	
  	
  MM}.	
   Determine	
  	
  a	
  
melhor	
   distribuição	
   de	
   jobs	
   nas	
   máquinas	
   de	
   forma	
   a	
   minimizar	
   o	
   tempo	
   de	
   execução	
   do	
  
conjunto	
  completo	
  de	
  jobs.	
  
 
Variação	
  (exemplo	
  do	
  Linden,	
  pág.	
  291)	
  
	
  
Fazer	
   uma	
   escala	
   de	
   tarefa	
   onde	
   cada	
   tarefa	
   consiste	
   em	
  uma	
   sequência	
   de	
   operações,	
   que	
  
devem	
   ser	
   processadas	
   em	
   um	
   conjunto	
   fechado	
   e	
   limitado	
   de	
   máquinas,	
   de	
   forma	
   que	
   o	
  
conjunto	
  de	
  todas	
  as	
  tarefas	
  sejam	
  realizadas	
  em	
  um	
  tempo	
  mínimo.	
  Cada	
  tarefa	
  recebe	
  duas	
  
datas:	
  uma	
  a	
  partir	
  da	
  qual	
  ela	
  pode	
   ser	
   realizada	
  e	
  um	
  prazo	
  máximo.	
  O	
  processamento	
  de	
  
uma	
   tarefa	
   i	
   em	
   uma	
   máquina	
   j	
   é	
   denotado	
   pelo	
   par	
   ordenado	
   (i,j),	
   com	
   o	
   tempo	
   de	
  
processamento	
  sendo	
  designado	
  por	
  Tij.	
  
	
  
Dica:	
  A	
  função	
  fitness	
  para	
  este	
  problema	
  deve	
  conter	
  um	
  termo	
  para	
  cada	
  um	
  dos	
  seguintes	
  
objetivos:	
  
	
  
i.	
  minimizar	
  o	
  atraso	
  médio	
  das	
  tarefas;	
  
ii.	
  minimzar	
  o	
  número	
  de	
  tarefas	
  em	
  atraso;	
  
iii.	
  minimizar	
  o	
  tempo	
  total	
  de	
  transição	
  entre	
  tarefas;	
  
iv.	
  minimizar	
  o	
  tempo	
  ocioso	
  de	
  cada	
  máquina;	
  
v.	
  minimizar	
  o	
   tempo	
   total	
  de	
   throughput	
   (tempo	
  em	
  que	
   todas	
  as	
   tarefas	
   são	
  efetivamente	
  
realizadas).	
  
 
c.	
  Problema	
  de	
  escalonamento	
  de	
  tarefas	
  com	
  restrições	
  
 
Considere	
   um	
   conjunto	
   de	
   N	
   jobs	
   J={J1,	
   J2,	
   ...,	
   JN}	
   a	
   serem	
   processados	
   em	
   M	
   máquinas	
  
disponíveis	
  M={M1,	
  M2,	
  ...,	
  MM}.	
  Cada	
  job	
  possui	
  uma	
  ordem	
  de	
  execução	
  específica	
  entre	
  cada	
  
uma	
   das	
  máquinas,	
   ou	
   seja,	
   um	
   job	
   é	
   composto	
   de	
   uma	
   lista	
   ordenada	
   de	
   operações,	
   cada	
  
qual	
  definida	
  pela	
  máquina	
  requerida	
  e	
  pelo	
  tempo	
  de	
  processamento	
  na	
  mesma.	
  	
  
	
  
d.	
  Problema	
  de	
  calibração	
  de	
  câmeras	
  
 
O	
  problema	
  de	
  calibração	
  de	
  câmeras	
  considera	
  que	
  é	
  necessário	
  encontrar	
  o	
  posicionamento	
  
de	
   uma	
   câmera	
   real	
   a	
   partir	
   de	
   informações	
   de	
   uma	
   imagem	
   do	
   ambiente	
   real	
   onde	
   está	
   a	
  
câmera.	
   Para	
   isso,	
   pontos	
   específicos	
   para	
   os	
   quais	
   se	
   conhece	
   a	
   localização	
   no	
  mundo,	
   são	
  
encontrados	
  na	
  imagem.	
  Assim	
  tem-­‐se	
  as	
  coordenadas	
  dos	
  pontos	
  no	
  mundo	
  real	
  e	
  no	
  mundo	
  
da	
  imagem.	
  Para	
  calibrar	
  a	
  câmera	
  é	
  preciso	
  encontrar:	
  
