desafio de cálculo

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A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-
la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de 
f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função. A formalização 
matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos 
de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que: f: x → y 
 
Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. 
Essa ocorrência é de terminada por uma lei de formação. A partir dessa definição, é 
possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso 
porque, em toda função, para encontrar o valor de y, de vemos ter inicialmente o valor 
de x. 
Análise dos teoremas e conceitos: 
Antes de apresentarmos o conceito de funções inversas é necessário entendermos a 
definição formal de imagem direta e imagem inversa. Considere uma função dada por 
f : E → F onde o conjunto E é o do mínio da função e F o contradomínio : Imagem 
Direta : Seja um conjunto A tal que A ⊂ E, chamamos de imagem direta de A segundo 
f, a função indicada por f(A) o seguinte subconjunto de F : f(A) = {f( x) : x ∈ A. 
Em outras palavras, f(A) é o conjunto das imagens de f dos elementos de A. Imagem 
Inversa : É chamado imagem inversa de um conjunto B tal que B ⊂ F, segundo a 
função f o seguinte subconjunto de E: f- 1 (B) = {x ∈ E : f( x) ∈ B} Dizemos então 
que f- 1 (B) é o conjunto dos elementos de E que tem imagem em B. Seguindo e tão 
pela definição de imagem inversa enunciamos o conceito de função inversa. Seja uma 
função definida como f :E → F. Dizemos que a função f admite uma inversa f-1: F → E, 
se, e somente se, as composições abaixo forem verdadeiras, onde Id é a chamada Função 
Identidade. Desta forma: 
f o f- 1 = IdF – Quando inversa à direita f-1 o f = IdE – Quando inversa à esquerda uma 
função só admite inversa à esquerda, se, e somente se, a função for Injetora, e à direita se 
a função for Sobrejetora. Em outras palavras, quando uma função admite uma inversa, o 
domínio da função f será o contradomínio da função f- 1. 
 
 
Vale lembrar que nem todas as funções admitem uma inversa, ou seja, nem todas as 
funções são invertíveis mesmo que o seu do mínio seja um conjunto não vazio. 
 O que podemos afirmar sobre o domínio de uma função inversa. Ele é o mesmo, 
maior ou menor do que o correspondente à função direta? 
Vamos supor a função f(x) = x². Se tomarmos x igual ao conjunto de dados A = {1, 2, 3, 
4}, teremos que sua imagem será B = {1, 4, 9, 16}. A gora se tomarmos a função f(x) =, 
ao pegarmos o conjunto de dados B, chegaremos ao conjunto A. Ou seja, a função f(x) = 
é inversa a função f(x) = x² . E como vemos, o domínio da primeira função passa a ser 
imagem da sua função inversa, o qual pode ser maior ou menor, dependendo da função 
Quais as condições necessárias para que uma função admita inversa? 
Para determinar se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os 
pares ordenados da função f devem pertencer à função inversa f–1 da seguinte maneira: 
(x, y)? f - 1 ↔ (y, x)? f. Dados os conjuntos A = {- 2,- 1,0,1,2} e B = {- 16,-2,0,2,16} 
e a função A→B definida pela fórmula y = 2 x – 1, veja o diagrama dessa função abaixo: 
 
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento 
diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa. A sua 
função inversa será indicada por f - 1: B→ A definida pela fórmula x = (y+1) /2. Veja o 
dia grama abaixo: 
 
Então: f - 1 = {(- 5,- 2); (- 3,- 1); (- 1,0); (1,1); (3,2)} 
O que é domínio na função f vira imagem na f -1 e vice-versa. Dada uma sentença de 
uma função y = f(x), para encontrara sua inversa é preciso seguir alguns passos. Dada a 
função y = 3 x – 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira: 
1º passo: isolar x. 
y = 3 x – 5 
 y + 5 = 3 x 
x = (y + 5) /3 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
https://br.images.search.yahoo.com/search/images 
 https://www.calculo.iq. unesp.br /site novo/Calculo1 /funções- inversas. 
livro: cálculo diferencial.