ap2 ci 2010 1 gab orig

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AP02 - resposta - 1/2010 Ca´lculo I
Resposta da AP02 - Ca´lculo I
1aQuesta˜o
(a) f ′(x) = (2x) sen (3x) + (3x2 + 18) cos (3x)
(b) f ′(x) =
−x2 + 1
x2 + (x2 + 1)2
(c) f ′(x) =
x− 1√
x2 − 2x− 15
2aQuesta˜o
(a) Como f possui um ma´ximo relativo em x0, temos que f
′(x0) = 0 e f
′′(x0) < 0.
Da´ı,
x0 f
′′(x0) + f
′(x0) = 2 ⇒ x0 = 2
f ′′(x0)
< 0.
(b) Como f possui um mı´nimo relativo em x0, temos que f
′(x0) = 0 e f
′′(x0) > 0.
Da´ı,
x0 f
′′(x0) + f
′(x0) = 2 ⇒ x0 = 2
f ′′(x0)
> 0.
3aQuesta˜o
(a) Temos que:
• f e´ deriva´vel em R com f ′(x) = 6x2 + 5, para todo x ∈ R;
• f e´ crescente em R, visto que f ′(x) = 6x2 + 5 > 0, para todo x ∈ R;
• f ′(x) = 6x2 + 5 6= 0, para todo x ∈ R.
(b) Como visto em (a), todas as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Inversa sa˜o satisfeitas.
Logo,
(f−1)′(f(x)) =
1
f ′(x)
=
1
6x2 + 5
, para todo x ∈ R.
4aQuesta˜o
(a) Temos que f ′(x) =
3
(x+ 2)2
, para todo x ∈ R− {−2}. Logo, f ′(x) > 0, para todo
x ∈ R− {−2}. Portanto, f e´ crescente em R− {−2}.
(b) Temos que f ′′(x) =
−6x− 12
(x+ 2)4
, para todo x ∈ R− {−2}. Da´ı,
1
AP02 - resposta - 1/2010 Ca´lculo I
• f ′′(x) > 0 ⇔ −6x− 12 > 0 ⇔ x < −2;
• f ′′(x) < 0 ⇔ −6x− 12 < 0 ⇔ x > −2.
Portanto, o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo (−∞,−2) e tem
concavidade voltada para baixo no intervalo (−2,+∞).
(c) Temos que:
(i) lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x− 1
x+ 2
= lim
x→+∞
x
(
1 +
1
x
)
x
(
1 +
2
x
) = 1;
(ii) lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
x− 1
x+ 2
= lim
x→−∞
x
(
1 +
1
x
)
x
(
1 +
2
x
) = 1;
(iii) lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
x− 1
x+ 2
= −∞, pois x − 1 → −3 e x + 2 → 0+ quando
x→ −2+;
(iv) lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
x− 1
x+ 2
= +∞, pois x − 1 → −3 e x + 2 → 0− quando
x→ −2−.
De (i) e (ii), temos que y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f e, de (iii) e
(iv), temos que x = −2 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
Finalmente, um esboc¸o do gra´fico de f e´:
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