 
• distância	
  focal	
  
• matriz	
  de	
  rotação	
  
• matriz	
  de	
  translação	
  
 
que	
   minimize	
   o	
  	
  erro	
   entre	
   as	
   coordenadas	
   dos	
   pontos	
   na	
   imagem	
   e	
   as	
   coordenadas	
   dos	
  
pontos	
  na	
  nova	
  imagem	
  obtida	
  pela	
  câmera	
  calibrada.	
  
 
Para	
  saber	
  as	
  coordenadas	
  do	
  ponto	
  na	
  nova	
  imagem	
  obtida	
  pela	
  câmera	
  calibrada	
  execute:	
  
 
ponto_novo	
  =	
   matriz	
  1	
  *	
  matriz	
  2	
  *	
  matriz	
  3	
  *	
  ponto	
  no	
  mundo	
  real	
  
 
matriz	
  1	
  =	
  [	
  constante	
  1	
  constante	
  2	
  constante	
  3;	
  0	
  constante	
  4	
  constante	
  5;	
  0	
  0	
  1	
  ]	
  
matriz	
  2	
  =	
  [	
  distância	
  focal	
  0	
  0	
  0;	
  0	
  distância	
  focal	
  0	
  0;	
  0	
  0	
  1	
  0	
  ]	
  
matriz	
  3	
  =	
  [	
  Matriz	
  de	
  Rotação	
  Matriz	
  de	
  Translação;	
  0	
  1	
  ]	
  
 
Matriz	
  de	
  Rotação	
  =	
  [	
  v1	
  v2	
  v3;	
  v4	
  v5	
  v6;	
  v7	
  v8	
  v9	
  ]	
  
Matriz	
  de	
  Transalação	
  =	
  [	
  v10;	
  v11;	
  v12	
  ]	
  
 
e.	
  Problema	
  das	
  empreiteiras	
  
 
Quatro	
  construções	
  diferentes	
  A,	
  B,	
  C	
  e	
  D	
  devem	
  ser	
   levantadas	
  em	
  um	
  campus	
  universitário	
  
por	
   quatro	
   empreiteiras	
   1,	
   2,	
   3	
   e	
   4.	
   Como	
   todas	
   as	
   empreiteiras	
   contribuem	
   muito	
   para	
   o	
  
fundo	
   dos	
   alunos,	
   cada	
   uma	
   delas	
   deve	
   construir	
   um	
   edifício.	
   Cada	
   empreiteira	
   fez	
   suas	
  
propostas	
   no	
   tocante	
   às	
   quatro	
   construções.	
   O	
   problema	
   consiste	
   em	
   determinar	
   que	
  
construção	
   designar	
   a	
   que	
   empreiteira	
   para	
   que	
   o	
   custo	
   da	
   obtenção	
   dos	
   quatro	
   edifíciospermaneça	
  mínimo.	
  
 
f.	
  Problema	
  do	
  carteiro	
  chinês	
  
 
Problema	
  de	
  encontrar	
  uma	
  rota	
  para	
  um	
  carteiro,	
  onde	
  as	
  seguintes	
  restrições	
  são	
  colocadas:	
  
• todas	
  as	
  ruas	
  devem	
  ser	
  visitadas;	
  
• o	
   caminho	
  deve	
   ser	
  mínimo,	
   ou	
   seja,	
   a	
  distância	
   percorrida	
   pelo	
   carteiro	
   deve	
   ser	
   a	
  
menor	
  possível.	
  
 
Considere:	
  
i.	
  grafos	
  não	
  orientados;	
  
ii.	
  grafos	
  orientados.	
  
 
g.	
  Problema	
  da	
  mistura	
  
 
Um	
  certo	
  óleo	
  é	
  refinado	
  a	
  partir	
  da	
  mistura	
  de	
  outros	
  óleos,	
  vegetais	
  ou	
  não	
  vegetais:	
  
 
• V1	
  V2	
  (óleos	
  vegetais)	
  
• NV1	
  NV2	
  NV3	
  (óleos	
  não	
  vegetais)	
  
 
Por	
  restrições	
  da	
  fábrica,	
  um	
  máximo	
  de	
  X	
  ton.	
  de	
  óleos	
  vegetais	
  podem	
  ser	
  refinados	
  por	
  mês,	
  
e	
  um	
  máximo	
  de	
  Y	
  ton.	
  de	
  óleos	
  não	
  vegetais.	
  A	
  acidez	
  do	
  óleo	
  desejado	
  deve	
  estar	
  entre	
  m	
  e	
  
n	
  (dada	
  uma	
  unidade	
  de	
  medida)	
  e	
  a	
  acidez	
  depende	
  linearmente	
  das	
  quantidades/acidez	
  dos	
  
óleos	
  brutos	
  usados.	
  O	
  preço	
  de	
  venda	
  de	
  uma	
  tonelada	
  do	
  óleo	
  é	
  R$ZZ.	
  	
  Calcule	
  a	
  mistura	
  que	
  
maximiza	
  o	
  lucro.	
  
 
h.	
  Problema	
  de	
  agrupamento	
  
 
Considere	
   um	
   conjunto	
   de	
   N	
   dados	
   que	
   devem	
   ser	
   agrupados	
   e	
   C	
   grupos.	
   O	
   melhor	
  
agrupamento	
  é	
  aquele	
  que	
  minimiza	
  as	
  distâncias	
  entre	
  os	
  dados	
  de	
  um	
  grupo	
   e	
  maximiza	
  a	
  
distância	
  dos	
  dados	
  de	
  grupos	
  diferentes.	
  
 
i.	
  Problema	
  do	
  transporte	
  
 
Considere	
  o	
  problema	
  de	
  transportar	
  itens	
  de	
  centros	
  de	
  origens	
  (vários)	
  a	
  centros	
  de	
  destinos	
  
(vários).	
  São	
  dados	
  conhecidos	
  do	
  problema:	
  
 
• o	
  custo	
  de	
  transporte	
  de	
  cada	
  item;	
  
• as	
  quantidades	
  dos	
  itens	
  disponíveis	
  em	
  cada	
  centro	
  de	
  origem;	
  
• e	
  as	
  demandas	
  de	
  cada	
  centro	
  destino.	
  
 
O	
   transporte	
   deve	
   ser	
   efetuado	
   de	
   modo	
   que	
   as	
   limitações	
   de	
   oferta	
   em	
   cada	
   centro	
   seja	
  
respeitada	
  e	
  a	
  demanda	
  de	
  cada	
  centro	
  de	
  destino	
  atendida	
  e	
  o	
  custo	
  total	
  de	
  transporte	
  seja	
  
mínimo.	
  
 
j.	
  Problema	
  de	
  designação	
  
 
Suponha	
   que	
   n	
   tarefas	
   devam	
   ser	
   atribuídas	
   a	
   n	
   pessoas	
   e	
   que	
   pij	
   mede	
   o	
   interesse	
   do	
  
individuo	
  i	
  na	
  realização	
  da	
  tarefa	
  j.	
  O	
  problema	
  é	
  designar	
  as	
  tarefas	
  para	
  as	
  pessoas	
  de	
  forma	
  
a	
  otimizar	
  o	
  grau	
  de	
  satisfação	
  das	
  pessoas.	
  
	
  
	
  
	
  
 
k.	
  Problema	
  do	
  alfaiate	
  
 
Um	
  alfaiate	
  tem,	
  disponíveis,	
  os	
  seguintes	
  tecidos:	
  X	
  metros	
  de	
  algodão,	
  Y	
  metros	
  de	
  seda	
  e	
  Z	
  
metros	
  de	
  lã.	
  Para	
  um	
  terno	
  são	
  necessários	
  xt	
  metros	
  de	
  algodão,	
  yt	
  metro	
  de	
  seda	
  e	
  zt	
  metro	
  
de	
  lã.	
  Para	
  um	
  vestido,	
  são	
  necessários	
  xv	
  metro	
  de	
  algodão,	
  yv	
  metros	
  de	
  seda	
  e	
  zv	
  metros	
  de	
  
lã.	
  Se	
  um	
  terno	
  é	
  vendido	
  pela	
  metade	
  do	
  preço	
  de	
  um	
  vestido,	
  quantas	
  peças	
  de	
  cada	
  tipo	
  o	
  
alfaiate	
  deve	
  fazer,	
  de	
  modo	
  a	
  maximizar	
  o	
  seu	
  lucro?	
  
 
l.	
  Problema	
  de	
  escalonamento	
  de	
  médicos	
  
 
O	
   objetivo	
   deste	
   problema	
   é	
   encontrar	
   uma	
   escala	
   de	
   trabalho	
   para	
   médicos	
   de	
   forma	
   a	
  
diminuir	
  o	
  esforço	
  e	
  o	
  desgaste	
  humano	
  nos	
  famosos	
  plantões.	
  Considere	
  a	
  disponibilidade	
  de	
  
X	
   médicos	
   e	
   a	
   necessidade	
   de	
   atendimento	
   de	
   2X	
   horas	
   por	
   dia.	
   Considere	
   turnos	
   com	
   no	
  
máximo	
  X/6	
  horas.	
  Para	
  avaliar	
  sua	
  escala	
  ainda	
  considere:	
  plantões	
  noturnos	
  e	
  diurnos,	
  finais	
  
de	
   	
   semana	
   	
  e	
   	
   feriados,	
   	
   número	
   	
  máximo	
   	
  de	
   	
   horas	
   	
  de	
   	
   trabalho	
   	
   consecutivas,	
   	
   períodos	
  
específicos	
  de	
  possibilidade	
  de	
  trabalhos	
  e	
  horários	
  fixos	
  para	
  determinadores	
  médicos.	
  
	
  
m.	
  Problema	
  do	
  Caixeiro	
  Viajante	
  
	
  
Dado	
   um	
   grafo	
   não	
   orientado	
   totalmente	
   conectado	
   com	
   arcos	
   pesados,	
   onde	
   os	
   nós	
  
representam	
   cidades,	
   os	
   arcos	
   representam	
   caminhos	
   entre	
   as	
   cidades	
   e	
   os	
   pesos	
   dos	
   arcos	
  
representam	
  o	
  custo	
  de	
  cada	
  caminho,	
  um	
  caixeiro	
  viajante	
  precisa	
  passar	
  por	
  todas	
  as	
  cidades,	
  
retornando	
  à	
  cidade	
  inicial,	
  sem	
  passar	
  duas	
  vezes	
  por	
  uma	
  mesma	
  cidade.	
  
	
  
n.	
  Problema	
  das	
  8	
  rainhas	
  
	
  
Dado	
  um	
  tabuleiro	
  de	
  xadrez	
  (com	
  64	
  posições	
  distribuídas	
  em	
  8	
  linhas	
  e	
  8	
  colunas)	
  e	
  8	
  rainhas,	
  
o	
   objetivo	
   é	
   distribuir	
   as	
   8	
   rainhas	
   pelo	
   tabuleiro	
   de	
   forma	
   que	
   elas	
   não	
   se	
   ameacem.	
  Duas	
  
rainhas	
  se	
  ameaçam	
  quando	
  elas	
  estão	
  posicionadas	
  em	
  uma	
  mesma	
  linha,	
  uma	
  mesma	
  coluna	
  
ou	
  em	
  uma	
  mesma	
  diagonal.	
  
	
  
o.	
  problema	
  de	
  distribuição	
  de	
  ônibus	
  	
  
	
  
Dado	
   um	
   conjunto	
   de	
   N	
   ônibus	
   e	
   D	
   linhas	
   a	
   serem	
   percorridas	
   e	
   que	
   operam	
   em	
   horários	
  
diferentes,	
   o	
   problema	
   é	
   encontrar	
   uma	
   maneira	
   de	
   atender	
   a	
   todas	
   as	
   linhas	
   com	
   uma	
  
quantidade	
  mínima	
  de	
  ônibus.	
  
	
  
p.	
  Problema	
  da	
  geração	
  de	
  horário	
  escolar	
  
	
  
Dado	
  um	
  conjunto	
  de	
  N	
  disciplinas,	
  M	
  professores	
  e	
  D	
  salas	
  de	
  aulas,	
  o	
  problema	
  é	
  distribuir	
  as	
  
aulas	
  das	
  disciplinas	
  pelas	
  salas	
  de	
  aula	
  e	
  associar	
  cada	
  aula	
  a	
  um	
  professor.	
  Cada	
  disciplina	
  tem	
  
4	
  horas	
  de	
  aula,	
  um	
  dia	
  de	
  aula	
  possui	
  4	
  horas	
  de	
  aula.	
  Assuma	
  que	
  diferentes	
   instâncias	
  do	
  
problema	
  valoram	
  N,	
  M	
  e	
  D	
  de	
  diferentes	
   formas	
  e	
   impõem	
  diferentes	
   restrições,	
   tais	
  como,	
  
não	
   se	
   pode	
   ter	
   4	
   horas	
   de	
   aulas	
   seguidas	
   de	
   uma	
   mesma	
   disciplina,	
   um	
   professor	
   pode	
  
ministrar	
   duas	
   disciplinas	
   desde	
   que	
   o	
   horário	
   permita,	
   e	
   deve-­‐se	
   minimizar	
   o	
   trânsito	
   dos	
  
alunos	
   entre	
   diferentes	
   salas	
   de	
   aula,	
   deixando	
   esta	
   tarefa	
   para	
   o	
   professor.	
   Uma	
   solução	
  
balanceada,	
   ou	
   seja,	
   que	
  não	
   sobrecarregue	
  alguns	
  professores,	
   é	
   altamente	
  desejável.	
  Note	
  
que	
   neste	
   problema	
   existem	
   restrições	
   que	
   tornam	
   uma	
   solução	
   infactível,	
   enquanto	
   outras	
  
apenas	
  tornam	
  a	
  solução	
  indesejável.	
  
	
  
	
  
	
  
Incrementando	
  o	
  problema:	
  
 
e.1)	
  assuma	
  que	
  existem	
  turmas	
  de	
  tamanhos	
  diferentes	
  e	
  salas	
  de	
  aula	
  de	
  tamanhosdiferentes	
  
e	
   que	
   uma	
   solução	
   ótima	
   deveria	
   alocar	
   turmas	
   pequenas	
   para	
   salas	
   de	
   aulas	
   pequenas	
   e	
  
turmas	
  grandes	
  para	
  salas	
  de	
  aulasgrandes;	
  
e.2)	
   considere	
   que	
   o	
   horário	
   que	
   está	
   sendo	
   criado	
   atende	
   a	
   um	
   departamento	
   de	
   uma	
  
universidade,	
   portanto,	
   nesta	
   variação	
   é	
   possível	
   ter	
   várias	
   turmas	
   diferentes	
   cursando	
  
períodos	
  diferentes	
  do	
  curso;	
  nesse	
  contexto,	
  disciplinas	
  diferentes	
  relacionadas	
  a	
  um	
  mesmo	
  
período	
  não	
  podem	
  ser	
  colocadas	
  no	
  mesmo	
  horário;	
  
e.3)	
  assuma	
  que	
  um	
  professor	
  deve	
  ter	
  um	
  mínimo	
  de	
  "buracos"	
  no	
  seu	
  horário	
  específico.	
  
	
  
Um	
  exemplo	
  de	
  instância	
  (exemplo	
  do	
  Linden,	
  pág,	
  287):	
  
	
  
salas	
  de	
  aulas:	
  
A	
  -­‐	
  com	
  capacidade	
  para	
  40	
  alunos	
  
B	
  -­‐	
  com	
  capacidade	
  para	
  20	
  alunos	
  
	
  
quatro	
  turmas:	
  
T1:	
  30	
  alunos	
  
T2:	
  15	
  alunos	
  
T3:	
  18	
  alunos	
  
T4:	
  20	
  alunos	
  
	
  
O	
  professor	
  Fulano	
  leciona	
  nas	
  turmas	
  T1	
  e	
  T3	
  e	
  prefere	
  que	
  ambas	
  sejam	
  na	
  mesma	
  sala.	
  
	
  
O	
  professor	
  Sicrano	
  leciona	
  na	
  turma	
  2	
  e	
  recusa-­‐se	
  a	
  dar	
  aulas	
  pela	
  manhã,	
  e	
  o	
  professor	
  
Beltrano	
  leciona	
  na	
  turma	
  T4,	
  que	
  tem	
  alunos	
  em	
  comum	
  com	
  a	
  turma	
  T2.